Lineární funkce
Matematika – 9. ročník
FunkceDefinice
Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H.
Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), x D
nebof: x y, x D
(čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)
FunkceDefiniční obor a obor hodnot funkce
Definiční obor (značíme D(f)), je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat.
Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.
FunkceZadání
Funkce může být zadána:
Rovnicí y = 2x – 3, x D
Tabulkou
Grafem
t (h) 1 2 3 4 5 6
s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0
FunkceGraf
Grafem funkce y = f(x), x D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].
Lineární funkceDefinice
Každá funkce y = ax + b, kde a a b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce.
Grafem lineární funkce je přímka.
Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
Lineární funkceGraf
Sestrojte graf funkce: y = 2x – 1
Grafem lineární funkce je přímka.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
x
y
2-1
-3 3
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Lineární funkcePřímá úměrnost
Lineární funkce y = ax + b, kde a ≠ 0 a b = 0, (tj. y = ax) jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá přímá úměrnost.
Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic.
Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
Přímá úměrnostGraf
Sestrojte graf funkce: y = 2x
Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
x
y
2-1
-2 4
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Lineární funkceKonstantní funkce
Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0 a b je libovolné reálné číslo, (tj. y = b), jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá konstantní funkce.
Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x.
Oborem hodnot je číslo b.
Konstantní funkceGraf
Sestrojte graf funkce: y = 2
Grafem konstantní funkce je přímka, rovnoběžná s osou x.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.
Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.
x
y
2-1
2 2
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
FunkceFunkce rostoucí a klesající
Rostoucí funkce
je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšuje se hodnota funkce.
Klesající funkce
je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zmenšuje se hodnota funkce.
Lineární funkceFunkce rostoucí a klesající
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = x + 2 b) y = - x + 2
x
y
x
y
4
-2 2
-2 2
0
4 0
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6y = x + 2y = - x + 2
Lineární funkceFunkce rostoucí a klesající
Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, když a > 0.
Lineární funkce y = ax + b je klesající, když a < 0.
Lineární funkce y = ax + b je konstantní, když a = 0.
Lineární funkcePříklad č. 1
1. Určete, zda jde o zápis lineární funkce (D = R):a)
a) ANO
c) b) 1
b) NE c) ANO
d) e) f)
g) i) h)
e) ANOd) ANO
i) ANOh) NEg) NE
f) NE
Lineární funkcePříklad č. 2
2. Určete, zda je daná lineární funkce rostoucí nebo klesající.a)
a) Rostoucí
c) b) 1
b) Klesající c) Konstantní
d) e) f)
g) i) h)
e) Rostoucíd) Klesající
i) Konstantníh) Rostoucíg) Rostoucí
f) Klesající
Lineární funkcePříklad č. 3
3. Zjisti, zda body A[1; 1]; B[-1; 1]; C[-2; 7]
a D[2; -7] leží na grafu funkce y = -2x + 3.
A[1; 1]
1 = -2 · 1 + 3
1 = -2 + 3
1 = 1
Bod A leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3
A[-1; 1] A[-2; 7] A[2; -7]
1 ≠ -2 · (-1) + 3
1 ≠ 2 + 3
1 ≠ 5
7 = -2 · (-2) + 3
7 = 4 + 3
7 = 7
-7 ≠ -2 · 2 + 3
-7 ≠ -4 + 3
-7 ≠ -1
Bod B neleží na grafu lineární funkce
y = -2x + 3
Bod C leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3
Bod D neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3
Lineární funkcePrůsečíky grafu s osami
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = 3x + 2 c) y = 3x - 2 b) y = 3x
x
y
x
y
5
-1
1
-2 1
-4
-6 3
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6y = 3x + 2
y = 3 x
x
y
2
-5 4
-2
y = 3 x – 2
Průsečík s osou y má souřadnice [0; b]
Lineární funkcePříklad č. 4, 5
4. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = – x – 3 s osami.Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] Y[0; – 3] ⇒
Průsečík s osou x má souřadnice [x; 0]⇒ 0 = – x – 3
x = – 3
X[– 3 ; 0]
5. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[2; 0] a Y[0; – 1].y = ax + b
y = ax – 1 0 = 2a – 1
(průsečík s osou y má souřadnice [0; b] (do rovnice dosadíme souřadnice bodu X
a = 0,5⇒ y = 0,5x – 1
Lineární funkcePříklad č. 6
6. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 2; 3] a B[2; – 1] .
⇒
Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu A
y = ax + b
3 = – 2a + b / · (– 1)
Vyřešíme soustavu lineárních rovnic
Řešením je rovnice
Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu B
– 1 = 2a + b
– 4 = 4a a = – 4
– 1 = 2 · (– 4) + b
b = 7
y = – 4x + 7
Lineární funkcePříklad č. 7 – 10
7. Zjisti, zda body A[1; 2]; B[-1; -2]; C[-2; 7] a D[-1; -4] leží na grafu funkce y = 3x - 1.
A – ANO, B – NE, C – NE, D - ANO
8. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = –2x + 1 s osami. Y[0, 1], X[0,5; 0]
9. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf
protíná osy v bodech X[4; 0] a Y[0; 3].
𝑦=−34𝑥+3
10. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 1; – 3] a B[2; 1] .
𝑦=43𝑥−
53
Top Related