8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Lezioni del prof. Marco Codegone
appunti di Capuzzo Alessandro v 1.3
Metodimatematici
perl'ingegneria.
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Note dell'autore:
Sicuramente non sostituiscono un libro di testo,probabilmente non sono un lavoro sensazionale,
senza dubbio sono molti gli errori, di vario genere;
ma questi appunti, presi guardando le videolezioni
di Marco Codegone
(professore di analisi matematica presso il Politecnico di Torino)
sono il frutto di settimane di lavoro e
a me personalmente sono stati molto utili.
Ho deciso quindi di renderli disponibili in rete
per chiunque pensasse di ricavarne un qualche vantaggio,
poich penso che la condivisione sia il bene che salver il mondo eperch ci avvenga, bisogna uscire dalla logica del guadagno a tutti i costi,
convincendosi che contribuire disinteressatamente alla ricchezza culturale del propriopaese non tempo perso, n mancato guadagno, ma il bene pi grande che si possa fare a s stessi,
...
e ai propri figli.
Capuzzo Alessandro
... buon lavoro.
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Tabelle riassuntive.........................................................................................................................82
Osservazioni finali.........................................................................................................................83
Residui.........................................................................................................85Calcolo pratico dei residui in poli del 1 ordine............................................................................88Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1........................................................................90
Integrali impropri col metodo dei residui......................................................................................92
Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale).................................................................95Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario)....................................................96
Decomposizione in fratti semplici ............................................................101Poli semplici................................................................................................................................101
Poli multipli.................................................................................................................................106
Poli complessi coniugati..............................................................................................................109
Distribuzioni..............................................................................................115Funzionali....................................................................................................................................115
Limiti (nel senso delle distribuzioni)...........................................................................................115Derivate distribuzionali................................................................................................................120
Modelli (ingresso - uscita)...........................................................................................................125Prodotto di convoluzione.............................................................................................................125
Propriet del prodotto di convoluzione........................................................................................130
Trasformata di Fourier...............................................................................131Trasformata della porta................................................................................................................131
Trasformata della campana razionale..........................................................................................132
Trasformata della delta di Dirac..................................................................................................133Trasformata della costante 1........................................................................................................134
Antitrasformata di Fourier...........................................................................................................135
Propriet della trasformata di Fourier..........................................................................................136
Altre trasformate..........................................................................................................................145
Trasformata del gradino unitario.................................................................................................146
Equazioni nel dominio delle distribuzioni...................................................................................147Esempi di trasformate di Fourier.................................................................................................150
Esercizi introduttivi alle distribuzioni limitate e a crescita lenta.................................................156
Distribuzioni limitate...................................................................................................................159
Distribuzioni a crescita lenta........................................................................................................160
Treno di impulsi...........................................................................................................................161
Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche......................................................................165Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici..................................................................168
Trasformata di Laplace..............................................................................175
Trasformata di Laplace bilatera...................................................................................................175Propriet della trasformata di Laplace.........................................................................................180
Esercizi su trasformate fondamentali...........................................................................................184
Trasformata di Laplace unilatera.................................................................................................191Antitrasformata di Laplace..........................................................................................................192
Esercizi di antitrasformazione.....................................................................................................193
Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0................................................................197Considerazioni pratiche...............................................................................................................200
Teorema del valor finale..............................................................................................................201
Teorema del valore iniziale..........................................................................................................201Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali..........................................................202
Applicazione ad un modello concreto.........................................................................................203Separazione dei termini di transitorio e di regime.......................................................................206
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zx jy
x
y
Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Numeri complessiI numeri complessi si possono presentare in tre forme:
Forma cartesiana
Forma trigonometrica
Forma esponenziale
Forma cartesianaIl numero complesso in forma cartesiana si scrive nel seguente modo:
zxjy
con j si intende l'unit immaginaria, ovvero quel numero complesso che verifica la seguenteuguaglianza:
j21
Nei corsi di matematica normalmente l'unit immaginaria simboleggiata dalla lettera i , mentrenei corsi di applicazione all'elettronica si utilizza la lettera j , perch la i riservata alla
corrente. Noi ci uniformiamo a quest'ultima indicazione in quanto il nostro corso ha una forte
inclinazione alle applicazioni elettroniche.
Il vantaggio della forma cartesiana che si possono leggere immediatamente la parte reale e la parte
immaginaria del numero complesso:
Rezx
Im zy
La forma cartesiana presenta invece qualche difficolt quando se ne vogliono cercare il modulo el'argomento. Rappresentando in un piano cartesiano il numero complesso, si utilizza l'asse delle
ascisse per la parte reale e l'asse delle ordinate per la parte immaginaria e la loro composizione
individua un punto nel piano che lo rappresenta.
Il modulo di un numero complesso rappresenta
quella che la distanza del punto del piano xy
dall'origine, dunque:zx2y2 .
Invece l'argomento di un numero complesso
l'angolo formato dalla semiretta che partedall'asse delle x e ruota fino ad incontrare il
numero z
E' chiaro che se facciamo una rotazione in sensoantiorario indichiamo l'angolo positivamente, se la facciamo in senso orario, lo indichiamo
negativamente.
Come facciamo ad individuare il valore di ? Se guardiamo in figura abbiamo il triangolo
Forma cartesiana - Pag. 1
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2
2
2
Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
rettangolo Oxz. In questo triangolo l'angolo adiacente al cateto Ox ed opposto al cateto xz,quindi si ha, grazie alla trigonometria:
tg y
x
arctg
y
x
Bisogna per fare una certa attenzione nel calcolo
di , perch la funzione tangente non invertibile in tutto il suo dominio: una funzione
periodica di periodo ed essendo la funzionearcotangente l'inversa della funzione tangente
esclusivamente nell'intervallo 2 ,2 ,la formula cos com' vale solo se l'angolo compreso in tale intervallo, ovvero:
quando la parte reale del numero complesso
positiva, la formula per ricavarlo quella scritta
sopra.
Se invece l'angolo si trova fuori da questo
intervallo, ovvero:
quando la parte reale del numero complesso
negativa, bisogna aggiungere o togliere (vedifigura : la freccia indica lo spostamento necessario
per rientrare nel dominio dell'arcotangente
partendo con fuori del dominiodell'arcotangente, questo spostamento vale ).
Concludendo:
se xRe z0 arg zarctg yx se xRe z0 arg zarctg yx
- Pag. 2
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zxjy
x
y
z*x jy
Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Complesso coniugatoIl simbolo z
* rappresenta il complesso coniugato di z e si ottiene cambiando il segno della
parte immaginaria :se zx jy , z*xjy
Dal punto di vista geometrico ricavare ilcomplesso coniugato corrisponde a fare una
simmetria rispetto all'asse reale.
La forma cartesiana permette di fare agevolmente
somme e sottrazioni, ma diventa un po' pi
problematica tutte le volte che dobbiamo fareprodotti o potenze. Infatti si vede subito che nella
forma cartesiana il numero complesso corrisponde
ad un binomio, con tutte le conseguenze del caso:un prodotto porta a 4 termini, una potenza ancora
peggio.
Vediamo un esempio:
z434 j
dunque:
Re z43
Im z4
E' sempre molto importante valutare subito modulo ed argomento:
z4324 28 (osserviamo che il modulo sempre positivo)Ci vuol dire che la distanza dall'origine di z 8. E'
molto importante da comprendere: come dire che il
nostro numero complesso sta su di una circonferenza di
centro l'origine e raggio 8 (vedi figura). Calcoliamoadesso l'argomento: dobbiamo subito fare unariflessione sul segno della parte reale. Nel nostro caso
negativa per cui dobbiamo aggiungere
arg zarctg 443arctg1
3
6
7
6
Complesso coniugato - Pag. 3
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Forma trigonometricaIl numero complesso si scrive nella forma:
zcos j senQuando il numero complesso espresso in forma trigonometrica leggiamo subito il valore del
modulo ( ) e dell'argomento ( ).
E' invece necessario qualche calcolo per le parti reale ed immaginaria:
Re z cos Im z sen
Il complesso coniugato di z si ottiene cambiando il segno alla parte immaginaria oppure
cambiando il segno all'argomento:
z*cos j sencos j sen
La validit del secondo membro facilmente verificabile in quanto il coseno una funzione pari,dunque coscos ed il seno una funzione dispari, dunque sen sen .
La forma trigonometrica evidenzia il fatto che il complesso coniugato si ottiene semplicemente
cambiando segno all'angolo (infatti in questo modo si ottiene la simmetria del numerocomplesso rispetto all'asse delle x).
Vediamo un esempio.
z5
cos
4
3
j sen
4
3
Per rappresentare questo numero nel piano cartesiano osserviamo che il numero star su di unacirconferenza di raggio 5 ed il suo modulo former un angolo di
4
3con l'asse delle x.
Calcoliamo le parti reale ed immaginaria
Re5cos 43 51252Im z5sin 43 532 532
Il numero complesso pu essere cos espresso in
forma cartesiana: z5
25
32
ed il coniugato z*
5
25
32
=
5cos43 j sen43
Forma trigonometrica - Pag. 4
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z
z
z
Circonferenza
unitaria
Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Vogliamo fare adesso delle considerazioni che ci introducano alla forma esponenziale. La seguente
uguaglianza sicuramente ovvia:
zz zz
Geometricamente questo vuol dire che ogni
numero complesso pu essere scritto come il
prodotto di un numero reale z per un numerocomplesso che sta sulla circonferenza unitaria
z
z.
Abbiamo fatto questa osservazione perch per ora vogliamo occuparci esclusivamente di numeri
complessi che hanno modulo 1.
Prendiamo i seguenti numeri complessi e scriviamoli in forma trigonometrica:
z11 z1cos1 j sen1
z21 z2cos2 j sen2
e moltiplichiamoli tra loro:
z1z2cos1 cos2sen1 sen2 j cos1 sen2sen1 cos2
ricordando le formule di addizione e sottrazione
z1z2cos1 cos2sen1 sen2
cos12
j cos1 sen2sen1 cos2
sen12
risulta
z1z2cos12 j sen12
Questo un risultato estremamente interessante perch illustra che per fare il prodotto di due
numeri complessi ci siamo ricondotti a fare una somma tra gli argomenti. Vi un'analogia con laforma esponenziale:
ea ebeab
- il prodotto degli esponenziali si traduce in una somma degli esponenti;
il prodotto dei numeri complessi si traduce in una somma degli argomenti.
Questo ci porta a riflettere sulla possibilit che potrebbe esserci una forma di rappresentazione deinumeri complessi come esponenziale. In effetti cos, ma certo non pu essere una forma
esponenziale di tipo reale, perch se si volesse rappresentare ad esempio il numero complesso j :
jcos
2
j sen
2
, chiaro che una forma esponenziale del tipo
e
2 sarebbe un numero
Forma trigonometrica - Pag. 5
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
reale, dunque non andrebbe bene. Bisogner in qualche misura introdurre un oggetto nuovo.
La forma corretta la seguente in quanto l'esponente non un numero reale ma un numero
immaginario:
z1e j1
z2ej2
Questa rappresentazione traduce molto bene anche il prodotto, infatti volendo fare il prodotto di due
numeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomenti:
z1z2ej 1 e
j2ej 12
Bisognerebbe per essere sicuri che questo tipo di notazione in qualche misura coerente con tutte
le propriet degli esponenziali. Pi avanti nel corso, quando avremo gli strumenti necessari,
dimostreremo che cos. Siamo dunque giunti alla
Formula di Euleroe
jcos j sen
Questa una formula fondamentale nel nostro cammino.
Familiarizziamo un po' con essa effettuando una divisione tra due numeri complessi:
z1
z2cos12 j sin 12 =
ej1
ej2e
j 12
Utilizzando la formula di Eulero possiamo scrivere un numero complesso nel seguente modo:
z e j
La forma esponenziale una forma in cui si leggono agevolmente modulo e argomento ed
estremamente pratica per fare le operazioni di prodotto, di potenza, di radice n-sima.
Per esempio l'elevamento a potenza diviene il seguente:
zne j
n
n e jn
n e j n
EsempiVediamo un esempio pratico.
Prendiamo z333 j
e facciamone la potenza ottava.
Diciamo subito che se dovessimo eseguire questo calcolo in forma cartesiana, ci ritroveremmo a
dover fare il prodotto di un binomio con due addendi per s stesso 8 volte, ed il calcolodiventerebbe una cosa estremamente faticosa. Se invece scriviamo il numero complesso in forma
esponenziale questo diventa molto semplice:
z332
32366
Esempi - Pag. 6
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z
z8
Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
arg zarctg 333
6osserviamo che a0 , quindi non si aggiunge
per cui la potenza
z86 e j
6 8
68 ej 8
6
E' molto importante verificare cosa succede
graficamente, facendo una rappresentazionegeometrica; fare l'ottava potenza significato
elevare il modulo all'ottava potenza; ed avere fatto
una rotazione, moltiplicando l'argomento per 8.
Vediamo un altro esempio.
Ci poniamo la questione di fare la radice n-sima di z . Ricordando che fare la radice n-sima
significa fare un elevamento a potenza frazionaria, possiamo scrivere:
nzne je j
1
n
Si tratta anche in questo caso di sfruttare le propriet dell'esponenziale, tenendo per conto della
periodicit di che rimane pur sempre un angolo della circonferenza goniometrica, per cuirisulta:
nzn
eje
j
1
nej2 k j
1
n
Aggiungere un multiplo di 2 a ci fa ottenere lo stesso numero complesso. Dobbiamoquindi tenerne conto e sviluppare la radice come segue:
nzne je j
1
ne j2 k j
1
n
1
ne
j
n
2
nkj
con k
Osserviamo adesso che se se noi facciamo variare k non otteniamo infinite radici distinte, perch
k0 porta allo stesso angolo a cui porta kn , per cui sar sufficiente far variare knell'insieme k0,1,2, ..., n1
Traduciamo in un esempio numerico.Calcolare
4223 jIl primo problema che affrontiamo scrivere il numero nella forma esponenziale:
2232 2232164
arg zarctg232
3
4
3(in questo caso ao per cui si aggiunge )
possiamo scrivere:
Esempi - Pag. 7
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
4223 j4
4 e j4
3 44 e
j
3
2
4kj
Rappresentiamo nel piano complesso le radici
quarte di z . Osserviamo che hanno tutte lo
stesso modulo: 44 22 . Quello che cambia l'angolo perch dobbiamo variare il parametro k.
Osserviamo che al variare di k si ottengonosempre gli stessi 4 punti, quindi per ottenere
radici distinte si prende, come gi detto, solo
k0,1,2,3
I punti sono i vertici di un poligono regolare che
ha tanti lati quanto l'indice della radice (in
questo caso abbiamo un quadrato regolare inscritto nella circonferenza di raggio 2 .
Vediamo un altro esempio.
51
Scriviamo il numero in forma esponenziale (quando il numero cos semplice pi facile ricavarsi
modulo e argomento graficamente che far calcoli)
Il modulo 1, l'anomalia o argomento per cui
515e je j
1
5e
j
5
2
5kj
La prima radice la otteniamo mettendo k0 , ilmodulo sempre 1.
Aggiungendo multipli di2
5otteniamo gli altri
punti (che corrispondono ai vertici di un pentagono
regolare iscritto nella circonferenza unitaria).
Vediamo un altro esempio.
Esempi - Pag. 8
z0
z1
z3
z2
-1
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
z22 j
13 je
j
4
Supponiamo di essere interessati, come spesso capita, a vedere subito il modulo e l'argomento di
questo numero complesso. Questo calcolo diviene semplice se noi utilizziamo le propriet cheabbiamo appena mostrato:
z22 j13 j
e j
4 8412
arg zarg 22 j arg 13 jarge j
4 arctg 1arctg 34
4
3
4
6
Osservazione
z ej corrisponde ad una rotazione, in quanto il modulo di z non cambia, mentre l'argomento
viene moltiplicato per .
Per esempio zj porta ad una rotazione di
2di z .
Questo evidenzia una caratteristica di j , proviamo a svilupparne le potenze:
j01
j1 j
j
2
1j
3j
j41
............
Si pu vedere dal grafico che effettivamente ogni prodotto per j corrisponde ad una rotazione di
2, per cui calcolare le potenze di j diventa effettivamente semplice (si divide l'indice della
potenza per 4 e si prende il resto della divisione ...)
Propriet del modulo e dell'argomento - Pag. 10
j
-1 1
-j
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Seni e coseni complessiConsideriamo
ez
exj y
ex
ej y
e ricordando la formula di Eulero
ex
ej yex cos y j sen y
abbiamo cos potuto scrivere e elevato ad un qualunque numero complesso.
Possiamo subito osservare che
ezex
arg ezy
Abbiamo appena trattato una forma un pochino pi completa della formula di Eulero:e
zex cos y j sen y
Facciamo le seguenti considerazioni, abbiamo
ejcos j sen
iniziamo subito col dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'esponenziale
complesso pu essere visto come una combinazione lineare di coseni e seni.
Cerchiamo il complesso coniugato
ejcos j sen
e adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze, ottenendo
ejej2cos cos
eje
j
2
osserviamo che il coseno pu essere visto come una combinazione lineare di esponenziali
complessi, e questo un fatto molto importante. Facciamo adesso la sottrazione membro a membro
ejej2 j sin sen
ejej
2j
osserviamo che anche il seno pu essere espresso come combinazione lineare di 2 esponenziali
complessi. Mettere come argomento di seno e coseno un numero complesso di difficileinterpretazione (non sappiamo dire cosa significa), ma se noi sfruttiamo le uguaglianze che ci siamo
appena ricavati, possibile farlo (perch un esponenziale complesso ha significato, come gi vistoprecedentemente), dunque possiamo procedere con le seguenti definizioni:
cosze
j zej z
2definizione dicoseno complesso
sen ze
j zej z
2 jdefinizione diseno complesso
Vediamo un esempio. Abbiamo
Seni e coseni complessi - Pag. 11
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
z2 j
vogliamo calcolarne il seno:
sen2 j
ej 2 jej 2 j
2 j
ej
e2eje2
2 j
se adesso riflettiamo su quanto vale ej , notiamo che ha modulo 1 ed argomento , dunque
il numero reale -1. Lo stesso vale per ej . L'equazione diventa:
sen2 je2e2
2 j
molte volte il j a denominatore disturba, quindi lo si porta a numeratore moltiplicando e
dividendo per j :
sen2 je2e2
2 j
j
je2e2
2j
Osserviamo che il seno di un numero complesso un numero complesso.
Vediamo un altro esempio.
Calcolare sin2 j log2dobbiamo anche in questo caso ricorrere alla definizione di seno complesso:
sin2 j log2e
j
2l log2
ej
2j log2
2 j
e j
2 elog2ej
2 elog2
2 j
j 2 j1
2
2 j1
1
4
5
4
in questo caso abbiamo ottenuto un numero reale (ricordiamo che il numero reale un casoparticolare del numero complesso).
Vogliamo sottolineare con grande rilievo che il risultato un numero reale > 1. Questo fatto
sembrerebbe in contrapposizione con le normali regole del seno, ma non dimentichiamo che
abbiamo fatto il seno di un numero complesso: il modulo di un seno complesso pu essere pigrande di uno.
Seni e coseni complessi - Pag. 12
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Seni e coseni iperboliciIntroduciamo adesso le funzioni iperboliche, che con gli strumenti che abbiamo introdotto,
diventano di comprensione piuttosto semplice.
Definizione in ambito reale di seno e coseno iperbolico
senhee
2 cosh
ee
2
Definizione in ambito complesso di seno e coseno iperbolico
senh ze
zez
2cosh z
ezez
2
Possiamo osservare che cos come seno e coseno complesso sono una combinazione di esponenzialicomplessi, anche seno e coseno iperbolici complessi sono una combinazione di esponenzialicomplessi, anche se ovviamente diversa. Dunque possiamo concludere che l'esponenziale
complesso comprende dentro di s tutte queste funzioni, ovvero, attraverso opportune combinazioni
di di esponenziale complesso si ottengono le funzioni seno e coseno circolari, seno e coseno
iperbolici, complessi.
Essendoci dunque questo legame con l'esponenziale complesso, possiamo dedurre che ci sar anche
un legame tra le funzioni seno e coseno circolari e seno e coseno iperbolici.
Calcoliamo il sen j z
sen j z e
j j z ej j z
2 j ezez
2 j ezez
2 j j
jezez
2 je
zez
2 j j senh z
Abbiamo trovato un legame molto stretto tra seno complesso di z e seno iperbolico complesso di z.
Analogamente si ottengono le altre relazioni. Il quadro generale risultante il seguente:
sen jz j senh z
senh jz j senz
cos jzcosh z
cosh jzcosz
Seni e coseni iperbolici - Pag. 13
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Logaritmo complessoIl logaritmo complesso si scrive nella forma
log zSi utilizza la stessa notazione del logaritmo di un numero reale; sar il contesto a segnalarci se sitratta del logaritmo di un numero reale o del logaritmo di un numero complesso. Prendiamo come
definizione di logaritmo quella che si ottiene in modo naturale, facendo il logaritmo del numero
complesso scritto sotto forma esponenziale:
z e j per cui
log zlog e jdiventa allora abbastanza naturale definire il logaritmo di un numero complesso in modo che siano
rispettate le propriet che avevano i logaritmi dei numeri reali. E' possibile scomporre il logaritmo
di un prodotto in una somma di logaritmi:
log e jloglog e j
ricordando la periodicit dell'argomento, dobbiamo scrivere:
log e jloglog e jloglog e jk jlog j2 k jDunque grazie ai conti che abbiamo fatto possiamo dare la definizione di logaritmo di un numero
complesso
log zlog j2k j
Osserviamo il grafico.
Facendo il logaritmo, otteniamo un numero
complesso con parte reale uguale al logaritmo di
e parte immaginaria uguale a j2 k j
Vediamo che solo la parte immaginaria ad essere
periodica di periodo 2 k . Questo, si traduce nelfatto che esso star su di una retta parallela all'asse
delle ordinate (la x costante) ed apparir, partendo
da un'ordinata uguale a (con k=0) con unperiodo di 2 j . Il logaritmo ci porta dunque adinfiniti valori immaginari.
Vediamo un esempio.
log1 j 3log2 ej
32 k jlog2 j
32 k j
Logaritmo complesso - Pag. 14
2
log
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Esponenziale complessoAttraverso il logaritmo complesso si pu anche definire l'esponenziale con base complessa:
z
e logz
e logz j2 k j
Anche per l'esponenziale quando la base complessa otteniamo infiniti risultati.
Terminiamo il capitolo riguardante i numeri complessi con alcune osservazioni.
In campo complesso:
vi sono radici di numeri negativi
vi sono logaritmi di numeri negativi
seno e coseno possono avere moduli maggiori di 1
l'esponenziale complesso comprende seni e coseni
Esponenziale complesso - Pag. 15
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi
Esponenziale complesso - Pag. 16
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ex
cosx
Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi
Funzioni a valori complessi
Funzioni reali di variabile realeOccupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo per intervenire i numeri
complessi. Consideriamo
x tRee1 jtRe ete j tRe etcos tj sen tetcos t
si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che per complessa.
Qualcuno si chieder perch non abbiamo subito preso l'espressione finale et
cos t . La risposta
che nel nostro corso capiter spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, quindi molto
importante capire come una funzione reale possa
essere rappresentata da una funzione complessa.
Mostriamo il grafico della funzione cercando di
capire come un grafico di questo tipo possa essere
immediatamente percepito senza passare attraverso
lo studio di funzione.
La funzione cos t nota. Ci sono dei punti in cui
essa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri punti
ha valori che sono compresi tra -1 e 1.
L'osservazione che se noi prendiamo i punti in
cui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumer
il valore della funzione esponenziale. Possiamo
dunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t1 , che saranno ripetoi punti in cui la funzione prodotto varr e
t . Lo stesso ragionamento si pu fare per i punti in cui
cos t1 (prendendo per i valori di et , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1).
Infine nei punti in cui cos t0 la funzione prodotto star sull'asse delle x. Per tutti i valori interniavremo dei valori compresi, sar dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titolo
informativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato una modulazione in ampiezza di una
funzione periodica che ha un andamento sinusoidale.
Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perch pi indicato nelle
applicazioni matematiche.
Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numeri
complessi:
x tIm ej tIm costj sentIm cos t j sen tsent
Dunque abbiamo rappresentato la funzione sent come esponenziale complesso.
Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi
Funzioni complesse di variabile realeVediamo adesso lefunzioni a valori complessi di variabile reale.
Sia x te s t con s j costante complessa fissata;
pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numeri
complessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( ).
x tes te
j te t
ej te
tcos t j sen t
Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero
Reeste
tcos t
osserviamo che a parte le costanti e , che modificano quelle che sono le scale del nostronumero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamo
visto prima;
Imest
e tsin t
ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamo
adesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa
Modulo:
x teste t
ej te
te j te
t
ej t un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo 1
e t un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo l'esponenziale
stesso e t .
Il modulo della nostra funzione complessa dunque un esponenziale reale.
Argomento:
arg x targ e j targ e t e j t t
dunque l'argomento ha un comportamento lineare ( una retta passante per l'origine).
Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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x t
t0
Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche
Funzioni periodicheUna funzione periodica tale se si verifica la seguente uguaglianza
x tx tT
Infatti aggiungere una costante reale alla nostra variabile t, significa traslare la nostra funzione a
sinistra di T , dal momento che la funzione traslata uguale alla funzione stessa ne consegue che
la funzione periodica di periodo T . Risulta immediato osservare che se T il periodo di
una funzione, risultano essere periodi della stessa funzione anche i suoi multipli, ovvero:
x tx tk T con k
se x t non una funzione costante e T il pi piccolo numero reale positivo, per il quale
si hax
t
x
t
T
allora T dettoperiodo fondamentale o lunghezza d'onda.Vediamo un esempio.
Quello rappresentato in figura un segnale
periodico di periodo T (traslando lafunzione del periodo se ne ottiene una uguale)
Richiamiamo adesso alcuni altri oggetti che sono
importanti nella descrizione di una funzione
periodica:
T periodo
1
T f frequenza T
1
f
2
T frequenza angolare
T2
Nel caso dell'esempio avendo T si ottengono
f1
T
1
2
T
2
2
TRUCCO: nelle funzioni sinusoidali il valore della frequenza angolare corrisponde al
coefficiente della variabile t.
Funzioni periodiche - Pag.19
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x t
t0
Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche
Vediamo cosa succede raddoppiando la frequenza.
Osservando il grafico, vediamo che abbiamo
ottenuto una funzione periodica con periodo
fondamentale che esattamente uguale alla met
del precedente (per anche il vecchio periodo
rimane periodo della funzione anche se non pi
fondamentale).
Funzioni periodiche - Pag.20
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ex
cosx
Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi
Funzioni a valori complessi
Funzioni reali di variabile realeOccupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo per intervenire i numeri
complessi. Consideriamo
x tRee1 jtRe ete j tRe etcos tj sen tetcos t
si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che per complessa.
Qualcuno si chieder perch non abbiamo subito preso l'espressione finale et
cos t . La risposta
che nel nostro corso capiter spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, quindi molto
importante capire come una funzione reale possa
essere rappresentata da una funzione complessa.
Mostriamo il grafico della funzione cercando di
capire come un grafico di questo tipo possa essere
immediatamente percepito senza passare attraverso
lo studio di funzione.
La funzione cos t nota. Ci sono dei punti in cui
essa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri punti
ha valori che sono compresi tra -1 e 1.
L'osservazione che se noi prendiamo i punti in
cui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumer
il valore della funzione esponenziale. Possiamo
dunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t1 , che saranno ripetoi punti in cui la funzione prodotto varr e
t . Lo stesso ragionamento si pu fare per i punti in cui
cos t1 (prendendo per i valori di et , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1).
Infine nei punti in cui cos t0 la funzione prodotto star sull'asse delle x. Per tutti i valori interniavremo dei valori compresi, sar dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titolo
informativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato una modulazione in ampiezza di una
funzione periodica che ha un andamento sinusoidale.
Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perch pi indicato nelle
applicazioni matematiche.
Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numeri
complessi:
x tIm ej tIm costj sentIm cos t j sen tsent
Dunque abbiamo rappresentato la funzione sent come esponenziale complesso.
Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi
Funzioni complesse di variabile realeVediamo adesso lefunzioni a valori complessi di variabile reale.
Sia x te s t con s j costante complessa fissata;
pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numeri
complessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( ).
x tes te
j te t
ej te
tcos t j sen t
Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero
Reeste
tcos t
osserviamo che a parte le costanti e , che modificano quelle che sono le scale del nostronumero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamo
visto prima;
Imest
e tsin t
ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamo
adesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa
Modulo:
x teste t
ej te
te j te
t
ej t un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo 1
e t un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo l'esponenziale
stesso e t .
Il modulo della nostra funzione complessa dunque un esponenziale reale.
Argomento:
arg x targ e j targ e t e j t t
dunque l'argomento ha un comportamento lineare ( una retta passante per l'origine).
Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
Polinomi di FourierI seguenti polinomi
Pn t0k1
n
kcos k tksenk t
Pn t0k1
n
ksenk tk
Pn tkn
n
kej k t
sono sommatorie delle armoniche elementari che abbiamo appena studiato.
Osserviamo che la frequenza di ciascun addendo k volte la frequenza fondamentale, quindi
possiamo dire che la frequenza angolare di tutto il polinomio uguale a . I polinomi di Fourierhanno dunque
T periodo fondamentale
1
T f frequenza fondamentale T
1
f
2
T frequenza angolare fondamentale T
2
in k=1 e tutti gli altri addendi hanno periodo e frequenze che sono multipli di questi.
Tutte le considerazioni che abbiamo fatto per le armoniche si possono fare anche per i polinomi di
Fourier, in particolar modo vorremmo richiamare la seguente:
se kk*
con k0
allora abbiamo la piena equivalenza tra i polinomi nelle tre forme, in quanto il polinomio nella
forma complessa di fatto un polinomio reale, sono verificate perci le uguaglianze
kkk*2Rek
kj
k
k
* 2 Imk
00
Esempio 1 :onda triangolare
Consideriamo il seguente polinomio
Pn t1
2
kn , ko
n1k1
k22
ej 2k t
Polinomi di Fourier - Pag.25
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
osserviamo subito che k1k1
k22
la frequenza angolare del polinomio 2 , quindi
T2
osserviamo anche che il termine 1k1 vale -2 per k dispari e zero per k pari
Prendiamo adesso il polinomio per n = 1
P1t1
22
2ej 2t
2
2e
j 2t
molte volte comodo esprimere il polinomio in termini di seno e coseno, abbiamo
P1t1222ej 2t2
2ej 2t12 22 e
j 2 tej 2 t12 42 cos2 t
Analogamente possiamo calcolare il polinomio per n = 3
P3t1
22
92ej 6 t
2
2ej 2 t
2
2e
j 2 t2
92e
j 6 t
mettiamo in evidenza alcuni termini
P3t1
24
2cos2 t
4
2cos6 t
Vediamo i grafici.
P1t
P3t
P5t
Polinomi di Fourier - Pag.26
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
P7t
Aumentando n si accentua la vicinanza del polinomio di Fourier al segnale triangolare.
Esempio 2 : onda quadra.
Pn t kn , ko
nj
k1k1e j k t
la frequenza angolare 1, quindi
T22
Calcoliamo i polinomi
P1t2 j
ej t
2 j
e
j t
mettendo in evidenza2 j
otteniamo
P1t2 j
ej tej t2 j
2 j sent4 j
j sent
P3t2 j
3ej 3t
2 j
ej t
2 j
e
j t2 j
3e
j 3 t
P3t4
3sen3 t
Vediamo i grafici.
P1t
Polinomi di Fourier - Pag.27
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
P3t
P5t
P7t
Questa volta abbiamo un'onda quadra. Anche in questo caso, all'aumentare di n ci si avvicinasempre pi al segnale di base.
Esempio 3 : onda a dente di sega.
Pn t1 kn , ko
n1
kj e
j k t
osserviamo che , T2 , f1
2
P1t11
j e
j t1
j e
j t12
sen t
P2t11
2j e
j 2 t1
j e
j t1
j e
j t1
2j e
j 2 t11
sen2 t
2
sen t
Vediamo i grafici.
P1t
Polinomi di Fourier - Pag.28
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
P3t
P5t
P7t
Energia di un polinomio di FourierVediamo adesso cos' l'energia di un polinomio di Fourier
Pnt2
o
T
Pnt2dt=
o
T
knn
kej k t
2
dto
T
knn
kej k tkn
n
k*ej k tdt=
o
T
hn
n
h ej h tkn
n
k*ej k tdt=oT
hn
n
kn
n
hk*e
j hk tdtquando h diverso da k siamo sicuri che l'integrale zero, in quanto l'esponenziale ha proprioperiodo T. Rimane dunque solo il caso in cui h=k che porta a
Pnt2
o
T
kn
n
k2dtT
kn
n
k2
Questo risultato ci dice che l'energia di un polinomio di Fourier strettamente legata ai suoi
Energia di un polinomio di Fourier - Pag.29
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
coefficienti.
Se invece vogliamo esprimere l'energia nel caso in cui ci troviamo di fronte a polinomi di Fourier
nella forma reale sufficiente ricordare la relazione tra i coefficienti:
essendo k12 k j k e ricordando che 00 (la sommatoria comincia da 1), si ha
Pnt2T0
2T
2k1
n
k2k
2
Polinomio di Fourier di x(t)Da ci che abbiamo visto, possiamo dire che sembrerebbero esserci dei polinomi di Fourier in
qualche misura associati a delle funzioni. Vediamo in che modo questo pu essere fatto.La strada quella di cercare un polinomio di Fourier in modo che la sua differenza con il segnale x
(t) abbia un'energia minima:
x tPnt2
minima
Vediamo con qualche calcolo come fatto il polinomio di Fourier che ha questa caratteristica.
Indichiamo con
ck1
T
0
T
x tej k tdt
il coefficiente del polinomio di Fourier cercato.
Partiamo dalla definizione di energia
Pnt2
0
T
x tPnt2dt=
ricordiamo che il quadrato di una quantit complessa uguale a tale quantit moltiplicata per il
proprio coniugato
=0
T
x tPn tx tPnt*dt=
ricordiamo inoltre che il complesso coniugato di due addendi uguale al complesso coniugato di
ciascun addendo, poi sviluppiamo il prodotto
=0
T
x tPn tx t*Pn t
*dt=
=0
T
x t2Pnt2x*tPn tx tPn* tdt
adesso dobbiamo esplicitare Pnt :
Pn tkn
n
kej k t
e sostituirlo nell'integrale
Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.30
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
=0
T
x t2 dt
energia di x(t)
0
T
Pnt2dt
energia di Pnt
kn
n
k0T
x*tej k tdt
T ck*
k*
0
T
x tej k tdt
T ck
ricordando dunque le definizioni di energia di una funzione e di un polinomio di Fourier, possiamoscrivere
=xc t2T
kn
n
k2
kn
n
kT ck*k* T ck=
raccogliamo la T e dentro la sommatoria aggiungiamo e togliamo ck2ck
2:
=xc t2T
kn
n
k2kck
*k*ckck
2
kckk*ck
*
ck2
=
=xc t2Tkn
n
ck2Tkn
n
kck k*ck* =
=xc t2T
kn
n
ck2T
kn
n
kck2
Riflettiamo adesso sul risultato ottenuto. Siamo partiti dalla differenza tra le energie del segnale edel polinomio, dicendo che la loro differenza doveva essere minima.
Osserviamo che
il primo addendo l'energia di x(t), che data.
ck un coefficiente che si calcola ed ha valori ben precisi a seconda della funzione x(t). k invece un valore che possiamo cambiare, in quanto fa parte proprio del polinomio di
Fourier che vogliamo trovare.
Dunque i primi due addendi non cambiano al variare di k , perch sono legati ad x(t), mentre ilterzo addendo cambia il suo valore ed essendo un modulo lo cambia tra numeri positivi. Possiamodunque dire che la differenza minima quando minimo il terzo addendo, che minimo quando
uguale a zero. Per cui deve essere
kck1
T
0
T
x tej k tdt
Questa espressione dunque molto importante perch ci fornisce il coefficiente del polinomio diFourier di x(t). Diamo dunque un nome a questo polinomio associato ad x(t) e ricapitoliamo la sua
espressione:
Xntxn
n
ckej k t
Ricordiamo anche che siamo partiti da una funzione periodica x(t) di periodo T. Trovata questa
espressione per un segnale complesso, il passaggio ai segnali reali rispetta gli stessi rapporti che cisono per i polinomi di Fourier gi visti:
Xnta0k1
n
akcos k tbksenk t
Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.31
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
akckck*
1
T
0
T
x tejk tdt1
T
0
T
x tejk tdt1
T
0
T
x tejk tejk tdt
akckck*
2
T
0
T
x tcosk tdt , k 0
allo stesso modo
bkj ckck*
2
T
0
T
x t senk tdt k0
Ricapitolando si hanno le tre forme
Forma a x ta0k1
akcos k tbksenk t
a0c0
1
T0T
x tdt
akckck*
2
T
0
T
x tcosk tdt , k 0
bkj ckck*
2
T
0
T
x t senk tdt k0
Forma b x ta0k1
rksenk tqk
rkak2bk2
qkarctan
a
k
bk
se bk0
Forma c x tk
ckejk t
c0a01
T
0
T
x tdt
ck1
2akj bk
1
T
0
T
x tejk tdt k0 ckck*
k0
Osservazione 1Nel calcolo dei coefficienti di un polinomio di Fourier di un segnale x(t) interviene il calcolo di un
integrale tra 0 e T di una funzione periodica y(t). Fare questo integrale la stessa cosa che fare un
integrale tra t0 e t0T , come si vede dal grafico
Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.32
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier
0 T t0 t0T
Geometricamente evidente che le due aree sono uguali. Con semplici passaggi possibiledimostrarlo anche analiticamente.
Lo scopo di questa osservazione che quando noi andiamo a cercarci i coefficienti del polinomio di
Fourier, possiamo farlo nell'intervallo pi comodo.
Generalmente l'applicazione pi usata di questa osservazione la seguente:
0
T
y tdtT2
T2
y tdt
Osservazione 2
Abbiamo visto che
0x tPnt2xc t
2Tkn
n
ck2T
kn
n
kck2
Tkn
n
ck2xc t
2
Questa viene chiamata disuguaglianza di Bessele ci dice che l'energia del polinomio di Fourier
associato ad un segnale x(t) sicuramente minore o uguale all'energia del segnale stesso.
Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.33
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
Serie di Fourier
Funzioni continue a trattiUna funzione x(t) si dice continua a tratti in un intervalloI =[a,b] se continua inIeccetto che in
un numero finito di punti tia ,b e inoltre
lim x tt t
i
-
esiste finito
lim x tt t
i
+
esiste finito
limx tta+
esiste finito
limx ttb-
esiste finito
Diciamo per esempio che i segnali considerati nei paragrafi precedenti (onda triangolare, ondaquadra, onda a dente di sega, ...) sono delle funzioni continue a tratti.
Se esistono i limiti descritti sopra infatti, le funzioni, nell'intervallo I, avranno un numero finito di
discontinuit (che sono discontinuit di 1 specieovvero di tipo salto, appunto perch esistono finitiil limite destro e sinistro, anche se diversi).
Nei paragrafi precedenti ci siamo occupati di vedere cos' la differenza tra l'energia di un segnaleperiodicox(t) ed il rispettivo polinomio di Fourier. Abbiamo visto che essa
xc tXnt2xct
2Tkn
n
ck2
a partire da questo presupposto vogliamo fare la seguente riflessione: se pensassimo di prendere
degli n sempre pi grandi, cosa succederebbe dell' energia della differenza? Bene, per n che tende
all'infinito essa potrebbe tendere a zero. In questo caso (per n ) si ha l'identit di Parseval:
xct2T
k
ck2
questa identit riguarda una serie.
L'identit di Parseval si verifica se la funzione x(t) periodica e continua a tratti .
Si usa anche scrivere la seguente uguaglianza
x tk
ckej k t
nel senso della energia
Intendiamo x(t) uguale alla serie del secondo membro nel senso che la differenza tra x(t) e la
sommatoria finita tra -n ed n (che viene detta ridotta n-sima) tende a zero quando n tende a piinfinito.
Norma e prodotto scalareNon sembrerebbe molto evidente il legame con i vettori, ma c'. Vediamo in che senso. La radice
Norma e prodotto scalare - Pag.35
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
quadrata dell'energia di un segnale si chiamanorma o norma quadratica.
xct : norma quadratica
L'uguaglianza vista prima x tk
cke
j k t
che era nel senso della energia, pu dunque essere definita un' uguaglianza nel senso delle norme (setende a zero una quantit, tende a zero anche la sua radice quadrata).
Si pu dire anche che la serie di Fourier, se x(t) continua a tratti, converge in norma quadratica
a x(t).Ipotizzando adesso che (come al solito) x(t) sia periodica di periodo T, definiamo il suo prodotto
scalare con un segnaley(t) anch'esso periodico.
x t, y t0
T
x ty*tdt prodotto scalare tra due funzioni definite in T
NOTA : E' lecito mettere il coniugato diy(t) in quanto si intendey(t) come un segnale reale che pu
benissimo essere espresso come funzione di variabile complessa; beninteso che se manca la parte
immaginaria, il coniugato di un numero reale non altro che il numero reale stesso.
Se noi facciamo il prodotto scalare dix(t) con s stessa, otteniamo
x t, x t0
T
x tx*tdt
0
T
x t2
dtx t2
osserviamo dunque che c' un legame tra la norma quadratica ed il prodotto scalare: la norma
quadratica di un segnale il prodotto scalare di questo segnale per s stesso. Possiamo dunque
sfruttare questi nuovi strumenti per riprendere alcune considerazioni fatte in precedenza. Facciamo
il prodotto scalare delle seguenti armoniche elementari
ej k t, ej h t0
T
ej k t
ej h t
dt0
T
ej kh t
dt
se hk l'integrale vale 0 (essendo la funzione periodica)
se hk l'integrale vale T
dunque se le due funzioni sono uguali (h=k), il loro prodotto scalare uguale al periodo, se sonodiverse, nullo. Ricordiamo che la definizione di prodotto scalare di due vettori, dice che esso
nullo se questi sono ortogonali. Quindi, rispetto alla definizione che qui abbiamo dato di prodotto
scalare, possiamo dire che due armoniche distinte che siano diverse tra di loro,sono ortogonali .
Ricordando la formula che ci descrive il coefficiente di un polinomio di Fourier
kck1
T
0
T
x tej k tdt , la possiamo riscrivere nel seguente modo, sfruttando la definizione
di prodotto scalare appena data
kck1
Tx t, ej k t
si pu dunque interpretare il coefficiente come la proiezione della funzione x(t) sulla componente
ej k t (tale il prodotto scalare tra due vettori).
Si riesce in questo modo a costruire tutta una serie di relazioni tra i polinomi di Fourier con le stesse
regole che governano i vettori.
Norma e prodotto scalare - Pag.36
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
Traslazionisia il segnale periodico
x tx tT continuo a tratti e siano
ck1
T
0
T
x tej k tdt i suoi coefficienti e sia
x tk
ckej k t
la sua serie di Fourier.
e supponiamo di traslarlo di t0 :
x tx tt0
otteniamo, risolvendo il semplice seguente integrale (lascio al lettore il compito di farlo)
ck1T
0
T
x tej k t
dtckej k t0
e quindi la serie di Fourier traslata
x tk
ckej k t
ej k t0
Riscalamento (dilatazione, omotetia)sia il segnale
x tx tT continuo a tratti e siano
ck1
T
0
T
x tej k tdt i suoi coefficienti e sia
x tk
ckej k t
la sua serie di Fourier.
e supponiamo di riscalarlo di a , con a0
x tx a t
si osserva subito che questo significa modificare la frequenza angolare. Si ottiene, per quanto
riguarda i coefficienti di Fourier checkck
e la serie risulta essere
x tk
ckej ka t
cambia la frequenza angolare
Riscalamento (dilatazione, omotetia) - Pag.37
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
Convergenza puntuale e convergenzauniforme
Analizziamo adesso alcuni problemi riguardanti la convergenza delle serie in generale. Le due
questioni di cui vogliamo parlare sono appunto la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.
Convergenza puntualePrendiamo delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo pensare anche a dei
polinomi di Fourier, se n va da pi a meno infinito possiamo pensare a delle serie di Fourier)
ynt con n oppure n
facciamo la ridotta k-sima
S ntk0
n
ykt
e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a pi infinito
Stk0
ykt
Supponiamo adesso di avere l'intervallo I con tI , di fissare un ben preciso puntodell'intervallo dato t0 e di fare la sommatoria calcolata in t0
S nt0k0
n
ykt0
Si osserva abbiamo ottenuto una serie numerica, perch ynt0 un ben preciso numero chedipende appunto da y1 , y2 e cos via, calcolati in t0 . Allora ha senso porsi la questione di
vedere cosa succede nel limite della successione numerica che abbiamo ottenuto
limk
S nt0
Se questo limite esiste finito e vale S, viene detto somma della serie nel senso puntuale.
limk
S t0S t0k0
ykt0
Se il limite esiste finito per ogni toI , allora possiamo generalizzare il concetto e parlare diconvergenza puntuale in un intervallo
S tk0
ykt con tI
Cerchiamo adesso di portare questo discorso alle serie di Fourier. Abbiamo la serie
x tk
ckej k t
con T2
(uguaglianza sempre nel senso della energia)
se anche in questo caso fissiamo un punto t0 e andiamo a considerare il polinomio di Fourier
calcolato nel puntot
0
Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.38
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
Xnt0kn
n
ckej k t0
possiamo dire che abbiamo anche in questo caso una successione numerica, e per n che tende ad
infinito abbiamoXtXt0
se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:
x t continua a tratti in 0,T
x t regolarizzata
x 't anch'essa continua a tratti in 0,T
NOTA: Una funzione regolarizzata se nei punti di discontinuitt
i si ha la seguente propriet:
con ti0,T e limt t-
x tx ti- e lim
t t+x tx ti
+
risulta x tix ti
+x ti-
2
e se agli estremi del suo intervallo si ha
x 0+lim
t0+x t e x T
-limtT-
x t
e risultax 0x T
x 0+x T-
2
A queste condizioni la serieconverge puntualmente al segnale x(t) .
Se ci avviene l'uguaglianza
x tk
ckej k t
nel senso puntuale.
ConvergenzauniformePrendiamo anche in questo caso delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo
pensare anche a dei polinomi di Fourier)ynt con n oppure n
facciamo la ridotta k-sima
Sn tkn
n
ykt
e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a infinito
Stk
ykt
vogliamo vedere in che modo questa sommatoria si avvicina al limite.
Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.39
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
Facciamo la seguente considerazione
Se esiste una funzione S(t) per cui 0 n0 : nn0 e tI si ha
S tS ntS t
si dice che S nt per n converge a S t in modo uniforme in I.
Dunque la serie corrispondente converge in modo uniforme (o uniformemente).
Vediamo graficamente cosa vuol dire:
per tutti gli n > n0 , e tutti i S t
t0I , le ridotte S nt , devono S nt
essere comprese tra S t S t
S t e S t .
Se questo si verifica si parla di
convergenza uniforme.
Prendiamo adesso una serie di FourierXtXtT
se un punto ti punto di discontinuit per Xt , allora la serie non pu convergereuniformemente in un intorno di ti .
La convergenza uniforme dunque una richiesta di convergenza pi restrittiva della richiesta di
convergenza puntuale.
La diretta conseguenza di questo fatto sar che negli intorni dei punti di discontinuit, la serie di
Fourier produrr delle difficolt nella convergenza (questo interessante dal punto di vista
applicativo).
Se invece la funzione continua in un intervallo I e la sua derivata prima esiste ed continua atratti, allora abbiamo la convergenza uniforme.
Osservazione.
Prendiamo il coefficiente di una serie di Fourier.
ck1
TT2
T2
x tejk tdt 2
T
moltiplichiamo ambo i membri per il periodo
Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.40
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
TckT2T2
x tejk t
dt
se consideriamo k2 k
Tpossiamo scrivere
TckT2T2
x tejktdt Xk
dove X k il nostro integrale calcolato in k .
Diamo dei valori a T, per esempio
prendendo T2 e k1 k1 oppure
prendendo T10 e k1 k0,2
osserviamo che pi grande il periodo, pi piccola k .
Variando k si ottengono infiniti valori discreti tanto pi vicini quanto T maggiore.
Prendiamo adesso una funzione qualunque, non periodica ed integrabile in un intervallo I, ad
esempio una funzione x t tale che assume valore 1 nell'intervallo 1,1 e 0 fuori daquesto intervallo.
Osserviamo che seT
21 l'integrale del coefficiente si riduce al seguente
Xk11
ej
ktdt e
jkt
jk11
cosktj sinktjk 11
j cosktsinktk 11
=
sinkk sin kk2sinkk
(il coseno si semplifica da s)
Come abbiamo detto per T molto grande si pu pensare di ottenere valori discreti sempre pi
ravvicinati fino ad ottenere quasi il grafico di una funzione continua.
Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.41
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier
Possiamo dunque, operando sulle serie di Fourier, pensare di operare anche su funzioni non periodiche facendo tendere il periodo ad infinito (ottenendo cos funzioni continue nella
variabile k ) ed introducendo dunque la trasformata di Fourier, della quale ci occuperemoper pi avanti.
Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.42
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa
Funzioni di variabile complessaRiprendiamo adesso il cammino che avevamo intrapreso parlando di funzioni complesse,introducendo le
Funzioni reali di variabile complessaEsempi di funzioni di variabile complessa a valori reali sono
fz z
fz arg z
fz Re z
fz Im z
Osserviamo che in realt ci possiamo collegare alle funzioni di pi variabili, perch la variabilecomplessa equivale a 2 variabili reali. Si hanno:
fz z = x2y2
fz arg z = arctgy
x
fz Re z = x cos
fz Im z = y sin
Ragionare sulle funzioni di variabili complesse ci porta pertanto nel campo delle funzioni di pivariabili dove, ovviamente, le cose sono un po' pi complesse che su di una sola variabile. Facciamodei richiami con un paio di esempi.
Esempio.
fz 1
zacon a
Se vogliamo rappresentare questa funzionedobbiamo metterci nello spaziotridimensionale. Il piano il luogo dove si
muove la variabile z e le quote, ovvero laterza dimensione, saranno i valori che lafunzione assume al variare di z . Il graficosar dunque quello a fianco.
Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa
Facciamo un altro esempio.
fz ezexj yex ej yex
La funzione di fatto un esponenziale reale,infatti costante iny.
Funzioni complesse di variabilecomplessa
Facciamo subito alcuni esempi
fz z
fz z*
fz ez
Essendo la funzione di variabile complessa, come abbiamo gi detto non si pu pi parlare difunzione di una variabile ma il nostro discorso si traduce in funzioni di due variabili. Non si pu pidunque parlare di derivata della funzione, ma bisogna parlare di derivate parziali, o derivatedirezionali, o comunque bisogna riprendere la definizione di derivata per dare una definizione alladerivata di variabile complessa.
Vediamo in che modo possiamo ragionare sulle derivate. Parliamo di rapporto incrementale.Vediamo come si definisce il rapporto incrementale per una variabile complessa
limz0
fzz fz
z
dove con z abbiamo indicato un incremento della variabile z , a partire da un punto z0 . Sicapisce subito che non sufficiente aver fissato la lunghezza dell'incremento, per determinarne lanatura, in quanto esso stesso pu assumere una qualsiasi direzione nel piano complesso; dunque illimite dipender dalla direzione lungo la quale si prende l'incremento.
Consideriamo, per dimostrare tale asserzione, il rapporto incrementale delle funzioni di esempioprecedenti
Esempio 1.
Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa
Prendiamo la funzione
fz z*
e facciamo il limite del rapporto incrementale lungo differenti direzioni.
Ricordiamo innanzitutto che zxjy
Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( y0 ). Otteniamo
limz0y0
fzxfz
x
Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla funzione fz z*
limx0
fzx*z*
x lim
x0
z*xz*
x1
Proviamo adesso a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle y ( x0 ). Otteniamo
limz0x0
fzjyfz
jy
Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione
limy0
fzjy*z*
jy lim
y0
z*jyz*
jy1
Ci accorgiamo dunque che il limite del rapporto incrementale dipende decisamente dalla direzione
lungo la quale viene calcolato.Osservazione
limz0y0
fzz fz
z fx la derivata parziale fatta rispetto ax.
limz0x0
fzz fz
z f
jy la derivata parziale fatta rispetto ay, con la costante1j
.
I calcoli si potevano infatti fare senza fare il limite del rapporto incrementale, ma semplicemente
esprimendo la funzione complessa in forma cartesiana e derivando rispetto ad x ed y.Riprendiamo la funzione fzz*xj y e facciamone le derivate parziali (moltiplicando la
derivata parziale della y per il coefficiente1j
, pensando la funzione come una funzione di due
variabili reali in cui intervengono dei coefficienti immaginari (che sono costanti):
xj y
x1
xj y
jy1
Esempio 2.
Prendiamo la funzione
Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa
fz ez
Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( y0 ). Otteniamo
limz0y0
fzxfz
x
Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione
limx0
ezxez
x lim
x0
ez ex1x
ez
Osserviamo che abbiamo un limite di quelli fondamentali (che fa 1) moltiplicato per la costante ez .
Muoviamoci adesso lungo la direzione parallela all'asse delle y ( x0 ). Otteniamo
limz0x0
fzjyfz
jy
cio
limy0
ezjyez
jy lim
y0
ez ejy1
jy
a questo punto si potrebbe trarre subito la stessa conclusione raggiunta calcolando il precedentelimite (cio che siamo di fronte ad un limite fondamentale), ma siccome in questo casointervengono coefficienti immaginari che non erano presenti quando nei moduli precedentistudiavamo i limiti, eseguiamo qualche ulteriore passaggio facendo intervenire la formula di Eulero
limy0
ez ejy1jy
limy0
ez cosyj seny1jy
limy0
ez cos
y1jy
j seny
jy abbiamo cos due limiti fondamentali
ez 1j limy0
cosy1y
limy0
seny
y ez 0j1ezCi si accorge che la derivata parziale fatta rispetto ad x d lo stesso risultato della derivata parzialefatta rispetto a jy .
Osservazione finale.
Abbiamo visto che ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali, cambiando ladirezione di derivazione, cambia il valore del limite del rapporto incrementale, mentre sembrerebbeche ce ne siano altre per le quali, anche cambiando la direzione dell'incremento, il valore del limitedel rapporto incrementale non cambia.
Integrali di linea in campo complessoVogliamo dare significato all'integrale
fz dz
Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa
Pensiamo a fz come a una funzione decomposta in due funzioni reali di variabile reale nelseguente modo fzu x , y j v x , y
e nello stesso modo trattiamo il differenziale diz
dzdxj dyL'integrale risulta dunque essere il seguente
fz dz u x , y j v xy dxj dy =
u x , y dxv x , y dyjv x , y dxj u x , y dy =
separando la parte reale dalla parte immaginaria
u x , y dxv x , y dy j v x , y dxu x , y dy =
questi sono integrali di linea di forme differenziali e si possono semplificare se possibile
esprimere la curva , o come una funzione della solax, o come una funzione della solay, ovveronel seguente modo
: x , g x dxdx , dyg 'xdx oppure
: hy, y dydy , dxh 'ydy
Applicando la trasformazione ai nostri integrali otteniamo per esempio per il primo
u x , y dxv x , y dy x0x1
u x , g xdxv x , g x g 'xdx
quindi il nostro integrale di linea di partenza non altro che la somma di due integrali di una sola
variabile.Applichiamo ad alcuni esempi il calcolo dell'integrale di linea e facciamolo su due diverse curve, e 1 , che hanno per la caratteristica di avere in comune i punti di partenza e di arrivo.
Proviamo con z* facendo il calcolo osserviamo che z*dz1z
*dz .
Proviamo con ez facendo il calcolo osserviamo che ez
dz1 ez
dz .
Dunque ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali cambiando il cammino diintegrazione cambia il valore dell'integrale, mentre ce ne sono altre per le quali, pur cambiandoil cammino d'integrazione, il valore dell'integrale sembrerebbe non cambiare.
Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
Funzioni analiticheLe considerazioni fatte nel paragrafo precedente ci consentono di proseguire il nostro cammino con
altre considerazioni molto importanti.
Definizione 1
Supponiamo di avere fz :
se limz0
fzz fz
zesiste indipendentemente dalla direzione dell'incremento
allora si dice che la funzione fz : derivabile e si scrive
f 'z limz0
fzz fz
z
si usano anche le seguenti scritture equivalenti
f 'z D fzdf
dz
Ci sono dunque dei casi di funzione complessa in cui si pu parlare di derivata.
Definizione 2
Supponiamo di avere fz :
essa dettaolomorfain (regione connessa e regolare di )se z, f 'z (cio se in tutta la regione esiste la derivata, nel senso che abbiamo dato inDefinizione 1
Prendiamo per esempio la funzione
fz z*
abbiamo visto che d risultati differenti a seconda che noi facciamo il limite del rapporto
incrementale in una direzione parallela all'asse x o parallela all'asse y, quindi la funzione non haderivata, dunque non olomorfa.
Invece la funzione
fz ez
ha un limite del rapporto incrementale che non dipende dalla direzione (come avevamo infatti
dedotto dai conti fatti nei paragrafi precedenti) ed dunque derivabile in tutto ed iviolomorfa.
Teorema.
Funzioni analitiche - Pag.49
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
Le seguenti affermazioni sono equivalenti
1) fz olomorfa in , (cio esiste f 'z )
2) fz infinite volte derivabile ed analitica
3) fz soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann: fx
1
j fy
Facciamo qualche commento al teorema.
La condizione di olomorfia chiedeva l'esistenza della derivata prima in una certa regione delpiano complesso. Il teorema ci dice che allora fz infinite volte derivabile. Questo per noiuna grossa sorpresa, perch nello studio delle funzioni di variabile reale a valori reali, l'esistenza
della derivata prima non diceva nulla circa l'esistenza della derivata seconda, mentre per le funzioni
di variabile complessa, l'esistenza della derivata indica automaticamente che la funzione derivabile per ogni ordine ed quindi analitica (anche se dobbiamo precisare che l'uso del termine
analitica utilizzato quanto la serie di Taylor converge con un raggio di convergenza non nullo, il
teorema ci dice che olomorfia ed analiticit sono equivalenti).
La condizione 3 invece ci dice che se la derivata rispetto ad x e la derivata rispetto ad y esistono e
sono uguali, a meno del fattore moltiplicativo1
j, allora la funzione olomorfa. Questa di gran
lunga la condizione pi debole e pi semplice da verificare.
Consideriamo ad esempio la funzione
fz ez
abbiamo gi visto che
ez
xez
ez
jyez
dunque la condizione di Cauchy-Riemann soddisfatta. La funzione olomorfa e analitica.
Facciamo un breve cenno di dimostrazione.
E' evidente che2) analiticit 1) omotetia
(se esistono tutte le derivate, esiste anche la derivata prima)
1) omotetia 3) cond. di C.-R.
(se esiste la derivata prima, esistono le derivate parziali)
Dimostriamo adesso che
Funzioni analitiche - Pag.50
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
3) cond. Di C.-R. 1) omotetia
Scriviamo il differenziale della funzione fz :
df fx
dx fy
dy
e ricordando la condizione di Cauchy-Riemann
fx
1
j fy
j fx
fy
sostituiamo
df fx
dxj fx
dy fx
dxj dy fx
dz
questo ci permette di concludere che
df
dz fx
ovvero la funzione derivabile.
Rimandiamo la dimostrazione che
1) omotetia 2) analiticit
a quando faremo le serie di Taylor.
Ricordando che una funzione complessa pu anche essere vista nel seguente modo
fu x , y j v x , y
la condizione di Cauchy-Riemann pu essere cos riscritta, separando la parte reale e la parte
immaginaria di u e di v
ux
vy
vx
uy
Grazie a questa forma di scrittura possiamo fare alcune ulteriori considerazioni, prendiamo la prima
di queste equazioni e facciamo la derivata rispetto allax:
Dx ux vy
2 u
x2
2 vyx
deriviamo adesso rispetto allay la seconda equazione
Dy vxuy
2 vxy
2 u
y2
ne consegue immediatamente che
2 u
x2
2 u
y2ovvero
Funzioni analitiche - Pag.51
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
2 u
x22 u
y20 uguaglianza che si usa anche scrivere nel seguente modo
2
x2
2
y2
u0
L'operatore tra parentesi tonde viene descritto col simbolo e viene chiamato operatore diLaplace.
L'equazione di Laplace dunque
u0
e, grazie ai passaggi che abbiamo appena svolto possiamo dire che se soddisfatta la condizione diCauchy Riemann, l'equazione di Laplace risulta vera.
Quando una funzione reale di due variabili reali soddisfa l'equazione di Laplace, possiamo dire che
unafunzione armonica.
Un ragionamento analogo ci porta a dire che anche la parte immaginaria di un'equazione complessa,
che soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann, una funzione armonica.
Vediamo un esempio. Abbiamo
fz z ej z con zxj y
Ci chiediamo se una funzione analitica ed il modo pi semplice per verificarlo controllare se
soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann
fx
ej zj z e j z fjy
ej z1j
z ej zej zj z e j z
Le due derivate parziali sono uguali, dunque la condizione di Cauchy-Riemann verificata, lafunzione analitica.
Decomponiamo adesso la funzione in parte reale e parte immaginaria
fzxj y ej xyxj y ey ej xxj y ey cos xj sen x =
= x ey
cos xy ey sen x
u x , y
j y ey cos xx ey sen x
v x , y
Lasciamo allo studente l'esercizio di verificare l'uguaglianza di Cauchy-Riemann secondo gli altridue possibili procedimenti.
Formule integrali di CauchyIniziamo parlando del teorema di Cauchy.
Supponiamo di essere nel piano complesso e di avere una regione omega composta da una o picurve chiuse, semplicemente connessa (nel senso che due punti qualsiasi di questa regione possono
essere collegati tra loro da una curva tutta contenuta in omega). Diciamo inoltre che ha bordo e rappresentiamolo nel seguente modo:
Formule integrali di Cauchy - Pag.52
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
1
2
3
4
sta per bordo orientato.
Per di ciascuna di queste curve
importante dare l'orientamento: sidice che un bordo orientato
positivamente, quando percorrendoquesto bordo la regione rimane alla
sinistra del percorso.
Nel caso in figura, per avere un
bordo orientato positivamente, la
curva 1 deve essere percorsa insenso antiorario mentre le altre curve
(i buchi) devono essere percorse in senso orario.
In regioni di questo tipo vale il seguente
Teorema di Cauchy
se fz analitica in 1, allora
fz dz0
Facciamo un cenno di dimostrazione.
Abbiamo fzdz
per riuscire a comprendere meglio questo integrale lungo un percorso , bisogna esplicitareparte reale e parte immaginaria di fz , per cui
fzdz u x , y j v x , y dxj dy =
u x , y dxv x , y dyj v x , y dxu x , y dy
A questo punto, descrivendo come una funzione di x, a valori in y, (con le opportunescomposizioni della curva, se non avesse le caratteristiche di una funzione) questi integrali di linea
possono essere visti come la somma (o sottrazione) di integrali ordinari. C' per un risultato noto
che riguarda proprio gli integrali in cui compaiono solo funzioni reali, ed il seguente.
Si intendono le funzioni u e v come le componenti di un vettore, ed allo stesso modo dx e
dy , per cui l'integrando non altro che il prodotto scalare di due vettori e viene esplicitato, nelnostro caso, come segue.
Prendendo per esempio il primo integrale si ottiene
uvdxdyse le funzioni u e v sono definite in tutta la regione delimitata da e sono ivi continue ederivabili con derivata continua, allora l'integrale nullo se vero che
1 Perch ci possa essere detto necessario avere analiticit in una regione pi grande che contiene sia che ilsuo bordo.
Formule integrali di Cauchy - Pag.53
1 2
3
4
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
v
xuy
0
ma questa una delle condizioni di Cauchy-Riemann e siccome noi abbiamo supposto all'inizio che
fz analitica in siamo sicuri che verificata.Allo stesso modo pu essere trattato il secondo integrale, quindi la loro somma uguale a zero, e
questo prova il teorema di Cauchy2.
Vediamo adesso quale interesse possiamo avere per il teorema di Cauchy con un esempio
esplicativo.
Supponiamo di essere in campo complesso e di avere una regione dove fz analitica, e
supponiamo di indicare con 1 il contornodella regione. Supponiamo infine di voler fare
l'integrale su 1 di fz in dz . A
questo punto dobbiamo fare attenzione al fattoche l'integrale non nullo, in quanto la regione
non tutta analitica (il buco interno un punto
dove le propriet della funzione non sono
conosciute).
Chiamiamo 2 una circonferenza tuttacompresa dentro come quella rossa infigura, allora possiamo applicare il teorema di
Cauchy al seguente integrale
1 2 fz dz0
ma c' una propriet estremamente importante che riguarda i cammini di integrazione ordinari incampo reale. Ricordiamo che quando si doveva calcolare l'integrale
a
b
f dta
c
f dtc
b
f dt
si poteva spezzare il cammino di integrazione nella somma di due integrali.
Poich abbiamo visto che l'integrale di linea in campo complesso si riduce ad integrali ordinari in
campo reale, dove questa propriet vale, possiamo affermare che
12 fzdz1 fz dz2 fz dz0
e di nuovo in modo analogo a quello che succede per gli integrali ordinari, possiamo dire che se
scambiamo gli estremi di integrazione, cambiamo il segno all'integrale, quindi cambiando il verso di
percorrenza di 2 cambiamo il segno all'integrale, per cui
1 fz dz2 fzdz1 fz dz2 fz dz0
possiamo dunque concludere che
1 fz dz2 fz dz
La straordinaria importanza di questa conclusione sta nel fatto di verificare che fare l'integrale su
2 Evidentemente rinviando i dettagli ad un problema che classico in ambito reale e che riguarda i campi vettoriali.
Formule integrali di Cauchy - Pag.54
1
2
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
z0 , allora
fz01
2 j
fz
zz0dz
Vediamo qualche cenno di dimostrazione,
calcolando l'integrale della formula.
Prendiamo la regione (per semplicitla prendiamo senza buchi ma la questionenon modifica il ragionamento che stiamo
facendo), con il suo bordo orientato .Osserviamo subito che fare l'integrale su
, poich la regione tutta dianaliticit, la stessa cosa che fare
l'integrale su di una circonferenza di centro z0 e raggio , proprio grazie al teorema diCauchy. Cerchiamo dunque di rappresentare i punti di : prendiamo l'equazione di unacirconferenza di raggio sul piano complesso z ej ed effettuiamo una traslazione per
imporre che il suo centro sia z0 , ottenendo zz0ej
. Il suo modulo dunque
zz0 , ed il suo differenziale, derivando ovviamente il secondo membro rispetto a ,
diventa dzj ejd .
L'integrale che noi vogliamo calcolare allora diventa
fz01
2 j
0
2 fz0 ej
ejj ejd
1
2
0
2
fz0 ejd
osserviamo adesso che, proprio grazie al teorema di Cauchy, questo integrale sempre uguale,qualunque sia (purch la circonferenza di raggio stia dentro la regione ). Facendoallora il limite per che tende a zero di tutto l'integrale, continueremo ad avere lo stessorisultato, otteniamo dunque
fz01
2
0
2
fz0dfz0
22fz0
Si dimostrato quindi che l'uguaglianza valida.
Facciamo adesso una interessante riflessione che mette in evidenza l'importanza di questa formula.
Sia fz analitica in , z0 , allora possiamo dire, grazie alla formula di Cauchy,che la sua conoscenza determinata dalla conoscenza dei suoi valori nel bordo.
Riscriviamo infatti la formula utilizzando uno zeta generico e non fissato, cambiando il nome allavariabile indipendente
fz1
2 j
f
zd
quindi possiamo conoscere il valore di un generico puntoz se conosciamo la funzione sul bordo.
1 Formula integrale di Cauchy - Pag.56
z0
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
2 Formula integrale di Cauchysia fz analitica in , z0 , allora
12 j
fzzz0dz0
Se il punto esterno, il valore del nostro integrale nullo.
E' dalle formule integrali di Cauchy che noi possiamo dedurre il fatto che una funzione analitica ha
infinite derivate.
Supponiamo di avere una funzione olomorfa, condizione necessaria per la validit delle formule diCauchy, e studiamo la
Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z)Partiamo dalla prima formula integrale di Cauchyfz
1
2 j
f
zd
e deriviamo parzialmente rispetto a dx
fx
D 12 jf
xj y d 12 j
f1
xj y 2
d1
2 j
f
z 2
d
per cui
fx
1
2 j
f
z 2
d
deriviamo adesso rispetto aj dy
f
jyD 12 j
f
xj y d 12 j
fj
xj y 2
dj
2 j
f
z 2
d
per cui
fjy
j2 j
fz 2d fy
12 j
f z 2d
le due derivate parziali danno lo stesso risultato e questa uguaglianza dice che la funzione soddisfala condizione di Cauchy-Riemann.
Questo ci permette di dire che
df
dz fx
fy
e quindi
Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.57
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche
f 'z 1
2 j
f
z 2
d
Partendo adesso dall'espressione di derivata prima di fappena ottenuta, possiamo derivare ancora
ottenendo
f ' 'z 2
2 j
f
z 3
d
e se si prosegue cos, constatando che le due derivate parziali sono uguali, si giunge alla
fnz
n!
2 j
f
z n1
d
espressione della derivata n-sima, che anche la giustificazione del fatto che una funzione
complessa, se ha derivata prima, ha ogni ordine di derivata.
Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.58
8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria
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Appunti di Capuzzo Alessandro - Sviluppi in serie
Sviluppi in serie
Sviluppi in serie di TaylorSia fz analitica in , z0 .
Costruiamo la circonferenza centrata in z0 , in modo tale che sia tutta contenuta in edabbia raggio . Abbiamo dimostrato nelcapitolo precedente che la funzione fz ha infinite derivate in ogni punto di .
Dimostriamo adesso che sotto queste ipotesi
vale la seguente
z :zz0 fz n0
anzz0n
dove anfnz0
n!
Queste sono potenze con esponente positivo e si chiamano serie di Taylor e c' una perfetta analogia
con le serie di Taylor gi studiate in ambito reale (al posto della z c'era lax). E' importante per lostudente imparare ad esplicitare ( bene farlo spesso le prime v
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