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SIMULACION DEYACIMIENTOS: Principios,Conceptos y Construcción de
Mallas
Autores:
JAIRO ANTONIO SEPULVEDA GAONA, MSc., y
FREDDY HUMBERTO ESCOBAR MACUALO, Ph.D.
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Jairo Antonio Sepúlveda, MSc. y Freddy Humberto Escobar, Ph.D.
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DEDICATORIAS
A mi esposa Sandra Elena, a mis hijosJairo Hernán y María José, y a mispadres Tobías y Gabriela
Jairo
A mi esposa Matilde, a mis hijosJennifer Andrea y Freddy Alonso, y amis padres Sotero (QEPD) y Delfina(QEPD)
Freddy
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Jairo Antonio Sepúlveda, MSc. y Freddy Humberto Escobar, Ph.D.
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INTRODUCCION
Simulación de Yacimientos es un texto universitario dirigido a estudiantes de pregrado ypostgrado en Ingeniería de Petróleos que reune las experiencias y los conocimientos que losautores han adquirido a lo largo de sus carreras docentes y de sus estudios de postgrado. Eltexto, dirigido a estudiantes de pregrado y posgrado en Ingeniería de Petróleos, consta de
quince unidades que tratan de resaltar los aspectos más importantes de la Simulación deYacimientos, una ciencia que se encuentra en su mayor auge, dada la necesidad de describirlo más exactamente posible el comportamiento de un yacimiento de hidrocarburos.
Se presentan los conceptos fundamentales de matemáticas, física e ingeniería deyacimientos requeridos para desarrollar un simulador de un yacimiento al igual que lametodología para llevar a cabo un estudio de simulación de yacimientos numérica yanalíticamente. El texto menciona algunos conceptos modernos considerados en laactualidad en el área, relacionados principalmente con los métodos de construcción demallas.
Las primeras cinco unidades dan la clasificación de los simuladores, tipo de modelos,enmallado, errores en la información requerida para un estudio de simulación, ajustehistórico y efectos de orientación de la malla. Las unidades seis, siete y ocho dan losconceptos fundamentales y las bases matemáticas de la ecuación de difusividad,clasificación de las ecuaciones en diferencias y problemas de valores de frontera. De launidad nueve a la quince, se estudia el tratamiento numérico de las ecuaciones de flujo aligual que los esquemas que se han introducido en la literatura para resolver máseficientemente los problemas de flujo en el medio poroso. Allí se consideran los métodospara resolver las ecuaciones algebraicas resultantes de la aplicación de las diferenciasfinitas.
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CONTENIDO
CONTENIDO.........................................................................................................................4UNIDAD 1 ............................................................................................................................. 9INTRODUCCION..................................................................................................................91.1. ANTECEDENTES..........................................................................................................91.2. DEFINICION ................................................................................................................ 101.3. BREVE HISTORIA DE LA SIMULACION................................................................101.4. ASPECTOS GENERALES...........................................................................................121.4.1. Definición y Objetivos ............................................................................................... 121.4.2. Utilidad de la Simulación ........................................................................................... 131.4.3. Ajuste de Simulador con la Historia del Yacimiento ................................................. 131.4.4. Resultados de una Simulación....................................................................................14
1.5. ETAPAS PARA DESARROLLAR UN MODELO ..................................................... 141.6. COMO TRABAJA UN MODELO ............................................................................... 15UNIDAD 2 ........................................................................................................................... 18INFORMACIÓN REQUERIDA PARA UTILIZAR UN SIMULADOR ........................... 182.1. INTRODUCCIÓN.........................................................................................................182.2. DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL YACIMIENTO............................................................ 182.3. MECANISMOS DE DESPLAZAMIENTO ................................................................. 192.4. PROPIEDADES PETROFÍSICAS ............................................................................... 192.5. PROPIEDADES PVT DE LOS FLUIDOS...................................................................202.6. INFORMACION ADICIONAL....................................................................................202.6.1. Datos de Producción y de Relación de Flujo............................................................. 20
2.6.2. Estado Mecánico de los Pozos ................................................................................... 212.6.3. Aspecto Económico....................................................................................................222.6.4. Mapas ......................................................................................................................... 232.7. PERMEABILIDADES RELATIVAS...........................................................................232.7.1. Obtención de Permeabilidades Relativas ................................................................... 242.8. INTRODUCCION DE LOS DATOS AL SIMULADOR ............................................ 242.8.1. Representación Polinomial.........................................................................................242.8.2. Tablas de Valores ....................................................................................................... 26UNIDAD 3 ........................................................................................................................... 29CLASIFICACION DE LOS SIMULADORES ................................................................... 293.1. INTRODUCCION.........................................................................................................29
3.2. TIPO DE YACIMIENTO..............................................................................................303.3. APROXIMACIONES TRADICIONALES DE MODELAMIENTO .......................... 313.3.1. Métodos analógicos....................................................................................................313.3.2. Métodos experimentales.............................................................................................313.3.2.1. Modelos análogos....................................................................................................313.3.2.2. Modelos físicos........................................................................................................313.3.3. Métodos matemáticos.................................................................................................32
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3.4. NIVEL DE SIMULACION...........................................................................................323.5. SIMULADOR ............................................................................................................... 323.5.1. Simulador de gas ........................................................................................................ 333.5.2. Simulador geotérmico ................................................................................................ 33
3.5.3. Simulador de aceite negro .......................................................................................... 333.5.4. Simulador de recuperación química ........................................................................... 343.5.5. Simulador de recuperación con miscibles .................................................................. 343.5.6. Simulador de recuperación térmica............................................................................343.6. TIPO DE FLUIDO DEL YACIMIENTO..................................................................... 353.6.1. Simulador monofásico................................................................................................353.6.2. Simulador bifásico......................................................................................................353.6.3. Simulador trifásico ..................................................................................................... 363.6.4. Simulador composicional ........................................................................................... 363.7. NUMERO DE DIMENSIONES ................................................................................... 363.7.1. Simulador de cero dimensiones..................................................................................37
3.7.2. Simulador de una dimensión ...................................................................................... 383.7.3. Simulador de dos dimensiones ................................................................................... 393.7.2.1. Simulador Areal.......................................................................................................413.7.3.2. Simulador de sección transversal ............................................................................ 413.7.2.3. Simulador de dos dimensiones en forma radial....................................................... 413.7.4. Modelo de tres dimensiones ....................................................................................... 413.8. GEOMETRIA................................................................................................................423.9. ENMALLADO MODERNO.........................................................................................433.10. USO DE LA CLASIFICACION.................................................................................43UNIDAD 4 ........................................................................................................................... 47EXACTITUD DE LAS SOLUCIONES .............................................................................. 47
4.1. ERROR DE REDONDEO............................................................................................. 484.2. ERROR DE BALANCE DE MATERIA (EBM)........................................................... 494.3. ERRORES NO LINEALES........................................................................................... 504.4. ERROR DE INESTABILIDAD .................................................................................... 504.5. ERRORES DE TRUNCAMIENTO .............................................................................. 514.6. DISPERSIÓN NUMÉRICA.........................................................................................524.7. PROBLEMAS DE ORIENTACIÓN DE LA MALLA.................................................. 57UNIDAD 5 ........................................................................................................................... 60AJUSTE HISTORICO ......................................................................................................... 605.1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................605.2. COMPARACIÓN DE LA PRESIÓN DEL SIMULADOR CON LOS DATOS DEPRESIÓN DE RESTAURACIÓN ....................................................................................... 605.3. PRESIÓN DE AJUSTE HISTÓRICO ......................................................................... 635.4. PRONÓSTICO DEL COMPORTAMIENTO ............................................................... 69UNIDAD 6 ........................................................................................................................... 70PRINCIPIOS BÁSICOS ...................................................................................................... 706.1. INTRODUCCIÓN.........................................................................................................706.2. TIPOS DE ENERGÍA EN EL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS........ 706.2.1. Energía gravitacional..................................................................................................71
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6.2.2. Energía de Presión......................................................................................................716.3. POTENCIAL DE FLUJO, Φ.........................................................................................736.3.1. Potencial de flujo para líquidos y para gases..............................................................746.3.2. El Potencial para Columnas de Líquidos y Gases......................................................76
6.4. NOTACIÓN VECTORIAL ............................................................................................ 786.5. LEY DE DARCY..........................................................................................................806.5.2. Ley General de Darcy (Anisotropía) ............................................................................ 816.5.3. Flujo Multifásico ......................................................................................................... 826.6. EFECTOS DE LA PRESION CAPILAR....................................................................... 836.7. FUERZAS DE FLUJO EN EL YACIMIENTO ............................................................. 856.8. ECUACION DE CONTINUIDAD............................................................................... 866.9. REGLA DE LA CADENA ........................................................................................... 886.10. LINEALIDAD.............................................................................................................886.11. ECUACION DE DIFUSIVIDAD ............................................................................... 896.12. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES DE
SEGUNDO ORDEN ............................................................................................................ 926.13. COMPARACION DE LA ECUACION DE DARCY CON LA ECUACION DECALOR.................................................................................................................................926.14. PROBLEMAS CON VALOR EN LAS FRONTERAS.............................................. 946.14.1. Sistema Radial Infinito (Rata constante)..................................................................946.14.2. Sistema Radial Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable) ............................. 966.14.3. Sistema Lineal Infinito (rata constante). .................................................................. 996.14.4. Sistema Lineal Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable)............................ 1006.14.5. Sistema Lineal Transitorio. .................................................................................... 1026.14.6. Sistema Lineal Transitorio (Frontera izquierda cerrada)........................................ 104UNIDAD 7 ......................................................................................................................... 106
ECUACIONES FUNDAMENTALES...............................................................................1067.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD............................................................................. 1067.2. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............................................................................... 1077.3. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS SEGÚN SU COMPRESIBILIDAD............ 1087.4. ECUACIONES DE ESTADO.....................................................................................1087.4.1. Ecuación de Estado para Fluido Incompresible ....................................................... 1097.4.2. Ecuación de Estado para Fluido Ligeramente Compresible..................................... 1097.4.3. Ecuaciones de Estado para Fluidos Compresibles ................................................... 1107.5. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA DIFERENTES TIPOS DE FLUIDOS ...... 1117.5.1. Ecuación de Difusividad para Fluido Incompresible ............................................... 1117.5.2. Ecuación de Difusividad para Fluidos Ligeramente Compresibles ......................... 112
7.5.3. Ecuación de Difusividad para un Gas Real .............................................................. 1147.6. CONDICION INICIAL Y CONDICIONES DE FRONTERA .................................. 116UNIDAD 8 ......................................................................................................................... 119ECUACIÓN DE FLUJO PARA DOS O MÁS FASES.....................................................1198.1. INTRODUCCION.......................................................................................................1198.2. FLUJO DE FLUIDOS SIN CAMBIO DE FASES..................................................... 1208.3. ECUACIONES DE FLUJO MULTIFASICO COMPOSICIONAL........................... 1218.3.1. Ecuación De Continuidad Del Componente I ......................................................... 122
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8.4. MODELO COMPOSICIONAL SIMPLIFICADO ..................................................... 1278.4.1. Modelo de Aceite Negro o Fluidos tipo β ..............................................................1278.4.2. Ecuaciones de Flujo de Fluidos Tipo Beta (β) ......................................................... 127UNIDAD 9 ......................................................................................................................... 137
MODELO NUMÉRICO UTILIZANDO DIFERENCIAS FINITAS................................1379.1. INTRODUCCION.......................................................................................................1379.2. ECUACIONES DEL SIMULADOR .......................................................................... 1379.3. PROCESO DE DISCRETIZACION...........................................................................1389.4. POLINOMIO DE TAYLOR GENERADO POR UNA FUNCION...........................1399.5. DIFERENCIAS FINITAS...........................................................................................1409.5.1. Aproximaciones a la primera derivada.....................................................................1419.5.2 Aproximaciones a la segunda derivada..................................................................... 1459.5.3 Aproximación de términos no - lineales................................................................... 146UNIDAD 10 ....................................................................................................................... 149ESQUEMA DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO (LINEALES).......... 149
10.1 ESQUEMA DE SOLUCION EXPLICITO.............................................................. 14910.2. ESQUEMA DE SOLUCION IMPLICITO .............................................................. 15010.3. ESQUEMA DE CRANK - NICHOLSON................................................................15410.4 EL CONCEPTO DE TRANSMISIBILIDAD EN LOS ESQUEMAS DESOLUCION........................................................................................................................154UNIDAD 11 ....................................................................................................................... 161APROXIMACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE LAS ECUACIONES DE FLUJODE UN SOLO FLUIDO.....................................................................................................16111.1. PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES...................................................................16111.2. ACOPLAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA EN LASECUACIONES EN DIFERENCIAS ................................................................................. 163
UNIDAD 12........................................................................................................................166CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL MODELO NUMERICO.............................16612.1. ERRORES................................................................................................................. 16612.2. ESTABILIDAD.........................................................................................................16612.2.1. Análisis de Von Newmann...................................................................................16712.3. CONVERGENCIA....................................................................................................17012.4. SISTEMA DE CUADRICULA DE LA MALLA.....................................................17012.5. FLUJO MONOFASICO............................................................................................17112.5.1. Flujo en Serie (Discontinuidad Vertical)................................................................17112.5.2. Flujo en Paralelo (Sistema Estratificado)...............................................................17312.5.3. Funciones de Presión: f (p) .......................................................................................175
UNIDAD 13 ....................................................................................................................... 176TIPOS DE MALLAS ......................................................................................................... 17613.1. MALLA DE NODOS DISTRIBUIDOS (CARTESIANAS)....................................17613.2. MALLA DE BLOQUES CENTRADOS (CARTESIANAS)...................................17713.3. MALLAS NO- UNIFORMES (COORDENADAS CILINDRICAS, FLUJORADIAL)............................................................................................................................17813.3.2. Malla de Bloques Centrados: (Radial).................................................................... 183
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UNIDAD 14 ....................................................................................................................... 185SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS................................ 18514.1. INTRODUCCION.....................................................................................................18514.2. METODOS DIRECTOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRAICAS................................................................................................................ 18614.2.1. Inversión de Matriz.................................................................................................18614.2.2. Regla de Cramer.....................................................................................................18614.2.3. Método de Eliminación de Gauss: ∆Sup. .................................................................18714.2.4. Método de Gauss – Jordan ..................................................................................... 19014.2.4.1. Errores en el Método de Gauss – Jordan.............................................................19114.2.5. Descomposición Matricial......................................................................................19114.3. METODOS ITERATIVOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONESALGEBRAICAS................................................................................................................ 19214.3.1. Método de Jacobi....................................................................................................19314.2.1.1. Convergencia del método de Jacobi....................................................................197
14.2.2. Método de Gauss - Seidel.......................................................................................19714.2.3. Método de Relajación.............................................................................................19914.3. ORDENAMIENTO DE LAS ECUACIONES (NUMERACION DE BLOQUES) .20114.5. METODOS DE DIRECCIÓN ALTERNANTE Y METODOS AFINES................ 20814.5.1. ADIP (Alternating Direction Implicit Procedure) – Método de Peaceman yRachford ............................................................................................................................. 20814.6. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO - LINEALES: ..................... 21614.5.1. Caso 1: Funciones de una sola Variable.................................................................21614.5.2 Caso II: Dos ecuaciones no-lineales con dos Incógnitas......................................... 21814.6.3. Newton - Raphson para la Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales....... 21914.5.3.1 Flujo Unidimensional de un Fluido: 1F - 1D. Ecuación en Diferencias Finitas .. 221
14.6.3.2 Métodos de Linealización.....................................................................................23114.7. ALGORITMO DE THOMAS...................................................................................23314.8. ECUACION DE BALANCE DE MATERIA: EBM................................................237UNIDAD 15 ....................................................................................................................... 239CAUDALES Y PRESIONES DE POZOS.........................................................................23915.1. ECUACIONES PARA POZO.................................................................................. 23915.2. ECUACIONES DE PEACEMAN.............................................................................. 23915.2.1. Caida de presión (Drawdown) Implícito .................................................................. 24015.2.2. Caudal Especificado................................................................................................. 24115.2.3. P wf Especificada ...................................................................................................... 24115.3. COMPARACIÓN DE PRESIONES SIMULADAS CON DATOS DE
RESTAURACION DE PRESION ...................................................................................... 241NOMENCLATURA...........................................................................................................245SUBÍNDICES Y SUPERÍNDICES ................................................................................... 246BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................ 248
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UNIDAD 1
INTRODUCCION
1.1. ANTECEDENTES
La explosión electrónica en las últimas dos décadas ha transformado la simulación deyacimientos de algo inaccesible y oculto en una herramienta muy importante que, entremuchas cosas, le permite al ingeniero tener un mejor entendimiento de la dinámica del flujode fluidos en yacimientos muy complejos y las características de la dinámica del flujo de
fluidos en cercanías al pozo, la interacción del pozo (horizontal, vertical o desviado) con elyacimiento, el modelamiento adecuado de las estructuras geológicas, fallas ypinchamientos y la complejidad de la caracterización del yacimiento.
Los simuladores numéricos de yacimientos se usan muy ampliamente ya que permitenresolver problemas que no se pueden resolver por otros medios. Aunque recientemente laaplicación de métodos semianalíticos, como el de las líneas de flujo ( streamlines) hantomado auge, especialmente para simular yacimientos estratigráficamente complejos. Suversatilidad se debe a que utilizan menor esfuerzo de cómputo, fundamentalmente radicaen el desacoplamiento del problema de flujo de fluidos de 3D a 1D.
El potencial de la simulación arrancó a finales de los 40’s. El compromiso era aunaresfuerzos en el análisis numérico y el desarrollo de métodos prácticos de cálculo.Inicialmente, los primeros simuladores fueron lo suficientemente grandes para justificarestudios costosos y la necesidad de contar con un comportamiento detallado a mediano olargo plazo. Esto, por supuesto, convirtió la simulación en una herramienta indispensableen el manejo de los yacimientos.
Anteriormente para calcular la recuperación de hidrocarburos, por ejemplo, se utilizabanmétodos de balance de materia como los de Schilthuis, Tarner, Muskat, Pirson y Tracy enlos cuales se considera al yacimiento como un tanque con propiedades promedio, tanto depresión como de propiedades petrofísicas y PVT de los fluidos. Sin embargo, esta
suposición de homogeneidad a lo largo de todo el yacimiento, aunque se ha demostrado quepuede ser valida, muchas veces no existe, por lo cual se pensó en dividir el yacimiento enuna serie de bloques o celdas, asignándole a cada una de ellas propiedades promedio yaplicar la ecuación de balance de materia para cada bloque, acoplado a la ecuación deDarcy que es una ecuación de flujo que permite determinar la interacción entre los bloques.A ésto, es decir, el dividir el yacimiento en una serie de bloques para su estudio se leconoce en forma general como simulación y los aspectos nuevos que presenta es que, como
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puede fácilmente suponerse, se requiere de una gran cantidad de cálculos (hay que utilizarbalance de materia en cada bloque) por lo que se hace indispensable el uso de unacomputadora para llevarlos a cabo.
Lógicamente el primer problema que surge es obtener la información necesaria para cadabloque, lo cual se desconoce y una vez estimado continúa tendiendo cierto grado deincertidumbre. Sin embargo, suponiendo que se pueda conseguir dicha información, sinlugar a dudas, esta es la mejor manera de llevar a cabo el estudio de un yacimiento cuandoéste no es homogéneo. Con ello no se quiere decir que esto sea lo mejor o deba deaplicarse indistintamente a cualquier problema, pues la experiencia ha demostrado que elmétodo de balance de materia simplificado, bien aplicado, en determinados casos puedeproporcionar resultados acertados y económicos.
Actualmente, la disponibilidad de computadores y el enorme progreso que ellos han venidoteniendo recientemente, hace de la simulación un instrumento práctico en la toma de
decisiones y planeación durante la vida de un yacimiento.1.2. DEFINICION
La simulación de yacimientos es una ciencia que combina la física, la matemática, lageología, la ingeniería de yacimientos y la programación de computadores para desarrollarherramientas que pronostiquen el comportamiento de los yacimientos de hidrocarburos bajodiferentes condiciones de operación.
Simular quiere decir “dar la apariencia de”. Luego, esta ciencia es indispensable en virtuda que se requiere obtener predicciones exactas del desarrollo de un yacimiento. Dicha
necesidad nace del hecho que un proyecto de recuperación de un campo de hidrocarburosinvolucra una inversión de cientos de millones de dólares y presenta varios riesgos queestán asociados con el desarrollo seleccionado y por tanto se precisa la evaluación yminimización de dichos riesgos. Los factores que contribuyen al riego incluyen:
• Complejidad del yacimiento debido a las propiedades de heterogeneidad y anisotropíade las rocas,
• Variaciones regionales del flujo de fluidos y características de las curvas depermeabilidades relativas,
• Complejidad del mecanismo de recobro de hidrocarburos,• Aplicabilidad de otros métodos predictivos limitados e inapropiados.
El último factor es el único controlable por el ingeniero pero requiere experticia y prácticaadecuada.
1.3. BREVE HISTORIA DE LA SIMULACION
Prácticamente la simulación de yacimientos se ha venido empleando desde los inicios de la
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ingeniería petrolera, es decir, hacia 1940. Antes de 1960, los cálculos usados para predecirel comportamiento del yacimiento -pronosticar la recuperación o comparar alternativaseconómicas entre diversos métodos de recuperación- consistían en su mayoría de métodosanalíticos tales como: el método de balance de materia o simulador de cero dimensiones y
el método de Buckley-Leverett o modelo de una dimensión.El termino “ simulación” se hace común a los principios de 1960, refiriéndose con él amétodos de predicción desarrollados en programas de computadoras relativamentesofisticados. Dichos programas representaban un mayor adelanto debido a que permitían lasolución de un conjunto de ecuaciones expresadas en diferencias finitas que describían flujomultifásico a través de un medio poroso heterogéneo en dos y tres dimensiones. Esteadelanto se hizo posible gracias a la evolución tan rápida que tuvieron las computadoras ysobretodo el desarrollo de métodos numéricos capaces de resolver grandes sistemas deecuaciones en diferencias finitas.
Durante los años 60´s, los esfuerzos de la simulación fueron dedicados en gran medida alos problemas de dos fases (gas y agua) y, en tres fases, así como modelos de aceite negro.La simulación de métodos de recuperación se limitaba esencialmente a los problemas deagotamiento natural y de mantenimiento de presión. Con esto era posible el desarrollo deun modelo de simulación único, capaz de dirigirse a la mayoría de los problemas deyacimientos que se tenían. Este concepto de un modelo general siempre ha sido atractivodebido a que significa reducción en el costo de su preparación y de su uso y,potencialmente, en el costo del desarrollo del modelo y de su mantenimiento.
Sin embargo, durante los años 1970´s el panorama cambió radicalmente. El aspectoeconómico motivó a que se buscara la forma de obtener una mayor recuperación,
llevándose a efecto proyectos de pruebas de campo -pruebas piloto- encaminadas alestudio de procesos de recuperación mejorada. Esto condujo a la simulación de nuevosprocesos que iban más allá del depresionamiento convencional y del mantenimiento depresión, tales como la inyección de miscibles, la inyección de vapor, la inyección deproductos químicos y la combustión in-situ. Con esto, al manejo relativamente cómodo dedos componentes hidrocarburos (gas y aceite) en flujo simple inmiscibles, había queagregarle entonces la influencia de la temperatura, agentes químicos y los efectos delcomportamiento complejo del equilibrio entre fases. La proliferación que tuvieron estosmétodos de recuperación en los años 1970´s motivo la orientación del concepto de modeloúnico o general hacia modelos individuales desarrollados para representar cada una de estasnuevas técnicas.
Las investigaciones realizadas durante este tiempo, dieron como resultado un avancesignificativo en la formulación de modelos de simulación y de métodos numéricos para lasolución de sistemas de ecuaciones. Estos avances permitieron simular procesos derecuperación de lo más complejo y/o reducir el costo de tiempo del computador.
En la actualidad el enfoque de la simulación es el de afinar los avances que se han obtenidoy volver a tender hacia un simulador general aplicable a todos o a la mayoría de los
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procesos de recuperación que interesen. El éxito depende en gran parte, de la obtención deecuaciones de estado que representen el comportamiento PVT de los componentes de unsistema de fluidos en tres fases bajo un rango de presiones y temperaturas bastante amplio.Aunado a ésto, se vienen desarrollando métodos de enmallado más eficaces que permitan
capturar con más exactitud los detalles locales del medio poroso y de heterogeneidadesnormalmente halladas en un yacimiento. Tal es el caso, de refinamiento de mallasconvencionales para describir mejor el pozo dentro del yacimiento, o las nuevas mallasPEBI –Bisección Perpendicular- que permiten modelar más realísticamente los procesosintrincados de flujo dentro de una fractura, pozo horizontal, o la caracterización adecuadade fallas, lentes, y discontinuidades.
1.4. ASPECTOS GENERALES
1.4.1. Definición y Objetivos
La simulación de yacimientos es un proceso mediante el cual el ingeniero con la ayuda deun modelo matemático, integra un conjunto de factores para describir con cierta precisión elcomportamiento de procesos físicos que ocurren en un yacimiento.
Básicamente, un modelo matemático de simulación de yacimientos, consiste en un númerodeterminado de ecuaciones que expresan el principio de conservación de masa y/o energía,acopladas con ecuaciones representativas de flujo de fluidos, temperatura y/o laconcentración de estos fluidos a través de medios porosos. Dichas ecuaciones sonecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales, su solución es posibleúnicamente en forma numérica y de manera discreta, es decir, en un número de puntospreseleccionados en tiempo y en espacio y no de una manera continua. La no linealidad de
las ecuaciones obedece a lo siguiente:• La heterogeneidad en el yacimiento.• La relación no lineal entre la saturación con la presión capilar.• Las propiedades PVT de los fluidos son funciones no lineales de la presión,
composición y temperatura.
Los modelos matemáticos requieren el uso de un programa de computo debido a lacantidad de cálculos tan grande que se realizan al efectuar una simulación.
El objetivo primordial al hacer uso de la simulación es predecir el comportamiento de un
determinado yacimiento y con base a los resultados obtenidos, optimizar ciertascondiciones para aumentar la recuperación. Para ello se requiere de la experiencia y buen juicio del ingeniero para decidir cuando es preciso utilizar un modelo y que tipo de modeloes el mas conveniente en cada caso; así como evaluar de una manera apropiada tanto losdatos que se van a utilizar en la simulación como los resultados que se obtengan de ella. Laselección del modelo a utilizar, además del aspecto económico, está en función de lo que sedesea simular y de la información con que se cuente para realizar la simulación, pero una
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regla general es utilizar el modelo más simple capaz de resolver el problema planteado.
1.4.2. Utilidad de la SimulaciónLa simulación de yacimientos constituye la herramienta más poderosa con que cuenta elingeniero siempre y cuando la geología y las propiedades de los fluidos están propiamentecaracterizados y el modelo matemático de simulación ha sido probado y calibradoadecuadamente. Mientras que físicamente el yacimiento puede producirse una sola vez y lomás probable es que no sea en la forma más adecuada, dado que un error cometido en elproceso afectará cualquier cambio subsiguiente, el modelo permite “producir” unyacimiento varias veces y en muy diferentes maneras, con lo cual se pueden analizar variasalternativas y seleccionar el mejor escenario. El observar el comportamiento del modelobajo diferentes condiciones de operación, ayuda a seleccionar un conjunto de condiciones
de producción óptimas para el yacimiento. Más específicamente, con la ayuda de lasimulación, se puede hacer lo siguiente:
• Conocer el volumen original de aceite.• Tener una buena idea del movimiento de los fluidos dentro del yacimiento.• Determinar el comportamiento de un campo de aceite bajo diversos mecanismos de
desplazamiento, como puede ser: la inyección de agua, la inyección de gas, eldepresionamiento natural o el uso de algún método de recuperación mejorada.
• Determinar la conveniencia de inyectar agua en un yacimiento de aceite por los flancosen lugar de utilizar un patrón determinado de pozos inyectores o viceversa.
• Optimizar los sistemas de recolección.
• Determinar los efectos de la localización de los pozos y su espaciamiento. De estamanera desarrollar un campo con base en una información limitada, pudiéndosedeterminar donde perforar nuevos pozos.
• Estimar los efectos que tiene la rata de producción sobre la recuperación.• Calcular la cantidad de gas que se obtiene de un número determinado de pozos
localizados en puntos específicos.• Definir valores de parámetros en el yacimiento, para llevar a cabo estudios económicos.• Obtener la sensibilidad de los resultados o variaciones en las propiedades petrofísicas
del yacimiento o las propiedades PVT de sus fluidos cuando no son bien conocidas.• Realizar estudios individuales de pozos.• Conocer la cantidad de gas almacenado.
• Hacer un programa de producción.• Simular un proceso físico específico: resultados de una inyección de agua, una prueba
de presión, etc.
1.4.3. Ajuste de Simulador con la Historia del Yacimiento
Si la información con que se cuenta para llevar a cabo una simulación es amplia y de
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calidad, el objetivo de la simulación tenderá a satisfacerse y la predicción delcomportamiento será mejor. Si por el contrario, la información es incompleta o no muyconfiable, los simuladores solo podrán utilizarse para comparar semicuantitativamente losresultados al explotar el yacimiento de diferentes maneras. De cualquier forma, la
apropiación que proporciona el simulador puede mejorarse mediante el ajuste de éste amedida de que se vaya obteniendo mayor información del yacimiento.
Lo primero que se hace para ajustar el simulador con la historia del yacimiento, es calcularel comportamiento de éste usando la mejor información disponible. De esta manera losresultados obtenidos de la simulación se comparan con aquellos obtenidos del campo, éstoes, con los valores reales. Si los resultados al compararlos no coinciden en una manerasatisfactoria, se hacen modificaciones en los datos utilizados y se efectúan otras corridas delsimulador hasta que se alcanza la aproximación deseada en los resultados. Cuando éstoocurre, el modelo ya puede ser utilizado para predecir con cierto grado de precisión, elcomportamiento del yacimiento. Es importante notar que dicho comportamiento está
influenciado por muchos factores tales como: permeabilidades, distribución desaturaciones, espesores de las capas, porosidades, permeabilidades relativas, etc. que nuncase conocen con exactitud a lo largo de todo el yacimiento. De esta forma, a lo que enrealidad llega el ingeniero es a una combinación de estas variables (que da como resultadoun ajuste), la cual no es única, por lo que dicha combinación no puede representar de unamanera precisa las condiciones del yacimiento. Por esto se debe tener en cuenta que alutilizar un simulador, después de haberlo ajustado a la historia del yacimiento, no se puedeasegurar la predicción que proporcione será exactamente el comportamiento real que setenga en dicho yacimiento. Sin embargo, a medida de que el periodo ajustado sea mayor, lapredicción que se haga será mas confiable, lo que implica que el ingeniero deba estarcontinuamente comparando la predicción hecha por el simulador con el comportamiento
presente y actualizar de ser necesario, las combinaciones de datos que maneja el modelo.1.4.4. Resultados de una Simulación
Los resultados típicos que se obtienen de una simulación consisten de la distribución depresiones y de saturaciones en cada una de las celdas en que ha sido dividido el yacimiento,y de los volúmenes producidos y las relaciones agua-aceite y gas-aceite para los pozosproductores. Si hay inyección de fluidos se obtiene, el ritmo de inyección de los pozos o laspresiones necesarias para inyectar los volúmenes establecidos.
1.5. ETAPAS PARA DESARROLLAR UN MODELO
El desarrollar un modelo es un proceso iterativo que consiste de las siguientes etapas:
• Descripción del yacimiento• Determinar el tipo de mecanismo de desplazamiento• Escribir el modelo matemático• Desarrollar el modelo numérico
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• Desarrollar el programa de cómputo• Determinar la validez del modelo• Ajustar el modelo con la historia del yacimiento• Predecir el comportamiento futuro
El proceso iterativo mencionado se puede observar en la Fig. 1.1, ya que al ir avanzando enlas diferentes etapas, es necesario regresar a modificar algo de las anteriores, como puedenser las suposiciones en las que se basó el modelo. Las razones de considerar variassuposiciones al desarrollar un modelo, son las siguientes:
• No obstante de haberse hecho todo lo posible por caracterizar al yacimiento de la mejormanera, nunca podrá hacerse esta sino solo en una forma aproximada.
• Hacer el problema manejable.• Reducir el costo de la simulación.
Obviamente la necesidad de utilizar suposiciones se hace cada vez menor, debido a losadelantos e innovaciones que la ciencia va proporcionando día a día, especialmente envelocidad de procesamiento de datos, la cual fue una limitante significativa antes de 1980.
1.6. COMO TRABAJA UN MODELO
El procedimiento de cálculo en forma simplificada que utiliza un modelo, está dado por lossiguientes pasos:
• Se empieza con las celdas en las que se conoce su presión y su saturación inicial.• Se selecciona un incremento de tiempo al cual el modelo va a efectuar los cálculos (los
incrementos de tiempo iniciales son generalmente, periodos de tiempo cortos alrededorde uno o varios días, pero en los intervalos sucesivos los incrementos de tiempo puedenir aumentando hasta llegar a cubrir algunos meses).
• Calcular o asignar el volumen producido o inyectado, si es el caso, en cada pozo para elintervalo de tiempo seleccionado.
• Calcular el flujo que hay entre las celdas durante el intervalo de tiempo utilizado y losnuevos valores de saturación para cada celda.
• Seleccionar un nuevo intervalo de tiempo y repetir el proceso hasta que el modelo hallahecho los cálculos para el tiempo total deseado.
De esta manera el simulador calculará la distribución de presiones y de saturaciones a lo
largo del yacimiento en función del tiempo. En la Fig. 1.2 se puede observar un diagramade flujo que da idea de cómo trabaja un modelo. En los capítulos siguientes se estudiarácon mas detalles cada una de las etapas de cálculo, de manera que el lector se vayafamiliarizando con lo que realmente es la simulación de yacimientos, para que tenga lacapacidad de escribir modelos sencillos y pueda resolver problemas en una y dos fases, así como en una y dos dimensiones.
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DESCRIPCIÓN DEL YACIMIENTO
DETERMINACIÓN DEL TIPO DE MECANISMO DE DESPLAZAMIENTOQUE OPERA EN EL YACIMIENTO
ELABORACIÓN DE MODELO MATEMÁTICO QUE REPRESENTELOS PROCESO FÍSICOS QUE SE PRESENTAN EN EL YACIMIENTO
DESARROLLO DEL MODELO NUMÉRICO QUESUSTITUYA AL MODELO MATEMÁTICO
REALIZACIÓN DEL PROGRAMA DE CÓMPUTO
DETERMINACIÓN DE LA VALIDEZ DEL MODELO
ES VÁLIDOEL MODELO?
AJUSTE DEL MODELO CON LA HISTORIA DEL YACIMIENTO
PREDICCIÓN DEL COMPORTAMIENTO FUTURO
No
Si
Figura 1.1. Etapas para Desarrollar un Modelo Í
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INICIO DE LOS CÁLCULOS EN LAS CELDAS EN QUEES CONOCIDA LA PRESIÓN Y LA SATURACIÓN
SELECCIÓN DEL INCREMENTO DE TIEMPO ALCUAL EN EL MODELO HARÁ LOS CÁLCULOS
CÁLCULO O ASIGNACIÓN DEL VOLUMEN PRODUCIDO O INYECTADOEN CADA POZO PARA EL INCREMENTO DE TIEMPO SELECCIONADO
CÁLCULO DEL FLUJO QUE EXISTE ENTRE LAS CELDASDURANTE EL INCREMENTO DE TIEMPO UTILIZADO
DETERMINACIÓN DE LOS NUEVOS VALORES DE PRESIÓN Y SATURACIÓNAL FINALIZAR EL INTERVALO DE TIEMPO PARA CADA CELDA
SE HA ALCANZADOEL TIEMPO TOTAL AL
CUAL SE DESEA HACERLA PREDICCIÓN?
LA SIMULACIÓN HA TERMINADO
Figura 1.2. Como trabaja un Modelo
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UNIDAD 2
INFORMACIÓN REQUERIDA PARA UTILIZAR UN SIMULADOR
2.1. INTRODUCCIÓN
Para que todo trabajo de ingeniería de yacimientos tenga éxito se debe contar con unabuena información que represente las condiciones que prevalecen en el yacimiento. Así pues la simulación sin ser la excepción, requiere de una amplia descripción física delmismo y de los tipos de mecanismo por medio de los cuales va a producir. Los resultadosque se obtengan de la simulación serán tan buenos como los datos que se hayan empleadopara realizarla y, el tiempo que se pueda perder en preparar esta información es un tiempo
bien empleado.
Hay que hacer notar que la información que debe tratarse de obtener con mayor precisiónes aquella que al variarla -realizando diferentes corridas de simulación- cause un cambiosignificativo en los resultados obtenidos. Así por ejemplo, se sabe que una propiedaddeterminada varía en un rango específico y al efectuar dos o tres corridas de simulación sevaría dicha propiedad dentro de este rango y se obtienen resultados parecidos, se puedetomar como buena una de las predicciones, o bien, relegar a segundo término esfuerzosadicionales para medir con precisión dicha propiedad. Si por el contrario, variando esapropiedad se alteran los resultados considerablemente, es necesario redoblar esfuerzos paraobtener con mayor aproximación dicha propiedad.
La información que se requiere para efectuar una simulación es:
• Descripción física del yacimiento.• Mecanismo o mecanismos de desplazamiento que operan en el yacimiento.• Propiedades petrofísicas de las capas de interés.• Propiedades PVT de los fluidos.• Otros datos.
2.2. DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL YACIMIENTO
Para obtener una descripción física del yacimiento es necesario llevar a cabo un estudiogeológico de detalle que proporcione un conocimiento estratigráfico, estructural ypetrográfico, que permita de esta manera caracterizar al yacimiento perfectamente. Dichoestudio geológico se completa con métodos geofísicos. La información de este tipo queinteresa a la simulación es:
• Límites del yacimiento
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• Características de la formación productora• Características del acuífero• Fallas• Discontinuidad en las capas
2.3. MECANISMOS DE DESPLAZAMIENTO
Los cuatro mecanismos básicos que operan para recuperar los hidrocarburos del yacimientoson:
• Expansión del sistema roca-fluido• Desplazamiento• Segregación gravitacional• Imbibición
La expansión del sistema roca-fluidos se provoca al haber un abatimiento de presión, dandocomo resultado el movimiento de los fluidos a través del medio poroso del punto de mayorpresión al punto de menor presión.
El desplazamiento se da con gas o con agua. Con gas puede ser empuje de gas disueltoliberado o empuje de algún casquete de gas, ya sea natural o inyectado. Con agua puedeser agua de inyección o bien entrada natural por la presencia de algún acuíferoconsiderable.
La segregación gravitacional se presenta en yacimientos de espesor considerable (o encapas de echado muy pronunciado) que tengan valores de permeabilidad altos en el sentido
vertical y consiste en el acomodo que tienen los fluidos de acuerdo con sus densidades.
La imbibición capilar se da generalmente en el sentido normal (perpendicular) al flujo ypuede ser muy importante al inyectar agua en forma lateral en capas heterogéneas convariaciones considerables en las permeabilidades verticales.
2.4. PROPIEDADES PETROFÍSICAS
Las propiedades petrofísicas se determinan en el laboratorio con pequeños núcleosobtenidos del yacimiento y que se procuran sean representativos. Para asegurar una mayorprecisión en estos datos se puede obtener información complementaria de estas
propiedades. Dicha información la proporcionan los registros eléctricos y los análisis deprueba de presión. Además, existen correlaciones publicadas para la obtención de estaspropiedades y pueden ser de utilidad en determinado momento.
Los datos petrofísicos que se necesitan para efectuar una simulación son:
• Porosidades, φ
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• Permeabilidades, k • Saturaciones de agua, aceite y gas, S w, S o, S g • Presión capilar entre diferentes interfases, P cw-o, P cg-o, P cg-w • Permeabilidad relativa al agua, aceite y al gas, k rw, k ro, k rg
• Compresibilidad de la formación, cr
2.5. PROPIEDADES PVT DE LOS FLUIDOS
Las propiedades de los fluidos son también obtenidas en el laboratorio por medio demuestras sacadas de los pozos. Para que los valores que se obtengan sean aceptables (lomismo ocurre con las propiedades petrofísicas), se requiere que las mediciones se hagan lomás cuidadosamente posible y tratando de acercar al máximo las condiciones dellaboratorio a las condiciones existentes en el yacimiento. Estas propiedades de los fluidosque se requieren en un trabajo de simulación son:
• Factores de volumen del agua, del aceite y del gas, Bw, Bo, B g • Relación de solubilidad en el aceite y en el agua, R s, R sw • Viscosidades del agua, del aceite y del gas, µ w, µ o, µ g • Compresibilidad del agua, del aceite y del gas, cw, co, c g • Comportamiento de fases• Presión de Saturación
2.6. INFORMACION ADICIONAL
Además de la información fundamental que se menciona con anterioridad, existen otrosdatos irrelevantes cuando se realiza una simulación. Dicha información corresponde casi
en su totalidad como se verá a continuación, a características de los pozos.
2.6.1. Datos de Producción y de Relación de Flujo
Cuando se trata de hacer un ajuste del modelo con la historia del yacimiento, se requierenconocer los ritmos de producción y la declinación de la presión. Estos datos de producciónque se necesitan para cada pozo, se pueden desglosar en los siguientes puntos:
• Flujo de aceite vs. tiempo• Flujo de gas vs. tiempo• Flujo de agua vs. tiempo• Cualquier presión media vs. tiempo
Además es preciso contar con los índices de productividad y si es el caso, con los índicesde inyectividad de los pozos que integran el yacimiento.
En la práctica generalmente se cuenta con un registro completo de la rata de producción deaceite de cada pozo, pero no pasa lo mismo con las ratas de producción de gas y de agua,
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cuya información la mayoría de las veces es limitada. Por ello se necesita que con los datosdisponibles se elabore una gráfica como la que se presenta en la figura 2.1 que permitainterpolando, obtener una información mas completa.
C a u d a l , Q
Tiempo, t
Qo Qg
Qw
Fig. 2.1. Obtención de los caudales de producción de gas y agua coninformación incompleta
2.6.2. Estado Mecánico de los Pozos
Según lo visto hasta el momento, al parecer para llevar a cabo una simulación, cualquierinformación sobre el estado mecánico de los pozos que integran el yacimiento carecería deinterés, pues aunque los pozos forman parte integral del sistema, la influencia que puedantener en él parece haber sido considerada ya en los datos de producción. Además, si lasimulación es un estudio a nivel del yacimiento, ¿para qué sirve entonces la informaciónsobre el estado mecánico de los pozos?. Un avance muy significativo en simulación esacoplar el comportamiento que tiene los fluidos dentro del yacimiento al que presenta a lolargo de las tuberías de producción en su camino hacia la superficie. Para ello se requierecontar con en método de flujo multifásico que entre como subrutina en el simulador. Es desuponer, lógicamente, que un trabajo de esta naturaleza requiere de las características
mecánicas de los pozos, Fig. 2.2. Existe una gran cantidad de correlaciones que tratan sobreel comportamiento de los fluidos en las tuberías de producción. El uso de dichascorrelaciones, al igual que los estudios de simulación, está sujeto a ciertas consideracionesimportantes.
El estado mecánico de los pozos lo comprende la información siguiente:
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• Profundidad máxima del pozo, indicando si es vertical, direccional o desviado, yhorizontal
• Diámetro interior del pozo• Características de las tuberías de revestimiento: diámetro, profundidad, peso y grado
• Características del aparejo de producción. Tipo de terminación: diámetro, grado y pesode las tuberías de producción. Equipo para métodos artificiales de producción
Flujo en la tubería de producción
(Flujo multifásico)
Fig. 2.2. Acoplamiento del flujo de fluidos en el yacimiento con el flujo de fluidos enla tubería vertical en un solo simulador.
2.6.3. Aspecto Económico
En todo trabajo de ingeniería debe ser considerado como un punto primordial el aspectoeconómico. En simulación de yacimientos la información de este tipo que se debe tomar encuenta es la siguiente:
• Precio del barril de aceite• Costo del pozo• Límite económico• Máxima relaciones agua-aceite y gas-aceite con que se piensa trabajar• Mínima presión de fondo fluyendo• Precio de gas• Gastos de operación
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2.6.4. Mapas
Al preparar la información que se necesita para realizar una simulación, se elaboran lossiguientes mapas:
• Mapa estructural• Mapa isópaco• Mapa de isoporosidades• Mapa de isopermeabilidades
Los mapas estructurales sirven para determinar a través de las curvas de nivel, lasprofundidades de los pozos, efectos geológicos del subsuelo como fallas, así como la vistade planta del yacimiento, límites del mismo, contactos agua-aceite, gas-aceite y/o gas-agua.Al mapa isópaco lo componen líneas que unen puntos en el yacimiento de igual espesor.Entre otras cosas sirve para cuantificar volumétricamente el volumen original de aceite y/o
el volumen original de gas.
Se comentó al tratar sobre la información petrofísica requerida la importancia que tenía éstay la forma de obtenerse. Así pues, las porosidades y las permeabilidades se conocen enlocalizaciones discretas del yacimiento y el simulador requiere un conocimiento de estaspropiedades en todos y cada uno de los puntos del mismo. Con este fin se construyen losmapas de isoporosidades e isopermeabilidades.
En ocasiones se elaboran mapas en los cuales se encuentra la distribución decombinaciones o productos de propiedades como por ejemplo:
• Porosidad-espesor, φ h • Porosidad-saturación-espesor, φ S oh
2.7. PERMEABILIDADES RELATIVAS
Se ha comentado a lo largo de este capítulo la gran importancia que tiene el contar con unabuena información, haciendo ver que la clave para obtener buenos resultados se basa enbuena información de entrada disponible. Pues bien, sin lugar a duda que la informacióncrítica que se emplea dentro de toda la información que se requiere al efectuar unasimulación, son las permeabilidades relativas, dado que una relación determinada de ellasdefine los resultados que entrega el modelo. Si en el transcurso de un estudio de simulación
el yacimiento cambia de un mecanismo de desplazamiento a otro, el ingeniero debedeterminar si este cambio afecta el desplazamiento de los fluidos o la recuperación dentrode las celdas en que ha sido dividido el yacimiento y, de ser así, lo que es casi seguro losdatos de permeabilidades relativas deben ser modificados para reflejar dicho cambio. Sinembargo, cambiar el juego de permeabilidades relativas dependiendo del mecanismo dedesplazamiento que opera en el yacimiento por un tiempo determinado no es nada sencillo,si se considera que la información más difícil de obtener son precisamente estas curvas de
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permeabilidades relativas, por la dificultad que existe de llevar a cabo pruebas dedesplazamiento en el laboratorio bajo las mismas condiciones en que se encuentra elsistema roca-fluidos en el yacimiento. Esto es cierto incluso para permeabilidades relativasen dos fases. Con lo anterior no se trata de decir que éste sea un problema particular de la
simulación, sino se trata de un problema que se presenta en todo trabajo que se realizasobre ingeniería de yacimientos y por el cual es común tener errores considerables en losresultados obtenidos.
2.7.1. Obtención de Permeabilidades Relativas
Las permeabilidades relativas pueden obtenerse por medio de las siguientes maneras:
• Pruebas de desplazamiento en el laboratorio• Cálculos por medio de datos de presión capilar• Ajuste con los datos del campo
• Correlaciones
La Ref. 3 da una explicación de estos métodos de obtención de permeabilidades relativaspara una y dos fases e incluso, proporciona la correlación de Stone que es un modelo quecombina la teoría del flujo en el medio poroso con conceptos de probabilidad para obtenerla permeabilidad relativa para tres fluidos.
2.8. INTRODUCCION DE LOS DATOS AL SIMULADOR
Una vez que se ha logrado reunir la información que se necesita para llevar a cabo unasimulación, el problema que se presenta es la manera de introducir esos valores al modelo.
Sin lugar a duda que la información que constituye la mayor parte de los datos quemanejará el simulador corresponde a las propiedades PVT de los fluidos y a laspropiedades petrofísicas de la roca, puesto que se requieren en todos y cada uno de losbloques en que se ha dividido el yacimiento. Por ello es necesario tratar de compactar estainformación de tal manera que sea manejable.
2.8.1. Representación Polinomial
Supóngase que en el laboratorio se ha llevado a cabo un análisis de fluidos del yacimiento yse le han determinado las propiedades necesarias para un estudio de simulación. Con losresultados se han construido gráficas como las que se muestran en las Figs. 2.3a, 2.3b y
2.3c. Es posible ajustar una ecuación a cada curva e introducir dichas ecuaciones elsimulador para que evalúe las propiedades cuando sea necesario.
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PRESION
P A R A M E T R O
Pb
Rs
Boµo
Fig. 2.3.a. PVT del crudo
PRESION
P A R A M E T R O
µg
Bg
Pb
Fig. 2.3.b. PVT del gas
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PRESION
P A R A M E T R O
Bt
Co
Pb
Fig. 2.3.c. Propiedades PVT del crudo
2.8.2. Tablas de Valores
Algunos datos PVT no pueden ser representados tan fácilmente por medio de una expresiónpolinomial, ya sea porque la función no sea continua o porque el orden del polinomio seatan alto que no resulte práctico programarlo. En este caso la solución consiste en elaboraruna tabla con pares de valores ordenados que son almacenados en computadora,utilizándose cuando se requieran. Cuando los valores que se desean obtener no existen enla tabla, se hace una interpolación, tabla 2.1. Para ello el modelo deberá contar con unasubrutina que se encargue de realizarla. Es preciso que para construir este tipo de tablas, lomismo que para ajustar ecuaciones a las gráficas, se tomen la cantidad de puntos necesariospara que el ajuste o la interpolación proporcione valores confiables. Por ejemplo,
considérese la Fig. 2.4. Para representar la región A con cinco puntos es suficiente. En laregión B se tienen cambios grandes en los valores de S w a pesar de tener pequeños cambios P , por lo que es preciso utilizar una mayor cantidad de puntos. La región C puederepresentarse perfectamente con solo dos puntos, puesto que se trata de una línea recta.
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Tabla 2.1. Datos de Factores de Volumen de Aceite
P, Psi B o, bbl/BF
2000 1.252050 1.272100 1.282150 1.302200 1.352300 1.402350 1.362400 1.35
S
P o
w
R e g i ó n A
R e g i ó n B
R e g i ó n C
Fig. 2.4. Presión capilar vs. Saturación de Agua.
Dos tipos de interpolación que pueden utilizarse son:
Interpolación Lineal:
( )11 2 1
2 1
* 1*
2
X X Y Y Y Y
X X
⎡ ⎤−= + −⎢ ⎥−⎣ ⎦
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Interpolación Lagrangiana:
3 32 1 2 1
1 2 31 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3 1
* ** * * **
X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y
X X X X X X X X X X X X
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− + − −= + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Por otro lado, los datos de porosidad, espesores, permeabilidad, etc., así como los datos deproducción, también entran en forma de tabla. La lectura de toda esta información lo haráel modelo como si se tratara de matrices.
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UNIDAD 3
CLASIFICACION DE LOS SIMULADORES
3.1. INTRODUCCION
A través del tiempo, producto de las crecientes necesidades que ha tenido la industriapetrolera, lo que originó -como se comentó en la Unidad 1- el advenimiento de procesos derecuperación más complejos, se han desarrollado una gran cantidad de simuladores, loscuales pueden clasificarse en función de las características que presentan el yacimiento quese piensa estudiar o bien el proceso físico que se quiere reproducir. Luego, cuando se deseareproducir el comportamiento de un yacimiento sujeto a un determinado proceso de
recuperación, es preciso seleccionar el modelo que cumpla con ciertas características dediseño que le permitan realizar el trabajo de manera adecuada. En la Fig. 3.1 se presentauna clasificación general de simuladores y fue construida de manera que en ella aparezcantodos los posibles trabajos de simulación que se puedan efectuar. Con el objeto de explicarlas características de los diferentes tipos de modelos que existen y los trabajos desimulación que pueden realizarse con ellos, se definen en la Fig. 3.1, los siguientes seis“ parámetros de selección”:
• Tipo de yacimiento• Nivel de simulación• Simulador• Tipo de flujo en el yacimiento• Numero de dimensiones• Geometría
Como puede observarse cada uno de estos parámetros tienen diferentes alternativas autilizar; así por ejemplo, las posibles a emplear para un numero de dimensiones son: cero,una, dos o tres dimensiones; en tipo de yacimiento se tienen dos opciones para seleccionar:no fracturados y fracturados; etc.
Hay que hacer notar que el grado de complejidad de las alternativas que aparecen en la Fig.
3.1 para cada parámetro de selección va de izquierda a derecha. Así por ejemplo, para tipode yacimiento es más difícil realizar un estudio de simulación para uno fracturado que parauno no fracturado, para tipo de flujo en el yacimiento lo más complejo es un modelocomposicional, etc.
A continuación se explica de manera mas detallada los tipos de simuladores que existen yen que caso se utilizan; al mismo tiempo que se va haciendo referencia a los parámetros deselección de la Fig. 3.1.
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1.MISCELARES YMIROEMULSIONES
2. POLÍMEROS3. SURFACTANTES4. COMBINACIÓN DE 1,2 Y 3.
1. GAS RICO
2. CO3. NITRÓGENO (NO )2
2
1. INYECCIÓN DEFLUIDOS CALIENTES1.1 AGUA CALIENTE1.2 VAPOR2. COMBUSTION
IN-SITU
DE RECUPERACIÓNTÉRMICA
DE RECUPERACIÓNCON MISCIBLES
DE RECUPERACIÓNQUÍMICA
DE ACEITEVOLÁTIL
DE ACEITENEGRO
GEOTÉRMICODE GAS DE GAS YCONDENSADO
SIMULADOR
NIVEL DE SIMULACIÓN
TIPO DE YACIMIENTO
TODO EL YACIMIENTOPOZOS INDIVIDUALES
NO FRACTURADOS FRACTURADOS
COMPOSICIONALTRIFÁSICOBIFÁSICOMONOFÁSICO
TIPO DE FLUJO EN EL YACIMIENTO
DOS DIMENSIONESCERO DIMENSIONES UNA DIMENSIÓN
SECCIÓNTRANSVERSAL
RADIALRADIAL CONVENCIONAL
TRES DIMENSIONES
AREALINCLINADOVERTICALHORIZONTAL
NUMERO DE DIMENSIONES
X, ZX, YRZYX R, , ZθX, Y, ZR, Z
RADIAL
GEOMETRÍA
Fig. 3.1. Selección de un Simulador
3.2. TIPO DE YACIMIENTO
En forma general, dependiendo de características físicas producto de la mecánica de lasrocas de los yacimientos, estos pueden dividirse en dos grandes grupos: yacimientos no
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fracturados y yacimientos fracturados, siendo los estudios de simulación en estos últimos,los que presentan mayor grado de dificultad debido a que las fracturas representanverdaderos canales de flujo que modifican el comportamiento de los fluidos a través delmedio poroso. En la actualidad, el estudio de este tipo de formaciones está recibiendo
considerable atención.3.3. APROXIMACIONES TRADICIONALES DE MODELAMIENTO
Los métodos tradicionales para predecir el comportamiento de un yacimiento, se puedendividir en tres grandes categorías; (i) Métodos analógicos, (ii) métodos experimentales, y(iii) Métodos matemáticos.
3.3.1. Métodos analógicos
Estos usan las propiedades de yacimientos maduros que tengan la misma ubicación
geográfica o posean condiciones petrofísicas similares al yacimiento en estudio. Antes deperforar, cuando la información es limitada o ausente, el único método que disponen losingenieros para efectuar análisis económicos es la analogía. Para ello se utilizan losyacimientos con características petrofísicas más parecidas dentro de la misma cuenca oprovincia para estudiar el comportamiento de otro yacimiento en particular. Este métodopermite determinar factores de recobro, ratas de producción iniciales, ratas de declinación,espaciamiento de pozos y mecanismos de recuperación. Este método proporcionaresultados confiables en yacimientos muy similares con las mismas estrategias deexplotación.
3.3.2. Métodos experimentales
En estos métodos se miden parámetros físicos (ratas, presiones o saturaciones) en modelosde laboratorio a escala y luego se apropian para todo el yacimiento. Ellos se subdividen enanálogos y físicos:
3.3.2.1. Modelos análogos
Estos se emplean muy raramente en la actualidad, sin embargo, existen dos puntos de vistade consideración: (1) Históricamente, fueron importantes en los primeros estudios,particularmente la incorporación de eficiencias de barrido en procesos de inyección deagua, y (2) la diferencia entre redes de resistencia-capacitancia y modelos potenciométricosilustra la diferencia entre modelos continuos y discretos. Para simular el comportamiento deun yacimiento, los modelos análogos usan la similitud entre el fenómeno del flujo defluidos a través de medios porosos con otros fenómenos físicos (flujo de calor, deelectricidad y flujo de fluidos entre dos capas paralelas o celdas Hele-Shaw).
3.3.2.2. Modelos físicos
Al contrario de los modelos análogos, los modelos físicos se usan para medir directamente
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el flujo en medios porosos. En la actualidad, existen dos tipos de modelos físicos. Elprimero no toma en cuenta la geometría de flujo que existe en el yacimiento, como porejemplo pruebas de desplazamiento en corazones de roca y pruebas en empaquetamientosde arena. La desventaja es que los experimentos se corren a escala y muchas veces no son
representativos del yacimiento. El segundo tipo utiliza similitudes de conceptosgeométricos, mecánicos y térmicos. Esto es, la geometría, espesor, porosidad ypermeabilidad del modelo y las propiedades de los fluidos se escalan de tal forma que laforma y dimensiones del modelo sean las mismas del yacimiento.
3.3.3. Métodos matemáticos
Estos son el tipo más comúnmente usados por los ingenieros modernos e incluyen balancede materia, curvas de declinación, estadísticos (correlaciones) y analíticos (pruebas depresión, Buckley-Leverett, etc.).
3.4. NIVEL DE SIMULACIONLos estudios de simulación pueden realizarse a los siguientes niveles:
• Pozos individuales• Sector del yacimiento• Todo el yacimiento
Al parecer según se comentó anteriormente con relación a la Fig. 3.1, los estudios desimulación en pozos individuales serían más sencillos que los estudios de simulación en undeterminado sector del yacimiento y más aun que los realizados a lo largo de todo el
yacimiento; sin embargo, se debe comentar que existen estudios de simulación para un solopozo con un grado de dificultad muy elevado. Mas adelante se vera la finalidad que sepersigue al utilizar cada uno de estos niveles de simulación.
3.5. SIMULADOR
A partir de aquí se entra a lo que es propiamente dicho, la selección del modelo. Antes seha determinado ya el nivel de simulación y el tipo de yacimiento en el cual se efectuaráesta. Ahora la pregunta es que es lo que se desea simular. Si se analiza la Fig. 3.1 seobservará que los diferentes tipos de simuladores pueden dividirse en dos grupos: (1) Losque se definen según el tipo de hidrocarburos que contiene el yacimiento y (2) Los que se
utilizan en procesos de recuperación mejorada. En el primer grupo se tienen:
• Los simuladores de gas• Los simuladores geotérmicos• Los simuladores de aceite negro• Los simuladores de aceite volátil• Los simuladores de gas y condensado
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En el segundo grupo se tienen:
• Los simuladores de recuperación química• Los simuladores de recuperación con miscibles
• Los simuladores de recuperación térmica
Una vez que se ha determinado que es lo que se desea simular, es posible hacer la seleccióndel modelo capaz de realizar el trabajo.
3.5.1. Simulador de gas
Como su nombre lo indica, este tipo de simuladores se utilizan para llevar a cabo laspredicciones del comportamiento de un yacimiento de gas. Sin lugar a duda, los estudiospara este tipo de yacimientos son los más sencillos, si se considera la presencia de una solafase (gas). Los parámetros que pueden definirse con este tipo de simulador son entre otros
son: volumen de gas inicial, rata de producción y distribución de presiones.
3.5.2. Simulador geotérmico
Existen yacimientos cuya energía calorífica se emplea para la generación de energíaeléctrica. Aunque esto no tiene al parecer ninguna conexión con la industria del petróleo, unmodelo que se utilice en este tipo de estudios no puede quedar al margen de unaclasificación general de simuladores, de ahí la razón por lo que se menciona.
3.5.3. Simulador de aceite negro
Este es el modelo más simple que puede utilizarse para estudios de agotamiento primario orecuperación secundaria por medio de inyección de gas o de agua. Cuenta con los cuatromecanismos de desplazamiento básicos para la recuperación de aceite que se explicaron enla Unidad 2. Los modelos de este tipo se han utilizado durante mas de treinta años y sebasan en la suposición de que los fluidos del yacimiento pueden representarse de solo trespseudocomponentes (aceite, gas agua). Esta posición funciona bien siempre y cuando elsistema durante el proceso de recuperación, quede lejos del punto crítico y de la región decondensación retrograda y además, si los fluidos que se inyectan (si es el caso), consiste delos mismos componentes que los fluidos que se encuentren en el yacimiento. Los modelosde aceite negro frecuentemente se utilizan para estimar los siguientes efectos durante larecuperación de aceite:
• Espaciamiento y arreglo de pozos• Intervalos disparados• Conificación del gas y/o el agua como función de la rata de producción• Rata de producción• Mejorar el mecanismo de entrada de agua mediante inyección de la misma y ver la
conveniencia de inyectar por los flancos del yacimiento o inyectar con un arreglo de
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pozos determinado• Pozos de relleno
3.5.4. Simulador de recuperación química
Como se comentó en la Unidad 1, en los últimos años se han desarrollados nuevos procesospara recuperar una mayor cantidad de aceite de los yacimientos, lo cual ha originado lanecesidad de contar con simuladores capaces de reproducir el comportamiento de losyacimientos cuando se someten a este tipo de procesos, tal es el caso de los simuladores derecuperación química. Dentro de este tipo de métodos de recuperación mejorada, se puedencitar como los más importantes los siguientes:
• Desplazamiento de aceite con soluciones miscelares y microemulsiones• Desplazamiento de aceite con polímeros• Desplazamiento de aceite con surfactantes
• Desplazamiento de aceite por combinación de los tres anteriores.
Como es de suponerse, los modelos que se utilizan en este tipo de estudios, presentan unmayor grado de complejidad pues deben de considerar tanto la interacción que existe entrelos propios fluidos químicos, como la que hay entre dichos fluidos y el medio poroso.
3.5.5. Simulador de recuperación con miscibles
La miscibilidad es el fenómeno físico que consiste en la mezcla de dos fluidos en todasproporciones, sin que se forme entre ellos una interfase. Existen diferentes fluidos que seinyectan al yacimiento bajo esta condición y al estudio del efecto que produce cada uno de
ellos en la recuperación del aceite se hace con la ayuda de un simulador. Entre los fluidosque se utilizan en este tipo de procesos se puede citar:
• El gas enriquecido• El bióxido de carbono, CO2 • El nitrógeno, N 2
3.5.6. Simulador de recuperación térmica
Este tipo de modelos se utiliza para simular el comportamiento de los yacimientos sujetos aalgún proceso de recuperación mejorada, por medio de métodos térmicos cuyo objetivo
principal es el de proporcionar energía calorífica al aceite con el fin de disminuir suviscosidad y de esta forma, facilitar su flujo hacia los pozos productores. Este tipo demétodos puede clasificarse en:
• Inyección de fluidos calientes, que pueden ser agua caliente o vapor• Combustión in-situ• Calentamiento electromagnético
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Los simuladores que se emplean para este tipo de procesos (y para todos los procesos derecuperación mejorada), son como ya se comento muy complejos, pues requieren el usocorrelaciones que describan las propiedades PVT de los fluidos para n-componentes comofunción de la presión, de la temperatura y de la composición (se trata de modelos
composicionales cuya explicación se da mas adelante). Los problemas de procesos térmicosa los cuales se dirige este tipo de simuladores, son entre otros:
• Recuperación esperada de aceite• Volumen necesario de vapor• Evaluar la posibilidad de incluir otros fluidos en al inyección de vapor• Determinar los efectos gravitacionales en el proceso de recuperación de aceite• Determinar parámetros críticos
3.6. TIPO DE FLUIDO DEL YACIMIENTO
En el yacimiento pueden presentarse varios tipos de flujo como función del número deflujos en movimiento y estos son:
• Flujo monofásico (un fluido)• Flujo bifásico (dos fluidos)• Flujo trifásico (tres fluidos)
Si se observa la Fig. 3.1 en este punto existen otra posible alternativa a la que se le hallamado “flujo composicional”, que nació de la necesidad de simular procesos donde losfluidos están cercanos al punto crítico y se presentan continuas precipitaciones de líquidoso revaporizaciones en el yacimiento. De esta manera, según el tipo de flujo que se presenta
en el yacimiento, puede existir una determinada clasificación de simuladores.
3.6.1. Simulador monofásico
El flujo monofásico está dado por el flujo de un solo fluido en particular, por ejemplo: enlos acuíferos: el agua, en los yacimientos bajo saturados: aceite y en un yacimiento de gasvolumétrico: el gas. Cualquier modelo que tome en cuenta esta consideración, será unsimulador monofásico.
3.6.2. Simulador bifásico
Un simulador de este tipo es aquel que considera la existencia de flujo bifásico en elyacimiento. Este tipo de flujo se presenta cuando dos fluidos diferentes fluyen al mismotiempo. Las combinaciones que se pueden tener son:
• Gas y aceite: En un yacimiento que produce por empuje de gas disuelto liberado o enun yacimiento de aceite con casquete de gas
• Agua y aceite: En un yacimiento bajo saturado con entrada de agua, cuya presión se
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mantiene arriba de la presión de burbujeo• Agua y gas: En un yacimiento de gas con entrada de agua o cuya saturación de agua
congénita es mayor que la saturación de agua crítica
3.6.3. Simulador trifásicoEl flujo trifásico se presenta cuando los tres fluidos que contiene un yacimiento (agua,aceite y gas) fluyen a la vez, por lo que todo aquel modelo que haga esta consideración deflujo sea un simulador trifásico. Este caso se contempla en yacimientos que producen porempuje combinado, en los que la entrada de agua, el empuje de gas disuelto y/o el empujede casquete original o secundario, tiene influencia en la producción.
3.6.4. Simulador composicional
Los modelos composicionales se utilizan para simular los procesos de recuperación para los
cuales no sean válidas las suposiciones hechas en modelo de aceite negro. En esta categoríase incluyen los yacimientos de gas y condensado con condensación retrograda y losyacimientos de aceite volátil, cuya composición varía continuamente al existir pequeñoscambios de presión y/o temperatura. Este tipo de simuladores supone en cambio, que losfluidos contenidos en el yacimiento son una mezcla formada por n-componentes. Laspropiedades de las fases gas - aceite y su equilibrio se calculan por medio correlaciones queestán en función de la presión y de la composición y más recientemente por medio deecuaciones de estado.
Algunos ejemplos de procesos en los cuales son utilizados estos modelos son los siguientes:
• Agotamiento de un yacimiento de aceite volátil o de gas y condensado donde lacomposición de fase y sus propiedades varían en una manera significativa, conpresiones por debajo de la presión de burbujeo
• Inyección de gas (seco o enriquecido) a un yacimiento de aceite negro para lograr sumiscibilidad, ya sea total o parcial
• Inyección de CO2 a un yacimiento de aceite
3.7. NUMERO DE DIMENSIONES
Llegando al lugar de la Fig. 3.1, seguramente ya se ha determinado el nivel de simulaciónque se va a emplear, así como el proceso de recuperación que se piensa simular y como
consecuencia, el tipo de flujo que se tendrá en el yacimiento. Esta información junto concaracterísticas físicas del yacimiento, permitirá hacer la selección del modelo a utilizar encuanto al número de dimensiones. A continuación se da la clasificación de los simuladoresen función del número de dimensiones y una explicación de las características quepresentan cada uno de ellos.
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3.7.1. Simulador de cero dimensiones
A este modelo se le conoce también como modelo tanque o de balance de materia. Se diceque es cero dimensiones debido a que las propiedades petrofísicas, las propiedades de los
fluidos y los valores de presión no varían de punto a punto; a lo largo de todo elyacimiento, Fig. 3.2.
k, φ, µ
Fig. 3.2. Modelo de Cero Dimensiones
Se le llama también balance de materia debido a que al realizar los cálculos lo que se hacees precisamente ésto, un balance entre los fluidos que entran y los fluidos que salen del
yacimiento. Supóngase un yacimiento al que se le inyecta por un lado una determinadacantidad de agua y se obtiene una cantidad también de agua, gas o aceite (o unacombinación de los tres) por el otro lado, como se muestra en la Fig. 3.3.
k, φ, µ
Agua, gas
o aceite
Fig. 3.3. Balance de Materia.
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Al efectuar el balance de materia se tendrá la siguiente expresión:
Volumen defluidos en el
yacimiento antesde la inyección
+Volumen de fluido
inyectado
-Volumen de
fluidos extraídos
=
Volumen defluidos que
permanecen en elyacimiento
Este modelo de cero dimensiones es la base de todos los modelos existentes y tiene laparticularidad de que en él no pueden definirse pozos, como sé vera que pueden hacerse enlos simuladores de más dimensiones. El uso que generalmente se le da a este modelo es:
• Estimar el volumen original de aceite en el yacimiento• Calcular la entrada de agua• Calcular la presión del yacimiento
Para el cálculo de cualquiera de los tres parámetros se requiere conocer los otros dos.
3.7.2. Simulador de una dimensión
Considérese ahora un yacimiento que varía en litología y que de acuerdo a esta variaciónpuede dividirse en dos partes. En este caso el yacimiento como un todo no puederepresentarse mediante propiedades promedio, sin embargo, cada parte si puede. De estamanera el yacimiento consiste de dos bloques o celdas como también se les llama, Fig. 3.4.En este caso, la ecuación de balance describe al comportamiento del fluido en cada celdacomo en el modelo de cero dimensiones, sin embargo, la cosa se complica debido al quehaber migración de fluidos de una celda a otra, no se sabe exactamente que cantidad de
fluido del volumen total que permanece en el yacimiento, corresponde a cada bloque. Estatransferencia de fluido entre ambas celdas (transmisibilidad), se evalúa con la ecuación deDarcy, la cual se trata en la Unidad 4. De esta manera, la ecuación de balance de materia junto con la ecuación de Darcy, describen el comportamiento de cada celda. Este modelo yano es de cero dimensiones como el anterior, debido a que las propiedades aunque sonpromedio para cada bloque, varían de aun celda con respecto a la otra, en cambio es unmodelo de una dimensión, debido a que consiste de más de una celda en una dirección y desolo una celda en las otras dos direcciones. El modelo en una dimensión puede serhorizontal, vertical, inclinado o radical, como se muestra en la Fig. 3.5. Este tipo de modelofue generado por Buckley-Leverett para dar una solución analítica al comportamiento delos yacimientos sujetos a recuperación secundaria. En una simulación de yacimientos dicho
modelo se puede aplicar si se tiene un yacimiento en el que el flujo en una dirección espredominante, por ejemplo, en los casos de inyección de gas en la cresta de un yacimiento,en la inyección o entrada natural de agua por el flanco de otro yacimiento o en yacimientosque se formaron por depósitos de tipo fluvial (alargados).
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CELDA 1
Propiedadespromedio
CELDA 2
Propiedadespromedio
Agua
Agua, gas
o aceite
Fig. 3.4. Balance de Materia para dos Bloques.
x
Flujo
HORIZONTAL
Y
Flujo
VERTICAL
RADIAL
αY
Flujo
INCLINADO
Fig. 3.5. Modelos de una Dimensión.
El modelo de una dimensión con geometría radial es útil para pruebas de formación ypruebas de incremento y decremento de presión, ya que los efectos que provoca en el flujode fluidos la caída de presión en el pozo a lo largo de todo el yacimiento, no puedensimularse directamente con los otros modelos de una dimensión debido a que la unidad máspequeña del yacimiento, una celda, es generalmente muy grande comparada con el volumendel yacimiento que es realmente afectado por las presiones en el pozo.
3.7.3. Simulador de dos dimensiones
El mismo análisis que se utilizó para explicar el modelo en una dimensión, puede
extenderse para modelos en dos y tres dimensiones, esto es, la ecuación de balance demateria describe el comportamiento en cada celda y la ecuación de Darcy el flujo entre losbloques, con la única diferencia en que la interacción de flujo en las celdas será en dos otres dimensiones. Así pues, el modelo de dos dimensiones consiste en una celda en dosdimensiones y de solo una celda en la tercera dimensión. Como se puede apreciar, elsimulador en dos dimensiones puede ser areal (Fig. 3.6.a), de sección transversal (Fig.3.6.b) o de forma radial (Fig. 3.6.c).
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x
AREAL
Flujo
F l u j o
y
Fig. 3.6.a. Modelos de Dos Dimensiones
TRANSVERSAL
Z
XFlujo
Flujo
Fig. 3.6.b. Modelos de Dos Dimensiones
Flujo
RADIAL
z
r
Fig. 3.6.c. Modelos de Dos Dimensiones
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3.7.3.1. Simulador Areal
Sin lugar a dudas, dentro de la clasificación de simuladores en función del número dedimensiones, el modelo areal es el que se utiliza con mayor frecuencia. En él se tienen
variaciones de las propiedades en dos direcciones ( x, y), pudiéndose considerar además losefectos gravitacionales al asignar diferentes profundidades a las celdas del modelo, el cualpuede ser representado por una malla como se puede observar en la Fig. 3.6.a. Este tipo desimulador se aplica en yacimientos donde generalmente los espesores son pequeños conrespecto a su área y no existe efecto muy marcado de estratificación o se ha generado unconjunto adecuado de seudo permeabilidades relativas. Algunas de las aplicaciones que sele dan son las siguientes:
• Simular los efectos de barrido al inyectar gas o agua.• Determinar la localización de pozos en yacimientos donde se tengan variaciones de las
propiedades de la roca y de esta manera, lograr la recuperación máxima.
• Determinar la entrada de agua en problemas de yacimientos que no tengan soluciónanalítica.
3.7.3.2. Simulador de sección transversal
Otro tipo de modelo de dos dimensiones se tiene en la representación de seccionestransversales en donde las propiedades de las capas varían, Fig. 3.6.b. La utilidad de estesimulador estriba en la versatilidad que tiene para describir la distribución vertical desaturaciones en el de un frente (gas y/o agua), además de ser el instrumento para laobtención de las ya mencionadas curvas de pseudo-permeabilidades relativas y cuyautilidad se explica más adelante. Con este tipo de modelo se puede simular la conificación
de agua o de gas y los efectos gravitacionales.
3.7.2.3. Simulador de dos dimensiones en forma radial
Al igual que el simulador de sección transversal, este modelo es útil para simular laconificación de agua o de gas. Además tiene la ventaja de poder analizar con mayor detallelos cambios bruscos de presión y saturación que ocurren en la cercanía del pozo. En la Fig.3.6.c se representa esquemáticamente a este tipo de modelo.
3.7.4. Modelo de tres dimensiones
Este tipo de simulador, dentro de la clasificación de modelos por el numero dedimensiones, es el más complejo ya que cuenta con la mayoría de las fuerzas que sepresentan en el yacimiento, esto es, considera además de los efectos de barrido areal losefectos de barrido vertical. Su uso va para todos aquellos yacimientos que presentan unageología muy compleja, que puede dar como resultado el movimiento de fluidos a travésdel medio poroso en varias direcciones.
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CONVENCIONAL
Flujo
Flujo
Flujox
yz
Fig. 3.7.a. Modelos de Tres Dimensiones
Flujo
RADIAL
z r
θ
Flujo
Fig. 3.7.b. Modelos de Tres Dimensiones
El término “convencional” que aparece en la Fig. 3.1, se utiliza para diferenciar al modelode tres dimensiones en coordenadas cartesianas ( x, y, z) del modelo de tres dimensiones encoordenadas cilíndricas (r , θ , z) o modelo radial de tres dimensiones. En las Figs. 3.7.a y3.7.b, se muestran estos tipos de simulador.
3.8. GEOMETRIA
Con esto se llega al ultimo “parámetro de clasificación” de la Fig. 3.1, a decir verdad, noexiste una clasificación de los simuladores en función de la geometría que presentan, comoparece indicarse en la figura, ésto es, no puede decirse que no haya un modelo ( x) o unmodelo (r , θ , z), sino más bien la geometría es una consecuencia del numero dedimensiones que tenga el simulador. De esta manera es claro que un modelo que tenga dos
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dimensiones, solo podrá tener las siguientes geometrías:
• ( x, y) si es areal• ( x, z) si es de sección transversal
• (r , z) si se trata de un simulador radial
De la misma manera, si al hablar de nivel de simulación se hacen referencia al estudio depozos individuales, es lógico pensar que las únicas geometrías de las que se ven en la Fig.3.1 que puede utilizar que pueden utilizar el modelo son:
• (r ) si es un simulador de una dimensión• (r , z) si es un modelo de dos dimensiones• (r, θ , z) si se trata de un simulador de tres dimensiones
3.9. ENMALLADO MODERNO
La exactitud y eficiencia de un simulador de yacimientos en sistemas complejos depende engran parte en la selección adecuada de la malla. Las mallas cartesianas son las más fácilesde utilizar aunque presentan varias desventajas entre las cuales se destacan: (a)inflexibilidad para describir fallas, pinchamientos, fracturas hidráulicas, pozos horizontalesy discordancias generales que se presentan en los yacimientos (ver Fig. 3.9), (b)inflexibilidad al representar la localización del pozo, y (c) inexactitudes inevitables debidoa los efectos de orientación de la malla. Para mejorar las deficiencias de las mallascartesianas se empleó refinamiento de la malla, y esquemas de diferencias finitas de 9 y 13puntos. Los efectos de orientación de la malla han sido reducidos en cierto grado con le usode mallas hexagonales (en forma de colmena) y mallas PEBI. La Fig. 3.9 muestra los
nuevos tipos de mallas. Actualmente, tienen gran aplicación las mallas con refinamientolocal ya que permiten una mejor descripción del comportamiento de los pozos.
Una malla Voronoi se define como la región en el espacio que está más cerca de su nodoque a otros nodos. Las mallas PEBI son localmente ortogonales esto significa que losbloques de las fronteras son normales a las líneas que unen los nodos a los dos lados decada frontera. (Ver Fig. 3.8). Esto permite una exactitud razonable en el cálculo de lastransmisibilidades entre los bloques para distribuciones isotrópicas heterogéneas. Lasmallas Voronoi han sido aplicadas a otros campos de la ciencia. Otros nombres son: CeldasWigner, Dirichlet tesellation, malla PEBI (BIsección PErpendicular), o polígonos deinfluencia. Este tipo de mallas permite describir mejor el flujo de fluidos cuando existen
aspectos estructurales como fallas y discordancias, tal como lo muestra la Fig. 3.10 y 3.11.
3.10. USO DE LA CLASIFICACION
Como se comento al inicio de esta unidad, la Fig. 3.1 se hizo con el fin de presentar en ellatodos los posibles trabajos de simulación que pueden existir. Como ejemplo, supóngase querequiere simular un proceso de recuperación por inyección de polímeros en dos
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dimensiones ( x, y) en determinado sector de un yacimiento no fracturado. Por lo yaexplicado anteriormente, el simulador a emplearse debe ser un modelo composicional. Así pues, el problema anterior queda perfectamente definido en la Fig. 3.1, para ello lasalternativas a escoger en cada “parámetro de selección” son las siguientes:
• Tipo de yacimiento: no fracturado• Nivel de simulación: Sector del yacimiento• Simulador: De recuperación química (polímeros)• Tipo de flujo en el yacimiento: Composicional• Numero de dimensiones: Dos dimensiones ( x, y)• Geometría: ( x, y)
Cabe advertir que se puede dar el caso en que una combinación determinada de“parámetros de selección” de cómo resultado un problema para el cual no exista unsimulador en el mercado, e incluso que no se haya reportado nada sobre él en la literatura;
un ejemplo podría ser un modelo composicional para simular la inyección de vapor(recuperación térmica) en tres dimensiones (r , θ , z) en un solo pozo de un yacimientofracturado. En el caso de plantearse un problema con tales características, habría lanecesidad de desarrollar el modelo que sea capaz de proporcionar la solución que se busca.
i
c
k
k'
j
Nodo
Malla triangular o Delaunay (Para conexiones)
Bloque Voronoi o PEBI
n
s
Fig. 3.8. Bloque Voronoi o PEBI
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a) Cartesiana b) Cartesiana con refinamiento local
c) Cilíndrica d) Hexagonal e) Curvilinea
e) Cartesiana híbrida e) Hexagonal híbrida
Fig. 3.9. Diferentes tipos de mallas Voronoi
Falla
D i r e c c i ó
n d e
f l u j
o
Falla
Dirección de flujo
Fig. 3.10. Aproximación de una falla con una malla cartesiana
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Fig. 3.11. Malla alrededor de una falla sellante
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UNIDAD 4
EXACTITUD DE LAS SOLUCIONES
En cualquier tipo de trabajo de simulación por computador, es importante determinar laexactitud de la solución generada. En este capítulo, son discutidos varios tipos de errores quepueden causar errores en la solución.
1. Error de Redondeo que puede ocurrir cuando se usa una precisión sencilla de exactituddonde es requerida una precisión doble o una mezcla de variables de precisión sencillas ydobles.
2. Error de Balance de Materia (EBM) es una medida de la consistencia, no de la exactitud.Su causa principal surge de errores no lineales. Con el método IMPES, la EBM es unaindicación de la forma en que se soluciona la ecuación Ap = b. Un método para resolver losEBM consiste en usar una iteración de Newton o una iteración cíclica que eventualmenteconverja en cero los EBM.
3. Error No Lineal ocurre cuando se usa una aproximación lineal (pendiente de la cuerda)para encontrar un valor a un nivel de tiempo n + 1 de una función no lineal tal como son losfactores volumétricos de la formación. Ver Fig. 4.1.
4. Error de Inestabilidad es causado por variables dependientes de saturación explicita (k r n y
pcn) en soluciones IMPES. Una solución por inestabilidad puede tomar pequeños pasos de
tiempo o volverse un modelo implícito completamente.
5. Error de Truncamiento es causado por truncamiento en la serie de Taylor. En unasolución con error de truncamiento, el tamaño del paso de tiempo, ∆t , y el tamaño de la celda,∆ x, varían por ensayo y error hasta que la solución converja.
6. Dispersión Numérica es causada por discontinuidad en la saturación dentro de una celda.Las soluciones para dispersión numérica son: (1) ∆ x pequeños, (2) cálculos para modificar k r ,
(3) seleccionar apropiadamente ∆t , y (4) usar pseudo k r . Ver Fig. 4.2.7. Orientación de la Malla puede cambiar la solución final. Estos se presentan por latrayectoria perpendicular o paralela que siguen las partículas durante el proceso. Laorientación de la malla es generalmente importante en cálculos de distribución de saturaciónen un modelo de inyección. Típicamente, un sistema de malla diagonal tendrá mejoresresultados de recobro (más óptimos).
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48
Pendiente correcta
de la cuerda
PRESION
Bo Bo
Bon
Pn
Pn+1
Bon+1
Pendiente dela cuerda
o B
p
∆∆
PRESION
Fig. 4.1. Uso de la pendiente de la cuerda para la solución de la ecuación de presión es lamayor causa de error de balance de materia, especialmente cerca del punto de burbuja
Sw
Tiempo
Fig. 4.2. Las oscilaciones de saturación de agua como una función del tiempo son un
indicativo de inestabilidad con IMPES
4.1. ERROR DE REDONDEO
El error de redondeo ocurre debido al número de cifras significativas de cada variabledefinidas en el simulador. Una precisión simple o doble tiene diferentes significados para
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diferentes computadores. Es menos ambiguo indicar la precisión con una declaración talcomo REAL*4, la cual indica que 4 bytes son asignados para el número. Para una máquina de8 bit, 32 bits o números binarios serán usados para representar el número. La notacióncientífica es usada. El primer bit es almacenar el signo positivo o negativo, los pocos bits que
quedan son usados por la mantisa. El número de bits usados por la mantisa determinan laprecisión del número.
REAL*4 6-7 cifras significativasREAL*8 14-15 cifras significativasREAL*16 30-31 cifras significativas
4.2. ERROR DE BALANCE DE MATERIA (EBM)
El error de balance de material es una medida de consistencia, la cual no mide exactitud. Laconsistencia es un indicativo de la manera que las ecuaciones son programadas y cómo corre
el simulador. La exactitud es un indicativo de la precisión de la solución. Dos de las formaspara determinar el EBM son:
1. EBM local, solo aplica a pasos de tiempo de producción sencillos que deben igualarse acero. La ecuación de balance de materia para el aceite es:
1n+ n
p o p o
o
o oi, j i, j
V S V S EBM Local = - +q
B Bt
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∆∑ ∑ (4.1)
2. EBM Acumulado, la ecuación de balance de material para el aceite, es definida para que un
error positivo indique mucho fluido en el yacimiento:1n o
n EBM Acumulado OIP OOIP N += − + (4.2)
+11
1
o
n on
p p o
o
ijij o o
V S V S EBM Acumulado q t
B B
+⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − + ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∑∑ (4.3)
Problema: Las ecuaciones de balance de material se conservan tal como están escritas.Sin embargo, las ecuaciones escritas sobre el papel no se solucionan con exactitud en elsimulador.
Causas de EBM :1. Ecuaciones no conservativas2. Residuos en métodos de matriz iterativa3. Coeficientes no lineales (coeficiente que cambian con la solución, por ejemplo presión)4. Errores de redondeo5. Errores de sintaxis
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4.3. ERRORES NO LINEALES
La ecuación que se resuelve es la de presión, la cual causa dos errores críticos. La ecuación de
presión con R s es la siguiente:
( )1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
n
p t n n n n n n n n
o o w w g g
n n n n n n
g s o g s o
V c B a p B a p B a p p p
t
B R a p B R a p
+ + + + + + +
+ + + + +
∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = −∆
+ ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆
(4.4)
donde:
n n n
t f o o w w g g c = c +c S +c S +c S (4.5)
1 p
f n p
V c = pV
∆∆
1 ww n
w
B= -c p B
∆∆
(4.6)
11 n+ g o s
o n no o
B B R= - +c
p p B B
∆ ∆∆ ∆
1
g n g
B= -c
p B
∆
∆(4.7)
La mayor fuente de error cuando se soluciona la ecuación anterior es el uso de aproximacionesde la pendiente de la cuerda para cálculos de ct , especialmente cerca del punto de burbuja.Otro problema es el cálculo del factor volumétrico de formación a un nivel de tiempo n + 1.Esencialmente, cualquier cálculo a un nivel de tiempo n + 1 introducirá un error. Desde que
estos valores no sean realmente conocidos, los valores anteriores generalmente serán usados.
Posibles Soluciones a Errores no Lineales:
1. Tomar pequeños pasos de tiempo.2. Usar una iteración cíclica (Newton). Iterar las soluciones IMPES para obtener un buen
estimativo del factor volumétrico de formación en el paso de tiempo n + 1. Un númeroinfinito de iteraciones deberían resultar en cero EBM.
NOTA: Debido a que EBM es igual a cero, no significa que la solución sea correcta. Estosignifica que la masa se conserva. El fluido puede no estar en la ubicación correcta.
4.4. ERROR DE INESTABILIDAD
El error de inestabilidad es causado por:
a. IMPES – Implícito en presión, explícito en saturación, k r n y P c
n.Para el límite k r
n, este es un límite de paso de tiempo tal que si se toma un paso de tiempo
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mayor, IMPES se desborda.
maxt
w
xt
df u
dS
φ ∆∆ ≤
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
(4.8)
Solución: Tomar pasos de tiempo pequeños si es práctico o convertirlo en un modelocompletamente implícito.
b. Completamente Implícito: Este es estable para cualquier tamaño de ∆t , pero laconvergencia no está garantizada.
4.5. ERRORES DE TRUNCAMIENTO
La ecuación de diferencias finitas es una aproximación basada en una expansión de la serie deTaylor. La exactitud de la solución depende de la magnitud del término de truncamiento. Lasseries de Taylor son:
2 3
( ) ( ) '( ) "( ) "'( ) ...2! 3!
x x f x x f x x f x f x f x
∆ ∆+ ∆ = + ∆ + + + (4.9)
2( ) ( )( ) ( ) ( )
2 3
f x x - f x x x f x = - f x - f x + ....
x ! !
+ ∆ ∆ ∆′ ′′ ′′′
∆(4.10)
Esta es una serie infinita teóricamente exacta para un número de términos infinitos. Sin
embargo, si se trunca la serie después de n términos, entonces se introduce un error detruncamiento como el siguiente:
( )( ) ( )
( ) f x x - f x
f x = - O xx
+ ∆′ ∆
∆(4.11)
Solución al Error de Truncamiento: Variar independientemente el tamaño de los pasos detiempo, ∆t , y el tamaño de celda, ∆ x, y comparar los resultados gráficamente. Como lassoluciones tienden a converger, se debe aproximar el valor “correcto” para ∆t y ∆ x. Es unmétodo de ensayo y error que determina el valor “correcto” para ∆t y ∆ x. La Fig. 4.3 ilustra
el efecto de la variación del tamaño de los pasos de tiempo. Note que cuando ∆t es pequeño,la solución de presión converge. El ∆t apropiado para usar es el que optimice la eficiencia yla exactitud del computador. Por ejemplo, en la Fig. 4.3, un ∆t de 1.25 días es probablementela selección apropiada para este caso. No hay una pérdida significativa de exactitud pasandode un ∆t de 0.15 días a 1.25 días mientras el número de pasos de tiempo es reducidosustancialmente.
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52
200
400
600
800
1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
P r e s i ó n ( x = 1 0 0 f t ) , p s i
Tiempo, días
∆t = 10 días
∆t = 5 días∆t = 1.25 días
∆t = 0.15 días
Fig. 4.3. Efecto de variar el tamaño de los pasos de tiempo (∆t ) en la presión a 100 ft
4.6. DISPERSIÓN NUMÉRICA
La dispersión numérica es vista durante desplazamiento inmiscible. Por ejemplo, cuando elagua desplaza el aceite en una dimensión. Este desplazamiento es algunas veces llamado
“Flujo Buckley-Leverett”. El “Flujo Buckley-Leverett” asume un sistema incompresible eignora la presión capilar. El “Flujo Buckley-Leverett” es ilustrado en las Fig. 4.4 a 4.6. Unacaracterística del “Flujo Buckley-Leverett” es el “choque” o el frente de saturación claramentedefinido.
Las ecuaciones diferenciales que se solucionan, con ecuaciones de presión IMPES, son de tipoparabólicos lo cual implica una función de ajuste sin discontinuidades. Para minimizar ladispersión numérica, deben ser usados valores corriente arriba de k r , pero esto resultaría en unfrente “disperso”. La simulación no genera un “choque” o predice claramente el frenteBuckley-Leverett. La Fig. 4.6 ilustra el efecto de dispersión numérica comparando un perfilde saturación de agua calculado en una solución Buckley-Leverett teórica. Si se programa
normalmente la permeabilidad relativa, tan pronto como la saturación de agua en una celda esmayor que la saturación irreducible, la permeabilidad relativa del agua no es mayor que cero.En el siguiente paso de tiempo, el flujo de agua estará por todo el bloque circundante el cualtiene un menor Φw. Con este escenario en mente, es aparente que en un número de pasos detiempo iguales al número de celdas entre el pozo inyector y productor, el frente de ruptura delagua (aunque pequeño) será predicho por el simulador.
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53
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 300 600 900 1200
Sw
Distancia, ft
Buckley-Leverett teórico
Resultado de la simulaciónnumérica
Fig. 4.4. Dispersión Numérica en un perfil de saturación
Soluciones para Minimizar la Dispersión Numérica:
1. Reducir el tamaños de Celdas, ∆ x: para celdas grandes, la definición de saturación noaplica. Sin embargo, esta es mejorada con pequeñas (o más) celdas.
2. Modificar los Cálculos de k r : Para la permeabilidad relativa, k r , se usa ponderamientocorriente arriba en lugar de un promedio aritméticos (entre dos celdas). La Fig. 4.7 muestrapara k r que los ponderamientos corriente arriba dan mejores resultados.
3. Seleccionar un Mejor Tamaño de Pasos de Tiempo (t ): El método Buckley-Leverettsolucionado en la Ec. 4.12, el cual no depende del caudal, solo de como el movimiento de lasaturación se lleva a cabo a través del sistema.
∂∂
=∂∂
S
t v
df
dS
S
xt (4.12)
Sin embargo, actualmente se usa la Ec. 4.13, la cual es una ecuación diferencial deconvección–difusión donde c = concentración.
2
2t
c c c= - v + d
t x x
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
(4.13)
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54
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 5 10 15 20
Sw
Bloques
En una celda no se puede localizarcon exactitud la localización del frente
Fig. 4.5. Dispersión numérica es causada por la inhabilidad para simular la discontinuidad dela saturación en una celda.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 5 10 15 20
Sw
Distancia, ft
Buckley-Leverett teórico
40 bloques
20 bloques
10 bloques
Fig. 4.6. Efecto del número de bloques en la dispersión
El segundo término en la Ec. 13 es el término difusión (o dispersión numérica). Los modelosIMPES y el completamente implícito solucionan la Ec. 13 accidentalmente, ya que el segundo
término es realmente un término de error.
Para IMPES:
2t
t
df df vd = x - t v
dS dS
⎛ ⎞∆ ∆⎜ ⎟⎝ ⎠
(4.14)
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55
Sw
Curva Buckley-Leverett
50/50
Fracción de la longitud del sistema
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0
Corriente arriba
Relación de Movilidad favorable
Sw
Curva de Buckley-Leverett
50/50
Fracción de la longitud del sistema
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0
Corrientearriba
Relación de movilidades desfavorable
Fig. 4.7. Perfiles de saturación en modelos de inyección computados con diferentes
esquemas de ponderamientos movilidad
Para implícito:
2t
t
df df vd = x + t v
dS dS
⎛ ⎞∆ ∆⎜ ⎟⎝ ⎠
(4.15)
Para reducir la dispersión, se hace d = 0. d será cero cuando:
∆ ∆ x vdf
dst t − = 0, ó,
∆t = x
u df
dst
φ∆
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠⎟
4.16)
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donde:
t t
v =u
φ (4.17)
Sin embargo, a estos pasos de tiempo, IMPES está al borde del desbordamiento(inestabilidad). Además, no se puede satisfacer la Ec. 4.16 para cada celda simultáneamente.De este modo, en la práctica no se puede eliminar la dispersión numérica con la selección deltamaño del paso de tiempo.
4. Uso de Permeabilidades Pseudo Relativas: Las modificaciones de los datos puedendisminuir la dispersión numérica. Una de estas modificaciones puede ser aplicada apermeabilidad relativa. Las Figs. 4.8.a - 4.8.c ilustran este punto.
Consideraciones Prácticas. El “Flujo Buckley-Leverett” puede no aplicarse a situaciones
reales de campo. La dispersión en un yacimiento puede ser causada por (a) Presión Capilar, lacual actúa fuera del frente, especialmente en yacimientos de baja permeabilidad, y (b)Heterogeneidades.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
P
s e u d o f r a c c i ó n - P e r m e a b i l i d a
d R e l a t i v a
Sw, fracción del PV
Pseudofunción convencional
Pseudofunción modificada
Fig. 4.8.a. Ejemplo del uso de funciones de permeabilidad pseudo - relativa modificadaspara reducir la dispersión numérica – Pseudo Funciones Modificadas y Convencionales
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57
240 ft
Injección
750 ft
Producción
240 ft
4800
5200
5600
6000
6400
680020250 ft
P r o f u n d i d a d , f t
Corte seccional 27 x 20
Injección
2250 ft
240 ft
20250 ft
9 x 1 1D Areal
Distancia, ft
21,000 15,000 9000 3000 0
12
345
6
789
Producción
Fig. 4.8.b. Ejemplo del uso de funciones de permeabilidad pseudo – relativa para reducirla dispersión numérica - Usando modelos 1D y sección transversal para evaluar el
procedimiento.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Conventional ps eudos
w/9 areal blocks
Modified pseudos w/9
areal block
Conventional ps eudos
w/27 areal blocks
Cross section 45.2
45.6
34.9
45.2 S w , P V
9 7 8 6 5 4 3 2 1
Numero de bloque areal
Recobro a ruptura,
% OOIP
Fig. 4.8.c. Uso de funciones de permeabilidad pseudo–relativa modificadas para reducir ladispersión numérica – Comparación con pseudo funciones convencionales y modificadas.
Por lo tanto, para problemas tipo campo, puede no ser necesario eliminar la dispersión
numérica del todo.
4.7. PROBLEMAS DE ORIENTACIÓN DE LA MALLA
La Fig. 4.9 ilustra un ejemplo de dos métodos para el esquema normal de cinco puntos. Latrayectoria del flujo de un inyector a un productor es paralela a las líneas de la malla -Fig.
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4.9(a)- y diagonales a las líneas de la malla -Fig. 4.9(b)-. Para presión, no importa cualesdirecciones de mallas son orientadas, pero para saturaciones (inyección de agua), existe unadiferencia, que puede llegar a ser significativa a punto de obtener resultados irrealísticos.
Problemas de Orientación de la Malla:1. Relaciones de movilidad altas dan como resultado diferentes soluciones dependiendo de la
orientación de la malla. Para relaciones de movilidad alta (fluido desplazante/fluidodesplazado), la Fig. 4.11(a) y 4.11(b) muestran diferentes soluciones.
2. Una malla diagonal predice mejores recobros. La Fig. 4.10 muestra diferentes solucionespara mallas diferentes. Las mallas diagonales predicen un recobro más eficiente y mayoraceite antes del frente de ruptura del agua.
Parallel
a) Diagonal
Fig. 4.9. Ejemplo de orientaciones de malla
Una de las soluciones para problemas de orientación de malla es un esquema de nueve puntos,ilustrado en la Fig. 4.11(b), donde el flujo en el centro del bloque se da en ocho direcciones.La Fig. 4.11 muestra como se solucionan las ecuaciones.
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0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5
∆x=0.1
∆x=0.05
∆x=0.2
Yanosik-McCraken
9 points
R e
c u p e r a c i ó n d e a c e i t e , P V
PV Inyectados
Fig. 4.10. Influencia del espaciamiento de las mallas y la formulación de ecuaciones en elcomportamiento calculado de desplazamientos con relación de movilidad desfavorable
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
xx
x
a) Cinco Puntos b) Nueve puntos
Fig. 4.11. Ilustración simbólica de ecuaciones de flujo de formulación de cinco y nuevepuntos
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UNIDAD 5
AJUSTE HISTORICO
5.1. INTRODUCCIÓN
Uno de los usos más comunes de la simulación de yacimientos para problemas de campo es elajuste histórico. Este es un proceso de estimación de datos de yacimiento mediante datosarrojados por un simulador, los cuales generan un comportamiento del yacimiento similar alos datos reales en el campo. Esto, algunas veces es llamado problema inverso. En otraspalabras, se inicia con la solución (datos reales de campo) y se prueba para definir el problema
(descripción del yacimiento). Los datos reales de campo son usualmente son caudales deproducción/inyección y presiones de restauración de pozo. Los datos reales de campo puedentener un error. Algunas veces se convierten en un problema mayor el obtener un ajustehistórico aceptable. Para esta discusión, sin embargo, se asumirá que los datos reales decampo son exactos. Un principio del ajuste histórico es que un ajuste no es único. Esto es,que más de un grupo de datos de yacimiento pueden ajustarse a los medidos en campo conigual exactitud. Esta es una conclusión matemática complicada por las escasas y erróneasmedidas de campo. Esto implica la responsabilidad del ingeniero para realizar un juicio entrelos grupos diferentes de datos. Realizando ese juicio, otras fuentes de datos pueden seranalizadas, tales como registros de pozos, pruebas de producción, análisis de núcleos,interpretaciones geológicas, etc.
Muchos trabajos han desarrollado técnicas para ajustar automáticamente la presión, pero lamayoría de ajustes históricos están hechos por el ingeniero usando una aproximación deensayo y error por medio de análisis y juicios para modificar los datos de yacimiento yentonces volver a correr el simulador. Durante este proceso, el ingeniero está probando paraajustar las presiones medidas en campo con las presiones del simulador. Para yacimientos degas de una sola fase, no existe el problema adicional de ajustar relaciones agua – aceite yrelaciones gas – petróleo.
5.2. COMPARACIÓN DE LA PRESIÓN DEL SIMULADOR CON LOS DATOS DEPRESIÓN DE RESTAURACIÓN
Es posible ajustar la presión de fondo fluyendo, P wf . No obstante, que el dato no estáusualmente disponible y no es muy confiable a causa de posibles inexactitudes en el dato decaudal. Es más común y mucho más confiable ajustar el dato de presión de restauracióncuando está disponible. El problema es como ajustar el dato de presión de restauración. Laescala de tiempo de la prueba de presión de restauración es usualmente muy corta paramodelar exactamente con una malla a escala de campo debido a que las celdas son muy
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grandes. Peaceman propuso un método para comparar presiones de celda del simulador conpresiones de restauración. La Fig. 5.1 muestra un perfil de presión en una celda que contieneun pozo productor. El perfil de presión asume un estado pseudoestable. Se observa que lapresión de celda (la presión promedio del balance de materia incide la celda) está en alguna
parte entre P wf y la presión promedio de yacimiento. La Fig. 5.2 muestra la curva de presiónde restauración correspondiente a los datos de campo. La presión de celda corresponde a lapresión de restauración de campo apropiada encontrada en la línea recta de la gráfica semiloga un tiempo ∆t o el cual es calculado por la siguiente ecuación:
267.5( ) t
o
c xhrs =t
k
φµ ∆∆ (5.1)
∆x
P-Pwf
Po -Pwf
Pwf
Po
Pozo
Nodo en
el pozo
p
P
Fig. 5.1. Perfil de presión en una celda que contiene un pozo productor
p= 2872 psi
2940
2900
2860
∆to = 0.8746 hr
Ps (psi)
∆t, hr
0.1 1 10 100 100
Fig. 5.2. Curva de presión de restauración para el ejemplo problema 4
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La “presión de ajuste”, P o, corresponde a la presión de estado estable a 0.2∆ x la cual se usa enla expresión de “transmisibilidad”. Si P o es la misma presión de la celda, P i,j, entonces elsimulador ajusta apropiadamente el comportamiento de campo.
Ejemplo 1. Cálculo de la “Presión de Ajuste” de una prueba de restauración presión
Tabla 5.1. Datos de prueba de restauración de presión para ejemplo
Tiempo de cierre, ∆ t, hrs Presión de restauración, P s, psia0.10 2854.50.23 2861.50.39 2865.50.84 2871.51.56 2875.63.50 2881.0
7.38 2886.215.11 2891.030.53 2895.561.31 2900.0122.72 2904.1245.24 2907.1489.71 2909.3840.00 2910.4
Problema. Encontrar la “Presión de Ajuste” de la siguiente prueba de campo de presión de
restauración.
q = 23,000 scf/Dk = 0.15 mdφ = 0.18ct = 5 x 10-6 psi-1
Datos del modelo:∆ x = 100 ft
Solución. La solución sigue estos simples pasos: (1) graficar los datos de restauración enescala log ∆t , (2) dibujar una “línea recta en semilog”, (3) calcular ∆t o, y (4) encontrar P o a ∆t o en la “línea recta en semilog”. Esta es la “presión de ajuste” la cual será comparada con lapresión de celda del simulador al tiempo de la prueba de presión de restauración. La Fig. 5.2muestra el dato de restauración de campo graficado a escala semilog. La presión de ajuste esencontrada mediante el cálculo de ∆t o como sigue:
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-6 2(67.5)(0.18)(0.0216)(5x )( )10 100 0.8746(0.15)
o = = hrst ∆ (5.2)
y encontrando la presión correspondiente en la línea recta en semilog:
P o = 2872 psig
Esta presión es entonces comparada con la presión de celda del simulador cuando se evalúa lacorrida de ajuste histórico.
5.3. PRESIÓN DE AJUSTE HISTÓRICO
Ahora que la presión apropiada ha sido encontrada por ajuste, se discutirá como el dato delsimulador es modificado para ajustar las presiones de campo. La mayoría de ajustes históricos
realizados por ingenieros usan un modelo de ensayo y error. Un ingeniero experimentado usasu conocimiento sobre los fundamentos del comportamiento de la presión para guiar lasmodificaciones de los datos. La primera consideración es ajustar el tamaño del yacimiento, oel gas original in-situ. (No se considera influjo de agua en esta discusión.) Esto esfrecuentemente determinado con un simulador, pero usa los principios del balance de materia.Durante el estado pseudoestable, se conoce que todos los puntos en el yacimiento depletan enun caudal dado por:
g g
p t
q Bdp=
dt V c− (5.3)
El volumen poroso, V p, puede representarse como una integración de un mapa de contornos∆h y los efectos de φ y h no pueden ser separados. La compresibilidad total, ct , es igual a c f +
c g S g + cwS w. El valor de c g , puede no ser verdadero a presiones mayores a 6,000 psig, porencima de la cual c g comienza a ser relativamente pequeño. En este caso de presión mayor, laatención debería estar enfocada a obtener estimativos aceptables de c f . El término cwS w usualmente es menos importante (menor) que c f . Una vez que el gas in-situ ha sido ajustadopor el comportamiento de estado pseudoestable, el comportamiento transitorio deberá serajustado. La magnitud de la caída de presión es inversamente proporcional a la“transmisibilidad”, kh, y el momento de la caída de presión es inversamente proporcional a la
difusividad, k/ φµ ct . Esta relación puede ser vista en las relaciones de caída de presiónadimensional y tiempo adimensional usado en análisis de pruebas de presión.
Otro método de ajustar kh es por medio de un análisis de los perfiles de gradiente de presión(gráfica de presión vs. distancia) a un tiempo particular. Si ésto se refiere a migración defluido de un lado del yacimiento al otro, la magnitud del gradiente de presión es inversamenteproporcional a kh. En casos reales de campo el análisis del ajuste histórico pude ser muchomás complicado. Siempre se considera que el yacimiento es más homogéneo de lo que es. La
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falta de homogeneidad es frecuentemente demostrada cuando se perforan nuevos pozos y suspropiedades son sorprendentes. La falta de homogeneidad es también demostrada cuando seinyectan fluidos en el yacimiento y se encuentra falta de continuidad. Muchos yacimientosson complicados debido a los sistemas de sello y fallas parcialmente selladas, las cuales son
difíciles de detectar. El ajuste histórico para estos casos frecuentemente involucra análisispozo a pozo y ensaya y error.
Los principios mencionados son muchas veces encontrados para usarse aún si estos nocomprenden análisis completos. Un ejemplo se mostrará para ilustrar estos principios.
Ejemplo 2. Ajuste Histórico de Presiones de Yacimiento
Problema. Desarrolle el ajuste histórico sintético para tres años, y grafique la presión de lacara del pozo vs. tiempo para el pozo No. 1 y los perfiles de presión al final de cada año (verFig. 5.3).
k = 1.0 md h = 30 ft φ = 0.10µ g = 0.70 T = 150 0F P inicial = 6000 psiac f = 3.0x10-6 psi-1 ∆ x = 100 ft ∆ y = 100 ft IMAX = 20 JMAX = 5
Datos de historia real:
La “historia real” para este problema se generó por una corrida de simulación. Esto esllamado “ajuste histórico sintético”. Este proceso de ajuste sintético histórico es el mismoajuste real de datos de campo probando para deducir que dato resultó en el comportamiento
observado. Para el ejemplo 2, el dato de presión observada es bajo. Las presiones sonreportadas como P o las cuales podrían ajustar la presión de la celda. Estas presiones setomaron de pruebas de restauración de presión como se discutió anteriormente.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
3
4
5
Pozo # 1 en (4,3), pozo # 2, en (10,3) y pozo # 4 en (17,3)
Fig. 5.3. Celdas del Ejemplo 2 (ajuste histórico sintético)
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Tabla 5.2. Programa de Producción (scf/D)
Año Pozo 1 I = 4, J = 3
Pozo 2 I = 10, J = 3
Pozo 3
I = 17 , J = 3
1 40000 0 02 60000 40000 03 100000 60000 60000
Tabla 5.3. Datos de presión de restauración
Tiempo, años Pozo 1 Pozo 2 Pozo 30.000 60000.202 59070.466 58561.000 5779
1.466 56052.000 54462.308 52333.000 4857 4972 5036
Solución. Se tiene la historia completa de presión del pozo 1 durante ocho pruebas derestauración de presión. Sobre los pozos 2 y 3 solo se tiene una presión final de restauraciónal final de tres años. Las Figs. 5.4, 5.6 y 5.8 muestran el gráfico P o vs. tiempo para el pozo 1con corridas de simulación 1, 2 y 3, respectivamente. Las Figs. 5.5, 5.7 y 5.9 muestran el
perfil de presión a través de todo el yacimiento con corridas de simulación 1, 2 y 3respectivamente. La historia real es mostrada en cada gráfica. Imagine que se comparan lacorrida de la simulación 1 con la historia actual en las Figs. 5.4 y 5.5. Note que el rango dedeclinación de la presión es muy rápido en la corrida 1. Es aparente que el estado pseudoestable ha sido alcanzado a partir de la forma de la curva de la corrida 1 en la Fig. 5.4. Ya quese tienen datos completos para la corrida 1, se podría hacer algo para estimar el tiemporequerido para alcanzar el estado pseudoestable, a partir de la teoría del análisis de la pruebade pozo (radio de investigación). Note que siempre que se tiene una información completapara analizar el comportamiento de las corridas del computador mientras los datos reales delyacimiento son desconocidos. A partir de la discrepancia del rango de depletamiento, sedecide incrementar V p por incremento de la porosidad desde 0.10 a 0.15. Se usa la ecuación 2
para realizar el análisis en el rango de depletamiento. Ahora la corrida 2, con φ = 0.15,muestra que el rango de depletamiento está cerca de la derecha en la Fig. 6, pero elcomportamiento transiente no produce bastante caída de presión luego del inicio del estadopseudoestable. El nivel de presión está cerca a la parte derecha de la Fig. 5.7 pero el gradientede presión es muy plano. Ambas gráficas indican que kh/ µ es muy alto. No se desea cambiarh (junto con algunas razones convincentes) debido a que se cambiaría V p. Se asumirá que φ escorrecta. También se cambia la permeabilidad desde 1.0 md hasta 0.2 md. Se halló que la
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corrida 3 es un ajuste perfecto de la historia real.
4000
4500
5000
5500
6000
6500
0 200 400 600 800 1000 1200
Tiempo, días
P w f , p s i
Corrida # 1, φ = 0.1, k = 1 md
History real
Fig. 5.4. Presión de la cara del pozo Nº 1 vs. tiempo para la corrida No.1 (ajuste históricosintético)
4000
4200
4400
4600
4800
5000
5200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Nodo
P w f , p s i
Corrida # 1, φ = 0.1, k = 1 md
History real
Fig. 5.5. Perfil de presión a los 3 años para la corrida Nº 1 (ajuste histórico sintético)
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67
4000
4500
5000
5500
6000
6500
0 200 400 600 800 1000 1200
Tiempo, días
P w f , p s i
Corrida # 2, φ = 0.15, k = 1 md
Historia real
Fig. 5.6. Presión de la cara del pozo Nº 1 vs. tiempo para la corrida Nº 2 (ajuste históricosintético)
4400
4500
4600
4700
4800
4900
5000
5100
5200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Nodo
P w f , p s i
Corrida # 2, φ = 0.15, k = 1 md
History real
Fig. 5.7. Perfil de presión a los 3 años para la corrida Nº 2 (ajuste histórico sintético)
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4000
4500
5000
5500
6000
6500
0 200 400 600 800 1000 1200
Tiempo, días
P w f , p s i
Corrida # 3, φ = 0.15, k = 0.2 md
History real
Fig. 5.8. Presión de la cara del pozo No. 1 vs. tiempo para la corrida Nº 3 (ajuste históricosintético)
4400
4500
4600
4700
4800
4900
5000
5100
5200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Nodo
P w f , p s i
Corrida # 3, φ = 0.15, k = 1 md
Historia real
Fig. 5.9. Perfil de presión a los 3 años para la corrida Nº 3 (ajuste histórico sintético)
El dato de historia real fue generado para este problema con el dato de la corrida 3.
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Observando la historia real y decidiendo los cambios de datos a realizar, se ha trabajado enuna manera similar a un estudio de yacimiento real. El caso de estudio es mucho más simple,y el yacimiento pasó a ser homogéneo. El ajuste histórico en la práctica es mucho máscomplicado debido a los errores de los datos, heterogeneidades, más pozos, y descripciones
geológicas más complicadas (frecuentemente 3-D). El ingeniero nunca está completamenteseguro de la exactitud de la descripción del yacimiento.
5.4. PRONÓSTICO DEL COMPORTAMIENTO
El principal objetivo de un proyecto de simulación es pronosticar el comportamiento. Duranteel ajuste histórico, los caudales son especificados para cada pozo durante todo el periodohistórico. Los caudales usualmente son desconocidos para el periodo de pronóstico, tambiénotras condiciones usualmente son especificadas. La condición más común es especificar lapresión de fondo fluyendo, P wf , y permitir al simulador calcular los caudales para cada pasode tiempo. El objetivo de los proyectos de simulación de campo es usualmente comparar
alternativas con el propósito de ayudar a tomar decisiones. Un caso base es corridousualmente, el cual representa operaciones actuales continuas. Entonces otros casos soncorridos, los cuales representan operaciones alternativas, tales como perforación de nuevospozos, aumentar los compresores del campo, estimulación de pozos, inyección de fluidos (noes común esta discusión para yacimientos de gas seco, excepto para yacimientosalmacenadores de gas), etc. Decisiones de operación se efectuan con base en los pronósticosde comportamiento y económicos.
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UNIDAD 6
PRINCIPIOS BÁSICOS
6.1. INTRODUCCIÓN
Se ha dicho que la simulación ayuda a describir, con cierta precisión, el comportamiento deprocesos físicos que ocurren en los yacimientos. Para ello el ingeniero debe identificardichos procesos y formular las ecuaciones matemáticas que las gobiernan. Sin embargo,esta tarea no es nada fácil ya que el flujo de fluidos en medios porosos es un fenómeno muycomplejo y para representarlo se deben considerar ecuaciones que describan el flujo de losfluidos en 1, 2, ó 3 fases, a través de “canales de flujo” que presentan variaciones de uno ovarios órdenes de magnitud en donde los fluidos pueden ser tratados como incompresibles,ligeramente compresibles o compresibles. Además para representar el sistema de flujo
pueden considerarse 1, 2 e incluso 3 dimensiones, incluyendo si se desea, heterogeneidaden las propiedades petrofísicas, efectos gravitacionales, efectos capilares y transferencia demasa entre las fases. Con lo anterior es fácil suponer que la habilidad para predecir elcomportamiento de un yacimiento estará en función, primero, de la habilidad que tenga elingeniero para identificar el proceso físico que se presenta en el yacimiento y después, pararepresentar dicho proceso en forma matemática.
Las ecuaciones que se emplean en la simulación de yacimientos se obtienen de lacombinación de varios principios físicos como son:
a) Ley de la conservación de masa
b) Ley de la conservación de momentoc) Ley de la conservación de energía (1ª Ley de la termodinámica)d) Ecuación de flujo (Ley de Darcy)e) Ecuaciones de Estado
Este módulo está dedicado al estudio de las ecuaciones básicas que se utilizan paradesarrollar un modelo de simulación.
6.2. TIPOS DE ENERGÍA EN EL FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS
El flujo a través de medios porosos está relacionado con tres tipos de potencial de energía o
fuerzas que son:
a) Energía gravitacional,b) Energía de presión, yc) Energía cinética (la cual se desprecia debido a la velocidad del fluido en el medioporoso).
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6.2.1. Energía gravitacional
La fuerza gravitacional que actúa en un cuerpo de masa “m” es:
g F mg = (6.1)
La dirección de esta fuerza es vertical (coordenada Z ). Si la masa “m” se mueve bajo laacción de la fuerza, F g , el cambio de energía gravitacional (trabajo) está dado por:
g g dE F dZ mgdZ = = (6.2)
Integrando la ecuación (6.2) para tener el cambio total en energía gravitacional:
g
o o
E Z
g
E Z
dE mg dZ =
∫ ∫
- ( )o o E E mg Z Z = − (6.3)
Zo (Nivel de
Referencia)
Fig. 6.1. Esquema del nivel de referencia
En el nivel de referencia, Z o, la energía gravitacional ( E o) toma el valor de cero. Entonces laecuación (6.3), se escribe de la siguiente manera:
g E mgZ = (6.4)
Hay que hacer notar que mg es el “peso” o fuerza necesaria para levantar un cuerpo, una
distancia Z arriba del nivel de referencia; el trabajo hecho proporciona un almacenamientode energía.
6.2.2. Energía de Presión
En general, para procesos de desplazamiento de fluidos la expresión para el trabajo es:
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( )( tan ) ( )( )( tan )W fuerza dis cia área presión dis ciaδ = = (6.5)
pero,
(distancia)( ) ( )área volumen=
Por lo que la expresión (6.5) se puede escribir como:
W dP V δ =
ó,
W V dP δ = (6.6)
Como la energía disponible en un fluido a presión es equivalente al trabajo realizado para
comprimir dicho fluido, la Ec. (6.6) toma la forma:
pdE V dP =
Integrando:
p
o o
o
E P
p
E P
P
p o
P
dE VdP
E E VdP
=
− =
∫ ∫
∫(6.7)
El lado derecho de la ecuación anterior se evalúa de la relación P vs. V que es medida en ellaboratorio como se ilustra en la Fig. 6.2. Esta figura muestra la relación existente entre lapresión y el volumen obtenido en el laboratorio. Alternativamente estos cambios de energíapueden expresarse en términos de la densidad del fluido ρ como se muestra a continuación:
m
V ρ = (6.8)
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (6.7),
o
P
p o
P
dP E E m
ρ − = ∫ (6.9)
Tomando como referencia la presión atmosférica, a la cual E o = 0, la ecuación (6.9) setransforma a:
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73
V o l u m e n
Presión
P P1 0
V
V
1
0
Fig. 6.2. Trabajo aplicado sobre un elemento de volumen
atm
P
p
P
dP E m
ρ = ∫ (6.10)
6.3. POTENCIAL DE FLUJO, Φ
Un principio fundamental de la mecánica de fluidos a través del medio poroso es que losvectores de la velocidad del fluido son siempre normales a las superficies equipotenciales y
que la magnitud de dichos vectores son proporcionales al gradiente de estos potenciales;ésto es, la distribución de potencial dentro de un fluido determina su movimiento y lavelocidad de dicho movimiento, Fig. 6.3. Hubbert define al potencial Φ como “Energíamecánica por unidad de masa de fluido en cualquier localización”. Según ésto, el potencialgravitacional y el potencial de presión se pueden obtener de las ecuaciones (6.4) y (6.10)respectivamente:
g
g
E gZ
mΦ = = (6.11)
atm
P
p p
P
E dP m ρ
Φ = = ∫ (6.12)
Para llevar un fluido a una localización determinada deben realizarse algunas clases detrabajo en dicho fluido, la suma total del trabajo hecho en el fluido refleja la energíamecánica dentro del mismo. De esta manera, si se considera una partícula de fluido en unpunto en el que se sabe que el potencial es cero (Φo = 0), entonces el potencial asociado con
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éste fluido en movimiento hacia una nueva localización es Φ; Φ se calcula tomando encuenta todo el trabajo realizado sobre el fluido, o sea:
Líneas
Isopotenciales Líneas deflujo
φ φ φ φ1 2 3 4
Fig. 6.3. Isopotenciales y líneas de flujo
p g Φ = Φ + Φ (6.13)
ó bien utilizando las ecuaciones (6.11) y (6.12),
o
P
P
dP gZ
ρ Φ = +∫ (6.14)
La ecuación (6.14) es la expresión general de potencial de flujo en donde P o es la presiónen el punto inicial que en la ecuación (6.12) era considerada como la P atm.
6.3.1. Potencial de flujo para líquidos y para gases
Si se trata de un líquido (como se verá más adelante), la variación de la densidad conrespecto a la presión se considera constante (fluido ligeramente compresible). Así pues, lacompresibilidad del fluido está dada por:
1constante f
d c
dP ρ = = (6.15)
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Despejando “dP ” de la ecuación (6.15) se tiene:
1
f
dP d c
ρ ρ
= (6.16)
Sustituyendo (6.16) en (6.12),
2
1 1 1 1
o
P
f f o
d
c c
ρ
ρ
ρ
ρ ρ ρ
⎛ ⎞Φ = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
En términos de presión la ecuación anterior se expresa como:
( )11 f oc P P
P
f o
ec ρ
− −⎡ ⎤Φ = −⎣ ⎦
Si la diferencia de presión ( P - P o) es pequeña, el exponente puede aproximarse como:
[1 - c f ( P - P o) ]
luego:
o P
o
P P
ρ
−Φ =
Sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (6.14) se obtiene la expresión delpotencial del flujo para líquidos, ecuación (6.17).
- o L
o
P P gz
ρ Φ = + (6.17)
Donde los términos P o y ρ o se refieren a la presión y a la densidad del fluido en el puntoinicial. Para obtener la expresión que proporcione el potencial de flujo para gases, seprocede de la siguiente manera:
a) Partiendo de la ecuación de los gases ideales se llega a la siguiente expresión:
Atm
Atm
P P RT
m ρ ρ = = (6.18)
donde: ρ = densidad a la presión P .
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ρ atm = densidad a la presión P atm.
b) Sustituyendo la Ec. (6.18) en la Ec. (6.12)
g
Atm
P
Atm P
Atm P
P dP P ρ
Φ = ∫
Finalmente,
ln g
Atm P
Atm Atm
P P
P ρ Φ = (6.19)
c) Sustituyendo la Ec. (6.19) en la Ec. (6.14):
ln Atm g
Atm Atm
P P gZ P ρ
Φ = + (6.20)
Que es la ecuación que expresa el potencial de flujo para gases.
6.3.2. El Potencial para Columnas de Líquidos y Gases
El potencial para columnas de fluidos estáticos es constante. De esta manera, de la Ec.(6.17) se tiene:
tano
o
P P
gz cons te ρ
−Φ = + =
Considérese como la presión de referencia P o a la presión atmosférica ( P atm) en la partesuperior de la columna de líquido. En la superficie el Φ = 0, ver Figs. (6.4) y (6.5). Paracualquier otro punto de la columna, considerando que Φ = 0 = constante y utilizando la Ec.(6.17),
0o
o
P P gz
ρ
−+ =
Despejando “ P ” en la ecuación anterior:
P = P atm - ρ o g Z (6.21)
La coordenada Z es negativa por lo que P > P atm. Generalmente, esta relación presión -distancia se escribe en función de la profundidad “ D” con respecto al nivel de referencia.( D = -z). Así la Ec. (6.21) se escribe como:
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φ = 0 Z = 0Contacto g-o
Contacto w/o
Presión
P r o f u n d
i d a d
Z=0
Fig. 6.4. Columna de líquido Fig. 6.5. Relación presión - profundidad paralos fluidos de un yacimiento
P = P atm + ρ o g D (6.22)
Lo que indica que la presión es una función lineal de la profundidad.
Hasta ahora las ecuaciones que se han desarrollado, se han manejado indistintamente lasdimensiones masa y las dimensiones fuerza, prueba de ello es la Ec. (6.22). Para no crearposibles confusiones se explica a continuación la necesidad de introducir la constantegravitacional g c en estas ecuaciones. Si se analizan unas posibles unidades de los términosde la Ec. (6.22) se tiene:
[ ]2 2 2 3
2 2 2
Atm
Atm
lbf lbf pie lbm P P g D pie
pie pie seg pie
lbf lbf lbm P P g D
pie pie seg pie
ρ
ρ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ∗ ∗⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(6.23)
Las unidades del segundo miembro del lado derecho de la igualdad en la ecuación (6.23) noson consistentes, esto es:
2 2lbf lbm
pie seg pie⎡ ⎤ ⎡ ⎤≠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(6.24)
Multiplicando la ecuación (6.23) por 1/ g c,
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Atm
c
g P P D
g ρ = + (6.25)
Donde:
g = aceleración de la gravedad, 32.174 pie/seg2 g c = constante gravitacional, 32.174 lbm-pie/(lbf- seg2)
Lo anterior debe ser considerado para las ecuaciones que se han desarrollado anteriormente.Supóngase ahora una columna de gas. Igualando la ecuación (6.20) con cero se tiene:
ln 0 Atm
Atm Atm
P P gz
P ρ + = (6.26)
Si se toma como presión de referencia a la presión en la cabeza del pozo ( P
t ) en vez de la P atm, se tiene:
ln 0t
t t
P P gz
P ρ + = (6.27)
Si la ecuación anterior se hace -z = D y se considera una gas ideal donde,
Atm t
Atm t
P P
ρ ρ = (6.28)
Pudiéndose escribir finalmente:
ln ln t t
c t
g P P D
g P
ρ = + (6.29)
ó
ln ln Atmt
c Atm
g P P D
g P
ρ = + (6.30)
que representan las ecuaciones para columnas de gas.
6.4. NOTACIÓN VECTORIAL
Un escalar es un número, el cual tiene un valor singular. Por ejemplo, 5 es escalar, µ esescalar, -3.6 es escalar. Por otro lado, un vector , es un número el cual incluye varios valores.El más común es el espacio tridimensional. Por ejemplo, un vector u tiene la siguiente formaen tres dimensiones:
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1
2
3
u
vector u = u = u = u
u
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6.31)
Algunas veces, se dice que un vector tiene dirección y magnitud, pero una forma más generales pensar que un vector es una columna de números. La columna longitud tiene tres númerosen el espacio tridimensional y dos números en el espacio bidimensional.
Ahora, se presenta un operador llamado delta (u operador nabla), que se escribe ∇. Ennotación vectorial esto es equivalente a la derivada. Por ejemplo, si se tiene un espaciotridimensional x, y, z. El operador delta se usa junto con un escalar , por ejemplo a, paradefinir el gradiente de a.
a x
aGradiente del escalar a = a =
y
a
z
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
∇ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.32)
Aunque a es escalar, ∇a es vector.
Una operación algebraica común es el producto interno que se denota con u . v o (u, v), porejemplo, donde u y v son vectores. Algunas veces, el productor interno se le llama producto
punto y se define como:
( )
n
i=1
Producto interno (punto) de los vectores y
=
1 1 2 2 n n
i i
u v = u v = u,v
= + + ... +u v u v u v
u v
⋅
∑
El operador delta también se usa para especificar la divergencia de un vector.
1 2 3= + +u u uDivergencia de u = u
y z
∂ ∂ ∂∇⋅
∂ ∂ ∂ (6.33)
La divergencia de un vector es un escalar. Estas reglas básicas se usan repetidamente cuando seescriben y se derivan ecuaciones en Ingeniería de Yacimientos.
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80
6.5. LEY DE DARCY
En 1856, Darcy descubrió que el flujo que pasaba a través de un filtro de arena eraproporcional al gradiente de presión aplicado al área transversal al flujo e inversamente
proporcional a la longitud del empacamiento. Matemáticamente,
1 2h hq CA
L
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦(6.34)
Al aplicarse la ley a otros fluidos se encontró que la constante C podría ser consideradacomo k/ µ , donde µ es la viscosidad del fluido y k una propiedad (permeabilidad) exclusivade la roca. La forma general de la ley de Darcy para el flujo de fluidos a través de un medioporoso es:
S
k dP dZ
V g dS dS ρ µ
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (6.35)
La ley de Darcy gobierna el flujo de fluidos en el yacimiento y en el simulador. Darcy publicóresultados experimentales de agua que fluía a través de filtros de arena. El observó que:
( )2 1w wq = c -h h (6.36)
Esto manifiesta que el caudal es proporcional a la diferencia de altura de agua del manómetroen los dos extremos del tubo. Darcy notó que esta proporcionalidad de la rata de flujo con ladiferencia en el manómetro se aplicaba sin importar el ángulo de inclinación del tubo. Ahora,
se generaliza este resultado reconociendo que el empaquetamiento tiene una permeabilidad, k ,área, A, longitud, L, y que el fluido tiene una viscosidad particular, µ . La ecuación se rescribecomo:
2 1( - ) kA
q = Lµ
Φ Φ (6.37)
Las lecturas del manómetro expresan el potencial de flujo, Φ.
6.5.1. Ley General de Darcy (Isotropía)
Una expresión más general de la ley de Darcy muestra que el vector velocidad “Darcy”, u, esigual a la movilidad multiplicada por el gradiente del potencial para cualquier fase. Estaexpresión general es para permeabilidad isotrópica, y no direccional.
0.00633k
u = -µ
∇Φ
(6.38)
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81
donde,
u = velocidad Darcy, ft/D
k = permeabilidad, mdµ = viscosidad, cp∇Φ = gradiente del potencial de flujo = ∇ P + ( ρ /144) ∇ z ρ = densidad del fluido, lbm /ft
3 z = elevación (positiva hacia arriba), ft
en una dimensión,
0.00633144
x
k dP dz= +u
dx dx
ρ
µ
⎛ ⎞− ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (6.39)
ó, para simplificar la notación, se puede usar el ángulo α para designar el ángulo deinclinación de la dirección x con la horizontal. Entonces, dz/dx = sen α , y:
0.00633 +144
x
k dP = - senu
dx
ρ α
µ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.40)
Note que se define el potencial como Φ = P + ( ρ / 144) Z , luego esto es estrictamente válidopara fluidos incompresibles. Realmente, el gradiente del potencial debería definirse parafluidos compresibles ∇Φ = ∇ P + ( ρ / 144) ∇ Z . Luego, las diferencias de potencial deben
encontrarse mediante integración de los gradientes a lo largo del camino de flujo. La velocidadDarcy no es una velocidad real. Es una velocidad macroscópica, la cual da la rata de flujocuando se multiplica por el área seccional normal al flujo. Sus unidades son ft3 /D/ft2. Esto noconsidera el espacio ocupado por las partículas de la roca. La velocidad promedia, v, puedecalcularse en la dirección de flujo, mediante v = u/ φ , donde u es la velocidad (Darcy)microscópica definida por q = Au.
6.5.2. Ley General de Darcy (Anisotropía)
Si se tiene permeabilidad direccional (anisotropía), la expresión general es más complicada.
0.00633 k u = -µ
∇Φ
(6.41)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
k k k
k k k k
k k k
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(6.42)
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82
La permeabilidad se convierte en tensor , k
, el cual posee forma matrical. Este tensor tienenueve valores pero la matriz es simétrica (i.e., k 31 = k 13), de modo que la matriz tiene solo seisvalores distintos. Para flujo en la dirección x,
11 12 13- - - xk k k =u
y zµ µ µ ∂Φ ∂Φ ∂Φ∂ ∂ ∂
(6.43)
Esta expresión complicada puede simplificarse orientando las coordenadas del sistema deflujo (coordenadas del simulador) a lo largo de los ejes de permeabilidad. Estos ejes sonortogonales entre sí y se alinean con las permeabilidades máximas y mínimas. Cuando lascoordenadas se orientan de esta manera, entonces cada dirección tiene su propiapermeabilidad y el tensor solo tiene tres elementos diferentes de cero.
k =
k 0 0
0 k 0
0 0 k
x
y
z
⎡
⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥⎥
(6.44)
Luego, el flujo en la dirección x se simplifica a:
xx = - k
u xµ
∂Φ∂
(6.45)
Todos los simuladores se diseñan para tener las coordenadas orientadas correctamente. Demodo que la ley de Darcy para una dirección particular se expresa en términos de
permeabilidad en esa dirección:
0.00633x
x x
k = -u
µ
∂Φ∂
(6.46)
6.5.3. Flujo Multifásico
La ley de Darcy se extiende a flujo multifásico. La presión, gravedad y efectos capilares seincluyen en estas ecuaciones. El primer paso es definir los potenciales de las tres fases.Arbitrariamente, se usa la presión del petróleo como la presión de referencia. Esto conduce ala inclusión de los términos capilares en las ecuaciones de potencial de gas y agua.
o oo
144 144o= + z = P + z P
ρ ρ Φ (6.47)
g gg
144 144cog = + z = P + z + P P
ρ ρ Φ (6.48)
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83
ww
144 144w
w cow= + z = P+ z - P P ρ ρ
Φ (6.49)
donde,
P o,g,w = presión de la fase, psi P = P o, psi P cog = presión capilar aceite-gas, P g - P o, psi P cow = presión capilar aceite-agua, P o - P w, psi Z = elevación (positiva hacia arriba), ft ρ = densidad del fluido, lbm /ft
3 ρ /144 = gradiente hidrostático, psi/ft
El uso de la presión de aceite en las tres ecuaciones anteriores, en vez de usar P g y P w, originalos términos de presión capilar. Las tres ecuaciones de flujo son:
o
o
0.00633 +144
oo
k = - P zu
ρ
µ
⎛ ⎞∇ ∇⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6.50)
g
g
0.00633144
g cog g
k = - P + z +u P
ρ
µ
⎛ ⎞∇ ∇ ∇⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6.51)
w
w
0.00633 +144
ww cow
k = - P z - P u
ρ
µ
⎛ ⎞∇ ∇ ∇⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6.52)
donde,
k o = permeabilidad efectiva al aceite = k k ro, mdk g = permeabilidad efectiva al gas = k k rg , mdk w = permeabilidad efectiva al agua = k k rw, mdk ro = permeabilidad relativa al oilk rg = permeabilidad relativa al gask rw = permeabilidad relativa al agua
6.6. EFECTOS DE LA PRESION CAPILAR
En general, tenemos familiaridad con los efectos gravitacionales sobre un fluido, pero el efectocapilar es menos directo. Es importante saber cuando existen efectos capilares en unsimulador. El uso más común de los datos de presión capilar está en la determinación de lassaturaciones originales a condiciones iniciales. El equilibro capilar/gravedad se representanpor la traducción de la curva de presión capilar bajo condiciones de drenaje contra lasaturación de agua. La relación entre elevación y presión capilar está dada por:
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( ) 144w o
cow FWL= Z - Z P ρ ρ −
(6.53)
donde, Z FWL es la elevación del contacto de agua libre al cual P cow = 0. Ver Fig. 6.6. Una
expresión similar existe para gas y aceite. Esto puede modelarse en el simulador con una mallamuy fina.
P c o w
Sw
Z - Z F W L
Sw1-Sor 1-Sor
Fig. 6.6. Curvas de presión capilar
El efecto de la presión capilar en el desplazamiento es menos obvio porque no se estáacostumbrado a hacer cálculos manuales de flujo de fluidos incluyendo efectos capilares.Considérese un desplazamiento horizontal de aceite por agua en un espacio unidimensional.
La solución a este problema es directo si no se tienen efectos capilares. Construimos una curvade presión capilar y luego se traza una tangente desde la saturación inicial a la curva de flujofraccional. El punto tangencial representa el flujo fraccional en el frente. Este se llama elmétodo de Welge. Ver Fig. 6.7(a) donde se observa un frente abrupto. Cuando existen efectoscapilares, el resultado es una dispersión del frente, ver Fig. 6.7.(b). La solución de Welge no seaplica al frente. La forma del frente está controlada por fuerzas capilares.
Sw Sw
x x
(a)(b)
Fig. 6.7. Desplazamiento del frente de inundación
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A menudo se nota que es importante simular los efectos capilares en el desplazamiento en unmodelo a escala de campo. Si se ignoran los efectos capilares, se encuentra que el simuladorno proporciona el frente brusco que da la solución de Welge. En vez de ésto, un error deModelamiento llamado dispersión numérica resulta en un frente disperso similar al causado
por la inclusión del efecto de la presión capilar. Note que la dispersión física en el yacimientoes más importante por rocas de baja permeabilidad pero estarán causando efectos dedispersión de las heterogeneidades. Luego, los resultados del simulador, incluyendo dispersiónnumérica, podrían ser más representativos del comportamiento del yacimiento que la soluciónde Welge, incluso para rocas con alta permeabilidad.
Otra aplicación de los efectos de presión capilar es su efecto en la imbibición de la fasemojante. Un ejemplo es el flujo contracorriente que ocurre cuando el agua imbibe en una rocade baja permeabilidad para desplazar el aceite. Aunque ésto podría ser un importantemecanismo de recobro en algunos casos raros, toma lugar muy lentamente.
6.7. FUERZAS DE FLUJO EN EL YACIMIENTOA menudo, analizamos el comportamiento del flujo en términos de fuerzas implicadas por laley de Darcy. Nos referimos entonces a las fuerzas viscosas, gravitacionales y capilares. Estasse expresan usualmente en términos del gradiente de presión:
Fuerza viscosa psi/ft0.00633
= u,k
µ (6.54)
Fuerza Gravitacional psi/ft= ,144
ρ ∆ (6.56)
Fuerzas Capilares psi/f c
c
dP = P = S, t
dS ∇ ∇ (6.57)
Donde, S es la saturación de interés. La inspección de estas ecuaciones proporciona unentendimiento de las fuerzas:
1. Si no hay flujo, la fuerza viscosas = 0.
2. Si no existe diferencia de densidad (fase única, por ejemplo) entonces la fuerzagravitacional = 0.
3. Si no hay gradiente de saturación (por ejemplo, única fase) luego, las fuerzas capilares=0.
Es común analizar los términos de flujo en el yacimiento en términos de relaciones.Recordemos el número de Reynolds, para flujo en tuberías como una relación las fuerzasinerciales con las fuerzas viscosas. Un ejemplo de una relación de fuerzas para flujo enyacimientos es el número gravitacional : la relación entre fuerzas gravitacionales con las
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86
fuerzas viscosas:
0.00633 1
144 gravity
k N
u
ρ
µ
∆= (6.58)
6.8. ECUACION DE CONTINUIDAD
Este tema se tratará con más detalle en la siguiente unidad. La ecuación de continuidad paraun medio poroso es:
( )( )u = -
t
φρ ρ
∂∇⋅
∂
(6.59)
La derivación arranca con un elemento del espacio del medio poroso. Tome un elemento desuperficie, ds, Fig. 6.8, y observe que la rata de flujo másico que sale del elemento serepresenta en la Fig. 6.9 que corresponde a una ampliación del esquema presentado en laFig. 6.8. Cuando
u no está normal (perpendicular) a la superficie, se toma el componente
normal nu
⋅ de modo que:
Fig. 6.8. Elemento del espacio poroso
dsu n ρ
i
u ρ
Fig. 6.9. Elemento de superficie
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Rata de flujo másico de ds = ( ) ( )u n ds u n ds ρ ρ ⋅ = ⋅
(6.60)
Las unidades pueden expresarse en:
(lb / ft 3) ( ft / sec) ( ft 2)=lbm/sec (6.61)
Para obtener la masa total de flujo fuera del elemento, se integra sobre toda la superficie:
( )S
flujo total de masa que sale u n dS ρ = ⋅∫∫
(6.63)
Tomando un pequeño volumen, dV , de cualquier parte del elemento:
( )
flujo total de masa perdida de dV = - dV
t
φρ ∂
∂
(6.64)
Luego, se obtiene la rata de nasa total perdida mediante integración sobre todo el elemento:
( )
V
total de masa perdida = - dV t
φρ ∂∂∫∫∫ (6.65)
igualando:
masa total que sale = masa total perdida, i.e.,
( )( )S V
u n ds = - dV t
φρ ρ ∂⋅
∂∫∫ ∫∫∫ (6.66)
Aplicando el teorema de la divergencia (de Gauss) que dice;
∫∫∫∫∫ ⋅∇⋅V S
dV u=dsnu )()(
ρ ρ (6.67)
Substituyendo lo anterior en el lado izquierdo se tiene:
( )( )V V
u dV = - dV t
φρ ρ ∂∇ ⋅∂∫∫∫ ∫∫∫ (6.68)
A medida que dV tiende a cero, los integrandos se igualan, dando la forma final de laecuación de continuidad:
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( )( )u = -
t
φρ ρ
∂∇⋅
∂
(6.69)
Esta es la ecuación de continuidad para el flujo de fluidos en medios porosos.
6.9. REGLA DE LA CADENA
Si w = f ( u1, u2, ..., um ) y u j = f ( x1, x2, ..., xn ) entonces se cumple que,
1 2
1 2
m
i i i m i
u uw w w w u= + + ... +
u u x x u x
∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(6.70)
Ejemplos:
Si ρ = f ( P ,T ) y P , T = f ( x, y, z, t ) entonces,
P T = +
x P x T x
ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Pero si ρ = f ( P ) solamente y P = f(x, y, z, t) se tiene,
d P =
x dP x
ρ ρ ∂ ∂∂ ∂
donde d ρ /dP expresa la derivada total, no la derivada parcial
6.10. LINEALIDAD
L (0) = 0 (6.71)
L (c1u) = c1 L(u) (6.72)
L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2) (6.73)
L(c1u1 + c2u2) = c1 L(u1) + c2 L(u2) (6.74)
Homogéneos:
L(u) = 0 (6.74)
No-homogéneos:
L(u) = f ( x,y) (6.75)
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89
i.g. un operador (con x, y) de segundo orden será:
L = A x
+ B x y
+ C y
+ D x
+ E y
+ F 2
2
2 2
2
∂∂
∂∂ ∂
∂∂
∂∂
∂∂
(6.76)
donde A, B, C , D, E , F = f ( x, y), y no de f (u).
6.11. ECUACION DE DIFUSIVIDAD
La ecuación de difusividad para un sistema líquido en un medio poroso homogéneo es:
2 t P c P =
k t
φµ ∂∇
∂(6.77)
La derivación, que se detallará en la próxima unidad está basada en las siguientes tresrelaciones:
1. Ecuación de Continuidad
( )u = -
t
φρ ρ
∂∇ ⋅
∂
(6.78)
2. Ley de Darcy
k u = - P µ
∇ (6.79)
3. Ecuación de estado (proceso isotérmico)
ρ = f(P) (6.80)
La compresibilidad isotérmica del fluido es:
1 1dV d c = - =
V dP dP
ρ
ρ
(6.81)
y la de la roca es:
1 f
d =c
dP
φ
φ (6.82)
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90
Sustituyendo la Ley de Darcy en la ecuación de continuidad,
( )k - P = -
t
φρ ρ
µ
⎛ ⎞ ∂∇ ⋅ ∇⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
(6.83)
Asumiendo constantes k y µ
( ) P =
k t
µ φρ ρ
∂∇ ⋅ ∇
∂(6.84)
Derivando el lado izquierdo con el operador ∇, se tiene:
( )( ) ( ) P + P =
k t
µ φρ ρ ρ
∂∇ ⋅∇ ∇ ⋅ ∇
∂(6.85)
o;
( )( ) ( )2 P + P =
k t
µ φρ ρ ρ
∂∇ ⋅ ∇∇
∂(6.86)
El gradiente de densidad se puede expresar como:
d = P = c P
dP
ρ ρ ρ ∇ ∇ ∇ (6.87)
De modo que el lado izquierdo se convierte en:
( )( ) ( )2 P + c P P =
k t
µ φρ ρ ρ
∂∇ ⋅ ∇∇
∂(6.88)
El Segundo término, c ρ (∇ P )⋅(∇ P ) no es lineal. Luego, se ignora para hacer la ecuación dedifusividad lineal, con base en que c es pequeña (para líquidos) y que el gradiente depresión al cuadrado también es pequeño. Finalmente:
1 ( )2 P =
k t
µ φρ
ρ
∂∇
∂
(6.89)
Expandiendo el lado derecho:
12 P = +k t t
µ ρ φ φ ρ
ρ
∂ ∂⎛ ⎞∇ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
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91
12 d P d P P = +
k dP t dP t
µ ρ φ φ ρ
ρ
∂ ∂⎛ ⎞∇ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
1 ( ) ( )2 f P P P = c + ck t t µ φ ρ ρ φ
ρ ∂ ∂⎡ ⎤∇ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
2 f
P P = c +c
k t
φµ ∂⎡ ⎤∇ ⎣ ⎦ ∂
Definiendo ct como la compresibilidad total (fluido y roca), ct = c + c f , se obtiene la formafinal del la ecuación de difusividad:
2 t P c P =
k t
φµ ∂∇
∂(6.77)
Esta puede expresarse en términos de diferentes geometrías, afectando solo el ladoizquierdo de la ecuación. El término ∇2 P se llama El Laplaciano de P. Esta ecuación esdiferencial parcial si φµ ct /k no dependen de P . Usualmente se asume que cada parámetroes constante de modo que resulta una ecuación diferencia1 parcial que es posible hallarlesolución analítica:
Flujo lineal 1D:
2
t 2 P P c=
k t xφµ ∂∂∂ ∂ (6.90)
Flujo cartesiano 2D
2 2
22
t P P P c+ =
k t y x
φµ ∂∂ ∂∂ ∂∂
(6.91)
En análisis de presiones de fondo se usa geometría radial:
1t
P P cr =
r r r k t
φµ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (6.92)
o;
2
2
1 t P P P c+ =
r r k t r
φµ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂
(6.93)
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92
6.12. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALESDE SEGUNDO ORDEN
La ecuación general en forma canónica es:a u + bu + cu = H(x,y,u,u ,u ) xx xy yy x y (6.94)
Discriminante: b2 - 4ac
Discriminante Tipo Ejemplo
< 0 Elíptica u xx + u yy = 0 (Ecuación de Laplace)u xx + u yy = c (Ecuación de Poisson)
(Ecuación en pseudoestable)
= 0 Parabólica u xx = ut (Ecuación de Fourier)(Ecuación de transiente depresión)
> 0 Hiperbólica u xx - u yy = 0 (Ecuación de onda)
6.13. COMPARACION DE LA ECUACION DE DARCY CON LA ECUACION DECALOR
Conducción de calor
La ecuación de difusividad en flujo lineal es:
t
T 1 =
x
T
∂∂
∂∂
α 2
2
(6.95)
La difusividad térmica es:
α λ
ρ
=
c p
(6.96)
La ecuación de flujo (ecuación de Fourier) es:
qbtu
hr = A
T
x
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠⎟
∂∂
λ (6.97)
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i-1 i i+1
h
∆x
∆y
Fig. 6.10. Sistema lineal
La ecuación de acumulación es:
d(btu) = c VdT p ρ c p = calor específico (6.98)
Ecuación de Conservación:
Flujo que entra – Flujo que sale = Rata de acumulación (Energía
) (Btu/D)
Ecuación en diferencias finitas, para un dominio espacial como el de la Fig. 6.10, es:
11 1 ( )
n+ ni+ i i- i i i
p
- - -T T T T T T A + A = A xc
x t λ λ ρ ∆
∆ ∆ ∆(6.99)
11 1
2
2
( )
n+ n pi+ i- i ii- T + -cT T T T
= x t
ρ
λ
⎛ ⎞⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠ (6.100)
Flujo de Fluidos
La ecuación de difusividad en flujo lineal es:
12
2
P P =
t x η
∂∂∂ ∂
(6.101)
La difusividad hidráulica es:
0.00633k =
cη
φµ (6.102)
La ecuación de flujo (ecuación de Darcy) es:
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0.00633 scf kA P q =
D B xµ
∂⎛ ⎞⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
(6.102)
estando k en md, la ecuación de acumulación es:
( ) pcV d scf = dP
B(6.103)
1 dV basada en c = -
V dP
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Ecuación de Conservación:
Flujo que entra – Flujo que sale = Rata de acumulación (Masa) (scf/D)
Ecuación en diferencias finitas para un dominio espacial como el de la Fig. 6.10 es:
11 10.00633 0.00633 n+ n
i+ i i- i i ikA - kA - c( A x) - P P P P P P + =
B x B x B t
φ
µ µ
∆ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6.104)
11 12
0.00633
n+ ni+ i i- i i
2
- + c - P P P P P =
k t ( x )
φµ
∆∆(6.105)
6.14. PROBLEMAS CON VALOR EN LAS FRONTERAS
6.14.1. Sistema Radial Infinito (Rata constante). La ecuación de difusividad para unsistema radial infinito, ver Fig. 6.11, es una ecuación de Fourier. La ecuación diferencialparcial (EDP) es:
1
0.00633
P c P r =
r r r k t
φ µ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(6.106)
Condición Inicial:
( 0) i P r, = P (6.107)
Condición de Frontera Externa:
( ) ir P r, t =| P → ∞ (6.108)
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q
rw r
h
pi
Fig. 6.11. Sistema radial infinito
Condición de Frontera Interna:
2 (0.00633)wr r
khr P q = |
B r
π
µ →
∂∂
(6.109)
Defina las siguientes variables adimensionales:
0.00633 D 2
t w
kt =t
c r φµ (6.110)
2 (0.00633) i D
π kh( - P) P = P
qBµ (6.111)
D
w
r =r
r (6.112)
La EDP y sus condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional son:
1 D D D
D D D D
P P =r
t r r r
∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(6.113)
Condición Inicial:
( 0) 0 D D , = P r (6.114)
Condición de Frontera Externa:
( ) 0 D
D D D r , =|t P r → ∞ (6.115)
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Condición de Frontera Interna:
1 1 D
D
D r D
P r = -|
r →
∂∂
(6.116)
La solución para r D > 1 es:
21( )
2 4 D
D D D
D
r , = Ei -t P r
t
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
La cual, en la cara del pozo, puede aproximarse t D > con la ecuación semilog de la línearecta:
1(1 ) ln 0.4045
2 D D D , = +t t P (6.117)
6.14.2. Sistema Radial Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable). La ecuación dedifusividad para un sistema radial cerrado es una ecuación de Poisson. Fig. 6.12. Para queel estado exista, ∂ P / ∂t -q B /(V p ct ). Haciendo esta sustitución en la EDP da:
20.00633 e
1 d dP c qBr =
r dr dr k h cr
φµ
π φ
⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6.118)
Condición Inicial:
P (r,0) = P i (6.119)
Condición de Frontera Externa:
0e
P =
r r
∂∂
(6.120)
Condición de Frontera Interna:
2 (0.00633)wr r
khr P
q = | B r
π
µ →
∂
∂ (6.121)
Defina los siguientes parámetros adimensionales:
r c
kt =t
w
D 2
0.00633
φµ (6.122)
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97
q
rw r
h
Fig. 6.12. Sistema radial cerrado
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.E+00 2.E+05 4.E+05 6.E+05 8.E+05 1.E+06 1.E+06
Infinite acting
Pseudosteady state
1(1 ) ln 0.4045
2 D D D , = + p t t
1 2 3( ) ln
2 4
2 D D D
D D D 2 2 De De De
r t r , + - - p t r
r r r ≅
t D
p D
Fig. 6.13. Solución para estado pseudoestable
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D
w
r =r
r , De
e
w
r =r
r (6.123)
2 (0.00633) i
D
kh( - P) P
= P qB
π
µ (6.124)
La EDP y sus condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional son:
2
2 D D
D D D De
1 P =r
r r r r
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(6.125)
Condición Inicial:
( 0) 0 D D , = P r (6.126)
Condición de Frontera Externa:
0 D De
D
=r r D
P =|
r
∂∂
(6.127)
Condición de Frontera Interna:
1 1 D
D
=r D
P = -|
r
∂∂
(6.128)
La solución de estado pseudoestable en cualquier punto es:
2
2 2
1 2 3( ) ln
2 4 D D D
D D D De De De
r r t , + - -t P r
r r r ≅ (6.129)
La solución de estado pseudoestable en la frontera interna es:
2
2 3(1 ) ln
4
D D De D
De
t , + -t P r
r
≅ , (6.130)
que se puede rescribir como:
3(1 ) 2 ln
4 D De D DA , t + -t P r π ≅ (6.131)
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99
El primer término en el lado derecho de la ecuación es el término de depleción el cualexpresa una caída en la presión promedia del yacimiento.
La Fig. 6.13 muestra como la solución completa puede aproximarse a la solución decomportamiento infinito a tiempos tempranos y estado pseudoestable a tiempos tardíos(r e / r w = 1000).
6.14.3. Sistema Lineal Infinito (rata constante). La ecuación de difusividad para estesistema es:
0.00633
2
2
P c P =
k t x
φµ ∂∂∂ ∂
(6.132)
Condición Inicial:
( 0) i P x, = P (6.133)
Condición de Frontera Externa:
( ) i x P x,t =| P → ∞ (6.134)
Condición de Frontera Interna:
0.00633kA P q =
B xµ
∂
∂
(6.135)
Defina los siguientes parámetros adimensionales:
D
x= x
A(6.136)
cA
kt =t D
φµ
0.00633(6.137)
0.00633( )i D - P k A P = P
q Bµ (6.138)
La EDP y sus condiciones iniciales y de frontera en forma adimensional son:
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100
q
pi
x
Fig. 6.14. Sistema lineal infinito2
2
D D
D D
P P =
x t
∂∂∂ ∂
(6.139)
Condición Inicial:
( 0) 0 D D , = x P (6.140)
Condición de Frontera Externa:
( ) 0 D
D D D x , =| x t P → ∞ (6.141)
Condición de Frontera Interna:
1 D
D
P = -
x
∂∂
(6.142)
La solución para cualquier x D es:
2 4( ) 22
D D D D- / t x
D D D D
D
t x , = - erfc x t e x P
t π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.143)
La solución en la frontera interna es:
(0 ) 2 D D D
t , =t P
π (6.144)
6.14.4. Sistema Lineal Cerrado (Rata constante, estado pseudoestable). De nuevo, laecuación de difusividad para un sistema cerrado es una ecuación de Poisson. Para queexista estado pseudoestable, ∂ p / ∂t está en toda parte. Realizando un balance de masa sehalla que ∂ p / ∂t = -qB /(V p ct ). Haciendo esta sustitución en la EDP da:
2
2 0.00633
P c qBd =
d k LA c x
φµ
φ
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.145)
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101
q
x
D
D
p= 0
L x
∂
∂
Fig. 6.15. Sistema lineal cerrado
Condición Inicial:
( 0) i P x, = P (6.146)
Condición de Frontera Externa:
0 P
= x = L x
∂∂
(6.147)
Condición de Frontera Interna:
0.006330
kA P q =
x = B xµ
∂∂
(6.148)
Defina los siguientes parámetros adimensionales:
Lc
kt =t D 2
0.00633
φµ (6.149)
D x = x
L(6.150)
0.00633( )i D
- P kA P = P
q BLµ (6.151)
La EDP, su condición inicial, su condición de frontera externa e interna son,respectivamente:
2
21 D
D
P =
x
∂∂
(6.152)
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102
( 0) 0 D D , = x P (6.153)
0
D
D
P
= x = L x
∂
∂ (6.154)
1 D
D
P = -
x = 0 x
∂∂
(6.155)
La solución para cualquier x D y t D es:2 1
( )2 3 D
D D D D D
x , = + - + x t t x P (6.156)
El primer término en el lado derecho de la ecuación es el término de depleción el cual
expresa una caída en la presión promedia del yacimiento. En la frontera interna:
1(0 )
3 D D D , = +t t P (6.157)
En la frontera externa:
1(1 )
6 D D D , = -t t P (6.158)
La Fig. 6.16 muestra como la solución completa puede aproximarse a la solución de
comportamiento infinito a tiempo tempranos y como alcanza la solución de estadopseudoestable a tiempos tardíos.
6.14.5. Sistema Lineal Transitorio. La ecuación de difusividad para este caso es:2
2
u
x=
u
t
∂∂
∂∂
(6.159)
Condición Inicial:
u( x,0) = 0 (6.160)
Condición de Frontera Externa:
u(0,t ) = 0 t > 0 (6.161)
Condición de Frontera Interna:
u(1,t ) = 1 t > 1 (6.162)
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103
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
P D
t D
D D D
1(0, ) = + p t t
3
Tarde
D
D D
t (0, ) = 2 p t π
Temprano
Fig. 6.16. Solución para sistema lineal cerrado
La solución puede disponerse en la forma: u = v( x) + w( x,t ), donde v( x) es el término deestado estable y w( x,t ) es el término transitorio.
Término de estado estable Término transitorio
, 0 1v x x= ≤ ≤ xx t = = 0v v
( 0)w x, = - x
xx t =w x
Condiciones iniciales:(0) 0
(1) 1
v =
v =
Con estas condiciones se tiene:
( )v x x=
(0 ) 0(1 ) 0
w ,t =
w ,t =
2 212 sin
2
n- t n
n=1
n x(- )w = e
nπ
π
π
∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑
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104
x
v=x
w(x,t)
E s t a d o
e s t a b l e
t1t2t3
t1
t2
t3
t4
SISTEMA LINEAL TRANSITORIO
1
1x0
Fig. 6.17. Solución para sistema lineal transitorio
x
v=1
w(x,t)
Estado estable
t1t2t3
t1t2
t3
t4
SISTEMA LINEAL TRANSITORIO
(Frontera izquierda cerrada)
1
t4
x0
Fig. 6.18. Solución para sistema lineal transitorio (frontera izquierda cerrada)
Solución:
2 2( 1)( ) 2 sin
2
n- t n
n=1
n x-u x,t = x + e
nπ
π
π
∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (6.163)
6.14.6. Sistema Lineal Transitorio (Frontera izquierda cerrada). Para este caso, laecuación de difusividad es:
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105
t
u =
x
u
∂∂
∂∂
2
2
(6.164)
Condición Inicial:
u( x,0) = 0 (6.165)
Condiciones de Frontera:
u x(0,t ) = 0 (6.166)
u(1,t ) = 1 (6.167)
Al igual que el caso anterior, la solución puede disponerse en la forma: u = v( x) + w( x,t ),donde v( x) es el término de estado estable y w( x,t ) es el término transitorio.
Término de estado estable Término transitorio0 1v = x, x≤ ≤
0 xx t = =v v
( 0) 1w x, = -
xx t =w w
Condiciones de frontera:
(0) 0
(1) 1 xv
v
=
= Con estas condiciones de frontera se tiene:
( ) 1v x =
(0 ) 0
(1 ) 0 xw ,t =
w ,t =
2
21
211( , ) 2 cos1 22
n
- n- t
n=1
(- )w x t = n - x e
n -
π π
π
∞⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
Solución:
221
21(- 1)
( ) 1 + 2 cos1 22
n
- n- t
n=1
u x,t = n - x e
n -
π π
π
∞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (6.168)
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106
UNIDAD 7
ECUACIONES FUNDAMENTALES
7.1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Considérese un pequeño paralelepípedo de un medio poroso cuyas dimensiones son ∆ X ,∆Y , ∆ Z ; a través del cual existe flujo en todas las caras como lo muestra la Fig. 7.1.
(ρV)x(ρV)x+∆x
( ρ V ) y
( ρ V ) y +
∆ y(ρV)z
(ρV)z+∆z
x
z
y
Fig. 7.1. Balance de masa
Efectuando un balance de materia durante un intervalo de tiempo pequeño ∆t , se pudeconsiderar que el flujo de masa por unidad de superficie es igual a la velocidad multiplicadapor la densidad ( ρ V ). Ahora bien, si el flujo volumétrico se multiplica por el áreatransversal al flujo se obtiene como resultado el flujo másico:
[ ] mT VA Q ρ ρ =
Por otra parte se puede considerar que la entrada de masa al elemento considerado espositiva (inyección), mientras que la salida de masa en dicho elemento se consideranegativa (producción). El término fuente o sumidero se representa por W ( X ,Y , Z ), el cualtiene unidades de masa por unidad de volumen de roca. Del principio de conservación demasa:
Masa que Masa que Término fuente Acumulación
entra sale o sumidero de masa±- =(7.1)
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107
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )•
, ,
X X X Y Y Y
Z Z Z t t t
V V Y Z t V V X Z t
V V Y X t W X Y Z X Y Z
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρφ ρφ
+∆ +∆
+∆ +∆
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ∆ ∆ ∆ + − ∆ ∆ ∆ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤− ∆ ∆ ∆ ± = ∆ ∆ ∆ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(7.2)
Dividiendo entre ∆ X ∆Y ∆ Z ∆t y tomando límites cuando ∆ X , ∆Y , ∆ Z y ∆t tienden a cero, yrecordando la definición de derivada de una función que dice:
( ) ( )0 X
Y X X Y X dY Lim
dX X →
+ ∆ −≅
∆
Se tiene que,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , X Y Z V V V W X Y Z
X Y Z t
ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂
− − − ± = Φ
∂ ∂ ∂ ∂
(7.3)
[ ] 3
.r
fllujo masico M M W W
unidad vol roca TV tL= = =
La expresión (7.3) es la forma general de la ecuación de continuidad en un medio poroso.
7.2. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD
Sustituyendo los componentes de la velocidad de la Ley de Darcy en la ecuación decontinuidad se tiene:
k V ρ
µ
→
= − ∇Φ (7.4)
( ) ( )2 2 2 , , y x zk k k
W x y z x x y y z z t
ρ ρ ρφ µ µ µ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂+ + ± =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(7.5)
La expresión anterior es la ecuación general de difusividad que representa el flujo de unsolo fluido a través de un medio poroso.
Para el flujo de varios fluidos es necesario considerar que el medio poroso estará sujeto avariaciones en la saturación por lo que después de proceder en forma similar a la anterior,la ecuación de difusividad para flujo multifásico en donde k f representa la permeabilidadefectiva al fluido en cuestión, está dada por la siguiente expresión:
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108
ρο
D e n s i d a d
Presión
ρ = cte
ρ = f(P)
( )1 [ ]o f oC P P ρ ρ = + −
Compresible
Ligeramente
Compresible
Incompresible
Fig. 7.2. Compresibilidad en función del tipo de fluido
( ) ( )2 2 2 , , fx f fy f fz f
f f f f f f
f f f
k k k W x y z S
x x y y Z z t ρ ρ ρ ρ φ
µ µ µ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂Φ ∂Φ ∂Φ∂ ∂ ∂ ∂+ + ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(7.6)
Para la solución de esta ecuación es necesario utilizar una ecuación de estado que relacionala densidad con la presión. Dichas ecuaciones se tratan un poco más adelante en este mismocapítulo.
7.3. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS SEGÚN SU COMPRESIBILIDAD
Dependiendo de su compresibilidad los fluidos de un yacimiento se clasifican en tresgrupos que son:
a) Fluidos incompresiblesb) Fluidos ligeramente compresiblesc) Fluidos compresibles
En un fluido incompresible, la densidad del fluido se considera constante, ρ = cte. Unfluido se denomina ligeramente compresible si su densidad se puede considerar como unafunción lineal de presión, esto es, la compresibilidad del fluido es constante. Finalmente,
un fluido compresible es aquel que presenta un cambio significativo en su densidad con lapresión. La Fig. (7.2), muestra gráficamente esta clasificación de los fluidos.
7.4. ECUACIONES DE ESTADO
Cualquier ecuación de estado puede representarse analíticamente por una función.
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109
F ( Presión, densidad , temperatura) = 0
Existen varias ecuaciones de estado dependiendo del tipo de fluido que se esté manejando.A continuación se desarrollan cada una de estas ecuaciones:
7.4.1. Ecuación de Estado para Fluido Incompresible
ρ = constante
0 P
∂=
∂(7.7)
7.4.2. Ecuación de Estado para Fluido Ligeramente Compresible
Por definición de compresibilidad:
1 f
T
V c
V P
∂
∂
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.8)
Como:
;m m
V V
ρ = = (7.9)
Sustituyendo (7.9) en (7.8):
1 1 f
T
d c
P dP
ρ
ρ ρ
∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠(7.10)
Despejando “c dP ”:
1cdP d ρ
ρ =
Integrando y despejando “ ρ “:
( ) f oc P P
oe ρ ρ −= (7.11)
Donde: ρ o = Densidad inicial del fluido evaluada a la presión inicial P o. P = Presión medida a cualquier tiempo.
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110
Recordando la fórmula de expansión de una función “ f ( Z )”, en las cercanías del valorconocido de la función por medio de la serie de Taylor, siendo “a” el punto conocido:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
.......1! 2! !
ni ii n f a Z a f a Z a f a Z a
f Z f a n
− − −
= + + + +
Por lo que la función f ( x) = e x, se puede expandir alrededor del punto x = 0, entonces:
2 3
1 ......1! 2! 3! !
n X x x x
en
= + + + + +
Por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )22
1 ......1! 2! !
o
nnc P P o o oc P P c P P c P P
e n
− − − −
= + + + + (7.12)
En la mayoría de los casos para líquidos, se cumple que c( P-P o) < 0.01, c2( P-P o)2 <0.0001.
Por lo que la expresión (7.12) se puede simplificar a:
( ) ( )1oc P P
oe c P P − = + −
Sustituyendo esta última expresión en la Ec. (7.11):
( )1o oc P P ρ ρ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦
(7.13)La expresión es la ecuación de estado para un fluido ligeramente compresible.
7.4.3. Ecuaciones de Estado para Fluidos Compresibles
a) Para un gas ideal
PV = nRT ^ n = m/M
PV =m RT/M ^ ρ = m/V
PM
RT ρ = , luego,
1 f c
P = (7.14)
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111
La cual es la ecuación de estado para un gas ideal.
b) Para un gas real
PM ZRT
ρ =
entonces,
1 1 f
dZ c
P Z dP = − (7.15)
Es la ecuación de estado para un gas real.
7.5. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD PARA DIFERENTES TIPOS DE FLUIDOS
7.5.1. Ecuación de Difusividad para Fluido Incompresible
( ) 0t
ρφ ∂
=∂
además, considere que φ = constante.
Recordando la ecuación general de difusividad dada por la expresión (7.5)
( ) ( )2 2 2 , , y x z
k k k W x y z
x x y y z z t ρ ρ ρ ρφ
µ µ µ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂+ + ± =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Definiendo,
q = ritmo de inyección [/STB/día)/Vol. Roca]
W = qB ρ (7.16)
Sustituyendo en la ecuación de difusividad:
2 2 2 0 X Y Z k k k qB
x x y y z z
φ φ φ ρ ρ ρ ρ
µ µ µ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ± =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(7.17)
Multiplicando por µ / ρ 2 = constante, y si el medio es isotrópico y homogéneo k x = k y = k z =
k , y dividiendo entre k :
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112
2 2 2
2 2 2
0
0
qB
x x y y z z k
qB
x y z k
µ
ρ
µ
ρ
⎛ ⎞∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(7.18)
La expresión (7.18) es la ecuación de difusividad para un fluido incompresible, la cualpuede escribirse de la siguiente manera:
2 0qB
K
µ
ρ ∇ Φ ± = (7.19)
A la ecuación (7.19) se le conoce como la Ecuación Poisson. Si no existe inyección, laecuación (7.19) se simplifica a:
∇ =2 0Φ
La cual se conoce como la Ecuación Laplace.
7.5.2. Ecuación de Difusividad para Fluidos Ligeramente Compresibles
1 f c
P
ρ
ρ
∂=
∂
1
f
dP c
ρ ρ
= ∂
1
f
dP d
dx c dx
ρ
ρ =
1
f
dP d
dy c dy
ρ
ρ =
1
f
dP d
dz c dz
ρ
ρ =
Recordando la ecuación diferencial y si no existe ningún pozo, W = 0:
( )2 2 2 y x zk k k
x x Y y z z t ρ ρ ρ ρφ
µ µ µ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
o
P
P
dP gz ρ
Φ = +∫
1 P
x ρ
∂Φ ∂=
∂ ∂
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113
2
1
f c x
ρ
ρ
∂Φ ∂=
∂ ∂
2
1
f y c Y
ρ
ρ
∂Φ ∂
=∂ ∂
2
1
f z c Z
ρ
ρ
∂Φ ∂=
∂ ∂
Reemplazando:
( )1 1 1 y x z
f f f
k k k
x c x Y c y z c z t
ρ ρ ρ ρφ
µ µ µ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(7.20)
Si consideramos un medio isotrópico (k x = k y = k z = k ), µ = constante, y multiplicando por( µ c f / k ), se tiene lo siguiente:
2 2 2
2 2 2
f c
x y z k t
φµ ρ ρ ρ ∂ρ
∂
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂(7.21)
Debido a que la Ec. (7.21) no es muy práctica para su aplicación en la forma obtenida por ladificultad que presenta la evaluación de las densidades, conviene expresarla en función dela presión. Para ello se procede de la siguiente forma: Recordando la ecuación de estado
para un fluido ligeramente compresible dada por la expresión (7.13):
( )1o oc P P ρ ρ = + −⎡ ⎤⎣ ⎦
Entonces:
( ){ }
( ){ }
( ){ }
( ){ }
1
1
1
1
o o o
o o o
o o o
o o o
P c P P c
x x x
P c P P c
y y y
P c P P c z z z
P c P P c
t t t
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
∂ ∂ ∂= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∂ ∂
(7.22)
Sustituyendo en la ecuación (7.21) se tiene:
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114
2 2 2 2
2 2 2o o
P P P c P c
x y z k t
φµ ρ ρ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂+ + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦
(7.23)
Dividiendo por “c ρ o” y haciendo α =k/ (φµ c) se tiene finalmente:
2 2 2
2 2 2
P P P c P
X Y Z k t
φµ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ ∂(7.24)
2 1 P P
t α
∂∇ =
∂(7.25)
La expresión (7.25) es la ecuación de difusividad para un fluido ligeramente compresiblehabiendo hecho las siguientes consideraciones:
a) Medio isotrópico y homogéneob) Viscosidad constantec) Compresibilidad constanted) No existe el término fuente, ésto es, no hay pozos inyectores o productores
La importancia que tiene esta ecuación es trascendente, debido a su múltiple utilidad. Entreotras aplicaciones se tienen las siguientes:a) Pruebas de presión (incremento, decremento, interferencia, etc.)b) Prueba de límite de yacimientoc) Simulación de yacimientos
7.5.3. Ecuación de Difusividad para un Gas Real
Recordando la ecuación de estado dada para un gas real,
PM
ZRT ρ =
y la ecuación general de difusividad,
( )2 2 2 y x zk k k
W
x x Y y z z t
ρ ρ ρ ρφ
µ µ µ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂ ∂Φ ∂+ + ± =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Suponiendo que no existe inyección, W = 0 y que la porosidad es constante y definiendo lafunción de pseudopresión de un gas real como:
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115
( )( ) ( )
2
o
P
P
P
m d Z
λ λ
λ λ
µ = ∫ (7.26)
Derivando m( P ):
( )
( ) ( )
2 P
P P
m P
P Z µ
∂=
∂
( )
( ) ( )
2 P
P P
m P P
x Z x
∂
µ ∂
∂=
∂
( )
( ) ( )
2 P
P P
m P P
y Z y
∂
µ ∂
∂=
∂
( )
( ) ( )
2 P
P P
m P P
t Z t µ
∂ ∂=
∂ ∂
( )
( ) ( )
2 P
P P
m P P
Z Z Z µ
∂ ∂=
∂ ∂
Multiplicando por 2 RT/M obtenemos,
( ) ( ) ( ) 2 P P P
X Y Z
m m m P k k k
X X Y Y Z Z t Z φ
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(7.27)
Ahora,
1 1 P P Z P
t Z Z P Z P t
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Como,
1 1 g
Z c
P Z P
∂= −
∂
Entonces,
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116
g
P P P c
t Z Z t
∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Multiplicando por 2µ /2µ el lado derecho y sabiendo que:
( )
( ) ( )
2 P
P P
m P P
t Z t µ
∂ ∂=
∂ ∂, entonces:
2 g c P P
t Z t
µ ∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Si tenemos medio isotrópico, homogéneo (k x = k y = k z = k ), entonces,
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
P P P P g m m m mc y z k t
φµ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂
(7.29)
Que se puede escribir como:
( )
( )2 1 P
P
mm
t α
∂∇ =
∂(7.30)
Esta expresión es la ecuación de difusividad para un gas real en la cual no existe términofuente.
7.6. CONDICION INICIAL Y CONDICIONES DE FRONTERA
Una vez que han sido definidas las ecuaciones que servirán para describir el proceso físicoque ocurre en el yacimiento, es necesario establecer ciertas condiciones en el sistema quepermitan la solución de dichas ecuaciones.
Proceso
Físico
Frontera
Flujo
Fig. 7.3. Sistema
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117
En simulación la variable dependiente es con frecuencia la presión y para calcular sudistribución en un yacimiento a cualquier tiempo se debe tener la condición inicial:
P ( x, y, z) = λ , t = 0
Donde λ es alguna constante o función que describe la distribución de un parámetro dentrodel sistema al tiempo cero.
Así pues, el modelo matemático completo es una combinación de:a) Ecuaciones que gobiernan el comportamiento de flujo en el yacimiento.b) Condiciones iniciales que proporcionan los valores de la variable dependiente a un
tiempo inicial (t o).c) Condiciones de frontera que proporcionan los valores de la variable dependiente en
determinadas regiones del yacimiento (fronteras) para cualquier tiempo. Ver Fig. 7.3 y7.4.
Valores fijos
de presión
P = prescrito
Flujo
Frontera
P cte
n
∂=
∂
0 Frontera
P
n
∂=
∂No hay flujo
Fig. 7.4. Condiciones de frontera.
Las posibles condiciones de frontera son:
a) En la frontera interna:
• Presión del pozo constante:
P (r w, t ) = constante, P (r w, t ) = P wf = constante.• Caudal constante:
( ),wr r
P r r t cte
r =
∂=
∂
front front
P qcte
r kA
µ ∂⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
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118
• Presión del pozo variable:
P (r w, t ) = f r (t )
• Caudal variable:
( ) ( ),wr
P r r t g t
r
∂=
∂
• Pozo Cerrado:
( ), 0wr
P r r t
r
∂=
∂, q = 0
b) En la frontera externa:
• Presión Constante:
P (r e, t ) = constante,
• Flujo constante a través de la frontera:
( ),e
e
r r
P r r t cte
r =
∂=
∂,
er q cte=
• Flujo variable a través de la frontera:
( ) ( )2,e
e
r
P r r t f t
r
∂=
∂
• No existe flujo a través de la frontera (frontera cerrada):
( ),0
e
e
r
P r t r
r
∂=
∂,
er q cte=
• Yacimiento Infinito:
( ),r i Lim P r t P →∞ =
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119
UNIDAD 8
ECUACIÓN DE FLUJO PARA DOS O MÁS FASES
8.1. INTRODUCCION
Las ecuaciones de flujo son básicamente una generalización de las ecuaciones derivadasanteriormente para una fase fluyendo. Antes de entrar en materia, es preciso mencionar tresconceptos fundamentales en el desarrollo de dichas ecuaciones:
a) Saturación: La saturación de una fase está definida como la fracción del espacio porosoocupado por dicha fase. En presencia de tres fases, la suma de las saturaciones debe ser
igual a la unidad:
1.0o g wS S S + + = (8.1)
b) Presión Capilar: La presión capilar nos indica la diferencia de presión existente entre lafases no mojante y la mojante cuando éstas están presentes (aceite, agua y gas), laspresiones capilares se definen como:
cow o w
cgo g o
cgw g w cow cgo
P P P
P P P
P P P P P
= −
= −
= − = +
(8.2)
Aunque el fenómeno de capilaridad es bastante más complejo que una simple relación desaturación de la fase humectante, para efectos prácticos asumiremos esta relación comoúnica y suficiente. Es decir,
( )o w c w P P P s− = (8.3)
c) Permeabilidad Relativa: Hasta el momento hemos definido el flujo para una sola fase,y por lo tanto la permeabilidad utilizada ha sido la llamada “Permeabilidad Absoluta”. La
presencia de fases adicionales, cuando estas fluyen simultáneamente, hace que hayainterferencia entre las fases, reduciendo de esta manera la permeabilidad al flujo. Esta“reducción” es cuantificada por medio de las permeabilidades relativas, las cualesaceptamos como funciones únicas de la saturación, que se definen como:
; ; g o wro rg rw
k k k k k k
k k k = = = (8.4)
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120
Es decir, nos indican que fracción de la permeabilidad absoluta es la permeabilidadefectiva. Dependiendo del grado de solubilidad de las fases, dos modelos matemáticospueden plantearse. Enseguida se procederá a desarrollar las ecuaciones para dos fasesfluyendo sin ninguna solubilidad entre ellas, cuando la fase gaseosa está presente, es
necesario considerar solubilidad del gas por lo menos en la fase de aceite. Este último, esuna simplificación del modelo que se derivará más adelante, y es tal vez el modelo másampliamente utilizado en simulación de yacimientos.
8.2. FLUJO DE FLUIDOS SIN CAMBIO DE FASES
En presencia de agua y petróleo, las ecuaciones que nos definen el modelo matemáticopueden presentarse de la siguiente forma, donde los subscriptos “W ” y “O” denotan lasfases de agua y petróleo respectivamente. La ecuación de continuidad para una sola fasefluyendo, es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , x y zV V V W x y z x y z t
ρ ρ ρ ρφ ∂ ∂ ∂ ∂− − − ± =∂ ∂ ∂ ∂ (8.5)
( ) ( ), ,V W x y zt
ρ ρφ → ∂⎛ ⎞−∇ ± =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
(8.6)La ecuación de continuidad cuando existen dos fases fluyendo (agua - aceite):
( ) ( ), ,oo o o oV W x y z S t
ρ ρ φ → ∂⎛ ⎞−∇ ± =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠
(8.7)
( ) ( ), ,ww w w wV W x y z S t
ρ ρ φ → ∂⎛ ⎞−∇ ± =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠(8.8)
Las ecuaciones de estado para cada fase son:
( )o o f P ρ = (8.9)
( )w w f P ρ = (8.10)
Y el potencial de flujo está definido por:
oo
o
P gzφ
ρ = + (8.11)
ww
w
P gzφ
ρ = + (8.12)
La ley de Darcy para cada fase se define como:
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121
roo o o
o c
kk g V P D
g ρ
µ
→ ⎛ ⎞= − ∇ − ∇⎜ ⎟
⎝ ⎠Aceite (8.13)
rww w w
w c
kk g V P D g
ρ µ
→
⎛ ⎞= − ∇ − ∇⎜ ⎟⎝ ⎠
Agua (8.14)
Reemplazando la ley de Darcy en la ecuación de continuidad para cada fase, obtendremoslas ecuaciones que gobiernan el flujo de agua y petróleo en un medio poroso sinintercambio de masa entre las fases. Estas son:
( ) ( )roo o o o o o
o
kk P D W S
t ρ γ φρ
µ
⎡ ⎤ ∂∇ ⋅ ∇ − ∇ ± =⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦
(8.15)
( ) ( )rww w w w w w
w
kk P D W S t
ρ γ φρ µ
⎡ ⎤ ∂∇⋅ ∇ − ∇ ± =⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦(8.16)
Donde,
c
g
g γ ρ = (8.17)
Entonces:
o o w w
c c
g g g g
γ ρ γ ρ = = (8.18)
8.3. ECUACIONES DE FLUJO MULTIFASICO COMPOSICIONAL
Hasta el momento se ha considerado fases estables sin ningún intercambio de masa entreellas. Con el objeto de permitir este fenómeno es necesario reducir los fluidos en elyacimiento, ya sean agua, petróleo, gas natural, gases asociados, etc., a sus componentesestables más elementales como por ejemplo: metanos, butanos, gas carbónico o agua. Estoscomponentes podrán existir en cualquiera de las tres fases y por lo tanto no plantearemoslas ecuaciones con base en la conservación de masa para cada fase como lo hemos hechoanteriormente sino la conservación de masa para cada componente. Las ecuaciones seoriginan en principios naturales de conservación, que dan lugar a ecuaciones decontinuidad.
a) Ecuación de Continuidad (Principio de Conservación de masa )b) Ecuación de movimiento: Ecuación de Darcy o ecuación de Forcheimmer
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122
c) Ecuación de Estado (Describen el comportamiento P.V.T de los fluidos)d) Ecuación de Energía (En el caso de temperatura variable)
Considere:
a) 3 fases: aceite, gas y agua. f = o, g, w. b) N componentes distribuidos en estas fases: i =1, 2, 3, ... , N .c) C if , fracción másica de i en f.,
if
masa i en la fase f C
masa total de la fase f =
8.3.1. Ecuación De Continuidad Del Componente I
Se basa en el principio de conservación de masa, el cual expresa:
min Ritmo de entrada Ritmo de salida Ritmo de su istro o de
de masa i de masa i extraccion de masa i
Ritmo de acumulacion
de masa i
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫− +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
(8.19)
Ritmo de entrada de masa del componente ( ) f fx if x
f
i A v C ρ = ∑ (8.20)
Ritmo de salida de masa del componente ( ) fx if x x
f
i A v C ρ +∆= ∑ (8.21)
Ritmo de suministro o extracción de masa I :
Si ** / f
Ritmo de salida entrada de masa de f q
Unidad de volumen de roca=
** ** ** **o io g i g w i w f i f
f
A xq C A xq C A xq C A x q C ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ∑
Ritmo de salida/entrada de masa de **i f
f
i A X q C = ∆ ∑ (8.22)
o o io
g g ig
f
w w iw
A x S C masa de i en o
A x S C masa de i en g masa de i en el elemento
A x S C masa de i en w
φ ρ
φ ρ
φ ρ
∆ ⎫⎪+ ⎪⎪
∆⎬⎪+⎪
∆ ⎪⎭
∑
= f f if f f if
f f
A x S C A x S C masa de i en el elementoφ φ ρ ρ ∆ ∆∑ ∑
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123
x +∆x x
∆x
A f f x i f xC ρ ν A f f x i f x x
C ρ ν +∆
Fig. 8.1. Flujo del elemento i sobre un volumen de control
f i f f A x S C t f
∂ φ ρ
∂
⎛ ⎞⎜ ⎟∆⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ = Cambio de masa de i en el elemento con el tiempo.
Ritmo de acumulación de masa de f f i f i A x S C
t f
∂ φ ρ
∂
⎛ ⎞⎜ ⎟= ∆⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ (8.23)
Sustituyendo (8.20) a (8.23) en (8.19), y dividiendo por (A∆ x) y en el lim ∆ x → 0
( ) ( )( )0lim
f fX if f fX if x x x f f
x if f f f if
f f
V C V C
C q S C x t
ρ ρ ∂
φ ρ ∂
+∆∗∗
∆ →
−⎛ ⎞
− ± = ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠
∑ ∑∑ ∑
o bien,
( ) ( ) f fx if if f f f if
f f f
V C C q S C x t
∂ ∂ ρ φ ρ
∂ ∂
∗∗⎧ ⎫ ⎛ ⎞− ± =⎨ ⎬ ⎜ ⎟
⎩ ⎭ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ (8.24)
Para flujo en x, y, z:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f fx if f fy if f fz if
f f f
if f f f if
f f
V C V C V C x y z
C q S C t
∂ ∂ ∂ ρ ρ ρ
∂ ∂ ∂
∂ φ ρ
∂
∗∗
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫− − − ±⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑ ∑
(8.25)
La Ec. (8.25) es la ecuación de continuidad para el componente i en el sistema.
f = o, g , w.i = 1, 2, 3,........., N .
En términos del operador ∇, para x, y, z:
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124
ˆˆ ˆ, ,i j k : Vectores unitarios, ortogonales.
∇ = ˆˆ ˆ i j k y z
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂(8.26)
X Y Z f f f f V V i V j V k → ∧ ∧ ∧
= + + (8.27)
Producto punto ( ˆˆ ii ⋅ ) : Proyección de un vector sobre otro vector.
( ˆˆ ii ⋅ ) = 1 ( ˆˆ ji ⋅ ) = ( ˆˆ i j ⋅ ) = 0
( ˆˆ j j ⋅ ) = 1 ( ˆˆ ki ⋅ ) = ( ˆ ik ⋅ ) =0
( ˆ kk ⋅ ) = 1 ( ˆˆ k j ⋅ ) = ( ˆ jk ⋅ ) =0
.
.
if f fx fy fz if f fx fy fz
f f
f if f fx if f fy if f fz if f
f
C V i V j V k i j k C V i V j V k x y z
C V C V C V C V x y z
∂ ∂ ∂ ρ ρ
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ρ ρ ρ ρ
∂ ∂ ∂
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ + + = + + + ⋅ + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭
→⎛ ⎞⎧ ⎫+ + = ∇⎨ ⎬ ⎜ ⎟
⎩ ⎭ ⎝ ⎠
∑ ∑
∑
(8.28)
if f f if f f f if
f f f
C V C q S C t
∂ ρ φ ρ
∂
∗∗→⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−∇ ⋅ ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ (8.29)
f = o, g , wi=1, 2, 3, ...... , N
La ley de Darcy se define como:
rf
f f f
f
kk v P Dγ
µ ⎡ ⎤= − ∇ − ∇⎣ ⎦
(8.30)
Si aplicamos la ley de Darcy y el Potencial de Flujo a cada fase, obtendremos la ecuacióndiferencial que nos describe el flujo para el componente i de los N existentes:
( )rf
if f f f if f f f if
f f f f
Kk C P D C q S C
t
∂ ρ γ φ ρ
µ ∂
∗∗⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎪ ⎪
∇⋅ ∇ − ∇ ± =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∑ ∑ ∑ (8.31)
Para cada uno de los componentes, se puede plantear una ecuación diferencial; sinembargo, existen las siguientes incógnitas:
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125
VARIABLE (INCÓGNITA) SÍMBOLO NÚMERO
Concentración del componente i en cada una de las fases C if 3N
Presión en cada una de las fases P f 3
Saturación en cada una de las fases S f 3 Densidad en cada una de las fases ρ f 3
Viscosidad en cada una de las fases µ f 3
Permeabilidad a cada una de las fases k rf 3Porosidad φ 1
Número total de incógnitas 3 N + 16
Por lo tanto necesitaremos este mismo número (3 N + 16 ) de relaciones independientes(ecuaciones diferenciales, funciones directas, propiedades, . . . . , etc), para obtener un
sistema de ecuaciones determinado. Estas relaciones son las siguientes:
a) Ecuaciones Diferenciales Parciales.Una ecuación por cada componente, por lo tanto, habrá N de estas.
b) Saturaciones. El volumen poroso está siempre ocupado por fluidos.
S g + S o + S w = 1.0 (8.32)
c) Concentración de masaLa suma total de las concentraciones de los componentes que constituyen cada fase, debe
ser igual a la unidad.
1
0; , , N
if
i
C f o g w+
= =∑ (8.33)
d) Propiedades Termodinámicas
Los análisis PVT, proporcionan las siguientes relaciones para cada fase:
1 2( , ) ( , ) f f if f f if f C f C ρ ρ µ ρ = = (8.34)
e) Propiedad de la roca.Toda roca que almacena fluido está caracterizada por su porosidad.
( )1o r o
c P P φ φ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
= + − (8.35)
f) Propiedades de la formación y los fluidos.
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126
Análisis especiales de desplazamientos, permiten desarrollar funciones depermeabilidad relativa y capilaridad.
( )1 , ,o wrg k f S S S = (8.36a)
( ), ,2ro g o wk f S S S = (8.36b)
( ), ,3rw g o wk f S S S = (8.36c)
( ), ,o cgo g o w P P P S S S − = ( )cgo g P f S = (8.36d)
( ), ,o w cow g o w P P P S S S − = ( )cow w P f S = (8.36e)
g) Equilibrio Termodinámico.La distribución de un componente entre los estados líquido y gaseoso, es determinada porel equilibrio termodinámico, el cual expresa que por cada par de fases, hay unadistribución constante para cada componente. Esta distribución es una función de presión,temperatura y composición.
( ), , , ,ig
igo g o ig io
io
C k T P P C C
C =
(8.37a)
( ), , , ,ig
igw g w ig iw
iw
C k T P P C C
C =
(8.37b)
( ), , , ,io igw
iow o w io iw
iw iog
C k k T P P C C
C k ==
(8.37c)
Como se observa, la última relación no es independiente; por lo tanto, sólo 2 N de éstas,serán válidas para nuestro objetivo. En resumen, las siguientes relaciones sonindependientes:
RELACIÓN NÚMEROEcuaciones Diferenciales Parciales N
Saturación 1Concentración de masa 3Propiedades termodinámicas 6Propiedad de la roca 1Propiedades formación y fluidos 5Equilibrio Termodinámico 2 N Número total de relaciones 3 N + 16
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127
8.4. MODELO COMPOSICIONAL SIMPLIFICADO
8.4.1. Modelo de Aceite Negro o Fluidos tipo β
El modelo general de composición es extremadamente difícil de resolver.Afortunadamente, la gran mayoría de los yacimientos no requieren de un modelo tancomplejo y es posible afirmar, sin introducir ningún error, que las siguientes suposicionesson válidas:
a) Sólo existen tres (3) componentes en las fases de agua, petróleo y gas. Las fases depetróleo y gas están compuestas por dos clases de hidrocarburos: Petróleo residual(líquido a condiciones atmosféricas después de vaporización diferencial) y componenteslivianos o gas. Esto implica N =3.b) La fase de agua está compuesta sólo de agua, y este componente no está presente enninguna de las otras fases.
c) Entre las fases de gas y petróleo, sólo el componente gas puede disolverse en la fase depetróleo y salir de ésta.
Con las suposiciones hechas, hemos eliminado la posibilidad de aplicar este modelo ayacimientos con hidrocarburos altamente volátiles o condensados de gas.
8.4.2. Ecuaciones de Flujo de Fluidos Tipo Beta (β)
Fluido tipo beta ( β ): Su composición no cambia con el tiempo. La manera como estosfluidos se mezclan puede esquematizarse en la Fig. 8.2.
3 FASES 3 COMPONENTES
ACEITE ACEITE
GAS GAS
AGUA AGUA
Fig. 8.2. Presencia de componentes en fluidos tipo β
C oo = Componente aceite en la fase aceite.
oomasa del componente aceite
C masa total de la fase aceite
=
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128
oomasa del componente aceite
C masa aceite gas disuelto
=+
dividiendo por el volumen de aceite a condiciones estándar
. .
.
. . .
.. .
C S oo
C Y
C S C Y
masa de aceite
volumen de aceite aC
masa de aceite gas disuelto vol aceite gas disuelto a
volumen de aceite a vol aceite gas disuelto a
=+ +
×+
. .o c s
oo
o o
C ρ
β = (8.38)
go
masa del componente gasC masa total de la fase aceite=
. .
. . . .
. .
. . . .
.
...
C S
C S C S go
C Y
C S C Y
masa de gas vol gas a
volumen de aceite a vol gas aC
masa de aceite gas disuelto vol aceite gas disuelto a
volumen de aceite a vol aceite gas disuelto a
×=
+ +×
+
. .c s s
go
o o
RC
ρ
ρ β
×= (8.39)
0woC = (8.40)
De la ecuación (8.33)
1
1.0 N
io oo go wo
i
C C C C =
= + + =∑
. . 1.0 g C S s o C S
o o
R ρ ρ
ρ β
+=
c.s. .S o C S
o
o
R ρ ρ ρ
β
+= (8.41)
0og C = (8.42)
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129
gg masa del componente gas
C masa total de la fase gas
=
. .
.
. . .
.. .
C S gg
C Y
C S C Y
masa de gas
volumen de gas aC
masa total de gas vol de gas a
volumen de gas a vol de gas a
=×
. . g c s
gg
g
C ρ
β = (8.43)
0wg C = (8.44)
De la ecuación (8.33):
1
1.0 N
ig og gg wg
i
C C C C =
= + + =∑
g c.s. g ρ
β = (8.45)
0owC = (8.46)
0 gwC = No existe gas disuelto en el agua. (8.47)
wwmasa del componente agua
C masa total de la fase agua
=
. .
.
. . .
.. .
C S ww
C Y
C S C Y
masa de agua
volumen de agua aC
masa de agua vol agua a
volumen de agua a vol agua a
=×
. .w c sww
w w
C ρ
β = (8.48)
De la ecuación (8.33):
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130
1
1.0 N
iw ow gw ww
i
C C C C =
= + + =∑
. .
1.0w c s
w w ρ β =
. .w c sw
w
ρ β
= (8.49)
Cuando existe gas disuelto en el agua,
. . . .c s sw w c s
w
w
R ρ ρ
β
+= (8.50)
La ecuación (8.29) escrita para el componente aceite queda:
**( )i f f f if f f if f
f f
C C q S C t f
∂ ρ ν φ ρ
∂
⎛ ⎞⎜ ⎟−∇⋅ ± =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
( ){ }
** ** **( )oo o o og g g ow w w oo o og g ow w
oo o o og g g ow w w
C C C C q C q C q
C S C S C S t
ρ ν ρ ν ρ ν
φ ρ ρ ρ
−∇⋅ + + + + + =
∂+ +
∂
(8.51)
Reemplazando las ecuaciones (8.38), (8.42) y (8.46) en la ecuación (8.51),
. . .o C S o C S o C S o o o
o o o o
V q S t
ρ ρ ρ φ
β ρ β β
→∗∗
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎪ ⎪−∇⋅ + = ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
(8.52)
pero,
**
. .
. . . .
.
.
o
C Y o o
C Y C S
masa de aceite gas disuelto
q unidad de tiempo x unidad de volumen roca
masa de aceite gas disuelto vol aceite gas disuelto a
volumen de aceite gas disuelto a vol aceite a
ρ β
+⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬+ +⎪ ⎪×+⎪ ⎪⎩ ⎭
** .*o
o o
q volumen de aceite a C S qo unidad de t x unidad de volumen de roca ρ β
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=(8.53)
Si la ecuación (8.52) la dividimos por ρ o C.S y aplicando la ecuación (8.53)
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131
o oo
o o
S V q
t
φ ∂
β ∂ β
→
∗⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟−∇⋅ + = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(8.54)
de la ley de Darcy,
[ ]roo o o
o
kk v P Dγ
µ = − ∇ − ∇
(8.55)
donde,
o o
c
g
g γ ρ =
D = Profundidad a partir de un plano de referenciak = Tensor de permeabilidades
0 0
0 0
0 0
xx xy xz x
yx yy yz y
zx zy zz z
k k k k
k k k k k
k k k k
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ≅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
k x = k y = k z, indica medio Isotrópico
Reemplazando la ecuación (8.55) en la ecuación (8.54) se obtiene la ecuación generalpara el flujo del componente aceite
[ ] * O
ro oo o o
o o
S k k P D q
t
φ γ
µ β β
⎧ ⎫ ⎛ ⎞∂∇⋅ ∇ − ∇ ± =⎨ ⎬ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎩ ⎭
(8.56)
Procediendo en forma similar, la ecuación general para el flujo del componente gas:
[ ] [ ]
* *
O
rg ro g g o o s
o g g
o s g
o s g
g o
k k k k P D R P D
S RS q R q
t
γ γ
µ β µ β
φ φ
β β
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪∇⋅ ∇ − ∇ + ∇⋅ ∇ − ∇ ±⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎛ ⎞∂
± = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
(8.57)
y la ecuación general para el flujo del componente agua:
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132
[ ] *rw ww w w
w w w
k k S P D q
t
φ γ
µ β β
⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂∇ ⋅ ∇ − ∇ ± =⎢ ⎥ ⎜ ⎟
∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(8.58)
Las ecuaciones (8.56), (8.57), y (8.58) más las ecuaciones (8.32), (8.36d) y (8.36e)constituyen 6 ecuaciones con 6 incógnitas: P o, P g , P w, S o, S w, S g . Las ecuaciones(8.56) a (8.58) son E.D.P. no lineales de 2o orden.
Para definir completamente el problema de flujo se requieren además:
• Condiciones iniciales• Condiciones de Frontera
a. Condiciones Iniciales:
Con base al equilibriogravitacional y capilar
de los fluidos al
tiempo t = 0
Distribución inicial depresiones y deSaturaciones
Fig. 8.3. Esquema ilustrativo de las condiciones iniciales
Dados:
P ref t =0 @ Z ref Z ref : Plano de referencia Z cwo P ref : Presión de referencia
Z cgo Z c : Plano de contacto
“Equilibrio Gravitacional”, no hay flujo de Darcy:
( ) 0rf
f f
f f
k k P D
Bγ
µ ∇ − ∇ = (8.59)
Para:
0
rf
f f
k k
Bµ ≠entonces,
( )0
f f
P Dγ ∇ − ∇ = (8.60)
Moviéndonos a lo largo de un plano horizontal:
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133
0 P
f
X
∂
∂ =
0 P
f
Y
∂
∂
=
0 P
f
f Z
∂
γ ∂
− =
Pf = cte a lo largo de
un plano horizontal Pf (x, y, z, t=o) = Pfo (z)
Fig. 8.4. Esquematización de las condiciones de frontera
Y
a bx
y(x)
( ) ( )b
x
a
Y dX Y b a= −∫
Fig. 8.5. Teorema del valor medio
0 f
f
P
Z
∂ γ
∂ − = , entonces; f
f
P
Z
∂ γ
∂ =
f
f
c
P g
Z g
∂ ρ
∂ =
ref
f
f ref
P Z f c
f P Z
dP g dZ
g ρ =∫ ∫
Aplicando el “Teorema del Valor Medio”, entonces,
( )1c
f f ref ref
f
g P P Z Z
g ρ
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
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134
( ) f ref f f ref
c
g Z Z P P
g ρ − = −
( ) f f ref f ref c
g
P P Z Z g ρ = + − (8.61)
Po ref
Z ref
Zcwo
Zcgo Pw
Po
Pg
P
Z
Fig. 8.6. Localización de la presión de referencia
( ) ( ), P f f ref f f P P
ρ ρ = =
2 f f ref
f
P P P
+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠(8.62)
La distancia inicial de Po se calcula de:
( )_
o ref oo ref
c
g P P Z Z
g ρ = + − (8.63)
_ _
o o o P ρ ρ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
_
o ref
2o
o
P P P
+= (8.64)
Conocida P o zcwo , calculamos P w zcwo:
P cwo (S w =1.0) = 0 P o zcwo - P w zcwo = 0 P c = 0
P w zco = P o zcwo S w = 1.0 (8.65)
También,
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135
P cgo (S g =0) ⇒ P g zcgo - Po zcgo = 0 Pc =0
Pg zcgo = Po zcgo S g = 0 (8.66)
( )_
ww w cwo zcgoc
g P P Z Z g
ρ = + − (8.67)
( )_
g g g cwo zcgoc
g P P Z Z
g ρ = + − (8.68)
Equilibrio Capilar
( ) g o cgo g g Z Z Z Z P P P S S − = → (8.69)
( )o w cwo w w Z Z Z Z P P P S S − = → (8.70)
b. Condiciones de Frontera
• Caudal Especificado de Darcy:
rf f
f f front f f front front
kAk P Dq
Bγ
µ η η
∂⎛ ⎞∂= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(8.71)
0 Swc Sor 1.0
Thresholdpressure
Sw
Pc
Agua
imbibe
Roca mojada por agua
La curva de drene debe usarsepara calcular la distribución inicialde saturaciones (Debido al procesode migración de los fluidos)
Fig. 8.7. Curva de Presión Capilar agua - aceite Vs. Saturación de Agua, para procesos dedrenaje o imbibición
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136
GAS
OIL
Pc = Po - Pw
Pc =0, Po = Pw
Sw = Swi
So =1 - Swi
Sg = 0
Sw = 1
So = 0
Sg = 0
Sw = Swi
So =1 - SwiiSg = 0
Sw = Swi
So =1 - Sori
Sg = 1 - Swc - Sor
Pc =0, Po = Pg
Pc = Pg - Po
(+)
(-)
(+)
(-)
AGUA
Fig. 8.8. Distribución de saturaciones considerando efectos capilares en una interfase Gas -Aceite y Aceite – Agua
Donde,
η es la dirección perpendicular a la frontera
f f f f
f
rf front front
P q B D
kAk
µ γ
η η
∂⎛ ⎞∂− = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(8.72)
• Presión Especificada :
( ) ( ), f f t front
P front t P = (8.73)
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137
UNIDAD 9
MODELO NUMERICO UTILIZANDO DIFERENCIAS FINITAS
9.1. INTRODUCCION
Una vez que ha sido establecido el modelo matemático capaz de describir el proceso físicoque se presenta en el yacimiento, se hace necesario obtener su solución. Sin embargo, lasecuaciones que representan el flujo de los fluidos en medios porosos son en general, comoya se ha visto, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales que relacionan loscambios de presión y de saturación a través del medio con respecto al tiempo y para lascuales es casi imposible obtener una solución analítica. De ahí que surja la necesidad de
transformar el modelo matemático a un modelo numérico, siendo éste el único camino pormedio del cual se puede llegar a una solución que sea aplicable. La solución analítica, sieste es el caso, una vez hallada la expresión final, permite obtener soluciones en cualquierlugar dentro del dominio espacial de la función y a cualquier momento en el dominio detiempo de dicha función. Las soluciones aproximadas por medio de diferencias finitas encambio, son discretas en el tiempo y en el espacio, es decir, una vez planteado el sistema deecuaciones, éste da soluciones al modelo en lugares específicos (previamenteseleccionados) y con una frecuencia predeterminada. El método de diferencias finitas esquiza el más ampliamente utilizado en ingeniería de yacimientos para hallar solucionespara las ecuaciones de flujo.
9.2. ECUACIONES DEL SIMULADOR
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de flujo se transforman en la soluciónnumérica. A su vez, se cambia el carácter continuo en espacio y tiempo por un carácterdiscreto.
EcuacionesDiferenciales →
Método deDiferencias
Finitas→
Ecuacionesen
Diferencias
Ecuaciones Diferenciales
Se aplican a toda ( x, y, z, t ) en el dominiodel problema.
Ecuaciones en Diferencias
Se aplican a valores discretos( xi, y j, zk , t
n).i = 1,2,... I , j = 1,2,... J k = 1,2,... K , n = 1,2,.... en el dominio
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138
x
z
y
t
Fig. 9.1 Dominio Continuo
x
z
y
t
Fig. 9.2 Dominio Discreto
P(t)
t
Fig. 9.3. Discretización en tiempo
9.3. PROCESO DE DISCRETIZACION
Cuando alguien habla de dar una solución numérica a una ecuación, se está refiriendo aproporcionar resultados en puntos discretos dentro del sistema. El decir que las ecuacionesque se emplean en la simulación serán resueltas en forma numérica implica que sedeterminarán los parámetros dependientes (presiones y saturaciones) en puntos discretos enespacio y en tiempo. La discretización del espacio se hace al dividir el yacimiento en unnúmero determinado de celdas, las cuales son generalmente rectangulares como puedeapreciarse en la Fig. 9.2. La discretización del tiempo se realiza al tomar intervalos delmismo para cada uno de los cuales el problema es resuelto. La medida de estos intervalos
de tiempo depende del problema en particular que se esté manejando, aunque hay que hacernotar que mientras menor sea el intervalo de tiempo utilizado, la solución que se obtengaserá más aproximada, Fig. 9.3. Así entonces, los valores de la variable dependiente alresolver las ecuaciones numéricas se obtienen para cada uno de los bloques que componenla malla y para valores específicos de tiempo.
La transformación de una ecuación diferencial continua a una forma discreta se hace
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139
generalmente utilizando el método de diferencias finitas, que consiste en sustituir lasderivadas de la ecuación diferencial por fórmulas de derivación. Así pues, las ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales son reemplazadas por su equivalente en diferenciasfinitas las cuales pueden obtenerse al expandir el Polinomio de Taylor generado por una
función en un punto dado y después resolver para la derivada que se requiere.
9.4. POLINOMIO DE TAYLOR GENERADO POR UNA FUNCION
Si una función f ( x) posee derivadas continuas hasta de orden n en el punto x = 0, siendo n ≥ 1.0, se tratará de obtener un polinomio P ( x) que coincida con f ( x) y con sus n primerasderivadas en x = 0, esto es:
P (0) = f (0) P '(0) = f '(0)
P" (0) = f" (0) . .. .. . P
n (0) = f
n (0)
El polinomio buscado deberá ser de n-ésimo grado para que pueda contar con n derivadas.Dicho polinomio se expresa de la siguiente manera:
P ( X ) = A0 + A1 x + A2 x²+ A3 x3
+ .......... + An xn (9.1)
El problema ahora es determinar los n + 1 coeficientes A0 , A1 , A2 , A3 , ...., An. Paraobtenerlos se procede sustituyendo x = 0 en el polinomio dado por la expresión (9.1) y setiene:
P o = Ao ∴ Ao = f (0)
Derivando el polinomio (9.1) y la derivada se evalúa en x = 0, tenemos, que:
P' (0) = A1 A1 = f' (0) P" (0) = 2 A2 A2 = f" (0) /2 P"' (0) = 6 A3 A3 = f"' (0) /6
En general,
P k (0) = K! A K
Despejando “Ak” de la última expresión,
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140
Ak = f k
( 0 ) / k!
donde,
K = 1,2,3,.....,n.Sustituyendo los valores que se obtengan para cada una de las derivadas se tiene:
P ( X )= f (0)+ f' (0) x + f" (0) x² /2! + f" '(0) x3 /3! +... + f
n(0) x
n / n! (9.2)
Si se desea que el polinomio P ( x), (9.2), satisfaga a la función f ( x) y a sus n primerasderivadas pero ahora en el punto x = A, ésto es:
P ( A) = f ( A) P' ( A) = f' ( A)
P" ( A) = f" ( A) . .. .. . P
n( A) = f
n( A)
Para lograrlo se trasladará el origen “ A” unidades en el sentido positivo del eje de lasabcisas, el argumento del polinomio p(x), (9.1), será ( x - A) y la expresión será:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2
...2! !
nii n
A Ai
x A A
f x A f x A P f f x A
n
− −= + − + + + (9.3)
Se le conoce con el nombre de Polinomio de Taylor de grado n generado por f ( x) en el punto A, el cual como ya se comentó, es el principio básico utilizado en la derivación de lasfórmulas de aproximación en diferencias finitas.
9.5. DIFERENCIAS FINITAS
La solución numérica aproximada de una ecuación diferencial parcial por medio de lasdiferencias finitas se refiere al proceso por el cual las derivadas parciales son reemplazadaspor expresiones aproximadas, obtenidas a partir de las series de Taylor. Suponga que paracada x en (a,b), existen f ( x), f' ( x), f" ( x),..., f
k ( x), entonces se obtiene:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 32 3
2 3...
1! 2! 3! !i
i i i
k k i i i i
x x k
x x x
x x x x x x x x f f f f f f
x x k x ξ
− − − −∂ ∂ ∂ ∂= + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂
(9.4)
donde xi está en (a,b) y ξ = xi + θ ( x - xi); 0 < θ < 1.0 (9.5)
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141
9.5.1. Aproximaciones a la primera derivada
a. Diferencias Progresivas: Si ∆ x = x - xi entonces x = xi + ∆ x. (ver Fig. 9.4.a).Reemplazando en la ecuación (9.4)
( ) ( )
2 2 3 3
2 3...
2! 3! !i i
i i i
k k
x x x k
x x x P
f x f x f x f f f x
x x x k x ξ +∆
∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂= + ∆ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂(9.6)
Si K = 2 en la Ec. (9.6);
( ) ( )
2 2
22!i i
i
x x x
x p
f x f f f x
x x ξ +∆
∂ ∆ ∂= + ∆ +
∂ ∂luego:
( ) ( )2
22i i
i p
x x x
x
f f f x f x x x ξ
+∆ −∂ ∆ ∂= −∂ ∆ ∂
Despreciando términos de 2ndo orden
( ) ( )( )i i
i
x x x
x
f f f O x
x x
+∆ −∂≈ − ∆
∂ ∆(9.7)
X i X
∆X
X iX
∆X
a) Diferencia progresiva
b) Diferencia regresiva
∆X ∆X
X i -∆X X i X i +∆X
c) Diferencia central
Fig. 9.4. Aproximaciones de la primera derivada
b. Diferencias regresivas: Si ∆ x = xi – x, entonces x = xi - ∆ x, (Ver Fig. 9.4.b).
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142
Reemplazando en la Ec. (9.4)
( ) ( ) ( )2 2 3 3
2 3..... 1
2! 3! !i i
i i i
k k k
x x x k
x x x
r
f x f x f x f f f x
x x x k x ξ
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ −∆
∆ ∆ ∆= − ∆ + − + + −
(9.8)Si K = 2 en la Ec. (9.8)
( ) ( )
2 2
22!i i
i
x x x
X r
f x f f f x
x x ξ −∆
∂ ∆ ∂= − ∆ +
∂ ∂de donde,
( ) ( )2
22i i
i
x x x
X r
f f f x f
x x xξ
−∆−∂ ∆ ∂≈ +
∂ ∆ ∂
Despreciando términos de 2ndo orden,
( ) ( )( )i i
i
x x x
x
f f f O x
x x
−∆−∂≈ − ∆
∂ ∆(9.9)
c. Diferencias centrales: Si K = 3 en las Ecs. (9.6) y (9.8)
( ) ( )
2 2 3 3
2 32! 3!i i
i i
x x x
X X p
f x f x f f f x
x x x ξ +∆
∂ ∆ ∂ ∆ ∂= + ∆ + +
∂ ∂ ∂(9.10)
( ) ( )
2 2 3 3
2 32! 3!i i
i i
x x x
x x r
f x f x f f f x
x x x ξ −∆
∂ ∆ ∂ ∆ ∂= − ∆ + −
∂ ∂ ∂(9.11)
Restando la Ec. (9.11) de (9.10):
( ) ( )
3 3 3
3 32
6i i
i p r
x x x x
x
f x f f f f x
x x xξ ξ
−+∆ −∆
⎧ ⎫∂ ∆ ∂ ∂⎪ ⎪= ∆ + +⎨ ⎬
∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
Despreciando términos de tercer orden,
( ) ( ) ( )2
2i i
i
x x x x
x
f f f O x
x x
+∆ −∆−∂= + ∆
∂ ∆(9.12)
Se tiene que, O(∆ x2) < O(∆ x)
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143
ξ = Error de truncamiento, por la eliminación de los términos mayores que k límiteutilizado. Se puede simplificar la escritura de las Ecs. (9.7), (9.9) y (9.12). De acuerdo conla Fig. 9.4.c, si, ∆ X = cte, xi + 1 = xi + ∆ x y xi - 1 = xi - ∆ x. La distancia entre dos puntosconsecutivos es la diferencia finita x. En el método de diferencias finitas la evaluación de
las funciones y sus derivadas se efectúa solamente en los puntos xi.
xi+1 = xi + ∆ x
xi-1 = xi - ∆ x
Notación:
f i = f ( X i) ; f i+1 = f ( Xi+1) , .... etc.
Diferencias progresivas:
1i i
i
f f f
x x
+ −∂=
∂ ∆(9.13)
Diferencias Regresivas:
1i i
i
f f f
x x
−−∂=
∂ ∆(9.14)
Diferencias Centrales:
1 1
2i i
i
f f f
x x
+ −−∂=
∂ ∆(9.15)
d. Aproximación de términos de la forma: ∂ f / ∂t
Si f = f ( x,t ) y haciendo un desarrollo análogo al método de diferencias finitas en espacio,tenemos:
• Diferencias progresivas en tiempo
2 2 3 31
2 32 3
pnn
n n
i i
i i i
f t f t f f f t
t t t
ξ
+ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂= + ∆ + +
∂ ∂ ∂
Despreciando términos de 2ndo orden,
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144
( )1n n n
i i
i
f f f O t
t t
+ −∂≈ + ∆
∂ ∆(9.16)
• Diferencias Regresivas: en tiempo:
x
t
i -1 i -1 / 2 i i + 1 / 2 i + 1
1i i
i
f f f
X X
∂
∂
−−=
∆
Regresiva
1 1
2i i
i
f f f
X X
∂
∂
+ −−=
∆
Central
1i i
i
f f f
X X
∂
∂
+ −=
∆
Progresivas
Fig. 9.5. Representación esquemática de las diferencias finitas para la primera derivada
11 2 2 3 31
2 32 3
r nn
n n
i i
i i i
f t f t f f f t
t t t
ξ +++ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂
= − ∆ + −∂ ∂ ∂
( )21
n
n n
i i
i
f f f t O t
t
+ ∂= + ∆ + ∆
∂, entonces:
Despreciando términos de 2o orden,
( )1
21n
n n
i i
i
f f f t O t t
++ ∂= − ∆ + ∆
∂
( )1 1n n n
i i
i
f f f O t
t t
+ + −∂≈ + ∆
∂ ∆(9.17)
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145
En simulación de yacimientos se emplean la aproximación (9.17). La notación del operadoren diferencias progresivas en tiempo:
∆t U = U n+1 - U
n (9.18)
1n
t i
i
f f
t t
+∆∂
≈∂ ∆
(9.19)
9.5.2 Aproximaciones a la segunda derivada
Una expresión para la 2a derivada se obtiene sumando las Ecs. (9.6) y (9.8). Esto es:
( ) ( )
2 2 3 3
2 3...
2! 3! !i i
i i i
k k
x x x k
x x x P
f x f x f x f f f x
x x x k x ξ +∆
∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂= + ∆ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂(9.6)
( ) ( ) ( )2 2 3 3
2 3..... 1
2! 3! !i i
i i i
k k k
X X X k
X X X r
f X f X f X f f f X
X X X k X ξ −∆
∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂= − ∆ + − + + −
∂ ∂ ∂ ∂
(9.8)
( ) ( ) ( )
2 4 42 4
2 4 42
i i i
i
x x x x x
x P r
f f f f f f x x
x x xξ ξ +∆ −∆
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ = + ∆ + ∆ +
⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
(9.20)
Despejando de la expresión anterior la 2nda derivada,
( ) ( ) ( )2 2 4 4
2 2 4 4
2
12i i i
i
x x x x x
X P r
f f f f x f f
x x x xξ ξ
+∆ −∆⎡ ⎤− +∂ ∆ ∂ ∂⎢ ⎥= − +
∂ ∆ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
Despreciando términos de 4o orden,
( ) ( ) ( ) ( )2
22 2
2i i i
i
x x x x x
x
f f f f O x
x x
+∆ −∆− +∂= + ∆
∂ ∆(9.21)
Simplificando la escritura de la ecuación (9.21), utilizando la notación convencional,tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )2
1 1 22 2
2i i i
i
f f f f O x
x x
+ −− +∂= + ∆
∂ ∆(9.22)
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146
Que es la expresión para obtener la segunda derivada de una función.
9.5.3 Aproximación de términos no - lineales
S P S S
λ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠, S k
Bλ
µ =
Si P = P ( x, y,t ) y consideramos la dirección x,
x
U
x
P
x x
x∂
∂
∂
∂ λ
∂
∂ =⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ (9.23)
donde,
x x P U x
λ ∂= ∂ , velocidad (9.24)
∂U x / ∂ x = Velocidad de flujo entre las fronteras, cambio de velocidad entre las fronteras.Ritmo neto de flujo, cambio de ritmo en x.
Aplicando diferencias centrales,
1/ 2 1/ 2i i
i i
U U U
x x
+ −−∂=
∂ ∆(9.25)
( )1/ 21/ 2 1
1/ 2 1/ 2i
xi x i i
i i
P U P P
x x
λ λ
++ ++ +
∂ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠
Similarmente,
( )1/ 21/ 2 1
1/ 2 1/ 2i
xi x j i
i i
P U P P
x x
λ λ
−− −− −
∂ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠
Reemplazando en la Ec. (9.23)
( ) ( )11/ 2 1/ 2
1 x x x i i i i j
i ii
P P P P P
x x x x x
λ λ λ + −
+ −
⎧ ⎫∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭(9.26)
Que es la velocidad de flujo de fluido en la frontera a través de i + ½.
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147
1,
2i j−
1,
2i j+
, 1i j +
,i j
, 1i j −
1,i j− 1 ,i j+
1,
2i j +
1,
2i j −
i x∆
1
2i x∆ −1
2i x∆ +
i y∆
Fig. 9.6. Molécula bidimensional de la diferencia finita de cinco puntos
Notación del operador en diferencias centrales, en general:
∆U i, j,k = ∆ X U i, j,k + ∆Y U i, j,k + ∆ Z U i, j,k (9.27)
donde,
∆ X U i, j,k = U i+½ , j, k - U i-½, j,k (9.28a)
∆Y U i, j, k = Ui, j+½, k - Ui, j-½, k (9.28b)
∆ Z U i, j, k = Ui, j, k +½ - Ui, j, k-½ (9.28c)
La Ec. (9.26) puede entonces escribirse,
1 x x x x
i ii
P P
x x x x
λ λ
∂ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∆ ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠(9.29)
Los efectos de orientación de la malla fueron reducidos grandemente con la introducción dela malla de nueve puntos, ver Fig. 9.7, por Yanosik y McCraken en 1979. Esta dio buenosresultados para inyección de agua con bajas relaciones de movilidad. Para relaciones demovilidad mayores se recomienda la diferenmcia finita de trece puntos, Fig. 9.8 presentadapor Ding and Lemonier (1992) y Escobar y Civan (1998).
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148
i,ji-1,j
i,j-1
i+1,j
i,j+1
Fig. 9.7. Molécula de la diferencia finita de nueve puntos propuesta por Yanosik y
McCraken
i,ji-1,j
i-1,j+1 i,j+1 i+1,j+1
i-1,j-1 i,j-1 i+1,j-1
i+1,j
Fig. 9.8. Molécula de la diferencia finita de trece puntos
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149
UNIDAD 10
ESQUEMA DE SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE FLUJO(LINEALES)
Básicamente existen dos maneras para ir de los valores del nivel de tiempo anterior a losvalores en el nivel de tiempo nuevo, lo cual se discute a continuación.
10.1 ESQUEMA DE SOLUCION EXPLICITO
Este esquema es el más simple ya que resuelve el problema para una sola incógnita en eltiempo nuevo, valiéndose para ello de los valores conocidos de la incógnita en el tiempoanterior. Para propósitos de clarificación, considere la siguiente ecuación en dosdimensiones:
2 2
2 2t c P P P
x y k t
φµ ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂(10.1)
t
k
C η
φµ =
La Ec. (10.1) expresada en diferencias finitas queda como sigue:
( ) ( )
1, 1 , , 1 1, , 1, , ,
2 2
2 2 1n n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j P P P P P P P P
t y x η
++ − + −− + − + +
+ =∆∆ ∆
(10.2)
En donde,i, j: localización de la celda dentro de la malla.n: nivel de tiempo anteriorn + 1: nivel de tiempo nuevo
Como puede observarse, se tiene una sola incógnita, el valor de la presión al tiempo nuevon + 1, el cual se encuentra involucrado en el lado derecho de dicha ecuación (10.2).Despejando la Ec. (10.2) se puede obtener explícitamente el valor de la presión para eltiempo nuevo n + 1, ( P i, j)
n+1 en función de los valores de presión en el tiempo anterior, loscuales son conocidos. Así entonces,
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150
( ) ( ), 1 , , 1 1, , 1,1
, , 2 2
2 2n n n n n n
i j i j i j i j i j i jn n
i j i j
P P P P P P P P t
y xη
+ − + −+⎧ ⎫− + − +⎪ ⎪
= + ∆ +⎨ ⎬∆ ∆⎪ ⎪⎩ ⎭
(10.3)
Como se conocen todos los valores del lado derecho de ésta última ecuación, se trata deresolver simplemente una ecuación con una incógnita. Ahora bien, para avanzar la soluciónde “n” a “n + 1” se requiere aplicar la misma ecuación para todos y cada uno de los puntosque constituyen la malla. Es común escribir la ecuación anterior de la siguiente manera:
( ) ( )1, , , 1 , , 1 1, , 1,2 2n n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j P P P P P P P P α β +
+ − + −= + − + + − + (10.4)
donde,
( )
2
t
y
η α
∆=
∆
,
( )
2
t
x
η β
∆=
∆
Por su sencillez este esquema presenta limitaciones fuertes de estabilidad (más adelante seda la explicación de este concepto), lo que ocasiona tener que utilizar intervalos de tiempopequeños al avanzar la solución, lo cual tampoco es muy conveniente debido al tiempo decomputadora que se requiere para efectuar una corrida. Esta limitación hace que suaplicación sea impráctica en la mayoría de los problemas de simulación, no obstante que elesfuerzo que se requiere para desarrollar un simulador que esté basado en este esquema esmucho menor que con ningún otro.
10.2. ESQUEMA DE SOLUCION IMPLICITO
Este esquema consiste en resolver el problema para todos los valores de las incógnitas enforma simultánea. Considérese la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales enuna dimensión,
2
2t c P P
x k t
φµ ∂ ∂=
∂ ∂(10.5)
La cual puede expresarse en diferencias finitas de la siguiente manera:
( )
11 1
2
2n n n n ni i i i i P P P P P
t x η
+− +− + −=
∆∆(10.6)
Esta ecuación tiene solo una incógnita, P in+1
, sin embargo, se puede establecer de tal maneraque se resuelva para los tres valores de P i como sigue:
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151
( )
1 1 1 11 1
2
2n n n n n
i i i i i P P P P P
t x η
+ + + +− +− + −
=∆∆
(10.7)
Como puede apreciarse, la Ec. (10.7) tiene como incógnitas a todos los valores de presiónal nuevo nivel de tiempo n + 1. Dicha ecuación puede escribirse:
( )( )
2
1 1 1 11 12n n n n n
i i i i i
X P P P P P
t η
+ + + +− +
∆− + = −
∆
Factorizando,
( ) ( )2 2
1 1 11 12n n n n
i i i i
x x P P P P
t t η η
+ + +− +
⎛ ⎞∆ ∆− + + = −⎜ ⎟
⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠(10.8)
Nótese que en esta última expresión; la cual tiene tres incógnitas, el punto i está ligado a lospuntos (i + 1) e (i - 1). La forma general de la ecuación es:
1 1 11 1
n n n
i i i i i i ia P b P c P d + + +− ++ + = (10.9)
Donde los coeficientes ai, bi, ci, se refieren, como se verá posteriormente cuando se definael término transmisibilidad, a la geometría del sistema y a sus propiedades físicas y d i contiene a los términos conocidos. Nuevamente, para avanzar la solución al nuevo tiempoes preciso escribir la Ec. (10.9) para las N celdas que componen la malla. El resultado final
son N ecuaciones con N incógnitas. Esto es:
1 1 11 1 1 1 2 1
1 1 12 1 2 2 2 3 2
1 1 13 2 3 3 3 4 3
1 1 11 1
1
2
3
n n n
o
n n n
n n n
n n n
N N N N n N N
Celda
a P b P c P d
a P b P c P d
a P b P c P d
N a P b P c P d
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +− +
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
Las celdas con “0” y “n + 1” que se escriben son generalmente celdas ficticias que noforman parte del modelo y que se definen como se verá más adelante, producto de lascondiciones de frontera que se estén utilizando.
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152
0 1 2 3 4 ........ N - 2 N - 1 N N + 1
i
Fig. 10.1. Sistema cerrado lineal
Nótese que la matriz que se generó tiene una forma característica, hay tres elementosdiagonales y todos los demás elementos fuera de dichas diagonales son cero. A toda matrizque presente esta característica se le conoce con el nombre de “Matriz Tridiagonal”. Elconjunto de ecuaciones simultáneas puede ser escrito utilizando notación matricial como
sigue:
A P d → →
= (10.10)
donde,
11 1 1 1 1 0
12 2 2 2 2
13 3 3 3 3
4 4 4
11
0
. .. . . . .
0 . . . . .
n n
n
n
n nn n n n n n
b c P d a P
a b c P d
a b c P d
a b c
a b P d c P
+
+
+
++
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
× =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
El sistema se resuelve para la presión desconocida “ P ” utilizando el algoritmo de“Thomas”, el cual es discutido en el capítulo siguiente. Para un sistema en dos dimensionesel desarrollo es idéntico al utilizado con anterioridad para el de una sola dimensión, soloque los resultados son un poco diferentes. Considérese la siguiente ecuación diferencial enderivadas parciales en dos dimensiones:
2 2
2 2
P P P
x y t η
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂(10.11)
En diferencias finitas será:
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153
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 11, , 1, , 1 , , 1 , ,
2 2
2 2n n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j P P P P P P P P
t X Y η
+ + + + + + +− + − +− + − + −
+ =∆∆ ∆
(10.12)
Nótese que todas las presiones están en el nuevo nivel de tiempo y en consecuencia sonincógnitas. Así pues, existen 5 incógnitas en la ecuación (10.12). Para simplificar elproblema supóngase que ∆ X = ∆Y . Desarrollando y factorizando, se puede escribir de lasiguiente manera:
( )( )
2
1 1 1 1 1 11, 1, , , 1 , 1 , ,4n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j
x P P P P P P P
t η
+ + + + + +− + − +
∆+ − + + = −
∆(10.13)
La cual se reduce a:
( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1, 1 1, , 1, , 1 ,4n n n n n n
i j i j i j i j i j i j x x P P P P P P t t η η
+ + + + +− + − +
⎛ ⎞∆ ∆+ − + + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠
(10.14)
En forma general esta última expresión es:
1 1 1 1 1, 1 1, , 1, , 1n n n n n
i i j i i j i i j i i j i i j ie P a P b P c P f P d + + + + +− + − ++ + + + = (10.15)
Donde los coeficientes ei, ai, bi, ci, f i, y d i, son similares a los que se definieron para elsistema en una dimensión. Nuevamente, para avanzar la solución al nuevo nivel de tiempose requiere escribir la Ec. (10.15) para todas y cada una de las N celdas que constituyen la
malla. De esta manera se tendrán N ecuaciones con N incógnitas. En esta ocasión se trata deun sistema pentadiagonal, el cual puede escribirse en notación matricial como se muestra acontinuación:
A P d → →
= (10.16)
1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
*
n nn P d b c f
P d b c
P d a b c
P d a b
P d e a b
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Los algoritmos que se utilizan para resolver este tipo de problemas de dos dimensiones sediscuten más adelante. El esquema implícito es el que involucra mayor esfuerzo decómputo para avanzar la solución de un nivel a otro ya que para resolverlo se recurre aprocesos iterativos, sin embargo, permite utilizar incrementos de tiempo mucho mayores
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154
que el esquema explícito y aún así permanece estable.
10.3. ESQUEMA DE CRANK - NICHOLSON
Este esquema involucra una combinación de los valores anteriores y de los valores nuevosde la variable dependiente en el intervalo de tiempo considerado. Sea la ecuacióndiferencial en derivadas parciales:
2
2t cU U
x k t
φµ ∂ ∂=
∂ ∂(10.17)
t
k
C η
φµ =
La cual puede escribirse en diferencias finitas, considerando tanto el nivel de tiempoanterior como el nivel de tiempo nuevo, de la manera siguiente:
( )( )
( )
1 1 1 11 1 1 1
2 2
2 21
n n n n n n n n
i i i i i i i iU U U U U U U U
t x xθ θ
η
+ + + ++ − + −
⎧ ⎫ ⎧ ⎫− + − + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
∆∆ ∆⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭(10.18)
Donde 0 < θ < 1. Si se analiza la ecuación se notará que si θ = 0 se trata de un esquemaexplícito, si θ = ½ se trata de un esquema de Crank – Nicholson y si θ = 1, se considera unesquema implícito.
10.4 EL CONCEPTO DE TRANSMISIBILIDAD EN LOS ESQUEMAS DESOLUCION
Ya con anterioridad, en los capítulos iniciales, se comentó que al utilizar una malla quedivida al yacimiento en una serie de bloques, se debe determinar de alguna manera lainteracción de flujo que existe entre los mismos. Por ellos a continuación, se define elconcepto de transmisibilidad, T , como la la capacidad de transmitir el flujo y está dada porla siguiente expresión:
q = T ∆ P (10.19)
Donde,
T : Transmisibilidadq: Gasto o rata de flujo∆ P : Caída de presión.
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155
Nivel detiempo s
Datos:
Ps, Sos,Sgs, Sws
Formule laecuacion de
difusividad endiferencias finitas
Halle φo o Po
Calcule So, y Sw delos terminos de flujo
Sg = 1 - So - Sw
s = s + 1
Se ha llegadoal limite detiempo ?
Itere
Fin
11
s s s
x
N
c p
b p
a p
+⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Resuelva la matriz:
No
1
1
Si
Fig. 10.2. Diagrama de flujo método IMPES
Recordando la ecuación de Darcy,
kA dP q
dS µ = − (10.20)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (10.19) y haciendo dS = -L y despejando:
kAT
Lµ = (10.21)
Es claro, según la Ec. (10.21), que la capacidad de transmitir no será igual para todos losbloques que constituyen la malla, sino que ésta dependerá tanto de la geometría del bloque( L, A) como de las propiedades físicas que se le asignen a cada uno de ellos ( k ,µ ). Así puespara determinar el flujo (y con ello implícitamente la variación de presión) que cruza de unbloque A hacia un bloque B, los cuales son adyacentes, es preciso considerar lastransmisibilidades de ambos bloques. De esta manera los esquemas de solución de lasecuaciones de flujo en una dimensión afectados por el término de transmisibilidad quedancomo sigue:
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156
Nivel detiempo s
Datos:
ko, kw,
Pc, Sw
Formule laecuacion de
difusividad endiferencias finitas
Halle φo y φW
Determine Pc
s = s + 1
Se ha llegadoal limite detiempo ?
Fin
11 1| |
| || |
s s s
x x
N N
d
d d
φ
φ φ
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Resuelva la matriz:No
1
1
Pc
Sw
Determine Sw
Si
Fig. 10.3. Diagrama de flujo método IMPIS
a) Esquema de Solución Explícito: En este esquema las transmisibilidades de los términosde flujo, lo mismo que ocurrió con las presiones anteriormente, se evalúan al nivel detiempo conocido “n”. La expresión en diferencias finitas es:
( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2
11 1i i
n n n n n n n ni x i i x i i i i
VbT P P T P P P P
t + −
++ −− − − = −
∆(10.22)
El subíndice “i+½” ó “i-½” se utiliza por lo que ya se explicó, que el flujo que cruza por elpunto “i” al pasar de “i+1” a “i-1” o viceversa, se ve afectado por la transmisibilidad deambos bloques. El subíndice X indica la dirección y el término Vbi es el volumen total del
bloque i.b) Esquema de solución mixto (IMPES = Implícito en presiones, explícito en saturaciones).Este esquema surge al considerar el concepto de transmisibilidad. En él las presiones seevalúan al nivel de tiempo nuevo “n+1”, mientras las transmisibilidades se evalúan al nivelde tiempo anterior o conocido “n”. Fig. 10.2. La expresión en diferencias finitas es lasiguiente:
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157
( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2
1 1 1 1 11 1i i
n n n n n n n ni x i i x i i i i
VbT P P T P P P P
t + −
+ + + + ++ −− − − = −
∆(10.23)
Este tipo de esquema se utiliza con éxito en simuladores areales y tridimensionales en los
cuales, en general, no se dan cambios bruscos en presiones y/o saturaciones de un intervalode tiempo a otro. Sin embargo, pueden presentar serias limitaciones de estabilidad yconsecuentemente, requerir intervalos de tiempo muy pequeños en simuladores de flujoconvergente, tales como simuladores de conificación y algunos simuladores de seccionestransversales.
c) Esquema de Solución Implícito (IMPIS = Implícito en presiones, implícito ensaturaciones) o Método de Solución Simultánea. Este esquema consiste en evaluar ademásde las presiones, como ya se vió, las transmisibilidades al nuevo nivel de tiempo “n+1”, verFig. 10.3, quedando la ecuación en diferencias finitas como sigue:
( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2
1 1 1 1 1 1 11 1i i
n n n n n n n ni x i i x i i i i
VbT P P T P P P P t + −
+ + + + + + ++ −− − − = −
∆(10.24)
Para clarificar éste método considere el siguiente sistema de ecuaciones para flujoincompresible:
o o o
o
k S
x t φ
µ
⎡ ⎤∂ Φ ∂∂=⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
(10.25)
w w w
w
k S
x t φ µ
⎡ ⎤∂ Φ ∂∂
=⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ (10.26)
Se sabe que:
1o wS S + = (10.27)
Luego:
1o wS S = − (10.28)
Derivando con respecto a t:
(1 )o w wS S S
t t t
∂ ∂ − ∂= = −
∂ ∂ ∂(10.29)
Como se definió en capítulos anteriores:
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158
c o w o w P P P gh ρ = − = Φ − Φ + ∆ (10.30)
Se desea expresar el cambio en saturación en términos de la presión capilar y finalmente entérminos de potencial. Para hacer ésto se usa la regla de la cadena:
c
c
P S S
t P t
∂∂ ∂=
∂ ∂ ∂(10.31)
que puede escribirse de la siguiente manera:
' c P S S
t t
∂∂=
∂ ∂(10.32)
siendo S’ la pendiente de la curva de presión capilar contra saturación como se expresa en
la Fig. 10.4. Utilizando la definición de presión capilar introducida por la Ec. 10.30, setiene:
' 'c o w P S S S
t t t t
∂ ∂Φ ∂Φ∂ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠(10.33)
Luego las Ecs. 10.25 y 10.26 se pueden rescribir como:
'o o o w
o
k S
x t t φ
µ
⎡ ⎤∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦(10.34)
'w w o w
w
k S
x t t φ
µ
⎡ ⎤∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ∂ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦(10.35)
La derivada S’ puede escribirse en términos de potencial:
1
1'
n n
n n
c o w
S S S S
P
+
+
∂ −= =
∂ Φ − Φ(10.35)
Note que realmente ésto toma la derivada al nivel de tiempo n pero que puede también
desarrollarse para n+1/2. La Ec. 10.34 expresada en diferencias finitas usando formulaciónimplícita es:
( ) ( )1 1
1 1 1 11 1
1/ 2 1/ 2
1 'i i i i
i i i i
n n n n
o o o o n n n no oo o w w
o oi i
k k S
x x x t
φ
µ µ
+ −
+ + + ++ +
+ −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ − Φ Φ − Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤− = − Φ − Φ − Φ − Φ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆ ∆ ∆⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦(10.36)
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159
Pc
Sw
S'
Fig. 10.4. Relación presión capilar - saturación
1 2 3
1
1
o
w
Φ
Φ Incognitas
⎧⎨⎩
2
2
o
w
Φ
Φ
3
3
o
w
Φ
Φ
Fig. 10.5. Sistema unidimensional de tres celdas
Similarmente para la fase de agua:
( ) ( )1 1
1 1 1 11 1
1/ 2 1/ 2
1 'i i i i
i i i i
n n n n
w w w w n n n nw wo o w w
w wi i
k k S x x x t
φ µ µ
+ −
+ + + ++ +
+ −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Φ − Φ Φ − Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤− = − Φ − Φ − Φ − Φ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎜ ⎟∆ ∆ ∆ ∆⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦(10.37)
Por lo tanto, en una celda dada hay dos incógnitas 1n
w
+Φ y 1n
o
+Φ en el nuevo nivel de
tiempo. Si las Ecs. 10.36 y 10.37, se expresan en forma típica, se tiene:
1 1
1 1 1 1
i i i ii
n n n n
o o o w oe f g h D
− +
+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ = (10.38)
Similarmente, para la fase agua:
1 1
1 1 1 1
i i i ii
n n n n
w w w o wa b c d D− +
+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ = (10.39)
Considere el sistema de tres celdas que se muestra en la Fig. 10.4. Escribiendo las Ecs.10.38 y 10.39 para cada celda dan seis ecuaciones con seis incógnitas. Puesto que las celda0 y 4 son ficticias, se tiene:
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160
Celda 1:
0 1 2 1 1
1 1 1 11 1 1 1
n n n n
w w w o wa b c d D+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ =
0 1 2 1 1
1 1 1 11 1 1 1
n n n n
o o o w oe f g h D+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ =
Celda 2:
1 2 3 2 2
1 1 1 12 2 2 2
n n n n
w w w o wa b c d D+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ =
1 2 3 2 2
1 1 1 12 2 2 2
n n n n
o o o w oe f g h D+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ =
Celda 3:
2 3 4 3 3
1 1 1 13 3 3 3
n n n n
w w w o wa b c d D+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ =
2 3 4 3 3
1 1 1 13 3 3 3
n n n n
o o o w oe f g h D+ + + +Φ + Φ + Φ + Φ =
Que en términos matriciales resulta en:
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
1 1 1
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
3 3 3
| 0 |
| 0 |
| |
0 | | 0*
0 | | 0
| |
| 0 |
| 0 |
w w
o o
w w
o o
w w
o o
Db d c
Dh f g
Da b d c
e h f g D
a b d D
e h f D
Φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟− − − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Φ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ Φ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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161
UNIDAD 11
APROXIMACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE LASECUACIONES DE FLUJO DE UN SOLO FLUIDO
11.1. PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES
Considerando la ecuación de difusividad para un único fluido ligeramente compresible enuna dimensión:
P D q x x t B
φ λ γ ∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦(11.1)
donde,
k
Bλ
µ = , 0 < x < 1, t > 0
Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera.
Condición inicial: P ( x,t =0) = P inicial (x) (11.2)
Condiciones de frontera:
0 0
w
x x
q B P D- =
x x kA
µ γ
= =
∂ ∂⎛ ⎞ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠(11.3)
0 x L
P D- =
x xγ
=
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(11.4)
La discretización de la Ec. (11.1) en el nodo i al nivel de tiempo n+1 es:
1
1 1n
n n
i
ii
P Dq
x x x t B
φ λ γ
+
+ +
∗⎧ ⎫∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎧ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭(11.5)
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162
Si P D
U = - x
λ γ ∂ ∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠y aplicando diferencias centrales a la variable U se tiene:
1 1 1
1/ 2 1/ 2
n n n
i i
i i
U U U
x x
+ + +
+ −
−∂⎧ ⎫≈⎨ ⎬∂ ∆⎩ ⎭
Por la definición de U , la anterior ecuación puede expresarse como:
1 1 11 1
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2
1n n n
n n
i i
i i ii
U P D P D
X X X X X X λ γ λ γ
+ + ++ +
+ −+ −
⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
Aplicando nuevamente diferencias centrales a P D
- , x x
γ ∂ ∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( )( )
( )( )
1 11
1 1/ 21/ 2
11
1 1/ 21/ 2
1n n
n
i i iiii
nn
i i ii
P D P P D
x x x x x
P P D x
λ λ γ γ
λ γ
+ ++
+ ++
++
− −−
⎧⎧ ⎫∂ ⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − ∆ −⎨ ⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪⎩ ⎭ ⎩
⎫⎪⎛ ⎞ − − ∆ ⎬⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎪⎭
(11.6)
El término de acumulación conforme a diferencias regresivas en tiempo es:
1 1
1
n n n
i it B t B B
φ φ φ
+ +⎡ ⎤⎧ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦
(11.7)
Reemplazando las Ecs. (11.6) y (11.7) en la Ec. (11.5) y multiplicando por V ri = At (∆ X )i, sellega a:
( ) ( )1
1 11 1 11/ 2 1 1/ 2 11/ 2 1/ 2
i
n nn n r n n n
i i i i i i ii i
i
V T P P D T P P D q
t B B
φ φ γ γ
++ ++ + +
+ + − −+ −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ∆ − − − ∆ ± = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∆ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦(11.8)
i = 1,2,3,....., I
n = 0,1,2,3,....
donde,
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163
i = 0 1 / 2 1 2 3 4 5 6 7
/ 2 x∆
x∆
Fig. 11.1. Acoplamiento de la condición de frontera a la izquierda
( )1/ 2 1 1/ 2 1/ 21/ 2
, T i i i i i
i
AT T P P T
xλ ± ± ± ±
±
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟∆⎝ ⎠(11.9)
En notación de operadores:
( ) ( )1 1
1 1 11/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2
n nir n n n
i i i t i ii
V T P D T P D q
t B
φ γ γ
+ ++ + +
+ −+ −
⎛ ⎞∆ − ∆ − ∆ − ∆ + = ∆ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠(11.10)
o bien,
( )1
1n
ir n
i t ii
V T P D q
t B
φ γ
++ ⎛ ⎞∆ ∆ − ∆ + = ∆⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∆ ⎝ ⎠
(11.10a)
11.2. ACOPLAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA EN LASECUACIONES EN DIFERENCIAS
Haciendo referencia a la Fig. 11.1 y considerando la ec. (11.3):
w
x=0 x=0
q B P D- = -
x x kA
µ γ
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Como se aprecia en la Fig. 11.1, se usa una celda imagen ficticia en la frontera izquierda.
Aplicando diferencias centrales a la ecuación (11.3) para x = 0 , i = ½:
( )
11
1
1 0 1/ 2 / 2 1/ 2
1/ 2
1w
nn
n
i
P D B- = P P D q
x x x kA
µ γ γ
++ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤− − ∆ = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∆⎝ ⎠
Donde,
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164
I= I - 1 I I + 1
1/ 2i x +∆
Fig. 11.2. Condición de frontera a la derecha
( )1 0 1/ 2
11/ 2
1
w
nn
q T P P Dγ + +⎡ ⎤= − − − ∆⎣ ⎦ (11.11)
La Ec. (11.8) en el nodo i = 1 es:
( ) ( ) 11 11 1 1
1.5 2 1 1/ 2 1 0 11.5 1/ 21
n n r n n n
t
V T P P D T P P D q
t B
φ γ γ
+ ++ + + ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ∆ − − − ∆ ± = ∆ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∆ ⎝ ⎠(11.12)
Reemplazando la Ec. (11.11) en la Ec. (11.12):
( ) 111 1
1.5 2 1 11.51
n r n n
w t
V T P P D q q
t B
φ γ
++ + ⎛ ⎞⎡ ⎤− − ∆ + + = ∆ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∆ ⎝ ⎠(11.13)
Haciendo referencia a la Fig. 11.2, la ecuación en diferencias para el último nodo i = N usa como condición de frontera en dicho punto ( x = L) la Ec. (11.4):
0 x L
P D- =
x xγ
=
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
aplicada en x = L, luego, en ese punto i = I + ½. La Ec. (11.8) en i = I es:
( ) ( ) 11 11 1 1
1/ 2 1 1/ 2 11/ 2 1/ 2
n n r n n n
I I I I I I I t I I
I
V T P P D T P P D q
t B
φ γ γ
+ ++ + ++ + − −+ −
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ∆ − − − ∆ ± = ∆ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∆ ⎝ ⎠(11.14)La ecuación para i = I :
( )11 1
1/ 2 1 1/ 2 I
n r n n
I I I I t I I
V T P P D q
t B
φ γ
++ +− − −
⎛ ⎞⎡ ⎤− − − ∆ + = ∆ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∆ ⎝ ⎠(11.15)
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165
i = 1
2
3
4
5
6
i - 1 / 2
i + 1 / 2
∆ x i
Nivel de referencia X = 0
Di Di+1
Di+1/2 = Di+1 - Di
∆xi+1/2
Di
Di+1
Fig. 11.3. Yacimiento inclinado recto
i = i - 2
i - 1
i
i + 1
i + 2
Nivel de referenciaDi Di+1
Di+1/2
∆xi+1/2
Fig. 11.4. Yacimiento inclinado curvo
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166
UNIDAD 12
CONCEPTOS RELACIONADOS CON EL MODELO NUMERICO
12.1. ERRORES
Dependiendo de la fuente que los produzca, los errores en los que se incurre al utilizarcomputadores para resolver problemas, pueden clasificarse en alguno de los siguientestipos:
• Errores inherentes
• Errores por truncamiento• Errores por redondeo
Los errores inherentes o errores propios de los datos son aquellos que se producen al leer dealgún dispositivo de medición un dato para representar alguna magnitud física y sondebidos a la imprecisión del dispositivo. Los errores por truncamiento son aquellos que sepresentan al utilizar series en los cálculos como por ejemplo el polinomio de Taylor vistocon anterioridad. Estas series tienen un número infinito de términos y al hacer algún cálculocon ellas, se utiliza solo un número determinado de términos, truncando los demás. Porúltimo, los errores por redondeo se deben a la imposibilidad de manejar en operacionescomo multiplicación o división, todos los dígitos resultantes que involucran estas
operaciones. En este caso, el resultado se redondea o aproxima al número máximo dedígitos con los que se dispone para trabajar.
12.2. ESTABILIDAD
Los errores provenientes de cualquier fuente se propagan de diferentes formas, algunos deestos errores crecerán poco y por lo tanto, no afectarán en forma significativa la exactitudde un resultado. Otros, pueden crecer tanto que invaliden completamente los resultados deun cálculo. Si con la función f (n) se puede representar el crecimiento de un error “∈” y si elresultado al cabo de n operaciones hace que f (n) se comporte como f (n) = K n∈, para algunaconstante k que no dependa de n, se dice que el crecimiento es lineal. Si el crecimiento delerror se comporta como f (n)= K n∈, para alguna constante K mayor que la unidad, se dice quela rapidez de crecimiento del error es exponencial. El crecimiento lineal de un error esgeneralmente inevitable, cuando K y ∈ son pequeños los resultados que se obtienen en lasolución de un problema, son por lo general aceptables. En cambio, el crecimientoexponencial de un error se debe evitar, ya que el término K
n crece rápidamente aún paravalores relativamente pequeños de n, por lo cual los resultados que se obtienen en lasolución de un problema resultan inaceptables.
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167
( )n
n f K E =
( )n n f K E =
f(n)
n
Fig. 12.1. Error Lineal y Exponencial
Si un procedimiento presenta un crecimiento exponencial del error, se considerará comoinestable. Entonces, se dirá que un esquema de solución es estable cuando la propagacióndel error, al desarrollar dicho esquema, siga un crecimiento lineal, esto es, que elincremento del error de una aproximación a otra sea pequeño, determinando una tolerancia.Es muy importante tener en consideración este concepto al desarrollar un esquema, ya quelos resultados que puede proporcionar el mismo al ser inestable estarán muy alejados de larealidad. Existen dos procedimientos para determinar la estabilidad de un esquema desolución:
• Análisis de Von Neumann (Análisis de Fourier)• Método matricial
12.2.1. Análisis de Von Newmann
Este consiste en reemplazar el error inicial por una expresión en series de Fourier y analizarlas variaciones de este error a medida que el cálculo avanza. Considere la siguienteecuación:
2
2
P P
x t
∂ ∂=∂ ∂ (12.1)
La función P puede ser expresada al tiempo n en xi como:
( )n n n
i i i P x P = + ∈ (12.2)
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168
∆pK
nK
Fig. 12.2 Soluciones estable e inestable.
Siendo P in la solución obtenida por medio de diferencias finitas y ∈ representa el error que
se introduce con esta aproximación. La expresión implícita en diferencias finitas de laecuación de difusividad, Ec. 12.1, es:
1 1 1 11 1
2
2n n n n n
i i i i i P P P P P
t
+ + + ++ −− + −
=∆ ∆
(12.3)
La Ec. 12.2 debe satisfacer la ecuación diferencial, luego:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
2
2n n n n n n n n n n
i i i i i i i i i i P P P P P
x t
+ + + + + + + ++ + − −+ ∈ − +∈ + +∈ + ∈ − + ∈
=∆ ∆ (12.4)
Restando la Ec. 12.3 de la Ec. 12.4, resulta:
1 1 1 11 1
2
2n n n n n
i i i i i
x t
+ + + ++ −∈ − ∈ + ∈ ∈ − ∈
=∆ ∆
(12.5)
La expansión de una función, f ( x), en series de Fourier es:
/
( )
In x L
nn f x A e
π −∞
=∞= ∑ (12.6)
Esta expresión puede simplificarse a:
n n JPi x
i eγ ∆∈ = (12.7)
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169
Siendo n el nivel de tiempo, i la posición en la malla, J la raíz cuadrada de -1, P el índicede expansión y ∆ x el tamaño de la celda. El error no se amplificará siempre que:
1n n
i i
+∈ ≤∈ ó,1
1n
n
γ γ
γ
+
= ≤
Donde γ es el factor de amplificación del error, el cual debe ser menor o igual que la unidadpara obtener estabilidad. Reemplazando la Ec. 12.7 en la Ec. 12.5, se tiene:
1 ( 1) 1 1 ( 1) 1
2
2n JP i x n JPi x n JP i x n JPi x n JPi xe e e e e
x t
γ γ γ γ γ + + ∆ + ∆ + − ∆ + ∆ ∆− + −=
∆ ∆
Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por 1/( )n JPi xeγ ∆ :
22 1 JP x JP xe e
x t
γ γ γ γ ∆ − ∆− + −=∆ ∆
(12.8)
De acuerdo con la siguiente identidad:
22 42
JP x JP x P xe e sen∆ ∆ ∆⎛ ⎞+ − = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Permite reducir la Ec. 12.8 a:
2
2
412
P x sen
x t
γ γ
∆⎛ ⎞− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ =∆ ∆
De donde resulta:
22
11
41
2t P x sen
x
γ = ≤∆ ∆⎛ ⎞+ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠
El sistema es incondicionalmente estable, es decir, cualquier valor de ∆ x, ∆t y P que setome, permitirá que el esquema sea estable. Para el esquema explícito, el análisis deestabilidad resulta en:
22
41
2
t P x sen
xγ
∆ ∆⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠
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170
Que condiciona la estabilidad del sistema a la siguiente restricción:
2
1
2
t
x
∆<
∆
12.3. CONVERGENCIA
Cuando se estudian métodos numéricos, generalmente se utiliza el término convergencia.Se dice que una ecuación en diferencias finitas es convergente si la solución exacta a lasecuaciones en diferencias finitas tiende a la solución exacta de las ecuaciones diferencialespara todo valor de X a medida que ∆ X → 0 y ∆t → 0.
12.4. SISTEMA DE CUADRICULA DE LA MALLA
Se comentó que en la simulación es sobrepuesto al plano estructural del yacimiento unsistema de cuadrícula o sistema de celdas, siendo cada celda una unidad básica usada en elsimulador. Así pues, algunos puntos básicos al considerar en la selección del sistema deceldas son:
a. El sistema de la malla en toda su forma más simple es rectangular. Existen sistemas deenmallado mucho más complejos (mallas PEBI).
b. La malla tendrá la menor cantidad de bloques como sea posible, dependiendo de laheterogeneidad del yacimiento.
c. La malla será correctamente orientada, clasificada según su tamaño y su forma parapermitir una buena aproximación de los límites del yacimiento.
d. Si existe permeabilidad direccional u orientada, un eje de la malla estará en la direcciónde máxima permeabilidad, dicha permeabilidad podrá ser determinada por medio depruebas de presión.
e. Tratar de colocar un pozo por bloque y en el centro del mismo.f. Si se sabe de la existencia de un acuífero o si se sospecha flujo de agua, el sistema de
malla incluirá hileras extras de celdas a cubrir el acuífero para simular el flujo de agua.g. La malla debe capturar las características locales y/o heterogeneidad del yacimiento, de
modo que fallas, pozos horizontales, acuñamientos, pozos horizontales y verticalestengan una buena representación matemática.
Ahora bien, para cerrar las fronteras cuando se utiliza una malla de bloques, existen
básicamente dos maneras de lograrlo, que son:
1. Evitar el flujo a través de toda la periferia, haciendo las transmisibilidades de dichaperiferia igual a cero.
2. Extender la malla agregando bloques virtuales externos a dicha frontera y haciendo laspropiedades (presiones, saturaciones, permeabilidades, etc.) de cada bloque agregadoiguales a los del bloque interior inmediato adyacente, de tal manera que no haya cambio
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171
de bloque a bloque adyacente y el flujo sea cero. La deficiencia de esta segunda formaes que se genera una nueva red, lo que implica un aumento considerable de ecuaciones.
12.5. FLUJO MONOFASICO
( )1/ 2 1 1/ 2 1/ 2,i i i i iT T P P θ λ + + + += = (12.9)
1
1
Area perpendicular al flujo en la frontera entre las celdas i e i Factor de forma
Longitud que separa a los nodos i e iθ
+= =
+
1/ 2 1/ 2
1/ 2
i i
i
bk λ
µ + +
+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠,
1b
B=
Ejemplo: si existe una falla entre las celdas, es mejor leer las propiedades en la frontera
(caso particular), sobre la falla o emplear algún algoritmo que me desconecte las dos celdas.La mejor manera de manejar la transmisibilidad entre las celdas, es aquella que sea la másrepresentativa (movimiento entre nodos).
Falla
Fig. 12.3. Transmisibilidad en barreras de no flujo
12.5.1. Flujo en Serie (Discontinuidad Vertical)
No existe una forma única de escoger los valores de transmisibilidad (movilidad), λ i+½. En
general debería escogerse de modo que proporcione los resultados más exactamenteposibles para la rata de flujo (acumulación e influjo en el bloque). Sin embargo, algunasveces su escogencia está determinada por la técnica numérica usada. Suponga que latransmisibilidad es constante en la interfase entre los nodos i e i+1 (no necesariamente en lafrontera del bloque). La rata de flujo entre estos dos nodos está dictada por:
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172
( )1/ 2 1/ 2i
i i i
i
q A P P λ
δ + += − −
de donde:
( )1/ 2 1/ 2i
i i i
i
A P P qδ
λ + +− = − (12.10)
Se desea hallar la transmisibilidad media λ i+½ la cual proporcione el mismo valor de flujo,qi+½ entre el bloque i e i + 1, se tiene:
( )11/ 2 1 1/ 2
1
ii i i
i
q A P P λ
δ
++ + +
+
= − −
luego:
( ) 11 1/ 2 1/ 2
1
ii i i
i
A P P qδ
λ
++ + +
+
− = − (12.11)
Por inspección de las ecuaciones anteriores, se tiene:
( )( )1
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 1/ 21/ 21/ 2
i i
i i i i i i
ii
P P q A A P P P P
x x
λ λ +
+ + + + +++
− ⎛ ⎞= − = − − + −⎜ ⎟∆ ∆⎝ ⎠(12.12)
Reemplazando las Ecs. (12.10) y (12.11) en la Ec. (12.12) resulta,
11/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1
i ii i i
i i i
q q q x
δ δ λ
λ λ
++ + +
+ +
⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠(12.13)
11/ 2
1
1
i ii
i i
x
λ
δ δ
λ λ ++
+
⎛ ⎞ =⎜ ⎟∆⎝ ⎠ +
De acuerdo con el gráfico:
1/ 2 1i i i x δ δ + +∆ = +
Luego:
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173
q
q
q
i i + 1
λi λi+1
δi δi+1
∆xi+1/2
12.4. Flujo en serie (discontinuidad vertical) – Promedio de transmisibilidades
1/ 2
11
1
1i
i ii i
i i
λ
δ δ δ δ λ λ
+
++
+
⎛ ⎞=⎜ ⎟
+⎝ ⎠ +
Despejando λi+1:
( ) 11/ 2
1
1
i i
i
i i
i i
δ δ λ
δ δ
λ λ
++
+
+
+=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(12.14)
El anterior es el promedio armónico de λ i+1 + λ i. Ahora, si δ i = δ i+1 = δ , entonces:
1/ 2
1
21 1i
i i
λ
λ λ
+
+
=+
luego:
11/ 2
1
2 i ii
i i
λ λ λ
λ λ
++
+
=+
(12.15)
Si tenemos flujo en serie, lo mejor es evaluar λ en λ i+½, suponemos un régimen permanente.
12.5.2. Flujo en Paralelo (Sistema Estratificado)
Ahora, considere el caso cuando el yacimiento está compuesto de dos capas de diferentepermeabilidad como se esquematiza en la Fig. 12.5. El flujo total entre xi y xi+1 es:
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174
q1
q
i i + 1λ1
λ2
δ1
δ2
∆x i + 1/2
q2
δ
Fig. 12.5. Flujo en paralelo (Sistema de estratos) – Promedio de transmisibilidades
q = q1 + q2 (12.16)
( ) ( )1 1 2 21/ 2 1 1
1/ 2 1/ 2i i i i i
i i
q A P P A P P x x
δ λ δ λ
δ δ + + +
+ +
= − − − −∆ ∆
(12.17)
( )11/ 2 1/ 2
1/ 2
i i
i i
i
P P q A
xλ
++ +
+
−= −
∆(12.18)
Puesto que δ = δ 1 + δ 2, La Ec. 12.17 puede rescribirse como:
( )1 1 1 2 2
1/ 2 1/ 2 1 2
i i
ii
P P q A
x
δ λ δ λ
δ δ
+
+ +
− ⎛ ⎞+= −
⎜ ⎟∆ +⎝ ⎠(12.19)
Igualando la Ec. (12.18) y la Ec. (12.19) se tiene,
( ) ( )1 1 1 1 2 21/ 2
1/ 2 1/ 2 1 2
i i i i
i
i i
P P P P A A
X X
δ λ δ λ λ
δ δ
+ ++
+ +
− − ⎛ ⎞+− = − ⎜ ⎟∆ ∆ +⎝ ⎠
1 1 2 21/ 2
1 2i
δ λ δ λ λ
δ δ +
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
(12.20)
La Ec. 12.20 es el promedio aritmético de λ 1 y λ 2 ponderado por δ 1 y δ 2. En la práctica, elvalor absoluto de la permeabilidad, k , usualmente se asigna al centro del bloque y laspropiedades dependientes de presión, incluyendo la permeabilidad y porosidad en algunoscasos, se evalúan a partir de la presión del boque i, P i. Se asume que las transmisibilidadessean constantes dentro de cada bloque y estas se usan para calcular λ i!½. Tal aproximaciónes satisfactoria siempre y cuando las propiedades entre los bloques adyacentes no fluctuen
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175
demasiado. Se obtendrán errores significativos, cuando existe mucho contraste enpermeabilidad entre bloques consecutivos.
12.5.3. Funciones de Presión: f (p)
En algunas ocasiones, se realizan simulaciones en donde las propiedades del yacimiento sepueden considerar homogéneas e isotrópicas, como por ejemplo el caso de lapermeabilidad; esta propiedad al considerarla constante y que no cambia con la presión,simplificando el cálculo de la transmisibilidad ( T ) necesitando solo evalular el término( ) / b µ . Este término solo es función de presión y se puede tratar de la siguiente manera:
( ) ( )1/ 2 1 ,i i i P P P f f
+ += (12.21)
11/ 2
2
i ii
P P P +
+
+= (12.22)
( )1/ 2
1/ 2i P
i
b f
µ +
+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠, para cualquier tipo de flujo. (12.23)
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
1/ 2
1/ 2
1 1
1 1
1/ 2
1
1/ 2
1/ 2
1.
/ 22.
/ 2
3. Calcularla en el nodo de mayor potencial
bW 1 ,
0 si 0
1 si 0
i
i
i i i i
i i i i
i
i i
i
i
b P
P
b b b bb
bW donde
W P D
W P D
µ
µ µ µ µ µ
µ µ
γ
γ
+
+
+ +
+ +
+
+
+
+
⎧
+ +=⎛ ⎞
= + +⎨⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ∆ − ∆ >
= ∆ − ∆ <
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
El método recomendado para evaluar este término, función de presión, es calcularlo en elnodo de mayor potencial.
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176
UNIDAD 13
TIPOS DE MALLAS
Las mallas son líneas abstractas que se trazan sobre el dominio de la función a resolver(yacimiento) para subdividir el espacio en puntos discretos sobre los cuales se va a obtenerla solución. El sistema de enmallado determina la forma de las condiciones de frontera. Enesta sección se discutirán primero los dos métodos tradicionales de construcción de mallas(nodos centrados y nodos distribuidos) y las condiciones de fronteras asociadas a éstas paraespaciamiento uniforme y no-uniforme en cordenadas cartesianas y radiales.
Es necesario introducir cierta notación. Sin importar el método de discretización o tipo decondición de frontera, sea N el número de ecuaciones en diferencias finitas a resolver, M elnúmero de nodos e i es el índice de rango el cual dependerá del tipo de condición defrontera y el método de aproximación variando de 0 a N +1.
13.1. MALLA DE NODOS DISTRIBUIDOS (CARTESIANAS)
Dado un yacimiento de longitud, L, y area seccional A uniforme, se puede construir unamalla uniforme de M puntos colocando el primer punto en x = 0 y el último punto en x = L respectivamente, y distribuyendo el resto de puntos uniformemente entre ellos. Ver Fig.13.1. Para determinar el volumen de los bloques asociados con la malla, se colocan las
fronteras del bloque en la mitad de los dos nodos. De modo que:
( )1
L x
M ∆ =
−
de donde:
L = ∆ x ( M -1) (13.1)
ir V A x= ∆ i = 2, 3, ....., M -1 (13.2)
2ir V A∆
= , i = 1 y M (13.3)
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177
∆xL
i= 1 2 . . . . . . . . M - 1 M
Fig. 13.1. Malla de nodos distribuidos
∆xL
i= 1 2 . . . . . . . . M - 1 M
Fig. 13.2. Malla de bloques centrados
13.2. MALLA DE BLOQUES CENTRADOS (CARTESIANAS)
También se puede dividir la longitud del yacimiento, L, en M bloques iguales (uniformes)como se muestra en la Fig. 13.2. Los bloques son más pequeños para este caso que para elcaso de nodos distribuidos porque:
L x
M ∆ = (13.4)
Por lo tanto no hay puntos en las fronteras. Este método ha sido usado extensivamente en la
industria petrolera. El volumen de los nodos se determina de:
ir V A x= ∆ , i = 1, 2, 3, ..... , M (13.5)
La ecuación de flujo,
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178
( )( ) ( )( )1 11 1 1
1/ 2 1 1/ 2 11/ 2 1/ 2i
n n r n n n
i i i i i i i t i ii
V T P P D T P P D q
t B
φ γ γ
+ ++ + ++ + − −+ −
⎛ ⎞− − ∆ − − − ∆ + = ∆ ⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠
(13.6)
Si en la condición de frontera el gasto es especificado, podemos usar la distribución demalla de bloques centrados, que nos permite manejar mejor las condiciones de frontera. Sien la condición de frontera la presión es especificada, usamos mejor la distribución demallas de nodos distribuidos.
Para mallas uniformes, la única diferencia hasta el momento es el tratamiento de lascondiciones de frontera. Sin embargo, cuando se considera espaciamiento arbitrario, elanálisis muestra que la malla de nodos distribuidos es una aproximación correcta encomparación con la otra. Esto porque las fronteras de los bloques deben colocarse entre losnodos y no viceversa, puesto que las ecuaciones diferenciales se aproximan a los nodos yno a las fronteras.
13.3. MALLAS NO- UNIFORMES (COORDENADAS CILINDRICAS, FLUJORADIAL)
Cuando nos acercamos a r w necesitamos cada vez más una malla más fina. A medida quer → r w se necesita mayor definición de la malla para mantener una exactitud uniforme de lasolución y para ello se requiere una malla altamente irregular. La relación del ∆r másgrande al más pequeño es del orden de 103, ∆r / ∆r w=1000.
Para flujo radial se tiene,
1t
k P P r c
r r r t φ
µ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(13.7)
Multiplicando por r 2,
2t
k P P r r r c
r r t φ
µ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(13.8)
Si δ =ln r , y sabiendo que ( )ln dr d r r =
2
ln ln t
k P P r c
r r t φ
µ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
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179
2t
k P P e c
t
δ φ δ µ δ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂=⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(13.9)
Si se tiene espaciamiento uniforme en la variable δ , de acuerdo con Darcy, flujo radialestacionario:
lnw w
w
r P P
r δ δ − ≈ = − (13.10)
Igual espaciamiento en δ , entonces igual caída de presión entre nodos. Alternativamente,considere la Ec. 13.7 en forma expandida:
2
2
1 t c P P P
r r r k t
φ µ ∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂(13.7.a)
Si δ =ln r , entonces,
eδ = r , (13.7.b)
de modo que:
dr e d δ δ = (13.7.c)
Reemplazando la Ec. 13.7.b y 13.7.c en la Ec. 13.7.a, se tiene:
2
2 2 2
1 t c P P P
e e e k t δ δ
φ µ
δ δ
∂ ∂ ∂+ =
∂ ∂ ∂
De donde:
22
2t e c P P P
k t
δ φ µ ∂ ∂ ∂
∂δ ∂δ ∂ + =
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180
4 0 3 . 4 3
1 0 9 6 . 6 4
1 4 8 . 4 2
5 4 . 6
2 0 . 0 8 6
2 . 7 1 8 3
7 . 3 8 9
0
r =
Fig. 13.3. Malla logarítmica
La Fig. 13.3 representa un yacimiento radial, en donde las mallas se han distribuido demanera no uniforme para considerar las caídas de presión en las zonas más cercanas delpozo. Sin embargo, esta malla puede transformarse en una malla uniforme usando latransformación dada por la Ec. 13.7.b, de modo que:
=ln r δ
Con esta transformación se obtiene la siguiente malla uniforme:
∆δ
δ= 0 1 2 3 4 5 6 7
Fig. 13.4. Malla de nodos centrados
13.3.1. Malla de Nodos Distribuidos: (Radial)
De la misma manera como se diseñaron las mallas cartesianas, nodos distribuidos y bloquescentrados, se diseñan las mallas para la geometría de flujo radial o cilíndrico. Este diseño se
hace con base en el concepto de una distribución uniforme en el espacio logarítmico.
La Fig. 13.5 muestra el perfil de una malla radial de nodos distribuidos.
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181
δe - δw1 N
hi - 1 i i + 1
δ
∆δ
Fig. 13.5. Malla radial de nodos distribuidos
Si: r 1 = r w , r N = r e , /
ln1
e wr r
N δ ∆ =
−, entonces:
1e w cte
N
δ δ δ
−∆ = =
−(13.11)
∆δ = δ i+1 - δ i (13.12)
∆δ = ln r i+1 - ln r i
1ln i
i
r
r δ +∆ = (13.13)
ln ln ln( / )
1 1 1e w e w e wr r r r
N N N
δ δ − −= =
− − −
1ln( / )ln
1e w i
i
r r r
N r
+=−
Puesto que:
lnlog
log10
x x =
1ln( / ) 1ln
( 1) log10 log10e w i
i
r r r
N r
+=−
1log( / )log
( 1)e w i
i
r r r
N r
+=−
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182
de donde;
1
1
log( / ) log
N
i
e wi
r
r r r
−
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Por lo tanto;
( )1
1 1 / i N e w
i
r r r
r
+ −= , sea 1i
i
r
r α +=
r i+1 = α r i, i = 1, 2, ... , N -1 (13.14)
r i = r w, i = 1
(13.15)Ahora,
( ) ( )1 11/ 2 1/ 2
1 1i i i i
i ii ii
P r r r P P P P
r r r r r r r
λ λ λ + −
+ −
⎧ ⎫⎧ ∂ ∂ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∆ ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭(13.16)
Cómo se podría definir r i+1/2 ?. En coordenadas cilíndricas, flujo radial, régimenpermanente:
2 P
q rh
r
π λ ∂
= −∂
(13.17)
La caída de presión entre i+1 e i, se obtiene integrando la ecuación anterior:
( )11/ 2 1/ 2
1
2ln( / )
i i
i i
i i
P P q h
r r π λ +
+ ++
−= − (13.18)
Discretizando,
( )1/ 2 1/ 2 1
1/ 2 1/ 2
2 ; entonces, 2i i i i
i i
P r q rh q h P P
r r
π λ π λ + + +
+ +
∂⎧ ⎫ ⎛ ⎞= − = − −⎨ ⎬ ⎜ ⎟∂ ∆⎩ ⎭ ⎝ ⎠
(13.19)
Comparando las Ecs. (13.18) y (13.19):
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183
( )( )1
1/ 2 1/ 2 11 1
2 2ln
i i
i i i ii i
i
P P r h h P P
r r
r
π λ π λ +
+ + ++ +
− ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟∆⎝ ⎠
1/ 2
1 1/ 2
1
ln
i
i i
i
r
r r
r
+
+ +
=∆
1/ 21/ 2
1ln
ii
i
i
r r
r
r
++
+
∆= , si 1/ 2 1i i ir r r + +∆ = −
11/ 2
1ln
i ii
i
i
r r r
r r
++
+
−= (13.20)
Promedio logarítmico de los radios de los nodos i+1 e i.
1i
i
r
r α += de donde 1
1/ 2i i i i
i
r r r r r
ln ln
α
α α
++
− −= =
( )1/ 2
1
lni
i
r r
α
α +
−= (13.21)
13.3.2. Malla de Bloques Centrados: (Radial)
Una representación esquemática de una malla radial de bloques centrados está dada en laFig. 13.6.
δe - δwrw re
hi - 1 i i + 1
δi + 1/2
Fig. 13.6. Malla radial de bloques centrados
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184
1i ir r α + = (13.22)
( )1
/ N
e wr r α = (13.23)
1/ 2 wr r = (13.24)
( )11/ 2 1/ 2
1
ln lnii i
i i
r r r r r
α
α α
++ +
−−= ⇒ = (13.25)
De la Ec. (13.22),
1 / i ir r α +=
Cuando i = ½, 1 1/ 2 1/ 2 wr r r α α + = =
De la Ec. 13.25, despejando ri,
( )1/ 2 ln
1i
i
r r
α
α
+=−
Cuando i = 1,
( )1 1/ 2
1
ln
1
r r
α
α
+=−
( )1
ln
1wr
r α α
α =
−(13.26)
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185
UNIDAD 14
SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
14.1. INTRODUCCION
En el capítulo anterior se vió que al aplicar las ecuaciones resultantes del esquema desolución implícito a cada uno de los bloques que componen la malla, se establece undeterminado número de ecuaciones algebraicas con su correspondiente número deincógnitas. Este sistema lineal de ecuaciones simultáneas que resulta puede ser escrito enforma general empleando la notación matricial siguiente:
A P d → →
= (14.1)
Donde “ A” es la matriz de coeficientes, “d ” es un vector conocido y “ P ” es el vector deincógnitas de presión en todos los puntos del sistema considerado ó vector “ P ”. De estamanera, ahora el problema consiste en resolver el sistema para obtener el vector deincógnitas de presión, el cual puede ser muy simple o muy complejo, dependiendo delfenómeno físico que se intente resolver. Cuando la solución es relativamente fácil, como enel caso de problemas de una dimensión y muchos problemas de dos dimensiones, lasolución al vector de presión constituye solo una fracción del tiempo total de cómputo y delcosto de la simulación del yacimiento. Sin embargo, en problemas más complejos como enel caso de algunos modelos de dos y la gran mayoría de los de tres dimensiones, el esfuerzoque se requiere para resolver el “ vector P ” tiene un mayor significado con relación al restodel problema en la simulación del yacimiento. Por lo anterior, es fácil comprender que laeficiencia que tenga un simulador tanto para resolver el problema planteado como en elaspecto económico depende en gran medida del algoritmo que se utilice para resolvereficientemente el vector de presión establecido. Los métodos que se emplean para obtenerla solución de la ecuación (14.1) pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos directosy métodos iterativos. Algunas de las características de estos métodos de solución sepresentan a continuación:
Métodos Directos Métodos Iterativos1. Solución exacta 1. Solución convergente2. Tiempo de computador predecible 2. Tiempo de computador impredecible3. Altos requerimientos de memoria 3. Bajos requerimientos de memoria4. En problemas 2D, trabaja mejor ensistemas con menos de 1000 celdas
4. En problemas 2D, trabaja mejor ensistemas con más de 3000 celdas
5. No es práctico para problemas 3D 5. Requerido para problemas 3D
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186
14.2. METODOS DIRECTOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DE
ECUACIONES ALGEBRAICAS
Los métodos directos son aquellos en los cuales la solución del sistema de ecuaciones seobtiene cuando se ha resuelto la matriz que representa el problema. Algunos ejemplos demétodos directos son los siguientes:
• Inversión de matriz.• Regla de Cramer• Eliminación de Gauss.• Descomposición matricial• Método de Gauss - Jordan
14.2.1. Inversión de Matriz
Se trata de un método bastante sencillo para el cual se requiere determinar la matriz inversade la matriz de coeficientes y mediante una premultiplicación obtener la solución. Elprocedimiento es como sigue. Dado el sistema:
A P d → →
= (14.2)
Determinando A-1 y multiplicando por la ecuación (14.2):
1 1 A A P A d → →
− −= (14.3)
sabemos que: A-1 A = I , I = Matriz identidad o idéntica.
1 I P A d → →
−= (14.4)
1 P d →→
= , 1 1d A d → →
−=
La solución se obtiene con los resultados que proporcione el producto del lado derecho dela Ec. (14.4). Como puede suponerse, el uso de este método es un tanto elaborado y lentodebido a la necesidad de obtener la matriz inversa de la matriz de coeficientes, por lo que suempleo en trabajos de simulación es prácticamente nulo.
14.2.2. Regla de Cramer
Este es un método extremadamente sencillo pero no muy práctico para ser desarrollado enuna computadora tal como lo requiere el tratar de obtener la solución del “vector P”.Ejemplo:
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187
2 P 1 - 3 P 2 = 73 P 1 + 5 P 2 = 1
cuya ecuación matricial es:
1
2
2 3 7
3 5 1
P
P
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Se aplicará la regla de Cramer para obtener su solución. Primero se calcula el determinante“∆” de la matriz de coeficientes:
∆2 3
3 510 9 19
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = + =
Se obtienen ahora los otros determinantes al hacer el intercambio de columnas tal como loenuncia la regla:
∆P1
7 3
1 535 3 38=
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = + =
2
2 72 21 19
3 1 P
⎡ ⎤∆ = = − = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
En consecuencia la solución del sistema es:
11
382
19
P P
∆= = =
∆
22
191
19
P P
∆ −= = = −
∆
La aplicación de este método en la simulación de yacimientos prácticamente no se presenta,ya que sólo es útil para resolver sistemas de ecuaciones pequeños y el tratar de resolverproblemas mayores con él provoca la utilización de un tiempo de cómputo grande aún para
casos relativamente sencillos.
14.2.3. Método de Eliminación de Gauss: ∆Sup.
Este método consiste básicamente en sistematizar el teorema fundamental de equivalencia.Para ello se requiere aplicar a una matriz ampliada (que se forma con la matriz decoeficientes y el vector de valores conocidos) un número determinado de operaciones, las
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188
cuales son llamadas operaciones elementales sobre los renglones de una matriz, con el finde obtener un sistema equivalente al anterior que proporcione las incógnitas de una formasencilla y directa. Así pues, tomando el sistema original, el objetivo es transformar lamatriz de coeficientes “A” a una matriz triangular superior como se indica a continuación.
Dado el sistema:
A P d → →
= (14.5)
El vector constante d →
es añadido a la matriz de coeficientes formando así, la matrizampliada como sigue:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
... |
... |
. . . . .|
... |
n
n
n n nn n
a a a d
a a a d
a a a d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(14.5)
La cual después de efectuar un número determinado de operaciones elementales a losrenglones de la matriz ampliada, la expresión (14.5) se reduce a la forma siguiente:
∆Superior
*11 12 1 1
*22 2 2
*
. . |
. . |
. . | .
0 . . | .|
n
n
nn n
C C C d
C C d
C d
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(14.6)
La expresión anterior puede escribirse como:
*11 12 1 1 1
*22 2 2 2
*
. .
. .
. . . .
0 . . . .
n
n
nn n n
C C C P d
C C P d
C P d
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(14.7)
De esta manera el valor de “Pn” puede obtenerse directamente de:
*n
n
nn
d P
C =
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189
Los n - 1, n - 2, ...., 2, 1 valores se calculan mediante la simple sustitución de los mismosque ya han sido obtenidos con anterioridad. A manera de ejemplo, considérese el siguientesistema de ecuaciones:
3 P 1 + 4 P 2 - 2 P 3 + P 4 + P 5 = 162 P 1 + P 2 + 4 P 3 - 8 P 4 + 2 P 5 = 138 P 1 - P 2 - P 3 + 3 P 4 + 2 P 5 = 14 P 1 + P 2 - 3 P 3 + 2 P 4 - P 5 = -44 P 1 + 2 P 2 + 3 P 3 - P 4 - 3 P 5 = 3
Cuya forma matricial y matriz ampliada del sistema anterior quedan como sigue:
1
2
3
4
5
3 4 2 1 1 16
2 1 4 8 2 13
8 1 1 3 2 141 1 3 2 1 4
4 2 3 1 3 3
P
P
P
P
P
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
3 4 2 1 1
2 1 4 8 2
8 1 1 3 2
1 1 3 2 1
4 2 3 1 3
16
13
14
4
3
−
−
− −
− −
− −
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
|
|
|
|
|
Se efectuarán a continuación algunas operaciones fundamentales a los renglones de estaúltima matriz, con el objeto de reducirla a una matriz diagonal superior. Matriz ∆ superiores:
1 1 3 2 1
0 1 7 5 4
0 0 17 17 8
0 0 0 170 79
0 0 0 0 3152
4
28
49
146
12608
− −
−
−
−
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
|
|
|
|
|
P 1 + P 2 - 3 P 3 + 2 P 4 - 5 P 5 = -4 P 2 + 7 P 3 - 5 P 4 + 4 P 5 = 28
17 P 3 - 17 P 4 + 8 P 5 = 49170 P 4 - 79 P 5 = -146
3152 P 5 = 12608
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190
De esta manera los resultados se obtienen como se muestra a continuación:
5
126084
3152
P = = P 5 = 4
170 P 4 - 79(4) = -146 P 4 = 1
17 P 3 - 17(1) + 8(4) = 49 P 3 = 2
P 2 + 7 (2) - 5(1) + 4(4) = 28 P 2 = 3
P 1 + (3) - 3(2) + 2(1) - (4) = -4 P 1 = 1
14.2.4. Método de Gauss – Jordan
Se trata de un método útil y sencillo para encontrar la solución de un sistema de ecuacioneslineales. Es muy parecido al método de eliminación de Gauss visto con anterioridad, soloque aquí el aplicar las operaciones fundamentales en los renglones de la matriz ampliada escon el objeto de convertirla en la matriz identidad [ I ], a partir de la cual se puede obtenerla solución directamente. Este método no requiere iteraciones, pero la cantidad de trabajorequerido puede ser considerablemente mayor que los métodos iterativos y es prohibido enmuchos casos prácticos. Para una mejor comprensión del método se resolverá un ejemplo.Considérese el siguiente sistema de ecuaciones:
3 P 1 - 6 P 2 + 7 P 3 = 48 P 1 - 5 P 3 = 19 P 1 - 2 P 2 + 6 P 3 = 5
La matriz ampliada del sistema es:
3 6 7
8 0 5
1 2 6
4
19
5
−
−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
|
|
|
Aplicando las operaciones elementales del caso, se obtiene al final:
1000 0 000 0 000
0 000 1000 0 000
0 000 0 000 1000
3001
2000
1000
. . .
. . .
. . .
|
|
|
.
.
.
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
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191
Por lo que la solución es:
P 1 = 3.001 P 2 = 2.000
P 3 = 1.000
14.2.4.1. Errores en el Método de Gauss – Jordan
El método de Gauss - Jordan no es un método de aproximaciones sucesivas, por lo tanto susolución debería ser exacta, pero no lo es debido a los errores que se presentan en eldesarrollo del mismo. La solución del ejemplo resuelto con anterioridad es en realidad P 1 =3, P 2 = 2 y P 3 = 1, que difiere de los resultados obtenidos, debido a que al efectuar lasoperaciones se trabajó redondeando a tres (3) cifras decimales, incurriéndose en un error de0.001 en el valor de P 1. Este problema se presenta al resolver sistemas de ecuaciones
lineales en computadoras, ya que éstas tienen siempre un límite con respecto al número dedígitos en las constantes con las que se trabajan. Se puede demostrar que si seleccionacomo “pivote” el mayor elemento en valor absoluto en la matriz de coeficientes, seminimiza el error por redondeo.
14.2.5. Descomposición Matricial
Este método implica la transformación de la matriz de coeficientes en otras matrices, lascuales son por regla general, más fáciles de operar; después utilizando estas matrices seobtiene la solución. La descomposición de la matriz de coeficientes, según el métodoatribuido a Croutt, puede hacerse en dos matrices triangulares superior e inferior como lo
muestran las expresiones (14.11) y (14.12). La descomposición es seguida por unasustitución hacia atrás la cual calcula la incógnita en dos pasos sucesivos de sustitución. Elproceso de descomposición es como sigue. Dado:
A P b→ →
= (14.9)
entonces,
A = L U (14.10)
donde,
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192
11
21 22
31 32 33
1 2 3
0
. ..n n n nn
L
L L
L L L L
L L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
12 13 1
23
1 .
1 . .
1 . .
. .1
nU U U
U
U
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(14.11) (14.12)
A partir de estas dos matrices triangulares se puede determinar el vector de solución P yaque,
A = L U
La cual después de la descomposición puede escribirse como:
LU P b→ →
= (14.13)
Llamando el producto U P →
como “vector y”,
LY b→ →
= y U P Y → →
= (14.14)
Las matrices de coeficientes que resultan en problemas de simulación de yacimientos son
matrices en forma de banda. Para matrices pequeñas en forma de banda, la solución directapor medio de descomposición matricial, conocida también como descomposición LU ofactorización es un método eficiente. Por ejemplo, el caso de modelos areales de 2D conmenos de 15 bloques.
14.3. METODOS ITERATIVOS EN LA SOLUCION DE SISTEMAS DEECUACIONES ALGEBRAICAS
Este tipo de métodos son de naturaleza repetitiva y el proceso de solución implica uncálculo sistemático de una aproximación a dicha solución, la cual es mejor en cada
iteración. Para ello se requiere la selección de un conjunto de valores iniciales de lasincógnitas, conocido con el nombre de vector inicial, sobre el cual se opera para producirun mejor resultado. El error en cada paso se reduce y el nuevo valor de la incógnita P n quese obtiene se aproxima a la solución correcta P * a medida que se sigue iterando, ver Fig.14.1. Dentro de los métodos iterativos más importantes se tienen los siguientes:
• Método de Jacobi
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193
• Método de Gauss - Seidel• Métodos de relajación
Pn
P*
n∞
Fig. 14.1. Convergencia de un método iterativo
14.3.1. Método de Jacobi
Supóngase que en el sistema:
A P b
→ →
= (14.15)
La matriz “ A” se sustituye por:
A = D + R (14.16)
Donde D es una matriz diagonal, es decir, una matriz cuadrada cuyos elementos sobre ladiagonal principal son los únicos diferentes de cero. R es otra matriz que contiene ceros ensu diagonal principal y tiene los restantes elementos de “ A”, en sus demás elementos.Sustituyendo en la expresión (14.15):
( ) D R P b→ →+ = (14.17)
D P R P b→ → →
+ =
D P b R P → → →
= −
Premultiplicando por D-1:
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194
1 1 P D b D R P
→ → →− −= − (14.18)
Al hacer la anterior ecuación en forma recursiva queda como sigue:
( ) ( )11 1
K K
P D b D R P +→ → →
− −= − (14.19)
Donde:
K = 0, 1, 2, ..........
El método de Jacobi, definido por la ecuación matricial de recurrencia dada por laexpresión (14.19) significa que una vez planteado el sistema (14.15) se despeje P 1 de laprimera ecuación, P 2 de la segunda, P 3 de la tercera, etc., quedando:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
11 1 12 2 13 3 1
11
12 2 21 1 23 3 2
22
13 3 31 1 32 2 3
33
1
1 1 2 2 11
1.....
1.....
1.....
...
1
.....
K K K K
n n
K K K K
n n
K K K K
n n
K K K K
n n n n nn nnn
P b a P a P a P a
P b a P a P a P a
P b a P a P a P a
P b a P a P a P a
+
+
+
+
−−
⎫= − − − ⎪⎪⎪
= − − − ⎪⎪⎪⎬= − − − ⎪⎪⎪⎪⎪
= − − − ⎪⎭
(14.20)
Donde,
K = 0, 1, 2, .....
Partiendo de una primera aproximación:
( )( ) ( ) ( ) ( )
00 0 0 0
1 2 3, , ,...., n P P P P P →
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (14.21)
Se sustituirá en los segundos miembros de las ecuaciones de la expresión (14.20) paraobtener la nueva aproximación:
( )( ) ( ) ( ) ( )
11 1 1 1
1 2 3, , ,...., n P P P P P →
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
(14.22)
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195
A su vez, sustituyendo P(1), se obtendrá:
( )( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 2
1 2 3, , ,...., n P P P P P →
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (14.23)
y así sucesivamente. Se considerará solución del sistema aquella que cumpla con:
( ) ( )1n n
P P +→ → →
− ≤ ∈ (14.24)
donde ∈
es un vector de tolerancia preestablecido. Sustituyendo el vector inicial(0 ) P
= {0, 0, 0, 0, ..... ,0} en los segundos miembros de las ecuaciones de la expresión
(14.20) se obtendrá una nueva aproximación que estará dada por:
31 2
11 22 33
, , ,..., n
nn
b bb b P
a a a a
→ ⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
(14.25)
Este último vector P
, se utilizará como vector inicial (0 ) P
en la solución de sistemas por elmétodo de Jacobi. Para una mejor comprensión del método, se resolverá el siguientesistema de ecuaciones:
6 P 1 + 2 P 2 + P 3 = 22- P 1 + 8 P 2 + 2 P 3 = 30 P 1 - P 2 + 6 P 3 = 23
Despejando P 1 de la primera ecuación, P 2 de la segunda y P 3 de la tercera:
( )1 2 3
122 2
6 P P P = − −
( )2 1 3
130 2
8 P P P = + −
( )3 1 2
123
6 P P P = − +
Haciendo recursivo este sistema, según la expresión (14.20):
( ) ( ) ( )( )11 2 3
122 2
6 K K K
P P P + = − − (14.a)
( ) ( ) ( )( )12 1 3
130 2
8 K K K
P P P + = + − (14.b)
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196
( ) ( ) ( )( )13 1 2
123
6 K K K
P P P + = − + (14.c)
Donde K = 0, 1, 2, 3, ....
Tomando el vector inicial (0 ) P
=(22/6, 30/8, 23/6) y sustituyendo K = 0 en las tresecuaciones de recurrencia (14.a), (14.b), (14.c), se obtiene:
( ) ( ) ( )( )1 0 01 2 3
122 2
6 P P P = − −
( ) ( ) ( )( )1 0 02 1 3
130 2
8 P P P = + −
( ) ( ) ( )( )1 0 03 1 2
123
6 P P P = − +
Sustituyendo valores:
( ) ( )( )11
122 2 30 / 8 23/ 6
6 P = − − = 1.778
( ) ( )( )12
130 22 / 6 2 23/ 6
8 P = + − = 3.250
( ) ( )13
123 22 / 6 30 / 8
6 P = − + = 3.847,
obteniéndose:
(1) P
= [1.778, 3.250, 3.847]
Sustituyendo K = 1 en las Ecs. (14.a), (14.b) y (14.c):
( ) ( )( )21
122 2 3.25 3.847 1.942
6 P = − − =
( ) ( )22
130 1.778 23.847 3.011
8 P = + − =
( )
( )2
3
1
23 1.778 3.250 4.0796 P = − + =
Por lo tanto:
[ ](2 ) 1.942,3.011,4.079 P =
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197
Procediendo reiteradamente en forma similar se obtiene:
K = 2 ; P →
(3) = [1.983, 2.973, 4.012]
K = 3 ; P →
(4) = [2.007, 2.995, 3.998]
K = 4 ; P →
(5) = [2.002, 3.001, 3.998]
K = 5 ; P →
(6) = [2.000, 3.001, 4.000]
K = 6 ; P →
(7) = [2.000, 3.000, 4.000]
Finalmente la solución del sistema es:
P 1 = 2.000, P 2 = 3.000, y P 3 = 4.000, con tres cifras decimales exactas.
14.3.1.1. Convergencia del método de Jacobi
El método de Jacobi tiene la desventaja de que no siempre converge a la solución delsistema y algunas veces lo hace pero lentamente. Sin embargo, este método convergirásiempre a la solución, cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente encada ecuación del conjunto sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes delos otros coeficientes de esa ecuación. Cuando el valor absoluto del coeficiente dominantepara una incógnita diferente en cada ecuación sea mayor que la suma de los valoresabsolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, se considerará que éste coeficiente essuficientemente dominante y, por lo tanto la convergencia estará asegurada. En el sistemade ecuaciones que se utilizó en el ejemplo anterior puede verse que el coeficiente de P 1 esdominante en la primera ecuación y los coeficientes de P 2 y P 3 son dominantes en lasegunda y tercera ecuación respectivamente.
14.3.2. Método de Gauss - Seidel
Este método es prácticamente idéntico al de Jacobi, la única diferencia consiste en que elmétodo de Gauss - Seidel se acelera cuando existe la convergencia a la solución, debido aque una vez que calcula la componente P i
( K +1), la utiliza inmediatamente en la mismaiteración. El criterio de convergencia de este método es el mismo que el de Jacobi.
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( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
11 1 12 2 13 3 1
11
1 12 2 21 1 23 3 2
22
1 1 13 3 31 1 32 2 3
33
1 1 1 11 1 2 2 11
1.....
1.....
1.....
...
1.....
K K K K
n n
K K K K
n n
K K K K
n n
K K K K
n n n n nn n
nn
P b a P a P a P a
P b a P a P a P
a
P b a P a P a P a
P b a P a P a P a
+
+ +
+ + +
+ + + +−−
⎫= − − − ⎪⎪⎪
= − − − ⎪
⎪⎪⎬= − − − ⎪⎪⎪⎪⎪= − − −⎪⎭
(14.26)
Como ejemplo del procedimiento de cálculo que sigue éste método se resolverá el mismosistema de ecuaciones que se empleó para ejemplificar el método de Jacobi.
6 P 1 + 2 P 2 + P 3 = 22- P 1 + 8 P 2 + 2 P 3 = 30 P 1 - P 2 + 6 P 3 = 23
Las ecuaciones según la expresión (14.26) se reducen a:
( ) ( ) ( )( )11 2 3
122 2
6 K K K
P P P + = − − (14.d)
( ) ( ) ( )
( )1 1
2 1 3
130 28
K K K
P P P + +
= + − (14.e)
( ) ( ) ( )( )1 1 13 1 2
123
6 K K K
P P P + + += − + (14.f)
Donde K = 0, 1, 2, .....
Tomándose el mismo vector inicial que en aquel ejemplo, esto es:
(0 ) 22 30 23, ,
6 8 6 P
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
y sustituyendo K = 0 en las ecuaciones (14.d), (14.e) y (14.f):
( ) ( ) ( )( )1 0 01 2 3
122 2
6 P P P = − −
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199
( ) ( ) ( )( )1 1 02 1 3
130 2
8 P P P = + −
( ) ( ) ( )( )1 1 13 1 2
123
6 P P P = − +
Sustituyendo valores:
( )11
1 30 2322 2 1.778
6 8 6 P
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( )12
1 2330 1.778 2 4.0369
8 6 P
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )13
123 1.778 4.039
6 P = − +
Se obtiene:
[ ](1) 1.778, 3.014, 4.039 P =
Procediendo reiteradamente en forma similar, resultan las siguientes iteraciones:
K = 1 ; [ ](2 ) 1.998, 2.989, 4.000 P =
K = 2 ; [ ](3) 2.004, 3.001, 4.000 P =
K = 3 ; [ ](4 ) 2.000, 3.000, 4.000 P =
Por lo tanto la solución es P 1 = 2000, P 2 = 3000, y P 3 = 4000. Como puede apreciarse, es lamisma solución que proporciona el método de Jacobi, con la ventaja que éste la obtienen entres iteraciones menos.
14.3.3. Método de Relajación
Se trata de un método que acelera la obtención de la solución con respecto a los métodositerativos vistos anteriormente. En éste, el nuevo valor de P i
(k +1) se obtiene con parte de lanueva iteración y con parte de la anterior. Para ello se introduce el término “parámetro de
relajación, ω”, cuya presencia acelera el proceso de convergencia. Así pues,notacionalmente se tiene el siguiente sistema:
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200
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
11 1 12 2 13 3 1 1
11
1 12 2 21 1 23 3 2 2
22
1 1 13 3 31 1 32 2 3 3
33
1 1 1 11 1 2 2 11
1... 1
1... 1
1... 1
.. ......
1... 1
K K K K K
n n
K K K K K
n n
K K K K K
n n
K K K K K
n n n n n nn n
nn
P b a P a P a P P a
P b a P a P a P P
a
P b a P a P a P P a
P b a P a P a P P a
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
+
+ +
+ + +
+ + + +−−
= − − − + −
= − − − + −
= − − − + −
= − − − + −
⎫⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(14.27)
Donde K = 0, 1, 2, ... Para cualquier valor que se fije a ω entre cero y dos, el procesoconverge para los tipos de sistemas de ecuaciones que puedan encontrarse en la simulaciónde yacimientos. Cuando el valor de ω es mayor de 1.0, ω > 1.0, se dice que el proceso es desobre-relajación. Si el valor de ω estuviese comprendido entre 0 y 1 (0 < ω < 1), se tendríabajo-relajación (sub-relajado), aunque hay que hacer notar que dicho procedimiento no esefectivo para el tipo de problemas de yacimientos. Si ω = 1, el proceso se reduce, como sepodrá observar viendo la Ec. 14.27 y comparándola con la Ec. 14.26, al método de Gauss –Seidel. Una forma más general de representar matemáticamente el método de relajación, yde paso el método de Gauss-Seidel, se presenta a continuación:
111 ,(1 ) Si , 1 y si , K N K+
i i i= ,i ji i j j
i,i
= - P + - a P , i > j = K + , j < i = K b P a
ξ ω ω ξ ξ +
≠⎡ ⎤∑⎣ ⎦
Es muy importante seleccionar el valor adecuado de un ω para acelerar el proceso, pues unvalor óptimo de dicho parámetro produce una convergencia extraordinariamente rápida. Laestimación de este parámetro está en función del tamaño de la malla y de la heterogeneidaddel medio poroso. Una manera de estimar un juego de parámetros de sobre-relajaciónóptima para sistemas heterogéneos y anisotrópicos se presenta a continuación:
2 2
2 2 x x
y y
k N y
k N xθ
∆=
∆
Donde N x y N y representan el número de nodos en la dirección x e y, respectivamente.
1 cos( / ) x N
θ λ
θ π =
+ −
2
1 1opt ω
λ =
+ −
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201
14.4. ORDENAMIENTO DE LAS ECUACIONES (NUMERACION DE BLOQUES)
El orden de las ecuaciones es arbitrario sin embargo deben seguir ciertos esquemas paraminimizar cálculos y buscar algoritmos apropiados. Dependiendo de la manera como se
enumeren los nodos dentro del yacimiento, resultará la forma de la matriz y el consecuentemétodo apropiado para su solución. Se usan notaciones simplificadas para identificarbloques con el propósito de indicar la manera en que los términos en la matriz de presionespara cada bloque aparecen en la matriz de coeficientes. Un bloque debe ser identificado conun solo número y los términos en la ecuación serán referidos con el número del bloquerespectivo. El ordenamiento estándar considera la enumeración consecutiva de los bloquesiniciando desde la parte inferior izquierda del yacimiento, tal como se muestra en la Fig.14.2. Por ejemplo, los modelos de 4 x 2 y 2 x 4 se enumeran tal como se muestra en la Fig.14.2 con la notación simplificada que se presenta en la Fig. 14.3. La ecuación de presionespara el bloque 2 del modelo 4 x 2 será:
1 2 3 4
5 6 7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
a) 4 x 2
b) 2 x 4
Fig. 14.2. Ordenamiento estándar de bloques
) 4 2 ) 2 4
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
× ×
Fig. 14.3. Notación resultante para coeficientes matriciales con ordenamiento estándar
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202
1 1 1 11, , 1, , 1 , 1
n n n n
i i j i i j i i j i i j i i j ia P b P c P d P e P f + + + +− + + −+ + + + =
1 1 1 12 1 2 2 2 3 2 6 2 0 2
n n n na P b P c P d P e P f + + + ++ + + + =
Por supuesto, el número de ecuaciones es 8 para ambos modelos pero la distribución de lostérminos dentro de la matriz de coeficientes difiere. Para el modelo 4 x 2, la matriz decoeficientes es una matriz de banda con un ancho de banda de 9 mientras que para el otrocaso el ancho de banda es de 5. El esfuerzo requerido para resolver una matriz bandeadadepende tanto del número de ecuaciones como del ancho de banda. Si se usara el método dedescomposición matricial para resolver el modelo de 4 x 2 toma más de dos veces que pararesolver el modelo de 2 x 4. Esto es, si se usa el método de ordenamiento estándar, lanumeración debería ser en la secuencia de la dirección más corta. De las muchas formas deordenamiento posibles, las que más se usan en simulación son el ordenamiento estándar , A3, D4 y disección anidada.
1 16 2 17 3 18
19 4 20 5 21 6
7 22 8 23 9 24
25 10 26 11 27 12
13 28 14 29 15 30
1 17 4 21 9 26
16 3 20 8 25 13
2 19 7 24 12 29
18 6 23 11 28 15
5 22 10 27 14 30
a) A3 b) D4
Fig. 14.4. Ordenamiento de bloques: a) A3 y b) D4
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203
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Fig. 14.5. Localización de la matriz de elementos en el ordenamiento A3
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x
x
x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Fig. 14.6. Localización de la matriz de elementos en el método D4
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1 3 25 6 5
2 4 24 8 7
17 18 19 20 21
15 16 23 12 10
13 14 22 11 9
Fig. 14.7. Ordenamiento de disección anidada de un modelo de bloques de 5 x 5
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 0
1 1 1 0 0
Cuando la matriz A se programa, lanueva matriz de coeficientestendrá la apariencia de....
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 0 1
0 0 1 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 1 0 1 1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
=
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
A' =
Tome SOLO las diagonales convalores diferentes de cero yrótelos 45°en sentido horario
Valores
inexistentes
Valores
inexistentes
Fig. 14.8. Reducción de una matriz de N x x N y a N x x 5 elementos
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205
El esquema A3 se conoce como esquema rojo/negro o esquema ajedrez cuyo ordenamientoes aparente en la Fig. 14.4.a. En el ordenamiento D4, la numeración va con las diagonalesen forma alterna como se muestra en la Fig. 14.4.b. Las matrices resultantes para estosesquemas se presentan, respectivamente, en la Fig. 14.5 y 14.6. El grado de dispersamiento
del cuadrante superior izquierdo de ambos esquemas facilita el uso de eliminaciónGaussiana para remover los términos del cuadrante inferior izquierdo y particionar la matrizen 4 bloques. Este método fue publicado por Price and Coats y actualmente se usaextensivamente en simulación de yacimientos.
En simulación de yacimientos, el ordenamiento de Disección Anidada es el método directomás eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un muy amplio número de bloques.Este esquema ordena las ecuaciones en grupos pequeños que están dentro de gruposgrandes. Estos grupos están dentro de grupos más grandes que a su vez están dentro degrupos más grandes y así sucesivamente. El resultado es un incremento en la densidad detérminos cerca de la diagonal principal de la matriz de coeficientes y a una consecuente
reducción del número de elementos vacíos (ceros) que deben ser llenados durante elproceso de eliminación. La Fig. 14.7 ilustra este principio. En el se forman cuatro“submatrices” pentadiagonales alrededor de una diagonal principal. Allí, la malla de 5 x 5se separa en 4 nidos esquineros y una cruz. Virtualmente, el ordenamiento es sistemático,sin embargo, en esa etapa del proceso, los términos a ser seguidamente eliminados sonaquellos asociados con grupos de bloques que tienen los más pocas incógnitas remanentes.Este esquema es superior en rendimiento a los otros tres esquemas anteriormentemencionados.
Un ordenamiento estándar de una matriz cuadrada producirá una matriz pentadiagonalcuyos términos vacíos aumenta fuertemente al aumentar el tamaño de la matriz. La
aplicación del método de Gauss-Seidel o de relajación a estos sistemas resulta cada vez máspesado, computacionalmente hablando, debido al almacenamiento, manipulación yoperación de los ceros en la matriz, por lo que deben eliminarse tal como se muestra en laRef. 14, donde un gran número de ceros en la matriz fueron eliminados durante el procesode cómputo aumentando la velocidad de los cálculos más de 960 % para una matriz de 400elementos. El proceso se ilustra en la Fig. 14.8 y el respectivo diagrama de flujo se presentaen la Fig. 14.9. Note que las matrices tridiagonales son más fáciles de resolver porque noexisten ceros entre las diagonales, en otras palabras, las tres diagonales en las matricestridiagonales están siempre adyacentes. Esto no siempre es cierto en matrices pentadiagonalesque resultan de problemas bidimensionales. Existe una “banda” formada por cinco diagonales,pero esta puede ser muy ancha, lo que indica que hay un considerable número de ceros dentrode la banda. Por esta razón, la eliminación Gaussiana usualmente resulta poco efectiva y debenusarse métodos iterativos. La principal diferencia entre los diversos métodos para resolverproblemas bidimensionales son velocidad y requerimientos de memoria. Todos los métodospodrían arrojar esencialmente los mismos resultados y exactitud dentro de una toleranciaespecificada.
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206
Penta-Gauss-Seidel
i=1
1< i <=NN
NN< i <=N-NN
i > N-NN
yes
yes
yes
yes
aij = Matriz de coeficientes
X = Nivel de tiempo anterior
Y = Nivel de tiempo nuevo
N = Número de incógnitasNN = N^0.5
Itere
sum=a1,4*X2+a1,5*X1+NN
sum=ai,2*Yi-1+ai,4*Xi+1+
ai,5*Xi+NN
sum=ai,1*Yi-NN+ai,2*Yi-1+
ai,4*Xi+1+ai,5*Xi+NN
sum=ai,1*Yi-NN+ai,2*Yi-1+
ai,4*Xi+1
Yi = (bi - sum)/ai,3
Fig. 14.9. Diagrama de flujo para el método de Gauss-Seidel o relajación en matricespentadiagonales (Ref. 14)
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Fig. 14.10. Ordenamiento normal o estándar para un sistema bidimensional
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207
C E SW C E S
W C E SW C S
N C E SN W C E SN W C E S
N W C SN C E
N W C EN W C E
N W C
Fig. 14.11. Matriz resultante del ordenamiento de la Fig. 14.10
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
Fig. 14.14. Reordenamiento de los bloques para reducir el ancho de banda
C S EN C S E
N C EW C S E
W N C S EW N C E
W C S EW N C S E
W N C EW C S
W N C SW N C
Fig. 14.13. Matriz resultante del ordenamiento de la Fig. 14.12 con ancho de banda de 2J+1 = 7
Se ha enumerado los nodos para demostrar el orden que se debería tener el enmallado o elorden en el cual se escriben las ecuaciones lineales. Para el problema bidimensional que semuestra en la Fig. 14.10, la matriz A tendría la forma que se muestra en la Fig. 14.11. Ahora
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208
bien, si se cambia la enumeración como lo indica la Fig. 14.12, la matriz tendrá ahora laforma que muestra la Fig. 14.13, por supuesto, la solución será exactamente la misma perorequiere menos aritmética debido a que se reduce el ancho de banda.
14.5. METODOS DE DIRECCIÓN ALTERNANTE Y METODOS AFINESPeaceman y Rachford propusieron el primer método para resolver las ecuaciones quedescriben problemas de flujo multidimensional en yacimientos de petróleo. Desde el puntode vista de cómputo, su método es similar a relajación lineal con la dirección implícitaalternando sucesivamente entre columnas y filas. El método trabajó bien en sistemas quetenían permeabilidades cercanas a la uniformidad y en problemas en los cuales la direccióndel movimiento de fluidos no cambia drásticamente. Para cambios bruscos en dirección deflujo, tal como conificación, existen métodos superiores. Este método es básicamente unaperturbación del método de Crack-Nicholson. Otros métodos de dirección alternante son: Método de Douglas, el cual presenta ventajas para problemas tridimensionales comparado
con el de Peaceman y Rachford, y el método de Douglas y Rachford. Otros métodos queperturban el método de Crack-Nicholson son: el método de separación y el métodopredictor-corrector.
14.5.1. ADIP (Alternating Direction Implicit Procedure) – Método de Peaceman yRachford
Este método fue diseñado para usar el algoritmo de Thomas en problemasmultidimensionales (Thomas se aplica a monodimensionales) para computadores de bajacapacidad. Básicamente, si se tiene un problema en dos dimensiones, realice barrido en ladirección desde un nivel de tiempo n a n + ½ y luego en la otra dirección desde un nivel
n+½ a n+1, tal como se ilustra en la Fig. 14.14. El método ADI (o para este caso ADIP) fuepropuesto en 1955 para problemas bidimensionales. El modelo ADI considera primero laimplicicidad en la dirección x hasta la mitad del intervalo de tiempo, y luego, laimplicicidad en la dirección y para la segunda mitad del intervalo de tiempo. En otraspalabras, cada iteración consiste de dos medias iteraciones, primero todas las filas semodifican y segundo se modifican todos los valores de las columnas.
Considere el modelo matemático dado por la ecuación 14.27.a, el cual, es la ecuación dePoisson en coordenadas cartesianas con un término fuente/sumidero que representa lainyección o producción a lo largo de puntos específicos en el dominio de la solución. Estedominio prácticamente representa un medio poroso permeable (yacimiento) donde unfluido residente (aceite) es desplazado por un fluido de inyección (agua) a través de unpozo inyector (fuente). El petróleo desplazado se produce a través de pozos productores(sumideros), que para propósitos de ejemplificación, considere un patrón normal de cincopuntos. El modelo matemático considera la ecuación de transporte (ecuación de Darcy)acoplado con la ecuación de conservación de la masa para un fluido único a través de unmedio anisotrópico y heterogéneo.
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209
Primero
Barrido en x
De n a n +1/2
Segundo
B a r r i d o e n y
De n +1/2 a n
Nivel de
tiempo
n
n +1/2
n+ 1
Fig. 14.14. Representación esquemática del método ADI
y xt
k hk h P P Q P c h
x y y x y t φ
µ µ
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ± = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∆ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(14.27.a)
Si k x = k y = constante, h = constante, µ = constante entonces la anterior ecuación puedeescribirse:
( ) ( )
2 2
2 2 / / t c h P P Q P
x y x y kh kh t
φ
µ µ
∂ ∂ ∂+ ± = −
∂ ∂ ∆ ∆ ∂(14.27.b)
Condición inicial: Asuma que la distribución de presión a lo largo de todo el yacimiento esconstante e igual a la presión inicial en el instante en que el desplazamiento con agua inicia.
P ( x, y,0) = P inicial Condiciones de frontera: El modelo usa barreras de no flujo a lo largo del dominio, demodo que:
0 @ , 1,..., ; , 1,..., P P
i N j N j M i N x y
∂ ∂= = = = = =
∂ ∂
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210
0 1
1
0
(0, ) 0 P
j X
∂=
∂ (1, ) 0 P
j X
∂=
∂
( ,1) 0 P
iY
∂=
∂
( ,0) 0 P
iY
∂=
∂
Fig. 14.15. Condiciones de frontera para ejemplo método ADIP
Normalización del modelo matemático
Por conveniencia, el modelo matemático expresado por medio de la Ec. 14.27.b, junto consus condiciones de frontera puede normalizarse o escribirse en forma adimensional. Asuma,además, que ∆ x = ∆ y y que la longitud del domino es las direcciones x e y es igual a L x.
2 D
i x x t x
P x y kt P X Y t
P L L c Lφµ = = = =
Con las anteriores definiciones el modelo se convierte en:
( )
2 2
2 2 2 / i D
P P Q P
X Y x p kh t µ
∂ ∂ ∂+ ± = −
∂ ∂ ∆ ∂(14.27.c)
P ( x, y,0) = 1
0 @ , 1,..., ; , 1,..., P P
i N j N j M i N X Y
∂ ∂= = = = = =
∂ ∂
ADIP (Alternating Direction Implicit Procedure)
La ecuación diferencial formulada de acuerdo con el método ADIP se da a continuación:
( )
2 1/ 2 2 1 2 1, , , , ,
2 2 2 2
1
2 /
n n n n
i j i j i j i j i j
i D
P P P Q P
X Y Y X p kh t µ
+ + +⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ + ± = −⎨ ⎬
∂ ∂ ∂ ∆ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭
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211
Multiplicando por 2 y expandiendo la derivada en tiempo:
( )
2 1/ 2 2 1 2 1, , , , , ,
2 2 2 2
22 2
/
n n n n n
i j i j i j i j i j i j
i D
P P P Q P P
X Y Y X p kh t µ
+ + +∂ ∂ ∂ −+ + ± = −
∂ ∂ ∂ ∆ ∆
Sumando y restando 1/ 2,2 / n
i j D P t + ∆ a ambos lados de la ecuación anterior, esta puede
descomponerse en dos ecuaciones:
( )
2 1/ 2 2 1/ 2, , , , ,
2 2 22
/
n n n n
i j i j i j i j i j
i D
P P Q P P
X Y X p kh t µ
+ +∂ ∂ −+ ± = −
∂ ∂ ∆ ∆(14.27.d)
( )
2 1/ 2 2 1 1 1/ 2, , , , ,
2 2 22
/
n n n n
i j i j i j i j i j
i D
P P Q P P
X Y X p kh t µ
+ + + +∂ ∂ −+ ± = −
∂ ∂ ∆ ∆(14.27.e)
Expresando la Ec. 14.27.d en diferencias finitas:
( ) ( )
( )( )
1/ 2 1/ 2 1/ 21, , 1, , 1 , , 12 2
, 1/ 2, ,2
2 22 2
2 /
n n n n n n D Di j i j i j i j i j i j
D i j n n
i j i j
i
t t P P P P P P
X X
t Q P P
X p kh µ
+ + ++ − + −
+
∆ ∆− + + − + ±
∆ ∆∆
= − −∆
Defina:
2 2 / 2 / 2 D
t
t kt
X c xα
φµ ∆= =∆
Luego:
( ) ( )( )
( ),1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21, , 1, , 1 , , 1 , ,
12 2
/ i jn n n n n n n n
i j i j i j i j i j i j i j i j
i
Q P P P P P P P P
p kh µ α
+ + + ++ − + −− + + − + ± = − −
Simplificando incluso más:
( ),1/ 2 1/ 2 1/ 2
1, , 1, , 1 , , 1
1 12 2
/ i jn n n n n n
i j i j i j i j i j i j
i
Q P P P P P P
p khα α µ
+ + +− + − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = − + − − ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(14.27.f)
Ahora, la Ec. 14.27.e se expresa en diferencias finitas:
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212
( ) ( )
( )( )
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 11, , 1, , 1 , , 12 2
, 1 1/ 2, ,2
2 22 2
2 /
n n n n n n D Di j i j i j i j i j i j
D i j n n
i j i j
i
t t P P P P P P
X X
t Q P P
X p kh µ
+ + + + + ++ − + −
+ +
∆ ∆− + + − + ±
∆ ∆∆
= − −∆
Que de manera similar resulta finalmente simplificada en:
( ),1 1 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1, , 1, , 1 , , 1
1 12 2
/ i jn n n n n n
i j i j i j i j i j i j
i
Q P P P P P P
p khα α µ
+ + + + + +− + − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = − + − − ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(14.27.g)
Simplificando a notación corta:
1/ 2 1/ 2 11, , 1,
n n n
i i j i i j i i j ia P b P c P d + + +− ++ + = − (14.27.h)
1 1 1, 1 , , 1
ˆ ˆˆ ˆn n n
i i j i i j i i j ia P b P c P d + + +− ++ + = − (14.27.i)
Donde;
ˆ 1i ia a= =
1ˆ 2i ib bα
⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
ˆ 1i ic c= =
( ),
, 1 , , 1
12
/ i jn n n
i i j i j i j
i
Qd P P P
p khα µ − +
⎛ ⎞= − − + ±⎜ ⎟⎝ ⎠
( ),1/ 2 1/ 2 1/ 2
, 1 , , 1
1ˆ 2 /
i jn n n
i i j i j i j
i
Qd P P P
p khα µ
+ + +− +
⎛ ⎞= − − + ±⎜ ⎟⎝ ⎠
Cuando la compresibilidad del sistema es cero, o cuando analizamos el caso de estado
estable, el término α tiende a infinito y por lo tanto se debe usar un manejo especial. Noteque el parámetro α puede considerarse como un parámetro de iteración en este problema yel mismo valor del parámetro de iteración debe usarse en cada par de iteraciones sucesivas.Un método eficiente para escoger el parámetro de iteración se presenta en la Ref. 15:
1
1m z σ −=
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213
a
bσ =
24sen2
am
π =
24cos2
bm
π =
1
1, 1,2,....,k k
k mbz
α −= =
El factor de reducción del error después de m dobles barridos es:
4
1.51 exp11
m z z P
z z⎛ ⎞⎧ ⎫−= −⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟−+ ⎩ ⎭⎝ ⎠
mm mS P =
El valor óptimo de m se escoge para el valor mínimo de S m. Por ejemplo, para un enmalladode 17 x 17, los valores más eficientes de α fueron:
α1 = 0.252147
α2 = 0.497533
α3 = 0.981727
α4 = 1.937133
α5 = 3.822330
α6 = 7.542180
α7 = 14.88249α8 = 29.365296
las matrices resultantes de la aplicación de las Ecs. 14.27.h y 14.27.i son tridiagonales ypueden resolverse por el Algoritmo de Thomas. La Ec. 14.27.h permite obtener ladistribución de presión a lo largo de la dirección x a medio intervalo de tiempo, lo cual
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214
normalmente se llama “barrido en la dirección x”:
1/ 2
1 1 11
2 2 2 22
3 3 3 33
4 4 4
2 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 ..
0 0 0 . . . 0 ..
0 0 0 0 . . . ..
0 0 0 0 0 2
nn n
n n nn
b c d P
a b c d P
a b c d P
a b c
a b d P
+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
× =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Similarmente, la distribución de presión en la dirección y al siguiente medio intervalo detiempo se obtiene con base en los vectores de presión recientemente calculados:
1/ 2 1/ 21
1 111
2 2 222
3 3 3 3 3
4 4 4
ˆ ˆ2 0 0 0 0 0 ˆˆˆ ˆ 0 0 0 0 ˆ
ˆˆ ˆ0 0 0 0 ˆˆ .ˆ ˆ0 0 0 0 .
. .0 0 0 . . . 0
. .0 0 0 0 . . .ˆˆˆ0 0 0 0 0 2
n nn
nn
n n
b c d P a b c d P
a b c P d
a b c
P d a b
+ ++⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟× =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Note además que cuando t →∞ o cuando la compresibilidad del sistema se hace cero, elmodelo se convierte en estado estable. Bajo esta consideración ( cero compresibilidad ) elsistema esta sujeto a manejar el mismo volumen de inyección de agua y de aceiteproducido. El problema se resolvió usando unidades de campo con permeabilidad enDarcies y tiempo en días. Los factores de conversión C 1 = 0.88746475 (va con el términode caudal) y C 2 = 0.1580642 (va en el término de t D). Los siguientes fueron los datos deentrada:
µ o = 1.5 cpµ w = 1 cp
K = 0.1 Dh = 38.799999 ftφ = 35 %S o movible = 0.45ct = 0∆ x =∆ y = 40 ft
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215
Programa de producción e InyecciónPozo Q I J1 890 9 92 -80 4 4
3 -320 14 44 -115 4 145 -375 14 14
Este problema se realizó inicialmente para rastrear el recorrido de la inyección y para ellose consideraron ambas viscosidades.Resultados:
CONFIGURACION DE PRESION DEL YACIMIENTO (PSIA)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .02 .0 912.8 912.9 914.3 921.2 929.1 935.8 940.8 943.4 944.03 .0 912.5 911.9 911.4 920.4 929.3 936.5 941.6 944.2 944.74 .0 912.8 910.2 898.3 919.0 930.8 938.7 944.2 946.9 947.15 .0 917.7 917.2 917.1 926.2 935.3 943.0 948.8 951.6 951.36 .0 922.8 923.5 926.1 932.6 940.7 948.7 955.6 959.1 957.67 .0 926.0 927.1 930.6 936.9 945.4 955.1 965.0 971.1 966.58 .0 926.6 927.9 931.8 938.6 948.2 961.1 977.6 993.6 978.59 .0 923.9 925.3 929.3 936.5 947.1 962.9 989.4 1046.8 989.8
10 .0 918.2 919.5 923.5 930.6 940.5 953.6 969.9 985.6 969.811 .0 909.2 910.3 913.9 920.9 930.1 940.3 950.0 955.4 949.4
12 .0 897.5 898.0 900.5 908.5 918.1 927.0 933.9 936.3 932.813 .0 884.2 883.0 881.2 893.9 906.1 915.4 921.3 922.8 919.814 .0 872.8 868.0 846.6 879.4 896.3 906.6 912.3 913.5 910.615 .0 870.5 869.0 866.9 880.2 892.7 901.8 907.1 908.1 905.216 .0 870.4 870.1 871.4 881.0 891.8 900.3 905.4 906.4 903.417 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0
11 12 13 14 15 16 171 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .02 942.2 938.8 934.4 930.4 929.5 929.5 .03 942.8 939.1 933.9 928.5 928.8 929.2 .04 944.6 940.2 933.1 920.4 927.5 929.0 .05 948.1 943.2 937.3 931.3 931.1 931.2 .06 952.8 946.8 940.8 936.0 933.8 933.2 .07 958.1 949.7 942.6 937.3 934.3 933.4 .08 963.0 951.0 942.1 935.9 932.3 931.2 .09 963.7 948.3 937.9 931.1 927.1 925.8 .0
10 953.4 940.2 930.1 923.0 918.9 917.6 .011 939.1 928.2 918.4 911.0 907.2 906.0 .0
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216
12 924.9 914.7 904.0 895.0 892.2 891.7 .013 912.3 901.3 887.1 872.2 874.4 875.9 .014 902.9 890.3 870.2 831.6 856.7 862.4 .015 897.8 886.4 871.3 855.5 857.9 859.6 .0
16 896.2 885.5 872.4 860.8 859.2 859.5 .017 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0
14.16. Líneas isobáricas (estado estable)
14.6. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO - LINEALES:METODO DE NEWTON - RAPHSON (ITERACION NEWTONIANA)
14.6.1. Caso 1: Funciones de una sola Variable
Ejemplo: Resolver f ( x) = x2 - cos x = 0. Encontrar X tal que f ( x) = 0
Suponer que se conocen tanto f ( x(u)) y( )u X dx
df
f (u)
( )u
dx
df
Es posible obtener una estimación de f (u+1), expandiendo ésta alrededor del punto X (
u) enseries de Taylor, y reteniendo los términos de orden más bajo. Esto es:
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217
( ) ( )( )
( )1 1 0u
u u udf f f x
dxδ
+ += + = , luego: ( )( )
( )
1u
u
u
f x
df
dx
δ + = − donde,
( ) ( ) ( )1 1u u u
x xδ + +
= −
Se parte de la estimación x(0) y se calcula δ x
(1), se continúa iterando hasta que ( )1u xδ ε
+ ≤
y/o ( )1u f ε
+ ≤ . La interpretación geométrica, como se presenta en la Fig. 14.17, se basa en
lo siguiente. Sea:
( )( )
( )
01
0
f x
f
x
δ ∂
∂
= −
( ) ( )
( )( )
( )
( )
(0 ) 0 0 01
(1) (0) 1 0; entonces,
df f f f x
dx x x x df
dx
δ δ
= − = = −−
en x(3) indica que se está cerca al valor verdadero. La estimación x
(0) debe estar dentro deconvergencia para que la solución converja. Del ejercicio anterior:
f ( x) = x2 - Cos x
f ’( x) = 2 x + Sen x
Solución:
Cuando x = 0.82413231, entonces, f ( x) = 0. Se puede usar un valor de derivada constante,con lo cual se gana tiempo de cómputo.
u x(u) f
(u) f ’(u)
( ) ( )1 ( ) / 'u u u x f f δ + = −
0 0.500 -0.62758256 1.47942554 0.424206931 0.92420693 0.25169068 2.64655707 -0.0950117
2 0.82910576 0.01188097 2.39553909 -0.004959623 0.82414613 3.292x10-5 2.38226038 -1.382x10-5 4 0.82413231 2.53x10-10 2.38222336 -1.032x10-10 5 0.82413231 0 2.38222336 06
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218
(0) f
x
∂
∂
(2) f
x
∂
∂
(1) f
x
∂
∂
f(x)
f(1)
f(2)
f(0)
f(x)=0
x0) x(2) x(1)
x
14.17. Esquema ilustrativo de la convergencia del método de Newton-Raphson
14.6.2 Caso II: Dos ecuaciones no-lineales con dos Incógnitas
Ejemplo: y = Cos x F 1( x, y) = y - Cos x = 0 x = Sen y F 2( x, y) = x - Sen y = 0
Encontrar X e Y tal que: - F 1( x, y) = 0- F 2( x, y) = 0
Si se conocen:
F i ( x(u), y(u)),( ) ( )
,uu
i i F F
x y
∂ ∂
∂ ∂ , i = 1, 2....
Podemos estimar F i ( x(u+1), y(u+1)) mediante una expansión de series de Taylor alrededor de x(u), y(u).
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
( )1 1 1 1, , 0uu
u u u u u ui ii i
F F F x y F x y x y
x y
+ + + +∂ ∂= + ∂ + ∂ =
∂ ∂
( )( )
( )( ) ( )1 1
uu
u u ui ii
F F x y F
x y
+ +∂ ∂∂ + ∂ = −
∂ ∂ i = 1, 2
Aplicando al sistema de ecuaciones:
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219
( )( )
( )( ) ( )1 11 1
1
uu
u u u F F x y F
x y
+ +∂ ∂∂ + ∂ = −
∂ ∂
( )
( )
( )
( ) ( )1 12 22
uu
u u u F F x y F x y
+ +∂ ∂∂ + ∂ = −∂ ∂
o bien,
( ) ( ) ( )1
11 1
2 2
2
uuu F x F F
x y
F F
x y F y
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+−⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
El proceso iterativo inicia con X (o), Y
(o) y termina cuando:
|δ x(u+1)| y |δ y
(u+1)| ≤ ε
y / o
| F 1(u+1)| y | F 2
(u+1)| ≤ ε
14.6.3. Newton - Raphson para la Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Se tiene el siguiente sistema: F i ( x1, x2, x3, ......., xn) = 0 i = 1, 2, 3,......, n.
No. de Ecuaciones = No. de Incógnitas
Suponga que se conocen:
( )
( )u
u ii
j
F F y
x
∂∂
1,2,3,...,
1,2,3,...,
i n
j n
=
=
entonces, se puede expandir F i(γ+1)
alrededor del nivel iterativo (γ), empleando serie deTaylor, truncados a los términos de orden más bajos, esto es:
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )1 1 1 11 2
1 2
... 0; 1,2,3,....,i i ii i n
n
F F F F F x x x i n
x x x
γ γ γ
γ γ γ γ γ + + + +∂ ∂ ∂= + ∂ + ∂ + + ∂ = =
∂ ∂ ∂
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220
Puesto que F iγ más la sumatoria del producto de las derivadas por el valor del incremento
de la función debe ser igual a F iγ+1, significa que dicha sumatoria debe ser igual a menos
F iγ, matemáticamente:
( ) ( )1
1
; 1, 2, 3, ...,n
i j i
j j
F x F i n x
γ γ γ +
=
∂ ∂ = − =∂∑
Donde,
( ) ( ) ( )1 1 j j j x x x
γ γ γ ∂
+ += −
Es decir,
( )( )
( )( )
( )( ) ( )1 1 1
1 1 11 2 11 2
... n
n
F F F x x x F X x x
γ γ γ γ γ γ γ + + +∂ ∂ ∂
∂ + ∂ + + ∂ = −∂ ∂ ∂
( )( )
( )( )
( )( ) ( )1 1 12 2 2
1 2 21 2
... n
n
F F F x x F
x x x
γ γ γ γ γ γ γ + + +∂ ∂ ∂
∂ + ∂ + + ∂ = −∂ ∂ ∂
.
.
.( )
( )( )
( )( )
( ) ( )1 1 11 2
1 2
...n n nn n
n
F F F x x x F
x x x
γ γ γ
γ γ γ γ + + +∂ ∂ ∂∂ + ∂ + + ∂ = −
∂ ∂ ∂
En forma matricial:
( ) ( )1
1 11 1 1 1
1 2 3
22 2 2 2
1 2 3
33 3 3 3
1 2 3
1 2 3
.....
.....
.....
. . . . . ...
.....
n
n
n
n n n n
n n
x F F F F F
x x x x
x F F F F
x x x x
x F F F F
x x x x
F F F F
x x x x x
γ γ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+−⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )
2
3
...
n
F
F
F
γ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
La anterior ecuación matricial constituye la matriz de coeficiente plena, porque en todas lasecuaciones están presentes todas las variables. Se dice que la matriz está dispersa, cuando
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221
muchos elementos de la matriz son cero (0). La expresión matricial arriba presentada puedeexpresarse como:
J x F ∂ → →
= −
donde J representa el Jacobiano o matriz jacobiana. El proceso iterativo se inicia con laestimación y/o suposición de los valores iniciales de las funciones:
( x1(0), x2
(0), x3(0), ............., xn
(0))
Y termina cuando existe cierto grado de convergencia o cuando el valor de la función esmenor o igual a tolerancia predeterminada:
|δ xi (γ+1)| ≤ ε y / o | F i
(γ+1)| ≤ ε
i = 1, 2, 3, .... , n.
14.6.3.1 Flujo Unidimensional de un Fluido: 1F - 1D. Ecuación en Diferencias Finitas
La expresión en diferencias finitas que define el flujo de un único fluido a través de unmedio poroso está dada por:
( ) ( )1 1 in n
i t ii
V T P D q
Bt
γ φ γ + +∆ ∆ − ∆ + = ∆⎡ ⎤⎣ ⎦ ∆
(14.28)
i = 1, 2, 3, ....., I , y n = 0, 1, 2, 3, .... la cual está sujeta a las siguientes condicionesiniciales y de frontera.
Condiciones iniciales: Definir la distribución de presión al tiempo t = 0. Está definidaconforme al equilibrio gravitacional a partir de un punto o posición de referencia.
P i0, i = 1, 2, 3, ..., I (14.29)
Condiciones de Frontera: cero flujo, cerradas.
( )
( )
1
1/ 2
11/ 2
0 (12.30)
Malla de bloques centrados0 (12.31)
n
n
I
P D
P D
γ
γ
+
++
⎧ ⎫∆ − ∆ =⎪ ⎪
⎨ ⎬∆ − ∆ =⎪ ⎪⎩ ⎭
n = 0, 1, 2, 3,.....
Desarrollando (14.28):
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222
( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 1
1/ 2 1 1/ 2 11/ 2 1/ 2i
n n n nn n n
i i i i i i ii ii
V T P P D T P P D q B B
t
γ γ γ φ φ
+ + ++ + ++ + − −+ −
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ∆ − − − ∆ + = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆(14.32)
( )1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2,i i i i i i
i
kb
T T P P θ λ θ µ + + + + ++
⎛ ⎞
= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2
,i i i i i i
i
kbT T P P θ λ θ
µ − − − − −
−
⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Y la gravedad específica evaluada en la posición i+½ está dada por:
( )1/ 2 1 1/ 2,i i i i
c
g P P
g γ γ ρ + + += =
( )1/ 2 1 1/ 2
,i i i i
c
g P P
g γ γ ρ
− − −
= =
Los cambios del volumen poroso pueden representarse por la siguiente expresión resultantede la expansión y posterior truncamiento de la series de Taylor. Puesto que φ = φ( p) entonces;
φ n+1 = φ
n [1 + cr ( P n+1 - P
n)]
Se tiene un sistema de ecuaciones no lineales. Las linealidades son el resultado de (1) Lostérminos de flujo y (2) Los términos de acumulación. Esto amerita la linealización delsistema. “No se puede permitir una mala linealización del término de acumulación”.Aplicando el método de Newton - Raphson a la solución del sistema de ecuaciones (14.32)se tienen I ecuaciones con I incógnitas. Si se define F i ( P i-1, P i, P i+1), entonces:
( ) ( )
1 1 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1
( , , ) [ ( ) ] [ ( ) ]
0; 1, 2, 3, .....,i
i i i i i i i i i i i i i
n nr
i
F P P P T P P D T P P D q
V b b i I
t
γ γ
φ φ
− + + + + − − −
+
= − − ∆ − − − ∆ + −
⎡ ⎤− = =⎣ ⎦∆
(14.33)La implicicidad o explicicidad de la Ec. 14.33 se obvia para facilitar las manipulaciones.
Si se conoce( )
( ) ( ) ( )
1 1, , ,
i i i
F F F F P P P
γ γ γ γ
− +
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ entonces se puede expandir la función en series de
Taylor F (γ+1) alrededor de (γ).
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )1 1 1 11 1
1 1
0i i ii i i i i
i i i
F F F F F P P P
P P P
γ γ γ γ γ γ γ γ + + + +
− +− +
∂ ∂ ∂= + ∂ + ∂ + ∂ =
∂ ∂ ∂
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223
( )( )
( )( )
( )( ) ( )1 1 1
1 11 1
; 1, 2, 3, ....., ;( ) = 0, 1, 2, 3,......i i ii i i i
i i i
F F F P P P F i I
P P P
γ γ γ
γ γ γ γ γ
+ + +− +
− +
∂ ∂ ∂∂ + ∂ + ∂ = − =
∂ ∂ ∂(14.34)
( )( ) ( )
11
1
; 1, 2, 3, ......., ; ( ) = 0,1, 2, 3, ...... j i
i j i
j i j
F P F i I
P
γ
γ γ γ
= ++
= −
∂∂ = − =
∂∑ (14.35)
Las condiciones de frontera y la forma particular de las funciones F 1 y F I pueden acoplarseutilizando el siguiente procedimiento. En el Nodo 1 existe cero flujo a través de la frontera,luego (∆ P - γ∆ D)½ = 0. Reemplazando en la Ec. (14.33)
( ) ( )1
1 1 2 1.5 2 1 1.5 11
( , ) [ - - ( ) ] - - 0nr V
F P P T P P D q b bt
γ φ φ ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦∆
( )
( )
( )
( ) ( )1 11 11 2 1
1 2
F F P P F P P
γ γ
γ γ γ + +∂ ∂∂ + ∂ = −∂ ∂
Para el nodo I también se estableció una frontera cerrada lo que indica que no hay flujo através de ella, luego (∆ P - γ∆ D) I +½ = 0. Reemplazando en la Ec. (14.33):
( ) ( )-1 -½ -1 -½( , ) - [ - - ( ) ] - - 0 I nr
I I I I I I I I I
V F P P T P P D q b b
t γ φ φ ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦∆
( )( )
( )( ) ( )1 1
11
I I I I I
I I
F F P P F
P P
γ γ γ γ γ + +−
−
∂ ∂∂ + ∂ = −
∂ ∂
El sistema de ecuaciones resultante para la malla de I nodos está dado por:
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
1 11 11 2 1
1 2
1 1 12 2 21 2 3 2
1 2 3
1 1 13 3 32 3 4 3
2 3 4
1 1 11 1 12 1 1
2 1
...... .. ....
I I I I I I I
I I I
F F P P F
P P
F F F P P P F
P P P
F F F P P P F
P P P
F F F P P P F
P P P
F
γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ γ
γ γ γ γ γ γ γ
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ +
+ + +
+ + +
+ + +− − −− − −
− −
+ = −
+ + = −
+ + = −
+ + = −
∂ ( )( )
( )( ) ( )1 1
11
I I I I I
I I
F P P F
P P
γ γ γ γ γ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ +−
−
+ = −
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224
Que en forma matricial se representa como:
( ) ( )1
111 1
1 2
222 2 2
1 2 3
333 3 3
2 3 4
1 1 1 1
2 1
1
0
....
.. ...
0 I I I I
I I I
I I
I I I
F P F F
P P
F P F F F
P P P
F P F F F
P P P
F F F P
P P P
F F
P P P
γ γ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
+
− − − −
− −
−
−⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎢ ⎥
=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )
1 I
I
F
F
γ
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
−⎣ ⎦
Si se tiene un sistema compuesto únicamente por 8 bloques o nodos, la anterior ecuaciónmatricial se convertiría en:
1 1
1 2
2 2 2
1 2 3
3 3 3
2 3 4
4 4 4
3 4 5
5 5 5
4 5 6
6 6 6
5 6 7
7 7 7
6 7 8
8 8
7 8
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
F F
P P
F F F
P P P
F F F
P P P
F F F
P P P
F F F
P P P
F F F
P P P
F F F P P P
F F
P P
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
⎡ ⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
( )( ) ( )1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
P F
P F
P F
P F
P F
P F
P F
P F
γ γ γ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
+−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥⎦
Para dar solución al sistema de ecuaciones, el proceso iterativo inicia con:
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225
P i
(0) = P i(n) , i = 1, 2, 3, ....., I.
y termina una vez que:
|δ P i(γ+1)| ≤ ξ y/o | F i
(γ+1)| ≤ ξ
Para todo i, i = 1, 2, 3, 4,......, I.
δ P i (γ+1) = P i
(γ+1) - P i (γ)
de donde
P i (γ+1) = P i
(γ) + δ P i (γ+1)
( ) ( )
1 1 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1
( , , ) [ ( ) ] [ ( ) ]
0i
i i i i i i i i i i i i i
n nr
i
F P P P T P P D T P P D qV
b bt
γ γ
φ φ
− + + + + − − −
+
= − − ∆ − − − ∆ + −⎡ ⎤− =⎣ ⎦∆
Las transmisibilidades en la cara o en la mitad del bloque se obtienen del promedio entredos nodos contiguos:
T i+½ = T ( P i, P i+1) γi+½ = γ ( P i+1, P i) φ i = φ ( P i)
T i-½ = T ( P i, P i-1) γi-½ = γ ( P i, P i-1) bi = b ( P i)
Las derivadas de las funciones con respecto a la presión en cada nodo están dadas por:
1
i
i
F
P −
∂∂
, i
i
F
P
∂∂
,1
i
i
F
P +
∂∂
y dichas derivadas se evalúan de:
( )1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1 1 1
1i i ii i i i i
i i i
F T T D P P D
P P P
γ γ − −
− − − −− − −
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤= + ∆ − − − ∆⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(14.36)
Las propiedades del fluido en la posición i-½, se evaluan con base en la presión en dichonodo, P i-½:
bi-½ = b ( P i-½), µ i-½ = µ ( P i-½), ρ i-½ = ρ ( P i-½)
Donde:
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226
11/ 2 2
i ii
P P P −
−
+=
y;
( )1/ 2 1/ 21/ 2
i i
i
bT k θ
µ − −
−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las derivadas de las diferentes funciones de presión se evalúan mediante la siguienteexpresión:
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1 1/ 2 1
i i i
i i i
P
P P P
∂γ ∂γ ∂
∂ ∂ ∂
− − −
− − −
=
Puesto que:
11/ 2 2
i ii
P P P −
−
+=
Su derivada con respecto a Pi-1 es:
1/ 2 1
1
0 1 1
2 2 2i i i
i
P P P
P
− −
−
∂ ∂ + ∂ += = =
∂
Entonces:
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1 1/ 2 1 1/ 2
1
2i i i i
i i i i
P
P P P P
∂γ ∂γ ∂ ∂γ
∂ ∂ ∂ ∂
− − − −
− − − −
= =
De la misma manera:
1/ 2 1/ 2
1 1/ 2
1
2i i
i c i
g
P g P
∂γ ∂ρ
∂ ∂
− −
− −
=
( ) ( )1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 21/ 21 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2
1 12 2i i i i
iii i i i i
T T P T bk P P P P P
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ θ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − −
−− − − − −= = =
( )( )
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 22
1/ 21/ 2 1/ 2
i ii i
i i
ii i
bb
P P b P
µ µ
µ µ
− −− −
− −
−− −
∂ ∂−
∂ ∂∂=
∂
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227
( )1/ 2
21/ 21/ 2
i
ii
P P
bb
P P b P
µ µ
µ µ
−
−−
=
∂ ∂⎧ ⎫−⎪ ⎪∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬∂ ⎪ ⎪
⎩ ⎭
( ) ( )1/ 2
1/ 2 1/ 21/ 2
1 1
ii ii P P
bb b P b P P
µ µ µ µ
−− −− =
⎧ ⎫∂ ∂ ∂= −⎨ ⎬
∂ ∂ ∂⎩ ⎭
( ) ( )1/ 2
1/ 21/ 2
1/ 21/ 2
1 1 1
2i
i
iii P P
T bbk P b P P
µ θ
µ µ −
−−
−− =
∂ ⎧ ⎫∂ ∂= −⎨ ⎬
∂ ∂ ∂⎩ ⎭
1/ 2
1/ 2
1/ 21
1 1 1
2i
i
ii P P
T b
T P b P P
∂ ∂ ∂µ
∂ ∂ µ ∂ −
−
−− =
⎧ ⎫
= −⎨ ⎬⎩ ⎭
Otra forma de calcular los valores:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 11/ 2 1/ 21/ 2 1
1,
2i i ii ii i i
b b bT k k T P P θ θ µ µ µ + ++ +
+ +
⎡ ⎤= = + =⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2 11/ 2 1/ 21/ 2 1
1,
2i i ii ii i i
b b bT k k T P P θ θ µ µ µ − −− −
− −
⎡ ⎤= = + =⎢ ⎥⎣ ⎦
( )1
1/ 2 1,2i i
i i i P P
γ γ
γ γ +
+ +
+= =
( )11/ 2 1,
2i i
i i i P P γ γ
γ γ −− −
+= =
( )1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1 1 1
1i i ii i i i i
i i i
F T T D P P D
P P P
∂ ∂γ ∂ γ
∂ ∂ ∂
− −− − − −
− − −
⎛ ⎞⎡ ⎤= + ∆ − − − ∆⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠(14.36)
Puesto que la gravedad específica está relacionada con densidad, es factible obtener lasiguiente expresión:
1/ 2 1 1
11 1 1
1 1 1
2 2 2i i i
ii i c i
g
P P P g P
∂γ ∂γ ∂ρ ∂γ
∂ ∂ ∂ ∂
− − −
−− − −
= = =
5/14/2018 Libro de Simulacion de Yacimientos - slidepdf.com
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228
( ) ( ) ( ) ( )1
1/ 21/ 2 1/ 2
1 11 1
1 1 1 1
2 2i
i
i ii ii i P P
T bb bk k P P b P P
∂ ∂ ∂ ∂µ θ θ
µ µ ∂ ∂ ∂ µ ∂ −
−− −
− −− − =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
( )
( ) ( )
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1
1 i
i i ii i i i i
i i i
r i ii i i i i i
i i i
F T T D P P D P P P
V T d T D P P D b
P P t dP
∂ ∂γ ∂ γ ∂ ∂ ∂
∂γ ∂ γ φ
∂ ∂
+ ++ + + +
− −− − − −
⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + ∆ + − − ∆⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎛ ⎞⎡ ⎤− − ∆ − − − ∆ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ∆⎝ ⎠
(14.37)
1/ 2 1 1
2 2i i i
i i c i
g
P P g P
∂γ ∂γ ∂ρ
∂ ∂ ∂
+ = =
1/ 2 1 1
2 2
i i
ii i c
g
P P g P
∂γ ∂γ ∂ρ
∂ ∂ ∂
− = =
( ) ( )1/ 21/ 2
1 1 1
2i
iii i
T bbk P b P P
∂ ∂ ∂µ θ
µ ∂ ∂ µ ∂
++
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )1/ 21/ 2
1 1 1
2i
iii i
T bbk P b P P
∂ ∂ ∂µ θ
µ ∂ ∂ µ ∂
−−
⎡ ⎤= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )1 1
i
i i i
d db d db d b b b
dP dP dP b dP dP
φ φ φ φ φ
φ
⎡ ⎤⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1 1/ 2
1 1 1
1i i ii i i i i
i i i
F T T D P P D
P P P
∂ ∂γ ∂ γ
∂ ∂ ∂
+ ++ + + +
+ + +
⎛ ⎞⎡ ⎤= − ∆ + − − ∆⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠(14.38)
1/ 2
1/ 2 1 1/ 21
1 1
2 2i
ii c
g
P P g P
∂γ ∂γ ∂ρ
∂ ∂ ∂
+
+ ++
= =
( ) ( ) ( ) ( )1/ 21/ 2 1/ 2
111 1
1 1 1 1
2 2
i
i i
iii i
T bb bk k
P P b P P
∂ ∂ ∂ ∂µ θ θ
µ µ ∂ ∂ ∂ µ ∂
++ +
+++ +
⎡ ⎤= = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
Si:
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229
( ) ( )
1 1 1/ 2 1 1/ 2 1/ 2 1 1/ 2( , , ) [ ( ) ] [ ( ) ]
0i
i i i i i i i i i i i i i
nr
i
F P P P T P P D T P P D q
V b b
t
γ γ
φ φ
− + + + + − − −= − − ∆ − − − ∆ + −
⎡ ⎤− =⎣ ⎦∆
Las no lineales son de los siguientes tipos:{T [∆ P - (γ∆ D)], φ b}
Por lo tanto, la matriz Jacobiana se puede descomponer en la suma de matrices formadascomo sigue:
[ J ] = [T ] + [G’] + [T ’] + [(φ b)’]
donde:[ J ]: Matriz Jacobiana[T ]: Matriz de transmisibilidades[G’]: Matriz de derivadas de términos gravitacionales.[T ’]: Matriz de derivadas de transmisibilidades.[(φ b)’]: Matriz de derivadas de acumulación.
[ ] [ ]
1 1
1 2
2 2 2
1 2 3
1 1 1
2 1
1
. .
. . .. . .
. . .
. . .. . .. . I I I
I I I
I I
I I
F F
P P
F F F
P P P
J J c a b
F F F
P P P
F F
P P
∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
− − −
− −
−
∂⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
donde: i
i
F a
P
∂
∂ = ,
1
i
i
F b
P
∂
∂ +
= ,1
i
i
F c
P
∂
∂ −
=
[ ]1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2
. .
. . .
. . .
. .
i i
i i ii i i
i i
c T
T a T T c a b
b T
−
+ −
+
⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥= = − −⎢ ⎥
=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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230
[ ]
( )
[ ] [ ]
( )
1/ 21 1 1/ 2
1
1/ 2 1/ 21 1/ 2 1 1/ 2
1/ 21 1 1/ 2
1
. .
. . .
'
. . .. .
ii i i
i
i iii i i
i i
ii i i
i
T c P P D
P
T T T a P D P Dc a b
P P
T b P P D
P
∂ γ
∂
∂ ∂ γ γ
∂ ∂
∂ γ
∂
−− −
−
+ −+ −
++ +
+
⎡ ⎤= − − − ∆⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = ∆ − ∆ − ∆ − ∆
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤= − − ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ ]
( )
( ) ( )
( )
1/ 21 1/ 2
1
1/ 2 1/ 21 1/ 2 1 1/ 2
1/ 21 1/ 2
. .
. . .
'
. . .
. .
ii
i
i iii i i
i i
ii
i
c T D P
G a T D T Dc a b P P
b T D P
∂γ
∂
∂γ ∂γ
∂ ∂
∂γ
∂
−−
−
+ −+ −
++
= ∆⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = − ∆ + ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ = − ∆⎣ ⎦
( )( )
.
.
'
.
.
ir iii
i
V d bb aa
t dP
φ φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Cuando la permeabilidad, k , varía en cada celda:
( )1/ 2 1/ 2 1
114i i i i
i i
b bT k k θ µ µ
+ + +
+
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
( )1/ 2 1/ 2 1
1
1
4i i i i
i i
b bT k k θ
µ µ − − −
−
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
Ahora, el término acumulativo se trata de la siguiente manera:
( ) ( ){ }1i
n nr
i
V b b
t φ φ
+−
∆
Puesto que:
( ){ }1 11n n n n
r c P P φ φ + += + −
entonces, se tiene:
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231
( ){ } ( ){ } ( ){ }{ }1 11 1i inr P n n n n n n
r r i i
V V c P P b c P P b b
t t φ φ + ++ − − = + − −
∆ ∆
14.6.3.2 Métodos de Linealización
a. Linealización Directa
Esta es una particularidad del método de Newton – Raphson y también se le llama métodode extrapolación. Extrapolaciones de alto orden son posibles pero requieren mayorcapacidad de memoria. Las aproximaciones a los métodos de segundo orden preserva suorden cuando las matrices son evaluadas a niveles de tiempo extrapolados. Estaaproximación trabaja bien siempre y cuando las linealidades no sean muy fuertes y puedenusarse satisfactoriamente en problemas monofásicos y flujo miscible. En flujo multifásicola naturaleza explícita de la extrapolación causa limitaciones de estabilidad similar a las del
método simple o explítico.
( ) ( )1 1 i
n r n
i t ii
V T P D q b
t γ φ
+ +∆ ∆ − ∆ + = ∆⎡ ⎤⎣ ⎦ ∆
Linealizando parcialmente la anterior ecuación, es decir, T n+1 ≅ T
n, y además γ n+1 ≅ γ
n, locual es muy similar al método IMPES, se tiene:
( ) ( ) ( )1 1 1ir n n n n
ii
i
V n nT P D q b b
t γ φ φ
⎡ ⎤+ + ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
+⎡ ⎤∆ ∆ − ∆ + = −⎣ ⎦ ∆
Sigue siendo no lineal, ya que aparece (φ b)n+1. La linealización por el método de Newton -Raphson:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 11 1 1/ 2 1 1/ 2 11/ 2 1/ 2
11
, , ,
0i
n n n n n n n n
i i i i i i i i i ii i
n nr n
ii
F P P P T P P D T P P D
V q b b
t
γ γ
φ φ
+ + + +− + + + − −+ −
++
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − ∆ − − − ∆ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤− − =⎣ ⎦∆
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 11 1
1 1
u u uu u u ui i i
i i i i
i i
F F F P P P F
P P P
∂ ∂ ∂ δ δ δ
∂ ∂ ∂
+ + +− +
− +
+ + = −
1/ 21
nii
i
F T
P
∂
∂ −
−
=
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232
( )1/ 2 1/ 2ir n ni
i i
ii
V F d T T b
P t dP
∂ φ
∂ + −= − − −
∆
1/ 21
nii
i
F
T P
∂
∂ ++ =
[ J ] = [T ]n + [(φ b)’]
Si no se tiene en cuenta la suposición γn+1 ~ γn:
( ) 1/ 21/ 2 1/ 2
1 1
n ni ii i
i i
F T T D
P P
∂ ∂γ
∂ ∂
−− −
− −
= + ∆
( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2i
r n n n ni i ii i i i
ii i i
V F d T T b T D T D P t dP P P
∂ ∂γ ∂γ φ ∂ ∂ ∂
+ −+ − + −= − − − − ∆ + ∆∆
( ) 1/ 21/ 2 1/ 2
1
n ni ii i
i i
F T T D
P P
∂ ∂γ
∂ ∂
++ +
+
= − ∆
[ J ] = [T ]n + [(φ b)’] + [G’]
Hay que tener presente que cuando se escribe un programa de computador (simulador) estedebería calcular las matrices por separado. Una mala linealización de los términos deacumulación, tiene un reflejo de error en balance de materia, EBM. Un EBM es unacondición necesaria pero no suficiente para que el problema esté bien. La forma generalpara linealizar es el método de Newton - Raphson, las otras son particularidades.
b. Iteración Simple o Explícita
El método de linealización más simple y frecuentemente usado de linealización se obtienepermitiendo que las no linealidades se retracen un nivel de tiempo atrás. Linealizando:
T n+1 ~ T
n, γn+1 ~ γn, (φ b)’n+1 ~ (φ b)’n
[ J ] = [T ]n + [(φ b)’]n
Es importante tener en conocimiento que esta linealización decrece el orden de laaproximación a 0(∆t ) para métodos de mayor orden y por lo tanto no se justificará su uso.
c. Semi - implícito (linealizado)
El método semi - implícito linealizado fue originalmente desarrollado para preservar la
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233
estabilidad del flujo multifásico. Se ajusta bien para cualquier problema no lineal. Este seobtiene iterando solo una vez el método de Newton-Raphson, o sea, en la primera iteración.
γ = 0 → n = γ c
[ J ]n = [T ]n + [T ’]n + [(φ b)’]n + [G’]n
Para el método Semi-implícito linealizado, la primera iteración del método de Newton-Raphson es dada si γ
n+1 ~ γ n:
[ J ]n = [T ]n + [T ’]n + [(φ b)’]n
El método semi - implícito puede verse como aquella solución que se obtendría en laprimera iteración del método de Newton - Raphson, esto es:
[ ]( ) ( ) ( )1
J P F γ γ γ
δ +→ →= −
Si γ = 0 y P i(0) = P i
(n); i = 1, 2, 3,..., I ., y solo se itera una vez:
[ ]( )
( ) ( )1n nn
J P F δ +→ →
= −
donde,
[ J ]n = [T ]n + [T ’]n + [(φ b)’]n
14.7. ALGORITMO DE THOMAS
Todos los sistemas de flujo unidimensionales discutidos anteriormente (excepto para elcaso de condiciones de fronteras periódicas) resultará en un sistema de N ecuacionessimultáneas algebraicas con tres diagonales.
Si [ A] = [W ] [Q]
donde,
[W ] = Matriz triangular inferior[Q] = Matriz triangular superior
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234
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
1
1
1
1
. . . . . . . .
. .
1
. . . . . . .
. . . . . 1
1
i i i i i i
I
I I I I
a b w q
c a b c w q
c a b c w q
c a b c w q
q
C a c w
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∗⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[ A] [W ] [Q]
[ ][ ]
1 1 1
2 2 1 2 2 2
3 3 2 3 3 3
4 4 3 4 4 4
. . .
. .
w w q
c c q w w q
c c q w w qW Q
c c q w w q
⎡ ⎤
⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+
= ⎢ ⎥+⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Se encuentra que:
a1 = w1 b1 = w1q1 c2 = c2
a2 = c2q2+w1 b2 = w2q2 c3 = c3 : : :
ai = ciqi-1+wi bi-1 = wi-1qi-1 ci = ci
i = 2, 3, 4, ......., I
11
1
ii
i
bq
w
−−
−
= i = 2, 3, 4,......, I
wi = ai - ciqi-1 i = 2, 3, 4,...., I
Ahora:
[ ][ ]W Q P d δ → →
=
Definiendo:
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235
[ ]Q P g δ →
=
y;
[ ]W g d =
Puesto que [W ] es una matriz ∆ inferior implica que g
puede resolverse en un barrido haciaadelante.
1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
. . . : :
: :
. . : :
. . : :
i i i i
I I I I
w g d
c w g d
c w g d
c w g d
c w g d
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∗ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11
1
d g
w=
1
1
i i ii
d c g g
w
−−= , i = 2, 3, 4,...., I
Resuelto g →
, se puede hallar P δ →
en un barrido hacia atrás.
1 11
2 22
3 33
1 11
1
1
1
: :. .
: :. .
1
: :. .
1
1
i ii
I I I
I I
P g q
P g q
P g q
P g q
P g q
P g
δ
δ
δ
δ
δ
δ
− −−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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236
I I P g δ =
1i i i i P g q P δ δ += − , i = I -1, I -2, ......., 1
Para fines computacionales no se requiere almacenar wi. Se procede como sigue:
1. 11
1
bq
a= , 1
11
d g
a=
2. Para i = 2, 3, 4, ....., I
αi = ai - ciqi
1
1i bq
α =
1
1
i i ii
d c g g
α
−−=
3. δ P I = g I
Para i = I -1, I -2, I -3,......, 1
δ P i = g i - qiδ P i+1
Hay situaciones especiales que presentan estructuras diferentes. Si hay flujo en la direccióntangencial, coordenadas cilíndricas, existe continuidad entre las celdas I y 1. Esta resulta deproblemas cíclicos periódicos conocidos como condiciones de frontera del cuarto tipo, verFig. 14.18. El sistema de ecuaciones tendrá una forma ligeramente diferente de modo que:
ciδ P i-1 + aiδ P i + biδ P i+1 = d i
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
. . . : :
. . . : :
I I I I I
a b c P d
c a b P d
b c a P d
δ
δ
δ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∗ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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I2
3.
.
14.18. Influencia del término del último bloque sobre el primero en la aplicación delalgoritmo de Thomas
14.8. ECUACION DE BALANCE DE MATERIA: EBM
Una de las propiedades de la mayoría de las ecuaciones expresadas en diferencias finitas esque son conservativas, es decir, que cumplen con la ley de conservación de la masa y porende de la energía. Esta condición es una expresión de ingeniería para la indicar laconservación de la masa en todo el sistema. Para el problema que se presenta en lafigura 14.19, se puede plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
( )1/ 2 1/ 2 0ir
i i i fi t i
V
F q q q bt φ + −= − ± − ∆ =∆
i = 1 2 3 4 ........ I - 2 I - 1 N
qo qI
Fig. 14.19. Balance de material a lo largo de un sistema lineal
( )1
1 1.5 0 1 10r
f t
V F q q q b
t φ = − ± − ∆ =
∆
( )2
2 2.5 1.5 2 20r
f t
V F q q q b
t φ = − ± − ∆ =
∆
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( )3
3 3.5 2.5 3 30r
f t
V F q q q b
t φ = − ± − ∆ =
∆
: = : - : ± : - : = 0
: = : - : ± : - : = 0
Entonces,
( )3 3
1 2 3 3.51 1
0i
i
r
o f t ii i
V F F F q q q b
t φ
= =
+ + = − + + − ∆ =∆∑ ∑
.
.
( )1 1
01
i
i
I I I r
i o I f t ii i
V F q q q b
t iφ
= =
= − + + − ∆ =∆=∑ ∑ ∑
( )1 1
i
i
I I r
o I f t ii i
V q q q b
t φ
= =
− + + = ∆∆∑ ∑
( )1
1
1
i
i
I r
t ii
I
o I f
i
V b
t
q q q
φ =
=
∆∆ =
− + +
∑
∑
Si la anterior condición se cumple, es una indicación que la formulación en diferenciasfinitas cumple con la condición de conservación de la masa o balance de materia.
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UNIDAD 15
CAUDALES Y PRESIONES DE POZOS
15.1. ECUACIONES PARA POZO
En simulación de yacimientos, las ecuaciones usan presiones en el centro de los nodos obloques. Estas presiones representan presiones promedias de balance de material en cadabloque. Sin embargo, si un pozo está localizado en el centro del bloque, la presión del bloque, P i,j, no es la presión de fondo fluyente del pozo, P wf . Estas ecuaciones calculan el flujo debloque a bloque pero no modelan los altos gradientes de presión en las cercanías al pozo. Demodo que si un pozo está localizado en una celda, se necesitan ecuaciones adicionales pararelacionar el comportamiento del pozo con las variables de la celda. Se puede asumir queexiste estado estable dentro de la celda de modo que las siguientes expresiones se pueden usar:
( )o model
o
n
r
i,j
n + 1
wf q = J
k
B p - p
µ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠⎟ (15.1)
( )w model
w
n
r
i, j
n + 1q = J
k
B p - p
µ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠⎟ wf (15.2)
( )1 1
mod , -
n
nr n
sel i j wf o g
k
q p p q J R Bµ
+ +⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠ (15.3)
Las propiedades de las rocas y los fluidos son las mismas de la celda. Ahora se tienen tresecuaciones con cuatro incógnitas: qo, qw, q g y P wf . Esto significa que el usuario debeespecificar una de estas incógnitas. Esta es la condición bajo la cual producirá el pozo. Porejemplo, si el usuario especifica qo, entonces qw, q g y P wf se calculan de las Ecs. 15.1 a 15.3.Similarmente, si se especifica P wf , se puede calcular qo, qw y q g de las ecuaciones arribapresentadas.
15.2. ECUACIONES DE PEACEMAN
La variable J model es el “índice de productividad” o el “índice del pozo” el cual tiene unaconnotación especial discutida más adelante. Esto no es lo mismo que el índice deproductividad real del pozo, J . J model se calcula así:
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( )mod
2 (0.00633)
ln / el
o w
kh J
sr r
π =
+(15.4)
donde “r o” se calcula por medio de las siguientes expresiones:
1) Cuando ∆ x = ∆ y, k x = ky
0.2or x= ∆ (15.5)
(2) De lo contrario:
( ) ( )1/ 22 2
1/ 4 1/ 4
0.28 / /
( / )( / )
y x x y
o
y x x y
x yk k k k r
k k k k
⎡ ⎤∆ + ∆⎣ ⎦=
+
(15.6)
(3) Para sistemas radiales
1 o w r r r r = (15.7)
Algunas veces, el usuario desea especificar la rata total del yacimiento, qt . Las ecs. 15.1-15.3pueden sustituirse en la ecuación de qt :
( )
11 1 1
-
nn n n
o w s g t o w g oq q q q q B B R B
++ + +
= + + (15.8)
para dar:
( )1,mod -r r r n
i j wf el t
o w g
k k k q J P P
µ µ µ
+⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
(15.9)
Es posible establecer un número de otras variaciones para simular las condiciones reales de uncampo. Note que un factor B
n+1 / Bn se omitió de cada término en la Ec. 15.9. Estas pueden
adicionarse, cuando el estimativo del valor nuevo de Bn+1
está disponible.
15.2.1. Caída de Presión (Drawdown) Implícito
Note que la caída de presión en las Ecs. 15.1-15.3, ( P i,jn+1 - P wf ), usa el valor n+1 de la
presión en la celda. Esto es importante cuando se especifica P wf como una condición deproducción. De lo contrario, los caudales oscilarán y podrían dispararse para intervalos de
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tiempo subsecuentes.
15.2.2. Caudal Especificado
Si se especifican qo, qw, q g , o qt , entonces qo, qw, y q g se calculan antes del intervalo de tiempoy se colocan en la parte derecha de ecuación de presión para el método IMPES. Al final delintervalo de tiempo se puede calcular P wf . Esto es sencillo y estable a menos que k r
n no causeproblemas de estabilidad.
15.2.3. Pwf Especificada
Si el ingeniero especifica P wf , entonces ningún caudal se conoce y se estimarán después delintervalo de tiempo. Luego, es necesario solucionar el caudal trifásico en la ecuación depresión IMPES. La ecuación de presión IMPES está en unidades de rata de flujo deyacimiento. El término del caudal es qt . Luego, la relación en la Ec. 15.9 puede usarse y
rescribirse como:( )t model t i, j
n + 1
wf q = J p - pr λ (15.10)
Donde λ rt es la movilidad relativa total.
λ µ µ µ
rt
r
o
r
w
r
g
k k k =
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠⎟ (15.11)
El término J model λ rt se adiciona al término de la diagonal principal. El otro término J model λ rt pwf permanence al lado derecho de la ecuación. Al final del intervalo de tiempo, se calculan qo, qw
y q g .
15.3. COMPARACIÓN DE PRESIONES SIMULADAS CON DATOS DERESTAURACION DE PRESION
Es posible ajustar presiones de fondo fluyente, P wf . Sin embargo, usualmente los datos no sondisponibles, además, no son muy confiables debido a inexactitudes en el caudal. Es máscomún y más confiable ajustar datos de restauración de presión cuando se dispone de ellos. Elproblema es como ajustar los datos de la prueba de presión. La escala de tiempo de la pruebade restauración de presión usualmente es muy corta para modelarse exactamente con la escalade campo de la malla porque el tamaño de los bloques es muy grande. Peaceman presentó un
método para comparar presiones de bloque procedente de simulación con presionesprocedente de una prueba de restauración de presión. La Fig. 15.1 muestra un perfil depresión en la celda que contiene el pozo. Se asume que este perfil de presiones está dado bajocondiciones de estado estable. Se observa que la presión del bloque (la presión promedio debalance de materia dentro del bloque) tiene cierto valor comprendido entre P wf y la presiónpromedia del yacimiento. La Fig. 15.2 muestra el la curva de restauración de presión de datosde campo. La presión de bloque correspondiente a la restauración de presión adecuada para el
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campo yace sobre la recta semilogarítmica a un tiempo ∆t o el cual se calcula mediante lasiguiente expresión:
(hrs)
2t
o
67.5 c x=t k
φµ ∆
∆ (15.12)
La presión de ajuste, P o, corresponde a la presión de estado estable en 0.2∆ x. Si P o es lamisma presión de bloque, P i,j, entonces el simulador está ajustando adecuadamente elcomportamiento del campo.
Ejemplo. Halle el ajuste histórico para los siguientes datos obtenidos de una prueba derestauración de presión.
q = 23,000 scf/Dk = 0.15 mdφ = 0.18ct = 5 x 10-6 psi-1 µ = 0.216 cp
Tabla 15.1. Datos de presión para ejemplo
∆ t, hrs Pws , psia
0.10 2854.50.23 2861.50.39 2865.5
0.84 2871.51.56 2875.63.50 2881.07.38 2886.215.11 2891.030.53 2895.561.31 2900.0122.72 2904.1245.24 2907.1489.71 2909.3840.00 2910.4
Datos del modelo:∆ x= 100 ft
Solución. La solución sigue los siguientes pasos simples:(1) Grafique los datos de la prueba en gráfico semilog.(2) Trace la recta semilog
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243
(3) Calcule ∆t o,(4) Halle P o a ∆t o sobre la recta semilog, extrapole si es necesario.
∆x
P-Pwf
Po -Pwf
Pwf
Po
Wellbore
Wellbore
gridblock
p
P
Fig. 15.1. Perfil de presión en el bloque que contiene el bloque
El valor de P o “presión de ajuste” que será comparada con la presión del simulador en elbloque donde está el pozo al mismo tiempo de la prueba de presión. La Fig. 15.2 muestra losdatos de campo de la prueba de presión graficados en papel semilogarítmico. La presión deajuste se halla estimando ∆t o como sigue:
-6 2(67.5)(0.18)(0.216)(5x )( )10 100 = 0.8746 hrs(0.15)
o =t ∆
Luego, se halla la presión correspondiente sobre la línea recta semilogarítmica: P o = 2872psig. Luego, esta presión, se compara con la dato de la presión del bloque obtenido medianteel simulador.
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p= 2782 psi
2940
2900
2860
∆to = 0.8746 hr
Ps (psi)
∆t, hr
0.1 1 10 100 1000
Fig. 15.2. Curva semilogarítmica de los datos de restauración de presión para el ejemplo dado
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NOMENCLATURA
A = área del yacimiento o área de un bloque B = factor volumétrico, bbl/STB B g = factor volumétrico formación del gas, ft3 /scf C = concentración D = alturac f = compresibilidad de la formación, psi-1 c g = compresibilidad del gas, psi-1 cw = compresibilidad del agua, psi-1 cr = compresibilidad de los granos, psi-1
d = diferencial, derivada E = energía E g = energía atribuida a la gravedad E p = energía potencial F = fuerza F g = fuerza atribuida a la gravedad g = aceleración de la gravedadh = espesor de la formación, fti = subíndice indicando la dirección x j = subíndice indicando la dirección y JMAX = numero de celdas en la dirección y
z = subíndice indicando la dirección z IMAX = numero de celdas en la dirección xk = permeabilidad, mdk
= tensor de permeabilidad, mdk g = permeabilidad efectiva al gas, mdk o = permeabilidad efectiva al petróleo, mdk r = permeabilidad relativak rg = permeabilidad relativa al gask ro = permeabilidad relativa al petróleok rw = permeabilidad relativa al aguak w = permeabilidad efectiva al agua, md L = longitudn = nivel de tiempo
m = masam( P ) = pseudopresión P = presión promedia P c = presión capilar P cog = presión capilar en sistemas gas-petróleo
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P cow = presión capilar en sistemas petróleo-agua P s = presión de restauración, psia P = presión, psia P initial = presión inicial, psia
P wf = presión de fondo fluyendo, psiaq = caudal de producciónq
**= ritmo de salida/entrada de masa de un elemento por unidad de volumen de roca
r = radioS = saturación de gas, fracciónt = tiempo, DíasT = temperatura, °Ru =velocidadV p = volumen poroso de la celda, ft3
V = volumenV
= vector velocidad
W = trabajo Z = alturaα = constante de difusividad∆ x = espaciamiento de la celda en la dirección x, ft∆ y = espaciamiento de la celda en la dirección y, ft∆t = tiempo de cierre, horas∆t o = tiempo de cierre correspondiente a la presión de celda, horas∆z = espaciamiento de la celda en la dirección z, ft∈ = errorλ = mobilidad, md/cpη = dirección perpendicularρ = densidadγ = gravedad específicaφ = porosidad, fracciónµ = viscosidad, cpθ = factor de formaΦ = potencial
SUBÍNDICES Y SUPERÍNDICES
c = capilar D = adimensionale = externo front =frente g = gas, gravedadi = índice de la celda en la dirección x, inicial j = índice de la celda en la dirección y
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n = nivel de tiempoo = petróleor = relativa s = estática
t = totalw = pozowf = fondo fluyente
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