Lezione del 15 novembre 2006Retta passante per un punto P di direzione
uEquazione vettoriale : X=ku+P,
kEsempio: u=(1,1), P=(3,0)
kk
x
x ,
0
3
1
1
2
1
u
P
P+u
k=1
Retta passante per un punto P di direzione u
Esempio:
u=(1,1), P=(3,0)
,0
3
1
1
2
1
k
x
x
u
P
P+uk
P+3u3u
k=1 k=3
Retta passante per un punto P di direzione u
Esempio:
u=(1,1), P=(3,0)
,0
3
1
1
2
1
k
x
xk P+3u
P+u
P
u
3u
5u P+5u
P-u-uk=1 k=3
k=5 k=-1
Retta passante per un punto P di direzione u
Esempio:
u=(1,1), P=(3,0)
,0
3
1
1
2
1
k
x
xk P+3u
P+u
P
u
3u
5u P+5u
P-u-u
-4u
P-4u
k=1 k=3
k=5 k=-1
k=-4
Combinazione lineare di due vettori linearmente indipendenti
u
-u
v
-v
w=1u+2v 10, 20
1 0, 2 0
10, 2 0
1 0, 2 0
Funzioni di più variabili – Lezione introduttiva
Testi di riferimento per questa parte di programma
Cambini A., Carosi L., Martein L. Esercizi di Matematica Generale. Funzioni di più variabile. - Giappichelli 2003.
Cambini A., Martein L. Introduzione all'algebra lineare. Funzioni di più variabili reali - Ed. Libreria Sc. Pellegrini, Pisa, 1994
Elementi di topologia in n
Sia . L'intorno circolare di centro e raggio R è l'insieme dei punti aventi da una distanza minore di R
Se n=2. L'intorno circolare di centro e raggio R coincide con il cerchio di centro e raggio R, con esclusione dei punti della circonferenza che lo delimitano.
R
Elementi di topologia in n
Sia è detto punto interno ad A se esiste un intorno di contenuto in A.
Sia è detto punto di frontiera di A se ogni intorno di contiene sia punti appartenenti ad A che punti che non appartengono ad A.
Punto interno Punto di frontiera
Elementi di topologia in n
I punti interni di S sono i punti appartenenti alla regione colorata di giallo. Analiticamente:
Elementi di topologia in n
I punti di frontiera di S sono i punti colorati di blu. Analiticamente:
N.B. I punti di frontiera non necessariamente appartengono all’insieme
Elementi di topologia in n
Sia A è un insieme aperto se ogni punto di A è interno.
Sia A è un insieme chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera.
Nell’esempio precedente, S non è né aperto né chiuso
Elementi di topologia in n
Sia A è un insieme limitato se esiste un intorno di raggio R e centro l’origine che lo contiene. Sia A è un insieme illimitato se non è limitato.
Insieme limitato Insieme illimitato
Elementi di topologia in n
Sia A è un insieme compatto se è chiuso e limitato.
Esempio: A
Attenzione!!!!!!!
Non confondere aperto con illimitato e chiuso con limitato. I seguenti esempi mostrano che esistono insiemi chiusi ed illimitati ed insieme aperti e limitati.
H è chiuso e illimitato.
H
G è aperto e limitato.
G
Elementi di topologia in n
Sia A è un insieme convesso se per ogni
Funzioni di più variabili a valori reali
Consideriamo una funzione
Dato un sottoinsieme una funzione f definita in A e a valori in R è una legge che associa ad ogni elemento associa uno ed un solo numero reale f(x).
Se n=2, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y).Se n=3, con un leggero abuso di notazione, per indicare gli elementi di useremo indistintamente i simboli oppure (x,y,z).
Esempi di Funzioni di più variabili a valori reali
dalla geometria: area del rettangolo
dall'economia: se un'impresa produce due beni, il costo totale dell'impresa dipende dalle quantità prodotte dei due beni.
Funzioni Cobb-Douglas : la produzione di un bene dipende dai due fattori produttivi K (capitale) ed L (lavoro).
dalla matematica finanziaria: la rata che pago per estinguere un debito dipende dall’ammontare del debito, dal numero delle rate, dal tasso di interesse pagato: R=f(D,i,n)
Campo di esistenza
Campo di esistenza: è l’insieme più grande di dove è possibile calcolare f(x).
Esempi
Campo di esistenza
Limiti e Continuità
Sia f una funzione a valori reali definita su un sottoinsieme Diremo che
se per ogni intorno circolare U di l esiste un intorno circolare V di x0 tale che
N.B. x,x0 sono due vettori e non due numeri reali.
Limiti e Continuità
Definizione di continuità: Sia x0A. Diremo che f è continua in x0 se f è continua in A se è continua in ogni punto di A. Proprietà delle funzioni continue.
La somma, la differenza ed il prodotto di funzioni continue sono funzioni continue;
Il rapporto di funzioni continue è una funzione continua con esclusione dei punti che annullano il denominatore.
l prodotto di composizione di funzioni continue è una funzione continua.
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