8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
1/225
Sergio
Lancelottí
Esercizl-
di
Analisi Matematica
rI
CelE
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
2/225
i
Celid,
settenùre
2010
.
via Cialdini
26,
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Torino
tÉl. 0r1-44.14'774
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e di
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e copìe
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sono
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Segrate
(M[)
A
mio
papà,
per
tutti
t,
suoi, socrifi,ci
I
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
3/225
Indice
Prefazione
Massimi e
minimi
liberi
15
1
Alcuni richiami
teorici
.
.
.
15
1-1 Nozionierisultatiprincipali
-......15
1.2 Rjcerca
dei
punti
di
massimo e
di
minimo
locale
. . . .
16
2 Esercizi sui massimi
e minirni
liberi . .
18
2.1
Funzioni
di
due
variabili
.
.
.
.
18
2.2
F\rnzioni
di
tre
variabili
. . . .
19
3
Svolgimentodegìiesercizisuimassimieminimiliberi.
.
.
.
.
. . 20
3-1
Funzioni di due
variabiii
.
.
.
-
20
3.2
F\rnzioni di tre
variabili
. .
.
.
30
;
Massimi e
minimi
vincolati
4l
1
Alcuni richiami
teorici
. .i
41
1.1 Nozionierisuìtatiprincipaìi.
.
-..
\f
I.2
;
Rícerca dei
punti
di
massimo
e
di
minimo
vincolato
-
.
. 43
2 Esercizisuimassimieminìmivincolati
..... 47
2.I
I
I'unzioni
di
due
va,riabili
47
2.2 F\rnzioni
di tre
variabili
, . .
.
49
3 Svolgimento
degli
esercizi
sui
rnassimi e minimi
vincolati
. . .
. . 51
11
-
s
í1
3.1
F\rnzioni di due
variabili
3.2 F\rnzioni
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
4/225
Indice
Indice
Serie
numeriche
1
Alcuni richiami teorici
3
Svolgimento
degli
esercizi
sulle
successicini
di
funzioni
8 Serie
di
funzioni
1
Alcuni richiami
teorici
1.1
Serie
di
poterize
1.2
Serie di
layìor
.
1.3
Serie
di
Fourier
Esercizi sulle
serie
di funzioni
2.7 Esercizi sulle serie
di
potenze
2.2
Esercizi
sulle serie di fa,vlor
2.3
Esercizi sulle
serie
di
Fourier
Svolgimento degli
esercizi sulle
serie di
funzioni
3.1
Svolgimento
degli
esercizi
sulle
serie di
poterize
3.2
Svolgimento degli
esercìzi
sulle
serie
di
Taylor
3.3
Svolgimento degli esercizi
sulle serie di Fourier
Elenco
dei
Simboli
Forruule
utili
1.1 Derivate delle
funzioni
elementa.ri
tli una variabile
1.2 Regole
di derivaaione
per
funzioni di
una variabile
1.3 Regola
di
derivaaione
per
funzioni
composte
di
piìr
variabili
L.4
Integraaione
indefinita
per
funzioni
di
una
variabile
.
L-2
Inte$ali
tripli
Esercizi
sugli
integrali
multipli
2.1
Integrali
doppi
2.2
Integrali
tripli
. .
Svoigimento degli
esercizi
sugli
integraii
multipli
3.1
Integrali
doppi
.
3.2
Integrali
triPli
.
.
Integrali
curvilinei
e
di superficie
I
Alcuni
richiami
teorici
1.1
Brevi richiami
sulle curve
parametriche
1.2
Integrale
curvilineo
di
I specie
1.3 Integra.le
curvilineo di
ll specie
(o
integrale
di
ìinea)
1.4
Integrale
di
superficie
di
una
funzione
reale
1.5
Flusso
di
un campo
vettoriale
attra.velso
una superficie
1.6
Teoremi
di
Green, Stokes,
Gauss
Esercizi
sugli
integraii
curvilinei
e
di
superficie
2.L
Esercizi
sr-rgli
integrali
curviiinei
di
I
specie
2.2
Esercizi sugìi
integrali curvilinei
di II
specie
(o integrali
di
linea)
2.3 Esercizi sugli
integrali
di
superficie
di
una funzione
reale
'
2.4 Esercizi
sul
flusso
di
un
campo
vettoriale
attraverso
una superficie
2.5 Esercizi
sui
teoremi
di Green,
Stokes,
Gauss
Svolgimento
degli
esercizi
sugli
integrali curvilinei
e di
superficie
3.1
Svolgilnento
degii
esercizi
sugli
integrali
curvilinei
di
I
specie
'
3.2
Svolgimento
degli
esercizi
sugli
integrali
curvilinei
di
II
specie
(r
integrali
di
linea)
3.3 Svoigimento
degli esercizi
sugtì
integrali
di
superficie
di
una fun-
zione reale
3.4
Svolgimento
degli eser:cizi
sul
flusso
di
un campo
vettoriale
at-
traverso
una superficie
3.5
Svolgimento
degli
esercizi
sui
teoremi
dì
Green, $Lokes,
Gauss
'
105
108
1.2
Ricerca
dei
potenziali
di un campo
vettoriale
conservativo . . .
. 293
2 Esercizi
su campi
conservativi
e
potenziali
, .
.297
3
Svolgimento degli
esercizi
su
campi
conservativi
e
prrlenziali
. . .
-
.
. . 295
08
110
113
113
tóJ
327
321
1.1 Criteridiconvergenza .....323
Esercizisulleserienumeriche
.....327
Svolgimento
degli
esercizi
sulle
serie numeriche . . .
. .
333
7 Successioni
di
funzioni
1
Alcuni richiami
teorici
.
.
.
369
2 Esercizisullesuccessionidifunziorii
.......370
2
J
77
177
777
222
369
178
178
179
180
181
184
184
186
188
190
191
194
1.94
205
a'71
383
383
385
388
389
392
393
3S4
396
398
403
tlt
425
44L
447
447
448
448
449
244
266
A
i
j
1
I
Campi
vettoriali
conservativi
29f
1 Alcuni
richiami
teorici
' '
'
291
1.1
Nozionierisultatiprincipali """'291
B
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
5/225
Indice
10
1.5
LO
I.7
/ É1
.
452
Sviluppi
notevoli
di Mclaurin
Limiti notevoli
di successione
Altre formule
I
Prefazione
Le riforme degli ordinamenti didBttici
che
si sono
succedute a
partire
da"ll'anno accademi-
co
200G2001 hanno comportato
una modifica sostanziale
dei
programmi
di
quasi
tutti
gli
insegnamenti universitari
è
in rnodo
significativo
per quelli
dei corsi di Matematica.
In
particola::e,
neile facoltà ingegnerìstiche
si
è assistito ad una
contrazione deìl'im-
postazione
teorica
deí concetti matematici,
a vantaggio
delie loro applicazioni
prabiche.
In
questa
realtà è
piÌr
che mai
utile
poter
disporre
di
libri
ed eserciziari nei
quali
si
prediliga
I'aspetto tecnico
(calcolo)
a
quello
teorico.
Questo
libro
di esercizi
comprende
quasi
tutti
gli
aspetti
fondamentali
che
erano
pre-
senti
nel classico insegnamento di Analisi N{alematica
II, che
consisteva
sostanzia.lmente
neilo
studio
del calcolo differenziale e
integrale
per
funzioni
di piir
variabili,
compresi
gli
integrali
su curve
e
superfici,
lo studio
dei
campi
vettoriali
e
lo studio delle selie di
funzioni, tra
cui
quelle
di
potenze.
di Taylor
e di
Fourier"
.
Nella
parte
di
calcoio
differenziale
in
più
variabili si è
preferito
non inserire
esercizi
sugli argomenti
di
base
che sono
un'estensione
dei
concetti
e delle tecniche
di
calcolo
differeuiale in una variabile
(domini,
limiti,
derivate
parziali)
e
localizzare
I'attenzione
sugli
esercizi
di
ricerca dei
massimi
e
minimi liberi
e
vincolati,
nei
quali
i
metodi di
risoluzione
sono
tipici
del
calcolo
difierenziale
per
funzioni in
più
variabili.
lnoltre,
prima
degli
esercizi
sulle
serie di
funzioni,
un capitolo è
dedicato
alle serie numeriche-
Più
in
dettaglio, gli
esercizi
riguardano:
Capitoli
1:
massimi
e
minimi
locali
e assoluti
liberi
per
funzioni
di due
e
tre
variabili;
Capitoli 2:
massimi
e minimi
locali
e
assoluti vincolati
per
funzioni
di due
e tre
varia-
bili;
Capitolo
3:
integrali doppi e
tripli;
Capitolo
4:
integrali curviiinei e di
superficie;
Capitolo 5: campi
vettoriali
conservativi;
11
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
6/225
Prefazione
Capitolo
6:
serìe
nurneriche;
Capitolo
7:
successioni
di funzioni;
Capitolo
8:
serie di funzioni
(in
particolare
serie
di
potelue, tra cui
quelle
di Taylor,
e
serie di
Fourier).
Il
libro
contiene
318
esercizi,
tutti
svoìti.
In
ogni capitolo
vi
è
un
elenco
di
esereizi,
per
i
quali viene
poi
fornito
uno
svoìgìmento.
In molti
capitoli,
in
particolare
in
quelli
sui
massimi
e minimi
vincolati,
sugli integrali
muitipli, curvilinei
e
di
superficie,
lo svolgimento
è
accompagnato
da
varie figure
che
mostrano
la
geometria del
problema e aiutano
a
comprendele
le tecniche
di
ovolgimento.
Complessivamente
sono
presenti
224 frglre-
Per
tutti
gli
esercizi
viene
riportata,
a
fianco dei
testo,
la soluzione'
Esempio
Esercizio.
Calcolare
i
seguenti
integrali
doppi
sugli
insiemi
specificati:
n:
{t",vl
elR2
:
o
.y.g',
a
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
7/225
Capitolo
1-
lVlassimi e
minimi
liberi
1. Alcuni
richiami
teorici
Di
seguito
vengono
elencati
alcuni
risultati
che
sono
rllllizzati
nello
svolgimento
deglì
esercizi
sui massimi e minimi
liberi.
Nel
seguito
considereremo
n
e
N,
n
>
2.
1.1 Nozioni e risultati
principali
(1.1)
Definizione
Siano
O
C
lR" non vuoto,
J
:
O
-
lR
una funzione
e
ae
€
O.
Diciamo
che
rs è
un
punto
d:i
mo"ssim.o
(risp.
minirno)
Iocale
per,f
se
esiste
un
intorno
f(zs)
di cs in lR.n
tale
che
vo
e
r(re)
ne :
f(*)
I
f(rù
(risp.
/(r)
)
"f(ao)).
Diciauro che
es è
un
punto
di massim.o
(risp.
mi,nímo)
ossoluto
per
f
se
Vr
e
o :
Í@)
<
f(xo)
(risp.
/(e)
ì
/("0)).
Evidentemente
un
punto
di
massimo
(risp.
minirno)
assoluto
è anche di massimo
(risp.
minimo)
locale.
(1-.2)
Teorema
(di
Weierstrass)
Siono O
g
IR"
un insierne cornpntto
(cioè
chiuso
e
limitato) twn
uuoto e
f
: Q
+
R
una
Janzione
continua.
Allom
Í
ammette
masgí,m,o
e
mini,mo
assoluto.
(1,3)
Definizione
SianoO
clRounapertononvuoto,.rs
e
Oe/: f,)
*lR.una
funzione.
f<
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
8/225
16
_
*
Capitt:Io7
Massimieninimiliberi
Diciamo
che
I
è
differertziubilc
in
r0 se
/
ammette
tutte
le derivate
parziali
in 16 e
si ha che
"rn
.f
(r)
-
l("0ì,
__V_J-(".I-(":'o) :
s,
xiro
ll"
-
,o
ll
lAf Af \
dorrc Vf(rn)
:(?@ù,...,# ("0)
)èit
gradientedì/inzse
llz-16ll
èlanorma
\dzt'
oxn
/
di
a
-
ro
in
lR.'.
In tal
caso
si chiama
d,ifferenzialc
d:i
f
in
ts
I'applicazione
lineare
d/(ro)
:
IRt
-
lR
definita
da
dJ@o)@):
V.f(co).c.
Talvolta
il differenziale
di
/
in
16
viene denotato
con
d"o/.
(1.4)
Definizione
SianoO
clR'unapertononvuoto,.t0 €
Qe/:
QtlR
una
funzione
differenZiabile
in 16.
Diciamo che
re
è un
punto
stazóonario
(a
critico)
Wr f
se d,f
(rs)
:0
(nel
serrso
di
applicazione
lineare nulla).
Evidentemente
questo implica, che
vJ(26)
:0
(nei
senso
di
vettore
nullo
di
R.").
(1.5)
Teorema
(di
Fermat)
Siano O
g R'
un aperto non
uuoto,
J
:
Q
-
ÌR una
funzione
e
zs
€
O- Suyporúamo
che uulgutn i seguenti
fatti:
a)
f
sia
d"iffercnziubile
in
rs;
b)
*s sia
un
punto
d'i
nnssinto
o di
trúnùrrc
locale
per
J.
Allora so
è
un
punto
stazionario
per
f.
L.2 Hicerca
dei
punti
di
massimo
e
di
minimo
locale
Siano
fl
C
lR'
un apetto
non
v1loto e
/
:
fl
-.
lR
una
funzione
di classe
C2. Per
il
Teorema
di
Fermat
(vedi Teorema.
(1.5))
i
punti di massimo
e
di
minimo
locale di
/
vanno cercati
fra
i
punti
stazionari
di
/.
sia
co
€
o
è un
punto
stazionario
per
/
e consideriamo
la matrice
Hessiana d,i
f
i.n
'1.
Alcuni richiami teorici
Poiché
/
è
di
claese
C2, risulta
che
'H1(rs)
è una malrice reale n
x
n
sirnmetrica.
Si
determinano
gli
autovalori
òi
715@s), cioè
i
valori
,\
€
llR soluzioni dell'equazione
det(11,(t:n\
-,\11
:0.
\
/."/
J
dove
I
è
la
matrice
identica
n
x
n
Valgono
i
seguenti fatti:
a)
se
tutti
gli
autor.alori diHl@t)
sono
positivi,
allora z6 è un
punto
di
minimo locale
pet
f;
ò) se
tutti
gli
autoralori
di Îly(r6) sono
negiltivi,
allora
rs
è un
punto
di massimo
iocale
per
/;
se'ì15(.no)
ha sia
autovalori
positivi
che
autorralori
negativi, allora
z6
non
è
né un
punto
di massimo
né un
punto
di
minimo locale
per
J.
In
questo
caso si dice che
xs
è
un
ltunto
di
sella
per
J.
Osservazione
Nelle
ipotesi
precedenti,
si
ha
che:
se
tutti
gli
autovalori
di'HS@s) sono
non negativi
e
ne
esiste almeno uno
nullo,
allora ca non è un
punto
di
massirno
Ìocaìe per
/
ma non
si
può
concludere
con
cerlezza che
sia
di minimo
locale
per
/.
Per studiare
la
nàtura
del
punto
zs
è
necessario ricorrere ad
altri
metodi
(ad
esempio la definizione);
se
tutti
gli
autovaìori di
111@s) sono
non
positivi
e
ne esiste
almeno uno
nullo,
allora
cs non
è un
punto
di
minimo
ìocale per
/
rna
non
si
può
concludere con
ceîtezza che
sia
di
massimo locale
per
/.
Per studiare la natura
del
punto
116
è
lecessario
ricorrere
ad
altri metodi
(ad
esempio
ìa
definizione).
(1.6)
i)
'[i]',,1)
It
p
'à
ii
ii)
(
{J,ao
-#hr^t
"#rk')l
Hí,o):l
""*tt""
U',^'
Ot*'
I
\ffir",1
fi{-o"it
ffi^oa
)
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9/225
18
_
_
Capitolol
Massimieminimjliberi
2
Flsercizi
sui
massimi
e minimi
liberi
2.1
F\rnzioni
di
due
variabili
Esercizio.
Determinare
i
punti
di massimo
e
minimo
locali
e
assoluti
delle
seguenti
funziorii
di
due
variabili:
a)
f
(r,ù
:
,a
+
aa
-
Atg
[(-1,
-1)
,
(1, 1)
punti
di
minimo
assoiutoJ
Capitolo
7
Esercizi sui massimi e minimi
liberi
2.2
Funzioni
di tre
rariabili
Esercizio. Deberminare i
punti
di massimo
e
minimo
iocali
e assoluti delle
seguenti
funzioni di
tre va.riabili:
c)
Í@,Y)
:
r2s
-
s2
lnon
esistono
né
punti
di
massimo
né
punti
di minimoJ
b)
(,,tì
:
r:+t-
alog
(s
+
1)
f@,ù:"3+v3-\rv
f
@,s)
:
3r2
+
vYa
f(",y)
:2x4
+
y2
-
3a2y
[(t,
t)
n"nto
di
minimo locale]
[(1,
r)
l""to
di minimo
locaìe]
[{o,O)
n""to
di
rninirno
assoluto]
íq
ir
rs
s
F
iÍ
I
6
I
,ii
il
$
o.t
e)
f)
a)
f(r,y,z):1*
t t +*a,
ruz
b)
f
(r,s,z)
--
"(a2
+
,')
-
u"
c)
f(x,y,z)
:
12
*
A2
+
z2
*
2x
-
7
d))
J(r,y.z):
(,2
+u')"
+,'
^,y
|
(-1, -1,
*1)
punto di
massimo locale,
I
L
(1,
1,
1)
punto
di
minimo
locale
|
(lr,0,0),
con
r <
-{
sono
punti
di massimo iocale,
L
(",0,0),
con
rú >
]
sono
punti
di minimo locale
[{r,O,O)
punto
di
minimo
assoluto]
ù
Í(r,ù:
s"î2-Y2-o
[(-]'o)
punto
di
[(*'+,0)
"
(-+,-*,0)
punti di
minimo
assoluto]
e)
f
(z,y,z)
:
12
+2g2
+
z2
+
xy
-
rz
[tO,
o,
ol
punto
di
minimo
assoluto]
f)
i(r,y,z):
ro"'2+v2*"2
[non
esistono né
punti
di massimo né
punti
di
minimo]
ù
Í@,u,2):
[@,u,ù
tali che
z
:
,'
+
y2
-
16
punti
di
minimo
assolub]
h)
f(n,s,z):
tos
(s
-
2r2
-
3y2
-
422)
[io,
o, o)
punto
di
massimo assoìuto]
:\ ./_
-
.t _
l.
z .2\2
|
@,u'iu)
con ,t > 0
pmti
di
minimo
ìocale
oer /'
I
)
I\î'a1z):r\v--
z-)
L@,g,+ùcon
u
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
10/225
Capitolo
7 Massimi
e minimi
liberi
3 Svolgimento
degli
esercizi
sui
rnassimi
e
minimi
liberi
3.1 F\rnzioni
di
due
variabiìi
Esercizio,
a) La
funzione
Í@,g)
:
14
+
y4
-
4ry
è
di
classe
C*
su
IR2'
Quindi
i
punti
di
estremo
di
/
vanno cercati
fra
i
punti
stazionari, ossia
fra
i
punti
(r, y)
e
lR2 tali
che
V/(c,s)
:0.
Si
ha che
Capitolo
7 Svolgirnento
degli esercizi
sui
massimi
e
rninimiliberi
_
21
e
passando
in coordinate
polari
nei
piano.
cioè
ponendo (",y):
(pcosr9'psint9)
con
p >
0 e
T9
e
IR,
si ol,tiene
^q
l.
a
'\
P-
[l
2cos'rÎsin'd)
-4p'cosrlsinrl
+2>
0
che
è una
disequaaione
di
secondo
grado
in
p2
in
cui
il
discrimina'rrte
è sempre
minore
o
uguale
a
zero-
Quindi
questa
disequazione
è
verificata
per
ogni
p
e t9'
Ne
segue che
/(c, u)
>
2
per
ogni
(c, g)
e
IR2.
-2
t.,2
b) La funzione
l@,ù
:
dom(/)
:{t*,u)e
lR2:
v>-1}
che è un
insieme
aperto.
Quindi
i
punti
di estremo
di
I
vanno
cercati
fra
i
punti
staaionari, ossia
fra i
punti
(2,
g)
€
dom
(J)
tali che
V/(c,
v)
:
0.
Si
ha
che
o,ù:4rz
-
4a,
ot
?JO,yl:4ys
-- 4r.
oa
Quindi
(Arr-
u:o
yf(r,s):s
r.=>
tnru_n
_o
I
prrnti
stazionari
di
/
sono
(0,0),
(1,
1),
(-1,
*1).
Per
stabilire
se sono di massimo.
di
rninimo
o
di sella, calcoliamo
la
matrice
Hessiana
di
/
in
questi punti.
Si
ha che
A2 r
A2f
A2i
,
i-4@,ù
-
12',,
ifrt".u):72u2,
ffi(,'o):
-o
Quindi
ìa matdce Flessiana
di
/
in
(r,9) è
't..,(r.u\
-
(t2*
-4
\
r\*, /
\_+
t2a2/
sihache
/
(r
-4\
rr(o,o):(
-4
o
).
Gli
autovalori
di
?ly(0,0)
sono À1.2
:
t4'
Quindi
(0,0)
è un
punto
di sella
per
/'
Inoltre,
si
ha
che
'ttrl,r)--HrGr,
,)
-
(]1
,:)
Gli autovalori
dí11r0,r)
e'117(r,-
l) sono
Àr,z
:8,
16.
Quindí
(t' r)
e
(-
1'
-t)
sono
punti di minimo
locale
per
/.
In realtà
questi
due
punti
sono
di
minimo
assoluto
per
/.
Infatti, si ha che
/(1'
1)
=
/(*1,
-1)
:
-2
e si
osserva che
f
(r,ù
2
-2
per
ogni
(r,
v)
e
ìR2.
Infatti,
Í@,y)2-2
+:+
f(r,ù-r2>0
0.
Quindi
(1,1)
è
un
punto
di
minimo locale
per
/,
Osserviamo
che
(1,
1)
non è di
rninimo
assoìuto. Infatti,
t'+
f
(",v)
-
liq,-
[v
-
4Ìog
(s
+
1)]
:
-m'
tì(-
r,
'
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
11/225
Capitolo
1
Massimi
e
minimi
liberi
La funaione
f
(*,y)
:
,'a
-
g2
è
di classe C- su
1R.2,
Quindi
i pr:nti
di
estremo
di
/
vanno
cercati
fra i
punti
stazionari,
ossia fra
i
punti
(",
g)
e
lR2
tali
che
V
f @,Y)
=
0.
Si ha che
Quindi
(
2ru:0
V/(z'Y)
:o
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
12/225
24
Caoitolo
1
Massimi e
minimi liberi
Osservia.mo
che
(1,
1)
non
è
di minimo assoluto.
Infatti,
lia
J(2,
y)
:
lim
13
-
-oo.
"::t
'+-F
e)
La frmzione
f(r,ù
:
3r2
+5y4
è
di classe
C-
su IR2.
Quindi
i
punti
di estremo
di
/
vanno cercati
fra i
punti
staaionari,
ossia
fra i
punti (",ù
e lR.2 tali che
Y
Í@,Y)
=
o'
si ha che
0f
af
5[@,ù:a,,
fra,ù:20a3-
Quindi
t6r:o
V/(r,s)=0
è
{::
[
2oY3
:
o'
L'unico
punto
stazionario
di
/
è
(0,0).
Per
stabilire
se
è
di massimo,
di minimo o
di sella, caìcoliamo
la matrice Hessiana
di
/
in
questo punto.
Si ha che
A2r A2f
^
Úf.
"
;
r-
".r
-
6,
";4G,ù--60a',
#(",9):
O
6;t\&,cr
-
qJ-
u:îu.g
Quindi
la matrice
Hessiana di
/
in
(z,y)
è
$i
ha che
/6 0 \
ltr@,u):
lo
uor,/
'H.g,o)=
(3
3)
f)
i
ii
il
Gli
autovalori
di 7ll(0,0) sono,\y,2
=
0,6.
Ne
segue
che
certamente
(0,0)
non è
un
punto
di massimo
locale.
Osserviamo
che
per
ogni
(u.
g)
€
IR2 risul|a
Í\r,ù
>-
0
:
/(0,0).
Quindi
(0,0)
è un
punto di
minimo
assoluto
per
/.
La funzione
f(",ù:2î4+a2
-3*y
è
di classe
C- su
1R.2.
Quindi
i
punti
di
estremo
di
/
vanno cercati
fi'a
i
punti
stazionari,
ossia
fra
i
pun|i (z,y)
€
IR2
tali
che V/(c,
g)
:
0. Si ha che
af
,
af
ft@,ù:8r3
-
6xy,
fia.o:2a
-3r2.
Quindi
fgo3-6r5g:o
vf(r,s)=o
0.
OE
(r,ù
è
l2b2
-
6y
-6r
\
tt.
\
-oe
2l
Risolvendo la disequazione
grafica
mente,
risulta
che
in
un qualunque
intorno di
(0,0)
esistono sia
punti
(r,9) in
cui
/(z,y)
(
0 sia
punti
(c,g)
in oti
f
(r,y) >
0. Ne segue
che
(0,0)
è
un
punto
di
sella
per
/.
/(z'vl
<
o
9)
r,v) >
o
La
firnzione
Í@,ù:
e-"-a"-n è
di
classe C-
su
IR2.
Quindi
i
punti
di estremo
di
J
vanno
cercati
fra
i
punti
stazionari,
ossia
fra i
punti
(",ù
e
lR?
tali che
v
î(r,a):
0.
Si
ha che
Aî a r Af.
ffi@,ul
=
-(2r
*
t)
e-r,-u2-c, '/rtr,ù :
-2,
"-x2- 2-r.
Quindi
{ Qt+
l\e
"-v'-'--o
Í@,s)
:
o ++
\
_'2s
"_,"'_u,_,
:
s.
L'unico
punto
staaionario
di
/
è
(-
à,0)
Per stabifire se è di massimo, di minimo
o
di sella, calcoliamo la
matrice
Hessiana
di
/
in
questo punto.
Si ha che
A2Í
,\
--s2
uz-x
ò2f
,^^.,
ijeA,o:(+"t
t
4x,1
",
gnzr-,vt:(+'sz
2)
e-'2-u2-',
f@,a)>0
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
13/225
Capitolo
I
Massirni
e
minimi liberi
"{ o,ol
:2Y(2x
*
r) P-tz-v2-x
'
0xdy''"'
La
marrice
Hessiana
di
/
in
(
à,0)
è
''
(-*,,
:
(-';*
-f"* )
Gli
aulovalori
ai ar
(-1,0)
sono 11.2
:
-zei
<
0.
Quindi
(-},0;
u
un
punl,o
di massimo
locale
per
/.
Osserviamo
che
per
ogni
(r,y)
€
lR2
risulta
Í(r,y)
S
1
:
/
l-;,0).
Quindi
/ r
^\
-
(
à.0)
è
un
punto
di
massimo
assolulo
per
/.
/r)
La
funzione
f
(r,a)
-
{4
,L2a'
è
continua
su
dom
(/)
:
{
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
14/225
ii,1
:
lji:,
'1':'
i
.'
i,,ri
ii:
L
'
i.'i'
l: r
:l],:'
Caoitolo
7 Massimi e minimi
libeli
Consideriamo
il
punto
(0, y6)
con
Uo
€
IR.
Vediamo se
esiste
un
intorno di
(0,
96)
tale che
per
ogni
(r,9) in
questo
intorno
risulti
/(r,9)
<
"f(0'C0)
(risp'
/(z.y)
>
f(0,y0)).
Se nessuna
di
queste
situazioni
si rcalízza, allora
(0,96)
è un
punto
di
sella
per
/.
Si ha che
Í@,Y)2Í0,a0)
"f("0,0)
sia
punti
(r,0) con
l(4,0)
5
"f(r0,0).
Ne segue
che i
punti
(os,0)
con
lrol
<
f non
sono
né di massimo
né
di
minirno
per
/.
Scambiando
il ruolo
di r
ey si
conclude che anche
i
punti
(0,96)
con
3ts
€
IR non
sono né di massimo
né di minimo
per
/.
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
15/225
30
Capitolo
1
Massimi
e
minimi liberi
.'
3.2
Funzioni
di tre
variabili
Esercizio.
a)
La
funzione
l@,a,ò::-I+L
+*arè
di
classe
C-
su
dour(/):{(r,u,ò€R3: r
10,
u*0,
z+0}
che
è
aperto.
Quindi
i
punti
di estremo
di
/
vanno
cercati fra
i
punti
stazionari,
ossia
fra
i
punti (r. g,
z)
e
dom
(/)
tali che V/(r,9,2)
:0.
Si
ha
che
af.
1
af.
I af,
,
I
fi(r,u'z)
-
,,
+
a".
*\t,u,z)
:
--2
+
î2,
Az\r,v,z)
:
---,
+:Îa'
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[-i*"=o
f@,y,2):6
++
),
*-f,*,,=o
la'
ll
l-7
i"Y=6'
lpuntistazionaridi/sono(1,1,1)e(-1,-1,-1).
Perstabiliresesonodimassimo,
di
minimo o di selìa,
calcolia.rno
la
matrice Hessiana
di
/
in
questi
punti-
Si
ha
che
azf.
2
02r.
2 A2Í, 2
6rz\r.a,z):
F. apt*,u,rl-
f
.
ar2@,4'z)=
A.
a2r à2r Azf
ffi("'r'")
:
',
ffiU'u'z)
:
u'
à;6,@'a''l
:
"'
Quindi
la
matrice
l{essiana di
f
in (o,
g,
z)
è
l*
z
Y\
x1@,y,4:1,
#
"
I
\y
*
hl
Si ha
che
(" t\
'tl|\r,t,t)=1,
,
rl
\r
L
2/
Gli autoralori
di77y(I,7,1)
sono
À1,2,3
:
1,4.
Quindi
(1, 1, 1)
è un
punto
di minimo
locale
per
/.
Inoltre,
si ha che
î,f(-r,-7,
":
(:i
jrj)
Capitolo
1 Svolgimento degli esercizi
sui
massimj e
minimilibeú
GIi auiovalori
di7ly(I,-1,-1)
sono 11,2,3
=
-t,-4.
Quindi
(-1,-1,-1)
è un
punto
di massimo
locale
per
/.
Osserviamo
che
non
esistono
estremí assoluti. Infatti,
tim
fh.u.z\:
tiut
(r+z+11
-*-.
= = -' " . z_-*m\ Z);_*o
b)
La furuione
Í(r,y,r)
:
,
(yt
+
,'\
-
yz
è
di
cla-sse
C* su IR3-
Quindi
i
punti
di
estremo di
J
vanno
cer"ati fra i
puoti
ut*iorrr.i,
ossia
fra
i
punti
(c,9,
z)
e
IRa
tali
dre VJ(c,
g,
z)
:
0. Si
ha che
0f.
. , ,
0f.
*(r,a,z):g'+
z',
*(x,u,z):2xa
-
z,
Quindi
ff{,,u,ò
-2sz
-
u
(u2+22:o
t"
'-
Vf(r,a'z):o +-+
lzta-z:0
\2t'z-ts:X'
I
punti
staaionari
di
/
sono
(r,0,0),
con
t
€
IR..
Per
stabilire
se sorìo
di
massimo,
di minimo
o
di
sella, calcoliamo
[a matrice Hessiarra
di
/
in
questi punti.
Si ha
che
à2f A2f Azf
:ufr@,u,,)
=0,
àp@,u,"):2",
ip@,a'")
:2x,
A2r
^2f
à2f
ffi(x,a,"):za.
ffi@,a,,)
=2,,
ffi(",r,"):
-t.
Quindi
la
matrice
Hessiana di
f
in
(r,y,
z) è
sihache
(o
o o\
Î11(r,0,0):10
2r ll.
\o
-1
z,)
Gli
autovalori di
111@,0,0)
sono
À1,2,3
:
0,2n
* 1'
Si
ha
che
"
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
16/225
Capitolo I
Massr'mi
e
minimi
liberi
Quindi
se
-l
-à
"y:
--2.
Perbanto
si ha
r
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
17/225
34
Capitolo
1
Massimi
e
minimi
liberi
I
punti
stazionari di
f
sono
(0,0,0),
(
"A,*,0)
"
(-*,-*,0)
Per stabilire
se sono
di
massimo,
di
minimo o
di sèlla,
calcoliamo
la
matrice Hessiana
di
/
in
questi
punti.
Si
ha
che
a2t a2î
a2r
Yfit",u,ò
-
1212
+
4y2.
"ujrt",o,z)
-
L2s2
+
4r2.
|[email protected],ò:2.
Azf à2f
n2f
ffiA.o,z)
-
Bq
-
L,
**(x,u,z)
=
o.
j; u"k,u,z)
-0
Quindi
la
matrice
Hessiana
di
/
in (c,
y,
z)
è
sihache
(o
-1
o\
fi/(0,0,0):[-r o ol
\0
0
2/
Gli
autovalori di
TlJ(0,0,0)
sono )1,2,3
:2,
*1.
Quindi
(0,0.0)
è un punto
di sella
(
r2r2
+
4y2 8ry
-
L
0\
uttr,a,ù-l
lry-L I2y2r4î2 0f
\
0 0
2/
12
0
0\
-:4.0ì
:lo
2
ol.
4
/
\oot/
Quindi
(f,f,o)
"
(-
per
/.
Inoltre
,r,(t.4,ol:
î1,(-ú.
'\4',4
/
',\ 4
Gli
autoraìori di
7új(0,0,0) sono.\1,2,3: t
sono
puntì
di
minimo locale
per
l.
Inrealtàquestipuntisonocliminimoassolutoper/-
Infatti,
sihache
f
(*,*,0)
*
f
(-*,-*,0)
:
-+
e
per
ogni
(u,y,z)
eiRi
risulta
f
(r,a,
r)
>
.-S.
n r"tti,
t(*,s,")
r-
-*
-L
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
18/225
j
Caoitolo
1
lt[resimi e
minimi líberi
Si ha
che
x2
+
2y2
+
z2
+
ny
-
rz
)
a2
+
y2
+
z2
*
*g
-
rz
:
passando in
coordinate
cilindriche
nello
spaaio,
cioè
ponendo
@,a,r):
(psin$,pcos19,z),
p
>
0, r9,z
€
ìR,
si ottiene
:
p2
+
z2
*
p2
ax
r9 sin ri
--
pz
cos
rJ
-
p2
+
z2
+
|02
sin
(2tg)
-
pz
cos )
>
essendo sin(2d)
)
--1
e
cosr9
(
1
1^
-
1.. t^ |
^
2
,e2
|
z'
plrl
2
)p'
r
,"'
-
ol4:
,b
-
lzl)'
>
o.
Ne
segue
che
(0,0,0)
è
un
punto
di
minimo
assolutr:
per
/.
/)
La
funzione
Í@,a,ù:sy"a2+u2*22
ò di
classe C- su
iR3.
Quindi
i
punti
di
estremo
di
/
r,anno
cerca,ti
fra i
punti
stazionari,
ossia
fra i
punti (z,p,z)
e
R3
tali
che Y
f(r,g,z):
0. Si
ha che
Af
-2\
or2+y2-"2
ÒÍ
,-
",
,, : .
(l
.,7o,2\ oz2+y2-22
fr@,u,r):alL+2*
)- '
0a\-,r,2)
-
&\rîzc
/ú
,
ffA,o,
rl
:
*2:Lazeo2+Y2-22
Quindi
Yf(x,s,z):0
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
19/225
Capitolo
1
Massimi
e
minimi
liberi
che
è
aperto.
Quindi
i
punti
di estremo di
/
in
dom
(/)
vanno
cercati
fra i
punti
stazionari, ossia
fra
i
punti
(2.
9.
z)
e dom
(/)
tali
che
V/(c,
g,
z)
:
0.
Si ha
che
oÍ,^
^. -,
4x
al
,..
, ,
6a
d;\r.s,z): fpiAF
+AF=s,
Ay\t,y,z):
2"t
*gB
pqiz
_s,
fft",a,a:rF
#+n-
Quindi
llrlil
-.-..*4'
-
n
2î2
+3u2
+422
_g
-
"
6a
-*,
-n
rc2
-t
BA2
l4z2
_g
-
"
8z
__n
2x2+3y2+422
_.9-"'
L'unico
punto
stazionario
di
/
è
dom(/)
si ha che
(0,0,0).
Osserviamo che
per
ogni (z,y,z)
e
2x2-t3g2+422
>
0
.+
f(r,y,r):
tog
(O
-2rz
--sy2
-
lz2)
<
logg:
l(0,0,0).
Ne segue che
(0,0.0)
è un
punto
di
massimo assoluo per
/.
i)
La funzione
f
(r,y,z):
*(r'-
r')' a
ai classe
C* su
lR3.
quindi
i
punri
di
estremo
di
/
vanno
cercati
fra i
punti
staaionari, ossia
fra i
punti
(r,
g,
z)
e
IR3 tali
cheYf(a.y,z)
=
0. Si hache
Af,
, /t rr2
AL
fr@,
a,
,)
:
(u"
-
,")"
,
#f",
u.
z)
--
ary
(y2
,')
,
Y
f
(x,y,z)
:0
0
==+
f(t;,y,2)>0,
u
0
.==+
(",y,+y)
punti
di minimo ìocale
per
f,
r <
0
...+
\r,a,*ù
punti
di massimo locale
per
/.
Invece
(0, y,
4gr) sono
punti
di
selìa
per
/.
Infatti,
f
(0,A,
*A)
:
0 e in ogni
intorno
di
ciascuno
di
questi
punti
esistono
sia
punti
(r,y,z)
con
o
)
0, quindi
in
cui
Í@,U,
")
) 0, sia
puni,i
(2,
g,
z) con o
<
0,
quindi
in cui
/(r,
g.
z)
<
0.
J)
Lafirnzione
f
(r,A,r)
=lr
-yl+lA
-
"l*
xgz
ècontinuasu
lR.3
manon è differen-
ziabile nei punti
(r,o,z)
e
@,U,p)
can
r1 /,2
€
IR. In
tutti
gli
altri
punti
/
è di
classe C-.
Quindi
i
punti
di
estremo
di
/
vanno
cercati
fra i
punti
(rl,r,z)
e
(u,g,g)
con
r,ytz € 1R
e i
punti
stazionari, ossia fra i
punt\
(r,y,z)
non del
tipo (x,r,z)
e
(r, y,
g)
ta.l\ che V
f
(r. y,
z)
-
Q.
Consideriamo il
purrto
(r:6,rs,zo). In
ogni intorno
di
(16.z6,zs)
esistono punti
(rs,ro,z)
sia
con z
{
zs che z
}
29,
Si ha che
z
<
zo :::+
f(rs,rs.
z)
-,
lro
-
"ol
-t
r$z
<
lno
-
zol
*
r$zo
:
f(xo,xs,
zs),
z
)
zs
.è
f(rs,xn,
z)
:
lro
-
zsl
+
rfiz
>
lro
-
rol
*
:12oz6
:
f(xs,.cs,
zs).
Quindi
il
punto
(16,16,26)
non
è
né
di
massimo né
di
minimo
per
/.
Analogo
ragionamento
con medesima conclusione
per
il punto
("0, go,
yo).
Inoltre,
per
ogni
(r,
y,
z)
con x
t'
y
oppure
y
I
z si ha
Òf,^",
_r. lr*y"
sen>y
Ar\r,4,",
:
\_,
*r,
se
î
<
s,
(t"
seî>y>zoppureî
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
20/225
40
Capitolo
1 N[assimi e minimi
bbeù
Quindi
la
matrice Hessiana
di
f
in
(\/1,-*,A)
a
1 0\
o'l
|
0/
/0
l
lr
I
\I
Gli
autovalori
aiU/(rt,-*,{ù
sono À1,2,3
:
*1,2.
Quindi
(/t,
-+,{ù
è un
punto
di sella
per
/.
117(0,0,0)
:
,:l
i
il
,.1
,:i:,
Capitolo
2
Massimi e minimi
vincolati
1 Alcuni
richiami teorici
Di seguito vengono
elencati alcuni
risultati che sono utilizzati
nello svolgimento
degli
e.sercizi
sui
massÌmi
e
minirni vincoiati.
Nel seguito
considereremo
n
€
N,
ri
)
2.
1.1 Nozioni e
risultati
principali
(f.1)
Definizione
Siano
Q
c
lR'non
vuoto,
M
c
A
non
vuoto,
/
: O
*
R
uria
funzioneerseM.
Diciamo che ro
è
un
punto
d,i nmsshno
(risp.
mititno)
locale
aincolato
per
f
su M
se
Í0
è un
punto
di
massimo
(risp.
minimo)
locale
per
/
ristretta
a M.
Quindl
ao è un
punto
di massimo
(risp.
minimo)
locale
vincolato
per
/
su
M
se
esiste un
intorno /(as)
di
zs
in
lR.'
tale
che
yrer(rs)nM
:
/(z)l/(oo)
(risp.
/(o)2/(ao)).
Diciamo
che
rs è un
punto
d,i massinto
(risp.
n'ú,nhno)
assoluto lincolato
per
f
su
M
*
co è un
punto
di massimo
(risp.
minimo)
assoluto
per
/
ristretta
a M.
Quindi
ro
è un
punto
di
massimo
(risp. minimo)
assoluto
vincolato per
/
su
M
se
Yr
e
M,
l@)
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
21/225
Iii
I
t:1:
n,
Capitolo
2
lv[assimi
e
minimi
assoluúj vinco]ati
(1.2)
Definizione
Sia
M
q
lR'
non
vuobo,
Diciamo
che M è
una
uarietà
d'i dimensione
'n
*
L in
ìR'
se
per
ogni
rs
€
M
esistono un
intorno aperto
U di c6
in
lR'e una
funzione
g:(J
+
JR.
di classe
Cl tali
che
Vs(26)
l0
e
MtU={neU: g(z):0}.
In altri
termini,
,4.1 è
una
varietà
di
dirrensione
n
-
I
in
IR' se
per
ogni ze
€
/vf si
ha
che
in un
intorno di
re i
punti
di
M
sono
gli
zeri
di una
funzione
.g
di classe
Cl
il
cui
gradiente non si annulla
in
29.
Esempi
di
r-arietà di climensìone
n
*
I in IR'
sono
i
grafici
di
funzioni di classe Ci
definite
su
aperti
di
IR'*l.
Le
circonferenze.
le ellissi,
le
íperboli,
le
parabole
sono
varietà di dimensione 1 in
IR?. Le superfici
di
rotazione
quaìi
paraboloidi,
ellissoidi,
sfere, iperboÌoidi,
sonr:
varietà
di dimensioue
2
in
lR.3-
Invece,
i coni
e i semicr:ni,
non
sono
varietà
di
dimensione
2 in
R3.
(1.3)
Definizione
Siano
Q
c
lR"
un
aperto non vuoto,
f
:
Q
'
lR una
lirnzione
differenziabile.
M
c
f)
unavarietà.didìmensionen-1inIR.'ero
Q
hI Confbrrnemenle
alla
definizione
t1i
varietàr,
siano
[/ un intorno
aperto
di zs
in
IR'
e
g :
U
-
IR
una
funzione di
cìasse Cl
tali che Yg(xs)
l0
e
Mntl:{r€U:
s("):0}.
Dicíamo
che
î0
È un
punto
stazi,onario
(o
cri'ti'co)
uincolato
per
f
su
jff
se esiste À6
e IR,
tale
che
V/(r6)
:
ÀsV9(r6).
(1.4)
Teorema
(dei moltiplicatori
di
Lagrange)
Siano
fl
g
R'
un
aperto
non
tuoto,
f
;
Q
*lR
unafunzione differenzi'nbi.Ie,
M
(l
unauarietà d,i
ditnensionen
7
ín ll{' e ro e
Ì[. Confornemente
alla
defini.zione
d'i oarietà, siano
U
un intorno
aperto
di n0 irLIR*
e
g
: U
*
lR una
funzione
d,i
classe C
talí
cheYg(:ro)
f
0
e
MnU:{reU:
g(z)
:0}.
Srt7ltoninmrt
che. ro
sía
un
punto
d,i
m.assim.o
o d'i,
m,i,nimo locale
uincolato
per
J
su
I\{.
Allora
rs
è un
punto
stozionari,o
uincolato
per
f
su M.
In parti'colare,
esfsfe ,\s
€
]R
tule che
ri
,lr,
: t,
'iii
ilr'
lli,
.l,.,',
l;iil,
V/(r6)
:.\sVe(rs)
,p(r):
f(r,g(r))
7. Alcuni richiami
teorici
I.2
Ricerca
dei
punti
cli
massinro
e di
minimo
vincolato
Ci
sono
vari
metodi
per
determinare
i
pu.nti
di
ma^ssimo
e di minimo
locale vincola-
to.
Molti
di
questi
metodi
si
basano
sul
Tborema dei
moltiplicatori
di
Lagrange
(vedi
'I'eorema
(1.4)).
In
questa sezione
presenfiamo.tre
metodi:
il
metodo
d,ei
m,olt.i,ltliratori
di
Lagrange,
il
metodo
di
"ridu.zione",
il metodo
delle
curue di
liuello.
Metodo
dei
rnoltiplicatori di Lagrarrge
Siano
O
g
IR'
un aperto
non vuoto,
"f
: fl
*
6
una
funzione
diflerenziabile,
M
C
Q
l'insieme
I'f
:{re
U:
g(c):0},
doveUcOèun apertononvuotoeg:
[/+ lQ
rrna funzione di
classe
Cl
tale che Vg(")
*
0
per
ogni :x
e
U.
In
particolare
ily'
è una
varietà
di dimensione
n
-
1
in lR'.
Per
il'feorema
dei
moltiplìcatori di
Lagrange,
i
pu.nti
cli massirrro e
di
mininro
locale
vincolato
per
/
su
,41
v-anno
cercati
fra, i
punti
staaionari
vincoÌati
per
/
su
À1,
cioè
fra
i
punti
o
e
lì1
tali che
V/(z)
:
ÀVg(r),
per qualche
À
e
1R.
In alternativa.
si
può
considerare
la
funzione L:
U
x
lR.
, IR,
delta
Lagro,nE.an.n,
definita da
L(r.s):
f(x)
-
),s(z).
Si cerca,no i
punti
stazionari
liberi
di
/1,
cioè
i
punti
(r,,\)
tali che
V,C(z,.\)
-
0
(in
qusjto
caso
si intende il
gradiente
nelle n
*
1 v-ariabili
(2,))).
Se
(r6.Àe)
è un
punto
stazionario libero
di
X,
allora î0
è
un
punto
stazionario
vincolato
per
/
su
.&1-
Metodo
di
('riduzionett
Sianof) R.'unapertononvuoto,/:0+lRunafirnzionedifferenziabile,rl'1
cflil
grafico
di
una funzione
di
classe
Cr
in
n
-
1
r'ariabili,
cioè
M
:
{(*,u)
€
lR' : r
eU,
y
:
g(r')},
dove t/
e
lR'
r
è un aperto
non
vuoto
e
g :
LI
+
R,
è
una
funzione di
cÌasse Cr.
In
particola.re
M è una
varietà
di
dimensiole
n
-
1 in lR'.
Per determinare
i
punti
di
massimo e
cli minimo
vincolato per
/
su M
consideriamo
la
funzione di
rl
-
1 variabili
a
: U
+
jR
definita da
43
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
22/225
44
9"p pl:3_
l -ygl
e
minimi
xssolttti
vinco.latj
e
cerchiamo
i
punti
di
massimo e di
minimo
di
g.
I
punli
di
massimo
(risp.
di minimo)
vincolato
per
/
su
M
sono
i punti
(:r,y) lali
che
z
è di
massimo
(risp. di
minimo)
per
9
e
y: g(x).
Q$qr_v,aelore
Questo
metodo
è talvolta
denominato
di
"riduzione",
perché permette
dì
lndagare
i
punti
di estremo
riducendo il numero delle
variabili,
da n
a n
-
l.
In
alcuni casi
questo
procedimenlo
di
riduzione
delle
variabili si
può
anche
ottenere
mediante opportune
parametrizzazioni
dei vincoli.
Metodo
delle
curve di
livello
Per semplicità
descriviamo
questti
metodo
solo
per
n
:
2, anche se
vaìe
per
ogni rr'
a
2.
Sìano
fl
C
lR2 un
aperto non vuoto,
/
: O
-
lR una funzione
difierenziabile,
M
G
Q
l'insienre M:
{(",a)
eU:
g(x,y):0},
doveU
c
Oèunapertónonvuotoe
g
:
(J
-lR
è
una
funzione di
classe
Cr tale
che
VS@,y)
I
0
per
ogni
(r,g)
€
[/.
In
particolare
&l
è una
varietà
di
dilnensiune I
in R2.
Per ìl'I'eorema
dei moltiplicatori
di
Lagrange, i
punti
di massimo
e
di
rninimo
locale
vincolato
per
/
su
,14
vanno
cercati
lia
i punti
staaionari
vinr:olati
per
J
su M.
cioè fra
i
pnnti (z,y)
e
M
tali che V/(z,g)
:
'\Vg(z,y),
per quaìche
À
e
R.
Quìndi
in
questi
punti
risulta
che
V/
è
parallelo
a
Vg.
Per
ogni c €
lR consideriamo I'insieme
O":
{(",s)
eU
:
J@,y)
:
c}.
Supponiamo
che
per qualche
c e lR. si
abbia
0"
I
A
e
che
per
ogni
(r,y)
e Q"
risulti
Y
f(",g) I
0.
In tal
caso
l'insierne 0" è detto curua d,i
liuello d,i
f
reultiua a
c.
In
queste
ipotesi si ha che
per
ogni
(2, g)
€
O"
il
vettore V
Í
@,A)
è ortogonale
alla
retta
tangente a ll"
in
(x,a).
Poiché
Vg(r.y)
è ortogonale
alla retta tangente a ,4.4 in
(r,g).
si
ha
che
Vi@,ù
è
parallelo
aVg(n,y)
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
23/225
t,:
t:
a
Capitolo
2
Massimi
e
minimi assoluti vincolati
i)
se
V/(cs) applicato
in
rs
punta
verso I'esterno
di
O,
allora cp è un
punto
di massimo
locale
per
/
su
O;
ii)
se
V/(r6) applicato in rs
punta
verso
I'interno
di
O,
allora
Í0
non
è
né
un
punto
di
mas$imo
né
un
punto
di
minimo locale
per
/
su
f)-
Se ro
€
óO è
un
punto
di
minimo locale
per
"f
su 0ft,
si ha
che:
ii,i)
seY
f
(xs)
applicato in 16
punta
verso
I'interno
di fl,
allora
a6
è
un
punto
di minirno
locale
per
/
su O;
iu) se
V/(re)
applicato
in cs
punta verso
l'esterno
di f),
allora
ro non
è
né
un
punto
di
massimo né un
punto
di
minimo locale
per
/
su
f).
;lir
il t:l
i .1
2- Ilsercizi
sui massimi
e minimi vincolati
2 Esercizi
sui massimi
e
minimi
vincolati
2.1
Funzioni
di due
variabili
Esercizio-
Determinare i
punti
di massimo
e minimo
locali
e assoluti
delle
seguenti
funzioni di
due
variabili
sugli insiemi specificati:
a)
f(r,y):n*u,
u
:
{@,ù€lR2:
:r2
+y2
:r}
(+,*)
punto
di
massirno
assoluto,
I
(-*,-+)
punto
di
minimo
assoluto
l
b)
Í(r,s):
rp+ar+u'
*r,
ta
:
{@,u)€tR2:
zz
+y2
:s}
c)
f(r,y)
:
,2
+
y'
a,r
:
{(c,
v)
e
R2
d')
J@'Y):
s11,
e)
Í@,y):ro+yn
-a(r2
+a2),
M:
{tr,v)
€iR2:
a2+yr
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
24/225
ii
:1,
'
$
Capi :do
2.
Massimi
e
minimi assoluti
vincolati
g)
Í(r,y):Jrz+4y2
-6r-12,
nr:
{@,ù
€1R2,
12
+y'-a.0}
|
(*2'0)
Punto
di
massimo
assoluto,
|
(1,0) punto
di
minimo
assoluto
h)
f(a,v):sw-
u
:{@,ù€lR2:
12-l
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
25/225
50
--
C 'pitolo2
Mlassimieminimiassoluti
ù
J@,y,2)
:
(t+r')"-'",
u
:
{(r,a,z)€1R.3,
z2
+
114
-2a2'l-"2
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
26/225
I
;t
1
;i
,'i
:
:
Capitolo 2
Massimi
e minimi
assoluúj
vincolati
si
ha
che
(*,*)
è
il
punto
di massimo
assoluto
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
27/225
i.ii'
illi
:lii'r:
ilil,
che
è
aperto
in
quanto
unione di
due aperti.
Inoltre
è
anche
limitato-
Infatti,
se
non lo fosse, allora esisterebbero
in
M
punti (t, g)
con
lcl
o
lyl
arbitrariamente
grande. lr{a
se
(o,y)
e
M,
aJlora
*" +a"
--
1--rg.
Quindi
lcl
olyl
*r1oo
-r=:+
,2+y"-4.*
+ x:y+
ooconrg--(r2+y2).
Ne
segue che deve essere
gf
-
*c,
cioè
-r2 -
r
-
-2a2
per
lzl
* foo:
assurdo.
In
modo
del
tutto
equimlente,
si
osserya
che
la
curva
""
-f
g'I
ry
-
I
:
0 è
l'equaziorre di un'ellisse reale.
Infatti,
la matrice associata al
polinomio
S@,y)
:
a2
+
y2
+-
ng
-
I e la
matrice dei
termini
di
secondo
grado
del
polinomio
g
sono
rispel,tivamente
lr
à
o\
/1
":l+
1
'),
,:(i
Ì)
\o
o
-r/
\2
Si ha
che clerA:
l,
trla;
:2
e detB:
-i
+
0. Essendo det,A
>
0
e
rr(A)
.
detB < 0,
si
ha
che
la
conica
S@,y)
:0
è un'ellisse
reale.
Figura
2.4:
L'insieme M.
Quindi
per
il Teorema di Weierstra.ss
/
ammette
massímo e minimo
su M. Essendo
/
di
classe
C*
e
M
una varietà
di
dimensione
t
in
lR2,
i
punti
di
estremo
su
M
vanno
ce,rcati
fra
i
punti
stazionari
vincolati. Procediamo
con il metodo
dei
moltiplicabori
di
Lagrange.
Cerchiamo i
punii
(z,y)
e
M
tali
che
V/(2,3r)
-
ÀYg(r,y)
per qualche
À
e
IR. Si ha che
(Af.
-óo.
1*o,a):^a;\î,a)
(y:À(2xFa) (ue_\_ztx
Jat An
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
28/225
Òo
Canitolo
2
Mxsími
e
minimí
assoluÚi
vincolati
di
/
in
questi punti.
Si ha
che
A2t
A2f
^
A2f
fll,ul:
r2r2
*
16,
#,",0r:r2v2
-
16,
íì*A,ol
-
o.
Quindi
la
matrice
llessiana
di
/
ìn (4,
g)
è
11r@,v\
-
(12",
-16
"o
\
'':\ o
r2y2
IG)
Ne
segue
che
(-16
n \
?lt(0,0)
:
(,
;"
".rU
)
*
(0,0)
è un
punto
di
massimo
locaJe
per
f
st
M;
/-16 0\
1t@,].2):
(
,;" a)
==+
(0,
f2) sono
punti
di sella
per
f
st
M;
?rr(*2,0)
:
(3;
-ir)
+
(t2,0)
sono
punti
di sella
per
J
srr lf;
/\, n \
?lf(+2,*2)
:
(;
ir)
*
(+2,:t2)
sono
punti
di
rninirno
locale
per
/
su
tl'l'
Iì
massimo
locale
è
f(0,0)
=
0 e
ii
minimo locale
è
i(*2,*2):
-lZ.
Cerchiamo
ora
i
punti
di
estremo
sul
bordo
di
M,
ossia
in
ou
:
{@,ù€
IRz'
12
+uz
=s}.
Essendo
/
di
classe
C*
e òM una
varietà
di
dímensione
I
in
iR2,
i
punii
di
estremo
su
0M
vanno cercati
fra i
punti
staziona.ri
vincolati.
Procediamo
con
il
metodo
dei
moltiplicatori
di
Lagrange.
Posto
S@,ù
:
î2
+
a2
-
9, cerchiamo
i
punti
(r, g)
e
0
M talí
che Y
f
(r, y)
:
ÀV9(2,
9)
per qualclte À
e
R.
Si
ha
che
{2r(2r2-8-)):0
I
F+
1r,
(ru'
8
-
.\)
:
0
lx2+a2:9.
I
punti
stazionari
vincolati di
/
su 0M
sono
(0,:13),
(*3,0)
,
(+tE,{fi)
Essendo
/(0,+3):
/(+3,0)
=
e
>
0
=
/(0,0)'
fTo,r:
tafi@,u)
[M:r
-
t6x:D'
l?ufro,r,
:
>,,fir.,u)
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
29/225
aò
Cafitolo
2 Massimi
e
minimi
assoluúi vincolati
Quindi
l'unico
punto
stazionario
di
/
in
int(X{)
è
(l,O).
n".
stabilire se è di
massimo,
di
minimo o di
sella,
calcoliamo
la matriee
Hessiana
di
f
in
questo
punto-
Si ha che
a2Í,
a2l,
ò2r
"fi(r.ù:
+,
z,
ffi("'rt
:o
Quindi
ìa matrice
}lessiana di
/
in
(à,0) è
^.
/1
^\
/4
0\
nî
\4'"): \o
z/
Ne
segue ctre
(f,O)
è
un
punto
di
minimo
locale
per
f
sv.M
e
il minimo locale è
i (à,0)
:
-à-
Cerchiamo
ora
ì
punti
di
estremo sui
bordo
di M, ossia
in
au
:
{@,ù€lRz
: c2
+
a'
:
r}.
Per ogni
(x,y)
e
òM si
hache
A2
:
L-'r'2-
Posto
I
:
fpta'
si ha che
9:
[-1,1]
-
IR
è
definta
da
e@)
: f\x,y\t)) :
12
- r
+
1.
I
punti
di
estremo
di
J
su dJI4
sono i
punti
(o,y(a))
con
e di
estremo
per g.
Essendo
g
di
classe C* sull'intervallo
chiuso
e
limitato
l-1,11,
i suoi
punti
di
estremo
vanno
cercati
tra
i
punti
stazionari
e
gli
estremi
dell'intervallo
[-i,1].
Si
ba
cÀe
9'
(r)
:
2x
-'
7.
Quindi
tpl(r)
:
0 se
e solo
se
z
=
|
e
9'
@)
> 0
se e
solo
se
$
<
r
<
1. Ne segue
che
o
:
|
è
un
punto
di minimo
per
tp.
Inoltre
r
:
*1 sono
punti
rii massimo locale
per
g.
Piìr
precisamente,
essendo
ee1):3
e
9(1)
:
1,
si ha
che r:
-1
è un
punto
di
massimo assoluto
per
rp,
mentre
o
:
1
è un
punto
di massimo
locale
per
9.
Quindi
(*,+4)
sono
punti
di minimo asooluto
per
/
su
0M,
(-1,0)
è
un
punto
di massimo
assoluto
per
/
su
AM
e
Q,{))
è
un
punto
di massimo
locale
per
f
stt
0M. Essendo
r1,l
"€\
3 I
-/l,ol
t\r,*.2
):4'_8:/\4.-/
si ha
che
(*,
o,) e
I
punto
di
rrinimo
assoluto
per
/
su
M,
mentre
(-'1,0)
è
il
punto
di massimo
assoÌuto
per
/
su M.
Osserviamo
che i
punti
(+,*4)
non sono
di
minimo locale
per
f
su M. Infatti,
il
gradiente
di
/
in
questi
punti
è
vr( ,.+fl
-
fu,*y's)
\'2 2 I
\
/
s)
Capitolo
2
Svolgimento
deg)i esercizi sui massimi
e minimj
vincolati
che
punta
verso I'esterno
di
.M.
La funzione
i@,ù:3r2
+
4y2
-6t
-
12
è di
classe
C*
su
lRz- L'insieme
M:
{(r,
ul
e
IR2
'
c2
1
y2
-
4l
0}
è
compatto.
Quindi
per
il
Teorema
di Weierstrass
f
ammette massimo
e minimo su
M.
Figura
2.7:
L'insieme
M.
Cerchiano
inizialmente
i
punti
di estremo ínterni
a ,41, oss.ia in
int{M)
:
{@,ù
e
tR2
,
12
+
v,
<
4} .
Essendo
/
di classe
C-,
i
punti
di estremo
in int(M)
vanno
cercà,ti fra i
punti
stazionari,
ossia
fra
i
puntí
(r,g)
e
int(M)
tali che
V
f(x,A)
:
0. Si ha
che
al,
^
aÍ,
,
6;tr,s)
-
6c
-
6,
*\x,ù
:8u.
Quindi
I'unico
punto
staaionario di
/
in int(M)
è
(1,0).
Per
stabilire
se
è
di
massimo,
di minimo
o
di
sella,
calcoliamo la matrice
Hessiana
di
f
in
cluesto
purrto.
Si ha
che
azf. a2f.
azf
j*(x.ù
:
a,
àoz@,ù
:
a,
à,ào{",0)
:
u.
Quindi
la
matrice Hessiana
di
/
in
(1,0)
è
/6 0\
?r/(1,0)
:
(\ò
;)
Ne segue che
(1,0)
è un
punto
di
minirrro locale
per
f
su
M
e il
minimo
locale
è
/(r,0):
-15.
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
30/225
60
Capitolo
2
Massimi'
9l - j-14 tiy-4^ti
Cerchiamo
ora
i
punti
di
estremo
sul bordo
di M,
ossia
in
au:{@,ù€lR2:
12
+a'*4\
Per
ogni
(n, y)
e
0M
si
ha
che
y2
:
4- 12'
Posto
I
=
flou,si
ha
che
g
:
|
2'Zl
-'
lR è
definta
da
e@)
:
f @,y(r)) --
-n2
*-6r
*
4.
I
punti di estremo
di
/
su ÓM
sono
i
punti
(r,g(z)) con
r di
estremo
per
9'
Essendo
g
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
31/225
62
Caoitolo
2 MassimÎ
e
rninimi
assoluti vincolati
Figura
2.9:
Gli
insiemi
lr e lz.
I
punti
di
estremo
di
/
su
11 sono
i
punti
(r.
3)
con
r di estremo
per
pl- Ilssendo
pr
strettamente
crescente
inl-2,21,
si
ha
che
r:
-2
è un
punto
di
minimo
assoluto
per gi
e
z:2 è
un
punto
di massimo assoluto
per,p1.
Quindi
(-2,3)
è
un
punto
di minimo
assoluto
per
/
su
f1,
(2,
3)
è
un punto
di
massimo assoluto per
/
su
f
1
'
Consideriamo
ora 12. Per
ogni
(r,y)
€
f2
si ha che
g::r2
-"
1'
Posto
92:
ÍF2,
si
ha che
92:
[-2,2]
+
R
è
defilta da
Pz@)
*
i@,a@D:
Pr3-''
I
punti
di estremo
di
/
su
12
sono
i
punti
(z,y(z)) con
z di estremo
per
92.
Essendo
0
per r e
l-2,
#)
"
"
e
(f,zl
Ne
segue che s:
-S
t r:2 sono
punii
di
massimo
locaìe
per
p2,
fi:
-2
e
r: f
*o.ro
punti
di
minimo locale
per
92-
Ne
segue
che
i
punti
(-
4,
-J)
"
12,
s) sono di
massimo
locale
per
/
su 12,
(-2,
3)
e
(+,-3)
sono
di
minimo
locale
per
f
su
f2-
Quindi
il
punto
(2,3)
è
di
massimo
locale
per
/
ristretta
a0M
:
f1 U12
e
il
punto (-2'3)
è
di
minimo
locale
per
f
ristretta
a 0M
:
f1 U
12.
Essendo
/(-2,s)=e-6, te,s)=e6.
r( f.-?\="e*
"('/5
2\
-3'î
"1
r
\
r
'-5/
=€e'-':
'\;'-5):"
""''
si
ha
clre
(2,3)
è il
punto
di
massimo
assoìuto
per
/
su
M
e (-2,3)
è
il
punto
di
minimo assoluto
per
/
su
M,
ill
:'
1,,.
il,i.
l:[,.
:lr;:ii
iiiì
Ì:iÌ
'I
l:
tlii:
d,11
=frLlllz
Capitolo
2
Svolgimento
degli esercizi
sui
rnassr'mi e mjnjmi vihcolati
Osserviamo
che il
punio
(-f,-3)
è di massimo locale
per
f
su M'
Infatti, iI
gradiente
di
f
in
questo punto
è
vf
("ú
2\
/
2
z.a
f"a*)
\-t'
5i:
\-5"'
/
che
punta
verso
l'esterno
di
ill.
Irrcltre
il
punto
(f
,
-
3)
è
di
minimo
locale per
/
su M. Infatti,
iì
gradiente
di
/
in
questo punto
è
v/
f4'-?)
=
(
?
"-zn,f="-e*)
\3'3)
\3-
'3-
l
che
punta verso l'interno dí
lM-
i) La tunzione
f
@,y)
:
ulxl
-
2a2
è
continua.
L'insieme
u
:
{@,ù€
R2' 12
+u2
<
a,
s
>-al
è chiuso
e limitato.
Quindi
per
iì
Teorema
di
\A/eierstrass
/
ammette
massimo e
minimo
su
M.
Figura
2.10:
L'insieme M.
Cerchiamo
irrizialmente
i
punti
di
massimo
e minimo di
/
in int(,Ll), dove
int(M)
:{(",u)
elR2,
"2
+a2
<
4,
y
>
o}.
Si
ha che
per
ogni
@,y)
e
int(M)
(
2r ser
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
32/225
Ne
segue
che
/
non
Ìra
punti
di
massimo
e
di
minimo
in int(M).
Cerchiamo
i
punti
di
massìmo
e minimo
di
/
su
óM.
Osserviamo
che
0M non è una
varietà di
dimensione 1 in
lR?,
infatti
in
ogni
intorno
di
ciascuno dei
punti
(+f,0)
I'insieme
0M
non è
l'insieme
desìi
zeri di una
funzione di
classe
Ci'
Osserviamo
che
AM
:
fr U
lz, dove
Figura
2.11:
Gli
insiemi
fr
e
fz.
Cerchiamo
separatamente i
punti
di estremo di
/
su
fr e
lz.
Consideriamo
inizialmente
f1.
Per
ogni
(o, y)
e
f1
si ha
che
g
:
J4i7,
con
-2
(
c
(
2.
Posto
Pr
:
"fp,
si ha
che
tp1
:
[-2,21
-
]R è definita
da
p,
(r)
:
Í
@,
y("))
:
f
(r,'/
4;)
:
slrl
-
z
(a
-
"'z)
:
nlrl
-
8
+
2n2.
I
punti
di estremo
di
/
su
fr
sono i
punti
(",'A -:F) taìi
che
c
è di
estremo
per
.p1.
Perogni-2(co},
rr:{(",s)e
IR2:
-2
1s12,
v:0}.
Consideriamo ora
f2. Per ogni
(r,9)
€
fz
si ha
che y:0,
con
-2
(
r
(
2.
Posto
gz
:
f1z
si
ha
che
92
:
l-2,21
+
llR è
definita
da
sz@)
:
Í@,y(")): /(2,0)
:
alrl.
I
punti
di
estremo
di
/
su
lz
sono
i
punti
(r,0)
tali
che
o
è
di
estremo
per
922.
Si ha
che
p2
è cîescente
in
[-2, 2].
Quindi
r : -2
è
un punto
di
minimo per
rp2
e
r
:
2 à
un un
punto
di
massimo
per
rpr.
Di
conseguenz& il
punto
( 2,
0) è
di
minimo
per
,f1r,
mentre
il
punto (2'0) è di
massimo
per
"f1r'r.
In
conclusione
il
punto
(-2,0)
non
è né
di
massimo
né
di
minimo
per
/
su
M;
il
punto
(0,2)
è di minimo
per
/
su
M e il
punto (2,0)
è
di
niassimo
per
f
su
M.
l)
Latunzione
f
(",y):
zlog(1
*y)
è di classe
C- su
dom(/):
{(c,s)
€
IR2:
y;
-1).
L'insienre
rr
-
{@,ùrl}t2,
12
+a2
o,
yì
o}
è
contenut'o
in
dom
(/)
ed
è
chiuso
e
lirnitato-
Quindi
per
il'Ieorema
di Weierstrass
J
arnmette
massimo
e
mìnimo su
.4'{.
Osserviamo che
per
ogni
(r,y)
e fuI
si
ha
che
Í@,a)
>
0.
Figura
2'12:
L'insieme
M.
Cerchiamo inizialmente
i
punti
di
massimo
e
minimo di
/
in
inf(M),
dove
i,nt(M)--{(",v)
e
ll{2,
"2
+yn0,
y>0}.
Si ha
che
per
ogni
(r,y)
e
int{M)
0,ùl=I]rUfzuI'a
o,rl=
roe(1+
y),
OT
ol
, ,
f
-lic.Itl
y"''
l+A
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
33/225
::
Caoitolo
2 Ma'ssimi
e minimi assoiuti
vincolati
Quindi
V/(c,
y)
:
(0,0)
+=+
(r,a)
:
@'0)
/.
i'nt(M)'
Ne segue
che
J
non ha punti
di
massimo e
di minimo
in int(M).
Cerchiamo
i
punli
di
massimo e minimo
di
/
su 6^&/.
Osserviamo
che óM
non
è
una varietà
di
dimensione
I
in
1R.2,
infatti
in
ogni
intorno
di
ciascu.no
dei punti
(0,0), (1,0)
e
(0,
1) I'insìeme
ÓM
non
è
l'insieme
degli zeri di una
funzione di classe
Cl.
Osserviamo che ?IV:
l.'r U
lz
LJ
13,
dove
l]r
:
{(t,s)
ellt2
:
00,
v>o},
ru
:
{(",y)
€lR2
: e:0,
o
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
34/225
i
lrn 9laLi
Cerchiamo
inizialmente
i
punti
di
massimo
e
rninirno
di
f
'n
int(M), dove
int(M)
=
{(r,ù
eIR.z,
lel
+
lyl
<
ii.
Si ha
che
per
ogni
(r,g)
e
int(.M)
l.i
Quindi
ff@,a):2,,
v/(r,y):
(o,o)
0
:
/(0,
0),
si
ha
che
(0,
0)
è il
punto
di minimo
assoluto
per
/
su
,Lf.
Osserviamo che
i
punti
(*1,*à)
non
sono
di
ninirno locale
per
/
su
,4,f.
Infatti,
it
grarlie'te di
/
in
questi
punti
è
V/
(*1,"1)
:
(+1,
+l)
che
punta
verso I'esterno
di r1,1.
n)
La
funzione
l(",y):
t2
-
y2
è
di
classe C-
su
lR2
L'insierne
u
=
{@,ùe
IR2:
(lrl-. r)2+(lvl-
1)'> 1,
l"ls
r,
lvlr
1}
è chiuso e
limitato.
Quindi
per il
l'eorema
di
weìerstrass
/
amrnette
ntassimo
e
minimo
su
&1.
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
35/225
Caoitolo
2
Massimi
e
minimi aNoluti
vincolati
Cerchiamo
inizialmente
i
punti
di
massimo
e
minimo
di
/
in
irzú(M),
dove
int(M):
{(r,u)
elR.2:
(lrl- 1)2+
(lsl-
1)'<
1,
lzl<
r,
lyl<
r}
Si ha. che
per
ogni
(n,y)
e
int(M)
:_L(* ,,\
*
e-
oî
ufio,,t:
-',
Quindi
vf(c,s):
(o,o)
2,
0<
u
11
-
",'2\
{2n:D,(x-t)
8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2
36/225
è chiuso
e
limitato.
Quindi
per
iì l'eorema
di
Wèierstrass
/
ammette massimo
e
minimo su M.
Figura 2.L8:
L'insieme
M.
Cerchiamo
inizialmente
i
punti
di
nìassimo
e minimo
di
/
in
ínf
(M)'
dove
int(M)
:{{",u)
e lR2, lr2
+
(y
+r)2
>
2,
0 <
u.
t
-
r'}.
Si
ha
che
per
ogni
(x,g)
e int(lvI)
6Í,
.
1
-\r' ):
;--:-'
or t+9
af,
,
l*c
5o\n' )=-G+;P
Quindi
V/(c,y)
I
(0,0)
per
ogni
(r,A)
€
int(M).
Ne
segue
che
/
non ha
punti
di
massimo
e di minimo
in intlM).
Cerc.hiamo
i
punti
di massimo
e minimo
di
/
su dM.
Osserviarno che EM uon è una
varietà di dimensione
1 in
lR2, infatti
in
ogni
intorno
di ciascuno
dei
punti (*1,0)
I'insieme
0M non è I'insieme
degli
zeri
di una
funzione
di
classe Cl.
Osserviamo
che 0fuÍ
:
fr
U
la,
dove
r,
:
{(r,s)
e
lRz
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3,
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