3 kriterijuma
Kod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema automatskog upravljanja kao što je regulisani elektromotorni pogon, bitna su tri kriterijuma:
stabilnost statička karakteristika
dinamička karakteristika Analiza prema redosledu i važnosti:
stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju, i na kraju kvalitet prelaznog režima.
KVALITET SISTEMA KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAAUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
1
Stabilnost
• Teorema Ljapunova o stabilnosti dinamičkih sistema
Za linearne dinamičke sisteme
• Algebarski kriterijumi stabilnosti
• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti
2
Алекса́0ндр
Миха́0йлович
Ляпуно0в,
1856-1918
Za stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sa
koncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov za
stabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačine
imaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj
poluravni kompleksne promenljive p. [1].
[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd
1 0 1 2... ... 0
Re( ) 0, 1,...,
w
nn n n
i
N pF p
D p
D p a p a p a a p p p p p p
p j n
U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je Re(pj)<0,
U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine, uslov se svodi se na
pj <0
Kontinualni sistemi
3
Svi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini kompleksne ravni:
Diskretni sistemi
4
Potreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema
je da sve nule svojstvenog polinoma matrice A, odnosno svi koreni karakteristične jednačine
budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze unutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom početku z ravni [1].
1( ) ( )k kt t x A x
det( ) 0z I A
[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd
1 1w
W p W pYF p p Y p U p
U W p W p
Statičke karakteristike
5
u yW(p)
+
_e
Posmatrajmo sistem:
Pretpostavimo da je sistem stabilan.
Greška je:
0
1
1
lim lim limt t p
E p U p Y p U pW p
e e t u t y t pE p
Odnosno:
01
p
p U pe
W p
Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u obliku:
0
00 0 1
r
k P pW p
p Q p
P Q
r - je astatizam sistema6
Astatizam sistema
7
0
0
0 0 1r
k P pW p P Q
p Q p
ako je r = 0 (nulti astatizam),
0
limp
W p k
ako je r = 1 (astatizam prvog reda),
ako je r = 2 (astatizam drugog reda),
0
lim 0p
p W p
2
0lim 0p
p W p
0
limp
W p
0
limp
p W p k
2
0lim 0p
p W p
0
limp
W p
0
limp
p W p
2
0limp
p W p k
Konstanta položaja Brzinska konstanta Konstanta ubrzanja
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:
0
0
0
1 1 p
p
up
upe
W p k
- konstanta položaja
ako je r = 0, kp = k greška postoji e()=u0/(1+k)
za r > 0, kp→∞ greška ne postoji e(∞)→0.
Sistem nultog astatizma
8
00
uu t u h t U p
p
0
lim pp
W p k k
r = 0, kp = k greška postoji
Odziv sistema sa nultim astatizmom u vremenskom domenu.
r > 0, kp→∞, greška ne postoji
9
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija (rampa):
0
0
0
1 v
p
uup
eW p k
0
lim vp
pW p k k
- brzinska konstanta
0 0vr k e
Primer „soft start”Konstantno ubrzanje.
01 /vr k k e u k
1 0vr k e
Sistemi sa astatizmom prvog reda
10
00 2
( )u
u t u t U pp
Greška se povećava.
Greška ne postoji.
Greška ima konačnu vrednost.
Vremenski odziv sistema sa astatizmom nultog reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.
kp = k, greška postoji
kv = 0, e(∞) → ∞
11
Odziv sistema sa astatizmom prvog reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija
kv≠0kv=k
kp
12
Odziv sistema sa astatizmom drugog reda kada se na ulaz dovede “rampa” funkcija
kv
kp
13
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija (na pr. kvadratna):
02
0
0
1 u
p
uup
eW p k
2
0lim up
p W p k k
- konstanta ubrzanja
2 0ur k e
02 /ur k k e u k
2 0ur k e
Sistemi sa astatizmom drugog reda
14
2 00 3
( )u
u t u t U pp
Greška se povećava.
Greška ne postoji.
Greška ima konstantnu vrednost.
Primer: zadavanje ciljne (referentne) pozicije kod sistema za pozicioniranje.
kp
r=1<2, ku=0, e(∞)→∞
r=2 ku=k
Greška se povećava
Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa kvadratnom zavisnosti od vremena
15
uu
up
yx+
–
–
+F1(p) F2(p)
Statička greška kod sistema sa dva ulaza
16
uu – Upravljački ulaz
up – Poremećaj
0
1
2
lim lim
( )
( )
ut p
u
u
p
e u t y t p E p
E p U p Y p
X p F p U p Y p
Y p F p X p U p
Statička greška kod sistema sa dva ulaza
17
21
1 2
2
1 2 1 2
1
1
1 1
u p
u p
Fy p F U p U p
F F
FE p U p U p
F F F F
*
uU pp
1
mp T
Uprošćeni primer regulisanog pogona
18
mp
mU p
p
uu(t)
t
ω*up(t)
t
mm
ω*
mm
ωme+
–
–
+k
*
uU pp
1
mp T
Odloženo dejstvo poremećaja
19
uu(t)
t
ω*
0p tmp
mU p e
p
up(t)
t
mm
t0
ω*
mm
ωme+
–
–
+k
a) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1( )F p k 2
1( )
m
F pp T
*
0
1
lim1 1
m
m m
p
m m
mpp
p p T mpe
k k kp T p T
0mm
0mm
Uprošćeni primer regulisanog pogona
20
*
0lim 0
1p
m
pp
ek
p T
2
1 2 1 2
1
1 1u p
FE p U p U p
F F F F
b) Proporcionalno-Integralni regulator brzine, veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1
1 1( ) i
p ii
p TF p k K K
p T p
2
1( )
m
F pp T
Uprošćeni primer regulisanog pogona
21
1
mp Tω*
mm
ωme+
–
–
+
Kp
1iK
p
+
+
b) Proporcionalno-Integralni regulator brzine, veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
1
1( ) i
i
p TF p k
p T
2
1( )
m
F pp T
*
0
1
lim 01 11 1
1 1
m
m
p i i
i m i m
mpp
p p Tpe
p T p Tk k
p T p T p T p T
0mm
0mm
Uprošćeni primer regulisanog pogona
22
*
0lim 0
1 11
pi
i m
pp
ep T
kp T p T
Dinamičke karakteristike
• Posmatramo sisteme drugog reda
• Promena upravljačkog ulaza kao “step funkcija”
• Dva različita slučaja:– Sa konjugovano kompleksnim polovima.– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju
nisu jednaki, ali bi mogli biti).
23
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
24
2
2 2( )
2n
wn n
F pp p
00( ) ( ) ( )
uu t u h t U p
p
20
2 2( ) ( ) ( )
2n
wn n
uY p U p F p
p p p
y(t)
Fw(p)
u(t)
U(p) Y(p)
1
20 2
2
( ) £ ( ) ( )
11 cos 1
1
arccos 1
n
w
tn
y t U p F p
u e t
Dominantni konjugovano-kompleksni poloviKorišćene oznake:
25
ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaπ – preskok [%]Ts – vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenja – period oscilacijaTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstantaTr – vreme reagovanja
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.63 u0
ymax
Td Ts
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.5 u0
ymax
T10 T90
±5%(±2%)
Td
Ts
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.63 u0
ymax
Td Ts
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.5 u0
ymax
T10 T90
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
27
Tu
Tk
Tr
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)ymax
t t
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
28
τ
π
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
29
1 2
1 2 1 2
1( )
1 1w
p pF p
p p p p T p T p
00( ) ( ) ( )
uu t u h t U p
p
( ) ( ) ( )wY p U p F p y(t)
Fw(p)
u(t)
U(p) Y(p)
2 1
1 2
1
1 20
1 2 1 2
/ /1 20
1 2 1 2
( ) £ ( ) ( )
1
1
w
p t p t
t T t T
y t U p F p
p pu e e
p p p p
T Tu e e
T T T T
1 21 2
1 1T T
p p
Dominantni realni polovi (dva realna pola)Korišćene oznake:
30
Ts – vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenjaTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstanta
Ne mogu se definisati:ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaπ – preskok [%]τ – period oscilacijaTr – vreme reagovanja
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
31
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.63 u0
Td Ts
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.5 u0
T10 T90
±5%(±2%)
Td
Ts
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
32
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.63 u0
Td Ts
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Vreme, t [s]
u(t)
, y(t
)
0.5 u0
T10 T90
Tu
Tk
Matlab/Simulnik model
33
1
s +0.5s+12
Transfer FcnStep Scope
1
s+0.64147
Transfer Fcn1
1
s+1.55826
Transfer Fcn2
Scope11
s +2.2s+12
Transfer Fcn3
Top Related