Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari, S.Pd.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 2
Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari, S.Pd.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 3
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr.Wb.
Dengan memanjatkan Puji dan Syukur kehadirat Allah SWT atas
Rahmat dan Hidayah_Nya yang telah memberi kesehatan, baik kesehatan
jasmani maupun kesehatan rohani, sehingga penyusun telah berhasil
Modul Kalkulus II
Modul ini tidak akan terselesaikan tanpa bantuan dari pihak lain,
maka dari itu penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu
Fima Ratna Sari, S.Pd. yang telah memberi kesempatan dan kepercayaan
kepada penyusun untuk menyelesaikan tugas ini. Serta bantuan teman-
teman Mahasiswa/i Program Studi Teknik Informatika semester II , akhirnya
pembuatan tugas ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.
Penyusun menyadari bahwa dalam modul ini masih banyak
kekurangan dan kelemahan dikarenakan kemampuan penyusun yang
terbatas. Untuk itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami harapkan
dari semua pihak yang membaca. Semoga ini bermanfaat khususnya bagi
penyusun sendiri dan bagi para pembaca umumnya serta semoga dapat
menjadi bahan pertimbangan untuk mengembangkan ilmu pengetahuan
maupun wawasan di masa yang akan datang. Akhir kata, penyusun ucapkan
terima kasih.
Wassalamualaikum Wr.Wb.
Palembang, 9 Mei 2013
Penyusun
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 4
DAFTAR ISI
COVER ........................................................................................ 1
KATA PENGANTAR ................................................................. 3
DAFTAR ISI ................................................................................ 4
BAB 1. Vektor .................................................................... 5 - 27
BAB 2. Fungsi Transenden ............................................... 28 - 40
BAB 3. Turunan Parsial .................................................... 41 - 76
BAB 4. Integral Lipat ........................................................ 77 - 106
BAB 5. Persamaan DIferensial Orde II ........................... 107 - 122
BAB 6. Fungsi Gamma & Fungsi Beta ............................ 123 - 137
BAB 7. Deret Tak Hingga ................................................ 138 156
REFERENSI ............................................................................... 157
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 5
BAB I
VEKTOR
1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan
ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung
beberapa makna.
a. Berapa jauh perpindahannya (jarak)
b. Ke arah mana perpindahannya.
2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vector dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama.
Jika AB # CD dibaca ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas
garis CD maka AB = CD.
b. Panjang dua buah vector yang arahnya sama, tetapi panjangnya
berlainan.
c. Jika dua buah vector yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak
sama maka vector yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.
3. Vector Nol
Suatu vector disebut vector nol apabila panjangnya nol. Arah vector nol
tak tentu, misalnya AA, BB,CC, dan semacamnya disebut vector nol.
4. Vector Posisi
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vector OP = P disebut
vector posisi dari titik P.
5. Vector Satuan
Vector satuan adalah vector yang panjangnya satu satuan.
6. Vector dalam Ruang
a. Vector di Ruang R2
Vector dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2.
b. Vector di R3
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 6
Vector dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R
3
ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan.
7. Vector Basis
a. Vector Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1). OP merupakan titik terminal/ ujung dari
vector posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.
b. Vector Basis di R3
Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vector posisi
R, maka komponen komponen r dapat dinyatakan sebagai:
x1 i (searah dengan OX )
y1 j (searah dengan OY )
z1 k ( searah dengan OZ )
8. Panjang Suatu Vektor
Besar vector P , apabila digambarkan akan membentukruas garis berarah
dengan panjnag ruas garis yang mewakili besar vector itu. Panjang vector
P ditulis dengan P .
Contoh Soal :
1. Nyatakan titik berikut dengan vector posisi dalam bentuk komponen
vector kolom!
a. A (2,3) dan B ( -1,4) b. P (2,1,4) dan Q (3,2,-5)
Jawab :
a.
a = 2 b = -1
3 4
b.
p = 2 q = 3
1 2
4 -5
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 7
2. Nyatakan vector-vektor a = 2 dan c = -1 sebagai kombinasi
linear dari i , j ,dan k 3 0
1 3
Jawab :
a = 2 i + 3 j + k
c = -i + 3 k
3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3 i + j - 2 k carilah
a. P
b. Q
c. P + Q
d. vector satuan dari p
Jawab :
P = 1 q = 3
-2 1
2 -2
a. 2 + (-2)2 + 22
b. 2 + 12 + (-2)2
c. Untuk menghitung P + Q , tentukan dulu
p + q ; p + q = 1 3 4
-2 + 1 = -1
2 -2 0
2 + (-1)
2 + 0
2
d. Vector satuan dari p = p = i - 2 j + 2 k = 1 i - 2 j + 2 k P 3 3 3 3
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 8
4. Jika v = (1,-3,2) dan w = (4,2,1), maka
V + w = (5, -1,3), 2v = (2,-6,4), -w = (-4,-2,-1),
V w = v + (-w) = (-3,-5,1)
OPERASI ALJABAR VEKTOR
1. Penjumlahan vector
Diberikan dua vector a dan vector b . vector ketiga yaitu vector c
diperoleh dengan menjumlahkan vector a dan vector b . Jadi,
c = a + b . vector c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan
jajargenjang.
a. Cara Segitiga
b. Cara Jajar Genjang
Sifat-sifat Penjumlahan pada Vektor
1. Komutatif
2. Asosiatif
3. Mempunyai elemen identitas, yaitu vector O (vector nol) sebab untuk
semua vector a berlaku a + o = o + a = a
4. Lawan suatu vektor
2. Pengurangan vector
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . misalkan selisih
vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara
menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b.
3. Hasil kali bilangan dengan vektor
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang
panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya adalah
a. Sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. Berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0
c. Sama dengan nol jika k = 0
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 9
Sifat-sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:
1. K (-a ) = - (ka ) = - k a
2. K (l a ) = (kl) a
3. (k + l) a = k a + l a
4. K (a + b ) = k a + k b
Contoh soal :
1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F
masing-masing titik tengah DC dan BC. Nyatakan vektor-vektor berikut
dalam u dan v
a. AE b. EF c. AF
Jawab :
a. AE = AD + DE
= v + 1 u = 1 u + v
2 2
b. EF = EC + CF = 1 u - 1 v
2 2
c. AF = AB + BF = u + 1 v
2
2. Diketahui A (1,1), B (4,2), dan C (10,4) tunjukkan titik A,B,dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC
Jawab :
AB = b a
= 4 - 1 = 3
2 1 1
AC = c a
= 10 - 1 = 9
4 1 3
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 10
3. Diketahui titik-titik A ( -2,5,4), B (2,-1,-1), dan C (p,q,l). jika A,B, dan C
segaris, carilah nilai p dan q.
Jawab :
AB = b a = 2 -2 4
-1 - 5 = -6
-2 4 -6
BC = c b = p 2 p-2
q - -1 = q + 1
l -2 3
karena A,B, dan C segaris maka:
AB = m . BC
4 p-2
-6 = m q + 1 , diperoleh m = -2
-6 3
4 = -2 ( p 2 ) -6 = -2 (q + 1)
4 = -2p + 4 3 = q + 1
2p = 0 q = 2
P = 0
4. Norma vektor v = ( -3,2,1) adalah
-3)2 + (2)
2 + ( 1 )
2
RUMUS JARAK
Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a = x1 dan titik B (x2
+ y2 + z2 ) dengan vektor posisi b = x2 y1
y2 z1
z2
jarak antara titik A dan B adalah panjang vektor AB, yaitu
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 11
AB
AB = b - a
x2 x1 x2 - x1
= y2 - y1 = y2 - y1
z2 z1 z2 - z1
Rumus Pembagian
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n
sedemikian rupa sehingga AP : PB = M : n
b. Rumus Pembagian dalam bentuk Vektor
Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan
perbandingan m : n, P antara A dan B, maka p = mb + na
m + n
contoh Soal :
1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandara Adi Sucipto menuju
bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat
terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x ( 100, 60, 8)
km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titik y
( 300,30,18) km ?
Jawab :
Jarak yang ditempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta
di hitung dengan rumus jarak:
r = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1)
2 + ( z2 z1 )
2
posisi awal pesawat terbang adalah x ( 100, 60, 8 ) km dengan titik
tujuannya adalah y ( 300, 20, 8 ) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat
tersebut adalah
r = (300-100)2 + (20-60)
2 + (10-8)
2
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 12
= (200)2 + (40)
2 + (2)
2
= 40000 + 1600 + 4
= 41604
= 203,97 km
2. Hitung jarak antara titik titik berikut!
a. O (0,0,0) dan P ( 4,4,2)
Jawab :
O = 0 P = 4
0 4
0 4
OP = 4 0
4 - 0
4 0
0 )2 + ( 4 0 )
2 + ( 4 0 )
2
3. Tunjukkan bahwa P ( 3.4.-1), Q ( -9,-2,3), dan R ( 9,8,11) adalah titik-
titik sudut segitiga sama kaki!
Jawab :
x2 x1 )2 + ( y2 y1)
2 + ( z2 z1 )
2
-9 3 )2 + ( -2 4)
2 + ( 3 1 )
2
-9 3 )2 + ( 8 4)
2 + ( 11 1 )
2
-9 9 )2 + ( 8 2)
2 + ( 11 3 )
2
22.49
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 13
Dari hasil yang diperoleh , dengan menerapkan teorema phytagoras
diperoleh
PQ2 = 14 PR
2 = 14 QR
2 = 22,5
Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka
segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut
berlaku teorema phtyagoras yang menyatakan PQ2 + PR
2 = QR
2. Jadi,
segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki
4. Pergunakan rumus p = mb + n a untuk menyatakan vektor-vektor
posisi dari titik berikut dengan a dan b
a. C membagi AB dengan perbandingan 3 : 2
b. D membagi AB dengan perbandingan 3 : -2
Jawab :
a. Untuk C, m : n = 3 : 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2
Maka p = mb + na Maka q = mb + na
m + n m + n
= 3 b + 2 a = 3 b + 2 a
3 + 2 3 2
= 1 ( 3 b + 2 a ) = ( 3 b - 2 a )
Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Hasil kali scalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan
vektor nol dinyatakan dengan a . b ( dibaca a dot b ). Perkalian scalar dari
vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang didefinisikan oleh:
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 14
Bentuk Komponen Perkalian Skalar
Misalkan A(a1,a2,a3) dan B (b1,b2,b3), maka:
OA =
AB =
Besar Sudut Antara Dua Vektor
Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara
dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki
vektor b. sudut yang diambil adalah sudut terkecil.
Sifat-sifat Perkalian Skalar
a. Sifat sifat yang berlaku pada perkalian scalar
b. Hal-hal mengenai Perkalian scalar
Hal-hal mengenai perkalian scalar yang perlu diketahui adalah sebagai
berikut.
1. Tidak tertutup, sebab a . b bukan vektor
2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a . c = a tidak mungkin
3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a . c bukan vektor
4. Tidak asosiatif, sebab a . ( b + c ) dan ( a . b ) . c tidak berarti.
Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada vektor lain
a. Proyeksi scalar ortogonal
Proyeksi scalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi scalar
saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.
b. Proyeksi vektor orthogonal
Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c
Vektor satuan dari c = c
c
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 15
atau c = c , karena vektor c searah dengan vektor maka vektor
satuan dri b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari
b sehingga
OC = c = c vektor satuan dari b
= a . b . b = ( a . b )
b b b
jadi, proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah
c = ( a . b )
b
Perkalian silang dua vektor
Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b ( dibaca a kros b ) yang
hasilnya adalah merupakan sebuah vektor.
Bila c = a x b, harus dipenuhi syarat:
1. c a
2. c b
3. arah putaran dari a ke b menuju c
4.
contoh soal :
1. Jika P pada AB, carilah koordinat P, jika:
a. A(-2,-3), B(3,7), dan AP : PB = 3 : 2
b. A(-3,-2,-1), B(0,-5,2), dan AP : PB = 4 : -3
Jawab :
a. Titik P membagi di dalam
Xp = = = 1
Yp = = = 3
Jadi koordinat P( 1,3 )
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 16
b. Titik P membagi di dalam
Xq = = = 9
Yq = = = -14
Zq = = = 12
Jadi koordinat Q (9,-14,12)
2. Carilah a.b jika :
a. a = 2i + j + k dan b = 3i + 2j k
b. a = 5i + 4 j dan b = 2i 2j + 4 k
jawab :
a. a = b =
a . b = . = (2)(3)+(1)(2)+(10(-1) = 7
b. a = b =
a . b = . = (5)(2) + (4)(-2) + (0) (4) = 2
3. carilah besar sudut AOB jika titik pangkal untuk masing-masing soal
berikut ini !
a. A(1,0,0) dan B (1,1,0)
Jawab :
a = ; b =
a . b = . = 1
cos = = =
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 17
= arc cos ( )
= 120
4. Jika a = , b = , dan c = carilah x bila
a . ( b + c ) = a . a
jawab :
a = b = , dan c = carilah x bila a . (b + c ) = a . a
. = .
1)(6) + (1)(x)
-5
x = 5
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 18
Geometri Dalam Ruang, Vektor
1. Kooordinat Cartesius Dalam Ruang Dimensi Tiga
Rumus jarak pandanglah dua titik P1(X1,Y1,Z1) dan (X2,Y2,Z2) dalam
ruang dimensi tiga (X1 X2, Y1 Y2, Z1 Z2). Mereka menentukan
suatu balok genjang (paralelepipedum), dengan dan sebagai titik
sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi sejajar terhadap sumbu-
sumbu koordinat .Menurut teorema Pythagoras.
| P1 P2 |2 = | P1Q|
2 + |QP2|
2
Dan | P1Q|2 = |P1R|
2 + |RQ|
2
Jadi | P1 P2 |2 = |P1R|
2 + |QP2|
2
= (X2 X1)
2 + (Y2 Y1)
2 + (Z1 Z2)
2
BOLA DAN PERSAMAANNYA dari rumus jarak ke persamaan
sebuah pola merupakan suatu langkah kecil. Dengan sebuah bola, kita
maksudkan himpunan titik berjarak konstan dari suatu titik tetap.
Kenyataannya, jika(X,Y,Z) pada bola dengan radius r berpusat
pada(H,K,L)
(x h)2 + (y k)
2 + (z l)
2 = r
2
Ini kita sebut persamaan baku sebuah bola.
Dalam bentuk terurai, persamaan dalam kotak tersebut dapat dituliskan
sebagai
X2 + y
2 + z
2 + Gx +Hy + Lz + J = 0
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 19
GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA adalah wajar untuk
pertama-taman memandang persamaan kuadrat karena hubungannya
dengan rumus jarak. Tetapi agaknya suatu persamaan linier yakni,
persamaan berbentuk
Ax + By + Cz = D, A2 + B
2 + C
2
Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan
sering kali terjadi, kita mulai dengan mencari titik-titik potong ini, yakni
kita cari perpotongan x,y, dan z. ketiga titik ini menentukan bidang dan
memungkinkan kita menggambar jejak, yang berupa garis-garis
perpotongan dengan bidang-bidang koordinat. Kemudian dengan sedikit
berseni, kita dapat mengasir bidang tersebut.
Contoh 1. gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z =12
Penyelesaian :
untuk menemukan perpotongan x, tetapkan y dan z sama dengan nol
dan selesaikan untuk x, diperoleh x = 4. Titik yang berpadanan adalah
(4,0,0). Secara serupa, perpotongan y dan z adalah (0,3,0) dan (0,0,6).
Lalu tarik ruas-ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini untuk
memperoleh jejak.
Contoh 2 gambarlah grafik persamaan liniear 2x + 3y = 6 Dalam
ruang dimensi tiga.
Penyelesaian :
perpotongan x dan y masing-masing adalah (3,0,0) dan (0,2,0) dan titik-
titik ini menentukan jejak di bidang xy. Bidang ini tidak pernah
memotong sumbuh z (x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol),
sehingga bidang ini adalah sejajar sumbu z.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 20
2. Vektor dalam ruang dimensi tiga
Vector- vector dapat ditambahkan, dikalikan dengan scalar, dan
dikurangkan sama seperti pada bidang, dan hukum-hukum aljabar yang
dipenuhi sesuai dengan yang telah dipelajari terdahulu. Hasil kali titik
dari u = dan v = didefinisikan sebagai
U.V = U1V1 + U2V2 + U3V3
dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu,
yakni
di mana adalah sudut antara u dan v. akibatnya, masih tetap benar
bahwa dua vector saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali
titiknya nol.
Contoh 1
cari sudut ABC jika A = (1, -2, 3), B = (2,4,-6), dan C = (5, -3, 2)
Penyelesaian pertama kita tentukan vector-vektor u dan v (berasal dari
titik asal), setara terhadap BA dan BC. Ini dilakukan dengan cara
mengurangkan koordinat-koordinat titik-titik awal dari titik-titik
ujungnya, yakni
U = = < -1, -6, 9>
V = =
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 21
Contoh 2 nyatakan u = sebagai jumlah suatu vector m yang
sejajar v = dan suatu vector n yang tegakan v.
Contoh 3 cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai =
Penyelesaian pertama kita perhatikan bahwa sudut arah ketiga, y harus
memenuhi
Cos2 y = 1 - Cos
2 32 - 100 = 0,25066
Cos y = 0,50066
Dua vektor memenuhi persyaratan soal. Keduanya adalah
5
=
Dan
Bidang satu cara yang mengutungkan untuk melukiskan suatu bidang
adalah dengan menggunakan bahasa vektor. Andaikan n=
sebuah vektor tak nol tetap dan P1(X1,Y1,Z1) adalah titik tetap.
Himpunan semua titik P(X,Y,Z) yang memenuhi P1P.n = 0 adalah
bidang yang melalui P1 dan tegak lurus n. karena tiap bidang
mengandung sebuah titik dan tegak lurus terhadap suatu vektor, maka
tiap bidang dapat dicirikan dengan cara ini.
Untuk memperoleh persamaan cartesius dari bidang itu, tulis vektor P1P
dalam bentuk komponen yakni,
P1 P =
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 22
Maka, P1 P. n = 0 setara terhadap
A(x x1) + B(y y1) +C(z z1) = 0
Persamaan ini (di mana paling sedikit salah sat A, B, C, tidak nol)
disebut bentuk baku persamaan bidang.
Jika tanda kurung kita hilangkan dan disederhanakan, persamaan dalam
kotak akan berbentuk persamaan linier umum
Ax + By + Cz = D, A2 + B
2 + C
2
3. Hasil kali silang
Hasil kali titik dari dua vektor adalah sebuah scalar. Kita telah
menggali beberapa penggunaannya pada pasal sebelumnnya. Sekarang
kita perkenalkan hasil kali silang(hasil kali vektor atau cross product);
ini juga akan banyak penggunaannya. Hasil kali silang u x v untuk u =
(U1,U2,U3) dan v = (V1,V2,V3) didefinisikan sebagai
U x V = (U2V3 U3V2, U3V1 U1V3, U1V2 U2V1)
Teorema A
Andaikan u dan v vektor-
antara mereka maka:
1. u .(u x v) = 0 = v .(u x v) yakni u x v tegak lurus terhadap u dan v;
2. u, v, dan u x v membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga.
3.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 23
Bukti andaikan u = dan v = .
1. u . (u x v) = u1(u2v3 u3v2) +u2 (u3v1 u1v3) + u3 (u1v2
u2v1). pada waktu kita menghilangkan tanda kurang, ke enam suku
saling menghapuskan dalam pasangan. Hal yang serupa terjadi pada
waktu menguraikan v.(u x v).
2. arti system tangan kana untuk rangkap tiga u, v, u x v diilustrasikan
pada gambar. Di sa
dengan v. kelihatannya sukar dikembangkan secara analistis bahwa,
rangkap tiga yang ditunjukkan adalah system tangan kanan, tetapi anda
boleh memeriksanya dengan sedikit contoh. Perhatikan secara khusus
bahwa karena i x j = k, ganda tiga i, j, i xj adalah tangan kanan.
3. Kita memerlukan kesamaan langrange
Contoh soal:
|u x v|2 = |u|
2|v|
2 (u.v)
2
|u x v|2 = |u|
2|v|
2 (|u||v| cos )2
= |u|2|v|
2 (1 cos
2 )
= |u|2|v|
2 sin
2
Karena . Jadi, dengan mengambil akar kuadrat
yang utama menghasilkan
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 24
4. Garis dan kurva dalam ruang dimensi tiga
Garis dari semua kurva, yang paling sederhana adalah sebuah garis.
Garis ditentukan oleh suatu titik tetap P0 dan suatu vektor v = ai + bj +
ck. Garis adalah himpunan semua titik P sedemikian sehingga P0 P
adalah sejajar terhadap v yakni, yang memenuhi
P0 P = tv
Contoh 1 cari persamaan parameter untuk garis yang melalui (3, -2, 4)
dan (5, 6, -2)
Penyelesaian sebuah vektor yang sejajar terhadap garis yang diberikan
adalah
V = (5 3, 6 + 2, -2 -4) = (2, 8, -6)
Jika kita pilih (X0, Y0, Z0) sebagai (3, -2, 4), kita peroleh ppersamaan
parameter
X = 3 + 2t, y = -2 + 8t, z = 4 6t
Perhatikan bahwa t = 0 menentukan titik (3, -2, 4), sedangkan t =1
memberikan (5, 6, -
garis yang menghubungkan kedua titik ini.
Contoh 2 cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 25
(4, -3, 2) dan melalui (2, 5, -1)
Penyelesaian
X 2 = Y 5 = Z + 1
4 -3 2
Contoh 3 cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang
2x y 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28
Penyelesaian kita mulai dengan pencarian dua titik pada garis.
Sebarang dua titik akan memenuhi, tetapi kita pilih untuk mencari titik
di mana garis menembus bidang yz dan xz. Yang terlebih dahulu di
peroleh dengan menentapkan x = 0 dan menyelesaikan persamaan-
persamaan yang dihasilkan y 5z = -14 dan 5y + 4z = 28 secara
serentak. Ini menghasilkan titik (0,4,2). Prosedur serupa dengan y = 0,
memberikan titik (3, 0, 4). Akibatnya, sebuah vektor yang sejajar
terhadap garis yang disyaratkan adalah
(3 0, 0 4, 4 2) = (3, -4, 2)
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 26
Contoh 4 cari persamaan simterik untuk garis singgung pada kurva
ditentukan oleh
R(t) = ti + t2j + t
3k
Di P(2) = (2,2,)
Penyelesaian
2k
dan
sehingga garis singgung mempunyai arah (1, 2, 4). Persamaan
simetriknya adalah
x -2 = y 2 = z -
1 2 4
garis singgung pada kurva
r = r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k
5. Kecepatan, percepatan, dan kekurangan
Semua yang kita lakukan pada gerak kurvilinear pada bidang
dirapatkan secara alamiah ke ruang dimensi tiga. Andaikan.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 27
Adalah vektor posisi untuk titik p = p(t) yang menjelajahi kurva selama
kasus yang demikian kurva itu disebut mulus.
Contoh 1 untuk gerak yang di uraikan, hitung percepatan a pada t = 2.
Penyelesaian
- a sin ti + a cos tj + ck
-a cos ti a sin tj
A(2 ) = = -ai
Contoh 2
Penyelesaian lintasan terbang lebah terdiri dari satu bagian spiral dan
satu bagian garis lurus yang panjangnya masing-masing adalah L1 dan
L2. Pada bagian spiral,
t sin t)i + (sin t + t cos t)j + k
dan
t sin t)2 + (sin t + t cos t)
2 + 1]
1/2
= 2
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 28
BAB II
FUNGSI TRANSENDEN
Fungsi invers
Fungsi logaritma dan eksponen
Turunan dan integral fungsi eksponen dan logaritma
Fungsi invers trigonometri
Turunan dan integral fungsi invers trigonometri
Fungsi Invers
Definisi
Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi
untuk setiap x dalam domain g
untuk setiap x dalam domain f
Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f,
atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.
xxgf ))((
xxfg ))((
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 29
Definisi
Jika fungsi f mempunyai invers, maka dikatakan bahwa dapat
diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan
merupakan penyelesaian dari
untuk x sebagai fungsi y.
Teorema
Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari dan adalah
pencerminan dari fungsi satu dengan fungsi yang lain terhadap garis
Contoh suatu fungsi dan inversnya:
)(xfy
)(1 yfx
)(xfy
)(xfy
)(1 xfy
xy
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 30
Contoh:
Carilah invers dari
, kemudian x dan y ditukar
Maka
Turunan fungsi invers
Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila
diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku
)('
1)()'( 1
xfyf
23)( xxf
23xy
23yx
232 yx
23
1 2xy
0>,23
1)( 21 xxxf
)!6(' tentukan maka
2)( Misal .2
)!4(' tentukan maka
12)( Jika 1.
1
3
1
5
f
xxf
f
xxxf
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 31
Logaritma
Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi xaxf )( untuk
0a dan 1a mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma
dengan bilangan dasar a, dan ditulis
xxfy a log)(1
berdasarkan sifat invers )()(1 yfxxfy diperoleh definisi
logaritma berikut.
1,0,log aaaxxy ya
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 32
Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk xy a log
berlaku kondisi 0a dan Ry . Karena grafik fungsi dan inversnya
simetri terhadap garis y = x, maka grafik fungsi logaritma diperoleh
dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap garis y = x.
a. Logaritma Natural
Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e
adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural
terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga
didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat,
tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi,
dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat
mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah
1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat
dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama
dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA. Fungsi
logaritma natural didefinisikan sebagai :
0,1
ln1
xdtt
x
x
xx e logln
mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Logaritmamhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/E_(konstanta_matematika)mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Bilangan_realmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Bilangan_kompleksKumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 33
Notasi
Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk
menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan
"log10(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.
Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya
menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas)
"loge(x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)"
digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks
teknik komputer, log2(x).
Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC,
"log" atau "LOG" berarti logaritma natural.
Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol
log adalah untuk logaritma berbasis 10.
Sifat-sifat logaritma natural
Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari
ln5x sama dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk
membuktikan teorema berikut.
Teorema
Jika a dan 0b dan r bilangan rasional, maka
01ln
baab lnlnln
bab
alnlnln
arar lnln
mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Logaritmamhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Komputermhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/w/index.php?title=Logaritma_biner&action=edit&redlink=1mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Cmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/C++mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Fortranmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/BASICmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/KalkulatorKumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 34
b. Ln sebagai invers fungsi eksponensial
natural
Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:
xe x)ln( untuk semua x yang positif dan
xexln untuk semua x yang real.
Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak
hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel
tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.
c. Mengapa disebut "natural"
Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma
yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10.
Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama,
persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat
dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10
(karena sifat-sifat "natural" dari fungsi eksponensial yang dapat
menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua,
karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan
integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan
logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.
Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:
bxx
dx
db
ln
1log
mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Fungsi_eksponensialmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Fungsi_eksponensialmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/w/index.php?title=Deret_Taylor&action=edit&redlink=1Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 35
Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1,
kemiringan kurva adalah 1.
d. Logaritma Umum
Sifat-sifat logaritma :
1. 01logb
2. 1logbb
3. caac bbb logloglog
4. cac
a bbb logloglog
5. ara brb loglog
6.b
aa
c
cb
log
loglog
e. Turunan logaritma natural
Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa
0,1
ln1
1
xx
xdx
ddt
tdx
dx
Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:
xudx
d
xuxu
dx
d 1ln
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 36
Eksponen
a. Fungsi Eksponensial Natural
Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma
natural.x=exp(y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1)
sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e
Dengan demikian,
11
1
dtt
e
Dari definisi langsung diperoleh bahwa
1. exp(ln x)=x, bila x>0.
2. ln(exp(x)) =x.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 37
Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh
Euler), yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat
mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x)
adalah sebuah fungsi eksponesial. er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh
ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional.
Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu
xex exp
Jadi, untuk selanjutnya.
1. xe xln , untuk x>0.
2. xexln , untuk tiap x.
b. Turunan dari exp(x)
Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y.
Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai,
diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau Dxy =y .
Teorema
xx eedx
d
Sebagai akibat kita peroleh
Teorema
Cedxe xx
c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum
Kita telah berhasil mendefinisikan xe untuk tiap bilangan real x,
termasuk e . Namun bagaimana dengan e ? Kita akan memanfaatkan
hubungan x=exp(ln x).
Definisi
Jika 0a dan adalah sebarang bilangan real, maka
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 38
axx ea ln
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
axea axx lnlnln ln
Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan
area arr lnlnln ln yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.
d. Sifat-sifat xa
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan ,0,0 ba dan yx, sebarang
bilangan real.
1. yxyx aaa
2. xyyx aa
3. x
xx
b
a
b
a
4. yx
y
x
aa
a
5. xxx
baab
Teorema fungsi eksponensial
aaaD xxx ln
0,ln
1aC
adxa
x
x
e. Fungsi xalog
Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis
bilangan positif a ax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari
fungsi eksponensial xa .
Definisi
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 39
Misalkan 1,0 aa , maka ya axxy log
Catatan: xalogln Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh
secara berikut. Misalkan xy alog sehinggayax .
ayax y lnlnln sehingga x
axa
ln
lnlog
Fungsi Invers Trigonometri
Definisi
Fungsi invers sinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari
fungsi
Fungsi invers cosinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari
fungsi
Fungsi invers tangen, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari
fungsi
Fungsi invers secan, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari
fungsi
1sin
2/2/,sin xx
1cos
xx 0,cos
1tan
2/2/,tan xx
1sec
2/32/0,sec xatauxx
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 40
Teorema
2/3
1atau
2/0
1jikasecsec
2/2/jikatantan
0
11 jikacoscos
2/2/
11jikasinsin
1
1
1
1
y
x
y
xxyxy
y
xxyxy
y
xxyxy
y
xxyxy
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 41
BAB III
TURUNAN PARSIAL
Turunan Parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang
mempunyai dua variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya
akan diturunkan satu persatu. Jika pada fungsi z = f(y,x) kita turukan
terhadap variabel x maka y akan dianggap sebagai konstanta dan bisa
disebut kita mencari turunan turunan parsial z terhadap x.
1. Fungsi dua Peubah atau Lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit
atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit,
maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan ),( yxFz .
Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka
penulisannya dinyatakan dengan 0),,( zyxF
Contoh:
1. yxyxFyxz 2),(2
2. 2242 ln),(2ln yxyxFyxz
3. yx
zsinsin2
121
4. 0yzxzxy
5. 0sinyexy x
6. 0arctanln 22
x
yyx
7. 02arctan zx
y
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 42
Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk
eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi
yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit
dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak
semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk
eksplisit.
Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat
sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga
pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut
oktan .
Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0
Oktan II adalah ruang dengan x>0, y0
Oktan III adalah ruang denganx0
Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z0, y
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 43
Pada gambar di atas ),,( 111 zyxP adalah sebarang titik pada oktan I, dengan
menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP
sebagai
2
1
2
1
2
1 zyxOP
Dengan cara yang sama, jika ),,( 111 zyxP dan ),,( 222 zyxQ maka panjang
PQ dinyatakan dengan 2122
12
2
12 )()()( zzyyxxPQ
Selanjutnya, misal ),( yxFz maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.
2. Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih
Misal ),( yxFz adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y.
Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
X
Z
Y
),,( 111 zyxP
1x
1z
1y
Gambar 1.1 : Kubus
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 44
Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi
satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan
menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus
diferensial.
Definisi
Misal ),( yxFz adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval
tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan x
z
dan y
z dan didefinisikan oleh
x
yxFyxxF
x
z
x
),(),(lim
0, asalkan limitnya ada
dan
y
yxFyyxF
y
z
y
),(),(lim
0, asalkan limitnya ada
Contoh :
1 Tentukan
x
z dan
y
z dari 22 yxz
Jawab
x
yxFyxxF
x
z
x
),(),(lim
0
x
yxyxx
x
2222
0
)(lim
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 45
2222
22222222
0 )(
)(.
)(lim
yxyxx
yxyxx
x
yxyxx
x .
2222
2222
0 )(
)()(lim
yxyxxx
yxyxx
x
2222
22222
0 )(
)(2lim
yxyxxx
yxyxxxx
x
2222
2
0 )(
2lim
yxyxxx
xxx
x
22220 )(
2lim
yxyxx
xx
x
222
2
yx
x
22 yx
x
y
yxFyyxF
y
z
y
),(),(lim
0
x
yxyyx
y
2222
0
)(lim
2222
22222222
0 )(
)(.
)(lim
yxyyx
yxyyx
x
yxyyx
x .
2222
2222
0 )(
)()(lim
yxxyyxx
yxyyx
x
2222
22222
0 )(
)(2lim
yxxyyxx
yxyyyyx
x
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 46
2222
2
0 )(
2lim
yxyyxx
yyy
x
22220 )(
2lim
yxyyx
yy
x
222
2
yx
y
22 yx
y
2 Tentukan
x
z dan
y
z dari )sin( yxz
Jawab
x
yxFyxxF
x
z
x
),(),(lim
0
x
yxyxx
x
)(sin)sin(lim
0
x
yxyxxyxyxx
x
)(2
1sin)(
2
1cos2
lim0
x
xxyx
x
2sin)
2cos(
lim20
x
x
xyx
xx
2sin
lim2
coslim200
2
1
2
2sin
lim2
coslim200 x
x
xyx
xx
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 47
2
1)1)(cos(2 yx
)cos( yx
y
yxFyyxF
y
z
y
),(),(lim
0
y
yxyyx
y
)(sin)sin(lim
0
y
yxyyxyxyyx
y
)(2
1sin)(
2
1cos2
lim0
y
yyyx
y
2sin)
2cos(
lim20
y
y
yyx
yy
2sin
lim2
coslim200
2
1
2
2sin
lim2
coslim200 y
y
yyx
yy
2
1)1)(cos(2 yx
)cos( yx
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan
dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan
),( yxFz maka untuk menentukan x
z sama artinya dengan menurunkan
variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan.
Demikian pula untuk menentukan y
z sama artinya dengan menurukan
variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 48
Dengan cara yang sama, andaikan ),,( zyxFW adalah fungsi tiga
peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama
dinyatakan dengan y
W
x
W, , dan
z
W yang secara berturut didefinisikan
oleh:
x
zyxFzyxxF
x
W
x
),,(),,(lim
0
y
zyxFzyyxF
y
W
x
),,(),,(lim
0
z
zyxFzzyxF
z
W
z
),,(),,(lim
0
Asalkan limitnya ada.
Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua
peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.
Misal ),( yxFz , x
z berarti x adalah variable dan y konstanta sedangkan
y
z berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula, misal ),,( zyxFW
x
W berarti x adalah variabel y dan z adalah konstanta.
y
W berarti y
variabel x dan z adalah konstanta. z
W berarti z variabel x dan y adalah
kosntanta.
Contoh:
1. Ditentukan x
yxyzzyxF tan2),,(
Carilah turunan parsial pertamanya.
Dengan metode sederhana didapat
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 49
a. 22
1
2),,(
x
y
x
yyz
x
zyxF
)1(
222
2
yx
yxyz
)1(
2)1(22
222
yx
yxyyzx
b. x
x
yxz
y
zyxF 1
1
2),,(2
)1(
22
2
yx
xxy
)1(
2()1(22
222
yx
yxyyzx
c. xyz
zyxF ),,(
Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih
dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut
dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan
parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.
Jadi andaikan ),( yxFz maka:
Turunan parsial tingkat dua adalah xy
zdan
yx
z
y
z
x
z 22
2
2
2
2
,,,
Demikian pula, jika ),,( zyxFW Turunan parsial tingkat dua adalah
yz
W
xz
W
xy
W
zy
W
zx
W
yx
W
z
W
y
W
x
W 222222
2
2
2
2
2
2
,,,,,,,,
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 50
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus mn
, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n
Contoh
1 Tentukan
2
2
x
z dan
2
2
y
z dari fungsi
yx
xyz
Jawab
yx
xyz ,diperoleh
2)(
)1()(
yx
xyyxy
x
z
2
2
)( yx
y
2)(
)1()(
yx
xyyxx
y
z
2
2
)( yx
x
Sehingga x
z
xx
z2
2
2
2
)( yx
y
x
4
22
)(
)1)()(2)(()(0
yx
yxyyx
4
32
)(
22
yx
yxy
Dan 2
2
2
2
)( yx
x
yy
z
4
22
)(
)1)()(2()(0
yx
yxxyx
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 51
4
23
)(
2
yx
yxx
2 Tentukan
2
2
x
z dan
2
2
y
z dari fungsi
22 x
y
y
xz
Jawab
Dari,diperoleh 32
21
x
y
yx
z
23
12
xy
x
y
z
Sehingga x
z
xx
z2
2
32
21
x
y
yx
4
6
x
y
dan 232
2 12
xy
x
yy
z
4
6
y
x
Dengan cara yang sama dapat dicari xy
zdan
yx
z 22
3. Differensial Total
Misal ),( yxFz adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan
terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 52
parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan
oleh:
x
yxF
x
z ),( ------------- (1) dan
y
yxF
y
z ),( ------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dxx
yxFdz
),( dan dy
y
yxFdz
),(
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dyy
yxFdx
x
yxF ),(),(
Bentuk di atas disebut diferensial total.
Dengan demikian jika ),( yxFz ,maka diferensial totalnya adalah:
dyy
yxFdx
x
yxFdz
),(),(
Analog, jika ),,( zyxFW maka diferensial totalnya adalah:
dzz
zyxFdy
y
zyxFdx
x
zyxFdw
),,(),,(),,(
Contoh.
1 Tentukan diferensial total fungsi
23 2xyyxz
Jawab
xyxy
zxyyx
x
z4,3 322
sehingga diferensial total fungsi 23 2xyyxz adalah
xyxdxxyyxdz 43 322
2 Tentukan turunan parsial fungsi
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 53
22 yx
xz
Jawab
22
22
221
yx
yx
xxyx
x
z
2222
222
yxyx
xyx
2222
2
yxyx
y
22
22
220
yx
yx
yxyx
y
z
2222 yxyx
xy
sehingga diferensial total fungsi 22 yx
xz adalah
dyyxyx
xydx
yxyx
ydz
22222222
2
dyyxyx
xydx
yxyx
y
22222222
2
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 54
3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah
222 )97,0()99,1()01,2(
Jawab
Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal
222 )97,0()99,1()01,2(
222 zyxW
Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = 222 122 = 3
Karena akan dihitung 222 )97,0()99,1()01,2( maka:
x + x = 2,01 sehingga 1,0x
x + y = 1,99 sehingga 1,0x
x + z = 0,97 sehingga 3,0x
dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka
dzz
zyxFdy
y
zyxFdx
x
zyxFdW
),,(),,(),,(
)03,0(3
1)01,0(
3
2)1,0(
3
2
= -0,01
Akhirnya diperoleh 222 )97,0()99,1()01,2( = 3 + (-0,01) = 2,99
4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan 20 cm.
Bila sisi panjang dipendekkan cm16
5 dan kaki pendek dipanjangkan
cm8
5. Dengan menggunakan differensial tentukan perubahan panjang
sisi miringnya.
Jawab
Misal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 55
22 yxr .
Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh
dyy
rdx
x
rdr
dimana dr r , dx x , dx y
didapat
yy
rx
x
rr
yyx
yx
yx
x
2222 2
2
2
2
16
5
2015
20
8
5
2015
15
2222
16
5
25
20
8
5
25
15
cm8
1
Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan .8
1cm
4. Turunan Total
Misal ),( yxFz dan F dapat diturunkan (differentiable).
Selanjutnya dimisalkan )()( tyydantxx , x dan y adalah fungsi satu
peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka ),( yxFz adalah
fungsi satu peubah, sehingga:
dyy
yxFdx
x
yxFdz
),(),(
karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan
dt
dxdan
dx
dy sehingga
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 56
dt
dy
y
yxF
dt
dx
x
yxF
dt
dz ),(),(
Bentuk di atas dinamakan turunan total ),( yxFz dengan
)()( tyydantxx
Catatan
Pengertian ganda z, x, dan y pada dt
dy
y
yxF
dt
dx
x
yxF
dt
dz ),(),(
Pada dt
dz, z berarti )(),( tytxF , Sedangkan
y
zdan
x
z, z berarti f(x,y).
Pada dt
dy
y
yxF ),(.
Andaikan ),( yxFz adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan
),(),( sryydansrxx adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan,
maka diferensial totalnya adalah dyy
yxFdx
x
yxFdz
),(),(
Karena ),(),( sryydansrxx dan dapat diturunkan, maka dapat
ditentukan s
x
r
x, dan
s
y
r
y,
Sehingga turunan total ),(),(),,( sryydansrxyxfz adalah
r
y
y
yxF
r
x
x
yxF
r
z ),(),(
s
y
y
yxF
s
x
x
yxF
s
z ),(),(
Dengan cara yang sama diperoleh
1. Jika )(),(),(),,,( tzzdantyytxxzyxFW maka turunan
totalnya adalah:
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 57
dt
dz
z
zyxF
dt
dy
y
zyxF
dt
dx
x
zyxF
dt
dW ),,(),,(),,(
2. Jika ),(),,(),,(),,,( srzzdansryysrxxzyxFW maka turunan
parsialnya adalah:
t
z
z
zyxF
r
y
y
zyxF
r
x
x
zyxF
r
W ),,(),,(),,(
dan
s
z
z
zyxF
s
y
y
zyxF
s
x
x
zyxF
s
W ),,(),,(),,(
Contoh
Tentukan turunan total fungsi-fungs berkut.
1) 22,1,
1,),,( tzdanty
txxzyzxyzyxF
Jawab
Turunan total fungsi di atas adalah:
dt
dz
z
zyxF
dt
dy
y
zyxF
dt
dx
x
zyxF
dt
dW ),,(),,(),,(
txyt
zxt
zy 412
112
2) 222
3,2,1
),( srydansrxyx
yxF
Jawab
Turunan total fungsi di atas adalah
r
y
y
yxF
r
x
x
yxF
r
z ),(),(
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 58
3)(
2)( 22222222 yxyx
y
yxyx
x
2222
2
3
22 )(
3
)(
2
yxyx
y
yx
x
s
y
y
yxF
s
x
x
yxF
s
z ),(),(
syxyx
y
yxyx
x2
)(1
)( 22222222
2222
2
3
22 )(
2
)(yxyx
ys
yx
x
3) Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm
dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5
cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang
terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.
Jawab.
Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka
hrI 2
h
r
Gambar 1.2:Kerucut
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 59
),( hrII
Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm, det
5,0 cm
t
r,
det
1cm
t
h
Dengan definisi turunan total
),( hrII dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
dt
dh
h
I
dt
dr
r
I
dt
dI
dt
dhr
dt
drrh 22
det
115
det
5,020152
2 cmcm
cmcmcm
det
225det
30033 cmcm
det
753cm
Turunan Parsial Fungsi Implisit
Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi
yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal 0),( yxf adalah fungsi implisit
maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan
menggunakan kaidah diferensial totalf
Karena 0),( yxf maka )0(),( dyxdf
Sehingga
dyy
yxfdx
x
yxf ),(),(= 0
Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:
0),(),(
dx
dy
y
yxf
x
yxf
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 60
x
yxf
dx
dy
y
yxf ),(),(
y
yxfx
yxf
dx
dy
),(
),(
Contoh
1) Tentukan dy
dxdan
dx
dy bila diketahui 0sin),( yexyyxf x
akan dicari dx
dy, menurut definisi turunan total
y
yxfx
yxf
dx
dy
),(
),(
yex
yeyx
x
cos
sin
x
yxf
y
yxf
dy
dx
),(
),(
yey
yexx
x
sin
cos
2) Tentukan daridy
dxdan
dx
dy 0arctanln),( 22
x
yyxyxf
y
yxfx
yxf
dx
dy
),(
),(
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 61
22
22
2
2
yx
xy
yx
yx
yx
yx
2
2
x
yxf
y
yxf
dy
dx
),(
),(
yx
yx
2
2
Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara
implisit dinyatakan dengan 0),,( zyxf .
Contoh
1. 0xzyzxy
2. 0siny
xexy
3. 025222 zyx
a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah
Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk
0),,( zyxf
Dengan menggunakan diferensial total
Andaikan 0),,( zyxfW maka )0(),,( dzyxdf
0),,(),,(),,(dz
z
zyxFdy
y
zyxFdx
x
zyxF
Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 62
0),,(),,(),,(
dx
dz
z
zyxF
dx
dy
y
zyxF
x
zyxF
Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka 0dx
dy. Dan karena
fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x dinyatakan dengan
x
z, sehingga:
0),,(),,(
x
z
z
zyxF
x
zyxF
x
zyxF
x
z
z
zyxF ),,(),,(
z
zyxFx
zyxF
x
z
),,(
),,(
Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan z
ydiperoleh
0),,(),,(
0z
zyxF
z
y
y
zyxF
z
zyxF
z
y
z
zyxF ),,(),,(
y
zyxFx
zyxF
x
y
),,(
),,(
Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan y
xdiperoleh
00),,(),,(
y
zyxF
y
x
x
zyxF
y
zyxF
y
x
x
zyxF ),,(),,(
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 63
x
zyxF
y
zyxF
y
x
),,(
),,(
Sehingga turunan pertama fungsi implisit 0),,( zyxf adalah y
x
z
x
x
z
y
zdan
x
y
z
y
Contoh
1. Tentukan y
xdari 0xzyzxy
Jawab
Karena 0),,( xzyzxyzyxf
Maka zyx
yyxf ),,( dan zx
y
yyxf ),,(, sehingga menurut
definisi turunan fungsi implisit 2 peubah
x
zyxF
y
zyxF
y
x
),,(
),,(
zy
zx
2. Tentukan z
x dari 0sin
x
yzexyz
Jawab
Karena 0sin),,(x
yzezyxf xyz
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 64
Maka yy
xzeyz
x
yyxf xyz 1cos)(),,(
dan
y
xexy
z
yyxf xyz sin)(),,(
, sehingga menurut definisi turunan
fungsi implisit 3 peubah
x
zyxFz
zyxF
z
x
),,(
),,(
y
xexy
y
x
y
zeyz
xyz
xyz
sin)(
cos)(
3. Tentukan y
z dari 025222 zyx
Jawab
Karena 025),,( 222 zyxzyxf
Maka zz
yyxf2
),,( dan y
y
yyxf2
),,(, sehingga menurut definisi
turunan fungsi implisit 3 peubah
z
zyxF
y
zyxF
y
z
),,(
),,(
z
y
2
2
z
y
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 65
b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubah
Bentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
Atau
0),,,(0),,,( vuyxGdanvuyxF
Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis
dengan v dan 0),,,(0),,,( vuyxGsertavuyxF tidak dapat berdiri
sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan v
uatau
u
v dan
tidak dapat pula ditentukan x
yatau
x
y
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
1.0
02
2222
2
vuyxyx
uvyx
atau
002 22222 vuyxyxdanuvyx
2.02
02
2
2
yxyvu
xyxvu
atau
0202 22 yxyvudanxyxvu
3. 0
03222
yxuv
yxvu
atau
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 66
003222 yxuvdanyxvu
Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan
metode eliminasi.
Bentuk umum 0),,,(0),,,( vuyxGdanvuyxF , u,v variabel sejenis, x,y
variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan u
vdan
v
u
x
y
y
x,,, .
Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah
x
vdan
y
v
y
u
x
u
u
y
v
y
v
x
u
x,,,,,,,
Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah
menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan
yang diperoleh gunakan metode eliminasi..
Contoh:
1. Tentukan u
xdan
x
u dari
Jawab
Karena akan ditentukan x
u maka
y
x
x
y
u
v
v
u,,, tidak boleh dilakukan
002 22222 vuyxyxdanuvyx
dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat
0221x
uv
x
vu
x
yy
x
x
02201x
uv
x
vu atau 122
x
uv
x
vu
dan
- 02222x
vv
x
uu
x
yy
x
xy
x
yx
x
xx
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 67
atau xyx
vv
x
uu 222
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi x
vdidapat
122x
uv
x
vu (v)
xyx
vv
x
uu 222 (u)
didapat
vx
uv
x
vuv 222
uxuyx
vuv
x
uu 222 2
atau
)(2
)2(22 uv
xyuv
x
u
= )(2
)2(22 vu
xyuv
Karena akan ditentukan u
x maka
x
y
v
u
u
v
y
x,,, tidak boleh dilakukan
002 22222 vuyxyxdanuvyx
dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat
0221u
uv
u
vu
u
yy
u
x
022 vu
yy
u
x atau v
u
yy
u
x22
dan
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 68
00222u
uu
u
yy
u
xy
u
yx
u
xx atau
uu
yxy
u
xyx 2)2()2(
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh
1 vu
yy
u
x22 ................................... . (2y-x)
uu
yxy
u
xyx 2)2()2(
Didapat
)2(2)2(2)2( xyvu
yxyy
u
xxy
)2(22)2(2)2( yuu
yyxy
u
xyyx
)2(2)2(2)2)(2()2( yuxyvu
xyyxxy
Diperoleh
)24()2(
4242yxyxy
uyvxvy
u
x
)242(
4242yxyxy
uyvxvy
Berdasarkan jawaban di atas, jelaslah bahwa untuk fungsi implisit 4
peubah tidak berlaku hubungan
u
xx
u 1 atau
x
uu
x 1
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 69
2. Tentukan y
vdan
y
u dari fungsi
0202 22 yxyvudanxyxvu
Karena akan ditentukan y
u maka
y
x
x
y
u
v
v
u,,, tidak boleh dilakukan
Selanjutnya dengan menurunkan fungsi
0202 22 yxyvudanxyxvu terhadap variabel y
didapat
022y
xyx
y
xx
y
v
y
u
002 xy
v
y
u atau x
y
v
y
u2
dan
022y
yy
x
yyx
y
v
y
u
02)0(2 yxy
v
y
u atau yx
y
v
y
u22
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi y
vdidapat
xy
v
y
u2 (2)
yxy
v
y
u22 (1)
didapat
xy
v
y
u224
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 70
yxy
v
y
u22
5 xyy
u2 atau xy
y
u2
5
1
Karena akan ditentukan y
v maka
y
x
x
y
u
v
v
u,,, tidak boleh dilakukan
Selanjutnya dengan menurunkan fungsi
0202 22 yxyvudanxyxvu terhadap variabel y
didapat
022y
xyx
y
xx
y
v
y
u
002 xy
v
y
u atau x
y
v
y
u2
dan
022y
yy
x
yyx
y
v
y
u)
02)0(2 yxy
v
y
u atau yx
y
v
y
u22
Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi y
udidapat
xy
v
y
u2 (1)
yxy
v
y
u22 (2)
didapat
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 71
xy
v
y
u2
yxy
v
y
u4242
yxy
v435 atau yx
y
v43
5
1
Soal-soal
1. Ditentukan fungsi 003222 yxuvdanyxvu
Tentukan:
a. x
vdan
y
u
x
v
x
u,,,
b. u
xdan
v
y
v
x
u
x,,,
2. Ditentukan 0202 22 yxyvudanxyxvu
Tentukan:
a. x
vdan
x
u
b. v
xdan
u
x
3. Jika 002 22222 vuyxyxdanuvyx
Tentukan
a. y
vdan
y
u
b. v
xdan
u
x
c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 72
Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:
0),,,,,(
0),,,,,(
0),,,,,(
zyxwvuH
zyxwvuG
zyxwvuF
u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya
v
w
u
w
w
v
u
v
w
u
v
u,,,,,
x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya
y
z
x
z
z
x
y
x
z
y
x
y,,,,,
Contoh fungsi 6 peubah:
333
222
zyxw
zyxv
zyxu
Atau
0
0
0
333
222
zyxw
zyxv
zyxu
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. Tentukan u
x dari
0
0
0
333
222
zyxw
zyxv
zyxu
Jawab
Persamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh
01u
z
u
y
u
x ............................(1)
02220u
zz
u
yy
u
xx .......................(2)
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 73
03330 222
u
zz
u
yy
u
xx ...........................(3)
Karena akan ditentukan u
x maka eliminasikan
u
zdan
u
y
dari persamaan (1), (2) dan (3)
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi u
ydiperoleh:
01u
z
u
y
u
x (2y) 02222
u
zy
u
yy
u
xyy
0222u
zz
u
yy
u
xx (1) 0222
u
zz
u
yy
u
xx
yu
zyz
u
xyx 2)22()22(
........(4)
Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi u
ydiperoleh:
01u
z
u
y
u
x (3y 2 )
03333 2222 yu
yy
u
xyy
03330 222
u
zz
u
yy
u
xx (1)
03330 222
u
zz
u
yy
u
xx
22222 3)33()33( yu
zyz
u
xyx .(5)
Selanjutnya eliminasi u
z dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
yu
zyz
u
xyx 2)22()22( )(3 zy
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 74
22222 3)33()33( yu
zyz
u
xyx (2)
atau
)(6)33)(22())((6 yzyu
zyzyz
u
xyzyx
22222 6)33(2)33(2 yu
zyz
u
xyx
222 6)(6)33(2))((6 yyzyu
xyxyzyx
Sehingga:
)33(2))((6
)6()(622
2
yxyzyx
yyzy
u
x
))(( zxyx
yz
2. Tentukan w
z dari
0
0
0
333
222
zyxw
zyxv
zyxu
Jawab
Persamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh
00w
z
w
y
w
x ............................(1)
02220w
zz
x
yy
w
xx ...................(2)
03331 222
w
zz
w
yy
w
xx ................(3)
Karena akan ditentukan w
z maka eliminasikan
w
ydan
w
x
dari persamaan (1), (2) dan (3)
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 75
Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi w
xdiperoleh:
00w
z
w
y
w
x 0222
w
zx
w
yy
w
xx
02220w
zz
x
yy
w
xx ....... (1) 0222
w
zz
x
yy
w
xx
0)22()22(w
zxz
w
yxy
......(4)
Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi w
xdiperoleh:
00w
z
w
y
w
x ....................... (3x2 )
0333 222
w
zx
w
yx
w
xx
03331 222
w
zz
w
yy
w
xx ......... (1)
1333 222
w
zz
w
yy
w
xx
1)33()33( 2222
w
zxz
w
yxy ...(5)
Selanjutnya eliminasi w
y dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:
0)22()22(w
zxz
w
yxy ........... )(3 xy
1)33()33( 2222
w
zxz
w
yxy ......(1)
atau
0)22((3))22)((3w
zxzxy
w
yxyxy
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 76
1)33()33( 2222
w
zxz
w
yxy
1)33()22)((3 22
w
zxzxzxy
Sehingga:
}33()22)((3{
122 xzxzxyw
z
))((3
1
zyzx
BAB VI
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 77
INTEGRAL LIPAT
A. INTEGRAL R ANGKAP 2
1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas
untuk fungsi banyak peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah
dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat satu,
fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang
tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah ,
pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup
di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga integral lipat
tiga.
Gambar 1.1 :Daerah R pada Persegi Panjang
Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar
sumbu-sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : ,bxa dxc }.
Bentuk suatu partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan
x
b
a
d c
z
y
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 78
y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n
buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan kx dan ky adalah
panjang sisi-sisi kR dan kA = kx . ky adalah luas. Pada kR ambil
sebuah titik misal ),( kk yx dan bentuk penjumlahan Riemann
k
n
k
kk Ayxf ),(1
.
Definisi :
Integral lipat dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi
panjang tertutup R, jika :
0limIpI
k
n
k
kk Ayxf ),(1
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut
R
dAyxf ),( , yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan
oleh
R
dAyxf ),( = 0
limIpI
k
n
k
kk Ayxf ),(1
Sifat-sifat Integral Lipat Dua :
1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:
R R
dAyxfkdAyxkf ),(),(
R R R
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
2. R R R
dAyxfdAyxfdAyxf
1 2
),(),(),(
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R,
maka :
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 79
R R
dAyxgdAyxf ),(),(
Perhitungan Integral Lipat dua
Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R,
maka integral lipat dua merupakan luas R.
R R
dAyxfkdAyxkf ),(),(
= R
dAk 1
= k.A(R)
Contoh Soal
1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :
f(x,y) =
32,30,3
21,30,2
10,30,1
yx
yx
yx
hitung R
dAyxf ),( dengan R = { }30,30:),( yxyx
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = { }10,30:),( yxyx
R2 = { }21,30:),( yxyx
R3 = { }32,30:),( yxyx ,
lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga :
R
dAyxf ),(
1
),(R
dAyxf +
2
),(R
dAyxf +
3
),(R
dAyxf
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
2. Hampiri R
dAyxf ),( dengan 16
864),(
2yxyxf ,
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 80
R = { }80,40:),( yxyx . Kerjakan dengan menghitung
penjumlahan Riemann!
Jawab :
Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur
sangkar yang sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-
titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu
adalah :
),( 11 yx = (1,1), f ),( 11 yx = 16
17
),( 22 yx = (1,3), f ),( 22 yx = 16
65
),( 33 yx = (1,5), f ),( 33 yx = 16
81
),( 44 yx = (1,7), f ),( 44 yx = 16
105
),( 55 yx = (3,1), f ),( 55 yx = 16
41
),( 66 yx = (3,3), f ),( 66 yx = 16
49
),( 77 yx = (3,5), f ),( 77 yx = 16
65
),( 88 yx = (3,7), f ),( 88 yx = 16
89
8
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
z
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 81
Gambar 1.2 : Permukaan benda pejal berbentuk Bujur Sangkar
Jadi karena kA = 4, kA = kx ky = 2.2 = 4
R
dAyxf ),(k
k
kk Ayxf ),(8
1
= ),(48
1k
kkyxf
= 16
89654941105816557(4
= 1383
2
Integral Lipat dua sebagai volume
Jika 0),( yxf pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat
dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1
V = R
dAyxf ),( , R = { },:),( dycbxayx .
x
y
a
a b
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 82
Gambar 1.2 : Benda pejal
Iris :
Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz
(gb. 2a)
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan y
LA(y)
y
x
y
z
y Gambar. 1.3 : irisan benda pejal
Gambar. 1.4: Kepingan Sejajar
bidang xy
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 83
Volume v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh v y ,
diintegralkan ,
V =
d
c
dyyA )( , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
A(y) =
b
a
dxyxf ),( , sehingga : V =
d
c
b
a
dydxyxf ]),([
Dari (1) dan (2) :
R
dAyxf ),( =
d
c
b
a
dydxyxf ]),([
begitu juga R
dAyxf ),( =
b
a
d
c
dxdyyxf ]),([
Perhitungan Integral Lipat
Permasalahan :
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 84
Hitung :
a. 3
0
2
1
])32([ dydxyx
b. 2
1
3
0
])32([ dxdyyx
c. 8
0
2
4
0
)864(16
1dxdyyx
Perhitungan Volume
Contoh soal :
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 x2 y
dan dibawah persegi panjang R = { }20,10:),( yxyx
Jawab :
Jawab :
V = R
dAyxf ),(
1
2
(1,2)
(0,0,4)
(1,0,3)
(1,2,1)
(0,2,2)
y
z
x
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 85
= R
dAyx )4( 2 = dxdyyx )4(
2
0
1
0
2
= dyyxxx ]]3
14[[ 10
3
2
0
= dyy)3
14(
2
0
= 3
16 satuan volum
Kerjakan permasalahan berikut, diskusikan dengan anggota
kelompokmu!
1. Andai R = { }20,41:),( yxyx .
, 31 x , 20 y , 43 x , 20 y
Hitung R
dAyxf ),( !
2. Andai R = 20:),{( xyx , 20 y }
:),{(1 yxR 20 x , 10 y }
:),{(2 yxR 20 x , 21 y }
Jika R
dAyxf ),( = 3, R
dAyxg ),( =5,
1
),(R
dAyxg = 2, tentukan :
a. R
dAyxgyxf )],(),(3[
b.
1 1
3),(2R R
dAdAyxg
c.
2
),(R
dAyxg
3
2),( yxf
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 86
3. Hitung :
a. dydxyx )(4
1
2
1
2
b. dxdyyx )sin(0
1
0
4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang
z = x+y+1 diatas R = { }31,10:),( yxyx !
Kerjakan soal berikut dengan benar!
1. Hitung R
dAyx )( 22 jika R = { }20,11:),( yxyx !
2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z
= 2x + 3y atas R = { }40,21:),( yxyx !
2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang
(a) (b)
z = f(x,y)
Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 87
Gambar 2.1 : (a) Himpunan S , (b) Himpunan S dikelilingi Persegi panjang ,
(c) Himpunan S dikelilingi Persegi panjang dan membentuk ruang
Himpunan S tertutup dan terbatas di bidang (a) keliling S oleh suatu
persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (b). andai
f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S
(c), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.
S
dA