OF3 - 1
Kinematika Translacija Rotacija
Radijus vektor položaja , brzina i akceleracija dani
su relacijama:
Za
gdje je početna brzina, a početni položaj.
Prijeđeni kut , kutna brzina i kutna akceleracija
dani su relacijama:
Za
gdje je početna kutna brzina, a početni kut.
Dinamika Kruto tijelo definira se kao tijelo kod kojeg se međusobna udaljenost sastavnih čestica ne može mijenjati.
Svako gibanje krutog tijela možemo prikazati kao superpoziciju translatornog i rotacionog gibanja. Translatorno
gibanje jest gibanje pri kojem svaka čestica tijela ima istu trenutnu brzinu (putanje svih čestica međusobno su
paralelne i kongruentne1 krivulje) pa je promjena položaja dana s tri koordinate (x,y,z). Rotaciono gibanje jest
gibanje pri kojem svaka čestica opisuje kružnicu oko osi rotacije (radijus-vektori od osi do svake čestice prekriju
u istom vremenu jednake kutove) pa je rotaciono gibanje određeno s tri kutna pomaka prema osima x, y, z.
Ukupni impuls sustava Ukupna sila na česticu Moment impulsa Moment sile
Translacija Rotacija krutog tijela oko čvrste osi
(impuls čestice) (moment impulsa)
(1. Newtonov zakon) (1. Nz za rotaciju)
(2. Newtonov zakon) (2. Nz za rotaciju)
(3. Newtonov zakon) (3. Nz za rotaciju)
(rad) (rad)
(snaga) (snaga)
(kinetička energija) (kinetička energija)
Korisnost Elastična potencijalna energija Gravitacijska potencijalna energija
1 Krivulje su kongruentne ako se jedna može dobiti rotacijom za neki fiksni kut ili translacijom za neki fiksni vektor.
OF3 - 2
Moment tromosti Moment tromosti Teorem o paralelnim osima Centar mase sustava od N čestica
Momenti tromosti za vrtnju tijela jednolike gustode oko osi koja prolazi centrom mase
Ku
gla radiju
sa R ro
tira oko
sred
išnje o
si
Sfera radiju
sa R ro
tira oko
sred
išnje o
si
Valjak
(disk)
radiju
sa R
ro
tira o
ko
uzd
užn
e središn
je osi
Šup
lji valjak
un
utarn
jeg rad
ijusa
R1 ,
a
vanjsko
g R2 ro
tira oko
središn
je osi
Tanki
šup
lji valjak
(prsten
) ro
tira o
ko
uzd
užn
e središn
je osi
Momenti tromosti za vrtnju tijela jednolike gustode oko osi koja prolazi centrom mase
Tanki štap
du
ljine L ro
tira oko
središn
je
osi o
kom
ite na ravn
inu
štapa
Valjak
(disk)
radiju
sa R
ro
tira o
ko
središn
je osi ko
jom
pro
lazi pro
mjer
Tanka p
loča d
uljin
e a, širine
b o
ko o
si kro
z središte o
kom
ite na n
jenu
ravnin
u
Tanki
šup
lji valjak
(prsten
) ro
tira o
ko
središn
je osi ko
jom
pro
lazi pro
mjer
Zakoni očuvanja za izolirani konzervativni fizikalni sustav Sustav, koji ne izmjenjuje energiju s okolinom, nazivamo izolirani sustav. Ako je izoliran, nema utjecaja vanjskih
sila . Sile, čiji rad ne zavisi o putu ved samo o početnoj i krajnjoj točki (položaju), nazivamo
konzervativnim .
Očuvanje impulsa sustava Očuvanje momenta impulsa Očuvanje energije Gibanje centra mase
Sudari
Sudar čestica, koje se gibaju po spojnici svojih centara, naziva se centralni sudar. Pretpostavka: masa tijela se
ne mijenja. Za elastični sudar vrijede zakoni očuvanja količine gibanja i kinetičke energije. Ako ukupna kinetička
energija dviju čestica nije sačuvana, nego se dio kinetičke energije pretvori u neki drugi oblik energije, govorimo
o neelastičnom sudaru. Ako tijela nekon sudara nastave gibanje istom brzinom, govorimo o savršenom
neelastičnom sudaru.
Elastični sudar dviju čestica Savršeni neelastični sudar dviju čestica
OF3 - 3
Primjeri sila
je sila kojom tijelo 2 djeluje na tijelo 1, a je vektor položaja usmjeren od tijela 2 prema tijelu 1.
Gravitacijska sila Električna sila Centripetalna sila
Elastična sila Lorentzova sila Coriolisova sila
Sila trenja Sila uzgona Sila otpora fluida
Titranje Titranje je gibanje tijela amo-tamo oko ravnotežnog položaja. Pravilno titranje (sinusno) zovemo harmonijsko
titranje. Jednostavni linearni harmonički oscilator predstavlja tijelo mase m koje se giba pod djelovanjem
elastične sile (k = konstanta elastičnosti, = pomak iz ravnotežnog položaja). Jednostavni torzioni
harmonički oscilator predstavlja uvijanje žice, na koju je obješeno tijelo (momenta tromosti ) zakačeno u
svom težištu, a uvija se za male kutove pod djelovanjem momenta sile tijela ( = torziona
konstanta, = kut uvijanja). Matematičko njihalo predstavlja točkastu masu m obješenu na donjem kraju
nerastezljive niti zanemarive mase, duljine ; koja oscilira za male kutove . Fizikalno njihalo predstavljeno je
krutim tijelom koje se može njihati (opisuje male kutove) u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim težištem. Jednostavno harmonijsko gibanje opisano je jednadžbom
gdje je x(t)[m] elongacija (pomak u odnosu na ravnotežni položaj), A[m] amplituda (maksimalna elongacja),
kutna (angularna) frekvencija, a fazni kut (pomak). Izraz nazivamo faza titranja.
Period T[s] je vrijeme potrebno za jedan puni titraj. Frekvencija f[Hz=1/s] je broj titraja u sekundi.
Veličine prikazane u redcima
Jednostavni harmonički oscilator Njihalo
linearni torzioni (kutni) matematičko fizikalno
Uzrok gibanja:
Diferencijalna jednadžba gibanja
Kutna frekvencija:
Jednadžba gibanja:
Skica:
Faza Frekvencija Srednja snaga Mehanička energija
OF3 - 4
Titranje Veličine u redcima Prigušeni harmonički oscilator Prisilni harmonički oscilator
Sile na tijelo:
Diferencijalna
jednadžba gibanja:
Jednadžba gibanja:
Amplituda:
Početna angularna
(kutna) frekvencija:
Kutna frekvencija:
Faktor prigušenja:
Fazni kut (pomak):
Logaritamski dekrement titranja Faktor dobrote (što vedi, to manji gubitak energije)
Posebni slučajevi prigušenog titranja
maleno prigušenje kritično prigušenje aperiodično prigušenje zanemarivo prigušenje
Posebni slučajevi prisilnog titranja
Valovi Val = bilo koji poremedaj iz ravnoteže koji se širi kroz prostor. Valovi koji se šire kroz elastična sredstva su
mehanički valovi. Transverzalni val nastaje ako čestice koje prenose val titraju okomito na smjer širenja vala
(val na užetu). Longitudinalni val nastaje ako čestice titraju oko položaja ravnoteže na pravcu kojim se širi val
(val na opruzi, zvučni valovi). Kroz prostor putuje uzorak vala (poremedaja), a čestice sredstva ne putuju kroz
prostor ved se gibaju oko svog ravnotežnog položaja. Period (T) jest vrijeme za koje jedan element sredstva
napravi puni titraj. Frekvencija vala je broj oscilacija, koje učini element sredstva, u jednoj sekundi, dok kroz
njega prolazi val. Faza vala konstantna je za pojedini uzorak vala (poremedaj). Valna duljina
udaljenost je najbližih točaka koje titraju istom fazom.
Elongacija čestice sredstva Brzina čestice Akceleracija čestice
Brzina vala Valna jednadžba Valni broj Kutna frekvencija Valna duljina
Brzina transverzalnog vala na žici Prosječna snaga vala na žici
OF3 - 5
Valovi Superpozicija valova konstantne fazne razlike
Uvjet za konstruktivnu interferenciju Uvjet za destruktivnu interferenciju
FAZOR - vektor čiji je iznos jednak amplitudi vala, a rotira oko ishodišta kutnom brzinom
Za 2. fazor kasni (ide iza 1. fazora)
Za 2. fazor rani (ide ispred 1. fazora)
Superpozicija dva vala svodi se na zbroj 2 fazora
Stojni valovi Nastaju superpozicijom valova i (drugi obično dobiven refleksijom prvog).
Uzorak rezultantnog vala se ne giba (minimumi i maksimumi se ne mijenjaju). Mjesta na kojima se nit ne giba
nazivamo čvorovi; a mjesta, za koja je amplituda rezultatntnog vala najveda, trbusi. Stojni valovi, koji imaju
jasne čvorove i trbuhe, nastaju pri rezonantnim frekvencijama koje su cjelobrojni višekratnici najniže
rezonantne frekvencije. Najniža rezonantna frekvencija naziva se osnovna frekvencija, a ostale zovemo viši
harmonici .
Jednadžba stojnog vala
Položaji čvorova Oba kraja učvršdena Jedan kraj učvršden Oba kraja slobodna
Zvučni valovi Zvučni valovi jesu longitudinalni mehanički valovi koji mogu putovati kroz neko sredstvo (krutinu, tekudinu ili
plin). Brzina vala u zraku pri temperaturi iznosi .
Longitudinalni pomak elementa sredstva Promjena tlaka
Brzina širenja Volumni modul elastičnosti plina Udarna frekvencija
Intenzitet Nivo zvuka u decibelima Kut Machova stošca
Dopplerov efekt
frekvencija izvora; detektirana frekvencija
brzina zvuka u mediju
brzina izvora u odnosu na medij
brzina detektora u odnosu na medij
Predznaci se biraju tako da
teži povedanju ako se radi o
približavanju, te smanjivanju
ako se radi o udaljavanju.
Interferencija dvaju valova u fazi, iste valne duljine
Konstruktivna interferencija:
Destruktivna interferencija:
OF3 - 6
Elektromagnetske oscilacije Jakost struje [C/s=A] Otpor vodiča *V/A= ] Ovisnost otpornosti o T Otpornost i vodljivost
Paralelni spoj otpornika Serijski spoj otpornika Paralelni spoj kondenzatora Serijski spoj kondenzatora
Kapacitet [C/V=F] Kapaciet pločastog kondenzatora Elektromotorna sila [V]
Kirchhoffovi zakoni
Suma struja u čvoru = 02
Suma napona u svakoj zatvorenoj petlji = 03
Napon na elementu4
Energija električnog polja kondenzatora Energija magnetskog polja zavojnice
Veza elektromagnetskih oscilacija i oscilacija tijela na opruzi
LC titrajni krug RLC titrajni krug
Prisilne oscilacije
Kada strujni krug spojimo na vanjsku oscilirajudu elektromotornu silu , tada naboj, struja i razlika
potencijala prisilno osciliraju s kutnom frekvencijom , a amplituda ovisi o tome koliko je blizu Fazu izmjenične
struje pišemo tradicionalno s minus predznakom .
Element u krugu izmjenične struje
Otpornik Kondenzator Zavojnica
R
2 Za struje koje ulaze u čvor pišemo pozitivan predznak, a za one koje izlaze negativan.
3 Prvi pol, na koji nailazimo pri obilasku, određuje predznak elektromotorne sile.
4 Pišemo pozitivnu vrijednost struje ako ona teče u smjeru obilaska petlje, a u suprotnom negativnu.
OF3 - 7
Elektromagnetske oscilacije Serijski RLC spoj u krugu izmjenične struje
Odnosi struje i napona Prosječna disipirana snaga
krug je više induktivan, nego kapacitivan; ; rotira iza
krug je u rezonanciji; ; i su u fazi Rezonantna frekvencija
krug je više kapacitivan, nego induktivan; ; rotira iza
Serijski RLC spoj u krugu izmjenične struje prikazan pomodu fazora
Ii
td
td
Em E
VR
td
VCvC
vR
vLVL
VR
tdVL-VC
Em
Elementi R,L,C u krugu izmjenične struje (prikaz pomodu kompleksnih brojeva)
veličina\element otpornik zavojnica kondenzator Y (kompleksna propusnost, admitancija)
Z=1/Y (kompleksni otpor, impendancija)
Za računanje efektive impendancije
vrijede pravila kao za otpor otpornika,
a za efektivnu admitanciju kao za
kapacitet kondenzatora.
Elektromagnetski valovi Elektromagnetski valovi šire se sinusoidalnim titranjem električnog i magnetskog polja s istom frekvencijom i u
fazi. . Ako se val širi u smjeru x osi, oscilira u smjeru y osi, a u smjeru z osi.
Maxwellove jednadžbe
Valna jednadžba5 Električno polje Magnetsko polje
Brzina valova Poyntingov vektor [W/m2]6 Intenzitet vala (srednja vrijednost )
Gustoda energije Elekromagnetski stojni valovi
5 Permitivnost vakuuma ; magnetska permeabilnost vakuuma .
6 Energija koja se prenese u jedinici vremena po jedinici površine.
OF3 - 8
Elektromagnetski valovi Potpuna apsorpcija Potpuna refleksija
Polarizacija
Val je linearno polariziran ako mu električno polje titra samo u jednoj ravnini, a prikazujemo ga vertikalnom
dvostrukom strelicom, dok nepolarizirani val s dvjema ukrštenim strelicama, a djelomično polarizirani sa
strelicama različitih duljina. Polarizator propušta komponente u smjeru polarizacije, a okomite apsorbira.
Intenzitet transmitirane polarizirane svjetlosti ( )
Napolarizirana upadna svjelost intenziteta
Polarizirana upadna svjelost čiji
Geometrijska optika Zakon refleksije (odbijanja)7 Snellov zakon loma (refrakcije) Kritični kut8 Brewsterov kut9
Indeks loma Devijacija zraka kroz prizmu10 n prizme za Žarišna udaljenost lede
Povedanje Ravno zrcalo Sferna zrcala Tanke lede Sferni dioptar
Pozitivne, negativne vrijednosti
Realni predmet nalazi se s iste strane zrcala (lede) kao i upadne zrake (upadaju iz predmeta), a virtualni predmet nalazi se sa suprotne strane u odnosu na zrake koje upadaju (prema predmetu) na zrcalo (ledu). Ako se sjecište izlaznih zraka nalazi u području kojim one prolaze, nastaje realna slika, a ako se nalazi s druge strane zrcala (lede) nastaje virtualna slika (sijeku se produžetci). Realni predmet i realna slika poprimaju pozitivne udaljenosti, a virtualni predmet i virtualna slika poprimaju negativne udaljenosti. Visina uspravnih predmeta (slika) pozitivna je, a obrnutih negativna. Radijus zakrivljenosti pozitivan je ako se centar zakrivljenosti nalazi s iste strane zrcala (dioptra) kao i izlazne zrake; a ako je sa suprotne strane, radijus zakrivljenosti je negativan. Žarišna udaljenost pozitivna je za konvergentne lede (sakupljaju zrake), a negativna za divergentne lede (raspršuju zrake).
Karakteristične zrake konkavnog zrcala Karakteristične zrake konveksnog zrcala
7 Upadna i reflektirana zraka zatvaraju jednak kut s normalom na površinu koja leži u istoj ravnini kao i zrake.
8 Kut upada pod kojim se lomljena zraka pojavljuje kao tangenta na površinu, a iznad toga dolazi do totalne interne refleksije.
9 Kut pri kojem je svjetlost totalno linearno polarizirana jer reflektirana i lomljena zraka čine pravi kut.
10 Zraka upada pod kutom na prizmu vršnog kuta , lomi se pod kutom , upada na drugu graničnu plohu plohu pod kutom te se lomi pod kutom . Izlazna zraka pomaknuta je za kut devijacije u odnosu na upadnu zraku.
OF3 - 9
Geometrijska optika Karakteristične zrake konvergentne lede Karakteristične zrake divergentne lede
F F
F F
1
Valna optika Omjer razlike faza i razlike hoda Razlika hoda Konstruktivna interferencija Destruktivna interferencija
Interferencija na dvije pukotine (L>>d)11
Interferencija na tankim filmovima12
Newtonovi kolobari13
Zračni klin14
Difrakcija na pukotini15
Difrakcija na optičkoj rešetci16
11
Valovi i prevaljuju putove različite za i interferiraju na zastoru udaljenome za L od
izvora razmaknuti za d te stvaraju uzorak intenziteta I udaljen za y od centralne svijetle pruge zatvarajudi kut sa simetralom između izvora. Za m=0 nastaje centralni maksimum ili minimum 1. reda, za m=1 maksimum 1. reda, odnosno minimum 2. itd.
12 Zraka 1 reflektira se na prvoj površini, a zraka 2 lomi i putuje kroz film te se reflektira na drugoj graničnoj površini, ide kroz film, lomi se na prvoj granici i u početnom mediju zbraja sa zrakom 2. Interferencija ovisi o razlici hoda zraka. Ako se zraka
reflektira na optički gušdem sredstvu, dolazi do skoka u fazi za , odnosno pomaka u hodu za /2; dok pri refleksiji na
optički rjeđem sredstvu, ne dolazi do pomaka u fazi. Sve veličine izražavamo u valnim duljinama ( ili n) koje koristimo u uvjetima konstruktivne, odnosno destruktivne interferencije.
13 Svijetle i tamne pruge u obliku koncentričnih kružnica polumjera r koje nastaju interferencijom svjetlosnih valova nastalih refleksijom i transmisijom na sustavu od plankonveksne lede radijusa zakrivljenosti R i planparalelne ploče. Udaljenost točaka refleksije iznosi d.
14 Zračni je klin optički uređaj koji čine dvije planparalelne ploče razdvojene na jednom kraju, a zatvaraju mali kut . (m+1). tamna pruga udaljena je od vrha klina za , a dvije tamne pruge udaljene su međusobno za s.
15 Duljina pukotine a puno je veda od njene širine, a zastor se nalazi na udaljenosti D.
16 Red spektra označava red maksimuma. Dobivamo centralni maksimum za m=0, a maksimume prvog reda za m=1 i m=-1…. Konstanta optičke rešetke d lako se izračunamo dijeledi duljinu sa brojem zareza na toj duljini.
Top Related