TUGAS KOMPUTASI
SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR
KELOMPOK II
TONI PAHRI SIRAIT (100405014)
VALENTINOH CUACA (100405015)
AGUS MANGIRING (100405029)
YUSTINA BR SILITONGA (100405059)
SARI LIZA AZURA NST (100405070)
WESTRYAN TINDAON (100405073)
SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR
Dalam menentukan akar persamaan non linear dapat dilkakukan dengan beberapa
metode, yaitu:
1. Metode Substitusi Berurut
2. Metode Newton-Raphson
3. Metode Secant
Metode Substitusi berurut
Syarat= F(x)= 0
X=g(x)
Contoh=
X12+X1 X2=10
X2 + 3X1 X22 = 57
Nilai tebakan awal X1=1,5 dan X2=3,5
Hitung nilai X1 dan X2 yang sesungguhnya!
Jawab:
G(X1)= X1= 10 12
G(X2) = X2 = 57 2
31
Iterasi 1
X1= 10 1,5. 3,5 = 2,17945
X2= 573,5
3.2,17945 = 2,86051
Iterasi 2
X1 = 10 2,17945.2,86051 = 1,94053
X2 = 572,86051
3.1,9053 = 3,04955
Iterasi 3
X1 = 10 1,94053.3,04955 = 2,02046
X2 = 573,04955
3.2,02046 = 2,98430
Iterasi 4
X1 = 10 2,02046.2,98430 = 1,99303
X2 = 572,98430
3.1,99303 = 3,00570
Iterasi 5
X1 = 10 1,99303.3,00570 = 2,00238
X2 = 571,99303.3,00570
3.3,00570 = 2,99805
Iterasi 6
X1 = 10 2,00238.2,99805 = 1,99918
X2 = 572,99805
3.2.0238 = 3,00067
Iterasi 7
X1 = 10 1,99918.3.00067 = 2,00028
X2 = 573,0067
3.1,99918 = 2,99977
Iterasi 8
X1 = 10 2,00028.2,99977 = 1,99990
X2 = 572,99977
3. 1,9990 = 3,0008
Iterasi 9
X1 = 10 1,99990.3,0008 = 2,0003
X2 = 573,0008
3. 1,99990 = 2,99997
Iterasi 10
X1 = 10 2,003.2.99997 = 1.99999
X2 = 572,99997
3. 2,0003 = 3,00001
Iterasi 11
X1 = 10 1,99999.3,00001 = 2,00000
X2 = 573,00001
3. 1,99999 = 3,00000
Jadi, nilai X1 dan X2 yang sesungguhnya X1=2 dan X2=3
METODE NEWTON-RAPHSON
Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode
Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson,
merupakan metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f
diasumsikan mempunyai turunan kontinu f. Metode Newton sering konvergen
dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang
diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini
dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan
mengatasi kegagalan konvergensi.
Diketahui fungsi (x) dan turunannya '(x), kita memulai dengan tebakan
pertama, x0. Hampiran yang lebih baik X1 adalah
Gagasan metode ini adalah sebagai berikut:
kita memulai dengan tebakan awal yang cukup dekat terhadap akar yang
sebenarnya, kemudian fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya (yang
dapat dihitung dengan alat-alat kalkulus, dan kita dapat menghitung perpotongan
garis ini dengan sumbu-x (yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan
aljabar dasar). Perpotongan dengan sumbu-x ini biasanya merupakan hampiran
yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal dan metode ini dapat
diiterasi.
Misalkan : [a, b] R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada
selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk menghampiri
akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki hampiran mutakhir
Xn. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih baik, Xn+1 dengan merujuk
pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi turunan pada suatu titik bahwa itu
adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:
Di sini, f ' melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita
mendapatkan
Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang Xn. Metode ini biasanya akan
mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar
tersebut, dan bahwa '(Xn) 0.
Algoritma Metode Newton Raphson
1. Definisikan fungsi F(x) dan F(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal Xn
4. Hitung F(Xn) dan F1(Xn)
5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(Xi)| > e
Hitung F(Xi +1)dan F(Xi +1)
6. Akar persamaan adalah nilai Xi +1 yang terakhir diperoleh.
Contoh Penyelesaian Metode Newton Raphson
Selesaikan persamaan x - e-x
= 0 dengan titik pendekatan awal X0 =0
f(x) = x - e-x f(x)= 1 + e-x
f (X0) = 0 -e-0
= -1
f(X0) = 1 + e-0
= 2
X1 = X0 ()
1() = 0 -
1
2 = 0,5
f(X1) = -0,106631 dan f(X1) = 1,60653
X2 = X1 (1)
1(1) = 0,5 -
0,106531
1,60653 = 0,566311
f(X2) = -0,00130451 dan f(X2) = 1,56762
X3 = X2 (2)
1(2) = 0,5 -
0,00130451
1,56762 = 0,567143
f(X3) = -1,96.10-7, x = 0,567143.
Permasalahan Metode Newton Raphson
1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada
titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F(x) = 0
sehingga nilai penyebut dari ()
()= nol, secara grafis dapat dilihat sebagai
berikut:
Bila Titik Pendekatan Ada Pada Titik Puncak Maka Titik Selanjutnya Ada
Pada Titik Tak Berhingga
2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan
penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di
antara dua titik stasioner
Penyelesaian Permasalahan Metode Newton Raphson
Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini,
maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan :
1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan
tersebut harus di geser sedikit, Xi = Xi dimana adalah konstanta
yang ditentukan dengan demikian F(Xi ) 0 dan metode newton raphson
tetap dapat berjalan.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya
pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel,
sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
Contoh soal :
Selesaikan persamaan : x . e-x
+ cos(2x) = 0
Jawab :
Bila menggunakan titik pendekatan awal X0 = 0,176281
f(x) = x . e-x
+ cos(2x)
f(x) = (1-x) ex 2 sin (2x)
Sehingga f(Xo) = 1,086282 dan F(Xo) = -0,000015
Grafik y = x.e-x+cos(2x)
Iterasi dengan menggunakan newton raphson:
X yang diperoleh adalah 71365,2
Metode Newton Raphson
Metode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik
awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik
tersebut. Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya
memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode terbuka untuk menentukan
solusi akar dari persamaan non-linier dengan prinsip utama sebagai berikut :
Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis
singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal
Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung
(gradien) kurva dengan sumbu x
Langkah penyelesaian persamaan non linier dengan metode Newton-Raphson:
1. Tentukan nilai awal (x0) bila tidak diketahui pada soal
2. Hitung nilai f(x0) dengan memasukkan nilai x0 (tebakan awal), kemudian
cek konvergensi f(x0)
3. Turunkan fungsi f(x) menjadi f(x)
4. kemudian hitung f(x0) dengan memasukkan nilai x0
5. Lakukan iterasi
6. Hitung nilai taksiran selanjutnya
7. Cari sampai nilai f(xn) = 0
Contoh :
Hitung akar f(x) =ex 5x2
x0 = 0.5
Penyelesaian
Dan diiterasi dengan persamaan :
Dimana digunakan tebakan awal x=0,5 (diketahui dari soal)
Hasil setiap iterasi terdapat pada tabel dibawah ini:
i xi F(xi)
0 0,5 0,3987
1 0,619 -0,0587
2 0,6054 -0,00056
3 0,605267 -0,0000012185
4 0,605267 -0,0000012185
Karena nilai x sudah konvergen dan nilai f(x) sudah sangat kecil di bawah 0, maka
iterasi berakhir dan hampiran akar penyelesaiannya adalah x = 0,605267
METODE SECANT
Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari nilai
akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan
bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan X0 dan X1
merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai X yang
sebenarnya :
Misalkan dengan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil
persamaan dari sifat segitiga sebangun sebagai berikut :
dimana : BD = f(x1)
BA = x1-x0
CD = f(x1)
CE = x1-x2
Dan jika dirubah, rumusnya akan menjadi :
Dari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah Xn+1,( Xn+1) ini
merupakan nilai X yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai X yang
sebenarnya seperti untuk nilai X2 kemudian X3 pada gambar dibawah, semakin
lama nilai Xn+1 akan mendekati titik X yang sebenarnya.
Adapun langkah-langkah perhitungan untuk menyelesaikan suatu sistem
persamaan non linear dengan metode secant adalah:
1. Tentukan tebakan awal: xo dan xi 2. Hitung f(xo) dan f(xi)
3. Hitung x2 = x1 1 (10)
1 (0)
Hitung f(x2)
4. Hitung kesalahan : 2 (21)
2+1
5. Bila kesalahan > (kesalahan yang ditentukan) embali ke langkah 3
x3= x2 2 (21)
2 (1)
Lakukan seperti langkah (4) dan seterusnya sampai didapat kesalahan yang
diinginkan atau ditetapkan.
Contoh:
Selesaikan persamaan f(x) = x3 + x
2 -3x - 3 = 0 dengan metoda Secant.
Penyelesaian :
Iterasi pertama, diambil dua nilai awal x1 = 1 dan x2 = 2 maka :
f(x=1) = -4
f(x=2) = 3
dengan persamaan
x3 = x2 - f x x x
f x f x
( )( )
( ) ( )
2 2 1
2 1
= 2 -
3 2 1
3 4
( )
( )
= 1,57142
iterasi ke-2
x2 = 2 ------ f(x2) = 3
x3 = 1,57142 -------- f(x3) = -1,36449
x4 = 1,57142 -
1 36449 157142 2
1 36449 3
, ( , )
, = 1,70540
Hasil hitungan dengan Metode Secant
iterasi x1 x2 f(x1) f(x2) x3 f(x3)
1 1,0 2,0 -4,0 3,0 1,57142 -1,36449
2 2,0 1,57142 3,0 -1,36449 1,70540 -0,24784
3 1,57142 1,70540 -1,36449 -0,24784 1,73513 0,02920
4 1,70540 1,73513 -0,24784 0,02920 1,73199 -0,000575
5 1,73513 1,73199 0,02920 -0,000575 1,73205 -0,000007
Maka hasilnya x= 1,732
MATLAB memiliki dua routin yang dapat menyelesaikan fungsi pengenolan untuk satu variable.
fzero digunakan untuk persamaan nonlinear umum, sementara root dapat digunakan jika
persamaan nonlinear adalah polinomial.
1. FZERO
Routine pertama yang kita gunakan adalah fzero. fzero menggunakan kombinasi metode
numeris interval bisection dan reguli falsi. Syntax yang digunakan untuk menuliskan
fzero adalah
z = fzero (function,initial guess)
Untuk menggunakan fzero Anda harus terlebih dahulu menulis m-file MATLAB untuk
menghasilkan fungsi yang sedang dievaluasi. Angap suatu fungsi :
f(x) = x2 - 2x 3 = 0.
m-file MATLAB berikut untuk mengevaluasi fungsi ini (m-file dinamankan fcnl.m):
Setelah menghasilkan m-file fncl. m, Anda harus menyediakan tebakan awal untuk
menyelesaikan routin fzero. Perintah berikut memberikan tebakan awal x = 0.
MATL.AB akan memberikan jawabannya:
Untuk tebakan awal x = 2, Anda memasukkan :
dan MATLAB kembalikan memberikan jawaban:
Kita temukan bahwa ada dua solusi untuk masalah yang sama (kita dapat menggunakan
rumus kuadratik untuk memperolehnya). Solusi yang diperoleh tergantung pada tebakan
awal.
2. ROOTS
Karena persamaan yang kami memecahkan adalah persamaan polinomial, kita juga dapat
menggunakan routine MATLAB roots untuk menemukan pengenolan suatu polynomial.
Misal fungsi polinomial :
Kita harus membuat vector koefisien polynomial dalam ordde yang berurutan
Kemudian kita dapat menuliskan perintah seperti berikut:
Maka hasil dari MATLAB:
Contoh 1 Mencari akar persamaan
Diketahui persamaan :
f(x) = x3 2x 5,
akan dicari nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) sama dengan nol.
Penyelesaian:
tulis dalam m-file
function y = f(x)
y = x.^3-2*x-5;
Untuk mendapatkan nol mendekati 2, tuliskan : z = fzero(f,2)
z =
2.0946
Contoh 2 Mencari temperatur untuk suatu harga Cp tertentu (diambil dari Computational
Methods for Process Simulation , Ramirez, Butterworths, 1989)
Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sbb. :
Akan ditentukan temperatur pada saat Cp = 1 kJ/kg.K. Untuk itu, ubahlah persamaan di
atas menjadi :
Penyelesaian :
Tahap 1 : membuat fungsi yang dapat mengevaluasi persamaan (ii)
Apabila fungsi ini diplot (fplot(fungsi,[100 300]) akan diperoleh grafik sbb. :
Untuk mendapatkan harga penol dari fungsi tersebut digunakan fungsi fzero dengan tebakan
awal 100 :
Diperoleh T = 189.7597 K pada saat Cp = 1 kJ/kg.K.
PENYELESAIAN PEMICU
1. Dengan menggunakan substitusi berurut
() pada 100 oC
1. N heksana = 246,2438 kPa = 2,40237 atm
2. N heptana = 106,1751 kPa = 1,047867 atm
3. N oktana = 46,9044 kPa = 0,46291 atm
4. N nonana = 21,0381 kPa = 0,20763 atm
Mencari L ,V , Xi , yi pada suhu 100 oC
Pertama dicari V dengan persamaan
+
4
=0
= 1
Dengan tebakan awal V=95 mol/jam
0,15.2,430337.100
95 2,430337 1 + 100.1 1
Sampai V= 99,7694 mol/jam
Sehingga didapat L= 0,2306 dengan rumus:
L=F-V
Kedua mencari nilai Xi dan yi
Persamaannya adalah
Zi F = xi L + yi V
yi = xi
()
xi =
+ ()
sehingga diperoleh X1 = 0,061806
X2= 0,238605
X3=0,969516
X4= 0,716137
Dan diperoleh
y1 = 0,150204
y2= 0,250026
y3=0,448799
y4= 0,148691
() pada 115 oC
1. N heksana = 355,6011 kPa = 3,50951 atm
2. N heptana = 160,9887 kPa = 1,588835 atm
3. N oktana = 74,7512 kPa = 0,737737 atm
4. N nonana = 35,2626 kPa = 0,348015 atm
Mencari L ,V , Xi , yi pada suhu 115 oC
Pertama dicari V dengan persamaan
+
4
=0
= 1
Dengan tebakan awal V=90 mol/jam
0,15.3,50951.100
90 3,50951 1 + 100.1 1
Sampai V= 93,1574 mol/jam
Sehingga didapat L= 6,8426 dengan rumus:
L=F-V
Kedua mencari nilai Xi dan yi
Persamaannya adalah
Zi F = xi L + yi V
yi = xi
()
xi =
+ ()
sehingga diperoleh X1 = 0,04494
X2= 0,161442
X3=0,595488
X4= 0,382041
Dan diperoleh
y1 = 0,157717
y2= 0,256505
y3=0,439314
y4= 0,132956
2. Dengan Metode Newton-Raphson
3. Dengan Metode Secant