HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang
mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota
himpunan dan mana bukan anggota himpunan.
Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan
dengan suatu bilangan cacah. B =
Himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Q=
Himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat ditunjukkan atau
dihitung satu persatu. A =
Tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat dihitung satu persatu. R
=
Himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di sebelah kiri saja disebut
himpunan terbatas kiri dan sebaliknya. Q = , mempunyai batas
bawah 0 dan batas atas 3. Tetapi 0 R dan 3 Q.
Himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki batas. R =
Irisan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari
dua himpunan tersebut.
Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas
anggota-anggota A atau anggota-anggota B.
Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan sebagai beikut.
.
Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua
anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.
A – B atau A B (dibaca: selisih A dan B).
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.
A – B = {
B – A = {
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = {3, 4, 5} maka AC = {1, 2, 6, 7}.
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Menentukan Persamaan Garis yang Diketahui Unsur-unsurnya
a. Bentuk umum
ax + by + c = 0 atau y = mx + n
b. Persamaan sumbu x
y = 0
c. Persamaan sumbu y
x = 0
d. Sejajar sumbu x
y = k
e. Sejajar sumbu y
x = k
f. Melalui titik asal dengan gradien m
y = mx
g. Melalui titik (x1,y1) dengan gradien m
y -y1 = m (x - x1)
h. Melalui potongan dengan sumbu di titik (a,0) dan (0,b)
bx + ay = ab
i. Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)
Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat
Memfaktorkan (pemfaktoran)
P+q = b
p.q = c.a
Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
=
Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)
Pertidaksamaan linier (pangkat satu)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier
dalam x. 2x - 3 > 5
Pertidaksamaan Kuadrat (Pangkat Dua)
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta.
PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Bentuk umum ax2+bx+c=0 dengan a,b,c bilangan asli(z)
Sifat2 akar kuadrat
x1 =
x2 =
maka
x1 + x2 = -
x1.x2 =
cara penyelesaian persamaan kuadrat
1. (x-x1).(x-x2) = 0
2. X2-(x1+x2)x+(x1.x2) = 0
Menentukan fungsi kuadrat yang diketahui 1 titik dan titik puncaknya.
y = a (x-xp)2 + yp
pertama cari dulu nilai a dengan x,y yang disediakan dan titik puncak di sediakan.
Setelah itu a masukkan lagi ke rumus tanpa x,y yang diketahui pada pertama tadi.
Sumbu simetri dan titik ekstrim
Sumbu simetri (x) = -
Titik ekstrim ( , )
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA
Eksponen
Sifat-sifat
a. am x an = am +n
b. am : an = a( m- n )
c. (am)n = amxn
d. ( am ) = amn
e. a-m =
f. = 1
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya :
a. af(x) = am
jika af(x) = am , a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = m
b. af(x) = ag(x)
jika af(x) = ag(x) , a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = g(x)
c. f(x)g(x) = f(x)h(x)
jika f(x)g(x) = f(x)h(x) , maka penyelesaiaan adalah sebagai berikut :
g(x)= h(x)
f(x) = 1
f(x) = 0 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
f(x) = -1 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keuanya ganjil
Logaritma
Umum
ab = c a = b dengan a > 0 dan a ≠ 1
Sifat
a = 0
a = 1
a = -1
a b = 1
a + a = a
a a = a
= b
a = c c
Persamaan logaritma
a. a = a
jika a = a , > 0, maka = m.
b. a = a
jika a = a , a > 0, a ≠ 1, > 0, dan ) > 0 maka = ).
Setelah di cari f(x)=g(x) buktikan lagi f(x)>0 dan g(x)>0 jika memenuhi baru
terbukti f(x)=g(x).
c. f(x) = f(x)
jika f(x) = f(x) , > 0, ) > 0, ) > 0, dan ≠ 1, maka
) = ). Cari dulu ) = ) lalu buktikan > 0, ) > 0, ) >
0, dan ≠ 1 jika memenuhi baru terbukti ) = ).
MENGHITUNG UANG
Menghitung bunga tunggal
Setelah t tahun besarnya bunga:
i =
- Setelah n bulan besarnya bunga:
i = x M x
- Setelah w hari, besarnya bunga:
i = x M x
p = persen, M=modal
1. Bunga
B = K x , B = Bunga, K = Pengembalian dan P = angka suku bunga
2. Diskonto
Apabila bunga dari suatu pinjaman dibayarkan terlebih dahulu pada saat awal
pinjaman sehingga besarnya uang yang diterima merupakan selisih antara besarnya
pinjaman dengan besarnya bunga.
BD = T x
dimana p nilai angka suku bunga, T besar uang yang diterima dan BD bunga
diskonto.
Bunga majemuk
bunga majemuk, bunga yang dihasilkan di setiap akhir jangka waktu berikutnya
semakin bertambah karena bunga itu sendiri ikut berbunga dengan cara ikut menjadi
modal.
1. Nilai Akhir Modal
Mn = M (1+i)n , M=modal, i=persen bunga, n=tahun
2. Nilai Tunai Modal
Pengertian Nilai Tunai Modal adalah Nilai uang sebesar NT apabila dibungakan
selama jangka waktu n dengan bunga i akan menjadi sebesar M.
NT =
3. Rente
a. Rente Pranomerando
angsuran dibayar dipermulaan jangka waktu.
1) Nilai akhir rente pranomerando
M=modal, i=bunga, n=jangka waktu
2) Nilai tunai rente pranomerando
b. Rente Postnomerando
1) Nilai akhir rente postnomerando
2) Nilai tunai rente postnomerando
Anuitas
Penyusutan
A=perolehan aktifa(barangnya)
S=residu/sisa
n=perkiraan umum manfaat
Persentasi penyusutan
Beban penyusutan
Beban penyusutan =
VEKTOR
Perkalian skalar 2 vektor (operasi dot)
2 = u.u
2 = aa-2ab+bb
2=aa+2ab+bb
Proyeksi
Panjang proyeksi vector a pada vector b
(proyeksi scalar) adalah IcI =
Vector proyeksi dari vector a pada vector b
(proyeksi vector) ortagonal adalah c =
MATRIKS
Sifat-sifat penjumlahan matriks
1. A+B = B+A (Komutatif)
2. A+(B+C) = (A+B)+C (Assosiatif)
3. A+O = O+A = A
4. (A+B)T = AT+BT
5. Ada B sedemikian hingga A + B = B + A = 0 yaitu B = -A
sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar:
1. a(A+B) = aA+aB
2. a(A-B) = aA-aB
3. (a+b)B = aB+bB
4. (a-b)B = aB-bB
5. (ab)B = a(bB)
6. (aB)T = aBT
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks antara lain :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB + AC
3. (B+C)A = BA + CA
4. A(B-C) = AB – AC
5. (B-C)A = BA – CA
6. a(BC) = (aB)C = B(aC)
7. AI = IA = A
Determinan
Untuk matriks 2x2, |A| adalah ad-bc
Untuk matriks 3x3 pakai metode sarrus
Adj untuk matriks 2x2 maka berlaku
Adj untuk matriks 3x3 maka berlaku
Invers
A-1 = . Adj(A)
Sifat invers
AA-1=A-1A=I=
(AB)-1=B-1A-1
DIMENSI TIGA
Kedudukan garis ke garis:
1. Berimpit
2. Berpotongan
3. Sejajar
4. Bersilangan
Dikatakan Bersilangan jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak
sejajar dan terketak pada bidang yang berbeda.
Kedudukan garis ke bidang
1. Garis terletak pada bidang
2. Garis sejajar bidang
3. Garis menembus bidang
4. Garis sejajar bidang
Jarak
1. Jarak antara 2 bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus pada kedua
bidang.
2. Jarak antara 2 garis adalah panjang ruas garis yang ditarik sekaligus tegak
lurus pada kedua garis tersebut.
3. Jarak dari titik ke garis atau bidang adalah panjang ruas garis tegak lurus yang
ditarik dari titk ke garis atau bidang.
Sudut
1. Sudut antara 2 garis adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis.
2. Sudut antara garis dan bidang sama dengan sudut antara garis tersebut dengan
garis proyeksinya pada bidang.
3. Sudut antara 2 bidang sama dengan sudut antara dua garis pada masing-
masing bidang dimana kedua garis tersebut tegak lurus baris perpotongan
kedua bidang.