Kalkulus 2Teknik Pengintegralan ke - 2
Tim Pengajar Kalkulus ITK
Institut Teknologi Kalimantan
Januari 2018
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 24
Daftar Isi
1 Teknik Pengintegralan Ke-2Substitusi yang MerasionalkanIntegrasi dengan substitusi trigonometriLatihan Soal
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 2 / 24
Kemampuan yang diinginkan pada Bab Ini adalah mahasiswamemiliki kejelian melihat bentuk soal.
sehingga faktor latihan sangat penting
untuk memperoleh hasil yang diinginkan.Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akanInsyaAllah menuai kesuksesan.
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 3 / 24
Substitusi yang Merasionalkan
Bentuk akar dalam integran selalu menimbulkan kesulitan danbiasanya kita berusaha menghindarinya. Seringkali substitusi yangtepat akan mersionalkan integran tersebut.
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 4 / 24
Substitusi yang Merasionalkan
Jika n√
ax + b muncul dalam suatu integral, substitusi u = n√
ax + bakan menghilangkan akar.
Contoh
Carilah∫ dx
x−√
x.
Misalkan u =√
x, sehingga u2 = x dan 2u du = dx. Maka∫ dxx−√
x=∫ 2u du
u2 − u= 2
∫ duu− 1
= 2 ln |u− 1|+ C
= 2 ln∣∣√x− 1
∣∣+ C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 5 / 24
Substitusi yang Merasionalkan
Contoh
Carilah∫
x√
x + 2 dx.
Misalkan u =√
x + 2, sehingga u2 = x + 2 dan 2u du = dx. Maka∫x√
x + 2 dx =∫ (
u2 − 2)
u · (2u du) = 2∫ (
u4 − 2u2)
du
= 2[
u5
5− 2
3u3]+ C
=25(x + 2)5/2 − 4
3(x + 2)3/2 + C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 6 / 24
Substitusi yang Merasionalkan
Contoh
Carilah∫
x 3√
x− 4 dx.
Misalkan u = 3√
x− 4, sehingga u3 = x− 4 dan 3u2 du = dx. Maka∫x 3√
x− 4 dx =∫ (
u3 + 4)
u ·(3u2 du
)= 3
∫ (u6 + 4u3) du
= 3[
u7
7+ u4
]+ C
=37(x− 4)7/3 + 3 (x− 4)4/3 + C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 7 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Integrasi yang melibatkan merasionalkan√
a2 − x2,√
a2 + x2, dan√x2 − a2 untuk tiga ekspresi ini, kita boleh mengasumsikan bahwa a
positif dan membuat substitusi trigonometri berikut.
Akar Substitusi Pembatasan pada t√a2 − x2 x = a sin t −π/2 ≤ t ≤ π/2√a2 + x2 x = a tan t −π/2 < t < π/2√x2 − a2 x = a sec t 0 ≤ t ≤ π, t 6= π/2
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 8 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.
1√
a2 − x2 =√
a2 − a2 sin2 t =√
a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.
2√
a2 + x2 =√
a2 + a2 tan2 t =√
a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3√
x2 − a2 =√
a2 sec2 t− a2 =√
a2 tan2 t = |a tan t| = ±a tan t.
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.
1√
a2 − x2 =√
a2 − a2 sin2 t =√
a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2√
a2 + x2 =√
a2 + a2 tan2 t =√
a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.
3√
x2 − a2 =√
a2 sec2 t− a2 =√
a2 tan2 t = |a tan t| = ±a tan t.
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Sekarang perhatikan penyederhanaan yang diperoleh dari substitusiini.
1√
a2 − x2 =√
a2 − a2 sin2 t =√
a2 cos2 t = |a cos t| = a cos t.2√
a2 + x2 =√
a2 + a2 tan2 t =√
a2 sec2 t = |a sec t| = a sec t.3√
x2 − a2 =√
a2 sec2 t− a2 =√
a2 tan2 t = |a tan t| = ±a tan t.
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 9 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Contoh
Carilah∫ √
4− x2 dx
Kita gunakan substitusi
x = 2 sin t dengan − π/2 ≤ t ≤ π/2
maka dx = 2 cos t dt dan√
4− x2 =√
4− 4 sin2 t = 2 cos t. Jadi,∫ √4− x2dx =
∫2 cos t · 2 cos t dt = 4
∫cos2 t dt
= 2∫
(1 + cos 2t) dt
= 2(
t +12
sin 2t)+ C
= 2t + 2 sin t cos t + C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 10 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Sekarang x = 2 sin t ekuivalen dengan x/2 = sin t, maka diperoleh
t = sin−1(x
2
)dengan menggunakan segitiga siku - siku
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 11 / 24
dengan a = 2 dan menggunakan segitiga siku-siku di samping maka
2 sin t cos t = 2(x
2
)(√4− x2
2
)=
x2
√4− x2
jadi ∫ √4− x2dx = 2 sin−1
(x2
)+
x2
√4− x2 + C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 12 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Contoh
Carilah∫ dx√
9 + x2
Misalkan x = 3 tan t, −π/2 ≤ t ≤ π/2. Maka dx = 3 sec2 t dt dan√9 + x2 =
√9 + 9 tan2 t = 3 sec t.∫ dx√
9 + x2=∫ 3 sec2 t dt
3 sec t=∫
sec t dt
= ln |sec t + tan t|+ C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 13 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
karena tan t = x3
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 14 / 24
maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t =√
9+x2
3 . Jadi,
∫ dx√9 + x2
= ln
∣∣∣∣∣√
9 + x2 + x3
∣∣∣∣∣+ C
= ln∣∣∣√9 + x2 + x
∣∣∣− ln 3 + C
= ln∣∣∣√9 + x2 + x
∣∣∣+ K
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 15 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Contoh
Carilah∫ √x2 − 4
xdx.
Misalkan x = 2 sec t, di mana 0 ≤ t < π/2.Selanjutnya dx = 2 sec t tan tdt. Perhatikan√
x2 − 4 =√
4 sec2 t− 4 =√
4 tan2 t = 2 |tan t| = 2 tan t
sehingga
∫ √x2 − 4x
dx =∫ 2 tan t
2 sec t2 sec t tan t dt =
∫2 tan2 t dt
= 2∫ (
sec2 t− 1)
dt = 2 [tan t− t] + C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 16 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Dengan menggunakan segitiga dapat diperoleh bahwa
tan t =√
x2 − 42
dan t = tan−1
(√x2 − 4
2
). Maka
∫ √x2 − 4x
dx = 2 [tan t− t] + C
=√
x2 − 4− 2 tan−1
(√x2 − 4
2
)+ C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 17 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Melengkapi kuadrat. Apabila ekspresi kuadrat berjenis x2 + Bx + Cmuncul di bawah tanda akar dalam integran, metode melengkapikuadrat akan mempermudah dilakukannya substitusi trigonometri.
Contoh
Carilah∫ dx√
x2 + 2x + 26.
Penyelesaian : x2 + 2x + 26 = x2 + 2x + 1 + 25 = (x + 1)2 + 25.Misalkan u = x + 1 dan du = dx. Maka∫ dx√
x2 + 2x + 26=∫ du√
u2 + 25
Selanjutnya misalkan u = 5 tan t,−π/2 ≤ t ≤ π/2. Maka du = 5 sec2 tdt dan √
u2 + 25 =√
25(tan2 t + 1) = 5 sec t
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 18 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
sehingga, ∫ du√u2 + 25
=∫ 5 sec2 t dt
5 sec t=∫
sec t dt
= ln |sec t + tan t|+ C
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 19 / 24
Perhatikan gambar segitiga ini,
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 20 / 24
Integrasi dengan substitusi trigonometri
Jadi diperoleh,∫ du√u2 + 25
= ln |sec t + tan t|+ C
= ln
∣∣∣∣∣√
u2 + 255
+u5
∣∣∣∣∣+ C
= ln∣∣∣√u2 + 25 + u
∣∣∣− ln 5 + C
= ln∣∣∣√x2 + 2x + 26 + x + 1
∣∣∣+ K
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 21 / 24
Latihan Soal
Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.
1
∫x√
x + 1 dx
2
∫x 3√
x + π dx
3
∫ t dt√3t + 4
4
∫ x2 + 3x√x + 4
dx
5
2∫1
dt√t + e
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal
Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.
1
∫x√
x + 1 dx
2
∫x 3√
x + π dx
3
∫ t dt√3t + 4
4
∫ x2 + 3x√x + 4
dx
5
2∫1
dt√t + e
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal
Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.
1
∫x√
x + 1 dx
2
∫x 3√
x + π dx
3
∫ t dt√3t + 4
4
∫ x2 + 3x√x + 4
dx
5
2∫1
dt√t + e
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal
Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.
1
∫x√
x + 1 dx
2
∫x 3√
x + π dx
3
∫ t dt√3t + 4
4
∫ x2 + 3x√x + 4
dx
5
2∫1
dt√t + e
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal
Agar lebih mengenal dan memahami bentuk integral yang telapdipelajari, cobalah beberapa soal di bawah iniLakukanlah Integrasi pada pada soal - soal di bawah ini.
1
∫x√
x + 1 dx
2
∫x 3√
x + π dx
3
∫ t dt√3t + 4
4
∫ x2 + 3x√x + 4
dx
5
2∫1
dt√t + e
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 22 / 24
Latihan Soal
1
∫ √4− x2
xdx
2
∫ x2 dx√16− x2
3
∫ dx
(x2 + 4)3/2
4
∫ dx√x2 + 2x + 5
5
∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5
dx
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal
1
∫ √4− x2
xdx
2
∫ x2 dx√16− x2
3
∫ dx
(x2 + 4)3/2
4
∫ dx√x2 + 2x + 5
5
∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5
dx
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal
1
∫ √4− x2
xdx
2
∫ x2 dx√16− x2
3
∫ dx
(x2 + 4)3/2
4
∫ dx√x2 + 2x + 5
5
∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5
dx
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal
1
∫ √4− x2
xdx
2
∫ x2 dx√16− x2
3
∫ dx
(x2 + 4)3/2
4
∫ dx√x2 + 2x + 5
5
∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5
dx
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Latihan Soal
1
∫ √4− x2
xdx
2
∫ x2 dx√16− x2
3
∫ dx
(x2 + 4)3/2
4
∫ dx√x2 + 2x + 5
5
∫ 2x− 1√x2 + 4x + 5
dx
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 23 / 24
Daftar Pustaka
Varberg, Purcell, Rigdon, ”Kalkulus Ninth Edition, 2”, 2007,Pearson Education, Inc.
Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 24 / 24
Top Related