DISTRIBUCIONES DISCRETAS
IMPORTANTES
Juan Carlos Colonia
BIBLIOGRAFÍA
Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres,
Sharon L.: Probabilidad y Estadística para
Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana.
Canavos G. Probabilidad y Estadística,
Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc
Graw Hill.
ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
IMPORTANTES
Entre las principales distribuciones discretas
tenemos:
Distribución Binomial
Distribución de Poisson
Distribución Hipergeométrica
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
ENSAYO DE BERNOULLI
Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene únicamente dos resultados posibles.
Observaciones:
1. Los resultados de un ensayo de Bernoulli suelen ser denominados “Éxito” y “Fracaso”; los cuales no tienen connotación de bueno y malo respectivamente.
2. Como el experimento solo tiene dos resultados, el termino “éxito” hace referencia a la ocurrencia del evento de interés y el termino “fracaso” al evento contrario, es decir al complemento.
ENSAYO DE BERNOULLI
Ejemplos:
Al inspeccionar un proceso de producción, si se encuentra algún producto defectuoso el proceso es detenido y sometido a revisión., encontrar un producto defectuoso constituye “éxito“.
Un sistema eléctrico puede que funcione o no, se considera éxito que el sistema funcione y fracaso que no funcione.
Un conmutador en ON/OFF, un servidor con conexión o sin ella, un fusible defectuoso o no defectuoso, etc.
3. El resultado “éxito” toma el valor 1 y “fracaso” el valor 0.
4. La probabilidad de éxito es p y de fracaso (1 – p).
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de Bernoulli con parámetro p si su función de probabilidad esta dado por:
Notación:
Características numéricas:
1 xx
Xf x p 1 p x 0,1
X B p
E X p V X p 1 p
ENSAYO BINOMIAL
Un ensayo binomial se caracteriza por:
1. Constan de n ensayos de Bernoulli.
2. Los resultados en cada ensayo pueden clasificarse
como éxito o fracaso.
3. Los ensayos son independientes.
4. La probabilidad p de éxito en cada ensayo es
constante.
Es decir un ensayo binomial consiste de n ensayos
independientes de Bernoulli, cada uno de los cuales con
igual probabilidad p de éxito.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Se emplea para conocer la probabilidad de obtener un
número determinado de “éxitos” al realizar n ensayos de
Bernoulli.
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución Binomial con
parámetros n y p si su función de probabilidad esta
dado por:
Notación:
n xx
X
nf x p 1 p
x
X B n,p
x 0,1, 2, ..., n
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Función de distribución:
Características numéricas:
E X np
V X np 1 p
x
n ii
X
i 0
0 x 0
nF x p 1 p 0 x n
x
1 x 1
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Grafico de la Distribución Binomial con n = 10 y p = 0.5
Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo: Si el 20% de las piezas producidas por una maquina son defectuosas, ¿cual es la probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas? : Número de piezas defectuosas La probabilidad de que entre cuatro piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas es
2
4 x2
X
x 0
4P x 2 F 2 p 1 p 0.9728
x
X B 4 , 0.2
X
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
PROCESO POISSON
Un proceso Poisson se refiere a eventos que ocurren en un intervalo
continuo (intervalo de tiempo, longitud, región de espacio, etc.) que
satisface las siguientes condiciones:
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o en
una región especifica son independientes del número de resultados
que ocurren en cualquier otro intervalo o región.
2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado en un intervalo muy
pequeño o región muy pequeña es proporcional a la longitud de
dicho intervalo y no depende del número de resultados que se
produzcan fuera de este intervalo o región.
3. La probabilidad de que ocurran más de un resultado en un intervalo
de tiempo muy pequeño o en una región muy pequeña es
prácticamente nula.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se emplea cuando se desea
calcular la probabilidad de ocurrencias de un evento en
un intervalo continuo determinado.
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson
con parámetros si su función de probabilidad esta
dado por:
Donde es el número promedio de resultados y t es el
intervalo continuo.
xt
X
e tf x
x!
x 0,1, 2, ..., n
0
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Notación:
Función de distribución:
Características numéricas:
E X
V X
itx
X
i 0
0 x 0
F x e tx 0
i!
X P
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Grafico de la Distribución de Poisson con λ = 0.5
Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo:
Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasa a través de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo?
: Número de piezas defectuosas
La probabilidad de que entren seis partículas
64
X
e 4P x 6 f 6 0.1041
6!
X P 4
X
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Sea el experimento aleatorio que consiste en seleccionar una muestra aleatoria de tamaño n (n ≤ N) de una población de tamaño N, dividida en dos subpoblaciones disjuntas de tamaños K y (N – K).
Los K elementos de N se puede clasificar como “éxito” y los (N – K) como “fracasos”.
Interesa saber el número de elementos en la muestra de tamaño n que pertenecen a la subpoblación K, es decir el número de “éxitos” en la muestra.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Se emplea para calcular la probabilidad de obtener un número
determinado de “éxitos” en una muestra de tamaño n proveniente
de una población de tamaño N.
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución Hipergeométrica con
parámetros N, n y k si su función de probabilidad esta dado por:
Notación:
X
k N k
x n xf x
N
n
X H N,n,k
x 0,1, 2, ..., n
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Función de distribución:
Características numéricas:
K
E X nN
K N K N n
V X nN N N 1
x
X
i 0
0 x max 0,n N K
k N k
i n iF x max 0,n N K x min n,K
N
n
1 x min n,K
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Grafico de la Distribución Hipergeométrica con
N = 1,000 K = 200 y n = 10
Grafico Función de Probabilidad Grafico Función de Distribución
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Ejemplo: Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen
estado. Se toma una muestra de tres baterías. ¿Cuál es la
probabilidad de que se obtenga al menos una batería en buen
estado?
: Número de baterías defectuosas
Probabilidad de que se obtengan al menos una batería en buen
estado
4 9 4
0 3 0P x 1 1 P x 1 1 P x 0 1 0.881
9
3
X H 9 , 3, 4
X
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