INTRODUCTION
Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ?
géometrie
groupe de transformations
classe de tenseurs famille de connexions(symboles de Christoffel)
groupe affine
groupe de Galilée(Mécanique classique)
groupe de Poincaré(Relativité Générale)
LA MECANIQUE AFFINE
GENERALISATION DUCONCEPT DE TENSEUR
Les tenseurs sont des objets dont les composantessont modifiées par une représentation linéaire
d’un groupe donné de transformations
Les tenseurs sont des objets dont les composantessont modifiées par une représentation linéaire
d’un groupe donné de transformations
groupe orthogonal
groupe affine
groupe de transformation classe de tenseur
groupe linéaire (n) GL
(n) (n) GLO
(n) (n) GLA
tenseurs vectoriels
tenseurs Euclidiens
tenseurs affines
TENSEURS AFFINES
point V
fonctionaffine
vecteur V
TENSEURS VECTORIELS
torseur
covecteur(forme linéaire)
�
P
1( )V P V
VPCV )( 1
CP
P
composantes affines de
T
J J
ˆ ˆˆ ˆ( , ) ( )J T
base de l’espacevectoriel
)())(())(()()( 11111 QCTPTPCJPPJ
TPQT )()( 11
TORSEUR A VALEUR VECTORIELLE
espace vectoriel des fonctions affines*A TR espace vectoriel cible
convention:R T
* * bilinéaireantisymétriqueA A
T T R
GROUPE DE GALILEE
V C P V 1 0
C P
1
V
1
V
translation spatiale
1 0
1 0
k u R
rotation
changementd’horloge
Boost galiléen
laisse invariant :
le M.R.U.les duréesles distances et les anglesles volumes
TORSEUR D’UN ARC
MT = vecteur des efforts normal et tranchants
M =vecteur des moments fléchissants et de torsion
M T
translation spatiale:3, IPC
TT TT CTTCJJ M M C T
loi de transport :
LOI DE TRANSPORT DU MOMENT
0 TT
T J
3 2
3 1
2 1
0
( ) 0
0
V V
j V V V
V V
matrice de produit vectoriel:( )V W j V W
( )j M
TORSEUR D’UNE PARTICULE MATERIELLE
espace
temps
0 T
T
T
T J
événementt
Xr
0
0 0
0 0
0 0 ( )
m
m
j l
masse
spin
0
0
( )
T
T
m p
m q
p q j l
moment cinétique
0l m r v
quantité demouvement
mv
quantitéde position
m r
boost
masse
v
M
MILIEUX CONTINUS DE DIMENSION ARBITRAIRE
variété
sous-variété N
1X
2X
nX
1�
p�
1
p
X 1e
2e
ne
f
XAT MT N
CHAMP DE TORSEUR
* *X X
bilinéaireantisymetriqueT A T TA
M M N
M
CONNEXION AFFINE
1 0
C P
1 0
1 0
k u R
affine transformation
Galilean transformation
0 0
dC dP
0 0
0 0
( )
dt
r dt dr g dt j dt
connexion galiléenne
gravité effets de Coriolis
0 0
A
connexion affine
connexion affine
A AJ J U T T U
DIVERGENCE COVARIANTE AFFINE
application tangente
X
U
Divergence covariante affine d’un torseur
T T
la divergence covariante affinedu champ de torseur est nulle
0~
T
0~
J
principe général
0~
vid
POINT DE VUE MECANIQUE
milieu continu de dimension arbitraire p
son comportement est décrit par un champ de torseur )(
convention:N M
connexion affineconnexion affine
Déclinons le principe général…
Dynamique des points matériels
Statique des poutres et arcs
Dynamique des milieux 3D
Dynamique des coques
PLUS A PROPOS DES PARTICULES MATERIELLES...
espace
temps
principe général
0
événementt
Xr
0T
0J
0m
( 2 )p m g v
conservation de la masse
loi de Newton
0 ( 2 )l vl r m g
q p
théorème du momentcinétique
Déclinons le principe général…
Dynamique des points matériels
Statique des poutres et arcs
PLUS A PROPOS DES ARCS . . .
Pas de forces distribuées (seulement des forces concentrées)
M M T
EQUILIBRE STATIQUE
= vecteur tangentd
rdU
U
principle général
0 0T
0J
équilibre des forces0d
Td
0d M
U Td
équilibre des moments
T = vecteur des efforts normal et tranchants
M =vecteur des moments fléchissants et de torsion
Déclinons le principe général…
Dynamique des points matériels
Statique des poutres et arcs
Dynamique des milieux 3D
T
DYNAMIQUE DES CORPS 3D
4pnNM
mêmes coordonnées sur et X M N
convention: TT JJ
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
I
II
III
densité
contraintes principales*
Tp
p
densité
contraintesdynamiques
Tu u
quantité de mouvement u
boost u
la divergence affine duchamp de torseur est nulle
principe général
0d iv
0~
J
0~
T
TT
0)(
tu
rj
j
)2( jij
ij
ij
j
ij
i
ugrr
uu
t
u
conservationDe la masse
conservationde la quantité
de mouvement
dérivée particulaire
Équations d’Euler
iDu
Dt
DYNAMIQUE DES CORPS 3D
Déclinons le principe général…
Dynamique des points matériels
Statique des poutres et arcs
Dynamique des milieux 3D
Dynamique des coques
VARIABLES DE COQUES
idéalisation d’un corps mince et lisse
corps 3Dbaabab wwT 23)(
aa wT 30
00T densité de masse
contraintes decisaillement transversales
33 aaT
quantité de mouvement
contraintesdans le plan
3
21
bb TJ 33 0330 TJ
translation
2/
2/
3h
hdTT
2/
2/
3h
hdJJ
intégrationsur l’épaisseur
3
21
wbaabba wwINT
aa QT 3
shT 00
bb wIJ 30
12
3hI
shell
abba MJ 3
densité surfaciquede masse
efforts tranchants
efforts de membrane
efforts cinétiques
moments fléchissantset de torsion
moment cinétique
DYNAMIQUE DES COQUES
a = 1ère
b = 2ème
formes
fondamentales
principle général
0d iv
0~
T
0~
J
0~ 3
bcc
aba
bb
a
abb wwt
wIQMJ
0)(~ 21 bccabc
acb
cb wwIMbNJ
relationsde symétrie
ja
ij
iab
iba
ba t
c 0
jij
ici
cc nt
nc30
nouveaux Christoffel
la divergence affine duchamp de torseur est nulle
02
t
vvgcQbwwINT
i
sji
jia
isba
bb
babaa dans le
plan tangent
0)2(3
1
3
i
i
sji
ji
si
b
bbaabab t
vvgnQwwINbT
hors duplan
0)det(det
10
hata
T temps
efforts cinétiques
CONCLUSIONS
J.-M. Souriau
C. Vallée
É. Cartan (1923)
La Mécanique affine
La structure de la mécanique est révélée par l’étude d’un objet unique
le torseur, qui peut se décliner
de différentes manières.
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