INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA GRÁFICA E ALGÉBRICA DOS
MOVIMENTOS DOS ORBES CELESTES COM ANIMAÇÕES NO WINPLOT
Marcelo da Silva Trindade*
Ângela Susana Jagmin Carretta**
RESUMO
Este trabalho vem sendo fruto de um projeto de pesquisa da Universidade da Região da
Campanha Bagé-RS, que se dedica ao estudo da aplicação de softwares matemáticos na
Educação Matemática além do estudo aprofundado nos softwares em questão. Sabe-se da
carência existente na aprendizagem da Matemática hoje em dia, então uma das justificativas
de empreender esforços neste trabalho, é a de encontrar meios de suprir tal necessidade, ainda
que, não se refere aqui tão somente à educação básica, mas também a cursos em nível de
graduação, onde há acadêmicos que, ou pouco entendem acerca dos conceitos da Matemática,
muitas vezes conceitos elementares, ou encontram inúmeras dificuldades para encarar certas
disciplinas como o Cálculo por exemplo. A idéia deste trabalho, que agora se estende ao mini-
curso de título citado acima, é de fornecer ao estudante, em especial ao de Matemática, mais
um aparato para que melhor compreenda sua ciência. A ferramenta em questão é um software
gratuito que plota diversos tipos de gráficos, e nos serve como um “clareador de idéias”, pois
neste podemos ver a álgebra, com todas suas funções trigonométricas, se “contorcer” em belas
curvas. Nossa proposta, em suma, é desenvolver na modalidade de mini-curso em laboratório
de informática, atividades com equações de duas e três dimensões em software de plotação
gráfica com animações de variáveis, a fim de reproduzir, ao menos simular, o movimento dos
astros do Universo e ao final chegar a um modelo matemático do Sistema Solar. Deseja-se
que o aluno de graduação, professor e demais interessados em participar, possam ter o imenso
prazer que tivemos em elaborar equações paramétricas que descrevem algébrica e
geometricamente o movimento de um orbe celeste, seja um simples elíptico como um planeta
ao redor do Sol; o epiciclo da Lua em torno do Sol; o movimento da Lua em torno do centro
da Galáxia e assim sucessivamente, onde estes girando se modelam com Matemática até onde
nossa mente puder imaginar. Trabalhar com qualquer ciência é demasiadamente gratificante,
* Graduando do Curso de Matemática da Universidade da Região da Campanha – Bolsista institucional de
projeto de pesquisa desde novembro de 2007. ([email protected])
** Profª. Mestranda em Ensino de Ciências Exatas pela UNIVATES – Professora da Universidade da Região
da Campanha e Universidade Federal do Pampa. ([email protected])
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desde que se colham frutos e se enxergue esta acontecer. Acredita-se firmemente na
beneficência ofertada pela informática aliada a aprendizagem matemática, e ainda mais, crê-se
que ela pode ser um agradável ponto de partida, quando bem empregada, ao despertar
motivação em “mergulhar” numa ciência. Almeja-se que o XVI EREMATSUL seja uma
oportunidade de compartilhar este trabalho. Embora resulte em um simples modelo
matemático do Sistema Solar criado com equações paramétricas 3D animadas, sem muitos
rigores físicos, pode desfrutar ou reascender no indivíduo o gosto em estudar e pesquisar,
como assim se mostra ser, sempre que encontramos significados e empregos das teorias
estudadas, sem citar o fato de que a astronomia encanta por si só.
Palavras-chave:
Softwares matemáticos – modelagem matemática – epiciclos de astros.
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1. PROPOSTA DE MINI-CURSO
Vislumbramos hoje muitas lacunas no ensino de Matemática: alunos que não dominam
conceitos básicos e elementares, não estabelecem conexões entre a Matemática e suas
aplicações, vivem no tédio de copiar do quadro e aplicar algoritmos na resolução de
exercícios e problemas, sem a menor idéia do que simplesmente executa.
Dentre os aspectos que nos preocupam está a formação de professores de Matemática.
Acreditamos ser necessário empreender nos cursos de formação de Ensino Superior,
valorizando as metodologias e ferramentas de ensino adequadas ao perfil da criança e do
jovem na atualidade. Dentre tantas propostas urge valorizarmos o uso de tecnologias, há no
mercado inúmeros softwares matemáticos, inclusive gratuitos, capazes de proporcionar
entendimento, paixão em aprender, criatividade, os quais possibilitam a análise das situações
da vida real, com a interpretação e construção de gráficos por exemplo.
Conforme afirma MORAES e CUNHA:
As novas tecnologias vão, aos poucos, incorporando-se ao dia-a-dia da
sala de aula e por isso devem ser tratadas, testadas e estudadas nos cursos de
Licenciatura em Matemática. Tal prática faz com que professores e alunos se
sintam preparados e motivados para o seu uso, o que permitirá, aos futuros licenciados, uma melhor preparação para suas atividades no ensino
fundamental e médio. (2001, pg.190).
Quando se discute a relação entre Informática e Educação Matemática, surgem questões
sobre qual seria o verdadeiro papel do professor e do computador em atividades de ensino.
As experiências realizadas com tecnologias na Educação Matemática garantem que
aprender ou trabalhar com softwares matemáticos pode ser uma experiência muito agradável,
tanto para professores quanto para os alunos.
Destacamos neste trabalho a intenção de contemplar também professores de
matemática, que durante o curso de formação tiveram pouca ou nenhuma experiência com
softwares matemáticos. É preciso reconhecer que o verdadeiro papel da informática
educacional não está nas respostas que estas ferramentas de ensino podem oferecer, mas na
forma como o professor consegue configurar, em sala de aula, situações de “ensinagem”
adequadas ao momento que estamos vivendo, e isso é tarefa desafiadora.
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Ousamos afirmar que o professor que utiliza estas ferramentas, consegue em um
processo educativo, no qual sejam claros os objetivos, a metodologia e as modalidades de
avaliação utilizada, transpor barreiras e despertar o interesse do aluno. Investir em pesquisas e
buscar novas metodologias na Educação Matemática significa sensibilizar professores e
alunos da importância da participação ativa no processo de transformação que atinge a escola,
em decorrência da presença cada vez maior de computadores nas escolas.
O verdadeiro enriquecimento das atividades de ensino da Matemática se obtém através
da utilização de equipamentos de Informática. Sem dúvida, o Winplot¹ pode se constituir em
fonte propícia para o desenvolvimento de competências, habilidades e construção de
conceitos matemáticos. Utilizá-lo em toda sua potencialidade implica atribuir novos
significados aos conceitos de ensino, aprendizagem e avaliação.
Conforme afirmam Marcelo Borba e Mirim Penteado no livro Informática e Educação
Matemática:
[...] nós nos empolgamos com as mudanças que essas novas mídias
estão provocando. Esta empolgação acontece muitas vezes porque gostamos
de aprender. Aprendemos constantemente quando estudamos Matemática em
coletivos seres-humanos-com-mídas em que os computadores e as
calculadoras gráficas estejam presentes. (2007 pg.89)
Constatamos no decorrer de nossas atividades em pesquisa, que o Winplot é uma
excelente ferramenta computacional para ensinar e aprender com gráficos 2D e 3D, plotados
de maneira bastante simples. Importante destacar que ele roda em sistemas Windows
95/98/ME/XP/Vista e Linux. Disponível na versão em português, pesa apenas 1,4 Mb e pode
ser adquirido em <http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wppr32z.exe>.
Trabalhamos (aluno bolsista e orientadora) em relação ao conhecimento específico da
Matemática com: a interpretação gráfica de equações explícitas, implícitas, paramétricas e
polares; no cálculo da integral e sua interpretação gráfica em 2D e 3D; a interpretação
geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente a uma determinada curva
em um ponto arbitrário; o estudo das curvas ciclóide, cardióide e hipociclóides e suas diversas
referências na natureza bem como outras curvas paramétricas; analisando e elaborando
situações didáticas para contemplar a formação continuada de professores que atuam na
Educação Básica ou freqüentam o curso de Matemática.
Esta pesquisa proporciona o estudo da Matemática inter-relacionando com diversas
áreas do conhecimento, como a astronomia, nosso exemplo foco de aplicação, onde as órbitas
¹Software livre desenvolvido pelo Professor Richard Parris, da Phillips Exeter Academy.
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dos planetas são representadas e animadas por equações paramétricas fáceis de visualizar
através do esboço gráfico do Sistema Solar, plotando o Sol, luas, estrelas, planetas, meteoros
anéis (em Saturno), e tudo em campo tridimensional.
Oferecemos este mini-curso resultante da terceira fase do projeto de pesquisa
“Softwares como fonte de aprendizagem e pesquisa acadêmica em Matemática – Softwares
livres, fase III” do núcleo de pesquisa em Educação Matemática da Universidade da Região
da Campanha – Bagé. Acreditamos que a presença de softwares matemáticos nas aulas de
Matemática visa proporcionar avanços no processo de ensino-aprendizagem, tanto em
trabalhos individuais como em grupos. Além de proporcionar motivação através das cores,
representações gráficas, revoluções e animações, exige interação maior entre professor-aluno
e um feedback imediato.
O objetivo principal desse Mini-curso é introduzir conceitos e ferramentas básicas do
programa Winplot para a Educação Básica e Ensino Superior – dependendo em que nível é
aplicado - através de estudo de equações paramétricas, polares, implícitas e explícitas; cálculo
da derivada e integral e modelos matemáticos para o Sistema Solar.
A importância da Matemática, muitas vezes fica encoberta pela dificuldade que o
docente tem de mostrar referências desta ciência na natureza, fazendo com que esta se torne
uma repetição de fórmulas desconectadas com o mundo; o uso desta ferramenta torna possível
a visualização desta ciência na vida real, proporcionando ao estudante o conhecimento da
Matemática como técnica de estudar a realidade.
É, sabe-se, importantíssimo em Matemática o estudo e perfeito entendimento de
funções, como afirma Howard Anton: “[...] função é a idéia básica subjacente a quase todas
as relações matemáticas e físicas [...]”. Como veremos, softwares como o Winplot tornam-se
peças-chave para um ideal compreendimento da Matemática e demais subseqüentes.
As imagens que seguem abaixo mostram equações matemáticas plotadas e
interpretadas no Winplot, onde o objetivo com o mesmo é realizar animação de variáveis para
se entender a fio determinada equação e correspondente gráfico 2d ou 3d.
Após breve passada por funções 2D, no âmbito tridimensional os primeiros passos do
mini-curso oferecido são dados através da familiarização com o software a partir de conceitos
mais elementares como a plotação de pontos. (Figura 01)
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Em seqüência são abordados elementos como distância entre pontos, segmentos
tridimensionais, planos tridimensionais, intersecção entre planos etc.
Equações 3D explícitas, implícitas, e paramétricas dentre outras serão elaboradas,
criadas e estudadas com o auxílio do software, que serve de facilitador para uma melhor
visualização daquilo que se almeja alcançar ou modelar com a matemática. (Figuras 02; 03;
04;)
Figura 01: Pontos 3D plotados no Winplot.
Figura 02: Equação explícita z = f(x;y).
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Após manuseio inicial com o software entramos em nosso foco: moldar e animar
equações paramétricas para descrever/simular os epicíclos dos astros de um sistema.
Precisamos voltar ao princípo, à Galileu Galilei mais precisamente e sua curva ciclóide
(Figura 05), que confecionada e animada com o Winplot nos passa a idéia incial que
precisamos para compreender a revolução dos orbes celestes.
Figura 03: Equações paramétricas e esféricas.
Figura 05: Ciclóide em três situações de relação passo-raio.
Figura 04: Tubos e superfícies de revolução.
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Os parâmetros gradativamente tornar-se-ão mais elaborados no decorrer das
explanações (Fifura 06) através das paramétricas e o princípio da ciclóide, conheceremos
então as hipociclóides, com o intuito de ter aparatos suficientes para se chegar ao primeiro
modelo da curva de uma “Lua” em relação a um “Sol” (Figura 07)
Figura 06: Hipociclóides de diversos cúspides.
Figura 07: Modelo plano da curva da Lua.
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A partir daí temos a base para construir em campo tridimensional, com equações
paramétricas, um modelo que mostra como se comportam matematicamente alguns astros no
Universo. O resultado obtido é um modelo animado espacial do Sistema Solar (Figura 08) em
caráter matemático, sendo apenas uma simulação, mas que é de grande importância para que
estudantes e profissionais da área de Matemática possam desfrutar de um melhor
compreendimento das relações equação-curva e de sua unicidade não recíproca². Neste
modelo, um Sol central é rodeado por quatro planetas, onde o terceiro possui uma lua e o que
ocupa a quarta posição é orbitado por vários pequenos astros. Em movimento³, há um jogo de
imagens sensacionais das curvas orbitais e epiciclos dos astros do sistema. Não houve neste
modelo, rigor em algumas questões físicas, embora pôde-se aplicar matematicamente algumas
leis de Johanes Kepler. Ressalta-se sempre que o programa Winplot é um plotador gráfico de
equações matemáticas, e não um software de desenho, isto implica que o que fizemos foi
modelar equações para alcançar o objetivo de esboçar um Sistema Solar.
A busca icansável pelas nossas origens é sem dúvidas, de um modo geral, parte do que
nos faz viver e querer progredir, mesmo que as vezes nem percebamos isto. Certo de que
somos mortais, estudar uma pequeníssima parcela do conhecimento já é contribuir para tal
² Unicidade não recíproca da equação-curva traduz o fato de que uma curva pode ser descrita por distintas
equações, mas uma equação determina uma e somente uma curva.
³ Chamamos de movimento o recurso de animação de variáveis oferecido pelo software Winplot.
Figura 08: Sistema Solar feito com equações paramétricas no Wnplot.
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busca. Assim, redige-se aqui as palavras do físico e astrônomo Marcelo Gleiser:
A Natureza jamais vai deixar de nos surpreender. As teorias de hoje,
das quais somos justamente orgulhosos, serão consideradas brincadeira de
criança por futuras gerações de cientistas. Nossos modelos de hoje certamente serão pobres aproximações para os modelos do futuro. No
entanto, o trabalho dos cientistas do futuro seria impossível sem o nosso,
assim como o nosso teria sido impossível sem o trabalho de Kepler, Galileu
ou Newton.Teorias científicas jamais serão a verdade final: elas irão sempre
evoluir e mudar, tornando-se progressivamente mais corretas e eficientes,
sem chegar nunca a um estado final de perfeição. Novos fenômenos
estranhos, inesperados e imprevisíveis irão sempre desafiar nossa
imaginação. Assim como nossos antepassados, estaremos sempre buscando
compreender o novo. E, a cada passo dessa busca sem fim, compreenderemos
um pouco mais sobre nós mesmos e sobre o mundo a nossa volta. (1997
pg.397)
Alguns exemplos genéricos de equações paramétricas 3D utilizadas no modelo:
x=f(a)=rcos(ma)b+c
y=g(a)=ssin(na)d+e
z=h(a)=tcos(oa)f+g
Com derivados deste trabalho, já fomos aprovados para ministrar o curso
“APLICAÇÕES DO SOFTWARE WINPLOT NO ESTUDO DA MATEMÁTICA” no X
EGEM – 10º Encontro Gaúcho de Educação Matemática, evento realizado na Universidade
Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ– Ijuí – RS, no período de 2
à 5 de junho de 2009. Nesta mesma ocasião, fomos convidados a ministrar o mini-curso
“INTERPRETAÇÕES GRÁFICAS DE EQUAÇÕES COM USO DO WINPLOT” na II
Semana Acadêmica da Matemática da UNIPAMPA – Bagé RS, que ocorreu no período de 20
à 22 de junho de 2009. Este mini-curso teve por objetivo, tanto no X EGEM como na semana
acadêmica da Matemática da Unipampa, estudar as relações das equações com suas
respectivas curvas, analisando que mudanças gráficas ocorrem ao alterar constantes e
variáveis, através do recurso de animação do software Winplot. Em suma, foi abordado,
dentre outros ítens, o comportamento gráfico das equações paramétricas, bem como o
movimento de diversas hipociclóides.
Fomos aceitos ainda, no Congrega Urcamp Bagé 2009, com o pôster “UM MODELO
MATEMÁTICO DO SISTEMA SOLAR”.
Aliando a tecnologia e a Modelagem Matemática, duas das tendências atuais da
Educação Matemática, constata-se que é possível dispor dos softwares matemáticos como
x=f(a)=tcos(ma)b+c+scos(na)
y=g(a)=tsin(ma)d+e+usin(na)
z=h(a)=vcos(ma)f+g+wcos(na)
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uma excelente ferramenta para estudar as equações paramétricas, obtendo modelos
matemáticos para várias questões da Física, Biologia, Química... Além de proporcionar ao
expectador/estudante as belas imagens decorrentes da “Dança do Universo”, como no
exemplo do nosso modelo animado do Sistema Solar. Pois quem é que nunca se intrigou com
a beleza e o mecanismo do Universo? Ou que ao menos doou uma fração de seu tempo a
admirar o brilho e posicionamento das estrelas no escuro céu noturno? Muitas das maraviílhas
da astronomia só foram descobertas graças a engenhosidade dos cálculos matemáticos junto à
propriedades físicas, que por assim ser, podem facilmente ser reinterpretadas com o auxílio de
softwares de animação e plotação gráfica como o Winplot.
Um dos principais objetivos deste trabalho é também evidenciar a importância das
novas tendências em Educação Matemática, dentre elas elas a modelagem, e assim
demonstrar que através de equações paramétricas pode-se fazer uma representação das curvas
orbitais e/ou dos epiciclos dos movimentos dos astros de um determinado sistema e que
usufruindo dos recursos computacionais e da trigonometria se torna mais fácil compreender
de que maneira se constrõem os conceitos matemáticos e como esta Ciência se comporta com
suas várias variáveis.
Acredita -se que o XVI EREMATSUL será uma excelente oportunidade para
compartilharmos nosso trabalho na modalidade de mini-curso. Nos preocupamos neste em
gradativar os conceitos matemáticos em paralelo com o Winplot, estabelecento sequências de
manuseio para que se possa compreender a simulação criada, e que para além disso, os
participantes sejam estiamulados a criar seus próprios modelos gráficos ao trabalhar com
softwares.
As atividades descritas acima (manuseio do software e construção do modelo) serão
realizadas em laboratório de informática com o software Winplot, sendo o público alvo
acadêmicos, estudantes e professores de Matemática ou Física e demais interessados.
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Referências Bibliográficas
ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8.ed.São Paulo: Bookman, 2000.
BORBA, MARCELO DE CARVALHO: Informática e Educação Matemática. 3.ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2007
GLEISER, MARCELO, A Dança do Universo: Dos Mitos de Criação ao Big Bang. São
Paulo: Companhia das Letras, 1997.
MORAES, D. e CUNHA, M. Formação de Professores de Matemática: Uma visão
multifacetada. CURY, Helena Noronha (org.) Porto Alegre: EDIPUCRS, 2001. 190p.
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