Editorial SM
Integrales indefinidas. Teoremas 2º Bachillerato
Esquema
Primitiva de una función
La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I.
Ejemplo: la función F(x) = x4
4 es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3.
También la función G(x) = x4
4 + 2 es una primitiva de f . Ambas en
cualquier intervalo de la recta real.
Integral indefinida
Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de to-das las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe ⌡⌠ f(x) dx, y se lee «in-tegral de f(x)»
Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una cons-
tante. Se expresa de la siguiente manera: ⌡⌠ ex dx = ex + C
Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real.
Las primitivas se diferencian en una constante
Integrando↓ ↑ Derivando
Propiedades de la integral indefinida
I ⌡⌠ k f(x) dx = k ⌡⌠ f(x) dx con k ∈ R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida. II ⌡⌠ [ f(x) ± g(x)] dx = ⌡⌠ f(x) dx ±⌡⌠ g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las inte-grales indefinidas.
Propiedades de la integral indefinida
Propiedades de la derivada
I (kf )' (x) = k f '(x) con k ∈ R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. II (f ± g) ' (x) = f ' (x) ± g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las deri-vadas de cada una de ellas.
Integrales inmediatas
Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas.
1.- ⌡⌠ xa dx =
xa+1
a+1 + C, si a ≠-1, a ∈ R
2.- ⌡⎮⌠
1x dx = ln x + C
3.- ⌡⌠ ex dx = ex + C
4.- ∫ax = ln
xaa + C, si a>0, a ≠1
5.- ⌡⌠ sen x dx = – cos x + C
6.- ⌡⌠ cos x dx = sen x + C
7.- ( )2
11
dx arcsen x Cx
= +−
∫
8.- ( )2
1 arctg1
dx x Cx
= ++∫
Integrales inmediatas para funciones compuestas
• ⌡ ⎮ ⎮ ⌠
x r dx = x r+1
r + 1 + C, para cualquier constante r ≠ – 1
⌡⎮⎮⌠
f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]r+1
r + 1 + C para r ≠ -1
12 ⌡⎮⌠ 2 cos 2x sen3 2x dx =
12
sen4 2x4 =
18 sen4 2x + C
Tipo general
• ⌡⎮⎮⌠
cos 2x sen3 2x dx =
Ejemplo:
• ⌡⎮⎮⌠
1x dx = ln | x | + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
Tipo general
Ejemplo:
∫ dxxfxf)()(' = ln |f(x)| + C
• ⌡⎮⎮⌠
tg 3x dx = – 1
3 ⌡⎮⌠ – 3 sen 3x
cos 3x dx = – 13 ln |cos 3x | + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
• ⌡⎮⎮⌠
ax dx =
ax
ln a + C, para cualquier a > 0
• Para a = e se obtiene ⌡⎮⎮⌠
ex dx = ex + C
Tipo general
Ejemplo:
⌡⎮⎮⌠
f '(x) af(x) dx = af(x)
ln a + C, para a > 0
• ⌡⎮⎮⌠
x2 ex3 dx =
13
⌡⎮⎮⌠
3x2 ex3 dx =
13 ex3
+ C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
• ⌡⎮⎮⌠
sen x dx = – cos x + C
Tipo general
Ejemplo:
⌡⎮⎮⌠
f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
• ⌡⎮⎮⌠
e3x sen (e3x + 5) dx = 13
⌡⎮⎮⌠
3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 13 cos (e3x + 5) + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
• ⌡⎮⎮⌠
cos x dx = sen x + C
Tipo general
Ejemplo:
⌡⎮⎮⌠
f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
• ⌡⎮⎮⌠
e7x cos (e7x + 5) dx =17
⌡⎮⎮⌠
7 e7x cos (e7x + 5) dx = 17 sen (e7x + 5) + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
• 2
1 arcsen( )1
dx x Cx
= +−∫
Tipo general
Ejemplo:
⌡⎮⌠ g '(x)
1 - [g(x)]2 dx = arcsen g(x) + C
• ⌡⎮⌠ e3x
1 – e6x dx =
⌡⎮⌠ e3x
1 – (e3x)2 dx =
13 ⌡⎮⌠ 3e3x
1 – (e3x)2 dx =
13 arcsen e3x + C
Integrales inmediatas para funciones compuestas
• ⌡⎮⌠
1
1 + x2 dx = arctg x + C
( )2f ( ) arctg( )
1 f ( )x dx x Cx
ʹ= +
+∫
Tipo general
• ⌡⎮⌠ 11 + 2x2 dx =
Ejemplo:
⌡⎮⌠ 11 + ( 2x)2 dx = 1
2 ⌡⎮⌠
21 + ( 2x)2 dx =
( )1 arctg 2x2
C+
Integración por partes
Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:
⌡⎮⌠
f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) – ⌡⎮
⌠
g(x)f '(x) dx
Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:
⌡⎮⌠
u dv = uv – ⌡⎮
⌠
v du
Consejos 1. Llamar gʹ a una función de la que sea cómodo obtener g.
2. Si es cómodo obtener g sea cual fuere la elección que hagamos para gʹ, llamar entonces gʹ a aquella que haga que ∫ f ʹg se más cómoda que ∫ f g ʹ .
Integración por partes: Ejemplos
= x2 ex – 2[xex – ⌡⎮⎮⌠
ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C
• ⌡⎮⎮⌠
x2 ex dx = x2 ex – ⌡⎮
⎮⌠
ex 2x dx = x2 ex – 2 ⌡⎮
⎮⌠
x ex dx =
u = x2 ⇒ du = 2x dx dv = ex . dx ⇒ v = ex
u = x ⇒ du = dx
dv = ex . dx ⇒ v = ex
u = sen (L x) ⇒ du = cos(L x) . (1/x) . dx dv = dx ⇒ v = x
= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –⌡⎮⎮⌠
sen(ln x) . dx
Despejando la integral buscada queda:
u = cos (L x) ⇒ du = – sen(L x) . (1/x) . dx dv = dx ⇒ v = x
x . sen (ln x) – ⌡⎮⎮⌠
cos (ln x) . dx =• ⌡⎮
⎮⌠
sen(ln x) . dx =
⌡⎮⎮⌠
sen(ln x) . dx = 1
2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
Integración por sustitución o cambio de variable
Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:
(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)
Por lo que la integral del elemento final es: ⌡⎮⌠ f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C
Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx. Con esta sustitución se tiene
⌡⎮⎮⌠
f(u) du = F(u) + C
Integración por sustitución: Ejemplos I
• ⌡⎮⌠ 1 x ln x dx
Cambio ln x = u ⇒ dx / x = du
= dxLnxx
∫/1
= ⌡⎮⎮⌠
1 u du = ln | u | + C
deshacer el cambio
= ln | ln x | + C
Para calcular una integral por cambio de variable: • Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.
du = g'(x) dx • Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio
poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
Integración por sustitución: Ejemplos II
deshacer el cambio
• ⌡⎮⎮⌠
x3 x4 + 2 dx =
Cambio x4 + 2 = u ⇒ 4x3 . dx = du ⇒ x3 dx = du/4
∫ 4
duu
• ⌡⎮⎮⌠
sen3 2x . cos 2x dx =12
⌡⎮⎮⌠
t3 . dt =
Cambio sen 2x = t ⇒ 2 cos 2x . dx = dt ⇒ cos 2x dx = dt/2
= 1
8 sen4 2x + C12
t4 4 + C
deshacer el cambio
Integración de funciones racionales
Pretendemos obtener ⌡⎮⌠
P(x)Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m y grad[Q(x)] = n
Caso 1: m ≥ n. Veremos que este caso se puede convertir al Caso 2.
P(x) Q(x)
C(x) R(x) con grad[R(x)] < grad[Q(x)]
⇔ P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) ⇔ P(x)Q(x) = C(x) +
R(x)Q(x)
Por tanto: ⌡⎮⌠
P(x)Q(x) dx = ⌡⎮
⎮⌠
C(x) .dx + ⌡
⎮⌠
R(x)Q(x) dx
En donde la primera integral es inmediata y la segunda corresponde al
Caso 2
Caso 2: m < n. Entonces la integral se hace por descomposición en fracciones simples.
Como m ≥ n, es posible la división entera entre P(x) y Q(x)
Descomposición en fracciones simples I
Pretendemos obtener ⌡⎮⌠
P(x)Q(x) dx en donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que
grad[P(x)] = m < grad[Q(x)] = n
• Supongamos que es posible factorizar el polinomio Q(x). Ello equivale a resolver la ecuación Q(x) = 0.
• Supongamos que la ecuación Q(x) = 0 tiene: • Soluciones reales sencillas (por ejemplo x1). • Soluciones reales múltiples (por ejemplo x2 con orden de multiplicidad 2). • Soluciones complejas sencillas (por ejemplo tiene dos soluciones, que
son necesariamente conjugadas). • El caso soluciones complejas múltiples no se estudia.
Por ej. Si tiene una raíz simple una doble y dos complejas conjugadas, entonces dicho polinomio se factoriza de la siguiente manera:
Q(x) = ao(x – x1) . (x – x2)2 . (x2 + bx + c) tal que ao es el coeficiente del término de mayor grado.
⌡⎮⌠
P(x)Q(x) dx =
1ao
⌡⎮⌠
P(x)(x – x1)
. (x – x2)2 . (x2 + bx + c) dx =
Paso 1. Factorización del polinomio Q(x)
Descomposición en fracciones simples II
Paso 2. Descomponer el integrando en fracciones simples
P(x) (x – x1)
. (x – x2)2 . (x2 + bx + c) =
A x – x1
+B
(x – x2)2 +
Cx – x2
+ Mx + N
x2 + bx + c
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
Proceso de cálculo:
• Eliminar denominadores en la igualdad anterior, para obtener una identidad polinómica.
• Dar valores numéricos cualesquiera, tantos como coeficientes indeterminados (en el ejemplo 5: x1, x2 y 3 valores más).
• Resolver el sistema.
Descomposición en fracciones simples: ejemplo
Descomponer en fracciones simples: x2 + x + 1
x5 – x4 – x + 1
Paso 1. Factorización del polinomio denominador
Por Ruffini obtenemos: x5 – x4 – x + 1 = (x + 1) . (x – 1)2 . (x2 + 1)
Paso 2. Descomponer en fracciones simples
x2 + x + 1x5 – x4 – x + 1 =
Ax + 1 +
B(x – 1)2 +
Cx – 1 +
Mx + Nx2 + 1
Paso 3. Cálculo de los coeficientes indeterminados
x2 + x + 1= A(x–1)2(x2+1) + B(x+1)(x2 +1) + C(x–1)(x+1)(x2 +1) + (Mx+N) (x+1)(x–1)2
⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫x=1 → B=3/4
x=–1 →A=1/8x=0 →– C + N = 1/8x=2 → 5C+2M+N = –13/8x=–2 → 5C+6M–3N = 3/8
Y de aquí: A = 1/8; B = 3/4; N = –1/4; C = –3/8; M = 1/4
Integrales racionales con denominador de grado 2
Estudio de la integral ⌡⎮⌠ Mx + Nax2 + bx + c
dx Sea D el discriminante del denominador: D = b2 – 4ac
Si la derivada del denominador es el numerador salvo una constante, la integral podrá ser resuelta como inmediata tipo neperiano.
En caso contrario: • Si D ≥ 0 ⇒ la integral se obtiene por descomposición en fracciones simples. • Si D < 0 ⇒ la integral es tipo neperiano + arco tangente.
Pasos para su obtención:
M ≠ 0 Paso 1: se busca la derivada del denominador en el numerador. Paso 2: como consecuencia se puede descomponer la integral en suma de otras
dos: la primera es inmediata (neperiano) y la segunda es tipo arco tangente. M = 0 (Cálculo de la integral tipo arco tangente).
Paso3: se convierte el denominador en un número (k) más un binomio al cuadrado (cosa que es posible por ser D < 0). Si previamente se multiplica por 4a se evitan los números fraccionarios.
Paso 4: se convierte el denominador en la unidad más una función al cuadrado (sacando factor común k en el denominador), ajustamos con constantes, e integramos como inmediata tipo arco tangente
Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórmulas trigonométricas fundamentales
sen2px + cos2px = 1 Fórmula fundamental de la trigonometría.
sen 2px = 2 sen px . cos px cos 2px = cos2px – sen2px
Seno y coseno del ángulo doble.
cos2px = 1 + cos 2px
2
sen2px = 1 – cos 2px
2
Fórmulas de reducción de grado.
sen a . cos b = 12 sen (a + b) +
12 sen (a – b)
cos a . cos b = 12 cos (a + b) +
12 cos (a – b)
sen a . sen b = – 12 cos (a + b) +
12 cos (a – b)
Fórmulas de conversión de productos de senos y
cosenos en suma.
sen (– px) = – sen px cos (– px) = cos px
Seno y coseno del ángulo opuesto.
1 + tg2 px = sec2 px; 1 + ctg2 px = csc2 px
Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método
n par Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. (I)
⌡⎮⌠ senn px dx
⌡⎮⌠ cosn px dx
n impar
Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares
Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3.
(II)⌡⎮⌠ senn px . cosn px dx
m ó n impares
De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular à Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
⌡⎮⌠ senn px . cosn px dx =
12n
⌡⎮⌠ senn 2px dx
que es del tipo (I).
Forma Condiciones Método (III)
⌡⎮⌠ sen px.cos qx.dx
⌡⎮⌠ sen px.sen qx.dx
⌡⎮⌠ cos px.cos qx..dx
p y q números reales cuales-
quiera
Convertir los productos en sumas mediante la relaciones 4 según convenga.
Integración de funciones trigonométricas: métodos II
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos I
= ⌡⎮⌠
sen3x.dx +
⌡⎮⌠
cos43x sen 3x.dx –2
⌡⎮⌠
cos23x sen 3x.dx =
= – 1 3 cos 3x -
2 9 cos 3 3x +
1 15 cos 5 3x+C
Tipo I. Exponente impar
= 14 x +
14 ⌡⎮⌠
1 + cos
4x3
2 dx – 34 sen
2x3 = 3x
8 – 34 sen
2x3 +
332 sen
4x3 + C
Tipo I. Exponente par
• ⌡⎮⌠
sen5 3x.dx = ⌡
⎮⌠
(sen23x)2 sen 3x.dx = ⌡
⎮⌠
(1–cos23x)2 sen 3x.dx =
• ⌡⎮⎮⌠
sen4 x
3 dx = 14 ⌡⎮⌠
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
1 + cos2 2x3 – 2 cos
2x3 dx =⌡
⎮⌠
⎝⎜⎜⎛
⎠⎟⎟⎞
sen2 x3
2 dx =⌡
⎮⌠
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞
1 – cos2x3
2
2
dx =
= 14 ⌡⎮⌠
1.dx + 14
⌡⎮⎮⌠
cos2 2x
3 dx – 2 14
⌡⎮⎮⌠
cos
2x3 dx =
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos II
Tipo II. Al menos un exponente impar
• ⌡⎮⎮⌠
cos4 5x.sen3 5xdx =⌡⎮
⎮⌠
cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx =
⌡⎮⎮⌠
cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =
= ⌡⎮⎮⌠
cos45x.sen 5x.dx – ⌡⎮
⎮⌠
cos65x.sen 5x.dx =
= – 125 cos5 5x +
135 cos7 5x + C
= 18 ⌡⎮⌠
1 – cos 12x
2 dx – 148
sen36x3 =
= 18 ⌡⎮
⎮⌠
sen26x dx –
18 ⌡⎮
⎮⌠
sen26x .cos 6x.dx =
= x
16 – 1
144 sen3 6x – 1
192 sen 12x + C
Tipo II. Todos los exponentes pares
• ⌡⎮⎮⌠
sen43x .cos2 3x.dx = ⌡⎮
⎮⌠
(sen23x)2 .cos2 3x.dx = ⌡
⎮⌠
⎝⎜⎛
⎠⎟⎞1 – cos 6x
22
1 + cos 6x2 dx =
= 18 ⌡⎮
⎮⌠
(1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
sen2 6x
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos III
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
• ⌡⎮⎮⌠
sen 3x.cos 5x.dx = 1
2 ⌡⎮⎮⌠
sen 8x .dx +
12 ⌡⎮
⎮⌠
sen( – 2x) .dx =
= – 116 cos 8x +
14 cos( – 2x) + C == –
116 cos 8x +
14 cos 2x + C
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos
Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abcisas x = a, x = b.
Área (Trapecio rectilíneo) =
= f(a) + f(b)
2 . (b – a)
Área (Trapecio curvilíneo) ≈ ≈
f(a) + f(b)2 . (b – a) Error
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