INSTRUMENTY INSTRUMENTY DŁUŻNEDŁUŻNE
Cena brudna obligacjiCena brudna obligacji
Obligacje są notowane na giełdzie.Obligacje są notowane na giełdzie. Cena giełdowa (rynkowa)Cena giełdowa (rynkowa) podawana jest procentowo w stosunku podawana jest procentowo w stosunku
do wartości nominalnej, nie uwzględnia narosłych odsetek do wartości nominalnej, nie uwzględnia narosłych odsetek Cena czysta obligacji Cena czysta obligacji to cena giełdowa to cena giełdowa Cena brudna obligacjiCena brudna obligacji jest sumą ceny giełdowej i naliczonych jest sumą ceny giełdowej i naliczonych
odsetek odsetek
Cena brudna pomnożona przez wartość nominalnąCena brudna pomnożona przez wartość nominalną jest ceną zakupu obligacjijest ceną zakupu obligacji
Odsetki Odsetki II nalicza nalicza się także procentowosię także procentowo w stosunku do wartości w stosunku do wartości nominalnej - wg wzoru:nominalnej - wg wzoru:
... kuponokrwobligacjioprockuponowymokresiewdniliczba
kuponuostatniegooddniliczbaI
Cena czysta, cena brudnaPrzykład
Obligacja kuponowa o nominale 1000 zł, rocznych kuponach, oprocentowaniu w wysokości 6%, na kwartał przed kolejnym kuponem ma cenę giełdową 98,20 %. Jaka jest cena brudna tej obligacji ?
Po jakiej cenie można nabyć tę obligację ?
Narosłe odsetki: (270/360)*6% = 4,5 % Cena brudna: 98,20 % + 4,5 %= 102,70 % Cena zakupu 102,70 % * 1000 zł =1027 zł
Zakup obligacji na giełdzieZakup obligacji na giełdzie, , między wypłatami między wypłatami kuponówkuponów (n kuponów do wykupu)(n kuponów do wykupu)
cena zakupu obligacji (P) =cena zakupu obligacji (P) =
= cena brudna * wartość nominalna obligacji= cena brudna * wartość nominalna obligacji
Dzieląc przez M równanie definiujące stopę YTM w tym przypadkuDzieląc przez M równanie definiujące stopę YTM w tym przypadku
otrzymujemyotrzymujemy
gdzie lewa strona oznacza cenę brudną obligacji, zaś prawa jest gdzie lewa strona oznacza cenę brudną obligacji, zaś prawa jest
sumą zaktualizowanych stopą YTM przyszłych przepływów w sumą zaktualizowanych stopą YTM przyszłych przepływów w
ujęciu procentowym (C/M oznacza oprocentowanie obligacjiujęciu procentowym (C/M oznacza oprocentowanie obligacji))
anaa YTM
CM
YTM
C
YTM
CP
11 )1(...
)1()1(
anMC
aMC
aMC
YTMYTMYTMM
P
11 )1(
1...
)1()1(
Stopa rentowności obligacji a jej cena Stopa rentowności obligacji a jej cena brudnabrudna
(inne sformułowanie)(inne sformułowanie)
Stopa rentowności obligacjiStopa rentowności obligacji – –
zanualizowana (obliczona w stosunku zanualizowana (obliczona w stosunku rocznym) stopa procentowa, taka że obliczona rocznym) stopa procentowa, taka że obliczona za jej pomocą wartość bieżąca przyszłych za jej pomocą wartość bieżąca przyszłych przepływów z obligacji w ujęciu procentowym przepływów z obligacji w ujęciu procentowym jest równa cenie brudnejjest równa cenie brudnej
Ryzyko inwestycji w obligacjeRyzyko inwestycji w obligacje
Ryzyko reinwestycyjne – możliwość uzyskania Ryzyko reinwestycyjne – możliwość uzyskania niskiej stopy zwrotu z wypłaconych odsetekniskiej stopy zwrotu z wypłaconych odsetek
Ryzyko ceny – występuje w przypadku handlu Ryzyko ceny – występuje w przypadku handlu obligacjami na rynku wtórnym (ceny podlegają obligacjami na rynku wtórnym (ceny podlegają fluktuacjom związanym z popytem, podażą i fluktuacjom związanym z popytem, podażą i przewidywaniami co do bazowej stopy przewidywaniami co do bazowej stopy procentowej a także wahaniom przypadkowym) procentowej a także wahaniom przypadkowym)
Ryzyko inwestycji w obligacjeRyzyko inwestycji w obligacje
Ryzyko kredytowe – związane z emitentem, ryzyko Ryzyko kredytowe – związane z emitentem, ryzyko niedotrzymania warunków umowy (tj. niezapłacenia niedotrzymania warunków umowy (tj. niezapłacenia odsetek bądź niewykupienia obligacji)odsetek bądź niewykupienia obligacji)
Ryzyko stopy procentowej – możliwość zrealizowania Ryzyko stopy procentowej – możliwość zrealizowania stopy dochodu z inwestycji różniącej się od stopy dochodu z inwestycji różniącej się od oczekiwanej np. w wyniku zmiany obowiązujących oczekiwanej np. w wyniku zmiany obowiązujących stóp procentowych (dotyczy obligacji o zmiennym stóp procentowych (dotyczy obligacji o zmiennym oprocentowaniu lub obligacji o stałym oprocentowaniu lub obligacji o stałym oprocentowaniu przy sprzedaży na rynku wtórnym)oprocentowaniu przy sprzedaży na rynku wtórnym)
Rating krajów europejskich wykonany przez S&P, czerwiec 2011(ciemnonieb.-AAA, jasnonieb. BBB, pom.- BB, czerw. B, róż- CCC, szary – brak oceny)
Ryzyko inwestycji w obligacjeRyzyko inwestycji w obligacje
Ryzyko płynności
(jeśli planowana jest wcześniejsza odsprzedaż na rynku wtórnym)
Ryzyko inflacji
(przy obligacjach długoterminowych o stałym oprocentowaniu)
Średni ważony czas trwania inwestycjiC1, C2,..,Cn,- wpływy w chwilach 1,2,..,n
C
Ct
C
Ct
C
Ctt t
n
tn
tt
tn
tn
tt
n
tt
1
1
1
1
1
Rozważmy dwie 10-letnie obligacje o rocznych wypłatach kuponu i wartości nominalnej 100 zł. Oprocentowanie pierwszej wynosi 6%, drugiej 8%. Obliczymy średnie ważone czasy trwania tych obligacji
0000,8180
1440
1008...888
10010810...838281
3125,8160
1330
1006...666
10010610...636261
2
1
t
t
(1)
Duracja (średni czas trwania) obligacji przynoszącej Duracja (średni czas trwania) obligacji przynoszącej regularne wpływy Cregularne wpływy Ctt po roku, dwóch,..,n latach. po roku, dwóch,..,n latach. Założenie: do wygaśnięcia pozostało n pełnych lat Założenie: do wygaśnięcia pozostało n pełnych lat YTM - stopa do wykupu. YTM - stopa do wykupu. Kapitalizacja rocznaKapitalizacja roczna
duracja (duracja (duration)duration) D zdefiniowana jest wzorem D zdefiniowana jest wzorem
lub inaczejlub inaczej
gdzie P jest wyceną obligacji, dokonaną przy użyciu stopy gdzie P jest wyceną obligacji, dokonaną przy użyciu stopy YTM YTM
n
tt
t
n
tt
t
YTMCYTMCt
D
1
1
)1(
)1(
PYTMCt
D
n
tt
t
1 )1(
(2)
Duracja (średni czas trwania) Duracja (średni czas trwania) inwestycji inwestycji przynoszącejprzynoszącej regularne wpływy C regularne wpływy Ctt w chwilach 1,2, w chwilach 1,2,…,n. …,n.
Duracja jest liczbą okresów bazowych (niekoniecznie
całkowitą)
(3)
lub krócej
n
tt
t
n
tt
t
IRRCIRRCt
D
1
1
)1(
)1(
n
tt
n
tt
CPV
CPVtD
1
1
)(
)(
Duracja inwestycji przynoszącej Duracja inwestycji przynoszącej regularne wpływy Cregularne wpływy Ctt w chwilach 1,2, w chwilach 1,2,…,n.…,n.
1
/)(
)(
)(
)(
1
11
1
1
1
n
tt
n
tt
n
tt
n
tt
n
tt
n
tt
w
gdzie
wtPVCPVt
PV
CPVt
CPV
CPVtD
Duracja - uwagi
Bezpośrednio z analizy wzorów wynikają następujące wnioski:
Gdy stopa procentowa użyta do dyskontowania jest równa zeru, to duracja jest równa średniemu ważonemu czasowi trwania
Jeżeli następuje tylko jeden wpływ w chwili t, to duracja rozważanego instrumentu wynosi t.
Duracja jako funkcja YTM (IRR) jest funkcją malejącą
Duracja obligacji przy niepełnym pierwszym okresie odsetkowym
1
0)(
1
0)(
)1(
)1(
)(
n
tta
t
n
tta
t
YTM
CYTM
Cta
D
Zakładamy, że obligacja przyniesie n wypłat, pierwszy okres odsetkowy jest niepełny i wynosi a
Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej
Suma w mianowniku wzoru definiującego durację jest wyceną przepływów przy stopie YTM. Rozważmy taką sumę ze stopą procentową r.
n
t
tt
n
tt
t
rgdzieCP
r
CrP
1
1
1
1
)1()(
Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej z użyciem duracji
Obliczmy pochodną funkcji P względem r
rDrrP
Pr
PrPD
rrP
DDrrP
rP
r
Ct
rr
CtrP
r
CrP
n
tt
t
n
tt
t
r
Cr
Ct
r
n
tt
tn
ttt
n
tt
t
1
1
)(
)(1
1)('
1
1
)(
)('
)1(1
1
)1()('
)1()(
1
1
)1(
)1(1
1
111
1
Wrażliwość wyceny przepływów finansowych
Ostatni wzór wyraża wrażliwość wyceny na zmianę stopy procentowej
Lewa strona oznacza względną zmianę wyceny (ceny) Jej bezwzględna wartość jest proporcjonalna do duracji
Iloraz D/(1+r) nazywany jest zmodyfikowaną duracją
Przy wzroście r o jeden punkt procentowy względna procentowa zmiana ceny jest w przybliżeniu równa minus zmodyfikowana duracja
Przy spadku r o jeden punkt procentowy względna zmiana ceny jest w przybliżeniu równa zmodyfikowanej duracji
rDrrP
P
1
1
)(
Wrażliwość wyceny obligacjiRyzyko stopy procentowej yzyko stopy procentowej
Oznaczmy zmodyfikowaną durację przez DOznaczmy zmodyfikowaną durację przez DMM::
Bezwzględna wartość względnej zmiany ceny obligacji jest Bezwzględna wartość względnej zmiany ceny obligacji jest proporcjonalna do zmodyfikowanej duracji. Zmodyfikowana proporcjonalna do zmodyfikowanej duracji. Zmodyfikowana duracja jest nazywana duracja jest nazywana współczynnikiem zmienności wartości bieżącej przepływówwartości bieżącej przepływów
YTMDP
P
YTMPDPPDYTM
P
zatemPDPczyliDP
P
wtedyDYTM
D
M
MM
MYTMM
YTM
M
,
,,
1
1
''
Duracja nieskończonego ciągu przepływów ( r > 0)
1
1
1
1
1
1
11 1
1,
)1()(
t
t
t
t
t
tt
t
tt
t
t
tt
t
tt
t
tt
tt
t
t
C
CtDmamyCCgdy
C
CtD
rgdzieCP
r
CrP
Duracja nieskończonego ciągu jednakowych przepływów
r
rdd
dd
ttD t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
Współczynnik P’/P dla nieskończonego ciągu przepływów
DC
Ct
rP
rP
CtCt
CtCtP
rgdzieCP
r
CrP
t
tt
t
tt
r
t
tt
t
tt
tr
tt
tr
ttr
t
tt
tt
t
1
1'
11
21
1)1(
11
1
1
11
)(
)(
))((
))((')('
1
1,
)1()(
2
Wypukłość obligacjiWypukłość obligacjipodejście propedeutycznepodejście propedeutyczne
(Wzrost stopy dochodu (YTM) powoduje (Wzrost stopy dochodu (YTM) powoduje spadek wartości (ceny) obligacji, zaś spadek wartości (ceny) obligacji, zaś spadek YTM powoduje wzrost jej spadek YTM powoduje wzrost jej wartości.)wartości.)
Wzrost wartości obligacjiWzrost wartości obligacji wywołany wywołany spadkiem YTM o 1 punkt procentowy spadkiem YTM o 1 punkt procentowy jest większy niż spadek jej wartościjest większy niż spadek jej wartości wywołany wzrostem YTM o 1 punkt wywołany wzrostem YTM o 1 punkt procentowy procentowy
Zależność ceny obligacji od rentowności (oś X)Zależność ceny obligacji od rentowności (oś X)
wartość nominalna 1000oprocentowanie obligacji 9%okres do wykupu 5liczba płatności w roku 2
Cena obligacji a rentowność (wykres 1)Cena obligacji a rentowność (wykres 1)Zmiana ceny przy zmianie rentowności o 1 Zmiana ceny przy zmianie rentowności o 1 punkt procentowy (wykres 2)punkt procentowy (wykres 2)
Współczynnik wypukłości C
CrrP
rP
r
Ctt
rrP
r
Ctt
r
CttrP
r
CtrP
r
CrP
n
tt
t
n
tt
t
r
Cr
Ctt
n
tt
t
n
tt
tn
tt
t
n
ttt
n
tt
t
1
1
)1(
)1(
)1(
2
12
12
12
11
1
)1(
1
)(
)(''
)1(
)1(
)1(
1)(''
)1(
)1(
)1(
))1(()(''
)1()('
)1()(
Wzór Taylora dla dwóch składników
rrPP
rrPDr
P
DrrP
rP
r
CrP
n
tt
t
)('
)(1
1
1
1
)(
)('
)1()(
1
)(
)()()(
)()()(
)()('')('
)()(''
221
11
2)()(''
21
)()('
221
convexityCgdzie
rrPCrrPDP
rrPrrPP
rrPrrPP
rPrP
r
rPrP
rPrP
Wypukłość nieskończonego ciągu przepływów
1
1
2''
1
2
211
1
1
1
1
''
1
'
)1(
)(
)(
)1(
)1(
1)1(
)(
)(
t
tt
t
tt
r
t
tt
t
tt
t
tt
t
tt
t
ttr
t
ttr
C
Ctt
rP
rP
Ctt
rCtt
dr
dCt
d
d
Ctdr
dCt
dr
drP
mamyCtrPwzoruze
Wypukłość nieskończonego ciągu jednakowych przepływów Ct=C, t=1,2,…
22
2
2
232
332
32
3232
21
32
1
1
2
1
1
2''
2
1
11
)1(
2
)1(
2
1
)1(
2
)1(
2...34232
)1(
2...34232
)1(
2
)1(
1...)4321(
)1(
1
1...4321
)1()1(
)(
)(
r
r
rC
d
d
d
d
d
d
d
d
tt
C
Ctt
rP
rPC
t
t
t
t
t
t
t
tt
t
tt
r
Przybliżona wartość wyceny aktywa z użyciem duracji i wypukłości
Pp
])(1[)()(
)()()()()(
)()()()()(
)()('')(')()(
)()(
)()('')('
221
11
221
11
221
11
221
221
rCrDrPrrP
rrPCrrPDrPrrP
rrPCrrPDrPrrP
rrPrrPrPrrP
rPrrPP
rrPrrPP
r
r
r
Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej z uwzględnieniem duracji i wypukłości
221
11
221
)()(
)()('')('
rCrDrP
P
rrPrrPP
r
)%(%100)( 200
11
1 CDrP
Pr
Z ostatniego wzoru wynika że jeżeli r wzrośnie o 1 punkt procentowy, to względna procentowa zmiana ceny wyniesie:
Jeżeli zaś r spadnie o 1 punkt procentowy to względna procentowa zmiana ceny wyniesie
)%(%100)( 200
11
1 CDrP
Pr
Wrażliwość wyceny na zmianę stopy rocentowej z uwzględnieniem duracji i wypukłości
Analogicznie można stwierdzić że, jeżeli r wzrośnie o p punktów procentowych, to względna zmiana ceny maleje o
( p DM – C p2 / 200 ) %
Jeżeli r spadnie o p punktów procentowych, to względna zmiana ceny wzrośnie o
( p DM + Cp2 / 200 ) %
Duracja ciągu przepływów przy kapitalizacji ciągłej
DeC
eCt
P
P
eCP
rocznastopaeC
eCtD
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
1
1
1
1
1
)(
)('
)(
;
Duracja jako funkcja zmiennej delta
0)(]))(()([
)()(
)(
)('
22
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
11
2
2
1
1 111
2
1
1
1
1
TVARTETEeC
eCt
eC
eCt
eC
eCt
eC
eCt
eC
eCteCeCt
eC
eCteCteCeCt
eC
eCt
d
d
d
dD
DeC
eCt
P
P
n
k
kk
tt
n
tn
t
tt
tt
n
t
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
n
t
tt
n
t
tt
tt
n
t
tt
n
t
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
Duracja jako funkcja zmiennej delta () - kapitalizacja ciągła
Wniosek 1. Przy kapitalizacji ciągłej duracja jest malejącą funkcją zmiennej .
Wniosek 2. Duracja (przy kapitalizacji rocznej) jest malejącą funkcją zmiennej r
(złożenie funkcji rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą)
)1ln(,1
1:
1
1
1
1
rr
e
C
Ct
eC
eCt
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
n
t
tt
Efektywna duracja
Jeśli wycena instrumentu (ciągu przepływów nie jest możliwa) ze względu np.. na zależność wielkości przepływów od zmiennej stopy procentowej lub brak możliwości ustalenia chwili przepływów (opcja przedterminowego wykupu), wówczas obliczamy tzw. efektywną durację według wzoru
)(2
)()(
rhP
hrPhrPDE
Efektywna wypukłość
W podobnej sytuacji definiujemy efektywną wypukłość jako
Jest to przybliżenie wypukłości definiowanej jako C=P’’/P
)(
)()(2)(2 rPh
hrPrPhrPCE
Top Related