VIBRACION DE
UN EDIFICIO
METODOS NUMERICOS PARA INGENIERIA BAIN053-07
Integrantes:
Marc Codjambassis Grupo 3
Emilio Celedon Grupo 2
Mario Santander Grupo 2
Carlos Yunge Grupo 2
INDICE Pgina
1. Introduccion 3
2. Parametros y Variables 4
3. Diagrama de cuerpo libre 5
4. Ecuaciones de de vibracion de un edificio 6
5. Ecuaciones de primer orden 7
6. Metodos de resolucion 8
6.1 Metodo de Euler 8
6.2 Metodo Euler Mejorado 10
6.3 Metodos Runge-Kutta 13
7. Conclusion 18
8. Bibliografia 31
1. INTRODUCCION
Al realizar una edificacin, hay factores que determinan su estructura, donde
se requiere una gran precisin en el momento de ser construido, existen
diversos casos en que la estructura de un edificio puede ser afectado ya sea
por un movimiento telrico, una fuerza externa ejercida sobre el o una
vibracin natural de este, casos como estos son estudiados realizando un
anlisis fsico y modelados a travs de ecuaciones diferenciales. Se han
establecido mtodos numricos para la solucin de estas ecuaciones, a base
de estos mtodos se han creado softwares para el desarrollo ptimo y el
estudio eficaz del desarrollo de un edificio. En el siguiente informe
analizaremos un edificio de 4 pisos donde una fuerza externa es aplicada
sobre los pisos del edificio generando un desplazamiento, al tener esta
informacin modelaremos en una ecuacin diferencial y lo analizaremos con
los metodos estudiados en clase.
2. METODOLOGIA
Un edificio simple puede ser definido como un edificio en el cual no se producen
rotaciones en lo miembros horizontales a la altura de los pisos. A este respecto, el
edificio simple, sometido a excitaciones que producen desplazamientos
horizontales, tiene muchas de las caractersticas de una viga en voladizo
deformada solamente por el esfuerzo de corte. Para esta deformacin en un
edificio debemos suponer las siguientes condiciones: (1) que toda la masa de la
estructura est concentrada al nivel de los pisos, (2) que las vigas en los pisos son
infinitamente rgidas, con relacin a la rigidez de las columnas y (3) que la
deformacin de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en
las columnas. La primera condicin transforma el problema, de un sistema con un
nmero finito de grados de libertad (debido a la masa uniformemente distribuida),
a un sistema que tiene solamente tanto grados de libertad como numero de masas
concentradas a nivel de los pisos. Un edificio de cuatro pisos, modelado como un
edificio simple, tiene tres grados de libertad, esto es los desplazamientos
horizontales al nivel de los cuatro pisos. La segunda condicin introduce el
requisito de las uniones entre las vigas y las columnas estn fijas sin rotacin. La
tercera condicin establece que las vigas rgidas en los pisos permanezcan
horizontales durante el movimiento de a estructura.
Debe notarse que el edificio puede tener cualquier nmero de vanos y es solo por
conveniencia que representamos un edificio simple con solamente un vano como
se muestra en la figura 1.1. En realidad podemos idealizar al edificio simple como
una sola columna (figura 1.2), con masas concentradas a la altura de los pisos, en
el bien entendido de que solo son posibles desplazamientos horizontales de estas
masas. Otra alternativa para representar un edificio simple es adoptar un modelo
de resorte y masa como se muestra en l (figura 1.3). En cualquiera de las tres
representaciones mostradas en la figura 1.1, 1.2 y 1.3, el coeficiente de rigidez o
contante de resorte k, entre dos masa consecutivas, es la fuerza requerida ora
reproducir un desplazamiento relativo de magnitud untara entre dos pisos
adyacentes.
Para una columna uniforme, con sus dos extremos fijos sin posible rotacin, la
constante del resorte esta dad por k=(12*E*I)/L^3.
Para una columna con un extremo fijo y otro articulado por k=(3*E*I)/L^3.
E= mdulo de elasticidad del material
I= momento de inercia del rea de la seccin
L= distancia entre pisos
Debe aclararse que las tres representaciones que aparecen en la figura 1.1 a 1.3
para un edificio simple son equivalentes. En consecuencia las ecuaciones de
movimiento en un edificio simple de cuatro pisos se pueden obtener de cualquiera
de los diagrama de cuerpo libre mostrado en esas figuras, esto es, igualando a
cero las sumas de las fuerzas que actan en cada una de las masas. As
obtenemos
Este sistema de ecuaciones constituye la formulacin de rigidez de las ecuaciones
del movimiento para este edificio simple de cuatro pisos. Las ecuaciones (1.2)
pueden escribirse convenientemente usando matrices como
3. VARIABLES Y PARAMETROS Nuestros parmetros y variables son las siguientes: Parmetros: K: constante de rigidez C: constante de amortiguacin M: masa del piso
: constante del material Variables: X(t): posicin del edificio respecto al tiempo t : tiempo
4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
5. ECUACIONES DE LA VIBRACION DE UN EDIFICIO
Para lograr llegar a estas ecuaciones se decidi sustituir la constante de amortiguacin (c) por la siguiente constante:
= [] + []
Analizando esta ecuacin verificamos que la constante tiende a cero, por lo tanto nuestra sustitucin queda de la siguiente forma:
= []
Por lo tanto, nuestras ecuaciones de vibracin de un edificio son las siguientes: Primer piso:
+
+ ( + ) = ()
Segundo piso:
+
+ ( + ) = ()
Tercer piso:
+
+ ( + ) = ()
Cuarto piso:
+
+ = ()
Se define que 1(), 2(), 3(), 4() = () = 0()() donde 0 es la fuerza
mxima del viento, y E es la elasticidad del material.
6. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Haciendo un cambio de variables obtenemos:
=
=
=
=
=
+
+
+()
= +
+
+
+()
= +
+
+
+()
= +
+()
7. METODOS DE RESOLUCION
Mtodo de Euler
El mtodo de Euler o mtodo de las tangentes es una de las tcnicas ms
simples. Consiste en considerar la aproximacin
( + ) () + () = () + (, )
(en donde el miembro derecho se obtiene a partir de la ecuacin diferencial dada) y
el siguiente proceso de iteracin. En el primer paso se calcula
1 = 0 + (0, 0)
Que se aproxima a (1) = (0 + ). En el segundo paso se calcula
2 = 1 + (1, 1)
Que se aproxima a (2) = (0 + 2). Asi sucesivamente, se calcula
= 1 + (1, 1)
que se aproxima a () y, de esta forma, obtenemos una tabla de valores
aproximados de la solucin.
A continuacin veremos el mtodo de Euler aplicado al problema inicial.
(, , , , , , , , ) =
(, , , , , , , , ) =
(, , , , , , , , ) =
(, , , , , , , , ) =
(, , , , , , , , ) = +
+
+()
(, , , , , , , , ) = +
+
+
+
()
(, , , , , , , , ) = +
+
+
+()
(, , , , , , , , ) = +
+()
+ = + ()
+ = + ()
+ = + ()
+ = + ()
+ = + [ +
+
+()
]
+ = + [ +
+
+
+()
]
+ = + [ +
+
+
+()
]
+ = + [ +
+()
]
Metodo de Euler Mejorado
La primera opcin que podemos aplicar es integrar mediante el metodo de
los trapecios, es decir tomando:
(, ())+1
1
2((, ) + (+1, +1))
con
+1 = + (, )
y llegaremos a la expresin del mtodo:
+1 = +
2((, ) + (+1, +1))
Lo normal es presentar el mtodo con las expresiones siguientes:
1 = (, ) ;
2 = (+1, +1 + 1)
+1 = +1
2(1 + 2)
Comparando este metodo con el metodo de Taylor de segundo orden, es
posible demostrar que el error local es tambien proporcional a h 3 y, por tanto, el
global lo es a h 2 .
Este mtodo adecundose a nuestro problema planteado al inicio es de la
siguiente forma:
+ = +
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
+ = +
[ + ]
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden
Los Metodos de Runge-Kutta de cuarto orden se deducen de una manera
similar a la expuesta en la seccion anterior para el caso de tercer orden. Ahora se
introduce un nuevo paso intermedio en la evaluacion de la derivada. Una vez mas
se presentan varias opciones en la evaluacion y es posible ajustar de tal manera
que se garantice el error local de manera proporcional a h 5 (es decir garantizando
exactitud en el cuarto orden en el polinomio de Taylor), lo cual lleva a un error global
proporcional a h 4. El Mtodo de cuarto orden mas habitual es el determinado por
las formulas siguientes
= (, )
= ( +
, +
)
= ( +
, +
)
= ( + , + )
+ = +
( + + + )
que al igual que el metodo de tercer orden esta basado en el mtodo de iteracin
de Simpson. Los errores local y global son en este caso proporcionales a y
respectivamente.
Este mtodo adecundose a nuestro problema planteado al inicio es de la
siguiente forma:
=
=
=
=
= +
+
+()
= +
+
+
+
()
= +
+
+
+()
= +
+()
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
(+) = +
( + + + )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= (, , , , , , , , )
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( +
, +
, +
, +
, +
, +
,
+
, +
, +
)
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
= 8( + , + , + , + , + , + , + , + , + )
8. GRAFICOS DE LOS METODOS
Metodo de euler
Euler mejorado
RK 4
9. CONCLUSION
Con respecto al trabajo grupal externo concluimos que al haber factores
constantes, como lo son la masa y coeficientes de amortiguacin, y factores
variables como el tiempo, la posicin y desplazamiento del edificio que incluidos
en los mtodos deducidos anteriormente tratados, estos dan solucin
aproximada al problema del movimiento de un edificio de 4 pisos en los casos de
someterlo a una fuerza externa lateral.
Las soluciones y resultados obtenidos anteriormente tienen sin duda un modelo
general para los 3 tipos de mtodos utilizados, es decir, adaptan una forma
parecida en todos los casos. Esto se debe a que son mtodos que logran resolver
una aproximacin del problema planteado, pero que sin duda tienen diferencias en
los resultados obtenidos debido a las caractersticas o condiciones que poseen
cada uno para ser planteados.
Segn la literatura el movimiento tendra que ser oscilante con disminucin de
intensidad y la comparacin de las grficas de los 3 mtodos antes mencionados,
el que ms se acerca a esto y por ende podemos concluir que es ms exacto es el
mtodo de runge-kutta de orden 4.
10. BIBLIOGRAFIA
[1] Wei-Chau Xie, 2010. Diferential equations for engineers, Cambridge
University Press.
[2] Chopra, A. K., 1995. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice-Hall, Berkeley, California.
[3] Clough, R., Penzien, J., 1993. Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New
York.
[4] Ing. Nicolas Tarque Ruiz, Ing. Cesar Loaiza Fuentes. Dymanics of
structures theory and applications, Quito, Ecuador.
[5] Dinamica estructural, Teoria y calculo. Mario paz, Profesor de Ingenieria
Civil, Universidad de Louisville
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