Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1
14.- INTEGRACIÓN
0.- Introducción
La integración es el proceso inverso al de la derivación; es decir, si la derivada de 2( )f x x es ( ) 2f x x , entonces una integral de ( ) 2f x x es 2( )F x x .
Dada una función, existe una única derivada, esto no sucede con la integración, ya que
dada una función existen infinitas integrales. Por ejemplo, 2( ) 5F x x y 2( ) 3G x x
son integrales de la función ( ) 2f x x , porque ( ) 2F x x y también ( ) 2G x x . A cada
una de las integrales se le llama primitiva y a la integral general se le llama integral
indefinida, o simplemente integral. Para hallar las integrales se aplica una tabla de integrales
inmediatas.
La primera aplicación de la integral es el cálculo de áreas, que se resuelve con la
integral definida. Gracias a este concepto, y a la regla de Barrow, se puede calcular, en un
intervalo (a, b), el área comprendida entre el eje X y una función, o entre dos funciones.
El cálculo de integrales tiene aplicaciones en la física, la economía, la demografía, etc.
Por ejemplo, si las hojas de una especie vegetal transpiran a razón de 1,5 mg de agua por cm2
y los bordes se ajustan a curvas de ecuaciones conocidas, mediante una integral se puede
calcular la cantidad total de agua que transpiran.
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1.- Primitivas de una función. La integral indefinida
a) Primitiva de una función
La primitiva de una función, f(x), es otra función, F(x), definida en el dominio de f,
que cumple ( ) ( ) F x f x .
La operación que permite obtener una primitiva, F(x), a partir de una función, f(x),
recibe el nombre de integración.
Ejemplo resuelto
1.- Encuentra dos primitivas de la función 4( ) 5 2f x x . De todas las primitivas halla la que pasa por el punto (1, 3).
Dos primitivas de f son: 5 5
1 2( ) 2 7 ( ) 2 4F x x x F x x x
Son primitivas de f , pues 1 2( ) ( ) ( )F x F x f x .
Todas las primitivas de la función 4( ) 5 2f x x son 5( ) 2F x x x C . De todas
ellas, la que pasa por el punto (1, 3) es la que cumple:
5(1) 1 2 1 3 1 2 3 4F C C C
Por tanto, 5( ) 2 4F x x x es la primitiva de 4( ) 5 2f x x que pasa por el punto
(1, 3).
Ejemplos
2.- Encuentra dos primitivas de la función: 3( ) 4 5f x x
3.- Determina la primitiva de 2( ) 3 5f x x , que pasa por el punto (1, 7).
De los ejemplos anteriores, se deduce que si F(x) es una primitiva de f, también lo es
la función F(x) + C, es decir, que una función f tiene infinitas primitivas que únicamente
difieren entre sí en una constante aditiva.
Ejercicios
4.- Encuentra dos primitivas de la función: 4( ) 5 6f x x x
5.- Determina la primitiva de 3( ) 4 5f x x , que vale 10 para x = 2.
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b) Integral indefinida
La integral indefinida de una función, f(x), es el conjunto de todas las primitivas de
esta, y se representa por ( )f x dx . Es decir,
( ) ( )f x dx F x C
, donde C es un número real llamado constante de integración.
El símbolo integral ∫ siempre va acompañado del factor dx, cuyo significado es
indicar la variable respecto de la que se integra. De esta forma, cualquier otra variable que
aparezca en el integrando se considerará una constate a efectos de realizar la integral.
Podemos deducir que: ( ) ( )f x dx f x
Observamos que la diferencia entre primitiva e integral indefinida es:
Primitiva: es una función.
Integral Indefinida: es un conjunto de funciones que se diferencia en una constante
c) Propiedades de la integral indefinida
Integral del producto por un nº real:
( ) ( ) ,a f x dx a f x dx a
Integral de una suma o diferencia:
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
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2.- Integrales inmediatas
Existe una gran variedad de métodos de integración, que depende del tipo de función
que integremos. En este curso vamos a ver el método de integración por integrales
inmediatas.
a) Función constante
K dx Kx C
b) Función potencial (n - 1)
Forma simple: 1
1
nn x
x dx Cn
Ejemplos
6.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 4
63 5 5 3
) 0 ) ) 7 )
) ) ) 7 ) 3
a dx b dx c dx d x dx
e x dx f x dx g x dx h x dx
7.- Calcula las siguientes integrales indefinidas:
4 2 22
1) (2 3 1) ) ( )a x x dx b x x dx
x
8.- La función ( ) 2 5f x x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. ¿Cuál de estas funciones toma el valor 18 para x = 2?
9.- La función de beneficios de una empresa, expresada en miles de euros, depende de la cantidad de producto fabricada, x, expresada en miles de kg, según la función B(x). Si la función de beneficios marginales de la empresa (derivada de la función de beneficios) tiene la expresión
180( ) 140 40
1B x x
x
, obtenga la expresión de la función de beneficios
B(x), si se considera que, si no se produce nada, el beneficio es nulo, es decir, B(0) = 0.
Ejercicios
10.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 3 3 2 6) ( 5 2 4) ) ( 2 )a x x dx b x x x dx
11.- Halla una función cuya derivada sea 3 2( ) 4 7 5 1f x x x x y que se anule para x = 1
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Forma compuesta: 1( )
( ) ( )1
nn f x
f x f x dx Cn
1
( ) 1
( ) ( 1) ( )n n
f xdx C
f x n f x
Ejemplos
12.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 2 2 52 3
2 252 5
) ( 3 ) (2 3) ) (2 7) 4 ) (2 1)
6 1) ( ) (2 1) )
(3 )
a x x x dx b x x dx c x dx
xd x x x dx e dx
x x
c) Función exponencial
Forma simple: x
x aa dx C
ln a
x xe dx e C
Ejemplo
13.- Calcula la siguiente integral indefinida: 5 x dx
Forma compuesta: ( )
( ) ( )f x
f x aa f x dx C
ln a
( ) ( )( )f x f xe f x dx e C
Ejemplos
14.- Calcula las siguientes integrales indefinidas: 27 1 3
2 3
) 3 ) 3 )
)
x x x
x
a dx b x dx c e dx
d e dx
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d) Función logarítmica
Forma simple: 1
dx ln x Cx
Forma compuesta: ( )
( )( )
f xdx ln f x C
f x
Ejemplos
15.- Calcula las siguientes integrales indefinidas:
2 2
6 2 1) ) )
4
x xa dx b dx c dx
x x x x
INTEGRALES INMEDIATAS
TIPO DE FUNCIÓN
PRIMITIVA FORMA SIMPLE FORMA COMPUESTA
Constante K dx Kx C
Potencial (n - 1) 1
1
nn x
x dx Cn
1( )
( ) ( )1
nn f x
f x f x dx Cn
1
( ) 1
( ) ( 1) ( )n n
f xdx C
f x n f x
Exponencial
x xe dx e C
xx a
a dx Cln a
( ) ( )( )f x f xe f x dx e C
( )( ) ( )
f xf x a
a f x dx Cln a
Logarítmica 1
dx ln x Cx
( )
( )( )
f xdx ln f x C
f x
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3.- Integral definida. Regla de Barrow
La integral definida de una función f continua y positiva en [a, b], entre los límites a
y b es el área del recinto limitado por su gráfica, el eje OX (abscisas) y las rectas x = a y x
= b. Se representa por: ( )b
af x dx
a) Regla de Barrow
En el siglo XVII, el matemático inglés Isaac Barrow dio una regla que lleva su nombre
y que permite calcular integrales definidas a partir de las indefinidas.
La regla de Barrow dice:
Si una función f es continua en [a, b] y F una primitiva cualquiera de f, entonces:
( ) ( ) ( ) ( )b b
aaf x dx F x F b F a
Para calcular integrales definidas ( )b
af x dx , seguimos los pasos siguientes:
1. Calculamos la integral indefinida correspondiente ( ) ( )f x dx F x C , y
tomamos una primitiva cualquiera, en particular podemos hacer C = 0 y
considerar F(x).
2. Calculamos F(a) y F(b).
3. Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: F(b) – F(a)
Ejemplo resuelto
16.- Calcula la siguiente integral definida 4 2
1( 4 1)x x dx aplicando la regla de
Barrow:
1. 3
2 2( ) ( 4 1) 23
xF x x x dx x x
2. 3
21 8 4 44(1) 2 1 (4) 2 4 4
3 3 3 3F F
3. 4 2
1
44 8 36( ) ( 4 1) (4) (1) 12
3 3 3F x x x dx F F
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 8
Ejemplos
17.- Calcula las siguientes integrales definidas: 2 22 2
0 1) ) ( 3 1)a x dx b x x dx
18.- Determina 5
3( )f x dx
siendo f(x) la función:
3
2
5 2
2 2 0( )
1 0 2
3 2 2
si x
x si xf x
x si x
x x si x
4.- Cálculo de áreas
a) Área comprendida entre una función, el eje OX y las rectas x = a y x = b
Para calcular el área comprendida entre la curva f(x) el eje OX (abscisas) y las rectas
de ecuación x = a y x = b, conviene dar los siguientes pasos:
1. Resolver la ecuación f(x) = 0 para averiguar los
puntos de corte de la curva con el eje OX.
2. Seleccionar, entre las raíces de la ecuación anterior,
aquellas que estén comprendidas entre a y b.
Imaginemos que estas raíces, ordenadas de menor a
mayor, sean x1, x2 y x3.
Es decir, se cumple: a < x1 < x2 < x3 < b.
3. Buscar una primitiva de f(x) sin constante.
Llamémosla G(x).
4. Calcular G(a), G(x1), G(x2), G(x3) y G(b).
5. Calcular cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow: G(x1) - G(a),
G(x2) - G(x1), G(x3) - G(x2) y G(b) - G(x3); y tomando sus valores absolutos.
Son las integrales de los cuatro recintos en los que queda dividida el área buscada.
6. El área buscada es la suma de ellas:
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( )x x x b
a x x xA f x dx f x dx f x dx f x dx
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Ejemplos
19.- Calcula el área de la región limitada por la curva 2( )f x x el eje X y las rectas x = 2 y x = 4.
20.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 3 2f x x x el eje X y las rectas x = - 3 y x = 0.
Ejercicios
21.- Halla el valor del área encerrada entre la gráfica de ( ) 2 1f x x el eje X y las rectas x = 1 y x = 3.
22.- Halla el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 16f x x x el eje X y las rectas x = 1 y x = 3.
b) Área comprendida entre una función y el eje OX
Para calcular el área comprendida entre la curva f(x) el eje OX (abscisas), conviene
dar los siguientes pasos:
1. Resolver la ecuación f(x) = 0 para averiguar los puntos de corte de la curva con
el eje OX.
2. Formar intervalos con cada dos raíces consecutivas: [x1, x2], [x2, x3]
3. Buscar una primitiva de f(x) sin constante. Llamémosla G(x).
4. Calcular G(x1), G(x2) y G(x3).
5. Calcular cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow: G(x2) - G(x1) y
G(x3) - G(x2); y tomando sus valores absolutos. Son las integrales de los dos
recintos en los que queda dividida el área buscada.
6. El área buscada es la suma de ellas:
2 3
1 2
( ) ( )x x
x xA f x dx f x dx
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 10
Ejemplos
23.- Calcula el área de la región limitada por la curva 2( ) 4f x x y el eje de abscisas.
24.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 4f x x x y el eje X.
Ejercicio
25.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3( ) 3 2f x x x y el eje X.
c) Área comprendida entre dos curvas
El área comprendida entre dos curvas f(x) y g(x) es igual al
área comprendida entre la función diferencia, f(x) – g(x) y el eje
OX. Los pasos a seguir son:
1. Restar las funciones: f(x) – g(x) = h(x).
2. Resolver la ecuación: h(x) = 0 para averiguar los
puntos de corte de la nueva curva con el eje OX.
3. Formar intervalos con cada dos raíces consecutivas:
[x1, x2], [x2, x3]
4. Buscar una primitiva de f(x) sin constante. Llamémosla G(x).
5. Calcular G(x1), G(x2) y G(x3).
6. Calcular cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow: G(x2) - G(x1) y
G(x3) - G(x2); y tomando sus valores absolutos. Son las integrales de los dos
recintos en los que queda dividida el área buscada.
7. El área buscada es la suma de ellas:
3 2 3
1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )x x x
x x xA f x g x dx h x dx h x dx
x1 x2 x3
x1 x2 x3
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 11
Ejemplos
26.- Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones ( ) 2f x x , 2( ) 1g x x x .
27.- Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones 2( ) 3f x x y 2( ) 4g x x .
Ejercicios
28.- Halla el área encerrada por la parábola de ecuación 2( ) 2(1 )f x x y la recta de ecuación ( ) 1g x .
29.- Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación 2( ) 4f x x y la recta de ecuación ( ) 2 5g x x .
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 12
Ejercicios finales
Primitivas. Integral indefinida
30.- Calcula 22
6 2( 3 )x x dx
x x
31.- Calcula 2( 8 17)x x dx
32.- Calcula 9( 2 )
2 5dx
x
33.- Dada la función 2( ) 2( )xf x x e , calcula la función F(x) sabiendo que ( ) ( )F x f x y que su gráfica pasa por el punto (0; 2).
34.- De una cierta función f(x), sabemos que su función derivada es 2( ) 3 6 9f x x x . Calcula la expresión de la función f(x), sabiendo que la
gráfica de la función pasa por el punto (0; 1).
Integral definida. Regla de Barrow 35.- Calcula las siguientes integrales definidas:
53 2 2
1 2) (4 ) ) ( 6 10)a x x dx b x x dx
36.- Halla 3
1( )f x dx siendo f(x) la función:
2( )
2 3 2
x si xf x
x si x
37.- Halla 5
2( )f x dx
siendo f(x) la función: 2
1 0
( ) 1 0 2
2 1 2
x si x
f x x si x
x si x
Cálculo de áreas 38.- Calcula el área de la región limitada por la curva 2( ) 4f x x en el intervalo
[0, 3].
39.- Calcula el valor del área encerrada entre la gráfica de 3 2( ) 2f x x x y el eje X.
40.- Dada la función : 2
3 2 1( )
2 1 1
x si xf x
x si x
, calcula:
a) 3
1( )f x dx
b) El área de la región encerrada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas x = - 1 y x = 3.
Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 13
41.- Calcula el área en cada uno de los siguientes casos:
a) Recinto limitado por la función 2( ) 4f x x y el eje de abscisas.
b) Recinto limitado por la gráfica de la función 1( )f x
x , el eje OX y las
rectas x = 1 y x = e. c) Recinto limitado por la gráfica de la función 2( ) xf x e , el eje de
abscisas, el eje de ordenadas y la recta x = 2.
42.- Calcula el área comprendida entre las gráficas de las siguientes funciones: 2( ) 4f x x x y ( ) 2 3g x x .
43.- Calcula el área comprendida entre las gráficas de las siguientes funciones: 3( ) 2f x x x y 2( )g x x .
44.- Halla el área de la región comprendida por las gráficas de las funciones: 2( ) 2 15f x x x y ( ) 12g x
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