8/17/2019 Hasil Kali Titik
1/20
HASIL KALI TITIK; PROYEKSI
Pada bagian ini kita perkenalkan semacam perkalian
vektor di ruang-2 dan ruang-3. Sifat- sifat ilmu hitung
perkalian ini akan ditentukan dan beberapa penerapannya
akan diberikan.
Misalkanu dan v adalah dua vektor taknol di ruang-2
atau ruang-3, dan anggaplah vektor – vektor ini telahdilokasikan sehingga titik awalnya berimpit. Yang kita
artikan dengansudut di antara udan v, adalah sudutθ
yang ditentukan olehu dan v yang memenuhi 0≤ θ ≤ π
(Gambar 5).
Gambar 5.
Definisi
Jikau dan v adalah vektor-vektor di ruang-2 atau ruang-3
danθ adalah sudut di antarau dan v, makahasil kali titik
(dot product) atauhasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner
8/17/2019 Hasil Kali Titik
2/20
product) u . v didefinisikan oleh
(2)
Contoh 5
Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6, maka sudut di
antara vektoru = (0, 0, 1) dan vektor v = (0, 2, 2) adalah
45°. Jadi,
Gambar 6
u . v=‖u‖.‖v‖cosθ=(√ 02+02+12 ) (√ 02+22+22 )(12 √ 2)=2
Untuk tujuan penghitungan, hal ini diperlukan untuk
8/17/2019 Hasil Kali Titik
3/20
mendapatkan rumus-rumus yang menetapkan hasil kali
titik dari dua vektor dalam suku-suku komponen vektor.
Kita ingin memperolehnya sebagaimana rumus untuk
vektor di ruang-3; penurunan vektor di ruang-2 dengan
demikian adalah serupa.
Misalkanu = (u1,u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah dua
vektor taknol. Jika, seperti pada Gambar 7,θ adalah
sudut di antara u dan v, maka hukum cosinus
menghasilkan
‖⃗ PQ‖2=‖u‖2+‖v‖2−2‖u‖‖v‖cosθ (3)
Gambar 7.
8/17/2019 Hasil Kali Titik
4/20
Karena PQ=v−u
, maka dapat kita tuliskan kembali
persamaan 3 sebagai
(4)
Jikau = (u1, u2) dan v= (v1, v2) adalah dua vektor di ruang
2, maka rumus yang bersesuaian adalah
u.v = u1 v1 + u2 v2 untuk Ruang 2
jikau dan vadalah vektor taknol, maka rumus (2) dapat
ditulis
cosθ= u . v
‖u‖‖v‖(5)
Contoh 6
Tinjaulah vektor-vektor
u=(2, -1, 1) dan
v = (1,1,2)
8/17/2019 Hasil Kali Titik
5/20
Carilahu . v dan tentukanlah sudutθ di antarau dan v.
Pemecahan
u • v =u1 v1 +u2 v2 +u3 v3 = (2)(1) + (- 1)(1) + (1)(2) = 3
Untuk vektor yang diberikan kita dapat
||u|| = || v|| = √ 6 sehingga dari persamaan (5)
cosθ= u . v
‖u‖‖v‖=
3
√ 6√ 6=1
2
Jadi,θ =60°.
Contoh 7
Carilah sudut di antara diagonal kubus dan salah satu
sisinya.
Pemecahan. Misalkan k adalah panjang sisi dan
perkenalkanlah sistem koordinat yang diperlihatkan pada
gambar 8
8/17/2019 Hasil Kali Titik
6/20
Gambar 8
Jika kita misalkan u1 =(k, 0, 0), u2 = (0,k, 0), dan u3 =
(0, 0,k), maka vektor d =(k, k, k) = u1 + u2 + u3
adalah diagonal kubus tersebut. Sudutθ di antarad dan
sisiu1, memenuhi
3k 2
√ ¿¿
(k ) ¿
cosθ= u1. d‖u1‖‖d‖= k
2
¿
Jadi,
θ=cos−1( 1√ 3 )≈5 4044 ' =54,730
8/17/2019 Hasil Kali Titik
7/20
Teorema berikutnya memperlihatkan bagaimana hasil
kali titik dapat digunakan untuk mendapatkan informasi
mengenai sudut di antara dua vektor; teorema tersebut
juga menghasilkan hubungan penting di antara norma
dan hasil kali titik.
Teorema 2
Misalkanu dan vadalah vektor di ruang 2 dan ruang 3
a. v.v = || v||2 yakni || v|| = ( v.v)1/2
b.jikau dan v adalah vektor-vektor tak nol dan θ
adalah sudut diantara kedua vektor tersebut, maka
θ lancip jika dan hanya jikau.v> 0
θ tumpul jika dan hanya jikau.v< 0
θ =π/2 jika dan hanya jikau.v = 0
Bukti
karena sudutθ di atara v dan v adalah 0, maka diperoleh
v.v = || v|| || v|| cosθ = || v||2 cos 0 = || v||2
8/17/2019 Hasil Kali Titik
8/20
b.Karena ||u|| > 0, || v||> 0, danu • v = ||u||||
v||cosθ, makau • v mempunyai tanda sama seperti
cosθ. Karenaθ memenuhi 0
8/17/2019 Hasil Kali Titik
9/20
lah0, karenanya kita dapat menyatakan tanpa kecuali
bahwa baik vektor u maupun vakan ortogonal jika dan
hanya jikau • v =0.Untuk menetapkan bahwau dan v
adalah vektor ortogonal maka kita dapat menuliskanu ⊥
v.
Contoh 9
Tunjukkanlah bahwa di ruang-2 vektorn taknol =(a, b)
tegaklurus terhadap garisax +by + c =0.
Penyelesaian.
MisalkanP1 (x1,y1) danP2 (x2, y2) adalah titik nyata pada
sebuah garis, sehingga dengan demikian
ax1 +by1 + c = 0
ax2 +by2 +c = 0 (6)
Karena vektor P
1 P
2= x
2− x
1, y
2− y
1 digerakkan sepanjang
garis itu, maka kita hanya ingin menunjukkan bahwan
dan P
1 P
2 adalah tegaklurus. Namun pada pengurangan
persamaan dalam (6) kita peroleh
a(x2 – x1) +b(y2 - y1) = 0
yang dapat dinyatakan dalam bentuk
8/17/2019 Hasil Kali Titik
10/20
(a,b).(x2 – x1, y2 – y1) = 0
atau
n • P1 P2 = 0
sehingga dengan demikiann dan P
1 P
2 akan tegaklurus.
Teorema berikut akan menyenaraikan sebagian besar
sifat penting dari hasil kali titik tersebut. Hasil kali titik ini
akan bermanfaat dalam penghitungan yang mencakup
vektor-vektor.
Teorema 3. Jikau, v dan wadalah vektor-vektor di ruang
2 dan ruang 3 dan k adalah skalar, maka
(a) u • v = v • u
(b) u • ( v+ w) =u • v +u • w
(c)k(u • v) =(ku)• v =u • (k v)
(d) v • v > 0 jika v≠ 0dan v • v = 0 jika v = 0
Bukti. Kita akan membuktikan (c) untuk vektor di ruang-3
dan membiarkan bukti selebihnya sebagai latihan bagi
anda Misalkan u = (u1,u2, u3) dan v = (v1(,v2, v3); maka
8/17/2019 Hasil Kali Titik
11/20
k(u • v) = k(u1 v1 +u2 v2+u3 v3)
=(ku1)vl +(ku2)v2 +(ku3)v3
= (ku) • v
Demikian juga,
k(u • v) =u • (k v)
Dalam banyak penerapan hal ini cukup menarik
untuk” menguraikan ’ vektoru ke dalam jumlah dua
suku, yang satu sejajar dengan vektor a taknol sedangkan
yang lain tegak lurus terhadap a. Jika u dan a
ditempatkan sedemikian rupa maka titik awalnya akan
menempati titik Q, kita dapat menguraikan vektor u
sebagai berikut (Gambar 9) : Turunkanlah garis
tegaklurus dari atas u ke garis yang melalui a, dan
bentuklah vektor w1 dariQke alas garis yang tegaklurus
tersebut. Bentuk selanjutnya akan berbeda
w2 = u – w1
8/17/2019 Hasil Kali Titik
12/20
Gambar 9
Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 9, vektor sejajar
dengana, vektor w2 tegaklurus dengan a, dan
w1 + w2 = w2 + (u — w1) = u
Vektor w1 tersebut kita namakan proyeksi ortogonal u
pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen
vektor u sepanjang a.Hal ini kita nyatakan dengan
proyau
(7)
Vektor w2 kita namakankomponen vektor u yang ortogonal
terhadap a. Karena w2 = u - w2
maka vektor ini dapat kita tulis dalam notasi (7) sebagai
w2 = u - proya u
Teorema berikut memberikan rumus untuk menghitung
vektor proyau danu -proyau.
Teorema 4
Jikau dana adalah vektor di ruang-2 atau di ruang-3 dan
8/17/2019 Hasil Kali Titik
13/20
jikaa ≠ 0 maka
proya u=u . a
‖a‖2 a(komponen vektor u sepanjang a)
u− proy au=u−u . a
‖a‖2 a(komponen vektor u yang ortogonal dengana)
Bukti. Misalkan w1 = proya u dan w2 =u - proya u. Karena
w1 sejajar dengana, maka kita harus mengalikan skalar a,
sehingga kita dapat menuliskan dalam bentuk w1 =ka.
Jadi
u = w1 + w2 = ka + w2
(8)
Dengan mengambil hasil kali titik dari kedua sisi (8)
dengana maupun dengan menggunakan Teorema 2(a) dan
3 akan menghasilkan
u . a=( k a+w2 ). a=k ‖a‖2
+w2. a (9)
Namun w2 •a = 0 karena w2 tegaklurus padaa; sehingga
(3.10) menghasilkan
k = u . a
‖a‖2
8/17/2019 Hasil Kali Titik
14/20
Karena proya u = w1 =ka, kita peroleh
pro y a u= u . a
‖a‖2 a
Contoh 10
Misalkanu = (2, -1, 3) dana = (4, -1, 2). Carilah komponen
vektoru sepanjang a dan komponen vektor u yang
ortogonal kea.
Pemecahan.
u •a = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 15
−1¿2+22=21
‖a‖2=42+¿
Jadi, komponen vektoru sepanjanga adalah
pro ya u=u . a
‖a‖2 a=15
21(4,−1,2 )=( 207 , 57 , 107 )
dan komponen vektoru yang ortogonal dengana adalah
u− pro yau=(2,−1,3 )−(207 ,5
7,10
7 )=(−67
,−2
7,11
7 )Sebagai pemeriksaan, Anda mungkin ingin menguraikan
bahwa vektoru - proyau dana adalah tegaklurus dengan
8/17/2019 Hasil Kali Titik
15/20
menunjukkan bahwa hasil kali titiknya adalah nol.
Sebuah rumus untuk panjang komponen vektoru
sepanjanga dapat kita peroleh dengan menuliskan
‖ pro ya u‖=‖u . a‖a‖2 a‖
¿|u .a‖a‖2|‖a‖[karena u . a
‖a‖2 adalah sebuah skalar]
¿|u . a|
‖a‖2 ‖a‖[karena‖a‖2>0 ]
yang menghasilkan
‖ pro ya u‖=|u . a|‖a‖
(10)
Jikaθ menyatakan sudut diantaraudana,maka
u . a=‖u‖‖a‖cosθ
sehingga dengan demikian (10) dapat juga kita tuliskan
sebagai
‖ pro ya u‖=‖u‖|cosθ|(11)
(Buktikan). Sebuah interpretasi geometrik dari hasil ini
8/17/2019 Hasil Kali Titik
16/20
kita berikan dalam Gambar 10.
Sebagai contoh, kita ingin menggunakan metode
vektor untuk memperoleh rumus untuk jarak dari sebuah
titik pada bidang tersebut terhadap sebuah garis.
Gambar. 10
Contoh 11
Carilah rumus untuk jarakD diantara titikP0(x0, y0) dan
garisax + by +c = 0.
Pemecahan. MisalkanQ{x1, y1) adalah sebarang titik pada
garis dan posisi vektor
n = (a, b)
sehingga dengan demikian titik awalnya terletak diQ.
Dengan menggunakan kebajikan Contoh 9, vektorn
8/17/2019 Hasil Kali Titik
17/20
akan tegaklurus terhadap garis tersebut (Gambar 3.24).
Sebagaimana ditunjukkan dalam gambar tersebut, jarak D
akan sama dengan panjang proyeksi ortogonal Q P0
padan, jadi, dari (10), kita peroleh
D=‖ pro y n⃗Q P0‖=|⃗Q P0. n|‖n‖
Tetapi
Q P0=( x0− x1 , y0− y1)
⃗Q P0
. n=a ( x0− x1 )+b( y0− y1)
‖n‖=√ a2+b2
Sehingga demikian
D=|a ( x0− x1 )+b ( y0− y1)|
√ a2+b2(12)
Karena titik Q(x1, y1) terletak pada garis tersebut, maka
koordinatnya akan memenuhi persamaan garis, sehinggaax1+ by1 + c = 0
c = -ax1 – by1
dengan menyulihkan persamaan (mensubsitusikan)
ekspresi dalam persamaan (11)
8/17/2019 Hasil Kali Titik
18/20
a x0+b y
0+c
D= |¿|
√ a2+b2 (13)
gambar 11
D=|(3 ) (1 )+4 (−2)−6|
√ 32
+42
=|−11|
√ 25=
11
5
8/17/2019 Hasil Kali Titik
19/20
8/17/2019 Hasil Kali Titik
20/20
Top Related