7/25/2019 Guia de control.docx
1/44
PROBLEMA 1
Linealice las siguientes funciones alrededor de x , y , z
(a) f(x )=x2
(b) f(x , y )=xy
(c) f(x , y , z )=xyz
(d) f(x )=x
(e) f(x , y )=xy
(f) f(x , y )=ln (xy )
(g) f(x , y )=x cosy
(h) f(x , y )=exp (xy )
SOLUCIN:
Utilizando la expansin de Taylor de orden 1 alrededor de x , y , z
f(x , y , z ) f(x , y , z )+ f
x( x , y , z ) (x x )+
f
y( x , y , z ) (y y )+
+ f
y ( x , y , z ) (z z )
(a) f(x )=x2
x
2
x
2
+2 x (xx )
(b) f(x , y )=xy
xy xy + y (x x )+ x (y y )
(c) f(x , y , z )=xyz
xyz xyz + yz (x x )+ xz (y y )+ xy (zz )
(d) f(x )=x
x x+ 1
2x (xx )
(e) f(x , y )=xy
7/25/2019 Guia de control.docx
2/44
xy x y+y (x x )+ x
2y (y y )
(f) f(x , y )=ln (xy )
ln (xy )ln ( xy )+ 1x
(x x )+ 1y
(y y )
(g) f(x , y )=x cosy
x cosy x cosy +cosy (x x ) x seny (y y )
(h) f(x , y )=exp (xy )
exp (xy ) exp ( xy )+ y exp ( xy ) (x x )+ x exp ( xy ) (y y )
PROBLEMA 2. Modelo matemtico de un tanue
7/25/2019 Guia de control.docx
3/44
V-1
LT
LTL
T-1
!et point
"escripcin#
T-1# Tan$ueV-1# V%l&ula reguladoraLT# 'edidor y Transisor de ni&elL# ontrolador de ni&el
HR # !et point del ni&el del
tan$ue o &alor deseado
h (t) # i&el del tan$ue
Q0(t) # audal de entrada
Q (t) # audal de salida
u (t) # !e*al de control
pro&eniente de L
7/25/2019 Guia de control.docx
4/44
PROBLEMA !. Modelo matemtico en "uncione# de t$an#"e$encia dedo# tanue# en #e$ie
onsidere un sistea isot+rico $ue consiste en dos tan$ues en serie coo seuestra en la gura .l /uido en fase l0$uida es ipulsado al prier tan$ue
con un caudal de alientacin Q0(t) bos tan$ues tienen %reas
trans&ersales constantes A 1 , A 2 respecti&aente .l caudal $ue
abandona el prier tan$ue a tra&+s de la &%l&ula V-1 $ue de2a caer por
gra&edad el /uido siguiendo la ecuacin
Q1 (t)=CV1 h1 (t)
donde Q1 (t) es el caudal $ue abandona el prier tan$ue, h1(t) el ni&el de
l0$uido en el prier tan$ue y CV1 el coeciente de descarga de la &%l&ula
7/25/2019 Guia de control.docx
5/44
V-1 .l caudal $ue abandona el segundo tan$ue a tra&+s de una &%l&ulareguladora V-3 &iene dada por
Q2 (t)=CV2 vp(t)h2 (t)
"onde Q2 ( t) es el caudal $ue abandona el segundo tan$ue, h2(t) el ni&el
de l0$uido en el segundo tan$ue, CV2 el coeciente de descarga de la
&%l&ula V-3 y vp(t) es la posicin de la &%l&ula, es decir, la fraccin $ue est%
abierta esta &%l&ula en cual$uier instante donde 0 vp(t) 1
Los &alores de las constantes son A 1=1 [m2 ] , A 2=2 [m
2 ] ,
CV1=0,005 [m5/ 2 / s ] , CV2=0,006 [m5/ 2
/ s ] Los &alores en el punto de operacin
en estado estacionario son Q0=0,005 [m3
/ s ] , vp =0,5 4nicialente, elcaudal se encuentra en el punto de operacin
(a) 5orule el balance de asa en estado transitorio y estado estacionarioalcule los ni&eles del tan$ue en el punto de operacin
(b) .scriba el odelo ate%tico del sistea en t+rinos de las &ariablesde perturbacin
(c) uidadosaente identi$ue las funciones no lineales del sisteaLinealice el odelo presentado en (b)
(d) 6btenga las funciones de transferencia H2 ( s ) /Q0
(s ) , H2 ( s ) / vp
( s )
(e) onstruya el diagraa de blo$ues del sistea, indi$ue las se*ales deentrada y salida
(f) 4denti$ue las &ariables edida, anipulada y controlada onstruya undiagraa de blo$ues del lazo de control $ue se*ale &ariable dereferencia (!et 7oint) y perturbaciones sobre el sistea La funcin de
transferencia del edidor-transisor es Gm(s ) , la del controlador es
GC( s ) y la del actuador es GV(s )
7/25/2019 Guia de control.docx
6/44
Tan$ue 1
Tan$ue 3V-3
V-1
7/25/2019 Guia de control.docx
7/44
SOLUCIN:
%a&Ecuacione# de 'alance de ma#a t$an#ito$io ( en e#tadoe#taciona$io )a$a cada tanue:
Acumulacin=Enta!ale
{A 1" h1
"t =Q0 (t)Q1(t)
A 1" h1
"t =Q0
Q1=0
{
A 2" h2
"t =Q1 (t)Q2(t)
A 2" h2
"t
=Q1Q2=0
Punto de o)e$aci*n:
Q1= Q2= Q0 =0,005 [m3 / s ]
Q1=CV1h1 h1=(Q1CV1 )
2
=( 0,0050,005 )2
=1 [ m ]
Q2=CV2 vp h2
h2=
( Q2
CV2 vp )2
=( 0,005
0,008 0,5 )2
=1,56 [m ]
%'&Modelo matemtico en t+$mino# de la# ,a$ia'le# de)e$tu$'aci*n:
8estando el balance en estado transitorio y el balance en estado estacionariose obtiene
{A 1
"
"t(h1 h1 )= (Q0(t) Q 0 )(Q 1 ( t)Q1 )
A 2"
"t(h2h2 )=(Q1(t) Q 1)(Q2( t)Q2 )
{A 1
" h1
"t =Q 0
(t)Q1 (t)
A 2" h
2
"t =Q1
(t)Q2
(t)
!ustituyendo las ecuaciones constituti&as escritas en t+rinos de las &ariablesde perturbacin
7/25/2019 Guia de control.docx
8/44
Q1 (t)=CV1h1( t)
Q1=CV1h1 }Q1 (t)=CV1 (h1 (t)h1)Q2 (t)=CV2 vp (t)h2 (t)
Q2 =CV2 vp h2 }Q2
(t)=CV2(
vp (t)h2 (t)vph2)
%c&Lineali-aci*n del modelo:
Las expresiones h1 (t) , vp(t)h2(t) no son lineales Linealizando cada
expresin
f(x , y ) f( x , y )+ f
x( x ,y ) (x x )+
f
y( x , y ) (y y )
h1 h1+ 12h1(h1h1 )h1h1= 12h1
h1 (t)
vp h2 vp h2+h2 ( vp vp )+ vp
2h1(h2h2 ) vp h2 vp h2=h2 vp
(t)+ vp
2h1h2
(t)
Q1 (t)=CV1 (h1(t)h1)=
CV1
2h1h1
(t)
Q2 (t)=CV2 ( vp(t)h2(t) vp h2 )=CV2(h2 vp (t)+ vp2h2 h2
(t))%d&uncione# de t$an#"e$encia del modelo:
plicando la transforada de Laplace a las ecuaciones del balance de asa
# [ f( t)] $ %( s)=0
&
est
f( t) "t
{# [A1" h1
"t]=# [Q0 (t)Q1 (t)]# [A 2 " h2
"t]=# [Q1 (t)Q2 (t)]{ A 1 ( s H1
(s )h1 (0 ))=Q0
( s )Q1 ( s)
A2(s H2 ( s)h2
(0 ))=Q1 (s )Q2
(s )
7/25/2019 Guia de control.docx
9/44
Las condiciones iniciales son h1 (0)=h2
(0 )=0 plicando la transforada de
Laplace a las ecuaciones constituti&as
# [Q1 (t)]=CV1
2h1 # [ h1 ( t)]Q1 ( s)=
CV1
2h1 H1
(s )
# [Q2 (t)]=CV2h2 # [vp
(t)]+CV2 vp
2h1 # [h 2
(t)]Q2 (s )=CV2 h2 vp
(s )+CV2 vp
2h2 H2
( s )
!ustituyendo en las ecuaciones de balance de asa
{
A 1 s H1 (s )=Q0
(s )CV1
2h1 H1
(s )
A 2 s H2 ( s)=
CV1
2h1 H1
( s)CV2 h2 vp (s )
CV2 vp
2h2 H2
(s )
"e la priera expresin se obtiene
H1 (s )
Q0 (s )
= 1
A 1 s+ CV1
2h1
=
2h1CV1
2A1 h1CV1
s+ 1
9 de la segunda expresin se obtiene
H2 ( s)=
CV1
2h1
A 2 s+CV2 vp
2h2
H1 ( s)
CV2h2
A2 s+CV2 vp
2h2
vp (s )
H2 ( s)=
CV1
2h1
A 2 s+
CV2 vp
2h2
2h1CV1
2A1h1CV1 s+1
Q0 (s )
CV2 h2
A2 s+
CV2 vp
2h2
vp (s )
"e las cuales se obtienen las siguientes funciones de transferencia respecto alas entradas#
7/25/2019 Guia de control.docx
10/44
H2 (s )
Q0 (s )
=
2h1CV1
2A1 h1CV1
s+ 1
CV1
2h1
A2 s +CV2 vp
2h2
=
2h2CV2 vp
(2A1 h1CV1 s +1)(2A2 h2
CV2 vps +1)
H2 (s )
vp (s )
= CV2 h2
A 2 s+CV2 vp
2h2
=
2 h2
vp
2A2 h2CV2 vp
s +1
Las funciones anteriores pueden escribirse de la fora (es recoendableescribirlas asi)
H2 (s )
Q0 (s ) =
'1
( (1 s +1 ) ((2 s +1)
H2 (s )
vp (s )=
'2
(2 s+ 1
"onde las constantes de tiepo y las ganancias son
(1=2A1 h1
CV1(2=
2A2 h2CV2 vp
'1= 2h2CV2 vp
'2=2 h2
vp
%e&/ia0$ama de 'loue# del #i#tema:
H2 ( s)=
H2 (s )
Q0 (s )
Q0 ( s)
H2 (s )
vp (s )
vp (s )
Los diagraas de blo$ue de un sistea se pueden representar de uchasaneras 6tra fora de representar el diagraa de blo$ues anterior de fora
e$ui&alente es el siguiente diagraa
7/25/2019 Guia de control.docx
11/44
%"& a$ia'le# medida cont$olada ( mani)ulada. La-o de cont$ol (de#c$i)ci*n
a$ia'le medida: &ariable $ue se ide en el proceso, generalente la&ariable edida es la &ariable controlada, pero existen casos donde la &ariablecontrolada no se puede edir directaente y se recurre a edir otra &ariable
$ue perita obtener indirectaente la edicin de la &ariable controlada .neste caso la &ariable edida es h2(t) puede ser edida directaente
a$ia'le cont$olada:es la &ariable en constante onitoreo, es la &ariable$ue no debe ale2arse del &alor deseado .n este caso la &ariable controlada es
h2(t)
a$ia'le mani)ulada: es la &ariable $ue puede odicarse durante elproceso !iepre est% asociada a &%l&ulas reguladoras en los sisteas detan$ues La &ariable anipulada es una de las &ariables de entradas al
sistea La &ariable anipulada es la posicin de la &%l&ulav
p(t)
7/25/2019 Guia de control.docx
12/44
Set )oint
#i#tema
Cont$olado$ 3 actuado$
Medido$
Pe$tu$'aci*n
7/25/2019 Guia de control.docx
13/44
.l Set Point H2,ef (s ) es el &alor deseado o de referencia en el ni&el del
tan$ue La #e4al de e$$o$ E (s ) es la diferencia entre el set point y el &alor
edido )( s ) del ni&el del tan$ue en cual$uier instante La #e4al de
cont$ol *(s ) , es la se*al $ue le en&0a el controlador a la &%l&ula,generalente consiste en una serie de se*ales el+ctrica : neu%tica (en esteorden), donde el actuador anipula directaente una &ariable del proceso, en
este caso la posicin de la &%l&ula vp (s ) La #e4al medida )( s) es la
edicin realizada a H2 ( s ) en un instante, en un caso ideal, )( s)=H2
( s)
por lo $ue Gm(s )=1 (se denoina retroalientacin unitaria), en un caso
desfa&orable puede tener un retardo, si es as0, la funcin de transferencia del
edidor es Gm(s )=et"s
PROBLEMA 5. /ia0$ama de 'loue# de un #i#tema de un $eacto$ Batc6con con,ecci*n7$adiaci*n
"entro de un recipiente et%lico se lle&a a cabo una reaccin de orden cerocuyo balance de energ0a en la carcaza et%lica del reactor tiene el odeloate%tico siguiente
m)C+)"((t)
"t = HRV -0 e
Ea /R
((t)*A ((( t)(&(t))./A ((
4 ( t)(&4 (t) )
!e consideran constantes los par%etros m)C+) , HRV , -0 ,
Ea /R , *A , ./A ; (& es conocido
(a) Linealice el odelo ate%tico(b) pli$ue la transforada de Laplace, sin realizar siplicacin alguna
construya el diagraa de blo$ues del sistea
(c) !ipli$ue y obtenga la funcin de transferencia ( ( s )/(&
(s )
SOLUCIN:
{m)C+)"((t)
"t = HR V -0 e
Ea /R
((t)*A (((t)(&( t))./A ((4 (t)(&4 (t) )
m)C+)" (
"t =0= HR V -0 e
Ea /R
(*A (((& )./A ( (
4(&
4 )
6bteniendo la ecuacin en t+rinos de &ariables de perturbacin
7/25/2019 Guia de control.docx
14/44
m)C+)" (
(t)"t
= HR V -0(eE
a/R
(( t)e
Ea /R
( )*A ( ( (t)(& (t))./A (( (4 (t)(4 )((&4 (t)(&4 ))(a) L7riero linealizando los t+rinos de potencia
7/25/2019 Guia de control.docx
15/44
(c) !iplicando la funcin obtenida en (b)
(m) C+)s+ HR V -0EaR (2 eEa/R
( +*A + 4(3
./A)( (s )=(*A + 4(&3 ./A )(& ( s )(
(s )(&
(s )=
*A + 4(&3
./A
m)C+)s + HR V -0E a
R(
2 e
Ea
/R
( +*A + 4(3
./A
6 tabi+n se representa cannicaente
( (s )
(& (s )
= '
(s+1
"onde, la ganancia y la constante de tiepo son respecti&aente
'= *A +4 (&
3./A
HR V -0Ea
R (2 e
Ea
/R
(+*A +4 (
3./A
(=m) C+)
HR V -0Ea
R (2
e
E a/R
(+*A + 4 (
3./A
7/25/2019 Guia de control.docx
16/44
PROBLEMA 8
(a) 8eduzca el siguiente diagraa de blo$ues y obtenga 0(s )/11 ( s) y
0( s )/12 ( s )
(b) 8eduzca el siguiente diagraa de blo$ues y obtenga C( s)/R (s ) y
C( s)/# (s )
7/25/2019 Guia de control.docx
17/44
7/25/2019 Guia de control.docx
18/44
SOLUCIN:
%a&Reducci*n del dia0$ama de 'loue# %a&
partir de las se*ales resueltas en el diagraa de blo$ues, se obtiene $ue
0=11 G3(G1G2 )+12(G41)
Cuyas funciones de transferencia son
0
11=G3 (G1G 2)
0
12=G41
%'&Reducci*n del dia0$ama de 'loue# %'&
plicando la reduccin del lazo interno
7/25/2019 Guia de control.docx
19/44
7/25/2019 Guia de control.docx
20/44
7/25/2019 Guia de control.docx
21/44
C(s )
R ( s )=
G2 G4
1+GC2G1 G3+GC1GC2G1 G4 G5
C(s )
# (s )=
GC1 GC2 G1G 4
1+GC2G1 G3 +GC1 GC2G1 G4 G5
PROBLEMA 8. Modelo matemtico de un $eacto$ i#ot+$mico con'alance de ma#a
onsidere un reactor cuya geoetr0a se uestra en la gura Una solucin
acuosa cuyo soluto es >? entra al recipiente con un caudal constante f0 y
una concentracin de CA0 (t) .sta solucin se ezcla con agua pura $ue
entra al recipiente con un caudal anipulable f1( t) .l soluto experienta
una reaccin de hidrlisisA
2
3 , y debido a $ue el agua est% en
abundancia se tiene una cin+tica de orden cero en el reactor, cuyo coeciente
cin+tico es constante e igual a -0 #
A(t)=-0
.l caudal $ue abandona el recipiente f( t) , a tra&+s de una &%l&ula
anipulable (V-1) $ue de2a caer por gra&edad el /uido siguiendo la ecuacinde ec%nica de /uidos
f( t)=CV vp (t) h (t)
"onde h (t) el ni&el de l0$uido en el segundo tan$ue, CV es una constante
denoinada >coeciente de descarga de la &%l&ula? y vp( t) es la posicin de
esta &%l&ula, es decir, la fraccin $ue est% abierta esta &%l&ula en cual$uier
7/25/2019 Guia de control.docx
22/44
instante donde 0 vp(t) 1 .l /uido sale a la concentracin del tan$ue
CA(t) suponiendo $ue el tan$ue est% bien agitado y suponga tabi+n $ue
las densidades de los /uidos $ue entran y salen son iguales onsidere $ue elsistea es isot+rico
(a) 5orule el balance de asa en estado transitorio y estado estacionario yescriba el odelo ate%tico del sistea en t+rinos de las &ariablesde perturbacin
(b) uidadosaente identi$ue las funciones no lineales del sisteaLinealice el odelo
(c) onstruya el diagraa de blo$ues del sistea, indi$ue las se*ales deentrada y salida
(d) @alle H (s )/%1
(s ) , H (s )/ vp
(s ) , CA ( s )/CA 0
(s ) , CA ( s )/ vp
( s ) ,
CA ( s )/%1
( s)
(e) !uponga $ue el ni&el h (t) puede edirse y desea controlarse
anipul%ndose vp(t) onstruya un diagraa de blo$ues del lazo de
control $ue se*ale &ariable de referencia (!et 7oint) y perturbacionessobre el sistea La funcin de transferencia del edidor-transisor es
Gm(s ) , la del controlador es GC( s ) y la del actuador es GV(s )
7/25/2019 Guia de control.docx
23/44
Tan$ueV-1
7/25/2019 Guia de control.docx
24/44
.l &oluen del recipiente pris%tico &iene dado por
V( t)=Vmax
a+ (4a ) h (t)Hmax
a+4
h (t)Hmax
=5 h (t)+6 h 2 (t)
SOLUCIN:
(a) "e la conser&acin de la asa en estado transitorio y estacionario seobtiene $ue
{"V( t)
"t =f0+ f1 (t)f( t)
"V
"t =f0+
f1 f=0
8estando las dos ecuaciones anteriores, se obtiene el balance de asa ent+rinos de &ariables de perturbacin
" V (t)
"t =f1
(t)f (t)
"onde el caudal de salida es
{f( t)=CVv p (t)h (t) f=CVvp h f (t)=CV(vp(t)h (t) vp h)
"el balance de asa de soluto se obtiene $ue
" nA(t)
"t =f0CA 0(t)f( t)CA( t)+ A( t) V( t)
{"
"t(CA(t)V( t))= f0CA 0(t)f( t)CA(t)-0 V( t)
"
"t( CAV)= f0 CA0f CA-0 V=0
8estando las ecuaciones anteriores se obtiene el balance de soluto en t+rinosde &ariables de perturbacin
"
"t(CA(t)V( t) CA V)=f0(CA 0(t) CA0)( f( t)CA(t)fCA)-0(V( t)V)
7/25/2019 Guia de control.docx
25/44
"
"t(CA(t)V( t) CA V)=f0 CA0
(t)( f( t)CA(t)fCA )-0 V ( t)
!ustituyendo el caudal de salida
"
"t(CA(t)V( t) CA
V)= f0 CA0
(t)CV(vp (t)h (t)C
A(t) vp h
CA )-
0V
( t)
(b) ntes de continuar se linealizan todos los t+rinos
f(x , y , z ) f(x , y , z )+ f
x( x , y , z ) (x x )+
f
y( x , y , z ) (y y )+
f
z( x ,y , z ) (zz )
T+rino de oles en el tan$ue CA(t) V(t) #
CA(t) V(t) CA V+V (CA(t) CA )+ CA (V(t)V)
CA(t) V(t) CA V=V CA (t)+ CA V
(t)
T+rino del caudal de salida vp(t)h (t) #
vp(t)h (t) vp h+h ( vp(t) vp )+vp
2h (h (t)h )
vp(t)h (t) vp h=h vp (t)+
vp
2h h
(t)
T+rino del /u2o olar de soluto vp(t)h (t) CA( t) #
vp( t)h ( t) CA( t) vp h CA +h CA ( vp(t) vp )+vpCA
2h (h (t)h)+ vp h (CA(t) CA)
vp(t)h (t) CA(t) vp h CA =h CA vp (t)+
vp CA
2h h
(t)+ vp h CA ( t)
T+rino del &oluen del tan$ue de %rea trans&ersal &ariable
V( t)=5 h (t)+6 h2 (t) #
{V( t)=5 h (t)+6 h2 (t)
V=5 h+6 h2 V
( t)=5 h (t)+6 ( h2 (t) h2 )
7/25/2019 Guia de control.docx
26/44
h2 (t) h2 +2 h (h (t)h )h2 (t)h2=2h h (t)
V (t) 5 h (t)+6 2 h h (t)= (5+26 h) h (t)
!ustituyendo las linealizaciones en el balance de asa
"
"t((5+ 26 h ) h (t))= f1
(t)CV(h vp ( t)+ vp2h h (t))
(5+ 26h)" h (t)
"t = f1
(t)CVh vp (t)
CVvp
2hh
(t)
!ustituyendo las linealizaciones en el balance de soluto
"
"t(V CA
(t)+ CA V
( t))=f0 CA 0
(t)CV(h
CA vp
( t)+
vp CA
2h h
(t)+vp h CA
(t))-0 V
(t)
V " CA
(t)"t
+ CA ( 5+26 h )" h
(t)"t
=f0 CA0 (t)CV(h CA vp (t)+ vp CA2h h (t)+vp h CA ( t))-0 ( 5+2
V " CA
(t)"t
+ CA ( 5+26 h )" h
(t)"t
=f0 CA0 (t)CVh CA vp
(t)CVvp h CA (t)( CVvp CA2h +-0(5+2
plicando la transforada de Laplace a abas ecuaciones Las condicionesiniciales de todas las &ariables de perturbacin son iguales a cero
(5+ 26h) s H (s )=%1 ( s)CVh vp
( s)CVvp
2h H
( s)
V s C A ( s )+ CA (5+26 h ) s H
( s)=f0 CA 0 (s )CVh CA vp
( s)CVvp h CA (s )( CVvp CA2h + -0(5+
"espe2ando la se*al H (s ) se obtiene
H (s )=
1
(5+26h ) s +CVvp
2h
%1 (s )
CVh
(5+26h ) s +CVvp
2h
vp (s )
7/25/2019 Guia de control.docx
27/44
"espe2ando la se*al CA ( s ) se obtiene
(V s +CVvp h)CA ( s)=f0 CA0 ( s )CVh CA vp (s )(CV vp CA2h + -0(5+26 h )+ CA (5+26 h ) s) H ( s)
CA ( s )=
f0
V s +CV vp hCA 0
(s )CVh CA
V s+CV vp h vp
(s )(CV vpCA
2h+-0(5+26 h )+ CA (5+26 h) s
V s+CV vp h ) H ( s)
.l odelo se puede abre&iar si se denen nue&as constantes, en la fora deganancias y constantes de tiepo para reescribir el sistea con el enor
n=ero de constantes posibles !i es as0, las se*ales H (s ) y CA
( s ) se
escriben de la fora (es recoendable siepre escribir las funciones de estafora)#
{ H ( s )=
'%
(Hs +1 %1
(s ) 'V
(H s+1 vp
( s )
CA (s )=
'C(Cs+1
CA0 (s )
'VC(Cs +1
vp (s )'H
(HCs+1
(Cs+1 H
(s )
"onde cada una de las ganancias son
'%=
2h
CVvp'
V=
2 h
vp
'H=
CVvpCA
2h+-0(5+26 h )
CVvp h'C=f0
CVvp h'VC=
CA
vp
9 las constantes de tiepo son
(H=2hCVvp
(5+26h) (C=V
CVvp h (HC=
CA ( 5+26 h )CVvp CA
2h+-0(5+26 h )
(c) on esta inforacin se realiza el diagraa de blo$ues del proceso Las
se*ales de entrada son %1 (s ) , vp
(s ) y CA0 ( s) Las &ariables de
salida son H (s ) , CA
( s ) .n total se tienen dos suadores en el
diagraa de blo$ues (ya $ue hay dos ecuaciones)
7/25/2019 Guia de control.docx
28/44
(d) Las funciones de transferencia para la se*al H (s ) coo &ariable de
salida son
H (s )=
'%
(Hs+ 1 %1
( s ) 'V
(Hs +1 vp
(s ) {H
( s )%1
( s)=
'%
(Hs+ 1
H
(s )vp
(s )=
'V(Hs+1
Las funciones de transferencia para la se*al CA ( s ) coo &ariable de salida
son
CA (s )
CA 0 (s )
= 'C
(Cs +1
CA ( s)
vp (s )
='VC
(Cs +1'H
(HCs +1
(Cs+1H
( s)
vp ( s)
='H'V (HCs +1
((Cs +1 ) ((H s+ 1 )
'VC
(Cs+ 1
'H'V( (HCs+1)'VC( (H s+1 )
((Cs +1 ) ((H s+1) =
('H'V (HC'VC(H) s+'H'V'VC( (Cs +1 ) ((H s+1 )
CA ( s)
%1 (s )
='H (HCs +1
(Cs +1H
( s)
%1 ( s)
='H (HCs +1
(Cs+1
'%
(H s +1='H'%
(HCs +1
( (Cs +1) ((H s+1 )
a$ia'le medida: .n este caso la &ariable edida es h (t) puede ser
edida directaente
7/25/2019 Guia de control.docx
29/44
a$ia'le cont$olada:es la &ariable en constante onitoreo, es la &ariable$ue no debe ale2arse del &alor deseado .n este caso la &ariable controlada es
h (t)
a$ia'le mani)ulada: es la &ariable $ue puede odicarse durante el
proceso !iepre est% asociada a &%l&ulas reguladoras en los sisteas detan$ues La &ariable anipulada es una de las &ariables de entradas al
sistea La &ariable anipulada es la posicin de la &%l&ula vp(t)
7/25/2019 Guia de control.docx
30/44
7/25/2019 Guia de control.docx
31/44
Set )oint
#i#tema
Cont$olado$ 3 actuado$
Medido$
Pe$tu$'acione#
.l Set Point Hef ( s ) es el &alor deseado o de referencia en el ni&el del
tan$ue La #e4al de e$$o$ E (s ) es la diferencia entre el set point y el &alor
edido )( s ) del ni&el del tan$ue en cual$uier instante La #e4al de
cont$ol *(s ) , es la se*al $ue le en&0a el controlador a la &%l&ula,generalente consiste en una serie de se*ales el+ctrica : neu%tica (en esteorden), donde el actuador anipula directaente una &ariable del proceso, en
este caso la posicin de la &%l&ula vp (s ) La #e4al medida )( s) es la
edicin realizada a H ( s ) en un instante, en un caso ideal, )( s )=H
( s)
por lo $ue Gm(s )=1 (se denoina retroalientacin unitaria), en un caso
desfa&orable puede tener un retardo, si es as0, la funcin de transferencia del
edidor es Gm(s )=et"s
PROBLEMA 1. Clculo de la "unci*n de t$an#"e$encia a )a$ti$ de la$e)$e#entaci*n de e#tado#
Un otor el+ctrico est% descrito en base a su posicin angular 7 (t) y a la
corriente el+ctricai (t)
$ue circula a tra&+s de +l, de la anera siguiente
8 "
27
"t2
+ 3 "7
"t +' 7='1 i
R i +#"i
"t+'2
"7
"t= . (t)
dicionalente se conoce $ue el error posicional del otor es proporcional a la
diferencia entre el %ngulo de giro del otor 7 (t) y un %ngulo de referencia
(entrada &ariante en el tiepo, 7R (t) ) de la anera siguiente
. (t)='3 (7R7 )
"onde 8 , 3 , R , # , ' , ' 1 , '2 , '3 son par%etros asociados al sistea,
constantes e in&ariantes en el tiepo (a) "eterine la representacin en
7/25/2019 Guia de control.docx
32/44
&ariables de estado del sistea, si la salida del sistea es el error posicional
. (t) (b) .ncuentre la funcin de transferencia E (s )/ 7R( s)
SOLUCIN:
(a) 7riero se descopone todas las ecuaciones diferenciales enecuaciones de prier orden introduciendo el cabio de &ariable
9 ( t)="7
"t
"9
"t =
"2
7
"t2
7or lo tanto el sistea de ecuaciones puede descoponerse ediante tresecuaciones diferenciales
{ 8
"9
"t + 3 9+' 7='1 i
"7"t=9
R i+# "i
"t+'2 9='3 (7R7 )
{ "9
"t =
'
8 7
3
8 9+
'1
8 i
"7"t= 9
"i
"t=
'3
# 7
'2
# 9
R
# i+
'3
# 7R
onstruyendo las atrices con las &ariables en el orden {7 , 9 , i } y para las
entradas {7R }
"
"t
[7
9
i
]=
[ 0 1 0
'/ 8 3 / 8 '1 / 8
'3 /# '2 /# R /#
][7
9
i
]+
[ 0
0
'3 /#
]7R
La salida debe ser . (t)='3 (7R7 ) , entonces
y=['3 , 0,0 ] [7
9
i]+'3 7R
A=
0 1 0
'/ 8 3/ 8 '1 / 8'3 /# '2 /# R /#
3=
[ 0
0'3 /#]
C=['3 , 0,0 ] :='3
(b) !e aplica la transforada de Laplace a la representacin de espacio deestados
7/25/2019 Guia de control.docx
33/44
{"x
"t=Ax+ 3u
y =Cx+:u
s1( s )=A 1( s)+ 3 *( s ) ( s ;A )1(s )=3 *( s)1(s )=( s ;A )1 3 * ( s)
0( s )=C 1(s )+: *(s )
0( s )=C (s ;A )1 3 * (s )+: *(s )
s ;A=[ s 1 0'/ 8 s +3 / 8 '1 / 8'3 /# '2 /# s+R/#]La atriz in&ersa (s ;A )1 se expresa (sin calcular sus eleentos)
ediante
(s ;A )1
=[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]0( s )=['3 ,0,0 ]
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
[
0
0
'3 /#
] *(s )+'3 *(s )
0( s )=['3 a11 ,'3 a12 ,'3 a13 ] [ 00'3/#] *(s )+'3 *( s )0( s )=
'32
# a13 *(s )+'3 *(s )
0( s)*( s)
='3(1'3# a13)
!lo falta calcular el t+rino a13 de la in&ersa de la atriz s ;A
(s ;A )1=
a"< ( s ;A )
"et( s ;A )=
1
"et( s ;A ) [411 412 413421 422 423431 432 433 ](
=[a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]
7/25/2019 Guia de control.docx
34/44
"e la expresin anterior se tiene $ue el eleento a13 de la atriz in&ersa se
puede encontrar a partir del cofactor-A,1 de la atriz s ;A el eleento
431
a13= 1
"et(s ;A )| 1 0s +3/ 8 '1/ 8|= '1/ 8
s(s+ 38)( s+R# )'1
8
'3#
('18 )('2#)s'8(s+R# )
a13= '1/ 8
s3+(38+R# )s2+( 38 R# +
'18
'2#
'
8)s +('1
8
'3#
'
8
R
# )
0( s )*( s )
='3(1'3# a13)='3 '8
R#
s3+( 38+ R# )s2+( 38 R# +
'1
8
'2
#
'
8)s+('1
8
'3
#
'
8
R
# )PROBLEMA 2. Modelo dinmico de un #i#tema #in ent$ada# ni)e$tu$'acione#
onsidere el sistea &il asa-resorte-aortiguador sin friccin, sinentradas anipulables ni perturbaciones coo se uestra en la gura
"onde z ( t) es la posicin de la asa en cual$uier instante La fuerza &iscosa
e2ercida por el aortiguador es proporcional a la &elocidad del blo$ue (ellubricante se coporta coo /uido eBtoniano)
%3=4 "z
"t
9 la fuerza del resorte es proporcional a la posicin y &iene dada por la Ley de@ooCe
%-=- z
7/25/2019 Guia de control.docx
35/44
Los &alores de las constantes son -=2 [=/ m ] , 4=3 [= s / m ] , )=1 [ -> ]
(a) 5orule el odelo ate%tico del sistea Linealice si es necesario(b) 8ealice la representacin siple en &ariables de estado (en fora
atricial)
"x
"t=A x ( t)
(c) pli$ue la transforada de Laplace a la ecuacin anterior si lascondiciones iniciales del sistea son, la posicin es D EF y el &ilparte del reposo#
z (0 )=6 "z"t
( 0 )=0
6btenga 1(s )=# [x (t)] expl0citaente
(d) Utilizando la ecuacin obtenida en (c) encuentre la respuesta din%ica
de la posicin en funcin del tiepo z ( t) y tabi+n su &elocidad
"z / "t , aplicando la in&ersa de Laplace
SOLUCIN:
(a) La ley de eBton para este sistea es
)a= %z=%3 +%-
!ustituyendo las ecuaciones constituti&as, se obtiene la ecuacin diferencialdel sistea
)"
2z
"t2
=4 "z
"t- z
(b) "ebido a $ue la ecuacin anterior es de orden 3, entonces se separa laecuacin anterior en dos ecuaciones de orden siple ediante laintroduccin del siguiente cabio de &ariable
v =
"z
"t"v
"t=
"2z
"t2
7or lo tanto
)"v
"t=4 v- z
"v
"t=
-
) z
4
) v
7/25/2019 Guia de control.docx
36/44
La ecuacin diferencial de segundo orden fue separada en dos ecuaciones deprier orden
{
"z
"t=v
"v
"t=-
) z4
) v
.scribiendo la ecuacin en t+rinos de atrices $ueda
"
"t[ z v ]=[ 0 1-/) 4 /)][ z v] "x"t=A x (t)"onde
x (t)=
[ z
v
]A=
[ 0 1
-/) 4/)
]=
[ 0 1
2 3
]dicionalente las condiciones iniciales son
x (0 )=[ z (0 ) v (0 )]=[ 6 0 ](c) .s posible obtener la transforada de Laplace a la ecuacin diferencial
atricial
"x
"t
=A x ( t)#
["x
"t
]=A # [x (t)]s 1( s)x (0 )=A 1( s )
rreglando y despe2ando 1(s ) ediante la atriz in&ersa
s 1( s )A 1( s )=x (0 ) ( s ;A ) 1( s)=x (0 )1( s )=(s ;A )1 x (0 )
alculando la in&ersa de s ;A , ediante deterinantes y cofactores#
s ;A=[ s 00 s ][ 0 12 3]=[s 12 s +3]
7/25/2019 Guia de control.docx
37/44
1
s2+3 s+2
s+3
s2+3 s+ 2
2
s2+3 s+2
(s ;A )1
=a"< ( s ;A )
a"< ( s ;A )=
[ s+3 2+1 s](
s ( s+3 )+2=
[s+3 12 s ]s ( s+3 )+2
= [ s
s2+ 3 s+ 2
]
.n la calculadora @7 puede generarse la atriz identidad ; ediante el
coando 4" cuyo arguento es el n=ero de las (en este caso es 3) La
in&ersa de s ;A puede calcularse ediante el coando 4V
La transforada de Laplace 1(s ) &iene dada por
1
s2
+ 3 s+ 2
s+ 3
s2
+3 s+2
2
s2
+ 3 s+ 2
1(s )=( s ;A )1 x (0 )= [ s
s2
+3 s+2 ] [ 6 0]=[
6 (s +3 )
s2
+3 s+2
12
s2
+3 s+ 2]
(d) 7or =ltio, se encuentra la respuesta din%ica del sistea aplicando latransforada in&ersa de Laplace 7riero, expresando cada funcin deuna fora con&eniente utilizando la separacin en fracciones siples(en la calculadora @7 puede aplicarse el coando 78T58)
6 (s +3)
s2+3 s+2
= 6 (s+3)
(s +1 ) (s+ 2 )=
12
s+1
6
s +2
12
s2+3 s+2
= 12
(s +1 ) (s+ 2 )=
12
s +1+
12
s +2
7/25/2019 Guia de control.docx
38/44
Luego, se aplica la transforada in&ersa de Laplace a cada t+rino sabiendo elsiguiente teorea operacional de la transforada de Laplace
#1[ 1s+a ]=eat
7ara obtener las siguientes funciones de posicin y &elocidad
x (t)=[ z "z / "t]=[ 12 et
6 e2 t
12 et
+12 e2 t]
{ z (t)=12 et
6 e2 t
"z
"t=12 e
t+12 e
2 t
O'#e$,aci*n:Los &alores en estado estacionario se obtienen toando l0itesdel tiepo cuando tiende a innito
z=limt 2 &
z (t)=limt 2 &
(12 et6 e2t)=0
v =limt 2 &
"z
"t=lim
t 2 &
(12 et+12 e2 t)=0
La &elocidad nal es cero por la disipacin de energ0a en el aortiguador&iscoso $ue eliina la energ0a cin+tica del sistea
PROBLEMA !. Modelo dinmico de un #i#tema con ,a$io# ti)o# deent$ada# ( )e$tu$'acione#
onsidere el sistea &il asa-resorte-aortiguador sin friccin $ue seestudia en &ibraciones ec%nicas, coo se uestra en la gura
"onde z (t) es la posicin de la asa en cual$uier instante, h ( t) es una
posicin de perturbacin (priera entrada al sistea) y f( t) es una fuerza
7/25/2019 Guia de control.docx
39/44
anipulable (segunda entrada al sistea) La fuerza &iscosa e2ercida por elaortiguador y la fuerza del resorte son respecti&aente
%3=4 "z
"t
%-=- (zh )
Los &alores de las constantes son -=2 [=/ m ] , 4=3 [= s / m ] , )=1 [ -> ]
(a) 5orule el odelo ate%tico del sistea en t+rinos de las &ariablesde perturbacin
(b) 8ealice la representacin en &ariables de estado copleta (en foraatricial)
{"x
"t=A x +3 u
y =C x+: u
!i la salida deseada es la diferencia de posiciones y (t)=z (t)h (t)
oo condiciones iniciales, considere las &ariables de perturbacinest%n inicializadas en cero Los &alores en estado estacionario para las
posiciones son h=z=0
(c) 6btenga las funciones de transferencia de salidaGentradasexpl0citaente
0( s )H( s)
0( s )%(s )
"onde
H(s )=# [ h (t)]=# [h ( t)h ] %( s)=# [ f (t)]=# [ f(t) f]
(d) .ncuentre la respuesta transitoria de y (t) para cada uno de los
siguientes casos
!6 1# f (t)= 0 , h (t) sigue un o&iiento arnico siple
h (t)=R sen (9t)
!6 3# f (t) es la funcin escaln unitario, h
(t)=0
!6 A# f (t) es la funcin ipulso de agnitud 3, h
(t)=R sen (9t)
Los &alores para la entrada senoidal son R=2 [ m ] , 9=1 [a" / s ]
SOLUCIN:
7/25/2019 Guia de control.docx
40/44
(a) .l odelo ate%tico del sistea a partir de la ley de eBton es
)a=%3+%-f( t)
!ustituyendo las ecuaciones constituti&as
)"2z
"t2
=4 "z"t
- (zh )f( t)
La ecuacin en estado estacionario es
)"
2 z
"t2=0=4
"z
"t- ( z h) f
8estando abas ecuaciones se obtiene en t+rinos de &ariables deperturbacin
)" 2z (t)
"t2
=4" z (t)
"t - (z ( t)h (t))f (t)
(b) oo la ecuacin diferencial es de segundo orden, entoncesintroduciendo un cabio de &ariable se con&ierte en dos ecuaciones deprier orden
v (t)=" z
(t)"t
"v
"t=
"2z
(t)
"t2
)"v"t
=4 v (t)- (z (t)h (t))f (t)
La ecuacin diferencial de segundo orden fue separada en dos ecuaciones deprier orden
{ " z
"t =v
"v
"t=
4
) v
-
) z
+
-
) h
f
Las &ariables de estado del sistea son x={z , v } y las entradas son
u= {h , f } onstruyendo en t+rinos de atrices de estado
{"x
"t=A x +3 u
y =C x+: u
7/25/2019 Guia de control.docx
41/44
{"
"t[z
v ]=[ 0 1-/) 4/)][z
v ]+[ 0 0-/) 1][ h
f ]
y=zh
=[ 1 , 0 ] [ z
v ]+ [1 , 0 ] [ h
f]
7or lo tanto las atrices de estado son
A=[ 0 1-/) 4/)] 3=[ 0 0-/) 1] C=[ 1, 0 ] :=[1 ,0 ]
!ustituyendo los &alores de las constantes
A=[ 0 12 3 ] 3=[0 02 1] C=[ 1, 0 ] :=[1 ,0 ]
plicando la transforada de Laplace a la representacin de estados
{"x
"t=A x +3 u
y =C x+: u
{s1( s )=A 1( s)+ 3 *( s ) 0(s )=C 1(s )+: *( s )
s1( s )=A 1( s)+ 3 *( s ) ( s ;A ) 1( s )=3 *(s )
'ultiplicando por la atriz in&ersa abos lados de la expresin anterior
(s ;A )1 (s ;A ) 1(s )=( s ;A )1 3 * ( s )
1(s )=( s ;A )1 3 * ( s )
!ustituyendo en la segunda ecuacin de la representacin
0( s )=C (s ;A )1 3 * (s )+: *(s )
0(s )=(C ( s ;A )1 3+: ) *( s )
alculando la in&ersa de s ;A , ediante deterinantes y cofactores#
s ;A=[ s 00 s ][ 0 12 3]=[s 12 s +3]
7/25/2019 Guia de control.docx
42/44
1
s2+3 s+2
s+3
s2+3 s+ 2
2
s2+3 s+2
(s ;A )1
=a"< ( s ;A )
a"< ( s ;A )=
[ s+3 2+1 s](
s ( s+3 )+2=
[s+3 12 s ]s ( s+3 )+2
= [ s
s2+ 3 s+ 2
]
!ustituyendo las atrices en 0(s )=(C ( s ;A )1
3+: ) *( s )
1
s2+3 s +2
s +3
s2+3 s+2
2
s2+3 s +2
0( s )=( [1 , 0 ] [ ss2 +3 s+2 ] [0 02 1]+[1, 0 ]) *(s )
0(s )=([ s +3s2+3 s+2 , 1s2 +3 s +2 ] [0 02 1]+ [1 , 0 ]) *( s )
0( s )=([ 2s2+3 s+2 , 1s2 +3 s +2 ]+ [1 , 0 ]) *( s)
0( s )=
[
2
s
2+3
s+ 2
1, 1
s
2+ 3
s+ 2
+0
] *(s )
0( s )=[ s2
3 s
s2
+3 s+ 2,
1
s2
+3 s+2 ] [ H( s )%(s )](c) 7or lo tanto la se*al de salida es
7/25/2019 Guia de control.docx
43/44
0( s )=s
23 s
s2
+ 3 s+2 H(s )+
1
s2
+3 s+2 %( s )
9 las funciones de transferencia son
0( s )H( s )
=s2
3 ss
2+ 3 s+ 2
0( s )%(s )
=s2
3 ss
2+3 s+2
(d) 6bteniendo la respuesta transitoria para los siguientes casos deentradas
CASO 1. f (t)=0 , h ( t) sigue un o&iiento arnico siple
h (t)=R sen (9t) #
h (t)=R sen (9t)H( s)=# [h (t)]=# [R sen (9t)]= R
s2+9
2
0(s )=s
23 s
s2
+ 3 s+2 H(s )=
s2
3 s
s2
+3 s +2
2
s2
+12
= 2
s+ 1+
4 /5
s+ 2+
6
5s
8
5
s2
+ 1
y (t)=#1 [ 0( s )]=2 et 45
e2 t
6
5 cost
8
5sent
CASO 2. f ( t) es un escaln unitario, y sin entrada en h (t)
0( s )= 1
s2+ 3 s+2
%( s )= 1
s2+3 s+2
1
s=
1/ 2
s +
1
s+1+
1/ 2
s+ 2
y (t)=#1 [ 0( s )]=12
+ et
1
2 e
2 t
CASO !. f ( t) es la funcin ipulso de agnitud 3, h
(t)=R sen (9t)
f (t)=2 ?(t)%(s )=# [ f (t)]=# [ 2 ?(t)]=2
0( s )=s
23 s
s2
+ 3 s+2 H(s )+
1
s2
+3 s+2 %( s )=
s2
3 s
s2
+3 s+2
2
s2
+ 12
+ 1
s2
+3 s+22
0( s )=2( s2+3 ss
21
s2+3 s+2 )=
4
s +1+
7
s +2
7/25/2019 Guia de control.docx
44/44
y (t)=#1 [ 0( s )]=4 et+7 e2 t
Top Related