G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 1/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
MKE u analizi grednih konstrukcija
Prof. dr. sc. GORAN TURKALJ, dipl. ing.
Sveučilište u Rijeci
TEHNIČKI FAKULTET
Zavod za tehničku mehaniku
Katedra za čvrstoću konstrukcija
Tel. 051 651 499
Fax. 051 651 490
E-mail: [email protected]
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 2/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
1. UVOD
Sl. 1.1. Odziv konstrukcije: linearni vs. nelinearni odziv � Vrste nelinearnosti:
� geometrijska nelinearnost ⇒ veliki pomaci, velike deformacije
� materijalna nelinearnost ⇒ nelinearna elastičnost, elasto-plastičnost, viskoelastičnost, viskoplastičnost
opterećenje
pomak
linearni odziv
O
nelinearni odziv
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 3/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
� Metode rješavanja:
� egzaktne ⇒ diferencijalne i integralne jednadžbe ⇒ P O T E Š K OĆE !
� približne ⇒ N E T O ČN O S T R E Z U L T A T A !
� Približne (aproksimativne) metode:
� metode rezidiuma ⇒ približno rješavanje diferencijalnih jednadžbi (Bubnov-Galerkinova metoda)
� varijacijske metode ⇒ princip stacionarnosti potencijalne ili komplanarne energije (Rayleigh-Ritzova metoda)
� numeričke metode ⇒ metoda konačnih razlika ⇒ metoda konačnih elemenata ⇒ metoda konačnih volumena ⇒ metoda rubnih elemenata
� Metoda konačnih elemenata:
METODA KONA ČNIH ELEMENATA:
� linearna stabilnost ⇒ matrični problem vlastitih (svojstvenih) vrijednosti
• vlastita vrijednost ⇒ faktor kritičnog opterećenja
• vlastiti vektor ⇒ oblik (forma) gubitka stabilnosti
� nelinearna stabilnost ⇒ inkrementalni pristup:
• total Lagrangian formulacija
• updated Lagrangian formulacija
• Eulerova formulacija
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 4/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
2. ANALIZA DEFORMACIJE I NAPREZANJA GREDNIH NOSA ČA
2.1. Osnovne pretpostavke
Sl. 2.1. Prostorni gredni nosač punog poprečnog presjeka � (x, y) – glavne centralne osi inercije poprečnog presjeka
� wo, uo , vo – translatorni pomaci težišta O po pravcu osi z, x i y
� ϕz , ϕx , ϕy – rotacijski pomaci poprečnoga presjeka oko osi z, x i y
( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )s so o s s s s z z x x y y
dv duw w z u u z v v z z z z
dz dzϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = = − = = =
z
x
y
wo ϕz
vo
O
ϕx
ϕy
uo
x O
y
z
x
y
N
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 5/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
2.2. Linearno polje pomaka
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
, ,
, ,
, ,
o oo
o z
o z
dv duw z x y w z y z x z
dz dzu z x y u z y z
v z x y v z x z
ϕϕ
= − −
= −
= +
2.3. Cauchyjev tenzor deformacije
2 2
2 2o o o
zz
zzx
zzy
w dw d v d uy x
z dz dz dzw u d
yx z dzw v d
xy z dz
ε
ϕγ
ϕγ
∂= = − −∂∂ ∂= + = −∂ ∂∂ ∂= + =∂ ∂
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 6/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
2.4. Geometrijske karakteristike ravnih presjeka nosača
� statički momenti površine za os x i y:
,x y
A A
S y dA S xdA= =∫ ∫
� aksijalni momenti inercije površine za os x i y:
2 2,x y
A A
I y dA I x dA= =∫ ∫
� centrifugalni moment inercije površine:
xy
A
I xy dA= ∫
Ako su osi x i y glavne težišne osi tada je:
Sx = Sy = Ixy = 0
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 7/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
2.5. Unutarnje sile
Sl. 2.5. Unutarnje sile
Komponente su rezultante unutarnjih sila definirane na sljedeći način:
� aksijalna sila:
z z
A
F N dAσ= = ∫
� smične sile:
,x x zx y y zy
A A
F Q dA F Q dAτ τ= = = =∫ ∫
z
x
y
Mx
Fz
My
Mz
Fx
Fy
O
dA σz
τzx
τzy
x
y
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 8/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
� torzijski moment:
( )z T zy zx
A
M M x y dAτ τ= = −∫
� momenti savijanja:
,x z y z
A A
M y dA M xdAσ σ= = −∫ ∫
Nadalje, kako je prema Hookeovu zakonu:
. .
. .
. .
z zz
zx zx
zy zy
E
G
G
σ ετ γτ γ
=
pri čemu je E modul elastičnosti ili Youngov modul, G modul smicanja, dok su komponente deformacije dane izrazom (2.26), to iz gornjih izraza dobivamo:
2
2
2
2
oz
s xx x x
ysy y y
zsv t
dwF EA
dz
d v dM EI EI
dz dzdd u
M EI EIdz dz
dT GI
dz
ϕ
ϕ
ϕ
=
= − =
= =
=
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 9/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Smične sile Fx i Fy :
a) savijanje u ravnini (z, y) b) savijanje u ravnini (z, x)
Sl. 2.6. Ravnoteža segmenta nosača pri savijanju
Tako iz ravnoteže segmenta sa sl. 2.6a, dobivamo:
0BM =∑
0y x x xF dz M M dM− − + + = → xy
dMF
dz=
odnosno iz ravnoteže segmenta sa sl. 2.6b, proizlazi:
0BM =∑
0x y y yF dz M M dM− + + = → yx
dMF
dz= −
23 2 3
3 2 3 2; yo x o
y x x x y y
dd v d d uF EI EI F EI EI
dz dz dz dz
ϕϕ= − = = − = −
dz
My + dMy My
Fx Fx
y
x
z A B
dz
Mx + dMx Mx
Fy Fy
x
y
z A B
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 10/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3. GREDNI KONA ČNI ELEMENT
3.1. Vektor čvornih pomaka i vektor čvornih sila
a) čvorni pomaci b) čvorne sile
Slika 3.1a. Prostorni gredni konačni element
� (z, x, y) – lokalni koordinatni sustav konačnog elementa � (x, y) – glavne centralne osi inercije poprečnog presjeka
� Vektor čvornih pomaka:
( ) { }T, , , , , , , , , , ,e
oA sA sA zA xA yA oB sB sB zB xB yBw u v w u vϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=u .
� Vektor čvornih sila:
( ) { }T, , , , , , , , , , ,e
zA xA yA zA xA yA zB xB yB zB xB yBF F F M M M F F F M M M=f .
ϕxB
woB
uoB
ϕzB
ϕyB
voB
l
A B
z
x
y
ϕzA woA
uoA
ϕxA
voA
ϕyA MyA
MxA
MzA
FyA
FxA
FzA
A B
z
x
y
čvorovi konačnog elementa
MyB
FyB
FzB MzB
FxB
MxB polje konačnog
elementa
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 11/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
a) čvorni pomaci
b) čvorne sile
Slika 3.1b. Tankostijeni gredni konačni element
ο
o
o
l
OA
OB z x
y o SA
ϕxA woA
usA
ϕzA
θA
ϕxA
vsA
SB
ϕxB woB
usB
ϕzB
θB
ϕxB
vsB
B A
ο
o o
o
l
OA
OB
SA SB
FyB
FxB
MxB MyB
FzB
MzB MωB
z x
y
MyA
MxA
MzA MωA
FyA
FxA FzA
A B
� O – težište poprečnog presjeka
� S – centar smika (torzije) poprečnog presjeka
� dodatni stupnjevi slobode:
� θ – jedinični kut uvijanja
� Mω – bimoment
� Vektor čvornih pomaka:
( ) {}
T, , , , , , ,
, , , , , ,
eoA sA sA zA xA yA oB
sB sB zB xB yB A B
w u v w
u v
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ θ θ
=u.
� Vektor čvornih sila:
( ) {}
T, , , , , , ,
, , , , , ,
ezA xA yA zA xA yA zB
xB yB zB xB yB A B
F F F M M M F
F F M M M M Mω ω
=f.
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 12/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.2. Ravnotežne jednadžbe grednog konačnog elementa – inkrementalna formulacija
Sl. 3.2. Inkrementalni pomaci konačnog elementa
(Z, X, Y) – globalni koord. sustav (iz, ix, iy) – lokalni koord. sustav u i-toj konfiguraciji Ci – i-ta konfiguracija
(i = 0, 1, 2)
C0
C1
C2
0z
0y
0x 1z
2z
2x
1x
2y
1y Z
Y
X
Inkrementalni pristup:
• total Lagrangian formulacija ⇒ referentna konfiguracija C0
• updated Lagrangian formulacija ⇒ referentna konfiguracija C1
• Eulerova formulacija ⇒ referentna konfiguracija C2
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 13/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Princip virtualnih radova:
δ δ=U W
Rad unutarnjih sila:
2
2 22δ ij ij
V
e dVτ δ= ∫U
Rad vanjskih sila:
( ) ( )2 2
2 2 2 2 22 2 2i i i i i i
A V
t u u dA f u u dVσ
σδ δ δ= + + +∫ ∫ɶ ɶW
ili
( )2
2 2 2 22 2 2za 0i i i i
A
t u u dA fσ
σδ δ= + =∫ ɶW
UL formulacija:
2 1
2 2 2 12 1 1ij ij ij ij
V V
e dV S dVτ δ δ ε=∫ ∫ ; 2 2 2 12 1i it dA t dAσ σ=
( )1 1
2 1 2 11 1 1ij ij i i i
V A
S dV t u u dAσ
σδ ε δ= +∫ ∫ ɶ
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 14/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Kako je:
2 1 11 1 1 1ij ij ij ij ijS S S Sτ= + = + (inkrementalna UL formulacija)
1 1 1 1ij ij ij ije eδ ε δ δ η δ= + + ɶ
1 1 1ij ijkl klS C ε= (Hookeov zakon)
slijedi:
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ijkl kl ij ij ij ij ij i i i i ij ij
V V V A A A
C dV S dV S e dV t u dA t u dA S e dAσ σ σ
σ σ σε δ ε δ η δ δ δ δ+ + − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ɶ ɶ
Linearizacijom:
1 1 1 1 1ij ij ij ijkl kle S C eδ ε δ ≅→≅
dobivamo linearizirane inkrementalne ravnotežne jednadžbe konačnog elementa zapisanih u skladu s UL formulacijom:
2 1
E G 1 1δ δ δ δ+ = −U U W W
gdje je:
( )
( )
( ) ( )
1
1 1 1
T11 1 1
T1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
T2 1 e e 2 1 2 11 1 ekv 1 1 ekv 1 ekv 1 ekv
δ δ
δ δ
δ ; ;
e e eE ijkl kl ij E
V
e e eG ij ij ij ij i i G
V V A
e e e e e e e
C e e dV
S dV S e dV t u dAσ
σ
δ
δ η δ δ
δ δ
= =
= + − =
− = + = − = −
∫
∫ ∫ ∫
u k u
u k u
u f f f f f f f f
ɶ ɶ
U
U
W W
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 15/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
U eksplicitnom obliku:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 20
lo o s s s s z z z z
x y t
dw dw d v d v d u d u d d d dEA EI EI EI GI dz
dz dz dz dz dz dz dz dz dz dzωϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ δ δ
+ + + + + ∫
2 2 21
0
12 2
2
lo s s s z s z
z s s
dw du dv du d dv dF y x
dz dz dz dz dz dz dz
ϕ ϕδ δ δ δ δ + + + + − +
∫
2 2
12 2
2 2 2s s s s s o sx z s s
dv du d u du d v dw duF x y
dz dz dz dz dz dz dzδ ϕ δ δ δ + + + − +
2 2
12 2
2 2 2s s s s s o sy z s s
du d u dv dv d v dw dvF x y
dz dz dz dz dz dz dzδ ϕ δ δ δ
+ − + + − +
22 21 1
2 2s s s s z
z
d u dv du d v dM K
dz dz dz dz dz
ϕδ δ δ + − + +
2 2
12 2
2s s z o sx z
d u du d dw d vM
dz dz dz dz dz
ϕδ ϕ δ δ + − − +
2 2
12 2
2s s z o sy z
d v dv d dw d uM
dz dz dz dz dz
ϕδ ϕ δ δ + − + −
( ) ( )2
T1 2 11 12
2 e e eo zdw dM dz
dz dzωϕδ δ
− = −
u f f .
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 16/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.3. Elastična (linearna) matrica krutosti konačnog elementa
( )1
T11 1 1δ δ
e e eE ijkl kl ij E
V
C e e dVδ= =∫ u k uU
Eksplicitni oblik:
( )2 2 2 2 2 2
T
2 2 2 2 2 20
δ δ
le e eo o s s s s z z z z
E x y t E
dw dw d v d v d u d u d d d dEA EI EI EI GI dz
dz dz dz dz dz dz dz dz dz dzωϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ δ δ
= + + + + = ∫ u k uU
Ukupnu deformaciju konačnog elementa možemo rastaviti na one zbog:
� aksijalnog opterećenja
� savijanja u ravnini (z, y)
� savijanja u ravnini (z, x)
� torzije.
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 17/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
a) Aksijalno opterećenje
Sl. 3.3. Aksijalno opterećenje konačnog elementa: komponente pomaka i komponente sila
Kako sa stanovišta aksijalnog opterećenja, konačni element sa sl. 3.3 ima dva stupnja slobode, tada pomak wo u polju konačnog elementa možemo
aproksimirati polinomom prvoga stupnja, tj.
1 2ow zα α= + ,
ili u matričnom obliku:
ow = aα ,
gdje je a matrica polja konačnog elementa ili matrica polinoma:
[ ]1 z=a ,
dok je αααα vektor konstanti ili generaliziranih koordinata:
{ }T1 2α α=α .
Pošto za čvorove A i B, a u skladu s izrazom (3.21), vrijedi:
1
1 2
0 o oA
o oB
z w w
z l w l w
αα α
= → = = = → = + =
,
l
z
woA, FzA z
y x woB, FzB
A B
FzA Fz
Fz FzB
=
=
zB
zAw
oB
oA
F
F
w
w
f
w
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 18/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
to za vektor čvornih pomaka w možemo pisati:
1
2
1 0
1oA
oB
w
w l
αα
= =
w ,
ili kraće:
k=w a α ,
gdje indeks k označava konturu (čvorove) konačnog elementa. Kako na osnovi izraza (3.27), slijedi da je:
( ) 1k −=α a w ,
to iz gornjih izraza imamo:
( ) 1ko ww
−= =a a w N w,
pri čemu je Nw matrica interpolacijskih funkcija:
1w
z z
l l = −
N .
Za prvi član integrala, dobivamo:
( ) ( ) [ ] ( )T
T T T
0 0 0 0
1d d dδ d d dδ d d δ d δ 1 1 d δ
1d d d d d d
l l l lwo o o o w wE
w w w w EAEA z EA z EA z z
z z z z z z l
− = = = − =
∫ ∫ ∫ ∫N N
w w w w w k w
gdje je wEk elastična matrica krutosti:
1 1
1 1wE
EA
l
− = − k .
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 19/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
b) Savijanje u ravnini (z, y)
Sl. 3.4. Savijanje konačnog elementa u ravnini (z, y): komponente pomaka i komponente sila
Pošto konačni element sa sl. 3.4 ima četiri stupnja slobode, to se pomak vs (ili vo) u polju konačnog elementa može aproksimirati polinomom
trećeg stupnja: 2 3
1 2 3 4sv z z zα α α α= + + + ,
ili u matričnom obliku:
sv = aα ,
gdje je, sada:
2 31 z z z = a ,
{ }T1 2 3 4α α α α=α .
Budući da u čvorovima vrijedi:
l
z
vsA, FyA
z
y x
vsB, FyB
A B
Fy
Fy
ϕxB, MxB ϕxA, MxA
MxB
FyB
FyA
Mx
Mx
MxA
=
=
xB
yB
xA
yA
v
xB
sB
xA
sA
M
F
M
F
v
v
f
v
ϕ
ϕ
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 20/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
1 2
2 3 21 2 3 4 2 3 4
0 ,
, 2 3
ss sA xA
ss xB
dvz v v
dzdv
z l v l l l l ldz
α α ϕ
α α α α α α α ϕ
= → = = = = − = → = + + + = + + = −
,
za vektor čvornih pomaka v možemo pisati:
1
22 3
32
4
1 0 0 0
0 1 0 0
1
0 1 2 3
sA
xA k
sB
xB
v
v l l l
l l
αααα
ϕ − = = =
ϕ − − −
v a α ,
odnosno vektor je konstanti:
( ) 1k −=α a v .
Vratimo li izraz (3.40) u izraz (3.35), imamo:
( ) 1ks vv
−= =a a v N v,
gdje je Nv matrica interpolacijskih funkcija:
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 21v
z z z z z z z zz
l l l l l l l l
= − + − + − − −
N .
( ) ( )T2 2 2 2 2 2
T T
2 2 2 2 2 20 0 0
l l lvs s s s v v
x x x E
d v d v d v d v d dEI dz EI dz EI dz
dz dz dz dz dz dz
δδ δ δ
= = =
∫ ∫ ∫N N
v v v k v ,
gdje je vEk elastična matrica krutosti sljedećeg oblika:
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 21/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
x x x x
x x x x
vE
x x x x
x x x x
EI EI EI EI
l l l lEI EI EI EI
l l l lEI EI EI EI
l l l lEI EI EI EI
l l l l
− − − −
= − −
k .
c) Savijanje u ravnini (z, x)
Sl. 3.5. Savijanje konačnog elementa u ravnini (z, x): komponente pomaka i komponente sila
Ponovimo li za konačni element sa sl. 3.5 postupak kao u prethodnom slučaju, tada za pomak us (ili uo) u polju konačnog elementa, imamo:
2 31 2 3 4su z z zα α α α= + + + ,
odnosno:
su = aα ,
=
=
yB
xB
yA
xA
u
yB
sB
yA
sA
M
F
M
F
u
u
f
u
ϕ
ϕ
l
z
usA, FxA usB, FxB
A B
Fx
Fx
ϕyB, MyB ϕyA, MyA
MyB
FxB
FxA
My
My
MyA
z y
x
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 22/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
pri čemu su a i αααα dani izrazima (3.36) i (3.37). Pošto u čvorovima konačnog elementa vrijedi:
1 2
2 3 21 2 3 4 2 3 4
0 ,
, 2 3
ss sA yA
ss yB
duz u v
dzdu
z l u l l l l ldz
α α ϕ
α α α α α α α ϕ
= → = = = = = → = + + + = + + =
,
to za vektor čvornih pomaka u, imamo:
1
22 3
32
4
1 0 0 0
0 1 0 0
1
0 1 2 3
sA
yA k
sB
yB
u
u l l l
l l
αααα
ϕ = = =
ϕ
u a α ,
odnosno:
( ) 1k −=α a u .
( ) 1ks uu
−= =a a u N u,
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 21u
z z z z z z z zz
l l l l l l l l
= − + − + − − +
N .
( ) ( )T2 2 2 2 2 2
T T
2 2 2 2 2 20 0 0
l l lus s s s u u
y y y E
d u d u d u d u d dEI dz EI dz EI dz
dz dz dz dz dz dz
δδ δ δ
= = =
∫ ∫ ∫N N
u u u k u ,
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 23/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
pri čemu je uEk elastična matrica krutosti sljedećeg oblika:
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
y y y y
y y y y
uE
y y y y
y y y y
EI EI EI EI
l l l lEI EI EI EI
l l l lEI EI EI EI
l l l lEI EI EI EI
l l l l
−
− = − − − −
k .
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 24/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
d1) Slobodna torzija
Sl. 3.6a. Torzija konačnog elementa: komponente pomaka i komponente sila - pomak ϕz u polju konačnog elementa:
1 2z zzα α ϕϕ = + ⇒ ϕ = N ϕϕϕϕ
1 w
z z
l lϕ = − =
N N .
( ) ( ) [ ] ( )T
T T T
0 0 0 0
11 1
1
l l l lz z z z
t t t t E
d dd d d dGI dz GI dz GI dz GI dz
dz dz dz dz dz dzϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕδ δ δ δ δ
− = = = − =
∫ ∫ ∫ ∫
N Nkϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
gdje je:
1 1
1 1t
E
GI
lϕ −
= − k .
zA
zB
zA
zB
M
Mϕ
ϕ = ϕ
=
f
ϕϕϕϕ
l
z
z
y x
A B
ϕzB, MzB ϕzA, MzA
MzB Mz
Mz MzA
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 25/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
d2) Torzija s ograničenim vitoperenjem
Sl. 3.6b. Torzija konačnog elementa: komponente pomaka i komponente sila
- pomak ϕz u polju konačnog elementa:
2 31 2 3 4z zz z zα α α α ϕϕ = + + + ⇒ ϕ = N ϕϕϕϕ
Nϕ - matrica interpolacijskih funkcija:
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 2 3 2
3 2 2 3 21 v
z z z z z z z zz
l l l l l l l lϕ
= − + − + − − − =
N N .
=
=
B
zB
A
zA
B
zB
A
zA
M
M
M
M
ω
ωϕ
θϕθϕ
f
ϕϕϕϕ
l
z
z
y x θB, MωB
A B
θA, MωA
ϕzB, MzB ϕzA, MzA
MzB
MωB
Mω
Mz
Mz
Mω
MzA Mω
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 26/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Elastična matrica krutosti konačnog elementa:
e w v uE E E E E
ϕ= + + +k k k k k
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1
2 2
2
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
eE
a a
b c b c
b c b c
d d e e
f c g
f c g
a
b c
b c
sym d e e
f
−−
− − −− − −
−
=−
k
1. . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
f
h i
h
EAa
l= , 1 3
12 yEIb
l= , 2 3
12 xEIb
l= , 1 2
6 yEIc
l= , 2 2
6 xEIc
l= ,
3
12 6
5tEI GI
dl l
ω= + ,
2
6
10tEI GI
el
ω= + , 1
4 yEIf
l= , 2
4 xEIf
l= , 1
2 yEIg
l= , 2
2 xEIg
l= ,
4 2
15tEI GI l
hl
ω= + , 2
30tEI GI l
il
ω= − .
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 27/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.4. Geometrijska (nelinearna) matrica krutosti konačnog elementa
( )1 1 1
T1 1 1 1 1 11 1 1 1 1δ δ
e e eG ij ij ij ij i i G
V V A
S dV S e dV t u dAσ
σδ η δ δ= + − =∫ ∫ ∫ u k uɶ ɶU
Eksplicitni oblik:
2 2 2
1
0
2 21
2 2
1δ 2 2
2
2 2 2
lo s s s sz z
G z s s
s s s s s o sx z s s
dw du dv du dvd dF y x
dz dz dz dz dz dz dz
dv du d u du d v dw duF x y
dz dz dz dz dz dz dz
ϕ ϕδ δ δ δ δ
δ ϕ δ δ δ
= + + + − +
+ + + − +
+
∫U
2 21
2 2
22 21 1
2 2
21
2
2 2 2
2
s s s s s o sy z s s
s s s s zz
s s ozx z
du d u dv dv d v dw dvF x y
dz dz dz dz dz dz dz
d u dv du d v dM K
dz dz dz dz dz
d u du dwdM
dz dz dz
δ ϕ δ δ δ
ϕδ δ δ
ϕδ ϕ δ δ
− + + − +
+ − + +
+ − −
( )
2
2
2 21
2 2
2T1
2
2
2 δ
s
s s o szy z
e e eo zG
d v
dz dz
d v dv dw d udM
dz dz dz dz dz
dw dM dz
dz dzω
ϕδ ϕ δ δ
ϕδ
+
+ − + −
− =
u k u
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 28/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Pomake u polju konačnog elementa zamijeniti čvornim pomacima, a unutarnje sile čvornim silama:
• aksijalna sila: 1 1 1
z zA zBF F F= − =
• smične sile:
( )
( )
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
x xA xB yA yB
y yA yB xA xB
F F F M Ml
F F F M Ml
= − = = − +
= − = = +
• moment torzije: 1 1 1
z zA zBM M M= − =
• momenti savijanja:
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
1
x xA yA xA xB
y yA xA yA yB
z zM M F z M M
l l
z zM M F z M M
l l
= − − = − − +
= − + = − − +
• bimoment: 1 1 1
A BM M Mω ω ω= − =
• Wagnerov koeficijent:
( )1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 11 1
z z x x y y
zB z xA xB x yA yB y B
K F M M M
z z z zF M M M M M
l l l l
ω ω
ω ω
α α α α
α α α α
= + + + =
= + − − + + − − + +
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 29/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Geometrijska matrica krutosti konačnog elementa:
1 1 2 2 1 1
1 1 1
1 1 1
1 2 1
1 1 3 1 1 1
2 2 1 1
1 1 1
. . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . .
eG
a u v a u v w w
c d e f c g e f h i
c b f e c g f e h i
j k k d b j l l m m
n o u e f l p e q r
n v f e l e p q r
a u v w w
c g e f h i
c g f e h i
sym j
− − − − − −− −
− − − −− − −− −− − − −
−=
− − − −− − −
k
2 3 1
2 2
3 3 1
1
2
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
k k m m
n o r s
n r s
t t
t
− − −
1zBF
al
= , 1 11 116
5 10yA yBzB s
M MF xb
l l
−= − + ,
16
5zBF
cl
= , 1 1 16 11
5 10zB s xA xBF y M M
dl l
−= + ,
( ) ( )1 1 1 11
2 2
xA xB s yA yB szBM M x M M yM
el l l
+ += + + ,
( ) ( )1 1 1 11
1 2 2 2
xA xB s yA yB szBM M x M M yM
el l
+ += + + ,
1
10zBF
f = , 1 1 16 11
5 10zB s xA xBF y M M
gl l
−= − − ,
1 11
1
116,
5 10yA yBzB s
M MF xg
l l
−= −
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 30/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
1 1
10 10zB s xAF y M
h = − − , 11
1 10 10yAzB s
MF xh = − ,
1 1
10 10zB s xBF y M
i = − + , 11
1 ,10 10
yBzB sMF x
i = +
( ) ( )1 1 1 1 11 3 3 66
5 5 5 5
xA xB x yA yB y BzB zM M M M MF
jl l l l
ω ωα α αα − −
= − − + ,
1 11 2
10 5yA yBzB s
M MF xk
−= − ,
1 1 1
12
10 5zB s xA xBF y M M
k−
= +
1 11
2
2
10 5yA yBzB s
M MF xk
−= − + ,
1 1 1
32
10 5zB s xA xBF y M M
k−
= − − , 1 1 12
10 10zB s xA xBF y M M
l+
= + , 1 11
1
2
10 10yA yBzB s
M MF xl
+= − ,
1 11
2
2
10 10yA yBzB s
M MF xl
+= − − ,
1 1 1
32
10 10zB s xA xBF y M M
l+
= − + ,
11 11
,10 10 10 10
yB yxB x BzB zMM MF
m ω ωαα αα= − − − −
11 11
1 10 10 10 10yA yxA x BzB z
MM MFm ω ωαα αα= − + + − ,
( )1 112
15 2
xA xB szBM M yF l
nl
+= −
( )1 11
12
15 2
yA yB szBM M xF l
nl
+= + ,
( )1 11
22
15
xA xB szBM M yF l
nl
+= + ,
( )1 11
32
15
yA yB szBM M xF l
nl
+= − ,
( ) ( )1 1 1 1
2 2
xA xB s yA yB sM M x M M yo
l l
+ += − ,
1
30zBF l
p = , ( )1 11 32
15 30
yA yBzB sM M lF x l
q−
= − + ,
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 31/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
( )1 11
1
32
15 30
xA xBzB sM M lF y l
q−
= − − , 11
30 30yAzB s
M lF x lr = − ,
1 1
1 30 30zB s xAF y l M l
r = + , 11
2 30 30yBzB s
M lF x lr = + ,
1 1
3 30 30zB s xBF y l M l
r = −
( )1 11 32
15 30
yA yBzB sM M lF x l
s−
= − + , ( )1 11
1
32
15 30
xA xBzB sM M lF y l
s−
= − − ,
( ) ( )1 1 1 1 11
30 60 60 30
xA xB x yA yB y BzB zM M l M M l M lF l
t ω ωα α αα − −
= − + + − ,
( ) ( )1 1 1 1 11
1
3 3 22
15 30 30 15
xA xB x yA yB y BzB zM M l M M l M lF l
t ω ωα α αα − −
= − − + ,
( ) ( )1 1 1 1 11
2
3 3 22
15 30 30 15
xA xB x yA yB y BzB zM M l M M l M lF l
t ω ωα α αα − −
= − − + ,
1
1xAM
ul
= , 1
2xBM
ul
= , 1
1yAM
vl
= , 1
2yBM
vl
= , 1
1BM
wlω= .
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 32/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Ravninski element (z, y):
1 11 1
1 1 1 1
1 11 1 1 1
1 11 1
1 1 1 1
1 11 1 1 1
. .
6 6. .
5 10 5 10
2
10 15 10 30
. .
6 6. .
5 10 5 10
2
10 30 10 15
xA xBzB zB
zB zB zB zB
xA xAzB zB zB zB
eG
xA xBzB zB
zB zB zB zB
xB xBzB zB zB zB
M MF F
l l l l
F F F F
l l
M MF F l F F l
l l
M MF F
l l l l
F F F F
l l
M MF F l F F l
l l
− − −
− − −− − −
=−
−
− − −
k
Pojednostavljena geometrijska matrica krutosti:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
. . . . . .
6 6. .
5 10 5 10
2. .
10 15 10 30. . . . . .
6 6. .
5 10 5 10
2. .
10 30 10 15
zB zB zB zB
zB zB zB zB
eG
zB zB zB zB
zB zB zB zB
F F F F
l l
F F l F F l
F F F F
l l
F F l F F l
− − − − − =
− − −
k
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 33/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.5. Jednadžba konačnog elementa
( ) ( ) ( ) ( )T T 2 1e e e e e e eE Gδ δ+ = −u k k u u f f
odnosno: e e eT =k u f
gdje je eTk tangentna matrica krutosti e-tog konačnog elementa:
e e eT E G= +k k k
dok je fe pripadni vektor inkrementalnog čvornog opterećenja: 2 1e e e= −f f f
Vektor čvornih sila konačnog elementa za novu ravnotežnu konfiguraciju C2:
( )2 2 1 11
e e e e e e e eE G= = + = + +f f f f f k k u
Sl. 3.7a. Čvorne sile u konfiguracijama C1 i C2 prije force recoveryja
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 34/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
UL formulacija – force recovery:
- NDA (natural deformation approach) : e e en r= −u u u
( )2 2 12
e e e e e eE G n= = + +f f f k k u
- ESA (eksternal stiffness approach):
( )2 2 12
e e e e e e eE G Ext= = + + −f f f k k k u
eExtk – EKSTERNA MATRICA KRUTOSTI KONAČNOG ELEMENTA
Sl. 3.7b. Čvorne sile u konfiguracijama C1 i C2 poslije force recoveryja
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 35/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Virtualni se pomak (kao i stvarni pomak) konačnog elementa iz konfiguracije C1 u konfiguraciju C2 sastoji od pomaka konačnog elementa kao krutog tijela, sl. 3.8a i pomaka koji su posljedica čiste deformacije, sl. 3.8b.
a) b)
Sl. 3.8. Virtualni pomaci konačnog elementa: a) kao krutog tijela; b) zbog ukupne deformacije
Stoga, za ukupni virtualni pomak konačnog elementa unutar jednog inkrementa, možemo pisati:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nr
nyryynxrxxnzrzz
nsrssnsrssnoroo vvvuuuwww
δθδθθδ
ϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδϕδ
δδδδδδδδδ
+=
+=+=+=
+=+=+=
,,
,,
r = RIGID BODY DEFORMATION
n = NATURAL DEFORMATION
Kako su pri pomaku konačnog elementa kao krutog tijela komponente pomaka: wo, ϕz, ϕx i ϕy konstantne, dok se us i vs linearno mijenjaju, vrijedi:
1A 1B
2A
2B
z
sBvδ ( )rsvδ sAvδ
l
1z
1y 1x sBvδ
1A 1B
2A
2B
z
( )rsvδ sAvδ
( )nsvδ
l
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 36/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
, ,
,
,
o o s s s s
n n n
x x sz z
n n n
y y s zn
n n
dw dw d u d u d v d v
dz dz dz dz dz dz
d d d vd d
dz dz dz dz dz
d d d u d
dz dz dz dz
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ δ
δ δ δ δθ δ δθ
= = =
ϕ ϕϕ ϕ = = = −
ϕ ϕ ϕ= = = =
Sljedeći je korak da iz integrala, a na osnovi kojeg je dobivena geometrijska matrica krutosti konačnog elementa, izlučimo sve članove koji ne
sadrže natural deformation pomake, što daje:
1
0
12
2
ls s s s s sz z
z s s
du du dv dv du dvd dF y x
dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ ϕ ϕ + + − +
∫
2 2
12 2
2 2 2s s s s s s o sx z z s s
dv dv d u du d v du dw duF x y
dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ
+ ϕ + ϕ + + − +
2 2
12 2
2 2 2s s s s s s o sy z z s s
du du d u dv d v dv dw dvF x y
dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ
+ − ϕ − ϕ + + − +
2 2 2
1 12 2 2s s s s s sz
z x z
d u dv d v du d u dudM M
dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ
ϕ+ − + ϕ − +
2
12s sz
y z
d v dvdM dz
dz dz dzδ δ
ϕ+ ϕ −
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 37/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Ako prethodni izraz parcijalno integriramo na način da u integralu povećamo red derivacije virtualnih pomaka, nakon sređivanja imamo:
1
0
l
s s s sz s s s z s z
du dv du dvF u v y x
dz dz dz dzδ δ δ δ + + ϕ − ϕ +
1
0
l
s s s s sx s z s s o
du du dv du duF v x y w
dz dz dz dz dzδ δ δ δ + ϕ + + − +
1
0
l
s s s s sy s z s s o
du dv dv dv dvF u x y w
dz dz dz dz dzδ δ δ δ + − ϕ + + − +
111
0 0 02 2 2
lll
ys s s s x s s s szz z z z
Mdu dv dv du M du du dv dvM
dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ δ
+ − + ϕ − ϕ + ϕ − ϕ +
2
12
0
ls s s s
z s s s z s z
d u dv du dvF u v y x
dz dz dz dzδ δ δ δ
+ − − − ϕ + ϕ +
∫
2 2 2
12 2 2
s s s s szx s s s o
du d u dv d u d udF v x y w
dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ
ϕ+ − − − + +
2 2 2
12 2 2
s s s s szy s s s o
du d v dv d v d vdF u x y w
dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ
ϕ+ − − + +
12 2 1 2 21
2 2 2 22 2 2ys s s s x s s s sz z z
z z
Mdv d u du d v M d u du d v dvM d ddz
dz dz dz dz dz dz dz dz dz dzδ δ δ δ δ δ
ϕ ϕ+ − + ϕ − + ϕ −
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 38/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Kako integral iz prethodnog izraza sadrži samo virtualne pomake zbog čiste deformacije, slijedi:
1
0
l
s s s sz s s s z s z
du dv du dvF u v y x
dz dz dz dzδ δ δ δ + + ϕ − ϕ +
1
0
l
s s s s sx s z s s o
du du dv du duF v x y w
dz dz dz dz dzδ δ δ δ + ϕ + + − +
1
0
l
s s s s sy s z s s o
du dv dv dv dvF u x y w
dz dz dz dz dzδ δ δ δ + − ϕ + + − +
( ) ( )11
0 02 2
ll
xzx y y x y z z y
MM δ δ δ δ
+ ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ +
( ) ( )1
T
02
l
y e e ez x x z Ext
Mδ δ δ
+ ϕ ϕ − ϕ ϕ =
u k u
Pošto je pri pomaku konačnog elementa kao krutog tijela veza između pomaka u polju konačnog elementa i čvornih pomaka, sljedeća:
, 1 , 1
, , , 0
sA sAo oA oB s s
sB sB
z zA zB x xA xB y yA yB A B
u vz z z zw w w u v
u vl l l l
θ θ θ
= = = − = −
ϕ = ϕ = ϕ ϕ = ϕ = ϕ ϕ = ϕ = ϕ = = =
dobivamo:
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 39/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
1 1
1 1
1
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
eExt
b m k e b m k e
a j l f a j l f
c d i h
i g
h g
b m k e b m k e
a j l f a j l f
c d i h
i g
h g
− − − −− − − −
−−
−
=− − − −
− − − −− − −
−−
k
1 . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
1 1
2xA xBM M
al
+= , 1 1
2
yA yBM Mb
l
+= ,
1 1xA xBM M
cl
+= , 1 1
yA yBM Md
l
+= ,
1zB sF y
el
= ,
1zB sF x
fl
= , 1
2zAM
g = , 1
1 2zBM
g = , 1
2xAM
h = , 1
1 2xBM
h = , 1
2yAM
i = , 1
1 2yBM
i = ,
( )1 1
3
xA xB sM M xj
l
+= ,
( )1 1
3
yA yB sM M yk
l
+= ,
( )1 11
3
xA xB szBM M yF
ll l
+= + ,
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 40/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.6. Transformacijske matrice
Sl. 3.9. Lokalni i globalni koordinatni sustav
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1 10
1 1 1
cos , cos , cos ,
cos , cos , cos ,
cos , cos , cos ,
z Z z X z Y
x Z x X x Y
y Z z X z Y
=
t
1 1 1 T
0 0 ortogonalna matrica− = ⇒t t
1
01
01 1
01
0
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
e
e
e e
e
=
t
tt t
t
I
Z
Y
X
1x
1z
1y
a
(Z, X, Y) - globalni koord. sustav
(1z, 1x, 1y) - lokani koord.
sustav
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 41/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
1e e e=u t u 1e e e=f t f e e eT =k u f
( )T1 1e e e eT T=k t k t
e e eT E G= +k k k ( )T1 1e e e e
E E=k t k t ( )T1 1e e e eG G=k t k t
3.7. Jednadžba konstrukcije
T =K U P
T E G= +K K K 2 1= −P P P
Sl. 3.10. Krivulja ‘opterećenje – pomak’
opterećenje
pomak
stabilna ravnoteža
stabilna ravnoteža
nestabilna ravnoteža
omekšanje očvršćenje
A
B
C
D
E
O
Kriti čne točke: � granične točke (A i D)
� snap-back točke (B i C).
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 42/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Faze inkrementalno-iterativne procedure ili sheme:
� PREDIKTOR:
PKU 1−= T
� KOREKTOR:
� korekcija geometrije svakog konačnog elementa (updating of geometry)
� određivanje eksterne matrice krutosti svakog konačnog elementa
� određivanje vektora čvornih sila svakog konačnog elementa u konfiguraciji C2 (force recovery faza):
ee ff 22
2 =
� KONTROLA RAVNOTEŽE UNUTARNJIH I VANJSKIH SILA
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 43/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.8. Korekcija geometrije konačnog elementa
U tu je svrhu potrebno definirati tri sustava koordinatnih osi:
� referentne osi svakog čvora konstrukcije
� osi konačnog elementa
� osi čvorova konačnog elementa.
3.8.1. Referentne osi
Sl. 3.11. Referentne osi Inkrementalni pomak čvora A:
� translacijski inkrement ∆UA:
A A A AW U V∆ = + +U k i j
� rotacijski inkrement ∆φφφφA:
A ZA XA YAφ φ φ∆ = + +k i jφφφφ
X Z
Y
1ζζζζA
1ηηηηA
1ξξξξA A
C1
0ξξξξA 0ζζζζA
0ηηηηA
A
C0
2ζζζζA
2ηηηηA
2ξξξξA
A
C2
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 44/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
U skladu s Rodriguezovom formulom za velike rotacije položaj je referentnih osi čvora A u konfiguraciji C2 :
2 2 11 , , ,A A A= =q R q q ζ ξ ηζ ξ ηζ ξ ηζ ξ η
( )2 21 3
1 cossin
A
AAA Α Α
A2
− ∆φ∆φ= + +∆φ ∆φ
R I Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ
2 2 2A A ZA XA YAφ φ φ∆φ = ∆ = + +φφφφ ,
0
0
0
YA XA
Α YA ZA
XA ZA
φ φφ φφ φ
− = − −
ΦΦΦΦ
Uvedu li se sljedeće aproksimacije:
1sin , cos 1
2 AA A A2∆φ ≅ ∆φ ∆φ ≅ − ∆φ
dobivamo za rotacijsku matricu:
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 21 3
2 2
1 1 11
2 2 21 1 1 1
12 2 2 2
1 1 11
2 2 2
XA YA YA ZA XA XA ZA YA
A Α Α YA ZA XA ZA YA ZA XA YA
XA ZA YA ZA XA YA ZA XA
φ φ φ φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ φ φ φ
− + − + + ≅ + + = + − + − + − + + − +
R I Φ ΦΦ ΦΦ ΦΦ Φ
U slučaju malih rotacija:
21 3
1
1
1
YA XA
A Α YA ZA
XA ZA
φ φφ φφ φ
− ≅ + = − −
R I ΦΦΦΦ
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 45/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Koordinate su čvora A u konfiguraciji C2:
2 1
2 1
2 1
A A A
A A A
A A A
Z Z W
X X U
Y Y V
= +
3.8.2. Osi čvorova konačnog elementa i osi konačnog elementa a) b)
Sl. 3.12. Čvorne osi i osi konačnog elementa: a) u konfiguraciji C0; b) u konfiguraciji C1
(γγγγi, ααααi, ββββi), i = A, B – jedinični vektori osi čvorova konačnog elementa ili čvornih osi
(zs, xs, ys) – osi konačnog elementa
0l = l
0ββββA 0ααααA
0γγγγA 0γγγγB
0ααααB 0ββββB
0zs
0ys 0xs
A B
1l
1ββββA 1γγγγB 1ββββB
1ααααB 1ααααA 1γγγγA
1zs
1xs 1ys
A B
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 46/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Veza je između čvornih osi konačnog elementa i referentnih osi u konfiguraciji C0:
( )0 0 0 , , ; , , ; , ,i i i A B= = = =p R q p qγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ η
0R - transformacijska matrica koja transformira lokalne osi (0zs, 0xs,
0ys) konačnog elementa uglobalni koordinatni sustav (Z, X, Y):
( )T0 0 0 0 00e
s s s = = R t z x y
( ) ( ) ( ) ( ){ }T0 0 0 0cos , cos , cos ,s s s sz Z z X z Y=z
( ) ( ) ( ) ( ){ }T0 0 0 0cos , cos , cos ,s s s sx Z x X x Y=x
( ) ( ) ( ) ( ){ }T0 0 0 0cos , cos , cos ,s s s sy Z y X y Y=y
Ako su konačni elementi u čvorovima međusobno kruto spojeni, tada i za konfiguracije C1 i C2 vrijedi:
( )( )
T1 0 1 0 10
T2 0 2 0 20
, , ; , , ; , ,
ei i i
ei i i
i A B= = = = == =
p R q t qp q
p R q t qγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ ηγ α β ζ ξ η
Sljedeći korak predstavlja određivanje matrice 1R, koja transformira osi (1zs, 1xs,
1ys) konačnog elementa iz konfiguracije C1 u globalni koordinatni sustav, odnosno:
( )T1 1 1 1 10e
s s s = = R t z x y
Komponente vektora 1zs mogu se dobiti na osnovi koordinata čvorova A i B, tj.
( ) { }T1 1 1 1 1 1 11
1s B A B A B AZ Z X X Y Y
l= − − −z ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1 1 1
B A B A B Al Z Z X X Y Y= − + − + −
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 47/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
a) b) c)
Sl. 3.13. Određivanje položaja osi 1xs i 1ys: a) projekcije čvornih osi u ravninu 1Π; b) jedinični vektori srednjih vrijednosti; c) konačni
položaj osi 1xs i 1ys (
1Π ⇒ ravnina okomita na os 1zs )
- projekcije vektora 0ααααi i 0ββββi, i = A, B, u ravninu 1Π, sl. 3.13a:
( ) ( )1 * 1 1 T 1 1 , , ; ,j j j s s j A B= − = =p p p z z p α βα βα βα β
- normalizacija:
( )( )
1 *1
T1 * 1 *
, , ; ,jj
j j
j A B= = =p
p pp p
α βα βα βα β
- srednje vrijednosti projekcija:
( )1 1 1 , , ; ,i A B i x y= + = =e p p p α βα βα βα β
1ey
1ex
Aα1
Bα1
Aβ1
Bβ1
1Π 1Π
11e
21e
1xs
1ys
45o
45o
1Π
ye1−
1e2
1e1 ye1
xe1
1e1 ⊥ 1e2
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 48/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- normalizacija:
( )( )
11
T1 1
, ,ii
i i
i x y= =ee
e e
- modifikacija: 1 1 1 1 1 1
1 2,x y x y= + = −e e e e e e
- normalizacija:
( )( )
11
T1 1
, 1, 2jj
j j
j= =e
ee e
- novi je položaj osi 1xs i 1ys definiran vektorima:
( )1 1 o 1 o 1 11 2 1 2
2sin 45 cos 45
2s = + = +x e e e e
( )1 1 o 1 o 1 11 2 1 2
2cos 45 sin 45
2s = − = −y e e e e
3.9. Numeričke procedure za rješavanje nelinearnih problema
� čista inkrementalna procedura
� inkrementalno-iterativna procedura
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 49/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.9.1. Čista inkrementalna procedura
- jednadžba konstrukcije za i-ti inkrement: ( 1) ( ) ( )i i iT
− ∆ = ∆K U P
- vektor inkrementalnog opterećenja za i-ti inkrement: ( ) ( ) ( 1)i i i −∆ = −P P P
- ukupno opterećenje konstrukcije na kraju i-tog inkrementa:
( ) ( )
1
r ii r
r
=
== ∆∑P P
- ukupni pomak konstrukcije na kraju i-tog inkrementa:
( ) ( )
1
r ii r
r
=
== ∆∑U U
Sl. 3.14. Čista inkrementalna procedura
opterećenje
pomak
1
greška
)1( −iTK
)(∆
iP
)(∆ iU
)1( −iU )( iU
)1( −iP
)(iP
točno rješenje
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 50/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.9.2. Inkrementalno-iterativne procedure
- jednadžba konstrukcije za j-tu iteraciju i-tog inkrementa:
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1)( 1)
ˆi i i iT j j jj −−
∆ = Λ +K U P R
P̂ - vektor referentnog opterećenja ( )( )ijΛ - faktor inkrementalnog opterećenja za j-tu iteraciju u i-tom inkrementu
( )( 1)ij −R - vektor neuravnoteženog opterećenja iz (j – 1) iteracije:
( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1)i i ij j j− − −= −R P F
( )( 1)
ij −F - vektor unutarnjih sila konstrukcije za (j – 1) iteraciju
- vektor vanjskog opterećenja u j-toj iteraciji i-tog inkrementa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( )
ˆi i i i i ij j j j j j− − −= + ∆ = + + ΛP P P R F P
- inkrementalni pomak konstrukcije u j-toj iteraciji i-tog inkrementa:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
ˆi i i ij j j j∆ = Λ ∆ + ∆U U U
- komponenta ( )( )
ˆ ij∆U :
( )( ) ( )( )( 1)
ˆ ˆi iT jj −
∆ =K U P
- komponenta ( )( )ij∆U :
( )( ) ( ) ( )( ) ( 1)( 1)
i i iT j jj −−
∆ =K U R
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 51/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- ukupan pomak konstrukcije na kraju j-te iteracije i-tog inkrementa:
( ) ( ) ( )( ) ( 1) ( )i i ij j j−= + ∆U U U
- određivanje faktora inkrementalnog opterećenja ( )( )ijΛ :
� Newton-Raphsonova procedura
� displacement control procedura
� arc-length procedura
� work control procedura
� generalized displacement control procedura:
( )( )
T( 1) ( )(1) ( )( )
( ) T( 1) ( )(1) ( )
ˆ, 2
ˆ ˆ
i iji
ji i
j
j
−
−
∆ ∆Λ = − ≥
∆ ∆
U U
U U
( ) (1)(1) (1) GSP , 1i jΛ = ±Λ =
GSP = generalizirani parametar krutosti:
( )( )
T(1) (1)(1) (1)
T( 1) ( )(1) (1)
ˆ ˆGSP
ˆ ˆi i−
∆ ∆=
∆ ∆
U U
U U
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 52/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- kontrola kriterija konvergencije na kraju j-te iteracije i-tog inkrementa:
� pomak:
( )( )
( )(1)
ij
Di
∆≤
∆
U
Ue , ( ) )(
)(
T)()(
)()(
ij
ij
ij UUU ∆∆=∆
� neuravnoteženo opterećenje:
( )( )
( )(1)
ij
Fi≤
R
Re , ( )T( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )i i ij j j=R R R
� rad neuravnoteženog opterećenja:
( )( )
T( ) ( )( ) ( )
T( ) ( )(1) (1)
i ij j
Ei i
∆≤
∆
U R
U Re
, ,D F E ⇒e e e dopuštena odstupanja ili tolerancije:
3
10 6
10
10 , ,10D F
E
−
− −
= == …
e e
e
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 53/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.9.3. Linearna analiza stabilnosti
( ) 2 1E G+ = = − =K K U P P P 0
( )ˆλE G+ =K K U 0
( )ˆdet λ 0E G+ =K K
λ – vlastita vrijednost (faktor kritičnog opterećenja)
U – vlastiti vektor (forma izvijanja)
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 54/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
3.10. Elasto-plastična analiza
a) b)
Sl. 3.15. Krivulja εσ − za: a) linearno-elastičan materijal; b) linearno-elastičan idealno-plastičan materijal
Pretpostavke:
� materijal je linearno-elastičan idealno-plastičan, tj. kada naprezanje u materijalu dostigne vrijednost naprezanja na granici tečenja
T Yfσ = deformacije rastu bez povećanja naprezanja
� nema zaostalih naprezanja
� svi su plastični efekti koncentrirani u tzv. plastičnim zglobovima (plastic hinges) nulte duljine
� plastični se zglobovi pojavljuju samo u čvorovima konačnog elementa, dok je u polju konačnog elementa materijal linearno-elastičan
� deformacije su male
� postoji kontinuirana funkcija tečenja Φ, koja je funkcija čvornih sila konačnog elementa i koja zadovoljava uvjet:
( ) 1eΦ = Φ = ⇒f PLASTIČNI ZGLOB
1Φ < ⇒ NEMA PLASTIČNOG ZGLOBA
1Φ > ⇒ NEDOPUŠTENO
Φ ≡ analitički oblik n-dimenzionalne plohe tečenja (yield surface) 7,,1…=⇒ n
ε
σ
ε
σ
σν
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 55/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Deformacije su male ⇒ aditivna dekompozicija inkrementalnog vektora čvornih pomaka:
e e eel pld d d= +u u u
eeldu - elastični dio
epldu - plastični dio
- Prandtlov kriterij tečenja (Prandtl’s flow rule ili normality principle):
( )T0e e
pld d =u f ili epld d=u G λ
G - gradijentna matrica plohe tečenja
dλ - vektor proizvoljnih pozitivnih skalarnih funkcija ili plastičnih multiplikatora
- plastični zglob u čvoru A konačnog elementa:
epl A A Ad dλ=u G
TA
zA xA yA zA xA yA AF F F M M M Mω
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G
- plastični zglob u čvoru A i B konačnog elementa:
epl A A Ae
pl epl B B B
d dd
d d
λλ
= =
u G 0u
u 0 G
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 56/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- za linearno-elastičan idealno-plastičan materijal:
,e e eel pld d d= =f f f 0
( )( )
,
, , ,
e e e e e e eE G Ext el T Ext el
e e e e e eT Ext pl T Ext T Ext
d d d
d d d d
= + − = =
= − = −
f k k k u k u
k u u k u k G λ
,e e eT Ext T Ext= −k k k
- iz Prandtlova kriterija tečenja i uvjeta da je λd proizvoljan, imamo :
( )T T T T0 0 (za )e e ed d d d d d= = ⇒ = =G λ f λ G f G f λ 0
- vektor proizvoljnih pozitivnih skalarnih funkcija:
( ) 1Τ T
, ,e e eT Ext T Extd d
−=λ G k G G k u
- inkrementalni vektor čvornih sila:
( ) ( ), , ,e e e e e e e e e e e
T Ext T Ext T Ext P T Ext Pd d d d d= − = − = − −f k u k G λ k k u k k k u
- plastična redukcijska matrica:
( ) 1Τ T
, , ,e e e eP T Ext T Ext T Ext
−=k k G G k G G k
- nema plstičnog zgloba: eP =k 0
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 57/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- ukupna matrica krutosti konačnog elementa:
� za prediktor fazu: e e e e eT P E G P− = + −k k k k k
� za korektor fazu:
,e e e e e eT Ext P E G Ext P− = + − −k k k k k k
eP ⇒k inkrementalna promjena vektora čvornih sila konačnog elementa u plastičnom zglobu leži u tangencijalnoj ravnini plohe
tečenja
- u narednom inkrementu: ( ) 1eΦ = Φ >f
Sl. 3.23. Korekcija vrijednosti čvornih sila
.
.
1
4
3 2
6
5
mx
my
Φ < 1
Φ = 1
Φ > 1
G
0
,
,
xx
x gr
yy
y gr
Mm
M
Mm
M
=
=
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 58/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- transformacija u globalni koordinatni sustav:
( )T1 1e e e eP P=k t k t
- tangentna matrica krutosti konstrukcije:
T E G P= + −K K K K
PK - plastična redukcijska matrica konstrukcije
- dλ sadrži pozitivne skalarne funkcije, pa kod pojave negativnog člana:
0Adλ < ⇒ elastično rasterećenje plastičnog zgloba u čvoru A
0Bdλ < ⇒ elastično rasterećenje plastičnog zgloba u čvoru B
CONCI & GATTASS ⇒ laki I-profil 3112W × (AISC standard):
2 2 2 4 2 2 6 2 4 2 2
, , , , , , , , , , ,
1,15 3,67 3 4,65y y yx x xz z z z
z gr z gr x gr y gr z gr x gr z gr y gr x gr y gr gr
M M MM M M MF M F F
F M M M F M F M M M Mω
ω
Φ = + + + + + + +
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 59/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
GRANIČNE VRIJEDNOSTI:
Sl. 4.1. I-profil
- aksijalna sila:
( ), T 2 2z gr p s pF bt t h tσ = + −
- momenti savijanja:
( )2
, T 2x gr p p s p
hM bt h t t tσ
= − + −
( )2 2
, T 22 4
p sy gr p
b t tM h tσ
= + −
- bimoment:
2, T 4
pgr p
h tM b tω σ
−=
- torzijski moment:
( )2 2, , T
1
2z gr sv gr p p sM T bt h t tτ = = + − T T0,577
3νστ σ= ≈ (von Mises)
s....struk (hrbat, rebro, engl. web) p....pojasnica (pojas, engl. flange) ts
tp
tp
b
h
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 60/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
- gradijentna matrica:
T 0 0 , A,Bi i i i ii
zi zi xi yi i
iF M M M Mω
∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G
gdje je:
2 5 2
, , , , , ,
12,3 7,34 18 yii zi zi xi zi
zi z gr z gr z gr x gr z gr y gr
MF F M F
F F F F M F M
∂Φ = + + ∂
2,
2i zi
zi z gr
M
M M
∂Φ =∂
2,
2i i
i gr
M
M Mω
ω ω
∂Φ =∂
2 3 2
, , , , , ,
12 7,34 18,6 yii xi zi xi xi
xi x gr x gr z gr x gr x gr y gr
MM F M M
M M M F M M M
∂Φ = + + ∂
3 6 4
, , , , , ,
14 6 9,3yi yi yii zi xi
xi y gr y gr z gr y gr x gr y gr
M M MF M
M M M F M M M
∂Φ = + + ∂
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 61/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
4. PRIMJERI Primjer 4.1. Čisto torzijsko i čisto fleksijsko izvijanje
Vrijednosti kritične sile F = Fkr = Fϕ (kN) kod čistog torzijskog izvijanja konzole:
THINWALL Teorijska vrijednost
MSC/NASTRAN [98] (shell model) Br. elem. 0=ωI 0≠ωI
1 285,491 288,197 - izraz (2.140): 285,484
- izraz (2.139):
286,155
288,880 2 285,491 288,182
4 285,491 288,163
8 285,491 288,162
Vrijednosti kritične sile F = Fkr = Fy (kN) kod čistog fleksijskog izvijanja konzole:
THINWALL Teorijska vrijednost izraz (2.122)
MSC/NASTRAN [98] (shell model) Br. elem. 0=ωI 0≠ωI
1 435,391 435,391
432,141 428,280 2 432,362 432,362
4 432,155 432,155
8 432,142 432,142
l = 200 cm
F
A B Z
Y X
20 cm
30
0,5
0,5 25 Ncm10210 −⋅=E
.Ncm1077,80 25 −⋅=G
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 62/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
F B
Z
Y X
A
MZ = 0,001F
F B
Z
Y X
A
FX = 0,001F
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 20 40 60 80 100 120
Pomak φ zB (10-3 rad)
F /
Fϕ
UB = VB = 0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
U B / lF
/ F
y Model 'A'
Model 'B'
Chin et al.
VB = φzB = 0
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 63/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.2. Torzijsko-fleksijsko izvijanje - koordinate su centra smicanja: xs = 1,5884 cm, ys = –2,5723 cm - modul elastičnosti: E = 30000 Ncm-2 - modul smicanja: G = 11500 Ncm-2
Vrijednosti kritične sile F = Fkr (N) za torzijsko-fleksijsko izvijanja konzole:
Br. elem.
THINWALL Teorijska vrijednost
izraz (2.110) MSC/NASTRAN [98]
(shell model)
1 14,0048
13,9016 14,0294 2 13,9086
4 13,9020
8 13,9016
1,375
4,375
10
4 cm
2
x
y
6,249o
O
0,5
0,5
0,5 l = 200 cm
F
A B Z
Y X y x
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 64/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
F A B
Z
Y X
FX = 0,001F
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
-0,25-0,2-0,15-0,1-0,050
Pomak φ zB (rad)
F /
Fkr
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
U B / l
F /
Fkr
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
-1-0,8-0,6-0,4-0,20
(VB / l ) 102
F /
Fkr
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 65/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.3. Lateralno izvijanje - koordinate su centra smicanja: xs = 0, ys = 1,645 cm - modul elastičnosti: 25 Ncm10210 −⋅=E
- modul smicanja: .Ncm1077,80 25 −⋅=G
Vrijednosti kritičnog momenta M = Mkr (kNcm) za lateralno izvijanja grede:
Broj elemenata
THINWALL Teorijska vrijednost
izraz (2.161)
1 669,362
601,586 2 602,758
4 600,429
8 600,270
Z
Y X
A B
M M
l = 480 cm
y x
5 cm
7
0,68
0,68
0,45 5,526
1,645 10 O
S
x
y
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 66/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5
φ zC (rad)
M /
Mkr
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
-0,05-0,04-0,03-0,02-0,010
U C / l
M /
Mkr
Z
Y X A
M
l / 2
C
MZ = 0,005M
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 67/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.4. Velike rotacije vs. male rotacije - pravokutni poprečni presjek: b× t = 30× 0,6 mm - modul elastičnosti: E = 71240 Nmm-2 - modul smicanja: G = 27191 Nmm-2
Vrijednosti kritičnog momenta M = Mkr (Nmm) i kritične sile F = Fkr (N) za lateralno izvijanja okvira:
Opterećenje THINWALL Male rotacije [50]
(beam model) TRUMP [50] (shell model)
M 634,53 316,17 632,50
F 3,9899 2,4267 3,9459
M M
F
A B
C
240 240 t
b
Z X
Y
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 68/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
a) b)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Pomak WC (mm)
Sila
F (
N)
M M
A B
C FZ = 0,0025M
Z X
Y
A B
C FZ = 0,0001F
Z X
Y
F
0
100
200
300
400
500
600
700
0 30 60 90 120 150
Pomak WC (mm)
Mo
me
nt M
(N
mm
)
Mkr = 623,311 Nmm
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 69/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.5. Off-axis opterećenje - koordinate centra smicanja: xs = 1,5884 cm, ys = –2,5723 cm - modul elastičnosti materijala: E = 30000 Ncm-2 - modul smicanja: G = 11500 Ncm-2
a) b) c)
F
O
F
O
F
O
0
0
=
=
i
i
y
x
cm660,5
cm009,0
=
=
i
i
y
x
cm281,4
cm098,1
−=
=
i
i
y
x
1,375
4,375
10
4 cm
2
x≡ X
y≡ Y
6,249o
O
0,5
0,5
0,5 l = 200 cm
F
A B Z
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 70/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Vrijednosti kritične sile F = Fkr (N) za lateralno izvijanje konzole:
Off-axis opterećenje prema slici
Broj elemenata
THINWALL Kim et al. [51] (beam model)
ABAQUS [51] (shell model)
a
4 4,1577 –6,0442
4,1582 –6,0432 4,1086
–5,8933 8
4,1461 –5,9902
4,1468 –5,9889
b
4 4,5586 –4,3935
4,5589 –4,3932 4,5127
–4,2500 8
4,5456 –4,3653
4,5460 –4,3649
c
4 3,6614 –7,0450
3,6639 –7,0258 3,6001
–6,8629 8
3,6541 –6,9548
3,6543 –6,9539
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 71/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.6. Efekt različite definicije momenta
- NELINEARNA ANALIZA ⇒ poremećaj u presjeku C ⇒ FZ = 0,0001M
Definicija momenta
THINWALL
Model ‘A’ Model ‘B’
M-ST 0,9867 0,9949
M-QT1 0,4973 0,4975
M-QT2 3,4460 3,4448
M-ST M-QT1 M-QT2
2cm2,0=A 4cm1=xI
4cm125,0=yI 40,01cmtI =
0=ωI 24 Ncm10 −=E
24 Ncm105,0 −⋅=G
M = MZ
C
B A Z X
Y
100
100 cm
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 72/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-15-12-9-6-30
Pomak WC (cm)
Mo
me
nt
M-S
T (
Ncm
)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-15-12-9-6-30
Pomak WC (cm)
Mo
me
nt M
-QT
1 (
Ncm
)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-35-30-25-20-15-10-50
Pomak WC (cm)
Mo
me
nt
M-Q
T2
(N
cm)
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 73/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.7. Izvijanje Rajasekaranovog prostornog okvira
Vrijednosti kritične sile F = Fkr (kN):
Model THINWALL Chen & Atsuta [76]
(beam model)
‘A’ 53101
52175 ‘B’ 52738
‘C’ 52579
l
l
H
A
B
C
D
H
G
F
E
F
F F
F
X Z
Y
X
Z
B D
F H
poremećaj: FZ = 0,0001F
I-profil 4910W × (AISC) E = ⋅210 105 Ncm-2, G = ⋅80 105 Ncm-2
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 74/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,50
(WB / l ) 103
F /
Fkr
Model 'A'
Model 'B'
Model 'C'
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 75/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.8. Elasto-plastično lateralno izvijanje obične grede
- materijal: E = 203 GPa; ν = 0,3; σΤ = fY = 320 MPa
- KRITIČNA SILA LATERALNOG IZVIJANJA F = Fkr:
� eksperiment: F = Fkr = 235 kN
� Kuohia i Tuomala: F = Fkr = 241,8 kN
� THINWALL: F = Fkr = 240,3 kN
12,3
12,3
7,67
151,5 mm
261
Z
Y X
A B
F
1219,2 mm 1219,2
C
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 76/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
-5 0 5 10 15 20 25
U C (mm)
F (
kN) THINWALL
Kouhia & Tuomala
Eksperiment
mehanizam
F
e
Z
Y X
A C
F / 2
4× 275 mm 119,2
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 77/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.9. Elasto-plastično izvijanje ravninskog okvira
- stupovi prve etaže: I-profil 7912W × , MPa240=νσ , GPa200=E , GPa80=G - stupovi na preostale tri etaže: I-profil 6010W × , MPa240=νσ , GPa200=E , GPa80=G
- horizontalne grede: I-profil 4016W × , T 300 MPaσ = , GPa200=E , GPa80=G
- HALDAR & NEE ⇒
2
, ,
xz
z gr x gr
MF
F M
Φ = +
X Z
Y
0,5F
0,5F
0,5F
0,25F
0,5F
0,5F
0,5F
0,5F
0,5F
0,5F
0,5F
0,5F F
F
F
F
A
365,8
365,8
365,8
365,8
457,2 cm 457,2
5
7
6
4
1
2
3
Z
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 78/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25 30
Pomak U A (cm)
Sila
F (
kN)
THINAWLL
Haldar & Nee
1 2
3 4
5
6 7
1, 2
3 4
5
6 7
THINWALL: kN151≅= krFF
Haldar & Nee: kN155≅= krFF
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 79/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.10. Elasto-plastično izvijanje dvoetažnog prostornog okvira
2F 2F
2F
0,5F
4F
4F
4F F
A
l
l
l
l l
X
Z Y
X
Y
1
4
2
6 5 3
I-profil W14 43×
l = 287,76 cm
E = 210 GPa
G = 80 GPa
σT = 248,3 MPa
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 80/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
40
80
120
160
200
240
0 1 2 3 4 5
Pomak U A (cm)
Sila
F (
kN)
THINWALL
Gebbeken
Vogel & Maier
1 1
2 2 3 4 5
5
6
THINWALL:kN6,185== krFF
GEBBEKEN:kN190≅= krFF
VOGEL & MAIER: kN,6,192== krFF
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 81/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Primjer 4.11. Elasto-plastično izvijanje šesteroetažnog prostornog okvira
Z
X
- visine stupova: h = 10 m - duljine horizontalnih greda: l = 20 m. - stupovi donjih triju etaža: I-profil 12012W ×
- stupovi gornjih triju etaža: I-profil 7912W ×
- horizontalne grede: I-profil 5312W ×
- materijal: GPa,210=E GPa,80=G MPa250=νσ
- 1 element/stup; 1 element/greda - prednji čvorovi: dodatna sila Fz = -0,4F - prvi zglob: čvor 19, element 54, WA = 38,7 cm, F = 67,59 kN
F
X Z
Y
19 54
A
F
F F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F 2F
F
F
2F
2F
2F
2F 2F
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 82/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
0
20
40
60
80
100
120
140
-8-7-6-5-4-3-2-10
(WA / l ) 102
Sila
F (
kN)
elasto-plastic
elastic
Linearna analiza stabilnosti: Fkr = 760,84 kN
Nelinearna analiza:
Fmax = 79,2 kN
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 83/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Gredni nosači punog poprečnog presjeka
Example 4.1.
The cantilever is modelled using four equal-sized beam elements. Figure 4 shows that the obtained results for the cantilever tip in-plane displacements are in excellent agreement with those obtained by Yang & Kuo [9], who applied twenty beam elements and the NDA in the force recovering. It also should be mentioned here that their solution completely followed the analytical solution given by Mattiasson [26].
Figure 1: Elastic cantilever under shear load.
Z
Y X
l
F
A B
0
2
4
6
8
10
-0,9-0,6-0,30
WB / L; VB / L
FL
2 /(E
I x)
This paper
Yang & Kuo
WB / l VB / l
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 84/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Example 4.2.
To examine the performance of presented finite element model under large displacement and rotation regime, an elastic cantilever with a rectangular cross-section 120×=× tb cm subjected to pure bending is shown in Figure 5. Elastic modulus E = 107 Ncm-2 and Poison’s ratio ν = 0. In the analysis, the column is meshed by five equal-sized beam elements and. In Figure 6, the obtained results for the cantilever tip displacements are compared with those of Chin et al. [20], who applied five special thin plate elements.
Figure 2: Elastic cantilever under pure bending.
Z
Y X
l = 100 cm
M
A B
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
WB / l ; VB / l ; φ xB / (2 π)
M l
/ (
2 π
E I x
)
This paper
Chin et al.
VB / l
WB / l
φxB / l
A B
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 85/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Example 4.3.
The next example is an elastic cantilever 45-degree bend in Figure 7, subjected to a concentrated end load at the free end B. The cantilever lies in the (X, Y) plane. It has a radius of 254 cm and a quadratic cross-section 2.54 2.54× cm. Elastic modulus E = 68.95⋅ 105 Ncm-2 and Poison’s ratio ν = 0. The cantilever is idealised using two (N = 2) and four (N = 4) equal-sized beam elements and the corresponding load-deflection curves shown in Figure 8 demonstrate a very good comparison with the results reported by Surana and Sorem, who applied eight curved beam elements.
Figure 3: Elastic circular bend.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
WB / R ; -U B / R ; -VB / R
F R
2 /
(E I x
)
N = 2
N = 4
Surana & Sorem
VB / l
WB / l –UB / l 2.54 cm
2.5
4
Cross-section
Z
Y
X
F A
B
R
45o
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 86/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Example 4.4.
Figure 4: Elastic framed dome.
12.190
24.380
4.5
5
1.5
5
(all dimensions in metres)
X
Z
λ x 123.8 MN
0.76
1.2
2
Cross-section (all members)
12.570
10
.885
6.285
21
.115
E = 20690 MNm-2
G = 8830 MNm-2
Y
X
B A
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 87/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
a) elastični odziv
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Vertical apex deflection (m)
Loa
d f
act
or
λ
Present analysisKondoh et al.Shi & AlturiIzzuddin & Elnashai
RemsethPark & Lee (N = 4)
Model 'A'
Model 'B'
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8
Vertical apex deflection (m)
Loa
d f
act
or
λ
Present analysis
Izzuddin
Kouhia & Tuomala
Stable response
Unstable response
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 88/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
b) elasto-plastični odziv
The yield function: 2 2 4 2 2 6 2 2 2
3.5 3 4.5y y yx x xz z z
pz px py pz px pz py px py
M M MM M MF F F
F M M F M F M M M
Φ = + + + + +
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3 4
Vertical apex deflection (m)
Loa
d f
act
or
λ
This paper
Park & Lee (N = 8)
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 89/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Example 4.5.
Two finite elements are used for a beam and six elements for a column. Model ‘A’ and model ‘B’ are applied for the force recovering. The adopted yielding function:
px
x
pz
z
M
M
F
F+
=
2
Φ
X
Y
Z
F
A
60
cm
0.5 cm
20 cm
B
C
30
cm
D
t
t
E = 200 GPa
G = 76.92 GPa
Yield strength: σy = 235 MPa
b = 3 cm
t = 0
.5 c
m
Cross-section (all members)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
-2-1,5-1-0,50
Displacement U B (cm)
For
ce F
(N
)
Experiment
Model 'B'
Model 'A'
elastic
elastic-plastic
elastic-plastic
elastic
First plastic hinge
G. Turkalj – Zavod za tehničku mehaniku 90/90 MKE u analizi grednih konstrukcija
Example 4.6: Hodgeov prostorni okvir
Figure 15: Elastic-plastic four-storey frame.
l
0.5 l
0.5 l
F
A B
C
D
Z
Y X
a
a
Cross-section (all members)
a = 25 cm
l = 1000 cm
E = 210 GPa
G = 80 GPa
σy = 250 MPa
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
VB E I / (M p l2)
F l
/ M
p
This paper
Shi & Alturi
Park & Lee
A B
2
C
D
3
1
5.06
1
3 2
3
222
+
+
=
pz
z
py
y
px
x
M
M
M
M
M
MΦ
Top Related