Grafos
Histórico, exemplos e problemas
• Dois tipos de elementos
– Vértices ou nós
– Arestas
Definições
v1
v2v3 v4
v5 v6
• G = (V,E)
– V é um conjunto finito não-vazio de vértices
– E é um conjunto finito de arestas
– |V| é o número de vértices representado por n, se n=|V|
– |E| é o número de arestas representado por m, isto é m=|
E|
– Cada aresta e pertencente ao conjunto E será denotada
pelo par de vértices (x,y) que a forma
– Dizemos que os vértices x e y são extremos (ou
extremidades) da aresta e.
Grafo Simples
Grafo Simples
– Resumindo: um grafo é simples se entre
cada par de vértices distintos existir no
máximo uma aresta e se, além disso,
não contiver laços, ou seja existir uma
aresta que conecta um vértice a ele
mesmo.
G = (V,E)
Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta e unindo-os.
Os vértices u e v são ditos incidentes na aresta e, se eles são extremos de e.
Duas arestas são adjacentes se elas têm ao menos um vértice em comum.
A aresta e=(x,y) é incidente a ambos os vértices x e y.
v1
v2v3 v4
v5 v6
e1V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}
E = {(v1,v2),(v1,v3),(v1,v4),(v2,v4),(v3,v4),(v4,v5)}
Grafo simples
e1 é incidente a v4 e v5
Exemplo
Exercício
Desenhe a representação geométrica do seguinte grafo:
V = {1,2,3,4,5,6}; E ={(1,2),(1,3),(3,2),(3,6),(5,3),(5,1),(5,6),(4,6), (4,5),(6,1),(6,2),(3,4)}
• Laço– É uma aresta formada por um par de vértices
idênticos
• Arestas múltiplas ou paralelas– Quando existe mais de uma aresta entre o
mesmo par de vértices.
• Multigrafo– Um grafo que permite a existência de arestas
múltiplas
Mais definições
Exercício
Defina formalmente o grafo abaixo e identifique os conceitos de laço, aresta múltipla e multigrafo no mesmo:
Grau de um vértice
Grau de um vértice v (grau(v))é o número de arestas que incidem em v.
O grau de um vértice v também pode ser definido como o número de arestas adjacentes a v.
Obs.: Um laço conta duas vezes para o grau de um vértice
Grau(b) = 3Grau(d) = 2Grau(a) = 2
– Qualquer vértice de grau zero é um vértice isolado
– Qualquer vértice de grau 1 é um vértice terminal
– Um vértice ímpar tem um número ímpar de arestas
– Um vértice par, tem um número par de arestas
Grafo Regular (k-regular)– todos os vértices têm o mesmo grau (k)
v1
v2v4
v3
Seqüência de graus de um grafo consiste em escrever em ordem crescente o grau de todos os seus vértices
v1
v2v3 v4
v5 v6
e1
V6 é um vértice isolado, grau(v6)=0
V5 é um vértice terminal, grau(v5)=1
V2 é um vértice par, grau(v2)=2
V1 é um vértice ímpar, grau(v1)=3
Seqüência de graus = 0,1,2,2,3,4
Exercício
Identificar no grafo abaixo os vértices isolados, terminais, impares, pares e a seqüência de graus do grafo :
Reflexão
O que podemos concluir sobre a soma dos graus de um grafo?
Soma dos graus de um grafo:
O resultado é sempre par, e corresponde à formula abaixo:
A prova é inspirada no Teorema do Aperto de Mãos que diz:
Se várias pessoas se apertam a mão o número total de mãos apertadas tem que ser par. Precisamente porque duas mãos estão envolvidas em cada aperto.
Soma dos graus de um grafo:
Em grafos, cada aresta contribui duas unidades para o cômputo geral do grau dos vértices, pois cada aresta possui dois extremos. Portanto, a soma total é par e duas vezes o número de arestas do grafo.
Se o grafo for regular de grau r, a soma dos graus dos vértices também é igual a r vezes o número de vértices.
A soma dos graus de um grafo é sempre par:
Quando o grafo é regular de grau r, temos:
Corolário
Em qualquer grafo, o no de vértices com grau ímpar deve ser PAR
Prova
Para a soma ser par, o primeiro somatório tem que gerar um resultado par, portanto |Vímpar| é par.
Grafo Nulo (vazio)
Grafo cujo número de arestas é zero. Ou, grafo regular de grau zero.
Outros tipos de grafos
1
4
3
2
Nn é um grafo nulo com n vértices
Exemplo: N4
V={1,2,3,4}; E={ }.
Grafo Completo
Grafo simples em que quaisquer vértices distintos dois a dois são adjacentes. Ou, grafo regular de grau n-1, onde n=|V|.
Kn é um grafo completo com n vértices.
Exemplo: K4
Quantas arestas tem o Kn?
Veja que |E| = ( r * |v| ) / 2, onde r é o grau e v o número de vértices.
Logo |E| = (( n - 1 ) n ) / 2
Podemos provar também com análise combinatória. O número de arestas é igual ao número de combinações de n vértices dois a dois.
Cn,m = n! / ( m! (n – m)! )
Complemento de um grafo
Seja G um grafo simples com um conjunto de vértices V. G é complemento de G se
V = V e
dois vértices são adjacentes em G, se e somente se, não o são em G
Complemento de um grafo
Complemento de um grafo
Exercício:
Dê exemplos que confirmem as propriedades acima
Propriedade 1Um grafo regular tem complemento
regular
Propriedade 2 O complemento de Kn é Nn
Grafo Bipartido
Um grafo é dito ser bipartido quando seu conjunto de vértices V puder ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2, tais que toda
aresta de G une um vértice de V1 a outro de V2.
1
4
3
2
5
6
V1
V2
Grafo BipartidoSejam os conjuntos H={h | h é um homem} e M={m | m é um mulher} e o grafo G(V,A) onde:
V = H U M A = {(v,w) | (v H e w M) ou (v M e w H) e <v foi namorado de w>}
Grafo Bipartido Completo
É um grafo bipartido em V1 e V2, sendo que cada elemento de V1 é adjacente a cada elemento de V2.
K3,3
V1
V2
Subgrafo
Um grafo Gs(Vs, As) é dito ser subgrafo de um
grafo G(V,A) quando Vs V e As A. O grafo
G2, por exemplo, é subgrafo de G1.
Denotamos por G2 G1
G1 G2
Subgrafo Próprio
Um subgrafo G2 é dito próprio, quando G2 é
subgrafo distinto de G1
V(G2) V(G1) ou A(G2) A(G1) Ou seja, G2 G1 e G2 G1, denotamos G2 G1 e dizemos que G2 é subgrafo próprio de G1
Subgrafos podem ser obtidos através da remoção de arestas e vértices.
Subgrafo Induzido
Se G2 é um subgrafo de G1 e possui toda a aresta
(v, w) de G1 tal que ambos, v e w, estejam em V2,
então G2 é o subgrafo induzido pelo subconjunto de
vértices V2.3 2
1
4 5
V1= {1,2,3,4,5}
G1
3 2
1
4
V2= {1,2,3,4}
G2
V2 induz G2
Clique
Denomina-se clique de um grafo G a um subgrafo (induzido) de G que seja completo
Grafo Rotulado
Um grafo G(V,A) é dito ser rotulado em vértices (ou arestas) quando a cada vértice (ou aresta) estiver associado um rótulo
Grafo Valorado
Um grafo G(V,A) é dito ser valorado quando existe uma ou mais funções relacionando V e/ou A com um conjunto de números.
V = {v | v é uma cidade com aeroporto} A = {(v,w,t) | <há linha aérea ligando v a w, sendo t o tempo esperado de vôo>}
Isomorfismo de Grafos
Dois grafos G1 e G2 são isomorfos se existe
uma correspondência um a um entre os vértices de G1 e G2, com a propriedade de que o
número de arestas unindo os vértices em G1
é igual ao número de arestas unindo os vértices correspondentes em G2.
Isomorfismo de Grafos (em outras palavras)
Sejam dois grafos G1(V1,A1) e G2(V2,A2). Um
isomorfismo de G1 sobre G2 é um mapeamento
bijetivo f: V1 V2 tal que {x,y} A1 se e
somente se {f(x),f(y)} A2, para todo x,y V1.
Função: { (a2), (b 1), (c 3), (d 4), (e 6), (f 5) }
Isomorfismo de Grafos (exemplo)
f(u) = azul, f(v) = lilás, f(w) = vermelho,f(x) = verde, f(y) = amarelo, f(z) = rosa
u v w
x y z
Isomorfismo
• Qual não é isomorfo aos outros 3 ?
Isomorfismo
• Resposta
Os três primeiros grafos são isomorfos ao esqueleto de um octaedro. Qualquer um dos três têm 8 vértices, todos de grau 4. O quarto grafo tem um vértice de grau 5, tem um vértice de grau 3 e os restantes vértices de grau 4. Logo não pode ser isomorfo aos 3 primeiros grafos
Isomorfismo de Grafos
Preserva:
•Reflexividade: Todo o grafo é isomorfo a si mesmo. •Simestria: Se grafo é isomorfo a um segundo grafo então também o segundo é isomorfo ao primeiro. •Transitividade: Se um grafo é isomorfo a um segundo, que por sua vez é isomorfo a um terceiro grafo, então o o primeiro é isomorfo ao terceiro.
•Proposições válidas se G1 G2G1 e G2 têm o mesmo número de vértices•G1 e G2 têm o mesmo número de arestas•G1 e G2 têm a mesma sequência de graus
Grafos Orientados ou Dígrafos
Um dígrafo D(V,A) é um conjunto finito não vazio V de vértices, e um conjunto A de pares ordenados de elementos de V. Chamamos o conjunto A de arcos
Digrafo Simples
É um digrafo que não possui laços e os arcos são todos distintos
Mais sobre dígrafos
• Conjunto finito não vazio de vértices
• Conjunto finito não vazio de arestas– Arestas são chamadas de arcos– Um arco (v,w) passa a ser vw
D = (V,A)
V = {a,b,c,d)A = {ac,ba,bc,cb,cd,cd)
a d
b c
• Dígrafos Simples– Todos os arcos são distintos– Não existem auto-laços
• Para obter o grafo correspondente a um dígrafo– Eliminar as direções dos arcos– Não necessariamente um grafo correspondente
a um dígrafo simples é um grafo simples
Apresente um exemplo de um dígrafo simples que quando transformado em grafo, não é simples
• Os vértices de um dígrafo possuem:– Grau de entrada: número de arcos que chegam no vértice
(grauent(v))– Grau de saída: número de arcos que partem do vértice
(grausai(v))• Da mesma forma:
– Sequência de graus de entrada– Sequência de graus de saída
Proposição
grauent(vi) = grausai(vi) = | A |
• Os dígrafos são isomórficos se:– Existe um isomorfismo entre os respectivos
grafos correspondentes– Preserva a ordem dos vértices em cada arco
a d
b c
a d
b c
Os grafos abaixo não são isomorfos
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