8/20/2019 Geometrija 1
1/107
D R Ž A V N I U N I V E R Z I T E T
U N O V O M P A Z A R U
D e p a r t m a n za m a t e m a t i ku
Vladica Stojanović
GEOMETRIJA 1
Novi Pazar, 2012.
8/20/2019 Geometrija 1
2/107
ii
8/20/2019 Geometrija 1
3/107
Sadržaj
1 UVOD 1
1.1 Istorijski razvoj geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Induktivni i deduktivni metod u geometriji . . . . . . 1
1.1.2 Euklidovi ”Elementi” i V postulat . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Aksiomatsko zasnivanje geometrije . . . . . . . . . . . 4
1.2 Osnovni pojmovi i stavovi u geometriji . . . . . . . . . . . . . 5
2 INCIDENTNOST I URE-DENJE 7
2.1 Aksiome incidencije i njihove posledice . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Aksiome poretka i njihove posledice . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 GEOMETRIJSKE FIGURE U RAVNI 153.1 Duž i poluprava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Pojam i osobine duži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.2 Poluprava. Definicija i osobine . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Orijentacija dǔzi i poluprave . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Poligon i poligonska površ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Poluravan i ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 Definicija i osobine poluravni . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 Ugaona linija i ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3 Orijentacija uglova i ravni . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Konveksni skupovi u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 PODUDARNOST 35
4.1 Aksiome podudarnosti i njihove posledice . . . . . . . . . . . 35
4.2 Pojam izometrijskih transformacija . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Relacija podudarnosti geometrijskih figura . . . . . . . . . . . 40
iii
8/20/2019 Geometrija 1
4/107
iv
4.4 Podudarnost geometrijskih figura u ravni . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Podudarnost duži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2 Podudarnost uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.3 Pravi, ǒstri i tupi uglovi. Upravne prave . . . . . . . . 484.4.4 Podudarnost trouglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 NEPREKIDNOST 595.1 Aksiome neprekidnosti i njihove posledice . . . . . . . . . . . 595.2 Sistem merenja duži i uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Po jam kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 PARALELNOST 716.1 Aksioma paralelnosti i njene posledice . . . . . . . . . . . . . 716.2 Relacija paralelnosti pravih i ravni . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Primena paralelnosti u planimetriji . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.1 Paralelogram i trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.2 Značajne tǎcke trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.3 Krug i mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.4 Merenje figura u ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 Vektori u geometriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5 Konstrukcije lenjirom i šestarom . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6 Zadaci za vežbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Literatura 103
8/20/2019 Geometrija 1
5/107
Glava 1
UVOD
1.1 Istorijski razvoj geometrije
Ako bi hteli da po jam geometrije definišemo u par reči, onda najčešćekažemo da ona predstavlja nauku o prostoru , tj. izučava osobine objekatakoji se mogu prostorno modelovati. Na taj način, celokupan sadřzaj ge-ometrije podred̄en je odgovarajućem, konkretnom prostornom modelu. Ipak,
savremena shvatanja podrazumevaju da se svaka matematička disciplina za-snuje na strog i formalan način, pa je i u današnjoj geometriji prihvaćen istiprincip. Da bismo bolje razumeli način zasnivanja geometrije kao nauke,dajemo najpre kratak istorijski osvrt na njen razvoj i promene koje je ona,tokom njega, doživljavala. Smatramo da ćemo time bolje razumeti ne samobitne istorijske trenutke, već i celokupnu transformaciju geometrije od čistoempirijske do savremene, deduktivno zasnovane teorije.
1.1.1 Induktivni i deduktivni metod u geometriji
Geometrija spada u red najstarijih matematičkih disciplina, sa veomadugom i bogatom tradicijom. Stare, drevne civilizacije (Egipćani, Sumeri,Vavilonci i drugi) koristili su isključivo induktivni metod zaključivanja u ge-ometriji. To znači da su od pojedinačnih, empirijskih zapažanja induktivnimputem dolazili su do odred̄ enih opštijih zaključaka. Na taj način, došlo sedo prvih saznanja o površini geometrijskih figura, zapremini kvadra, prizme
1
8/20/2019 Geometrija 1
6/107
2
i piramide, i slično.
U VI veku p.n.e. dominaciju u nauci i kulturi preuzimaju stari Grci.Njima se pripisuje zasluga u novom, drugačijem poimanju geometrije i naukeuopšte. Osnov za to jeste deduktivni metod zaključivanja, čija je osnovnakarakteristika težnja ka opisivanju (i dokazivanju) opštih stavova i činjenicakoji će zatim vǎziti u bilo kom pojedinačnom slučaju. Koliko je namapoznato, načelo dedukcije u dokazivanju geometrijskih tvrd̄enja prvi uvodičuveni starogrčki filozof Tales iz Mileta (624–547 p.n.e.). Njemu se pripisujedokaz II stava o podudarnosti trouglova, odred̄ivanje periferijskih uglova nadprečnikom kruga, izračunavanje visine Keopsove piramide, itd.
Talesova načela dalje razvija poznati starogrčki filozof i matematičar
Pitagora (oko 580–500 p.n.e.). Posebno se baveći geometrijom i teorijombrojeva, došao je do niza vǎznih rezultata. Smatra se da je prvi otkrio zbirunutrǎsnjih uglova trougla, dokazao ostala tri stava podudarnosti trouglova,kao i legendarnu teoremu o pravouglom trouglovu koja nosi njegovo ime.Već tada, obilje dokazanih geometrijskih tvrd̄enja dovodi do potrebe zasistematizacijom dotadašnjih saznanja. Ovo načelo sprovodi u delo samPitagora, ukazujući da se geometrijska tvrd̄enja moraju dokazivati primenomranije poznatih ili očiglednih činjenica. Upravo zato, smatramo ga tvorcemdeduktivnog metoda, ne samo u geometriji, već u nauci, uopšte.
Deduktivni metod zasnivanja geometrije prihvaćen je od strane većinestarogrčkih naučnika tog doba, ali i kasnije. Sistematični radovi o naučnom
zasnivanju geometrije vezuju se za filozofe Hipokrata i Demokrita, ali nama,na žalost, nije poznat njihov sadržaj. Rodonačelnikom aksiomatskog zasni-vanja geometrije smatramo istaknutog starogrčkog filozofa Platona (427–347p.n.e.). Iako se nije eksplicitno bavio matematikom, Platon u svojoj čuvenojškoli ”Akademija” razvija i neguje geometriju kao deduktivnu teoriju, odva-
jajući od nje empirijske, opažajne primese. Po njemu, geometrija se zasnivana odred̄enom broju opšte prihvaćenih činjenica: aksioma i postulata . Ovadva pojma dalje naročito ističe Platonov genijalni učenik Aristotel (384–322p.n.e.). On aksiome smatra tvrd̄enjima koja se ne dokazuju, a opštijeg sukaraktera, tj. vǎze u dve ili više naučnih teorija. S druge strane, postu-lati su takod̄e opšte priznata i prihvaćena tvrd̄enja, ali važe samo u jednoj
odred̄enoj naučnoj disciplini. Na taj način, Aristotel detaljnije razrad̄ujePlatonove ideje, utvrd̄ujući svojevrsno pravilo po kojem se svaki novi pojam može opisati pomoću njemu srodnog, poznatog pojma, ali i njihove specifične
razlike, odnosno osobine koju novi pojam, za razliku od prethodnog, poseduje .Na primer, kvadrat možemo opisati kao pravougaonik (srodan pojam), alitakav da su mu sve stranice jednake (specifično svojstvo kvadrata).
8/20/2019 Geometrija 1
7/107
3
1.1.2 Euklidovi ”Elementi” i V postulat
Najznačajniji doprinos razvoju geometrije antičke Grčke dao je, sasvimsigurno, starogrčki matematičar Euklid (oko 365–270 p.n.e.). On je napisaodotad najsistematičnije delo iz geometrije, čuvene ”Elemente”, gde je po-kušao da dosledno sprovede deduktivni metod u geometriji. Upravo zato,njegovo delo vekovima je smatrano najsavřsenijem delom ljudskog uma iuzor logičkog zaključivanja, ne samo u geometriji već i u nauci, uopšte.
Euklid izlaganje počinje navod̄enjem niza definicija kojima se opisujuosnovni geometrijski pojmovi: tačka, linija, prava, ravan, itd. Evo nekih odtih definicija:
I. Tačka je ono čiji je deo nǐsta.
II. Linija je dužina bez širine.
III. Prava je linija jednakopostavljena u odnosu na sve svoje tačke.
IV. Površ je ono što ima dužinu i širinu.
V. Ravan je površ jednakopostavljena u odnosu na sve svoje prave.
Sa današnje tačke gledišta, naravno, jasno je da ove definicije nisu logičkikorektne, niti su prihvatljive u formalnom smislu. Euklid, takod̄e, navodisistem od 14 osnovnih tvrd̄enja, aksioma i postulata. Ovaj sistem, ubrzose pokazalo, nije potpun, tj. iz njega se ne može izvesti svako geometrijskotvrd̄enje. Već je Arhimed (287–212 p.n.e.) u svom delu ”O lopti i valjku”dodao pet novih postulata kojima se omogućava uvod̄enje pojma mere ge-ometrijskih figura. Jedan od tih postulata, tzv. Eudoks-Arhimedova ak-sioma prestiživosti , i danas predstavlja jedno od osnovnih tvrd̄enja savremenegeometrije.
Med̄utim, za razvoj geometrije od posebnog je značaja famozni Euklidov
V postulat , koji možemo formulisati na sledeći način:
- Ako izvesna prava, presecajući dve komplanarne prave, obrazuje sanjima s jedne iste strane dva ugla čiji je zbir manji od zbira dva pravaugla, tada se te dve prave, neograničeno produžene, seku sa te istestrane date sečice (slika 1.1).
8/20/2019 Geometrija 1
8/107
4
Mnogi matematičari posle
Euklida smatrali su da V pos-tulat, zbog svoje složenosti,predstavlja teoremu koja semože dokazati na osnovu os-talih tvrd̄enja. Na taj način,oni su na ǰcešće otkrivali novatvrd̄enja i time obogaćivalidotadǎsnja saznanja iz ge-ometrije.
Slika 1.1.
Tek u XIX veku, ruski matematičar Nikolaj Lobačevski (1792–1856), u
pokušaju da, kao i mnogi pre njega, negacijom V postulata dod̄e do kontra-diktornih tvrd̄enja, otkriva potpuno novu teoriju. Na taj način, on shvatada sem dotad poznate - euklidske (paraboličke ), postoji niz ”drugačijih”geometrija koje se bitno razlikuju od nje.
Potpuno nezavisno od Lobačevskog do iste geometrije došao je i mad̄arskimatematičar Janoš Boljaj (1802–1860). U njihovu čast, ta prva neeuklid-ska geometrija i danas nosi naziv geometrija Lobačevskog–Boljaja ili hiper-bolička geometrija . Pored nje, često se koristi i neeuklidska geometrija koju,posebnim sistemom aksioma, uvodi nemački matematičar Bernhard Riman(1826-1866). Danas se ova geometrija obično naziva Rimanova ili eliptǐcka geometrija .
1.1.3 Aksiomatsko zasnivanje geometrije
Otkrivanje neeuklidskih geometrija iz korena menja dotadašnja shvatanjane samo geometrije, véc i zasnivanje bilo koje deduktivne teorije. Uočeno
je da se osnovni objekti geometrije, tačke, prave i ravni mogu apstraho-vati, a njihove osobine formulisati sistemom aksioma koje nisu očigledneu euklidskom smislu. Zasnivanje geometrije na apstraktnim pojmovima ineočiglednim aksiomama podstaklo je matematičare da dalja istraživanjausmere ka samim osnovama geometrije i drugih matematičkih disciplina.
Na ta j način, počinju da se razmatraju fundamentalni problemi vezani nesamo za aksiomatiku geometrije, već i za formalno, aksiomatsko zasnivanjebilo koje deduktivne teorije. To su, pre svega, problemi neprotivurečnosti,nezavisnosti i potpunosti . Prvi od njih odnosi se na osobinu da deduktivnateorija, zasnovana na odgovarajućem sistemu aksioma, nema dve med̄usobnoprotivurečne aksiome. Dalje, sistem aksioma biće nezavisan ako nijedna
8/20/2019 Geometrija 1
9/107
5
od njih ne može biti izvedena iz ostalih aksioma date teorije1. Najzad,
potpunost sistema aksioma znači da se bilo koje tvrd̄enje može, na osnovunjega, pokazati.
Aksiomatsko zasnivanje geometrije podstaklo je mnoge matematičare dasuptilno analizira ju osnovne geometrijske po jmove i tvrd̄enja. Tako nemačkimatematičari Dedekind i Kantor sedamdesetih godina XIX veka uvode tzv.aksiome neprekidnosti. Deceniju kasnije, takod̄e nemački matematičar Moric Paš u svojoj knjizi ”Predavanja iz novije geometrije” uvodi aksiome poretka.Na ta j način, otklanjaju se krupni nedostaci Euklidove aksiomatike i omogu-ćava formiranje neprotivurečnog, nezavisnog i potpunog sistema aksiomasavremene geometrije, kakav poznajemo i danas. Prvi je taj cilj ostvarioDavid Hilbert (1862–1943), nemački matematičar, koji 1899. godine u svom
delu ”Osnovi geometrije” daje preciznu aksiomatiku i dovoljno apstraho-vane definicije tačaka, pravih i ravni kao osnovnih geometrijskih objekata.Ova, poluformalna aksiomatika Hilberta predstavlja prvi korak u današnjem,savremenom poimanju geometrije kao deduktivne, matematičke nauke.
1.2 Osnovni pojmovi i stavovi u geometriji
Kao i svaka deduktivna teorija, geometrija se zasniva na odred̄enimpojmovima koje smatramo poznatim i izvesnom sistemu tvrd̄enja koje nedokazujemo. Pojmove koje ne definišemo u geometriji nazivao osnovnim ge-ometrijskim pojmovima , a tvrd̄enja koja ne dokazujemo aksiomama . Naosnovu njih, uvode se ostali, izvedeni pojmovi i dokazuju odgovarajućatvrd̄enja - teoreme ili stavovi.
U cilju zasnivanja geometrije, polazimo od proizvoljnog skupa S , dvejuklasa C l i C π njegovih podskupova i dveju relacija definisanih na njemu.Skup S nazivamo prostorom , a njegove elemente tačkama i obeležavamoih latinskim slovima A , B , C , . . . Elemente klase C l nazivamo pravim lini- jama ili pravama , a obeležavamo ih slovima a , b , c , d , . . . , p , q , . . . Elementeklase C π nazivamo ravnima , a obeležavamo ih sa α, β , . . . , π , . . . Najzad,svaki neprazan podskup tačaka prostora S nazivamo geometrijskim objek-tom
(likom, figurom). Znači, tačke, prave i ravni jesu (osnovni) geometrijskiobjekti.S druge strane, jedna od relacija na skupu S jeste troelementna relacija
izmed̄u , koju obeležavamo sa B (skraćeno od engleskog termina between).Ovom relacijom, kao što i sam njen naziv kǎze, označavamo da se jedna
1Često se kǎze i da je dati skup aksioma minimalan .
8/20/2019 Geometrija 1
10/107
6
tačka, recimo B , nalazi izmed̄u drugih dveju tačaka A i C , što kraće zapisu-
jemo sa B (A,B,C ).Druga od relacija je četvoroelementna relacija podudarnosti ured̄enih
parova tačaka (relacija kongruencije ili ekvidistancije). Činjenicu da jeured̄en par tačaka (A, B) podudaran sa parom tačaka (C, D) zapisujemo(A, B) ∼= (C, D).
Na kraju, definišemo i sam sistem aksioma koje karakterišu osnovne ge-ometrijske objekte i relacije. Po prirodi zakonitosti koje opisuju, sve aksiomedelimo na pet grupa:
I. Aksiome incidencije ili pripadanja (9 aksioma)
II. Aksiome rasporeda ili poretka (6 aksioma)
III. Aksiome podudarnosti (7 aksioma)
IV. Aksiome neprekidnosti (2 aksiome)
V. Aksiome paralelnosti (1 aksioma)
U daljem tekstu detaljnije ćemo izložiti ovaj sistem aksioma, zajedno saodgovarajućim stavovima koji iz njih proizilaze. Važno je istaći da se posled-nja, aksioma paralelnosti može posmatrati odvojeno od ostalih aksioma, pase i sadržaj našeg daljeg izlaganja može smatrati podeljenim na dva dela.Prvi se odnosi na tzv. apsolutnu geometriju , koju odred̄uju prve četiri grupe
aksioma. Ovaj deo opisan je u naredne četiri glave koje neposredno slede.U poslednjem poglavlju, zajedno sa aksiomom paralelnosti, detaljnije suopisane činjenice koje se odnose na euklidsku geometriju .
8/20/2019 Geometrija 1
11/107
Glava 2
INCIDENTNOST I
URE-DENJE
2.1 Aksiome incidencije i njihove posledice
Osnovni geometrijski objekti, tačke, prave i ravni nalaze se u med̄u-sobnim odnosima koje, u terminima Teorije skupova, izražavamo relacijama
”pripada” i ”sadrži”. Ove relacije u geometriji nazivamo relacijama inciden-cije , a istovetan naziv ima i ova, prva grupa aksioma koja opisuje njihoveosnovne osobine. Ipak, pre uvod̄enja samih aksioma, potrebno je definisatipojmove kolinearnosti i komplanarnosti .
Definicija 2.1.1. Tri ili vǐse tačaka A, B , C , . . . su kolinearne ako postoji prava koja ih sadrži. Ukoliko takva prava ne postoji, za date tačke kaže se
da su nekolinearne.
Definicija 2.1.2. ˇ Cetiri ili više tačaka A, B , C, D . . . su komplanarne akopostoji ravan koja ih sadrži. Ukoliko takva ravan ne postoji, za date tačke
kažemo da su nekomplanarne.
Definicija 2.1.3. Dve ili više pravih p, q , . . . su komplanarne ako postoji ravan koja ih sadrži. Ukoliko takva ravan ne postoji, za date prave kažemo
da su nekomplanarne ili mimoilazne.
Sada navodimo sistem aksioma incidencije koga sačinjava sledećih devetaksioma:
7
8/20/2019 Geometrija 1
12/107
8
Aksioma I 1: Svaka prava sadrži najmanje dve razne tačke.
Aksioma I 2: Postoji najmanje jedna prava koja sadrži dve tačke.
Aksioma I 3: Postoji najviše jedna prava koja sadrži dve razne tačke.
Aksioma I 4: Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke.
Aksioma I 5: Postoji najmanje jedna ravan koja sadrži tri tačke.
Aksioma I 6: Postoji najviše jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke.
Aksioma I 7: Ako dve razne tačke neke prave pripadaju izvesnoj ravni,onda i sve tačke te prave pripadaju datoj ravni.
Aksioma I 8: Ako dve ravni imaju zajedničku tačku, onda one imaju bar još jednu zajedničku tačku.
Aksioma I 9: Postoje četiri nekomplanarne tačke.
Dokazaćemo neka važnija tvrd̄enja koja se dobijaju na osnovu aksiomaincidencije.
Teorema 2.1.1. Svaka prava jednoznačno je odred̄ena dvema svojim raznim tačkama.
Dokaz. Prema aksiomi I 1 svaka prava p sadrži najmanje dve razne tačkeA i B. Obratno, za svake dve razne tačke A i B, na osnovu aksiome I 2,postoji najmanje jedna, a na osnovu aksiome I 3 najviše jedna prava p kojaih sadrži. Dakle, postoji tačno jedna prava koja sadrži dve razne tačke.
Teorema 2.1.2. Svaka ravan jednoznačno je odred̄ena trima nekolinearnim tačkama.
Dokaz. Slično kao u prethodnoj teoremi, tvrd̄enje je direktna posledicaaksioma I 4, I 5 i I 6.
Teorema 2.1.3. Ako dve različite ravni imaju bar jednu zajedničku tačku,onda je njihov presek prava.
Dokaz. Neka su α i β ravni sa osobinama α ̸= β i α ∩ β ̸= ∅. Dakle, postojitačka A ∈ α ∩ β pa, na osnovu aksiome I 8, ravni α i β ima ju još najmanje
jednu zajedničku tačku B ∈ α ∩β . Tačkama A i B , na osnovu teoreme 2.1.1, jednoznačno je odred̄ena prava p = p(A, B). Na osnovu aksiome I 7, prava ppripada ravnima α i β , t. važi p ⊆ α ∩ β .
8/20/2019 Geometrija 1
13/107
9
Dokazaćemo sada da je p = α ∩ β . U tom cilju, pretpostavimo da,
suprotno tome, postoji tačka C ∈ α ∩ β koja ne pripada pravoj p (slika 2.1).
Slika 2.1.
Tada su A, B i C tri nekoline-arne tačke kojima je, na osnovuprethodne teoreme, jednoznačnoodred̄ena ravan π(A,B,C ).Med̄utim, kako je A, B,C ∈ α iA,B,C ∈ β , primenom iste teo-reme nalazimo da je α = β = π .Ovo je, najzad, u suprotnostisa pretpostavkom da su α i β različite ravni.
2.2 Aksiome poretka i njihove posledice
Ovu grupu aksioma sačinjava niz tvrd̄enja kojima se obezbed̄uje zasni-vanje tzv. geometrije poretka , pre svega na pravoj, ali i u ravni, odnosnoprostoru. Osnov za to daje troelementna relacija B (”izmed̄u”) koju smoopisali u uvodnom delu. Da se podsetimo, zapis B (A,B,C ) označava da se
tačka B nalazi izmed̄u tačaka A i C . Svojstva relacije ”izmed̄u” sadržanasu sledećim skupom aksioma rasporeda :
Aksioma II 1: Ako su A,B, C tri kolinearne tačke takve da važi B (A,B,C ),onda su te tačke med̄usobno različite.
Aksioma II 2: Ako su A,B, C tri kolinearne tačke takve da važi B (A,B,C ),onda je i B (C,B,A).
Aksioma II 3: Ako su A,B, C tri kolinearne tačke takve da važi B (A,B,C ),onda nije B (A,C,B).
Aksioma II 4
: Ako su
A i
B dve razne tačke neke prave
p, onda postoji
tačka C ∈ p takva da je B (A,B,C ).
Aksioma II 5: Ako su A, B,C tri razne kolinearne tačke, onda važi naj-manje jedna od relacija
B (A,B,C ), B (A,C,B), B (C,A,B).
8/20/2019 Geometrija 1
14/107
10
Aksioma II 6: (Pašova aksioma) Neka su A, B,C tri nekolinearne ta-
Slika 2.2.
čke i p prava koja pripada ravni odred̄enoj tačkama
A,B,C , ne sadrži tačku A i seče pravu BC u tački P takvoj da je B (B,P,C ). Tada prava
p seče pravu AC u tački Q takvoj da je B (A,Q,C )ili pravu AB u tački Rtakvoj da je B (A,R,B)(slika 2.2).
Prvih pet aksioma poretka odnose se na geometriju prave, pa ih običnonazivamo linearnim aksiomama poretka . Med̄utim, iz linearnih aksiomaporetka ne može se, kao što ćemo uskoro videti, izgraditi potpuna geometrijaporetka tačaka na pravoj. Poslednja, Pǎsova aksioma, odnosi se na ge-ometriju ravni i pokazuje se neophodnom u izgradnji te teorije. Ne ulazécidetaljnije u tzv. geometriju poretka , navodimo nekoliko važnijih tvrd̄enja.
Teorema 2.2.1. Ako su A, B,C tri razne kolinearne tačke, onda važi tačno jedna od relacija
B (A,B,C ), B (A,C,B), B (C,A,B).
Dokaz. Prema aksiomi II 5 vǎzi bar jedna od triju navedenih relacija. Neka,recimo, važi B (A,B,C ). Iz aksiome II 3 sledi da tada nije B (A,C,B). Naosnovu aksiome II 2 iz B (A,B,C ) sledi da je B (C,B,A), odakle ponovnomprimenom I I 3 zaključujemo da ne važi B (C,A,B).
Narednim tvrd̄enjem vršimo identifikaciju prave naročito definisanimskupovima tačaka.
Teorema 2.2.2. Neka su A, B dve razne tačke prave p. Tada se prava ppoklapa sa skupom p′ koji se sastoji iz tačaka A, B i svih tačaka X ∈ p takvih da važi neka od relacija
B (A,B,X ), B (A,X,B), B (X,A,B). (2.1)Dokaz. Iz definicije skupa p′ jasno sledi da je p′ ⊆ p. Pokažimo da važi iobratna relacija. Neka je X proizvoljna tačka prave p. Ako je X = A iliX = B, onda je očito X ∈ p′, opet po definiciji skupa p′. Najzad, ako jeX ̸= A, B, onda su A, B,X tri razne kolinearne tačke prave p, pa na osnovuprethodne teoreme važi tačno jedna od relacija (2.1).
8/20/2019 Geometrija 1
15/107
11
Naglasimo da se na sličan način kao u prethodno j teoremi može izvršiti
identifikacija ravni pomoću pravih, odnosno prostora S pomoću ravni. Naovim činjenicama se, ipak, nećemo detaljnije zadržavati.
Teorema 2.2.3. Ako su A, B dve razne tačke prave p, tada postoji tačka C ∈ p takva da je B (A,C,B).
Dokaz. Neka je D proizvoljna tačka van prave AB (slika 2.3). Kako jeD ̸ = B, na pravoj BD, prema aksiomi II 4, postoji tačka E takva da jeB (B,D ,E ). Tǎcka E je van prave AB (zašto?), pa je E ̸= A. Tada, prema
Slika 2.3.
aksiomi II 4, na pravoj AE postoji tačka F takva da jeB (A,E,F ). Dakle, A,B,E
jesu tri nekolinearne tačke, pričemu prava DF ne sadrži niti
jednu od njih i seče, redom,prave BE i AE u tačkama Di F takvim da je B (B,D ,E ) iB (A,E,F ). Prema Pašovoj ak-siomi II 6 prava DF tada moraseći pravu AB u tǎcki C takvojda je B (A,C,B).
Navodimo sada, u kratkim crtama, još neka uopštenja relacije ”izmed̄u”neophodna za dalju izgradnju geometrije poretka i još nekih, fundamentalnihgeometrijskih objekata. Pre svega, pokazujemo kako relaciju B mǒzemoproširiti i uopštiti na proizvoljan konačan skup tačaka.
Definicija 2.2.1. Za konačan skup od n ≥ 3 kolinearnih tačaka {A1, . . . , An}kaže se da je linearno ured̄en ako za svako 1 ≤ i < j < k ≤ n važi B (Ai, A j, Ak). Tada pišemo, kraće, B (A1, . . . , An).
Sa ovako definisanom relacijom B u mogućnosti smo da govorimo olinearnom poretku proizvoljnog konačnog broja tačaka na pravoj. U tom
slučaju, vǎzi
Teorema 2.2.4. Neka je {A1, . . . , An} konačan skup od n ≥ 3 kolinearnih tačaka takvih da za svako i = 2, . . . , n − 1 važi B (Ai−1, Ai, Ai+1). Tada važi B (A1, . . . , An).
8/20/2019 Geometrija 1
16/107
12
2.3 Zadaci za vežbu
Zadatak 2.1. Ako su A, B i C nekolinearne tačke, dokazati da su one med̄usobom različite tačke.
Zadatak 2.2. Ako su A,B, C i D četiri nekomplanarne tačke, dokazati dasu svake dve od tih tačaka med̄u sobom različite, a svake tri od tih tačakanekolinearne.
Zadatak 2.3. Dokazati da dve razne prave mogu imati najviše jednu za- jedničku tačku.1
Zadatak 2.4. Dokazati da je svaka ravan jednoznačno odred̄ena:
(a) Pravom i tačkom izvan nje. (b) Dvema pravama koje se seku.
Zadatak 2.5. Koliko je najviše ravni odred̄eno:(a) Dvema pravama koje se seku i trima nekolinearnim tačkama;(b) Dvema nekomplanarnim pravama i sa četiri nekomplanarne tačke?
Zadatak 2.6. Dat je skup od n ≥ 3 tačaka od kojih ni koje tri nisu koli-nearne. Odrediti n tako da tačke tog skupa odred̄uju podjednak broj pravihi ravni.
Zadatak 2.7. Dokazati da za svaku pravu, odnosno ravan, postoji bar jednatačka koja joj ne pripada.
Zadatak 2.8. Ako prava p ne pripada ravni α, onda ona sa datom ravniima najviše jednu zajedničku tačku.2 Dokazati.
Zadatak 2.9. Van ravni α date su tri nekolinearne tačke A,B, C takve da je AB ∩ α = {M }, BC ∩ α = {N }, AC ∩ α = {P }. Dokazati da su M , N , P kolinearne tačke.
Zadatak 2.10. Dokazati da nekomplanarne (mimolilazne) prave nemajuzajedničkih tačaka, kao i da postoje bar dve mimoilazne prave.
Zadatak 2.11. Dokazati da postoji beskonačno mnogo pravih, odnosnoravni, koje sadrže zadatu proizvoljnu tačku.
1Za takve prave kažemo da se seku, a njihovu zajedničku tačku nazivamo presečnomtačkom (presekom) datih pravih.
2Za pravu ko ja ima tačno jednu zajednišku tačku sa nekom ravni kažemo prodire daturavan.
8/20/2019 Geometrija 1
17/107
13
Zadatak 2.12. Neka su A, B,C nekolinearne tačke, a P,Q, R tačke takve
da je B (B,P,C ), B (A,Q,C ) i B (A,R,B). Dokazati da tačke P,Q ,R nepripadaju jednoj pravoj.
Zadatak 2.13. Neka su A, B,C,D četiri kolinearne tačke. Dokazati datada važi:3
(i) B (A,B,C ) ∧ B (B,C,D) =⇒ B (A,B,D) ∧ B (A,C,D);
(ii) B (A,B,C ) ∧ B (A,C,D) =⇒ B (A,B,D) ∧ B (B,C,D);
(iii) B (A,B,D) ∧ B (B,C,D) =⇒ B (A,B,C ) ∧ B (A,C,D).
3Čitaocu posebno skrećemo pažnju na važnost ovog zadatka, koji često koristimo ukasnijim teoretskim izlaganjima.
8/20/2019 Geometrija 1
18/107
14
8/20/2019 Geometrija 1
19/107
Glava 3
GEOMETRIJSKE FIGURE
U RAVNI
Na osnovu kompletne aksiomatike incidencije i poretka moguće je iz-graditi tzv. elementarnu geometriju . Aksiomatika incidencije omogućavazasnivanje longometrije (incidencija na pravoj), planimetrije (incidencija uravni) i stereometrije (incidencija u prostoru). S druge strane, aksiomatikaporetka dovoljna je za izgradnju kompletne teorije poretka na pravoj, ravnii prostoru. Dodatno, ona omogućava uvod̄enje niza geometrijskih objekata
o kojima će ovde biti reči.
3.1 Duž i poluprava
Najpre razmatramo neke od najvažnijih geometrijskih figura na pravoj,koje su nam, makar intuitivno, dobro poznate od ranije. Pored njih, uposlednjem delu opisaćemo tipičan ”geometrijski” postupak uvod̄enja ori-
jentacije na pravoj.
3.1.1 Pojam i osobine duži
U prethodnoj sekciji pokazali smo da izmed̄u bilo kojih dveju tačaka Ai B postoji tačka C . Induktivnim postupkom lako je zakljǔciti da postojibeskonačno mnogo takvih tačaka, pa dolazimo do sledećeg po jma.
15
8/20/2019 Geometrija 1
20/107
16
Definicija 3.1.1. Neka su A i B dve razne tačke neke prave p. Otvorena
duž , u oznaci (AB), jeste skup svih tačaka prave p koje se nalaze izmed̄u Ai B, tj.
(AB) ={
X X ∈ p ∧ B (A,X,B)}.
Zatvorenom duži [AB] nazivamo skup tačaka
[AB] = (AB) ∪ {A, B}.
Tačke A i B nazivamo krajevima (otvorene ili zatvorene ) dǔzi.
Grafička interpretacijadǔzi data je na slici3.1. Naglasimo da, uko-
liko zatvorenost duži čijisu kra jevi tačke A, B nije
Slika 3.1.
od značaja, datu duž označavamo samo sa AB. Na osnovu gore navedenedefinicije jasno je, takod̄e, da svaka duž jeste podskup prave p odred̄enekrajnjim tačkama date duži. U daljem izlaganju, na relativno jednostavannačin možemo pokazati još neke osobine duži.
Teorema 3.1.1 (Osnovna teorema o razbijanju duži). Svaka tačka C ∈ (AB) razlǎze dǔz (AB) na dve otvorene, disjunktne duži (AC ) i (CB).
Dokaz. Pokazaćemo najpre da se sve tačke duži (AB), izuzev tačke C ,nalaze na bar jednoj od duži (AC ) ili (CB). Zaista, neka je X ∈ (AB)
proizvoljna tačka takva da je X ̸= C . Na osnovu aksiome I I 5 važi bar jednaod relacija
B (A,X,C ), B (A,C,X ) ili B (C,A,X ).
Razmotrimo sada pojedinačno svaku od njih:
(i) Ako je B (A,X,C ), onda je, po definiciji, X ∈ (AC ).
(ii) Ako je B (A,C,X ), onda, zbog B (A,X,B), na osnovu zadatka 2.13zaključujemo da važi B (C,X ,B). Dakle, sada je X ∈ (CB).
(iii) Pokazaćemo, najzad, da relacija B (C,A,X ) nije moguća. Zaista,ako je B (C,A,X ), onda na osnovu aksiome II 2 važi B (X,A,C ). Kako je iB (A,C,B), to na osnovu zadatka 2.13 mora biti B (X,A,B). Odavde sledi
da nije B (A,X,B), tj. tačka X ne pripada duži (AB), što je u suprotnostisa polaznom pretpostavkom.
Na kraju, pokazujemo da je (AC ) ∩ (CB) = ∅. Zaista, ako bi postojalatačka D ∈ (AC ) ∩ (CB), onda za nju važi B (A,D,C ) i B (C,D ,B). No, izB (A,D,C ) i B (A,C,B) sledi, na osnovu zadatka 2.13, da je B (D ,C,B), ato je u suprotnosti sa relacijom B (C,D ,B).
8/20/2019 Geometrija 1
21/107
17
Teorema 3.1.2. Duž, prava i ravan su beskonačni skupovi tačaka.
Dokaz. Za svaku duž (AB) postoji, prema teoremi 2.2.3, bar jedna tačkaC koja joj pripada. Slično, na dužima (AC ) i (BC ) možemo naći bar po
jednu tačku X ∈ (AC ) i Y ∈ (BC ). Kako smo za ove dve duži pokazali dasu disjunktne, to je X ̸ = Y , pri čemu je očito X, Y ∈ (AB). Ponavlja jućiisti postupak na sve novodobijene duži jasno je da dobijamo beskonačanskup tačaka koje pripadaju duži (AB). Sličan postupak možemo ponoviti iu slučaju pravih i ravni (svaka od njih sadrži bar jednu duž, pokažite!).
3.1.2 Poluprava. Definicija i osobine
Pojam poluprave definǐse se na osnovu posebne relacije definisane naskupu tačaka neke prave p.
Definicija 3.1.2. Tačke A, B ∈ p su sa iste strane tačke O ∈ p ako nije B (A,O,B). Tada pišemo, kraće, A, B . . O. U suprotnom, tačke A i B su sa različitih strana tačke O, što zapisujemo A, B ÷ O.
Teorema 3.1.3. Relacija . . O je relacija ekvivalencije na skupu tačaka prave p, različitih od tačke O.
Dokaz. Pokazujemo da relacija . . O zadovoljava osobine relacije ekviva-lencije:
(i) Refleksivnost: Za svaku tačku A ∈ p \ {O} nije B (A,O,A). Zaista,prema aksiomi II 1, sve tri tačke koje su u relaciji ”izmed̄u” morajubiti različite. Dakle, važi A, A . . O.
(ii) Simetričnost: Ako za ma koje dve tačke A, B ∈ p \ {O} važi A, B . . O,onda, po definiciji relacije . . O, nije B (A,O,B). Prema aksiomi II 2tada nije ni B (B,O,A), pa je B , A . . O.
(iii) Tranzitivnost: Neka su A, B,C ∈ p \ {O} takve da važi A, B . . O iB, C . . O. Po definiciji relacije . . O, zaključujemo da za tačke A, Bvaži poredak B (A,B,O) ili B (B,A,O), dok za B, C važi B (B,C,O)ili B (C,B,O). Upored̄ujući sve moguće slučajeve koji ovde nastaju(proverite ih sami, za vežbu!), a na osnovu zadatka 2.13 dobijamo da
je B (A,C,O) ili B (C,A,O), odnosno da važi A, C . . O.
8/20/2019 Geometrija 1
22/107
18
Narednom definicijom konačno uvodimo pojam poluprave.
Definicija 3.1.3. Skup svih tačaka neke prave p koje se nalaze sa iste strane tačke O ∈ p naziva se otvorena poluprava prave p. Unija tog skupa i tačke O je zatvorena poluprava date prave, a sama tačka O početak ili kraj poluprave.
Otvorenu polupravu prave p sa početkom u tački O obǐcno označavamosa (O, p), dok za zatvorenu polupravu koristimo oznaku [O, p). Ukoliko,ipak, pripadnost početne tačke O datoj polupravoj nije od značaja, pisaćemo
jednostavno Op. Pokazaćemo sada, slično kao i kod duži, tzv. osnovnu
teoremu o razbijanju prave.
Teorema 3.1.4. Svaka tačka O ∈ p razlaže skup ostalih tačaka prave p na dve otvorene, disjunktne poluprave prave p.
Dokaz. Prema aksiomi I 1, prava p pored tačke O sadrži bar još jednu tačkuA ∈ p. S druge strane, prema aksiomi II 4 posto ji i tačka A
′ ∈ p takva da je B (A,O,A′). Znǎci, vǎzi A, A′ ÷ O, tj. tačke A i A′ nalaze se sa različitihstrana tačke O.
Kako smo u teoremi 3.1.3 pokazali da je . . O relacija ekvivalencije, totačke A i A′ na pravoj p odred̄uju dve različite klase ekvivalencije, označimoih, respekktivno, sa
OA = {X ∈ p | A, X . .
O} i OA′ = {Y ∈ p | A′, Y . .
O}.
Dakle, kao što znamo od ranije, klase ekvivalencije OA i OA′ su disjunktniskupovi tačaka prave p koje su u relaciji . . O ili sa tačkom A ili sa tačkomA′. Na osnovu poslednje definicije, zaključujemo da oba skupa jesu otvorenepoluprave prave p.
Pokažimo, na kraju, da ne postoji i treća klasa ekvivalencije, odnosnopoluprava prave p sa istim početkom O. Zaista, neka je P ∈ p proizvoljnatačka, različita od tačke O. Tada, prema teoremi 2.2.1, važi tačno jedna odrelacija
B (A,P,O), B (A,O,P ) ili B (P,A,O).
U prvom i trećem slučaju jasno je da P ∈ OA. Za B (A,O,P ), na osnovuB (A,O,A′) i zadatka 2.13, imamo da je ili B (O, A′, P ) ili B (O,P,A′). Na-
jzad, obe ove relacije daju P ∈ OA′.
8/20/2019 Geometrija 1
23/107
19
3.1.3 Orijentacija duži i poluprave
Najpre uvodimo pojam tzv. relacije smera , kojom se sve poluprave jedneiste prave mogu klasifikovati na poseban način.
Definicija 3.1.4. Neka su a i b dve poluprave iste prave p. Ako jedna od navedenih polupravih sadrži drugu polupravu, kažemo da su a i b polupraveistog smera , što zapisujemo a ⇒ b. U suprotnom, poluprave a i b su suprotnog smera , u oznaci a b.
Slika 3.2.
Na slici 3.2 prikazane su grafički ove dve relacije. Sada, na sličan način,možemo definisati i relaciju smera nad dužima jedne iste prave.
Definicija 3.1.5. Dve duži AB i CD (otvorene ili zatvorene ) jedne iste prave p su istog smera ako su odgovarajuće poluprave AB i CD istog smera.U protivnom, duži AB i CD su suprotnog smera .
Za relaciju istosmernosti polupravih (pa samim tim duži) važe sledećeosobine.
Teorema 3.1.5. Relacija ⇒ je relacija ekvivalencije na skupu polupravih jedne iste prave p.
Dokaz. Refleksivnost i simetričnost relacije ⇒ sledi direktno na osnovunjene definicije. Dokǎzimo zato osobinu tranzitivnosti. Neka su a,b, c ⊆ pproizvoljne poluprave takve da je a ⇒ b i b ⇒ c. Na osnovu definicije relacije⇒, mogući su tada sledeći odnosi ovih polupravih:
(1) a ⊆ b ∧ b ⊆ c =⇒ a ⊆ c
(2) a ⊆ b ∧ c ⊆ b =⇒ a ⊆ c ∨ c ⊆ a(3) b ⊆ a ∧ b ⊆ c =⇒ a ⊆ c ∨ c ⊆ a
(4) b ⊆ a ∧ c ⊆ b =⇒ c ⊆ a.
Dakle, u svim slučajevima važi a ⇒ c, čime smo pokazali tranzitivnostrelacije ⇒ i tvrd̄enje u celini.
8/20/2019 Geometrija 1
24/107
20
Teorema 3.1.6. Skup L svih polupravih neke prave p može se razložiti na
dva podskupa L1 i L2 koji imaju sledeće osobine:
(i) L1, L2 ̸= ∅;
(ii) L1 ∩ L2 = ∅;
(iii) (∀a, b ∈ Li, i = 1, 2) a ⇒ b;
(iv) (∀a ∈ L1)(∀b ∈ L2) a b.
Dokaz. Neka je A ∈ p proizvoljna tačka. Prema teoremi o razlaganju prave,tačka A odred̄uje dve komplementrane poluprave a i a′. Ove poluprave,saglasno definiciji 3.1.4, jesu suprotnog smera. Uočimo sada sledeće skupovepolupravih
L1 = {b ∈ L | b ⇒ a}, L2 = {b ∈ L | b ⇒ a′}.
Skupovi L1 i L2 jesu klase ekvivalencije relacije ⇒, pa zadovoljavaju svegore navedene osobine.
Ostaje još da pokažemo da sve poluprave prave p pripadaju nekom odova dva skupa, odnosno da je L = L1 ∪ L2. Zaista, neka je b ∈ L proizvoljnapoluprava sa početkom u tački B ∈ p i b′ njoj komplementarna poluprava.Tada razlikujemo sledeće četiri mogućnosti (prikažite ih grafički):
(1) A ∈ b, B ∈ a =⇒ a′ ⊆ b =⇒ b ∈ L2;
(2) A ∈ b, B ∈ a′
=⇒ a ⊆ b =⇒ b ∈ L1;(3) A ∈ b′, B ∈ a =⇒ b ⊆ a =⇒ b ∈ L1;
(4) A ∈ b′, B ∈ a′ =⇒ b ⊆ a′ =⇒ b ∈ L2.
Dakle, poluprava b uvek pripada nekom od skupova L1 i L2.
Definicija 3.1.6. Svaki od skupova L1 i L2 iz prethodne teoreme naziva se orijentacijom ili smerom na pravoj p.
Na svakoj pravoj, prema definiciji smera i prethodno dokazanoj teoremi,postoje tačno dva smera. Uobičajeno, nazivamo ih suprotnim , što ukazujena mogućnost da jedan smer zovemo pozitivnim , a drugi negativnim . Pojamorijentacije omogućava da celokupnu geometriju poretka na pravoj izgradimona potpuno nov način. U tom cilju, uvodimo dve pomoćne relacije ”pre” i”posle”, koje se obično koriste u Teoriji brojeva.
Definicija 3.1.7. Neka su A i B dve razne tačke orijentisane prave p, tj.prave na kojoj je izabran jedan od dva moguća smera. Neka su, dalje, a i b
8/20/2019 Geometrija 1
25/107
21
poluprave kojima su, respektivno, tačke A i B krajevi, a koje su orijentisane
saglasno smeru na pravoj p. Ako je b a, onda kažemo da je na orijenti-sanoj pravoj p tačka A pre tačke B, i pišemo A ≺ B. Obratno, ako je a b, kažemo da je tačka A posle tačke B, u oznaci A ≻ B.
Za relaciju A ≺ B lako se pokazuje da predstavlja relaciju potpunog ured̄enja tačaka na orijentisanoj pravoj p, odnosno da je na tom skupukonektivna (definisana za svake dve tačke prave p), antisimetrična i tranzi-tivna . (Proverite ovu činjenicu sami!) Zahvaljujući njo j, Teorija brojeva i ge-ometrija na orijentisanoj pravoj su ekvivalentne. Štaviše, naredno tvrd̄ enje,čiji dokaz ostavljamo Vama kao vežbu, ukazuje na to da je ova relacija ek-vivaletna ranije definisanoj relaciji ”izmed̄u”.
Teorema 3.1.7. Za svake tri tačke orijentisane prave p važi
B (A,B,C ) ⇐⇒ A ≺ B ≺ C ∨ C ≺ B ≺ A.
3.2 Poligon i poligonska povřs
Koristeći po jam duži, možemo definisati još neke važne klase geometri- jskih likova u ravni. Jedna od najvažnijih jeste klasa mnogouglova do kojedolazimo tek nakon uvod̄enja sledećeg pojma.
Definicija 3.2.1. Neka je {A1, . . . , An} konačan skup nekolinearnih tačaka.Poligonalna (izlomljena ) linija jeste skup
P = [A1A2] ∪ · · · ∪ [An−1An].
Tačke A1, . . . , An jesu temena , a duži [A1A2], . . . , [An−1An] su stranice poligonalne linije P . Temena koja pripadaju jednoj istoj stranici su susedna temena . Slično, dve stranice koja imaju za jedničko teme su susedne stranice .
Ako sva temena poligonalne linije P pripadaju jednoj ravni, ona je ravna .U suprotnom, poligonalna linija P je prostorna . Najzad, P je prosta akonjene stranice, sem susednih, nemaju zajedničkih tačaka.
Definicija 3.2.2. Poligon (mnogougao) je zatvorena poligonalna linija,tj. poligonalna linija čije se krajnje tačke A1 i An poklapaju.
8/20/2019 Geometrija 1
26/107
22
Slika 3.3.
Na slici 3.3 prikazana je otvorena poligonalna linija odred̄ena tačkamaA1, A2, . . . , A5, kao i poligon - sedmougao čija su temena tačke A1, A2, . . . , A7.U narednom delu našeg izlaganja posmatraćemo isljučivo ravne poligone, zakoje uvodimo važan po jam poligonskih površi . U tom cilju, najpre definiše-mo odgovara juće ”pomoćne” po jmove.
Posmatrajmo prost ravan poligon P i proizvoljnu tačku O koja pri-pada istoj ravni kao i poligon P , ali nije na samom poligonu. Neka su a, bproizvoljne poluprave u ravni datog poligona koje kao početak imaju tačkuO, a ne sadrže niti jedno teme (i niti jednu stranicu) poligona P . Označimodalje sa k(a) i k(b), respektivno, ukupan broj zajedničkih tačaka polupravih
a i b sa poligonom P
(slika 3.4). Pokazuje se(̌sto ovde nećemo činiti)da koeficijenti k(a), k(b)moraju istovremeno bitiili parni ili neparni bro-
jevi, odnosno da za nekiprirodan broj n ∈ Nvaži jednakost
k(a) + k(b) = 2n. Slika 3.4.
Odavde se neposredno pokazuje sledeća činjenica, koju često koristimo udaljem izlaganju.
Teorema 3.2.1. Svaka prava s u ravni prostog ravnog poligona P koja ne sadřzi niti jedno teme i stranicu datog poligona ima sa njim paran broj za-
jedničkih tačaka.
8/20/2019 Geometrija 1
27/107
23
Dokaz. Neka je S ∈ s \ P proizvoljna tačka i s1, s2 disjunktne poluprave na
koje je prava s razložena tačkom S . Tada je k(s) = k(s1) + k(s2) = 2n.
Pri navedenim pretpostavkama, sada možemo definisati osnovne relacijetačaka ravni u odnosu na poligon P .
Definicija 3.2.3. Tačka O je unutar poligona P ako je k(a) = 2n − 1,za neko n ∈ N. U suprotnom, O se nalazi izvan poligona P .
Daljom analizom relacije ”unutar prostog ravnog poligona” dolazimo doosnovnih pojmova i razultata ovog odeljka.
Definicija 3.2.4. Skup svih tačaka unutar prostog ravnog poligona P naziva
se otvorena poligonska površ, koju označavamo sa (P ). Otvorena poligon-ska površ zajedno sa samim poligonom P čini zatvorenu poligonsku površ,u oznaci [P ].
Teorema 3.2.2 (Žordanova teorema o razlaganju ravni). Svaki prost ravan poligon P u ravni π razlaže skup ostalih tačaka te ravni na dva disjunk-tna podskupa. Jedan od njih je otvorena poligonska površ, a drugi spoljašnjost
te površi.
Dokaz. Neka je s ⊂ π proizvoljna prava koja ne sadrži temena poligona P ,ali sa njim ima zajedničkih tačaka. Prema prethodnoj teoremi ukupan brojtakvih tačaka je paran. Ako ove tačke označimo, redom, sa P 1, P 2, . . . , P 2n,
Slika 3.5.
onda, ne umanjujućiopštost, za navedenetačke možemo pretpo-staviti da vǎzi relacijaB (P 1, P 2, . . . , P 2n).
S druge strane, neka je X ∈ s tačka za koju je B (P 1, X , P 2), a Y ∈ sproizvoljna tačka takvada je B (Y, P 1, P 2). Tada
je, jasno, tačka X unu-
tar, a Y izvan poligonaP (slika 3.5).
Pokazaćemo sada da unutrašnjost i spoljašnjost poligona P ne moguimati zajedničkih tačaka. Zaista, ako bi postojala tačka M ∈ π koja pri-pada i unutrašnjosti i spoljašnjosti poligona P , onda bi postojale bar dvepoluprave m1 i m2 sa početkom u M , takve da ne sadrže temena poligona
8/20/2019 Geometrija 1
28/107
24
P i jedna od njih ima neparan, a druga paran broj zajedničkih tačaka sa P .
Tada je, dakle, k(m1) + k(m2) neparan bro j, što je nemoguće.Najzad, pokazujemo da svaka tačka A ∈ π \ P pripada ili unutrašnjosti
ili spoljašnjosti datog poligona. Zaista, neka je a poluprava sa početkom uA, koja se nalazi u ravni poligona P i ne sadrži niti jedno njegovo teme.Poluprava a sa poligonom P ima ili neparan ili paran broj zajedničkihtačaka, pa je tačka A, u zavisnosti od toga, ili unutar ili izvan poligona.
Naredno tvrd̄enje, koje navodimo bez dokaza, omogućava dalji postupakrazlaganja poligonskih površi.
Teorema 3.2.3. Neka je P prost ravan poligon i L poligonalna linija u istoj ravni, sa krajevima koji se nalaze na poligonu P , a ostale tačke unutar
njega. Tada L razlǎze P na dve otvorene poligonske površi.
Kao neposredna posledica ove teoreme, indukcijom se lako pokazujesledeća činjenica.
Posledica 3.2.1. Svaki prost ravan poligon može se, svojim unutrǎsnjim dijagonalama 1, razložiti na konačan broj disjunktnih trougaonih površi.
Navedeno tvrd̄enje omogućava tzv. metod triangulacije poligonskihpovřsi i ima važnu ulogu u Teoriji merenja geometrijskih figura, o čemu ćekasnije biti više reči.
3.3 Poluravan i ugao
Koristeći slične ideje kao u prethodnim razmatranjima, dolazimo do jošdva važna geometrijska pojma.
3.3.1 Definicija i osobine poluravni
Pojam poluravni uvodimo pomoću relacija ”sa iste strane prave” i ”sarazličite strane prave”.
Definicija 3.3.1. Neka su A, B tačke neke ravni π i p prava koja pripada toj ravni i ne sadrži A i B. Za tačke A i B kažemo da su sa iste straneprave p ako je (AB) ∩ p = ∅ i pišemo A, B . . p. U suprotnom, tačke A i Bsu sa raznih strana prave p, što zapisujemo A, B ÷ p.
1Duž ko ja spa ja dva nesusedna temena poligona naziva se dijagonalom tog poligona.
8/20/2019 Geometrija 1
29/107
25
Teorema 3.3.1. Relacija . . p je relacija ekvivalencije na skupu tačaka
ravni π, koje ne pripadaju pravoj p ⊂ π.
Dokaz. Refleksivnost i simetričnost relacije . . p slede direktno na osnovunjene definicije. Neka su, sada, A, B,C tri razne tačke ravni π takve da važiA, B . . p i B, C . . p. Tada razlikujemo sledeće slučajeve, prikazane i na slici3.6.
(i) Tǎcke A,B,C pripadaju jednoj pravoj s ⊂ π. Prava s tada sečepravu p ili sa njom nema zajedničkih tačaka. Ako je s ∩ p = {O}, onda
je A, B . . O i B, C . . O. Na osnovu ranije pokazane tranzitivnosti relacije. . O dobijamo A, C . . O, pa je i A, C . . p. S druge strane, ako je s ∩ p = ∅,
onda je i (AC ) ∩ p = ∅, pa neposredno sledi A, C . . p.
Slika 3.6.
(ii) Tačke A, B i C nisu kolinearne. Kako je (AB)∩ p = ∅ i (BC )∩ p = ∅,to prava p ne može seći pravu AC izmed̄u tǎcaka A i C , jer bi na osnovuPašove aksiome ona tada morala seći još i duž AB ili BC . Znači, važiA, C . . p, čime je pokazana tranzitivnost relacije . . p.
Definicija 3.3.2. Skup svih tačaka neke ravni π koje se nalaze sa jedne iste strane prave p ⊂ π naziva se otvorena poluravan . Unija tog skupa i prave p je zatvorena poluravan date ravni. Prava p u oba slučaja naziva se granica ili med̄uprava odgovarajuće poluravni.
Otovrenu poluravan ravni π sa granicom p označavamo sa ( p, π), dokodgovara juću zatvorenu poluravan obeležavamo sa [ p, π). Analogno teoremio razlaganju prave, možemo formulisati i pokazati sledeće tvrd̄enje.
Teorema 3.3.2 (Osnovna teorema o razlaganju ravni). Svaka prava p ravni π razlaže skup ostalih tačaka te ravni na dve otvorene poluravni.
8/20/2019 Geometrija 1
30/107
26
Dokaz. Neka je O proizvoljna tačka prave p, a A tačka ravni π koja ne pri-
pada pravoj p. Prema aksiomi I I 4 postoji i tačka A′ takva da je B (A,O,A′).Očito, A′ /∈ p (zašto?) i (AA′) ∩ p = {O}, pa važi A, A′ ÷ p. Neka su, dalje,
( p, A) = {X ∈ π | X, A . .
p } i ( p, A′) = {Y ∈ π | Y, A′ . .
p }
klase ekvivalencije relacije . . p. Očito, reč je o disjunktnim skupovimatačaka, pri čemu svaki od njih, po definiciji relacije . . p, predstavlja otvorenupoluravan ravni π. Pokažimo, kao i obično, da ne postoji i treća klasa ek-vivalencije, odnosno tačka B takva da je A, B ÷ p i A′, B ÷ p. Zaista, akotakva tačka postoji, onda su A, A′ i B tri nekolinearne tačke (zašto?), takveda prava p seče duži AB i A′B. Med̄utim, na osnovu Pašove aksiome, prava
p tada ne može seći i duž AA′2, a to je u suprotnosti sa polaznom pret-postavkom A, A′ ÷ p.
3.3.2 Ugaona linija i ugao
Posebno važan pojam geometrije ravni jeste, kao što znamo, pojam ugla.Njega definǐsemo se tek na osnovu odgovarajućeg pojma ugaone linije irelacije ”sa iste strane” koju nad njom uvodimo.
Definicija 3.3.3. Geometrijski lik koji se sastoji od jedne tačke O i dveju polupravih p i q kojima je zajednički kraj tačka O , naziva se ugaona linija i obeležava sa ∠ pq .
Definicija 3.3.4. Neka je ∠ pq ugaona linija u ravni π i A, B proizvoljne tačke iste ravni koje ne pripadaju samoj liniji ∠ pq . Tačke A i B su sa istestrane ugaone linije ∠ pq ako postoji poligonalna linija P čiji su krajevi A i B, a sa ugaonom linijom ∠ pq nema zajedničkih tačaka. Tada pišemoA, B . . ∠ pq . U suprotnom, kažemo da su tačke A i B sa raznih strana ugaone linije ∠ pq , u oznaci A, B ÷ ∠ pq
Pokazujemo sada već uobičajeno svojstvo koje, slično prethodnim, goredefinisana relacija poseduje.
Teorema 3.3.3. Relacija . . ∠ pq je relacija ekvivalencije.
2Ova tvrdnja nije očigledna. Pokušajte da je dokažete, koristeći kao ideju zadatak 2.12!
8/20/2019 Geometrija 1
31/107
27
Dokaz. Refleksivnost i simetričnost slede neposredno iz definicije relacije
. . ∠ pq , pa ostaje da pokažemo još i njenu tranzitivnost. Neka su, stoga,A,B,C tri razne tačke ravni π i ∠ pq ugaona linija takva da je A, B . . ∠ pq i B, C . . ∠ pq . Tada, po definiciji ove relacije, postoje poligonalne linijeP 1, P 2 ⊂ π sa sledećim osobinama:
(i) P 1 spaja tačku A satǎckom B , pri čemu je
P 1 ∩ ∠ pq = ∅;
(ii) P 2 spaja tačku B satǎckom C i važi
P 2 ∩ ∠ pq = ∅.
No, tada P = P 1∪P 2 jeste po-ligonalna linija u ravni π koja
Slika 3.7.
spa ja tačke A i C , a pritom je P ∩ ∠ pq = ∅ (slika 3.7). Dakle, zaista važiA, C . . ∠ pq , čime je tvrd̄enje pokazano u celini.
Definicija 3.3.5. Neka je ∠ pq ugaona linija neke ravni π. Skup svih tačaka u ravni π koje se nalaze sa iste strane ugaone linije ∠ pq naziva se otvoreni ugao i obeležava sa ( pq ). Unija ugaone linije ∠ pq i otvorenog ugla ( pq )
naziva se zatvoreni ugao i obeležava sa [ pq ].
Samu ugaonu liniju ∠ pq zovemo granicom ili med̄om ugla pq , poluprave p i q kracima , a tačku O temenom svakog od navedenih uglova. Uobičajeno,ugao kod koga zatvorenost nije od značaja simbolički obeležavamo sa pq .Na kraju, slično ranije navedenim teoremama o razlaganju ravni pomoćupravih, može se pokazati da odgovara juće tvrd̄enje važi i kod uglova.
Teorema 3.3.4. Svaka ugaona linija ∠ pq ravni π razlaže skup ostalih tačaka iste ravni na dva otvorena ugla.
Dokaz. Dokaz se izvodi analogno teoremama o razlaganju ravni pomoću
prave, pa ga ostavljamo čitaocu za samostalni rad.
8/20/2019 Geometrija 1
32/107
28
3.3.3 Orijentacija uglova i ravni
Da bi uveli pojam orijentacije u ravni, prethodno treba najpre definisatipojam orijentisanog ugla, a zatim i relaciju istosmernosti uglova. Pritom,razlikujemo kao dva moguća slučaja uglove sa istim, zajedničkim temenom,odnosno uglove sa različitim temenima.
Definicija 3.3.6. Ugao ab čiji kraci a i b čine ured̄ en par polupravih (a, b) jeste orijentisan . Krak a je početni (prvi ), a krak b zavřsni (drugi ) krak tog orijentisanog ugla.
Definicija 3.3.7. Dva orijentisana ugla ab i cd koji pripadaju istoj ravni i imaju zajedničko teme O nazivaju se istosmernim , u oznaci ab ⇒ cd,ako važi jedan od sledećih uslova:
(i) Za a = c ili b = d jedan od uglova ab ili cd sadrži onaj drugi,pisaćemo ab⊂⊃ cd.
(ii) Za a ̸= c i b ̸= d važe, prema uslovu (i), sledeće relacije
ab ⇒ ad ∧ ad ⇒ cd.
Ako dati uglovi nisu istosmerni, kažemo da su suprotnosmerni i pišemo
ab cd.
Slika 3.8.
Na slici 3.8 prikazani su neki od slučajeva istosmernih, odnosno suprot-nosmernih uglova sa zajedničkim temenom. Ukoliko uglovi nemaju istoteme, važi:
Definicija 3.3.8. Dva orijentisana ugla ab i cd neke ravni sa različitim
temenima O i S nazivaju se istosmernim , u oznaci ab ⇒ cd, ako posto- je orijentisani opruženi uglovi 3 pq i rs sa temenima O i S , respektivno,tako da za poluprave p, q,r, s važi
p ⇒ r ∧ q ⇒ s,
3Ugao je opružen ako mu kraci leže na jednoj istoj pravoj.
8/20/2019 Geometrija 1
33/107
29
dok sami uglovi zadovoljavaju sledéce uslove
ab ⇒ pq ⊂⊃ rs ⇒ cd.
Napomena 3.3.1. Ovde se relacija ⇒ kod uglova posmatra u smislu prethodne definicije 3.3.7 (slika 3.9).
Slika 3.9.
Analogno odgovarajućem tvrd̄enju o istomernosti polupravih, pokazujese
Teorema 3.3.5. Relacija istosmernosti uglova je relacija ekvivalencije.
Jedna od posledica relacije istosmernosti uglova i prethodnog tvrd̄enja
jeste mogućnost razlaganja svih uglova jedne ravni na klase istosmernihuglova.
Teorema 3.3.6. Skup svih orijentisanih uglova K neke ravni π može se razložiti na dva podskupa K1 i K2 koji imaju sledeće osobine:
(i) K1, K2 ̸= ∅;
(ii) K1 ∩ K2 = ∅;
(iii) (∀ ab, cd ∈ Ki, i = 1, 2) ab ⇒ cd;
(iv) (∀ ab ∈ K1)(∀ cd ∈ K2) ab cd.
Dokaz. Analogno kao u dokazu teoreme 3.1.6.
Svaki od dva podskupa K1 i K2 iz prethodne teoreme naziva se smer iliorijentacija u posmatranoj ravni π. Orijentacije K1 i K2 zovemo suprotnim med̄usobom , a ravan π u kojoj je izabrana jedna od orijentacija, orijenti-sanom ravni .
8/20/2019 Geometrija 1
34/107
30
Naglasimo, na kraju, da u tzv. apsolutnoj geometriji (geometriji bez
aksiome paralelnosti), pojam orijentacije nije transmisibilan . To znači damožemo govoriti samo o orijentaciji jedne iste ravni, jer pojam orijentacijeuglova u različitim ravnima ne može biti definisan. Tek nakon uvod̄enjapojma paralelnosti možemo definisati orijentaciju na tzv. klasama paralelnihpravih i ravni.
3.4 Konveksni skupovi u ravni
Na kraju ovog poglavlja, definisaćemo još jednu zanimljivu klasu ge-ometrijskih likova.
Definicija 3.4.1. Skup K ⊆ S je konveksan ako za svake dve njegove tačke A, B ∈ K važi (AB) ⊆ K.
Dakle, skup K je konveksan ako za bilo koje svoje dve tačke sadrži injima odred̄enu duž, tj. sve tačke koje se nalaze izmed̄u njih. Na slici 3.10prikazani su neki primeri konveksnih skupova. Poslednji skup prikazan naistoj slici nije konveksan, jer postoje tačke toga skupa izmed̄u kojih se nalazetačke koje mu ne pripadaju.
Slika 3.10.
Na osnovu prethodne definicije, lako se pokazuju sledeća tvrd̄enja, ko- jima ukazujemo na neke tipične klase konveksnih geometrijskih figura uravni.
Teorema 3.4.1. Prava i ravan jesu konveksni skupovi tačaka.
Dokaz. Za proizvoljnu pravu p i dve razne, proizvoljne tačke A, B ∈ p, naosnovu definicije duži sledi da je (AB) ⊂ p. Slično, ako je π proizvoljnaravan prostora S i A, B ∈ π, onda prema aksiomi I 7 važi p(A, B) ⊂ π.Samim tim i duž (AB) pripada ravni π .
8/20/2019 Geometrija 1
35/107
31
Teorema 3.4.2. Poluprava i poluravan jesu konveksni skupovi tačaka.
Dokaz. Neka su A, B proizvoljne tačke neke poluprave Op. Tada, podefiniciji poluprave i relacije . . O, važi A, B . . O, odnosno tačno jedna odrelacija B (O,A,B) ili B (O , B , A). Pretpostavimo, recimo, da je tačna prvarelacija i uočimo proizvoljnu tačku X ∈ (AB). Tada je, dakle, B (O,A,B) iB (A,X,B), pa na osnovu zadatka 2.13 sledi da je B (O,A,X ) i B (O,X ,B).Odavde je, jasno, A, X . . O i B, X . . O, odnosno važi X ∈ Op.
Slično se pokazuje i drugi deo tvrd̄enja. Neka su A, B proizvoljne tačkeneke poluravni π sa graničnom pravom p. Tada, po definiciji poluravni irelacije . . p, vǎzi (AB) ∩ p = ∅. No, onda je za proizvoljnu tačku X ∈ (AB)ispunjen uslov (AX ) ∩ p = ∅, odnosno X ∈ π.
Sa geometrijskim figurama, kao i sa skupovima uopšte, mogu se izvoditioperacije razlike, unije i preseka. Kada je reč o konveksnim skupovima,pokazuje se da važi sledeća osobina konveksnih skupova.
Teorema 3.4.3. Presek dva konveksna skupa jeste konveksan skup4.
Dokaz. Neka su K i K ′ konveksni skupovi i A, B ∈ K ∩ K ′ ma koje dverazne tačke. Duž AB pripada skupu K , jer je A, B ∈ K , a iz istog razlogapripada i skupu K ′. Dakle, duž AB pripada skupu K ∩K ′, pa je skup K ∩K ′
zaista konveksan skup.
Dokaz prethodne teoreme se
na isti način može proširiti ina više od dva skupa. (Nekato čitalac uradi za vežbu.) Naslici 3.11 prikazan je presektri konveksna skupa. TačkeA i B pripadaju svakomod navedenih skupova, pa isvaka med̄utačka tačaka Ai B takod̄e pripada datimskupovima.
Slika 3.11.
4S tim u vezi, vǎzno je napomenuti sledéce: Da bi teorema o preseku konveksnihskupova imala smisla i onda kada je presek jednočlan ili čak prazan skup, dogovorno sesvaki skup o d jedne tačke, kao i prazan skup smatraju konveksnim skupovima.
8/20/2019 Geometrija 1
36/107
32
3.5 Zadaci za vežbu
Zadatak 3.1. Ako tačke A, B pripadaju otvoreno j duži (CD), onda tačkeC, D ne pripadaju duži (AB). Dokazati.
Zadatak 3.2. Ako su O,A, B,C tačke takve da je A, B ÷ O i A, C ÷ O,onda su to tačke jedne iste prave i važi B , C . . O. Dokazati.
Zadatak 3.3. Ako su O,A,B, C, D tačke takve da je A, B ÷ O, B, C ÷ O iC, D ÷ O, onda su to tačke jedne iste prave i važi A, D ÷ O. Dokazati.
Zadatak 3.4. Ako su A i B dve tačke neke prave p, dokazati da ove
dve tačke zajedno sa duži AB i dvema polupravama iste prave, jednomsa početkom u A koja ne sadrži tačku B , drugom sa početkom u B koja nesadřzi tǎcku A, predstavljaju ceo skup tačaka prave p.
Zadatak 3.5. Ako je P unutrašnja tačka trougla ABC , dokazati da svakapoluprava sa početkom u tački P ima sa tim trouglom tačno jednu za-
jedničku tačku. Koliko najviše zajedničkih tačaka ima takva poluprava akone sadrži stranice ∆ABC , a P ne pripada njegovoj unutrašnjosti?
Zadatak 3.6. Ako su P i Q unutrašnje tačke stranica AB i AC trouglaABC , dokazati da se duži BQ i CP seku u nekoj tački S koja pripadaunutrašnjosti ∆ABC .
Zadatak 3.7. Ako su P,Q ,R unutrašnje tačke stranica BC , CA, ABtrougla ABC , dokazati da se duži AP i QR seku u nekoj tački S kojapripada unutrašnjosti ∆ABC .
Zadatak 3.8. Ako su A, B,C,D tačke takve da je A, B . . p, B, C ÷ p iC, D . . p, dokazati da tada važi A, C ÷ p i B , D ÷ p.
Zadatak 3.9. Dokazati da je svaka ugaona linija ravna geometrijska figura,tj. da postoji ravan koja je sadrži.
Zadatak 3.10. Neka je u istoj ravni data ugaona linija ∠ pq i prava a kojane sadrži niti jednu od polupravih date linije. Dokazati da prava a i ugaonalinija ∠ pq mogu imati najviše dve zajedničke tačke.
Zadatak 3.11. Koliko različitih uglova odred̄uju četiri razne prave ako sesvake dve seku i pritom:
(a) bilo koje tri nemaju zajedničku tačku;(b) tačno tri se seku u jedno j tački?
8/20/2019 Geometrija 1
37/107
33
Zadatak 3.12. Dokazati da svaka trougaona površ jeste konveksan skup
tǎcaka.
Zadatak 3.13. Dokazati da je pOq konveksan akko se može prikazati kaopresek dveju poluravni.
Zadatak 3.14. Svaka tačka koja je sadržana u dva ugla jednog trougla,pripada i trećem uglu tog trougla. Dokazati.
Zadatak 3.15. Sve tačke koje pripadaju unutrašnjosti proizvoljnog ∆ABC ujedno pripadaju i svakom od njegovih uglova. Dokazati.
Zadatak 3.16. Dokazati da je četvorougaona površ konveksan skup tačaka
akko sadrži obe dijagonale tog četvorougla.Zadatak 3.17. Dokazati da se dijagonale AC i BD konveksnog ravnogčetvorougla ABCD seku u tački S koja pripada unutrašnjosti tog četvorougla.Iskazati zatim obratan stav i dokazati ga.
Zadatak 3.18. Dokazati da su tačke u kojima se seku dijagonale konvek-snog ravnog petougla temena konveksnog ravnog petougla koji je sadřzanu prvome. Iskazati analogno tvrd̄enje u slučaju proizvoljnog konveksnogn-tougla.
8/20/2019 Geometrija 1
38/107
34
8/20/2019 Geometrija 1
39/107
Glava 4
PODUDARNOST
4.1 Aksiome podudarnosti i njihove posledice
Relacija podudarnosti, kao što smo već istakli u uvodnom delu, pred-stavlja jednu od osnovnih relacija parova tačaka geometrijskog prostoraS . Ako je ured̄en par tačaka (A, B) podudaran sa parom tačaka (C, D),pisaćemo (A, B) ∼= (C, D). Pritom, ovu relaciju karakterišu sledeće aksiome:
Aksioma III 1: Za svake dve tačke A, B ∈ S važi (A, A) ∼= (B, B).
Aksioma III 2: Za svake dve tačke A, B ∈ S važi (A, B) ∼= (B, A).
Aksioma III 3: Ako su A, B,C,D ,E,F ∈ S takve da važi (A, B) ∼= (C, D)i (A, B) ∼= (E, F ), onda važi i (C, D) ∼= (E, F ).
Aksioma III 4: Ako su C i C ′ proizvoljne tačke duži (AB) i (A′B′), re-
spektivno, takve da je (A, C ) ∼= (A′, C ′) i (C, B) ∼= (C ′, B′), onda je i (A, B) ∼= (A′, B′).
Aksioma III 5: Ako su A, B ∈ S dve razne tačke i A′ krajnja tačka neke
poluprave p, onda postoji tačka B′ ∈ p takva da je (A, B) ∼= (A′, B′).
Aksioma III 6: Ako su A, B,C ∈ S proizvoljne nekolinearne tačke i A′, B′
tačke ruba neke poluravni π takve da je (A, B) ∼= (A′, B′), onda postoji tačno jedna tačka C ′ ∈ π za koju važi (A, C ) ∼= (A′, C ′) i (B, C ) ∼=(B′, C ′).
35
8/20/2019 Geometrija 1
40/107
36
Aksioma III 7: Ako su A, B,C i A′, B′, C ′ dve trojke nekolinearnih tačaka
i D, D′ tačke polupravih BC i B′C ′, respektivno, takve da je (A, B) ∼=(A′, B′), (A, C ) ∼= (A′, C ′), (B, C ) ∼= (B′, C ′) i (B, D) ∼= (B′, D′),onda važi i (A, D) ∼= (A′, D′).
Navodimo sada neke od vǎznijih posledica aksioma podudarnosti.
Teorema 4.1.1. Relacija podudarnosti parova tačaka prostora S je relacija ekvivalencije.
Dokaz. Neka su A, B ∈ S proizvoljne tačke. Prema aksiomi III 2 imamoda je (B, A) ∼= (A, B) i (B, A) ∼= (A, B), pa na osnovu aksiome III 3 važi(A, B) ∼= (A, B). Dakle, relacija podudarnosti parova tačaka je refleksivna.
Uočimo sada dva para tačaka A, B i C, D prostora S , takve da je (A, B) ∼=(C, D). Na osnovu refleksivnosti je (A, B) ∼= (A, B), pa ponovnom pri-menom aksiome I II 3 dobijamo (C, D) ∼= (A, B). Ovim je pokazana simetri-čnost relacije podudarnosti parova tačaka.
Na kraju, pokazujemo tranzitivnost iste relacije. Zaista, neka su (A, B),(C, D) i (E, F ) tri para tačaka prostora S takve da važi (A, B) ∼= (C, D) i(C, D) ∼= (E, F ). Tada, na osnovu već pokazane simetričnosti ove relacijesledi (C, D) ∼= (A, B) i (C, D) ∼= (E, F ), pa prema aksiomi III 3 imamo da
je (A, B) ∼= (E, F ).
Teorema 4.1.2. Ako su A, B ∈ S dve razne tačke i A′ krajnja tačka neke poluprave p, onda postoji jedinstvena tačka B′ ∈ p takva da je (A, B) ∼=
(A′, B′).
Dokaz. Prema aksiomi III 5, na polupravoj p postoji tačka B′ takva da
je (A, B) ∼= (A′, B′), pa treba još dokazati da je ona jedinstvena. U tomcilju, pretpostavimo suprotno, da na istoj polupravoj osim tačke B ′ postojibar još jedna tačka B′′ takva da je (A, B) ∼= (A′, B′′). Ako obeležimo saC proizvoljnu tačku van prave AB (slika 4.1), onda prema aksiomi III 6u nekoj od poluravni čiji je rub prava A′B′ postoji tačka C ′ takva da je(A, C ) ∼= (A′, C ′) i (B, C ) ∼= (B′, C ′).
Slika 4.1.
8/20/2019 Geometrija 1
41/107
37
Primenom aksiome III 7 nalazimo da je i (B, C ) ∼= (B′′, C ′). Med̄ utim,
tada su A, B,C tri nekolinearne tačke i A′, C ′ tačke ruba A′C ′ poluravni(A′C ′, B′) takve da je (A, C ) ∼= (A′, C ′), dok su B′ i B′′ tačke te iste polu-ravni takve da je
(A, B) ∼= (A′, B′) ∧ (B, C ) ∼= (B′, C ′),
a, s druge strane,
(A, B) ∼= (A′, B′′) ∧ (B, C ) ∼= (B′′, C ′).
Ovo je, naravno, u suprotnosti sa aksiomom I II 6, čime je tvrd̄enje pokazanou celini.
Na kraju ovog odeljka, navodimo bez dokaza vǎzno tvrd̄enje, poznatokao osnovna teorema o podudarnosti kolinearnih tačaka .
Teorema 4.1.3. Neka su p i p′ dve prave prostora S . Ako su A,B, C tri razne tačke prave p i A′, B′ dve tačke prave p′ takve da je (A, B) ∼= (A′, B′),tada u prostoru S postoji jedinstvena tačka C ′ takva da je (A, C ) ∼= (A′, C ′)i (B, C ) ∼= (B′, C ′). Pri tome, tačka C ′ pripada pravoj p′ i poretku tačaka A,B,C odgovara isti poredak odgovarajućih tačaka A′, B′, C ′, tj. važi
(i) B (A,B,C ) =⇒ B (A′, B′, C ′);
(ii) B (A,C,B) =⇒ B (A′, C ′, B′);
(iii) B (C,A,B) =⇒ B (C ′, A′, B′).
Napomena 4.1.1. Prethodna teorema nam omogućava definisanje relacijepodudarnosti za ma koji konačan niz tačaka. Naime, za neko k ∈ N rećićemo da su tačke A1, A2, . . . , Ak podudarne tačkama A
′1, A
′2, . . . , A
′k ako za
svako i, j = 1, 2, . . . , k važi (Ai, A j) ∼= (A′i, A
′ j). Tada pišemo
(A1, A2, . . . , Ak) ∼= (A′1, A
′2, . . . , A
′k).
4.2 Pojam izometrijskih transformacija
Aksiome podudarnosti omogućavaju nam da u geometrijskom prostoru S definišemo naročitu klasu preslikavanja (transformacija) tog prostora. Ovetransformacije, kao što ćemo videti kasnije, imaju veoma široku i raznovrsnuprimenu u izučavanju osobina različitih geometrijskih objekata.
8/20/2019 Geometrija 1
42/107
38
Definicija 4.2.1. Bijektivno preslikavanje I : S → S naziva se izometri-
jska transformacija ili izometrija prostora S ako za svaki par tačaka X, Y ∈ S i njima odgovarajuće slike X ′ = I(X ), Y ′ = I(Y ) važi relacija
(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′).
Na slici 4.2 prikazali smo, pri oznakama iz prethodne definicije, tipičnukarakteristiku izometrijske transformacije I koja ”čuva” osobinu podudarno-
Slika 4.2.
nosti parova tačaka prostora S .Najjednostavniji primer takve tra-nsformacije jeste identičko preslika-vanje prostora S , koje svaku tačku
iz S prevodi u tu istu tačku. Kakoza svake dve tačke X, Y ∈ S važi(X, Y ) ∼= (X, Y ), to je jasno daidentičko preslikavanje zaista preds-
tavlja izometrijsku transformaciju datog prostora. Inače, ovo preslikavanjenazivamo koincidencijom i obeležavamo sa ξ . Pored toga, izometrijske tra-nsformacije prostora S imaju sledeća važnija svojstva:
Teorema 4.2.1. Kompozicija dveju izometrijskih transformacija prostra S je takod̄e izometrijska transformacija tog prostora.
Dokaz. Neka su I1, I2 : S → S dve proizvoljne izometrijske transformacije
prostora S . Označimo sa X, Y proizvoljne tačke tog prostora, sa X 1 = I1(X )i Y 1 = I1(Y ) tačke koje u izometriji I1 odgovaraju tačkama X i Y , a saX 2 = I2(X 1) i Y 2 = I2(Y 1) tačke koje u izometriji I2 odgovaraju tačkamaX 1 i Y 1. Tada u kompoziciji I2 ◦ I1 tǎckama X i Y odgovaraju redom tačkeX 2 i Y 2 (slika 4.3).Pritom, na osnovudefinicije izometrijskihtransformacija važi(X, Y ) ∼= (X 1, Y 1) i(X 1, Y 1) ∼= (X 2, Y 2),pa primenom ranije
pokazane osobine tra-Slika 4.3.
nzitivnosti relacije podudarnosti sledi da je (X, Y ) ∼= (X 2, Y 2). Dakle, kom-pozicija I2◦I1 zaista predstavlja izometrijsku transformaciju prostora S .
Teorema 4.2.2. Inverzna transformacija izometrijske transformacije pros-tora S predstavlja takod̄e izometrijsku transformaciju tog prostora.
8/20/2019 Geometrija 1
43/107
39
Dokaz. Neka je I bilo koja izometrijska transformacija prostora S . Ako
su X i Y proizvoljne tačke tog prostora, a X ′ = I(X ) i Y ′ = I(Y ), biće(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′). Na osnovu osobine simetričnosti relacije podudarnostiparova tačaka tada važi i (X ′, Y ′) ∼= (X, Y ). Najzad, kako su tačke X i Y slike tačaka X ′ i Y ′ pri inverznom preslikavanju I−1, to je ovo preslikavanjetakod̄e izometrijska transformacija.
Na osnovu prethodno pokazanih rezultata zaključujemo da važi sledećačinjenica:
Posledica 4.2.1. Skup svih izometrijskih transformacija prostora S pred-stavlja (nekomutativnu ) grupu.
Grupu svih izometrijskih transformacija prostora S obeležavamo sa G(I).Dalje, dajemo još neke opšte karakterizacije izometrijskih transformacijatačaka na pravoj, u ravni, odnosno celokupnom prostoru S .
Teorema 4.2.3. Neka su A, B dve razne tačke neke prave p i A′, B′ tačke iste prave takve da je (A, B) ∼= (A′, B′). Tada postoji jedinstvena izometri- jska transformacija I : p → p takva da je
I(A) = A′ i I(B) = B ′.
Dokaz. S obzirom da je A ̸= B i (A, B) ∼= (A′, B′), biće A′̸= B′. Porednavedenih tačaka uočimo na pravoj p dve proizvoljne tačke X i Y . Premaosnovnoj teoremi o podudarnosti kolinearnih tačaka postoje jedinstveno
odred̄ene tačke X ′, Y ′ ∈ p takve da je
(A,X,B) ∼= (A′, X ′, B′) ∧ (A,Y,B) ∼= (A′, Y ′, B′).
Tada, dakle, vǎzi relacija (A,X ,Y,B) ∼= (A′, X ′, Y ′, B′), pa mora biti i(X, Y ) ∼= (X ′, Y ′). Stoga, ako preslikavanje I : p → p definišemo saI(X ) = X ′, odnosno I(Y ) = Y ′, jasno je da je reč o izometrijskoj transfor-maciji prave p.
Posledica 4.2.2. Svaka izometrijska transformacija prave p koja ima bar dve razne invarijantne (nepokretne ) tačke jeste koincidencija na pravoj p.
Na kraju, navodimo bez dokaza odgovarajuća tvrd̄enja koja se odnose
na karakterizaciju izometrija u ravni, odnosno unutar prostora S .Teorema 4.2.4. Neka su A, B,C ma koje tri nekolinearne tačke ravni πi A′, B′, C ′ tačke te iste ravni takve da je (A,B,C ) ∼= (A′, B′, C ′). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : π → π takva da je
I(A) = A′, I(B) = B ′, I(C ) = C ′.
8/20/2019 Geometrija 1
44/107
40
Posledica 4.2.3. Svaka izometrijska transformacija ravni π koja ima bar
tri nekolinearne invarijantne tačke jeste koincidencija u toj ravni.
Teorema 4.2.5. Neka su A, B,C,D ma koje četiri nekomplanarne tačke prostora S i A′, B′, C ′, D′ tačke tog istog prostora takve da je (A,B,C,D) ∼=(A′, B′, C ′, D′). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : S →S takva da je
I(A) = A′, I(B) = B ′, I(C ) = C ′, I(D) = D′.
Posledica 4.2.4. Svaka izometrijska transformacija I : S → S koja pose-duje najmanje četiri nekomplanarne invarijantne tačke jeste koincidencija.
4.3 Relacija podudarnosti geometrijskih figura
U prethodnim razmatranjima podudarnost smo posmatrali kao relacijudefinisanu nad parovima tačaka, odnosno, u opštijem slučaju, nad konačnimskupovima tačaka geometrijskog prostora S . Sada, koristeći izometrijsketransformacije možemo opisati relaciju podudarnosti ma kojih figura u tomprostoru.
Definicija 4.3.1. Neka su Φ, Φ′ ⊂ S proizvoljne geometrijske figure. Kaza-ćemo da je figura Φ podudarna sa figurom Φ′, u oznaci Φ ∼= Φ′, ako postoji izometrijska transformacija I : S → S takva da je I(Φ) = Φ′.
Na osnovu prethodne definicije mogu se pokazati sledeća važnija svojstvarelacije podudarnosti.
Teorema 4.3.1. Relacija podudarnosti geometrijskih figura u prostoru S je relacija ekvivalencije.
Dokaz. Slično kao i ranije, za datu relaciju pokazujemo osobine relacijeekvivalencije:
(i) Refleksivnost: Geometrijska figura Φ ⊂ S podudarna je sama sebi, jervaži ξ (Φ) = Φ, gde je ξ koincidencija prostora S .
(ii) Simetričnost: Ako su Φ, Φ′ ⊂ S geometrijske figure za koje je Φ ∼= Φ′,onda po definiciji postoji izometrija I takva da je I(Φ) = Φ′. Premateoremi 4.2.2, inverzna transformacija I−1 je takod̄e izometrija, pričemu očito važi I−1(Φ′) = Φ, odnosno Φ′ ∼= Φ.
8/20/2019 Geometrija 1
45/107
41
(iii) Tranzitivnost: Neka su Φ, Φ′, Φ′′ proizvoljne figure prostora S takve
da je Φ ∼= Φ′ i Φ′ ∼= Φ′′. Označimo sa I1, I2 izometrije datog prostoraza koje važi I1(Φ) = Φ
′ i I2(Φ′) = Φ′′. Kako je, prema teoremi 4.2.1,
kompozicija I2 ◦ I1 takod̄e izometrija, a pritom je očito (I2 ◦ I1)(Φ) =Φ′′, to je Φ ∼= Φ′′.
Na osnovu pokazane teoreme jasno je da unutar geometrijskog prostoraS možemo posmatrati klase podudarnih geometrijskih figura . Direktnom pri-menom aksioma podudarnosti i teorema 4.2.3 i 4.2.4 iz prethodnog dela lako
je pokazati da su med̄usobno podudarne svake dve prave, poluprave, ravni ipoluravni (proverite, za vežbu). Ipak, podudarnost složenijih geometrijskihfigura posebno se ispituje.
4.4 Podudarnost geometrijskih figura u ravni
U daljem izlaganju dajemo osnovne činjenice koje se odnose na podu-darnost ravnih geometrijskih figura. Najpre opisujemo neke od osobina po-dudarnih duži i uglova, kao i načine njihovog upored̄ivanja. Zatim ćemoizvršiti klasifikaciju uglova, pri čemu posebno proučavamo prave uglove injihovu ulogu u zasnivanju relacije normalnosti dveju pravih u ravni. Na
kraju, formulǐsemo dobro poznate stavove o podudarnosti trouglova i nekeod njihovih važnijih primena.
4.4.1 Podudarnost duži
Intuitivno, podudarnost duži, kao i ostalih geometrijskih ob jekata, vezu- jemo za pojam ”kretanja” koje jednu od njih ”vodi” ka drugoj. Ipak, udetaljnijem istraživanju relacije podudarnosti duži moramo najpre pokazatisledeću činjenicu.
Teorema 4.4.1. Pri svakoj izometrijskoj transformaciji I : S → S dǔz se preslikava u njoj podudarnu duž.
Dokaz. Neka je AB prizvoljna duž za koju je I(A) = A′ i I(B) = B′.Označimo dalje sa X ∈ AB proizvoljnu tačku, a sa X ′ sliku tačke X priizometriji I. Kako je tada (A,X,B) ∼= (A′, X ′, B′), to iz relacije B (A,X,B)primenom osnovne teoreme o podudarnosti 4.1.3 sledi da je B (A′, X ′, B′).
8/20/2019 Geometrija 1
46/107
42
Dakle, važi X ′ ∈ A′B′, pa smo pokazali da je I(AB) ⊆ A′B′. Sada, na sličan
način, koristeći inverznu transformaciju I−1 pokazuje se obratna relacija, asamim tim i jednakost skupova tačaka I(AB) i A′B′.
Koristeći relaciju podudarnosti duži dolazimo do novih pojmova i os-obina duži kao geometrijskih objekata.
Definicija 4.4.1. Tačka O ∈ AB je središte duži AB ako je AO ∼= OB .
Teorema 4.4.2. Svaka duž ima tačno jedno središte.
Dokaz. Neka je AB proizvoljna duž, C tačka izvan prave AB i π ravanodred̄ena nekolinearnim tačkama A, B,C . Kako je (A, B) ∼= (B, A), premaaksiomi I II 6 u ravni π, sa one strane prave AB sa koje nije tačka C , postoji
jedinstvena tačka D takva da je (A, C ) ∼= (B, D) i (B, C ) ∼= (A, D) (slika4.4). Tada, primenom teoreme 4.2.4 zaključujemo da postoji jedinstvenaizometrijska transformacija I ravni π koja tačke A, B,C respektivno presli-
Slika 4.4.
kava u tačke B,A,D. U tojtransformaciji, očito, pravamaAB i CD odgovaraju iste teprave, pa njihova presečna tačka,označimo je sa O, mora biti in-varijantna. Pritom, iz relacijaI(O) = O, I(A) = B , I(B) = Asledi (O, A) ∼= (O, B). Pritom
mora biti B (A,O,B), jer bi usuprotnom tačka O bila početakpoluprave kojoj pripadaju obetačke A i B. Prema teoremi 4.1.2
odatle sledi da je A = B , što je, očito, nemoguće. Dakle, važi O ∈ AB , tj.tačka O jeste sredǐste duži AB .
Dokažimo još da je sredǐste O jedinstveno odred̄eno. Zaista, ukoliko bipostojala još neka tačka O′ ∈ AB za koju je (O′, A) ∼= (O′B), onda bi uizometriji I, koju smo ranije definisali, postojale dve invarijantne tačke O iO′. Prema posledici teoreme 4.2.3 ta izometrija mora biti koincidencija, tj.svaka tačka prave AB bi bila invarijantna. Ovo je, očito, nemoguće jer tački
A odgovara tačka B , pri čemu je A ̸= B.
Na kraju, koristeći relaciju podudarnosti duži opisaćemo postupak nji-hovog upored̄ivanja.
Definicija 4.4.2. Za dǔz AB kažemo da je manja od dǔzi C D ako postoji tačka E ∈ C D takva da je AE ∼= C E . Tada simbolički pišemo AB < CD.
8/20/2019 Geometrija 1
47/107
43
Pokazuje se da relacija “
8/20/2019 Geometrija 1
48/107
44
krakovima Op i Oq datog ugla, respektivno. U izometrijskoj transforma-
ciji I nekolinearnim tačkama O,A, B odgovaraju takod̄e nekolinearne tačkeO′, A′, B′, polupravama Op, Oq poluprave O′ p′, O′q ′, a ugaonoj liniji AOBugaona linija A′O′B′ (slika 4.6). Najzad, ako poluravni (OA,B), (OB,A) i(O′A′, B′), (O′B′, A′) obeležimo respektivno sa α, β i α′, β ′, bíce I(α) = α′
i I(β ) = β ′. Pritom je pOq = α ∩ β i p′O′q ′ = α′ ∩ β ′, pa konačnodobijamo I( pOq ) = I(α ∩ β ) = I(α) ∩ I(β ) = α′ ∩ β ′ = p′O′q ′.
Slika 4.6.
Teorema 4.4.4 (Osnovna teorema o podudarnosti uglova). Dva ugla pOq i p′O′q ′ su podudarna akko na kracima Op, Oq i O ′ p′, O′q ′ tih uglova postoje respektivno tačke P, Q i P ′, Q′ takve da je
(O,P,Q) ∼= (O′, P ′, Q′). (4.1)
Dokaz. Ako su pOq i p′O′q ′ opruženi uglovi, tvrd̄enje teoreme je očigle-dno. Pretpostavimo stoga da ova dva ugla nisu opružena, štaviše, dovoljno
je kao i ranije posmatrati slučaj konveksnih uglova pOq i p′O′q ′.(=⇒:) Neka su pOq i p′O′q ′ konveksni podudarni uglovi. Tada, po
definiciji podudarnosti, postoji izometrijska transformacija I : S → S takvada je I( pOq ) = p′O′q ′. Ako su P ∈ Op i Q ∈ Oq proizvoljne tačkekrakova ugla pOq , a P ′ = I(P ), Q′ = I(Q) slike datih tačaka pri izometrijiI, onda je, očito, P ′ ∈ O′ p′ i Q′ ∈ O′q ′. Najzad, kako je O′ = I(O), to jeOP ∼= O′P ′, OQ ∼= O′Q′ i P Q ∼= P ′Q′, tj. važi relacija (4.1).
(⇐=:) Neka su P ∈ Op,Q ∈ Oq i P ′ ∈ O′ p′, Q′ ∈ O′q ′ tačke odgo-varajućih krakova uglova pOq i p′O′q ′ za koje važi relaci
Top Related