1
MAKALAH MATA KULIAH GEOMETRI
ANALITIK II Dosen Pembimbing: Idham Djunaedi ,S.Pd
PARABOLOIDA
Disusun oleh:
1. Romadhoni Sari (111003018)
2. Cindy Irmalia Apriyanti (121003075)
3. Diah Bintari Rahayu (121003079)
4. Indarti Palupi (121003110)
5. Intan Daniar Royani (121003116)
6. Muhammad Yahya (121003136)
7. Nanis Su’udah (121003140)
8. Pratama Prasetiyo (121003156)
9. Selamet Andika Putra (121003175)
10. Yaumis Sa’adah (121003198)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
(STKIP PGRI) LUMAJANG)
2014
ii
KATA PENGANTAR
Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
melimpahkan rahmat, taufiq, hidayah serta inayah-Nya kepada kami, sehingga
kami masih diberikan kesempatan untuk dapat menyelesaikan tugas makalah Mata
Kuliah Geometri Analitik II dengan judul “Paraboloida “ ini dengan baik dan
tepat waktu.
Dengan harapan semoga dengan adanya pembuatan makalah ini dapat
meningkatkan bakat dan pengetahuan penyusun sebagai calon guru dalam bidang
Geometri Analitik. Makalah ini membahas tentang definisi dan langkah-langkah
mencari rumus persamaan pada paraboloida.
Penulis yakin, tanpa bantuan, motivasi, bimbingan serta petunjuk semua
pihak, tentunya penyusunan makalah ini banyak mengalami hambatan-hambatan.
Dan akhirnya penulisan tugas makalah ini selesai dalam waktu yang singkat dan
tepat waktu. Oleh karena itu, tidak berlebihan jika di sampaikan terima kasih dan
penghargaan setinggi-tingginya kepada segenap pihak yang mendukung baik
secara materil maupun nonmateril.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh
dikatakan sempurna, karena keterbatasan serta rendahnya pengetahuan penulis
sehingga berpengaruh terhadap kualitas makalah ini. Oleh karena itu penulis
mohon kritik dan saran dari pembaca sekalian.
Penulis
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................... .i
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii
DAFTAR ISI...........................................................................................................iii
PEMBAHASAN ..................................................................................................... 1
1. Definisi Paraboloida .......................................................................................... 1
2. Persamaan Paraboloida
2.1. Persamaan Paraboloida Eliptik .................................................................. 1
2.2. Persamaan Paraboloida Hiperbolik ............................................................ 5
3. PENUTUP
Kesimpulan......................................................................................................10
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 11
1
PEMBAHASAN
1. Definisi Paraboloida
Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan
bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola. Jika irisan dengan
bidang koordinat lain berupa elips, maka disebut paraboloida eliptik. Jika
irisan dengan bidang sejajar koordinat yang lain berupa hiperbola, maka
disebut paraboloida hiperbolik.
Paraboloida Eliptik Paraboloida Hiperbolik
2. Persamaan Paraboloida
2.1. Persamaan Paraboloida Eliptik
Paraboloida Eliptik adalah suatu permukaan yang dapat
diletakkan demikian rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang
koordinat berbentuk elips dan irisannya yang sejajar bidang koordina
lainnya berbentuk parabola. Berikut ini adalah gambar Paraboloida
Eliptik.
2
Diberika ellips pada bidang XOY dan parabola pada bidang XOZ masing
– masing dengan persamaan :
Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan :
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada
bidang XOZ.
4. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.
Luasan yang trjadi dapat ditentukan sebagai berikut :
Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu :
Digerakkan sehingga terletak pada bidang dan setengah sumbu-
sumbunya adalah sejajar sumbu dan sejajar sumbu . Sesuai
aturan 1,2 dan 3 maka titik memenuhi
Sesuai aturan 1,2 dan 4 maka
, sehingga
Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang tersebut adalah :
atau
3
Dengan mengeliminasi pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :
Diperoleh persamaan paraboloida ellips titik puncak O(0,0).
Soal !
Diberikan ellips dengan persamaan ,
dan parabola
dengan persamaan
tentukan luasan yang terjadi bila elips tersebu
digerakkan dengan aturan :
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada
bidang YOZ.
4. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.
Jawab :
Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan yaitu :
0
1
digerakkan sehingga terletak pada bidang dan setengah
sumbu-sumbunya adalah x0 dan y0 berturut-turut sumbu yang sejajar
sumbu x dan sumbu y.
Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, y0, ) terletak
pada ellips sehingga memenuhi
0
16z
Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi
4
Dimana dan
Atau
Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = λ tersebut adalah:
Z = λ
λ
λ
λ
Sehingga persamaan paraboloida elliptic dengan sumbu z sebagai
sumbunya adalah:
5
2.2. Persamaan Paraboloida Hiperbolik
Paraboloida hiperbolik adalah suatu permukaan yang dapat
diletakkan sedemikian rupa sehingga irisannyadengan bidang yang
sejajar dengan salah satu bidang koordinat berbentuk hiperbola dan irisan
dengan bidang koordinat lain berupa parabola.Berikut ini adalah gambar
paraboloida hiperbolik.
Keterangan:
1. Irisan bidang yang sejajar bidang koordinat XOY
berbentuk hiperbola
2. Irisan dengan bidang koordinat XOZ dan YOZ berbentuk
parabola.
Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY
dengan persamaan
Dan garis arahnya berupa parabola pada bidang YOZ dengan persanaan:
6
Aturan menggerakkan hiperbola dalah sebagai berikut:
a. Bidangnya sejajar dengan bidang XOY
b. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x
c. Hiperbolanya selalu sebangun dengan hiperbola semula.
d. Titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah
Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang z=λ dan
setengah sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu y dan z berturut-turut
adalah y0 dan z0 .
Berdasarkan aturan di atas, titik puncaknya dalah (0, y0, λ) terletak pada
garis arah. Sehingga .
Karena aturan a,b, dan d maka dipenuhi:
.
Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z=λ tersebut adalah:
Z = λ
7
λ
Sehingga persamaan paraboloida hiperbolik dengan sumbu z sebagai
sumbunya adalah:
Contoh:
Diberikan hiperbola dengan persamaan:
8
Dan parabola dengan persamaan:
Tentukan luasan yang terjadi bila hiperbola
Digerakkan dengan aturan:
I. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
II. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z
III. Dua dari puncakknya selalu terletak pada parabola pada bidang
YOZ
IV. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan.
Jawab:
Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang z=λ dan
setengah sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu y dan z berturut-turut
adalah y0 dan z0 .
Berdasarkan aturan di atas, titik puncaknya dalah (0, y0, λ) terletak pada
garis arah. Sehingga .
Karena aturan a,b, dan d maka dipenuhi:
Dimana dan
Atau
9
Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z=λ tersebut adalah:
Z = λ
Sehingga persamaan paraboloida hiperbolik dengan sumbu z sebagai
sumbunya adalah:
10
PENUTUP
Kesimpulan:
a. Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan
bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola.
b. Paraboloida ada dua jenis yaitu:
Paraboloida eliptik : suatu permukaan yang dapat diletakkan demikian
rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang koordinat berbentuk elips
dan irisannya yang sejajar bidang koordina lainnya berbentuk parabola.
Paraboloida hiperbolik: adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan
sedemikian rupa sehingga irisannyadengan bidang yang sejajar dengan
salah satu bidang koordinat berbentuk hiperbola dan irisan dengan
bidang koordinat lain berupa parabola.
c. Persamaan Paraboloida:
Paraboloida eliptik :
ellips pada bidang XOY dan parabola pada bidang XOZ
Paraboloida hiperbolik :
hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY dan garis arahnya
berupa parabola pada bidang YOZ
11
DAFTAR PUSTAKA
Hariku.Bab-VII_1-Ellipsoida-Hiperboloida-Dan-Paraboloida.(
http://hariku.web.id diakses 24 April 2014)
prizta. geometri-ii . (http://prizta11192.blogspot.com diakses 17 Mei
2014)
Rosyadi, Alfiani Athma Putri. Analytic Geometry.
(bud1utom0logspot.com diakses 17 Maret 2013)
UPI.File.(http://file..edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA
/195805151984031-diakses 19 Mei 2014)
Top Related