Descrição de Sinais em Tempo & FrequênciaFrequência Instantânea e Sinal Analítico
Referências
Fundamentos de Análise Tempo-Frequênciacom Aplicação a Processamento de Sinais - 1
Luiz W. P. Biscainho1 Paulo A. A. Esquef2
1Programa de Engenharia Elétrica do COPPEUniversidade Federal do Rio de Janeiro
2Coordenação de Sistemas e ControleLaboratório Nacional de Computação Científica
24 a 28-01-2011 / Programa de Verão do LNCC
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Referências
Sumário
1 Descrição de Sinais em Tempo & FrequênciaIntrodução e DefiniçõesDescrição de Sinais no TempoDescrição de Sinais na FrequênciaOutras Relações entre Tempo e FrequênciaConsiderações Adicionais
2 Frequência Instantânea e Sinal AnalíticoIntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Biscainho, Esquef Análise Tempo-Frequência
Descrição de Sinais em Tempo & FrequênciaFrequência Instantânea e Sinal Analítico
Referências
Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Análise de Sinais em Tempo-FrequênciaDe que se trata?
Sinal: em geral, função de diversas variáveisAnálise de sinal: estudo e caracterizaçãode suas componentes elementaresÊnfase: sinais que variam no tempo(desenvolvimentos extensíveis)Representação alternativa pode ser mais informativa(se associada à origem física do sinal, p.ex.)Alternativa mais importante para sinais no tempo:representação na frequênciaMatemática: FourierAnálise espectral revolucionou estudo da Natureza
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Referências
Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Metodologia
Análise no TempoAnálise na FrequênciaAnálise em Tempo-Frequência
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Funções Trigonométricas
cos(ϕ), sen(ϕ),ejϕ
ϕ é ângulo, expresso em radiano ou grau.
j =√−1 é a unidade imaginária.
O argumento ϕ pode variar com o tempo.Ex.: s(t) = cos(ϕ(t)).
A função ϕ(t) é chamada de fase.Ex. ϕ(t) = ωt (fase linear).
Identidade de Euler: ejϕ = cos(ϕ) + jsen(ϕ).
cos(ϕ) = ejϕ+e−jϕ
2 .
sen(ϕ) = ejϕ−e−jϕ
2j .
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Frequência e Densidade
Frequência: Número de ocorrências de um eventoem certo intervalo ou domínio sob consideração.
Densidade : (Def. Newton) Quantidade de matériapor unidade de volume.
Função de Densidade: Generalizável paraoutras grandezas. Ex. energia por unidade de tempo.
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Frequência em Sinais Senoidais
É número de períodos (ciclos de oscilação)por unidade de tempo.Taxa de variação da fase em relação ao tempo.Unidades: Hz ou rad/s1 Hertz = 1 ciclo por segundoωrad/s = 2πfHz
s(t) = cos(ωt), com fase em rad: ω é frequência em rad/s.
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
“Funções” DeltaDirac e Kronecker
Delta de Dirac
δ(t) = 0, para t 6= 0∫ ∞−∞
δ(t)dt = 1 |
0 tt0
(t – t0)
Delta de Kronecker
δ[n] =
1, n = 00, n 6= 0
−4 −2 0 2 40
0.5
1
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Convolução LinearCasos contínuo e discreto
Caso Contínuo
(g ∗ f )(t) =∫ ∞−∞
g(τ)f (t − τ)dτ
Caso Discreto
(g ∗ f )[n] =∞∑
k=−∞
g[k ]f [n − k ]
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Multiplicação com DeltaAmostragem ou Peneiragem
Multiplicação com Delta (Amostragem)
s(t)δ(t − t0) = s(t0)δ(t − t0)
s(t)
t(t - t0)
t0 t
tt0
s(t0)δ(t-t0)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Convolução com DeltaDeslocamento
Convolução com Delta (Deslocamento)
S(Ω) ∗ δ(Ω− Ω0) = S(Ω− Ω0)
|S()|
( - 0)
0
C- C
0
|S mod()|
0 - C 0 + C
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Convolução como ProjeçãoCaso Discreto
(g ∗ f )[n] =∑∞
k=−∞ g[k ]f [n − k ]
Vetorialmente (fazendo f [n] = f [−n])
(g ∗ f )[n] = 〈g, fn〉 = ‖g‖‖fn‖ cos(θ)
Graficamente
fn
θg
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Representação Espectral (Fourier)Visão Intuitiva
Objetivo: Saber das frequências presentes em s(t).Proposição de Fourier: Projetar s(t) sobre uma funçãoφ(t) que só possua uma única frequência.Escolha conveniente: φ(t) = ejω0t
Formulação
S(ω0) =
∫ ∞−∞
s(t)e−jω0tdt
|S(ω0)| 6= 0 indica da presença ejω0t em s(t).Avaliando S(ω0) para −∞ ≤ ω0 ≤ ∞ obtém-se acaracterização frequencial por todo o espectro.
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Representação Espectral (Fourier)Funções Senoidais
Estudo de Caso: s(t) = ejω1t
S(ω0) =
∫ ∞−∞
ejω1te−jω0tdt =
∫ ∞−∞
ej(ω1−ω0)tdt
S(ω0) =
∫ ∞−∞
cos((ω1 − ω0)t)dt + j∫ ∞−∞
sen((ω1 − ω0)t)dt
S(ω0) =
0, ω1 6= ω0∞, ω1 = ω0
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Representação Espectral (Fourier)Funções Senoidais
s(t) = Aejω0t tem espectro
S(ω) = 2Aπδ(ω − ω0)|
0 0
2A ( – 0)
s(t) = A cos(ω0t) tem espectro
S(ω) = Aπδ(ω − ω0) + Aπδ(ω + ω0)|
0 0
A ( + 0) A ( – 0)
– 0
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Representação de FourierTrês Propriedades Úteis
Convolução no tempo: s1(t) ∗ s2(t) F←→ S1(ω)S2(ω)
Multiplicação no tempo: s1(t)s2(t) F←→ S1(ω) ∗ S2(ω)
Modulação: ejω0ts(t) F←→ S(ω − ω0)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Descrição no Tempo - Motivação
Forma de onda: s(t)Sinal real mais simples: senoide s(t) = a cos(ω0t)
Amplitude constante a, Frequência constante ω0(fase linear ϕ(t) = ω0t)
Generalização: s(t) = a(t) cos(ϕ(t))Amplitude a(t), Fase ϕ(t) arbitrárias (múltiplas escolhas)
Modulação:AM – em amplitudePM – em faseFM – em frequência
Pode ser desejável construir o sinal complexos(t) = A(t)ejϕ(t) = sr (t) + jsi(t),sendo sr (t) o sinal real de interesse(múltiplas escolhas, novamente)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Potência e EnergiaDefinições
Potência Instantânea = Densidade Temporal de Energia:|s(t)|2
Energia Total E =∫|s(t)|2dt
Há sinais com E →∞ (ex. periódicos)Sem perda de generalidade, convenciona-se para E finito:E = 1
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Caracterização no TempoDefinições
Tempo em que se poderia concentrar a energia total:Tempo médio (momento de 1a. ordem)〈t〉 =
∫t |s(t)|2dt
Duração eficaz T do sinal = desvio-padrão σt de t :T 2 = σ2
t =∫
(t − 〈t〉)2|s(t)|2dt = 〈t2〉 − 〈t〉2
Obs.: Média de função real qualquer do tempo〈g(t)〉 =
∫g(t)|s(t)|2dt
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Análise na FrequênciaPor quê?
Análise espectral de forma de ondapode informar sobre propriedades de sua fonte.Propagação de uma onda por um meiovaria com a frequência.Decomposição em senoidessimplifica compreensão da forma de onda.Análise de Fourier é ferramenta poderosapara resolver equações diferenciais.
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Análise na FrequênciaFormulação
s(t) como combinação linearde exponenciais complexas ejωt :s(t) = 1√
2π
∫S(ω)ejωtdω (ITF)
S(ω) obtida pela projeçãode s(t) sobre cada componente ejωt :S(ω) = 1√
2π
∫s(t)e−jωtdt (espectro ou TF)
S(ω) = B(ω)ejψ(ω)
Amplitude Espectral B(ω), Fase Espectral ψ(ω)
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Potência e EnergiaDefinições
Densidade Espectral de Energia: |S(ω)|2
Energia Total E =∫|S(ω)|2dω
Teorema de Parseval:∫|s(t)|2dt =
∫|S(ω)|2dω
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Caracterização na FrequênciaDefinições
Frequência em que se poderia concentrar a energia total:Frequência média (momento de 1a. ordem)〈ω〉 =
∫ω|S(ω)|2dω
Largura de faixa eficaz B do sinal =desvio-padrão σω de ω:B2 = σ2
ω =∫
(ω − 〈ω〉)2|S(ω)|2dω = 〈ω2〉 − 〈ω〉2
Obs.: Média de função real qualquer da frequência〈g(ω)〉 =
∫g(ω)|S(ω)|2dω
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Caracterização na Frequênciaem função do sinal - 1
〈ω〉 =∫
s∗(t)1j
ddt s(t)dt
〈ω2〉 =∫ ∣∣ d
dt s(t)∣∣2 dt
B2 =
∫ ∣∣∣(1j
ddt − 〈ω〉
)s(t)
∣∣∣2 dt
Pode-se dispensar o cálculo de S(ω), conhecendo-se s(t).
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Caracterização no tempoem função do espectro - 1
〈t〉 = −∫
S∗(ω)1j
ddωS(ω)dω
〈t2〉 =∫ ∣∣ d
dωS(ω)∣∣2 dω
T 2 =
∫ ∣∣∣(1j
ddω + 〈t〉
)S(ω)
∣∣∣2 dω
Pode-se dispensar o cálculo de s(t), conhecendo-se S(ω).
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Caracterização na Frequênciaem função do sinal - 2
Considerando s(t) = A(t)ejϕ(t):〈ω〉 =
∫ϕ′(t)A2(t)dt =
∫ϕ′(t)|s(t)|2dt
A frequência média foi obtida pela integração de ϕ′(t)ponderada por |s(t)|2 ao longo do tempo.Frequência Instantânea ωi(t) = ϕ′(t)
B2 =
∫ (A′(t)A(t)
)2A2(t)dt +
∫(ϕ′(t)− 〈ω〉)2A2(t)dt Fig 1.1
Contribuição da AM: B2AM =
∫A′2(t)dt
(variações na amplitude)Contribuição da FM: B2
FM =∫
(ϕ′(t)− 〈ω〉)2A2(t)dt(desvios em relação à frequência média)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Caracterização no tempoem função do espectro - 2
Considerando S(ω) = B(ω)ejψ(ω):〈t〉 =
∫−ψ′(ω)B2(ω)dω =
∫−ψ′(ω)|S(ω)|2dω
O tempo médio foi obtido pela integração de −ψ′(ω)ponderada por |S(ω)|2 ao longo da frequência.Atraso de Grupo tg(ω) = −ψ′(ω)
T 2 =
∫ (B′(ω)B(ω)
)2B2(ω)dω +
∫(ψ′(ω) + 〈t〉)2B2(ω)dω
Contribuição da SAM: TSAM =∫
B′2(ω)dω(ressonâncias)Contribuição da SFM: TSFM =
∫(ψ′(ω) + 〈t〉)2B2(ω)dω
(desvios em relação ao atraso médio)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Covariância de um Sinalpartindo do tempo
Correlação Temporal entre tempo e frequênciainstantânea:〈tωi(t)〉 =
∫tϕ′(t)|s(t)|2dt
Se são descorrelacionados, espera-se que〈tωi(t)〉 = 〈t〉〈ω〉.Diferença entre a correlação e 〈t〉〈ω〉 medeo grau de correlação: Covariância t-ω do sinalCovtω = 〈tωi(t)〉 − 〈t〉〈ω〉Um caso de covariância nula:s(t) = A(t)ejω0t (frequência constante)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Covariância de um Sinalpartindo da frequência
Correlação Espectral entre atraso de grupo e frequência:〈tg(ω)ω〉 = −
∫ψ′(ω)ω|S(ω)|2dω
Se são descorrelacionados, espera-se que〈tg(ω)ω〉 = 〈t〉〈ω〉.Diferença entre a correlação e 〈t〉〈ω〉 medeo grau de correlação: Covariância t-ω do sinalCovtω = 〈tg(ω)ω〉 − 〈t〉〈ω〉Obs.: Pode-se provar que∫
tϕ′(t)|s(t)|2dt = −∫ψ′(ω)ω|S(ω)|2dω.
Um caso de covariância nula:S(ω) = B(ω)e−jωt0 (atraso de grupo constante)
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Função Característica da Densidade
Definição: É o valor médio da exponencial complexa aolongo da distribuição.Autocorrelação TemporalR(τ) =
∫s∗(t)s(t + τ)dt =
∫|S(ω)|2ejωτdω
(Função Característica de |S(ω)|2)Reversamente, |S(ω)|2 = 1
2π
∫R(τ)e−jωτdτ .
Autocorrelação EspectralR(θ) =
∫S∗(ω)S(ω − θ)dω =
∫|s(t)|2ejθtdt
(Função Característica de |s(t)|2)Reversamente, |s(t)|2 = 1
2π
∫R(θ)e−jθt dθ.
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Soma de Sinais × Soma de Densidadesaspecto negativo da ATF
Sinais muito separados no tempopermitem somar aproximadamentesuas densidades temporais, não espectrais. Fig 1.2Sinais cujos espectros são muito separadospermitem somar aproximadamentesuas densidades espectrais, não temporais. Fig 1.3Este é um problema inerente às representaçõestempo-frequência.
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Introdução e DefiniçõesTempoFrequênciaTempo e FrequênciaConsiderações
Classificação de Sinaisaspecto positivo da ATF
Com base no tempo:estacionário × não-estacionáriode longa duração × de curta duração(transitório, rajada, pacote de onda)
Com base na frequência:de banda estreita × de banda larga
Comparar: Senoide pura cuja frequência varia de 100 a5000 Hz em 10s × ruído “branco” nesta faixa.Representação tempo-frequência pode ser mais acurada.
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Sinal Complexo para Representar Sinal RealPara quê?
Sinais naturais s(t) são reais.Densidade espectral de energia de sinal real é par. Fig 2.1〈ω〉 = 0B medirá espalhamento total em torno da origem.
Descrição de sinal “passa-faixa” (cujas propriedades nafaixa espectral ativa são de interesse) será pouco útil.Melhor caracterização espectral do sinal:apenas frequências “físicas” (positivas).Obs.: Definição de frequência instantânea que adotamospressupõe sinal complexo.
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Sinal Complexo para Representar Sinal RealObtenção
Especificação: construir z(t) ∈ C tal que s(t) = <[z(t)].Método de quadratura:
Sendo s(t) = A(t) cos(ϕ(t)), fazer z(t) = A(t)ejϕ(t)
Requer a pré-definição de A(t) e ϕ(t) (múltiplas escolhas)Método do sinal analítico:
Dado s(t), fazer z(t) | Z (ω) = 2S(ω)u(ω)Escolha única
|
0
u() 1...
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Sinal AnalíticoCálculo
z(t) = ITF[2S(ω)u(ω)], com S(ω) = TF[s(t)]
z(t) = A[s(t)] = s(t) + jH[s(t)]
Transformada de Hilbert de s(t):
H[s(t)] = s(t) = jπ
∫s(t ′)t−t ′ dt ′
Dois exemplos:
A[ejω0t ] =
0, ω0 < 0
2ejω0t , ω0 > 0A[cos(ω1t) cos(ω2t)] = cos(ω1t)ejω2t , sendo 0 ≤ ω1 ≤ ω2.
Tais funções complexas satisfazem diferenciabilidade deCauchy-Riemann, i.e., são analíticasEnergias: Es = Es = Ez
2
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Sinal AnalíticoPropriedades
Sinal analítico de sinal analítico: A[z(t)] = 2z(t)
Sinal analítico da derivada A[
dns(t)dtn
]= dnA[s(t)]
dtn
Convolução com sinal analítico: (A[s] ∗ f )(t) é analíticaModulação de portadora com ω0 > 0:A[s(t)ejω0t ] é analítica se S(ω) = 0 para ω ≤ −ω0
Soma de dois sinais:s1(t) + s2(t) é analítico se S1(ω) = −S2(ω) para ω ≤ 0Teorema da Fatoração: A[s1(t)s2(t)] = s1(t)A[s2(t)] se
o espectro de s1(t) é nulo para ω ≤ −ω1 < 0o espectro de A[s2(t)] é nulo para ω < ω1
Produto de sinais analíticos: z1(t)z2(t) é analítico
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Sinal AnalíticoInterpretação
Que escolha particular de módulo e fase resultado sinal analítico A[s(t)] = A(t)eϕ(t)?A(t)ejω0t é analítico se
o espectro de A(t) está contido em (−ω0, ω0)
Generalizando: A(t)ejϕ(t) é analítico seo espectro de A(t) está contido em (−ω1, ω1)o espectro de ejϕ(t) é zero para ω < ω1
Conclusão: O sinal analítico temseu conteúdo de baixas frequências na amplitudeseu conteúdo de altas frequências na fase
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Sinal AnalíticoComparação com o modelo por quadratura
Dados o sinal s(t) e uma escolha s(t) = Aq(t) cos(ϕq(t))
com modelo por quadratura sq(t) = Aq(t)ejϕq(t):Energia da diferença entre os dois sinais complexos:∆E =
∫|sq(t)− z(t)|2dt = 2
∫ 0−∞ |Sq(ω)|2dω
Erro absoluto máximo em qualquer instante de tempo:|sq(t)− z(t)| ≤ 2√
2π
∫ 0−∞ |Sq(ω)|dω
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Frequência Instantânea como Derivada da Fase doSinal AnalíticoParadoxos
O cálculo de ωi(t0) (e mesmo de z(t0))requer o conhecimento de s(t) ∀tPara um sinal analítico s(t), pode ocorrer S(ωi(t0)) = 0.Em particular:
S(ω) discreto pode gerar ωi(t) contínua em ωωi(t0) pode ir além do espectro de sinal limitado em bandaωi(t0) pode ser negativaEx.: A1(t)ejω1t + A2(t)ejω2t com ω1 e ω2 positivos
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IntroduçãoSinal AnalíticoFrequência Instantânea
Frequência InstantâneaDensidade e Largura de Faixa Eficaz
Densidade de energia ao longoda frequência instantânea:P(ωi) =
∫δ(ωi − ϕ′(t))|s(t)|2dt =
∑j|s(t)|2|ϕ′′(t)|
∣∣∣t=tωj
,
sendo tωj
∣∣ωi=ϕ′(tωj )
Espalhamento da frequência instantânea:σ2
IF =∫
(ϕ′(t)− 〈ωi(t)〉)2|s(t)|2dt=∫
(ϕ′(t)− 〈ω〉)2|s(t)|2dt = B2FM ≤ B2
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Referências
Referências
Cohen, L., Time-Frequency Analysis, Prentice-Hall, 1995.Haykin, S., Van Veen, B., Sinais e Sistemas, Bookman,2001. Capítulos 1, 2 e 3.
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