Funções
Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função.
Por exemplo, um taxista abastece seu carro no posto de combustível e sabe que o preço (variável y) que irá pagar depende diretamente do preço da gasolina e do número de litros (variável x) que irá colocar no tanque de seu carro.
Se, num determinado posto, a gasolina está a R$ 2,50 o litro, podemos criar uma tabela, como segue:
Volume (x) em litros 1 2 3 4 5
Preço (y) em reais 2,50 5,00 7,50 10,00 12,50
Logo, o preço a ser pago é função do número de litros, onde matematicamente fica: y = 2,50 x
E através da função y = 2,5 x podemos calcular o valor de qualquer volume, em litros. Dizemos que y é a variável dependente e x a independente, porque o valor pago depende do volume em litros que o carro é abastecido.
Outro exemplo: Uma formiga, próxima a uma trena de 10 metros, encontra-se na posição
2,45 m e desloca-se na direção da posição 10 m paralelamente à trena. Um observador mede o tempo que a formiga leva para ir da posição 2,45 m até a posição 7,85 m. Esse tempo foi de 3 segundos. Dividindo o deslocamento (7,85 – 2,45=) pelo tempo 3s, obtém-se a velocidade média ( ) da formiga. Ou seja,
( )
( )
Se considerarmos que a posição inicial 2,45 m e a velocidade média 1,8 m/s são valores fixos podemos escrever a função:
y = 2,45 + 1,8 t onde y é a posição da formiga num determinado tempo e t é o instante em que a formiga encontra-se em determinada posição. Assim, temos uma função matemática onde podemos estudar o movimento da formiga, sendo y a variável dependente de t. Chamamos t de variável independente. Se quisermos saber onde chegaria a formiga ao completar 5 s de movimento, bastaria
fazermos y = 2,45 + 1,8 (5) y = 11,45 m. Não precisamos ficar olhando o deslocamento da formiga, ao lado de uma trena. A função matemática nos dá a resposta.
EXERCÍCIOS
a) Uma torneira vazando, além de desperdiçar água, pode aumentar muito a conta a ser paga no final do mês. Suponha uma situação em que a quantidade de água desperdiçada por uma torneira gotejando pode ser obtida pela fórmula (ou função) Q = 2,4 t, onde Q é a quantidade de água, em litros e t é o tempo, em horas. Pede-se: a) construir uma tabela indicando a quantidade de água desperdiçada por essa torneira a
cada intervalo de 1 hora, de 1 a 10 horas.
b) quantos litros de água essa torneira desperdiçará em: b.1) 1 dia? b.2) 1 mês (30 dias)? b.3) 1 ano (365 dias)?
b) Dê outros exemplos de funções presentes no nosso cotidiano, ou seja criativo e imagine situações, que possam ser resolvidas por funções matemáticas.
Algumas definições para melhor compreender uma função
Produto Cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, não vazios, é dado pelos conjuntos de pares ordenados (x,y), sendo que x pertence a A e y pertence a B. A simbologia de produto cartesiano é A x B, onde lemos produto cartesiano de A por B.
A x B = { (x,y)| x ϵ A e y ϵ B} O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B) Exemplo: Sejam os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = { -2, 3}, então: A x B = {(3, -2), (3, 3), (5, -2), (5, 3), (7, -2), (7, 3)} Observe que o número de elementos (pares ordenados) do conjunto A x B é 6, ou seja, 3 x 2.
O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B).
Relação Denominamos relação R de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = { 3, 5, 7, 9}, dizemos que a relação R de A em B é
definida pela função y = x +2, sendo x ϵ A e y ϵ B, pois: Sendo
x =1 y = x +2 y = 1 +2 y = 3
x =3 y = x +2 y = 3 +2 y = 5
x =5 y = x +2 y = 5 +2 y = 7 Assim, A relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} Essa relação pode ser representada por um diagrama de flechas.
A B
. 1
. 3
. 5
. 3
. 5
. 7
. 9
Plano Cartesiano Ortogonal Uma relação pode ser representada num plano cartesiano que consiste em dois eixos x e y que se cruzam perpendicularmente. b (a,b)
a
Vamos usar o exemplo anterior e localizar os pares ordenados da relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} no plano cartesiano.
Veja:
EXERCÍCIOS
1. Dados os conjuntos A = { -2, 0, 2} , B = { 0, 1, 3} e C = {3, 4}, represente por meio de conjuntos de pares ordenados:
a) A x B b) A x C c) B x A
d) C x A e) B x C f) C x B
2. Determine o número de elementos de A x B, sabendo que A = { 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}
3. Para cada item construa um plano cartesiano e nele localize os pares ordenados da relação. a) R = {(-1,-2), (0,0), (1,2), (2,4), (3,6)} b) S = { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)} c) T = {(0,-1), (1,0), (2,3), (-1,0)} d) U = {(5,0), (6,1), (7,2), (4, -1)}
4. Sendo os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {0, 1, 2, 4, 6}, represente por meio de conjunto de
pares ordenados e de diagramas de flechas as relações: a) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x -1} b) R2 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2} c) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2 - x}
x
y Chamamos o eixo x de eixo das abscissas, o eixo y de eixo das coordenadas e o par ordenado (a,b) são as coordenadas de um ponto no gráfico.
1º quadrante
4º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
eixo das abscissas
eixo das ordenadas
x
y Os eixos x e y se cruzam num ponto O, chamado origem do sistema cartesiano. Esses eixos dividem o plano em 4 quadrantes, conforme desenho ao lado.
x
y
(1,3)
(3,5)
(5,7)
1 2 31
4 5 6
1 2 3 4 5
6 7 8
Definindo Funções
Dados dois conjuntos A e B, chamamos função a toda relação f: A B na qual, para todo elemento de A, existe um único correspondente em B.
Exemplos: 1) 2) 3) Observe que em cada diagrama todo elemento de A tem um único correspondente em B, ou seja, nenhuma função de A em B terão seus elementos com dois ou mais correspondentes em B e ainda, poderão sobrar elementos em B, mas nunca sobram elementos em A sem um parceiro em B.
Domínio (D), contradomínio (CD) e imagem(Im)
O conjunto A é chamado de domínio (D) e B de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im) da função. Exemplo1 : Dado o diagrama abaixo, podemos determinar que:
D = A = {-1, 1,2, 3} CD = B = {1, 4, 6, 8, 9} Im = {1, 4, 9}
Exemplo2 :
Dados A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f: A B definida por f = {(x, y) x ϵ A X B| y = 2x+1}, obtenha a imagem dessa função.
x ϵ A y = 2x+1
0 y = 2(0)+1 y =1
1 y = 2(1)+1 y =3
2 y = 2(2)+1 y =5
f= {(0,1), (1,3), (2,5)} então, Im = {1, 3, 5}
Observe que o domínio é formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados e a imagem, pelos segundos elementos.
A B A B A B
B
1
-1
1
2
3
4
9 8
A
6
6
B 0 1
1
2
3
5 4
A
2
0
Gráfico de uma função
Da mesma forma que uma relação, uma função pode ser representada em gráficos. O mais comum é representarmos num plano cartesiano onde o eixo das abscissas conterá o domínio e o eixo das coordenadas, o contradomínio.
Exemplos
1. Dada a função f(x) =2x +1, construa o gráfico num sistema de coordenadas cartesianas.
NOTA: Caso não seja dado o domínio, atribui-se alguns valores reais ao x e calculamos as respectivas imagens, formando uma tabela. A partir da tabela se constrói o gráfico. x y (x,y)
-1 0 (-1,0)
0 1 (0,1)
1 3 (1,3)
2 5 (2,5)
2. Seja a função y = - x2, construa o gráfico para o domínio ]-2,2[ e, em seguida, escreva a imagem dessa função
NOTA: Neste caso, foi dado o domínio na forma de intervalo. Logo, espera-se a imagem na forma de intervalo. x y
-2 -4
-1 -1
0 0
1 -1
2 -4
EXERCÍCIOS
1. Refaça o exemplo anterior para a função y = (-x)2.
2. Construa o gráfico da função f: A R, dada por y = x + 3, onde A = { 0, 1, 2, 3}.
3. Construa os gráficos das funções f: R R, dadas por: a) f(x) = 3x b) g(x) = 2 – 5x c) y = x2 d) f(x) = x2 – 4 e) y = 1/x
f) g(x) = x2 - 3x g) f(x) = x h) y = 2x + 3x i) y = -2x + 1
Cálculos: Se f(x) =2x +1 então y =2x +1
Se x = -1 y =2(-1) +1 y = -1
Se x = 0 y =2(0) +1 y = 1
Se x = 1 y =2(1) +1 y = 3
Se x = 2 y =2(2) +1 y = 5
4
-1 1 2 3
0 -1 -2
1
2
3
5
x
y
1 2 -1 -2
x
y
-1
-2
-3
-4
Im = ] -4,0]
Im = { y ϵ R|-4 < y 0}
Raiz de uma função Denominamos de raiz ou zero de uma função aos valores de x para y =0. Assim, as raízes de
uma função são os valores em que gráfico corta o eixo das abscissas. Para calcularmos a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação. Exemplos: 1. Seja a função f(x) = 3x - 12. Calcular a sua raiz.
Resolução: Fazemos f(x) = 0 (zero), ou seja, 3x – 12 = 0 e resolvemos a equação. 3x – 12 = 0 3x = 12 X = 4 Logo, a raiz dessa função é 4
2. Seja a função g(x) = x2 – 3x +2, qual a(s) sua(s) raiz(es)? Resolução: Fazemos x2 – 3x +2 = 0 e, usando Báscara determinamos suas raízes.
√
√( ) ( )( )
( )
e Logo, as raízes dessa função são 1 e 2.
EXERCÍCIOS
Determine, se existir, as raízes das seguintes funções:
a) f(x) = 3x + 42 b) f(x) = x2 – 49 c) g(x) = 3x + 42 d) g(x) = x2 – 5x e) y = 5 x2 – 7x + 3 f) y = x(x – 2) g) f(x) = 3x – 2 h) f(x) = 40x -200
1. Dada a função f(x) = 2 x + k, determine o valor de k para que sua raiz seja -3
2. Calcule m para que a função:
a) f(x) = m2x – 9 tenha 1 como raiz b) f(x) = x – m2 tenha 2 como raiz c) f(x) = = 2x + m2 tenha -2 como raiz d) f(x) = mx2 + 2 mx + 4 tenha -1 como raiz
e) f(x) =
tenha 3 como raiz
3. Extraia a raiz de cada função abaixo e, em seguida, construa o gráfico
correspondente: a) ( ) b) ( )
c) ( )
d)
A inversa de uma função
Dada a relação R de A em B, denominamos relação inversa R-1 de B em A a relação definida por:
R-1 = {(y,x)|(x,y) R} Por exemplo, se R = {(1,3), (2,6), (3,9)}, então R-1 = {(3,1), (6,2), (9,3)} Assim, podemos determinar a função inversa (Fx
-1) de uma função dada, usando o seguinte artifício: 1º) Dada uma função qualquer, troca-se o x por y e o y por x; 2º) Em seguida, isala-se o y, obtendo-se assim a inversa da função dada. Exemplo: Dado: ( ) Trocamos y por x e x por y Fica:
Logo: ( )
OBSERVAÇÃO: Obtêm-se função inversa apenas de função bijetiva (ou bijetora), ou seja, aquela que tem uma correspondência biunívoca, na relação A e B.
EXERCÍCIOS
Determine as inversas das funções abaixo:
1. ( ) 2. ( ) 3. ( )
4. ( )
5. ( )
6. ( )
7. ( )
8. ( )
9. ( ) 10. ( )
Gráfico e Raiz(es) de uma função
Para construir um gráfico, a partir de qualquer função, é preciso atribuir valores a variável x que consta na função. Resolvendo a expressão numérica encontrada, acha-se o valor de y correspondente àquele valor de x, ou seja, temos um par ordenado (x, y). Esse par ordenado é que forma o ponto no gráfico, ou seja, são as coordenadas do gráfico. NOTA: Nunca esqueça que cada eixo x e y, que formam o plano cartesiano, deve ser dividido, a partir do zero, de forma proporcional. Somente assim, o gráfico terá sua forma correta:
Exemplo: Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, a variável x pode ser substituída por qualquer valor e a partir dele se determina o valor de y.
Observe que, nesta função, se escolhermos 6 para a variável x e substituirmos na função dada, temos:
f(x) = x2 – 19x + 84
y = (6)2 – 19(6) + 84
y = 36 – 114 + 84 y = 6
E assim, vamos escolhendo outros valores para x e formando os diversos pares ordenados, necessários para formar o gráfico. Se usamos x = 6, então, y = 6 Se fizermos x = 7, então y = (7)
2 – 19(7) + 84 e, y = 0
Se fizermos x = 8, então y = (8)2 – 19(8) + 84 e, y = -4
Se fizermos x = 9, então y = (9)2 – 19(9) + 84 e, y = -6
Se fizermos x = 10, então y = (10)2 – 19(10) + 84 e, y = -6
Se fizermos x = 11, então y = (11)2 – 19(11) + 84 e, y = -4
Se fizermos x = 12, então y = (12)2 – 19(12) + 84 e, y = 0
Se fizermos x = 13, então y = (13)2 – 19(13) + 84 e, y = 6
Os valores encontrados formam a tabela ao lado:
NOTA: Lembre-se que a função dada é uma equação do 2º grau. Logo, são necessário, no mínimo, 6 pares ordenados
para que se obtenha a curva característica de uma equação do 2º grau. Se fosse uma equação do 1º grau, bastariam 2 pontos,
porque a função do 1º grau é sempre representada por uma reta e para traçar uma reta, dois pontos são suficientes.
O gráfico fica:
Raiz (ou raízes) de uma função são os valores de x para que y seja igual a zero. No gráfico acima, esses valores são x = 7 e x = 12.
TABELA
X y (x,y) Ponto
6 6 (6,6) A
7 0 (7,0) B
8 -4 (8,-4) C
9 -6 (9,-6) D
10 -6 (10,-6) E
11 -4 (11,-4) F
12 0 (12,0) G
13 6 (13,6) H
x
y
6
4
2
-2
-6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-4
A
B
D E
G
H
REPENSANDO GRÁFICOS E RAÍZES DE UMA FUNÇÃO
Como calcular as raízes de uma função, sem fazer o gráfico?
Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, as raízes da função são obtidas igualando essa função a zero e determinando o valor de x. Veja:
O(s) valor(es) que corta(m) o eixo do x, ou seja, quando y é igual a zero, pode(m) ser obtido(s) pela resolução da equação obtida. No caso,
x2 – 19x + 84 = 0
√
√( ) ( )( )
( )
√
√
I - Calcule a(s) raiz(es), se houver(em), de cada função:
1) f(x) = x2 + 13x + 30
2) f(x) = 7x – 56
3) g(x) = x
2 – 3x – 54
4) h(x) = 26 – 13x
5) g(x) = x
2 – 144
6) h(x) = 9x
2 + 4x
7) y = 9 – 4(x – 2)
8) y = 3(x – 2) – 5
9) f(x) = 4 – 2 x + 15
10) f(x) = 3x
2 – 5x + 7
II – Escolha 3 funções acima e construa o gráfico correspondente.
“Quando você for construir o gráfico de uma função qualquer, calcular antes a(s) raíz(es) da função facilita o processo porque já fica determinado um par ordenado.” Justifique essa afirmação, com um exemplo.
1. Extraia a raiz das funções abaixo: a) f(x) = 2x -26 b) g(x) = x
2 – 81 c) y = 3 - x
2. Construa o gráfico, apresentando também a tabela com os pares ordenados de cada função abaixo:
a) f(x) = x -2 b) g(x) = 2x c) y = x2
3. Determine a(s) raiz(es) de cada função representada nos gráficos abaixo: a) b) c)
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
y
x -10
-4 x 27 9
y
x 11
3
y
4. Classifique em crescente, decrescente ou constante cada função abaixo:
a) b) c)
5. Determine a inversa de cada função abaixo:
a) f(x) = x - 5 b) f(x) =
c) f(x)= 3x – 1
y
x -6
25
y
x -5
8
y
x
2
4
Função Exponencial
Recordando potenciação e suas propriedades: Sabemos que: = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 Identificamos o 3 como a base da potência, o 4 como o expoente da potência e o 81 o resultado da
potenciação indicada. Calcule:
1)
2)
3)
4) (
)
5)
6)
7)
8) ( )
9) √
10)
11) =
12)
13) (
)
14)
15) (
)
Propriedades da Potenciação Propriedade 1: Propriedade 2: para Propriedade 3: ( ) Propriedade 4: para Propriedade 5: ( )
Efetue:
1)
2)
3) (
)
( ) =
4)
5) (
)
(
) =
3 4
Determinando a raiz de uma função exponencial
Toda função (equação) que contém incógnita no expoente é chamada de função (equação) exponencial. Exemplos:
a) b) c)
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base. Aplicamos as definições e propriedades da potenciação, sempre se > 0, 1 , sendo a incógnita, para toda equação do tipo onde .
Exemplos:
1) Transformamos ambos os membros para potência de mesma base. Fatorando 4 fica e fatorando 512 temos . Então: ( ) 2 =9
Logo, a raiz dessa equação é
.
Ou ainda, o conjunto verdade é V ={
}
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