VETORES
Física Geral
Grandezas
Comprimento (m) Massa (kg) Tempo (s) Corrente elétrica (A) Quantidade da substância (mole) Temperatura (K) Intensidade luminosa (cd)
Grandezas direcionais
Deslocamento Velocidade (quantidade de movimento) Aceleração (força) Torque Campo Elétrico Campo Magnético
Grandezas Vetoriais ou Vetores
São aquelas que dependem de uma especificação espacial para serem completamente definidas.
a
b
Grandezas não-direcionais Aquelas que são completamente definidas apenas por um valor numérico.
Grandezas Escalares ou Escalares
p Temperatura p Intensidade luminosa p Massa p Corrente elétrica p Tempo p Energia p Potência p Resistência elétrica p Freqüência
Direção Orientada
x
a b
Eixo orientado
x
y
Eixos coordenados orientados x
y
Direção Orientada z
x y
θ
φx θ 0
x 0
Representação de vetores
cbaCBA !!!!!!
cbaCBA !!!!!! ,,,,,
Modo escrito: Letras maiúsculas ou minúsculas em negrito:
A, B, C, a, b, c
Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido que o vetor considerado e cujo comprimento é proporcional à magnitude do mesmo.
Ou letras em itálico com uma flecha em cima:
Módulo ou magnitude de um vetor é representado por: A, B, C, a, b, c
ou
Vetores Vetor unitário é o vetor cujo módulo é a unidade.
VVVuV u==!!
ouˆ
1ou 1ˆ que talˆ ou == uu uu
Qualquer vetor pode ser escrito em termos de um vetor unitário:
Logo, se temos dois vetores paralelos podemos representá-los como:
'ˆ'eˆ VuVVuV ==!!
V!
'V!
VV
VV
u'
chamando eˆsendo == λ!
VV!!
λ=⇒ '
V1
V2
V
Soma de vetores
A
B
21 VVV +=
21 VVV +=≠
Soma de vetores
V1
V2
V
V = V1+V2 = V2+V1 (Comutativo)
A
B
Método do paralelogramo || a V1
|| a V2
Soma de vetores
222 )()()( DCADAC +=
θθ sencos 221 VDCVVBDABAD =+=+=
θθθθθ 22222
22121
22
221
2 sencoscos2)sen()cos( VVVVVVVVV +++=++=
θ
θθθ
cos2
)sen(coscos2
2122
21
222221
21
VVVVV
VVVVV
++=
+++=
V = V1+V2
V2cosθ
V2 senθ
θ D A B
V
V1
V2
C
Calculando o módulo da soma de dois vetores
V = V1+V2 α
β
V2cosθ
V2 senθ
θ D A B
V
V1
V2
C Soma de vetores
θα sensen BCACCD ==αθ
θαsensen
ou sensen 22VVVV ==↔
αββα
sensensensen forma mesma da 2121
VVVV =↔=→
αβθ sensensen:equações as juntando 21 VVV ==
Calculando a direção do vetor resultante V E
Soma de vetores
θcos2 2122
21 VVVVV ++= αβθ sensensen
21 VVV ==
22
21 VVV +=
1
2tanVV
=α
Logo, para a soma de dois vetores:
Onde no caso particular onde θ = 90°:
A B
V
V1
V2
C
Diferença entre dois vetores É obtida somando-se o primeiro com o inverso do segundo, isto é:
)(1 212 VVVVD −+=−=
V=V1+V2
V1
V2 D=V1-V2
V1
-V2
D’=V2-V1
-V1
V2
D’ = -D (a diferença é anti-comutativa)
Diferença entre dois vetores
θ
θπθπ
θπ
cos2
)sensencos(cos2
)cos(2
2122
21
2122
21
2122
21
VVVVD
VVVVD
VVVVD
−+=
−++=
−++=
V=V1+V2
V1
V2
-V2
θ
π-θ
D=V1-V2
Exemplo
Dado um vetor A de 6 unidades de comprimento e que faz um ângulo de +36º com o eixo X positivo; B com 7 unidades de comprimento e de mesma direção e sentido que o eixo X negativo. Determine: a) A soma dos dois vetores. b) A diferença entre eles
36º
A B
Y
X
Exemplo 36º
A
B
Y
X 0 C = A + B
com A = 6 e B = 7
C
144º
unidades 128,4144cos2 o22 =++= ABBAC
a)
O ângulo entre B e C pode ser determinado por
oo 69,58sen144sen
≈→= ααAC
Logo, temos que o ângulo β é 85,31º e, portanto, o ângulo de C em relação ao eixo X é de 121,31º.
b) D= A - B
Exemplo 36º A
-B
Y
X 0
D
unidades 12,31 144cos2
ou 36cos2o22
o22
=−+=
++=
ABBAD
ABBAD
Utilizando a lei do senos,
oo 64,16sen36sen
≈→= ααAD
O vetor diferença D faz um ângulo de 16,64º com o eixo X.
Componentes de um Vetor Qualquer vetor V pode ser considerado como o resultado da soma de dois ou mais vetores. As suas componentes ortogonais Vx e Vy são mutuamente perpendiculares.
V
Vx
Vy
Y
X 0
B
A
C No plano
z
x y
θ
φ
Segue que
2222zyx VVVV ++=
Componentes de um Vetor z
x y
θ
φ
β
βα cos , cos VVVV yx ==
Assim, temos também que
cos2α + cos2 β + cos2θ =1
Vetor posição Um caso particularmente importante é o do vetor-posição r de um ponto de P de coordenadas (x, y, z).
O vetor-posição relativo de dois pontos P1 e P2 é
Ou seja,
Exemplo Calcule a distância entre os dois pontos (6, 8,10) e (-4, 4, 10). Solução:
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos,
Aplicações aos Problemas da Cinemática
Um barco a motor desloca-se a 15 km/h com a proa voltada para o norte, num local onde a corrente é de 5 km/h na direção S 70o E. Calcule a velocidade do barco em relação às margens. Solução:
A velocidade resultante será a soma vetorial da velocidade do barco em relação à água VB com a velocidade da corrente VC.
Como θ = 110o, obtém-se analiticamente
Para obter a direção aplicamos a lei dos senos,
O que resulta em na direção N19,4o E.
Aplicações aos Problemas da Cinemática Calcule a aceleração de um corpo que desliza sobre um plano inclinado segundo o ângulo θ. Solução: Seja P um corpo que desliza para baixo sem atrito sobre o plano AB, que é inclinado segundo um ângulo θ. Se não existisse, o corpo cairia livremente na vertical com aceleração igual a g = 9,8 m/s2.
As componentes da acelaração perpendicular e paralela ao plano são dadas, respectivamente, por
a ' = gcosθ e a = gsenθ
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