8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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INSTITUTO
TECNOLÓGICO
DE
AGUASCALIENTES
DEPARTAMENTO
DE
CIENCIAS
BÁSICAS
FORMULARIO
BÁSICO
DE
MATEMÁTICAS
SUPERIORES
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 1
ÍNDICE
Geometría 2
Propiedades de los exponentes, raíces y logaritmos 3
Productos y cocientes notables 4
Operaciones con fracciones 5
Solución ecuaciones de segundo y tercer grados 6
Identidades Trigonométricas 7
Geometría Analítica del Espacio 13
Sumatorias 16
Reglas Generales de Derivación 17
Tablas de Integrales 18
Integrales Impropias 23
Vectores 24
Integrales Múltiples 25
Fórmulas Misceláneas 27
Números Complejos 29
Tabla de Transformadas de Laplace 31
Series de potencias 34
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 2
Geometría
Volumen 43
3 r
Área de la Superficie 4 2 r
r
Volumen r h2
Área de la superficie lateral 2 rh
r
h
Volumen 13
2 r h
Área de la superficie lateral r r h r l 2 2
h
r
l
Volumen 1
32 2 h a ab b
Área de la superficie lateral
a b h b aa b l
2 2
h
a
b
l
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 3
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES, RAÍCES Y LOGARITMOS.
. . . .. _ na a a a n veces 0 1a 1nma a
( )n nab a b ( )mqqm p nq mpna a a
n m n ma a a a 1a a ( )n n nab a b ( )n m n ma b a b p np mpn ma b a b
n m n ma a a a ( )( ) n mn ma a 1n
m m n
a
a a
nn m
m
a
a bb
a b a b
3n n n na a a a ( )n nba b a n
m nm a a m
n mn
ba b
a
a b a b
( )( )n n nba ca b c a 1 1a
a
1nmnm
m
aa
a
1n
m n m
a
b a b
2 2 2( ) 2a b a ab b
( )( )( ) p n m pn ma a a a 1nna
a 1
( 1)nm
m nmma a
p npn
mpm
a a
b b
ñ qq mm p pñn nña b a b
3( ) )(n n n na a a a 1nna
a
n n
mm
a a
bb
1 nn
m m
aa
b b
( ) p p pn m n mc a b a c b c
nn m
m
aa
a
n
m nma a n m n ma b a b 1n
m n m
a
b a b
n m n m
p p p
a b a b
c c c
p nmpn m q qa a a a a n
n
aab
b
n m
m n
a b
b a
m n
n m p p
b aa b
c c
2.17828182818e ne x log lne x x loga x n 10log log x x
ln 1e ln ae a n x ln 10n x
na x ln lnna n a
lnlog
ln
ea
a
e
ln( ) ln lnab a b 10log x n log10 a a log logm n
a a
nb b
m
ln lnm n na a
m ln ln
a b
b a ln ln ln
aa b
b
1
log logco aa
log ( ) log loga a abc b c
1log logco a a 10log 10 1 log logma ab m b log 10 aa log log loga a a
bb c
c
x x ln4log2.30258509 10
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 4
PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES
PRODUCTOS COCIENTES
+6abc
√
√
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
√ √ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
√ √ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
√ √
BINOMIO DE NEWTON
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 5
OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma Resta Producto Cociente
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SOLUCIONES EXACTAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
La Ecuación Cuadrática (o de segundo grado)
√
La Ecuación Cúbica (o de tercer grado)
Las soluciones son:
√
√
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TRIGONOMETRÍA
TABLA DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASEN EL PLANO CARTESIANO
Cuadrante I II III IVSEN COS TAN COT SEC CSC
TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASÁNGULOS NOTABLES
DEG
SEN
√ √
√
√
√ √
√
√
COS √
√
√ √
√
√
√ √
TAN
√ √ √ √
√ √ √
√
COT √
√ √ √ √
√
√ √
SEC
√ √ √ √
√ √ √
√
CSC √
√
√ √ √ √
√ √
RAD
TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASDE ÁNGULOS MAYORES DE A SU EQUIVALENTE DE ÁNGULOS
MENORES DE (REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE)
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IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES DE UN ANGULO
SenSenCosSenCosSenCosSenSenCosCosCosCos
SenSenSenSenCosCosCosSenCosCosCosSenSen
Cot Cot
Cot Cot Cot
TanTan
TanTanTan
SenSenCosCosCos
SenCosCosSenSen
xCo xCot
xSec xTan
xSen xCos
xCos xSen
xCos xSen
xSen
xCos xCot
xCos
xSen xTan
xCot xTan
xSec xCos
xCo xSen
)(
)(
1
1
sec1
1
1
1
1
1
1
1sec
22
22
2
2
22
:ángulos2dediferenciaoSuma
:sPitagóricasIdentidade
FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES
xCot
xCot xCot
x
x
x
x x
x x
x x x
x x x
2
12
tg1
tg2
2tg
sen212cos
1cos22cos
sencos2cos
cossen22sen
2
2
2
2
22
:doble ángulo
del ricastrigonomét sIdentidade
IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:
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1tg3
tg3tg3tg
tg31
tgtg33tg
cos3cos43cos
sen4sen33sen
2
3
2
3
3
3
c
ccc
Identidades de ángulo cuádruple:
tg4tg4
1tg6tg4tg
tgtg61
tg4tg44tg
1cos8cos84cos
sencos4sencos84sen
3
24
42
3
24
3
cc
ccc
Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:(teorema de Moivre)
!!)(
!
....sencossencossencossen
...sencossencossencoscoscos
5553331
666444222
r r n
nC
C C nn
C C C n
r
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
:donde
cos1
sen
sen
cos1
cos1
cos1
2cot
cos1
sen
sen
cos1
cos1
cos1
2tg
2
cos1
2cos
2
cos1
2sen
x
x x
x
x x
x x
x x
:mitad ángulo del
ricastrigonomét sIdentidade
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SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES
cossen
)(costgtg
222
222
sensen
)(sentgtg
sencos
)(costgtg
coscos
)(sentgtg
222
222
2
2
22
2
c
SenSenCosCos
CosCosCosCos
cc
c
SenCosSenSen
CosSenSenSen
SenSenCosCos
CosCosCosCos
CosCosSenSen
CosSenSenSen
:
EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN MEDIANTE OTRA(del mismo ángulo):
1cos1sec
1
tg
1
cos1
cos
sen
sen1tg
1cos
11sec
tg
1
cos
cos1
sen1
sentg
cos
1cos
sec
1
tg1
tg
tg1
1sen1cos
cos
1
sec
1sec
tg1
1
tg1
tgcos1sen
2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
22
2
ecc
ecc
ec
ec
c
c
ecc
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PRODUCTO DE FUNCIONES
)(cos)(cos)(cos)(coscoscoscos
)(cos)(cos)(cos)(coscossensen
)(sen)(sen)(sen)(sencoscossen
)(sen)(sen)(sen)(sensensensen
)(sen)(sencossen
)(cos)(coscoscos
)(cos)(cossensen
4
1
4
1
4
1
4
1
21
2
1
2
1
POTENCIAS DE FUNCIONES
)32cos44(coscos
)32cos44(cossen
)cos33(coscos
)3sensen3(sen
)2cos1(cos)2cos1(sen
8
14
8
14
4
13
4
13
2
12
2
12
sen sen A A cos cos A A
A A tantan
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos a
A
b
B
c
C sen sen sen
Ley de los cosenos c a b a b C 2 2 2 2 cos
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Ley de las tangentes
a b
a b
tan A B
tan A B
1
2
1
2
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
A
B
C
a
c
b
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Geometría Analítica del Espacio
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Considerando P x y z 1 1 1 1 , , y P x y z 2 2 2 2 , ,
Vector que une P1 y P2 :
PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1 , , , ,
Distancia entre dos puntos:
d x x y y z z l m n 2 12
2 12
2 12 2 2 2
Recta que pasa por dos puntos:- Forma Paramétrica:
x x l t 1
y y mt 1 z z n t 1
-Forma Simétrica:
t x x
l
1 t y y
m
1 t z z
n
1
Cosenos Directores:
cos
x x
d
l
d
2 1 cos
y y
d
m
d
2 1 cos
z z
d
n
d 2 1
donde , , denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P1 y P2 con la parte positiva delos ejes x, y, z respectivamente.
Ecuación del Plano:
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a a a a
1 2 3, , :
a x x a y y a z z 1 1 2 1 3 1 0
-Forma General: Ax By Cz D 0
cos cos cos2 2 2 1 o l m n2 2 2 1
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0
d Ax By Cz D
A B C
0 0 0
2 2 2
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
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Coordenadas cilíndricas:
x r
y r
z z
cos
sen
o r x y
tan
z z
y
x
2 2
1
r
z
y
x
y
z
P (x,y,z)
(r,z){
x
O
Coordenadas esféricas:
x r
y r
z r
sen cos
sen sen
cos
o r x y z
tan y
x
z
x y z
2 2 2
1
12 2 2
cos
z
y
x
y
P (r,{
(x,y,z)
O
z
r
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan
m m
m m
2 1
1 21
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Sumatorias:
a)1
n
i
c nc
b)1 1
n n
i i
i i
ca c a
c)1 1 1
( )n n n
i i i i
i i i
a b a b
d)1 1 1
( )n n n
i i i i
i i i
a b a b
e)1
( 1)1 2 3 .....
2
n
i
n ni n
f)3 2
2 2 2 2 2
1
( 1)(2 1)1 2 3 ........
6 3 2 6
n
i
n n n n n ni n
g)
22 4 3 23 3 3 3 3
1 1
( 1)1 2 3 .........
2 4 2 4
n n
i i
n n n n ni n i
h)3 2 2 5 4 3
4 4 4 4 4
1
( 1)(6 9 1) ( 1)(2 1)(3 3 1)1 2 3 .........
30 30 5 2 3 30
n
i
n n n n n n n n n n n n n ni n
i)( 1) ( 1) ( 1 )( )
2 2 2
n
i m
n n m m n m n mi
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Reglas Generales de Derivación
d
dxc( ) 0
d
dx cx c
d
dx cx ncxn n 1
d
dx u v w
du
dx
dv
dx
dw
dx
d
dx cu c
du
dx
d
dx uv u
dv
dx v
du
dx
d
dx uvw u v
dw
dx u w
dv
dx v w
du
dx
d
dx
u
v
v dudx u dv
dx
v
2
d
dx u nu
du
dxn n 1
dF
dx
dF
du
du
dx (Regla de la cadena)
du
dx dxdu
1
dF
dx
dF du
dxdu
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas
d
dxu
e
u
du
dxa aa
alog log
, 0 1
d
dx u
d
dx u u
du
dxeln log
1
d
dxa a a
du
dx
u u ln
d
dxe e
du
dx
u u
d
dxu
d
dxe e
d
dxv u vu
du
dxu u
dv
dx
v v u v u v v ln ln ln ln1
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Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas
d
dxu u
du
dxsen cos
d
dxu u
du
dxcot csc 2
d
dxu u
du
dxcos sen
d
dxu u u
du
dxsec sec tan
d
dxu u
du
dxtan sec 2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cot
d
dxu
u
du
dxusen sen
1
2 2
1
2
1
1
d
dxu
u
du
dxucos cos
1
2
11
10
d
dxu
u
du
dxutan tan
1
2 2
1
2
1
1
d
dxu
u
du
dxucot cot
1
2
11
10
d
dx u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si usec
sec
sec
12 2
12
21
1
1
1
1
0
d
dx u
u u
du
dx u u
du
dx
si u
si ucsc
csc
csc
1
2 2
12
21
1
1
1
1
0
0
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas
d
dxu u
du
dxsenh cosh
d
dxu u
du
dxcoth csc h2
d dx
u u dudx
cosh senh d dx
u u u dudx
sec sec tanhh h
d
dxu u
du
dxtanh sec h2
d
dxu u u
du
dxcsc csc cothh h
d
dxu
u
du
dxsenh-1
1
12
d
dx u
u
du
dx
si u u
si u ucos
cosh ,
cosh ,h-1
1
1
0 1
0 12
1
1
d dx
uu
dudx
utanh
1
21
11 1
d
dx u
u
du
dx u o ucoth
1
2
1
1 1 1
d
dx u
u u
du
dx
si u u
si u usec
sec ,
sec ,h
h
h
-1
1
1
0 0 1
0 0 12
1
1
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d
dx u
u u
du
dx u u
du
dx si u si ucsc ,h-1
1
1
1
10 0
2 2
Tablas de Integrales
u dv uv v du csc cot cscu u du u C
u dun
u C nn n
11
11 C uduu seclntan
du
u u C ln cot ln senu du u C
e du e C u u C uuduu tanseclnsec
a dua
a C u
u
ln
csc ln csc cotu du u u C
sen cosu du u C du
a u
u
a C
2 2
1
sen
C uduu sencos
C a
u
aua
du 1
22 tan
1
C uduu tansec 2 du
u u a a
u
a C
2 2
11
sec
csc cot2 u du u C du
a u a
u a
u a C 2 2
1
2
ln
C uduuu sectansec du
u a a
u a
u a C 2 2
1
2
ln
a u duu
a ua
u a u C 2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln duu a u a
a u au
C 2 2
2 2
1
ln
u a u duu
a u a ua
u a u C 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
8 2
8 ln du
u a u
a u
a u C
2 2 2
2 2
2
a u
u du a u a
a a u
u C
2 2
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 2 3 2 2 2 2
/
a u
u du
a u
u u a u C
2 2
2
2 2
2 2
ln
a u du2 2 a u du
ua u
a u
a C 2 2 2 2
2
1
2 2 sen
du
a uu a u C
2 2
2 2
ln u a u du
uu a a u
a u
a C 2 2 2 2 2 2 2
4
1
8 2
8 sen
u du
a u
ua u
au a u C
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 ln
a u
u du a u a
a a u
u C
2 2
2 2
2 2
ln
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a u
u du
u a u
u
a C
2 2
2
2 2 11 sen u a du
uu a
au u a C 2 2 2 2
2
2 2
2 2 ln
u du
a u
ua u
a u
a C
2
2 2
2 2
2
1
2 2 sen u u a du
uu a u a
au u a
2 2 2 2 2 2 2
4
2 2
8 2
8 ln C
du
u a u a
a a u
u C 2 2
2 21
ln
u a
u du u a a
a
u C
2 2
2 2 1
cos
du
u a u a u a u C
2 2 2 2
2 21
u a
u du
u a
u u u a C
2 2
2
2 2
2 2
ln
a u duu
u a a ua u
a C 2 2
32 2 2 2 2
4
1
8 2 5
3
8 sen du
u au u a C
2 2
2 2
ln
du
a u
u
a a uC
2 23
2 2 2 2
C auua
auu
au
duu 222
22
22
2
ln22
du
u u a
u a
a u C 2 2 2
2 2
2
du
u a
u
a u aC
2 23
2 2 2 2
udu
a bu b a bu a a bu C
1
2 ln u du
a bu b a b u abu a bu
2
3
2 2 22
15 8 3 4
u du
a bu b a bu a a bu a a bu C
2
3
2 21
2 4 2
ln
du
u a bu a
a bu a
a bu aC a
1
0ln , si
20
1
a
a bu
a C atan , si
du
u a bu a
u
a bu C
1
ln a bu
u du a bu a
du
u a bu
2
du
u a bu au
b
a
a bu
u C 2 2
1
ln
a bu
u du
a bu
u
b du
u a bu
2 2
udu
a bu
a
b a bu b a bu C
2 2
1ln
u a bu du
b nu a bu na u a bu du
n n n
2
2 3
32 1
du
u a bu a a bu a
a bu
uC
2 2
1 1ln
u du
a bu
u a bu
b n
na
b n
u du
a bu
n n n
2
2 1
2
2 1
1
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bua
abua
bbua
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1 2
32
2
du
u a bu
a bu
a n u
b n
a n
du
u a bun n n
1
2 3
2 11 1
u a budub
bu a a bu C 2
15 3 22
32
udu
a bu b bu a a bu
2
3 22
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 21
2
1
224
2
4
2
bac
baxtg
baccbxax
dx
C acbbax
acbbax
acbcbxax
dx
42
42ln
4
1
2
2
22
cbxax
dx
a
bcbxax
acbxax
xdx2
22 2
)ln(2
1
cbxax
dx
a
acbcbxax
a
b
a
x
cbxax
dx x22
22
22
2
2
2)ln(
2
cbxax
dx x
a
b
cbxax
dx x
a
c
am
x
cbxax
dx x mmmm
2
1
2
21
2 )1(
cbxax
dx
c
b
cbxax
x
ccbxax x
dx22
2
2 2ln
2
1
)(
cbxax
dx
c
acb
cx x
cbxax
c
b
cbxax x
dx22
2
2
2
222
2
21ln
2)(
)()()1(
1
)( 222112 cbxax x
dx
c
a
cbxax x
dx
c
b
cxncbxax x
dxnnnn
cbxax
dx
bac
a
cbxaxbac
bax
cbxax
dx222222 4
2
))(.4(
2
)(
cbxax
dx
bac
b
cbxaxbac
cbx
cbxax
xdx222222 4))(4(
2
)(
cbxax
dx
bac
c
cbxaxbaca
bc xacb
cbxax
dx x2222
2
22
2
4
2
))(4(
)2(
)(
m
n
m
n
m
n
m
cbxax
dx x
amn
bmn
cbxax
dx x
amn
cm
cbxaxamn
x
cbxax
dx x
()12(
)(
)()12
)1(
)()12()( 2
1
2
2
12
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
cbxax
dx x
a
b
cbxax
dx x
a
c
cbxax
dx x
acbxax
dx x
)()()(
1
)( 2
22
2
32
12
32
2
12
)(
1
)(2)(2
1
)( 222222 cbxax x
dx
ccbxax
dx
c
b
cbxaxccbxax x
dx
22222222 )(
2
)(
3
)(
1
)( cbxax x
dx
c
b
cbxax
dx
c
a
cbxaxcxcbxax x
dx
mnmnmnm cbxax x
dx
cm
bnm
cbxax x
dx
cm
anm
cbxaxcxmcbxax x
dx
()1(
)2(
)()1(
)32(
)()1(
1
)( 21221212
sen sen2 1
2
1
4 2udu u u C csc csc cot ln csc cot3 1
212u du u u u u C
cos sen2 12
14 2u du u u C sen sen cos senn
nn nu du u u
n
n u du
1 1 21
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 22
C uuduu tantan 2 cos cos sen cosnn
n nu du u un
n u du
1 1 21
C uuduu cotcot2
duuun
duu nnn 21 tantan1
1tan
sen sen cos3 13
22u du u u C cot cot cotn n nu dun
u u du
1
11 2
cos cos sen3 1
3
22u du u u C sec sec sec
n n n
u du n tanu u
n
n u du
1
1
2
12 2
C uuduu coslntantan 2
213
csc cot csc cscn n nu dun
u un
n u du
1
1
2
12 2
cot cot ln sen3 1
22
u du u u C
sen sen
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a b C
2 2
sec sec ln sec3 1
212u du u tanu u tanu C
cos cos
sen senau bu du
a b u
a b
a b u
a b C
2 2
sen cos
cos cosau bu du
a b u
a b
a b u
a b C
2 2 u u du u u n u u dun n ncos sen sen 1
u u du u u u C sen sen cos
sen cosn mu u du
sen cos
sen cosn m
n mu u
n m
n
n m u u du
1 121
sen cos
sen cos
n m
n mu u
n m
m
n m u u du
1 1
21
u u du u u u C cos cos sen u u du
uu
u uC cos cos
1
2
1
22 1
4
1
4
u u du u u n u u dun n nsen cos cos 1
C
uu
uduuu
2tan
2
1tan 1
21
sen sen 1 1 21u du u u u C u u du
n u u
u du
unn n
n
sen sen ,
1 1 1
1
2
1
1 11
cos cos 1 1 21u du u u u C u u du
n u u
u du
unn n
n
cos cos ,
1 1 1
1
2
1
1 11
C uuuduu 2
2111 1lntantan
1,
1tan
1
1tan
2
1111 n
u
duuuu
nduuu
nnn
u u duu
uu u
C sen sen
1
2
1
22 1
4
1
4
ue dua
au e C au au 112 ln lnu du u u u C
u e dua
u en
a u e dun au n au n au 1
1
u u duu
nn u C n
n
ln ln
1
21
1 1
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a b a bu b bu C au
au
sen sen cos
2 2 1
u u du u C
ln lnln
e bu due
a b a bu b bu C au
au
cos cos sen
2 2
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 23
senh coshu du u C C uduu21tanlnsech
cosh senhu du u C C uduu tanhsech 2
C uduu coshlntanh C uduu cothcsch2
coth ln senhu du u C C uduuu sechtanhsech
C utanduu senhsech 1 C uduuu cschcothcsch
22
22
2 2
2
1au u duu a
au ua a u
a C
cos
du
a u u
a u
a C
2 2
1
cos
u au u duu au a
au ua a u
aC 2
2 3
62
22
2
2
3
1
cos
u du
au ua u u a
a u
a C
22
2
2 1
cos
22
2
2
2 1a u u
u du a u u a
a u
a C
cos
du
u a u u
a u u
a u C
2
2
2
2
2 2 22
2
2
1a u u
u du
a u u
u
a u
a C
cos
C
a
uaauau
au
uau
duu 12
2
2
2
cos2
32
2
3
2
Integrales Impropias
Intervalos no acotados
a) Si
es continua sobre
, entonces
∫
∫
b) Si es continua sobre , entonces
∫
∫
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 24
c) Si es continua sobre , entonces
∫
∫
∫
En a) y b), cuando los límites existen, las integrales convergen. Si el límite no existe, lasintegrales divergen. En c), la integral de la izquierda converge suponiendo que ambas del
lado derecho convergen; Si cualquiera de las de la derecha diverge, entonces la integral dela izquierda diverge.
Discontinuidades infinitas
a) Si es continua sobre y | | cuando , entonces:
∫
∫
b) Si
es continua sobre
y
| | , entonces:
∫
∫
c) Si | | cuando para alguna en y es continua en todos los demásnúmeros , entonces:
∫
∫
∫
En a) y b), cuando los límites existen, las integrales convergen. Si el límite no existe, las
integrales divergen. En c), la integral de la izquierda converge siempre que ambas del ladoderecho convergan; Si cualquiera de las de la derecha diverge, entonces la integral de laizquierda diverge.
Vectores
A B A B cos 0
donde es el ángulo formado por A y B
A B A B A B A B1 1 2 2 3 3
donde A i j k A A A1 2 3 , B i j k
B B B1 2 3
Son resultados fundamentales:
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 25
Producto cruz: AxB
i j k
A A A
B B B
1 2 3
1 2 3
k ji ˆˆˆ122131132332 B A B A B A B A B A B A
Magnitud del Producto Cruz AxB A B sen
El operador nabla se define así:
z y x
k ji
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A( x,y,z ) tienen derivadas parciales.
Gradiente de U = grad U
k jik ji
z
U
y
U
x
U U
z y x
U
Divergencia de A = div A
k jik jiA 321 A A A z y x
A
x
A
y
A
z
1 2 3
Rotacional de A = rot A
k jixk jixA 321 A A A z y x
321
k ji
A A A
z y x
A
y
A
z
A
z
A
x
A
x
A
y3 2 1 3 2 1i j k
Laplaciano de U = 2
2
2
2
2
22
z
U
y
U
x
U U U
Integrales Múltiples
F x y dydx
y f x
f x
x a
b ,( )
1
2
F x y dy dx
y f x
f x
x a
b
,( )
1
2
donde y f x 1 e y f x 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:
F x y dxdy x g y
g y
y c
d
,( )
1
2
F x y dx dy
x g y
g y
y c
d
,( )
1
2
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 26
donde x g y 1( ) , x g y 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c yd son las ordenadas de H y G.
Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar paraconsiderar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.
s s t r t dt a
t ( ) ( )
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a t , .
En parámetro arbitrario: En parámetro s:
Vector tangente unitario
t t r t
r t ( )
( )
( )
t s r s( ) ( )
Vector normal principal )()()( t t t bt n
x
n sr s
r s( )
( )
( )
Vector binormal)()()(
t r r t r r t b
xx
b s r s r sr s
( )
( )
( )( )
x
Los vectores unitarios t n b, , forman un triedo positivo
b t n n b t t n b x x x, ,
Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica
r r t r t 0 0
x x
x
y y
y
z z
x
0
0
0
0
0
0
Plano osculador t n, en t 0 Ecuación vectorial Ecuación paramétrica
r r t r t xr t 0 0 0 0
x x y y z z
x y z
x y z
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
Curvatura y Torsión
t r t r t
r t
t r t r t r t
r t r t
x x
x3 2
s r s
Plano Normal
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t r t 0 0 0 x x x y y y z z z 0 0 0 0 0 0 0
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Plano Rectificante t b, en t 0
Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica:
r r t n t 0 0 0
x x y y z z
x y z
y z y z z x z x x y x y
- - -0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración
aT a T a
.
a N a N
x a
.
Propiedades de la Divergencia
i) div (
F +
G ) = div (
F ) +div (
G )
ii) div (
F ) = div(
F ) + ( grad )
F
iii) div (
F +
G ) = G rot (
F ) -
F rot (
G )
Fórmulas misceláneas
Ecuaciones paramétricas de la cicloide para Rt
t t a x sen t a y cos1
Trabajo W b
ar d F
b
baaComp
b
Longitud de arco de y f x en a b y dxa
b
, ( ) 1 2
R
dA y xm , R
x dA y x y M , R
y dA y x x M ,
Centro de gravedad de una región plana
b
a
b
a
dx x f
dx x xf x
)(
)(,
b
a
b
a
dx x f
dx x f
y)(
)(2
1 2
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Longitud de arco en forma paramétrica
dt
dt
dy
dt
dx L
22
Momento de inercia de R respecto al origen R
o dA y x y x I ,22
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x
xd x f x F S b
a
2)(1)(2
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y
b
at d t F t V )(2
Cálculo del volumen b
adx x AV )(
b
a
dx x f V 2
Ecuación diferencial de primer orden y P x y Q x( ) ( )
Solución ye Q x e dx k P x dx P x dx( ) ( )
( )
Ecuación del resorte helicoidal r t t t t
( ) cos , sen ,2
Derivada direccional D f x y z f x y z u
, , , , u (
u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Lq RqC
q E t 1
Fuerza ejercida por un fluído dy y L y F b
a)(
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F A x g A x g
2 20
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 29
NÚMEROS COMPLEJOS
Potencias de la Unidad Imaginaria:
RESULTADO POTENCIAS
Operaciones básicas forma Binomia
̅ ̅ ̅ ̅
∑
Donde el coeficiente de cada término del desarrollo es
FORMAS DE EXPRESARUN NÚMERO COMPLEJO
FORMA CARTESIANA
FORMA BINOMIA
FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
FORMA EXPONENCIAL O DE EULER
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 30
Operaciones fundamentales en forma Polar
√ y
(en grados y radianes)
√ * + (en grados)
√ *
+ (en radianes)
Donde
⁄ ( √ ) [
]
( √ ) [ ] Operaciones fundamentales en forma exponencial (o de Eüler)
() ()
√ √ ( )
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 31
TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
)(t f L )()( s F t f
1
s
1
t 2
1
s
nt 1
!n s
n, n es entero positivo
2
1t
s
2
1
t 2
3
2 s
t 1 )1( s
, 1
kt sen 22 k s
k
kt cos 22 k s
s
kt sen2 )4(
222
2
k s s
k
kt 2cos )4(
222
22
k s s
k s
at e a s
1
kt senh 22 k s
k
kt cosh 22 k s
s
kt senh2
)4(
222
2
k s s
k
kt 2
cosh )4(
222
22
k s s
k s
at te 2)(
1
a s
at net 1)(
! n
a s
n , n es entero positivo
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 32
kt seneat 22)( k a s
k
kt eat
cos 22)( k a s
a s
kt senheat 22)( k a s
k
kt eat cosh 22)( k a s
a s
kt sent 222 )(
2
k s
ks
kt t cos 222
22
)( k s
k s
kt kt kt sen cos 222
2
)(
2
k s
ks
kt kt kt sen cos 222
3
)(2
k sk
kt senht 222 )(
2
k s
ks
kt t cosh 222
22
)( k s
k s
ba
ee bt at
))((
1
b sa s
ba
beae bt at
))(( b sa s
s
kt cos1 )( 22
2
k s s
k
kt senkt )( 222
3
k s s
k
)( 22 baab
at senbbt sena
))((
12222 b sa s
22
coscos
ba
at bt
))(( 2222
b sa s
s
kt senhkt sen 44
2
4
2
k s
sk
kt kt sen cosh 44
22
4
)2(
k s
k sk
kt senhkt cos 44
22
4
)2(
k s
k sk
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 33
kt kt coshcos 44
3
4k s
s
)(0 kt J 22
1
k s
t
ee at bt
b s
a s
ln
t
kt )cos1(2
2
22
ln s
k s
t
kt )cosh1(2
2
22
ln s
k s
t
at sen
s
aarctan
t
bt at sen cos
s
ba
s
ba
arctan
2
1arctan
2
1
t aet
421
s
e sa
t aet
a 4
3
2
2
sae
t
aerfc
2
s
e sa
t
aerfcae
t t a
22 42
s s
e sa
t
at berfcee t bab
2
2
)( b s s
e sa
t
aerfc
t
at berfcee t bab
22
2
)( b s s
be sa
)(t 1
)( 0t t 0 st e
)(t f eat )( a s F
)( at f U )( at )( s F e as
U )( at
s
e as
)()( t f n )0(....)0()( )1(1 nnn f f s s F s
)(t f t n )()1( s F ds
d n
nn
t
d t g f 0
)()( )()( sG s F
8/19/2019 Formulario Matemáticas Superiores v2015
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Ing. Enrique Alejandro Silva Acosta 34
TRANSFORMADAS DE DERIVADAS
L )(0 s f f s f L 00023 f f s f s f s f LLL
002 f f s f s f LL 0.....00 121 nnnnn f f s f s f s f LL
TRANSFORMADA DE INTEGRAL
s st f
sd f
t
,01
0
LL
SERIES DE POTENCIAS
∑
|| ∑
||
∑
∑
||
∑
|| ∑
∑
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