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CONDOTTE IN PRESSIONE
Lidraulica, quella scienza che si occupa dello studio dei fluidi in genere ma in particolare di
quella classe denominata col nome di LIQUIDO, ovvero dei fluidi incomprimibili. Lo studio si
occupa sia di capire cosa avviene ad un liquido che si trova sia in condizioni di staticit che in
moto, moto che pu avvenire come corrente in pressione o come flusso che scorre a pelo libero.
Lo studio delle condizioni statiche o di moto di un fluido viene fatto mediante la risoluzione di due
importanti equazioni:
Lequazione dellequilibrio mobile di Navier-Stokes
Lequazione di continuit
PARTE I
Allequazione di Navier-Stokes si arriva effettuando un bilancio delle forze agenti
Sul volumetto dv di lati: dx1, dx2, dx3.
Le forze agenti sono:
- di massa- dinerzia
- di superficieForza di massa: dalla F = m a si ottiene
fdxdxdxFm *321 dove f nel campo gravitazionale pari allaccelerazione gravitazionale g
Forze dinerzia che tengono conto delle accelerazioni del fluido
In direzione non verticale ovvero:
dt
dudxdxdxFi *321
Formule salienti di Idraulica
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Forze di superficie che tengono conto del fatto che il volumetto a contatto con
la massa fluida totale sottoposto a scambi con lo stesso ovvero:
Sulla superficie del volumetto di normale x1:
1*32 dxdxFs ovviamente sulla superficie di eguale normale ( lopposta ) lo sforzo sar differente:
11
11'1 dx
x
e questo vale per tutte le superfici del volumetto.
La risultante Rs sar:
3213
3
2
2
1
1dxdxdx
xxxRs
Considerando lequilibrio del volumetto stesso, dalla: Fm + Fi + Rs = 0
Otteniamo:
03213
3
2
2
1
1*321*321
dxdxdxxxxdt
dudxdxdxfdxdxdx
e quindi:
03
3
2
2
1
1**
xxxdt
duf
considerando il tensori degli sforzi:
333231
232221
131211
T
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e poich
333231
232221
131211
)
321
()
3
3
2
2
1
1(
xxxxxx
pfpadiv T = pfpa - Tfacendo opportune sostituzioni si arriva allequazione di Navier-Stokes:
02 fu
p
dt
du
considerando che laccelerazione dipende dal tempo ma anche dalle coordinate
ovvero possiamo considerarla come somma di una accelerazione locale ed una convettiva ovvero:
dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du 3
3
2
2
1
1
e sostituendo ad f laccelerazione gravitazionale come:
321 x
zg
x
zg
x
zgg
e quindi considerando un fluido newtoniano pesante:
CASI PARTICOLARI
LIQUIDO FERMO ( u = 0 )
lacqua contenuta da un recipiente, caso di idrostatica
ugdt
du
g
pzgrad
21)(
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implica che : 0)(
pzgrad
Discerne lespressione per calcolare la pressione per un punto avente un certo affondamento:
se z2 - z1 = h
PatmPh
h
z1z2
2
1
Patm
z=0
Se il fluido in moto, possiamo considerare :
linee di flusso:
linviluppo dei vettori velocit in un istante t
traiettorie:
linsieme dei punti occupati successivamente durante il moto.
2)(1)(
pzpz
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Abbiamo gi visto lequazione indefinita di Navier-Stokes
Indefinita poich vale solo puntualmente.
Bisogna integrarla ad un volume generico W contenuto in unarea A generica.
A
Si integra lequazione:
)3
3
2
2
1
1(
xxxdt
duf
otteniamo:
0)3
3
2
2
1
1(
dwxxxdwdt
dudwf
WWW
poich:
dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du 3
3
2
2
1
1
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Avremo che:
0)3
3
2
2
1
1(
3
3
2
2
1
1
dwxxx
dwdt
dx
x
u
dt
dx
x
u
dt
dx
x
udwt
uG
W
WW
Se il moto permanente le forze dinerzia locali sono nulle,se inoltre il moto rettilineo uniforme anche le forze dinerzia convettive sono nulle.
Per dare una espressione pi semplice allequazione si applica la formula di Green:
dove:
un la componente di u sulla normale n
n lo sforzo agente sullarea dA di normale n
Au
n
dA
dA
n
u
n
un
0
dAndAuudwt
uG
AA
n
W
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Quindi passiamo da una forma indefinita ( locale )
)3
3
2
2
1
1(
xxxdt
duf
ad una forma globale:
0
dAndAuudwt
uG
AA
n
W
dove:
G il peso del fluido contenuto allinterno dellarea A
dwt
u
W
= I forza dinerzia locale
AndAuu
= M flusso di quantit di moto
dAn
A
= risultante delle forze di superficie che il resto del fluido applica sullasuperficie A
Nel caso di Idrostatica:
I = 0
M = 0
n coincide con la pressione
RECIPIENTE CON DUE LIQUIDI DIFFERENTI
Vediamo adesso cosa avviene nel caso di un recipiente che contiene due fluidi differenti:
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per ogni liquido vale lespressione dellidrostatica:
In questo caso il p.c.i del liquido pi sopra noto ma non lo quello del liquido sotto
Per, possiamo per considerare il punto di contatto
appartenente sia ad uno che allaltro liquido.
Quindi dalleguaglianza:
2211 hh
2
112
hh
P.c.i 1
z=0
1h1 h2
2
P.c.i 2
2)(1)(
pz
pz
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Si pu ricavare la quota del pelo libero in ogni caso mediante un piezometro,
ovvero un tubicino a diametro non di capillarit.
Quando esso viene collegato al serbatoio, il liquido risalire il piezometro fino alla quota p.c.i. del
recipiente anche se esso un serbatoio in pressione.
SPINTA SULLE SUPERFICI DI UN RECIPIENTE
Spinta su superficie non inclinata
Prendiamo inizialmente un serbatoio di forma semplice ( parallelepipedo ):
si dimostra che, sul recipiente, il fluido esercita appunto delle spinte ovvero delle forze rivolte verso
le pareti; la spinta applicata su una superficie sar una:
dAd spinta infinitesima su una porzione di superficie
Bisogna allora integrare a tutta la superficie A
Otteniamo che ( applicata la formula di Green ):
AAA zdAndAnndA la spinta su una superficie verticale un vettore che ha:
MODULO DIREZIONE normale alla superficie VERSO dallinterno verso lesterno.
La spinta sar applicata su un punto che spostato dal baricentro dellarea di una certa eccentricitcome per la spinta che vedremo sulla superficie inclinata.
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Spinta su superficie inclinata di un angolo
poich la superficie inclinata, dobbiamo considerare che:
dA
baricentro
ZoZ
p.c.i.
r
z = r cos
quindi la spinta sar in modulo pari a:
ArdAn cos
r dA rappresenta il momento statico della superficie A rispetto alla
traccia della linea di sponda .
Zo laltezza del baricentro geometrico di A
r0 laltezza del baricentro di dA.
Quindi A ArrdA 0 Ma ( r0 cos ) = Zo
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In tutto avremo che, la spinta su superficie inclinata pari in modulo a:
AnpAzn 00
la spinta in questo caso, non applicata sul baricentro della superficie,essa sar applicata ad una distanza dalla traccia della linea di sponda pari a:
M
Iry 00 allora leccentricit della spinta sar pari a : M
Ie 0
dove:
r0 la distanza dalla traccia del baricentro geometrico
I0 il momento dinerzia baricentrico (gabellato a seconda della sezione )
M il momento statico M = r0 A
Se la superficie A parallela al p.c.i. implica che:
0r quindi avremo che la spinta applicata al baricentro della sezione poich:
000
00
0 0 rrIrMIry
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Spinta su superficie curva
Questa volta, il calcolo della spinta un p differente;
questa volta infatti, il versore normale n, variabile in direzione e quindi non possiamo
metterlo a coefficiente dellintegrale.
Allora si procede in modo differente:
Considerando il volume del recipiente delimitato dalla superficie curva ( B ) e
dalla superficie verticale che chiude quella curva ( A ).
Si applica lequazione globale:
B
G
A
C
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La spinta sar uguale ad:
0S
applicando lequazione globale si ricava che:
0101 0 GG equazione vettoriale
quindi sommando i vettori G e 1 otteniamo la spinta in :
-direzione
-verso
-modulo
S G
N.B.
il peso G sar pari al prodotto del volume e della densit
1 una spinta su superficie verticale e si ottiene dalla :
)(11 ACA
dove: 1 laffondamento dal pelo libero del baricentro dellarea A(AC).
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PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA SPINTA
La retta di azione della spinta passer per il centro della curva La spinta applicata nel punto intersezione fra la retta dazione
di 1 e la superficie curva.
B
G
A
C
Vediamo adesso come cambiano le cose se la superficie curva ha concavit apposta a quella
precedente come quella della successiva figura:
B
G
A
C
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In questo caso si ipotizza il volume allesterno della curva anchesso pieno di liquido avente lo
stesso peso specifico, successivamente si applica il bilancio delle forze applicate sul volume fittizio
come nel caso precedente, ma in questo caso avremo che:
oS e da questo discerne che:
1 GS Analogo discorso viene fatto per il punto di applicazione:
B
G
A
C
Il metodo appena visto, ha una limitazione poich il calcolo non pu essere applicato quando la
superficie curva ha una linea di contorno che non giace su di un unico piano.
II metodo del calcolo della spinta.
Questo metodo consiste nel calcolare la spinta mediante le loro componenti:
Sy e Sx
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Componente verticale Sy
Si procede isolando il volume di liquido contenuto come in figura:
Poich questo metodo pu essere applicato quando la superficie curva ha una linea di contorno che
non giace su di un unico piano in genere la superficie laterale data dalla porzione compresa fra
superficie curva e p.c.i. delle infinite generatrici appoggiate alla curva stessa.
B
AB
A
AB
G
Considereremo il
volume , racchiusodalle superfici:
Curva (in verde)
Dal p.c.i (in
celeste)
Dalla superficie
laterale formatadalle:
A,B,C e D
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ABicaliparetiverticp SySySySy .)..(
ma Syp.c.i. nulla poich Prel = 0
Sy delle pareti verticali anchessa nulla
Le AB si bilanciano
Allora lunica spinta agente sulla superficie curva il peso G
Sy = G
La componente verticale della spinta sar in direzione:
concorde con G se il volume isolato realediscorde con G se il volume isolato fittizio.
S
y
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Componente orizzontale Sx:
Si procede isolando il volume di liquido contenuto delimitato da :
un piano verticale a distanza arbitraria dalla superficie curva AB
la superficie laterale data dalla porzione compresa fra superficie curva e il piano verticale scelto
delle infinite generatrici orizzontali appoggiate alla curva stessa.
A
B
C
D
Piano verticale a distanza arbitraria
Per il bilancio sul volume avremo che:
AB = CD (In modulo )
Allora : Sx = AB = CD (In modulo )
Sy = CD
La componente orizzontale della spinta sar in direzione:
verso lesterno se il recipiente in pressione
verso linterno se esso in depressione
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BILANCIO DI MASSA ( equazione di continuit )
Attraverso un volume di controllo dw si ha un passaggio di massa totale pari a:
dtdxdxdxx
udtdxdxdx
x
uudtdxdxu 321
1
132)1
1
11(321
in tutto avremo che:
dtdxdxdxudivdtdxdxdxx
u
x
u
x
u321)(321
3
3
2
2
1
1
La variazione allinterno del volumetto dv :
dtt
dxdxdxdtt
dxdxdx
321
)321(
In tutto allora avremo che:
dtt
dxdxdxdtdxdxdxudiv
321321)(
poich un liquido ha densit costante, avremo che:
nota come equazione di continuit.
Lequazione di continuit applicata a un tubo di flusso ci da come risultato che:
La portata rimane costante lungo il percorso ovvero:
0
s
Qse il fluido perfetto avremo che:
0ds
dQ
div u = 0
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Questo implica che per pi sezioni trasversali la portata resta costante lungo s e quindi:
se la sezione diminuisce deve aumentare la velocit media.
E questo poich A
QVm
Ovvero se A1 < A2 < A3 implica che : V1 > V2 > V3.
A1 A2A3
Abbiamo visto lequazione di Navier-Stokes per fluido pesante ed incomprimibile:
ds
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ugdt
du
g
pzgrad
21)(
Fluidi perfetti ( viscosit nulla )
Se il fluido inoltre perfetto, ovvero a viscosit nulla, avremo che:
Nota come relazione di
EULERO
Spesso conviene scomporre lequazione di Navier-Stokes secondo una terna detta intrinseca
Questa terna caratterizzata da tre assi:
s asse che varia nel tempo, restando sempre tangente alla traiettoria del flusso.
n asse sempre normale allasse s diretto ovvero nella direzione centripeta dellaccelerazione
b asse bitangente, ovvero normale al piano ( s , n ).
Secondo questa terna, lequazione di Navier-Stokes, viene scomposta in tre equazioni scalari:
Asse sdt
du
g
pz
s
1)(
Asse nr
u
g
pz
n
21
)(
Asse b 0)(
pz
b
Se la corrente lineare, anche 0)(
pz
n;
dt
du
g
p
zgrad
1
)(
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La relazione di EULERO, pu essere espressa in modo differente tenuto in conto il fatto che
Laccelerazione du/dt in realt la somma di due componenti:
accelerazione locale:t
u
accelerazione convettiva:b
u
n
u
s
u
nel caso di condotta lineare avremo che:
dt
ds
s
u
t
u
dt
du
In tutto, otteniamo lequazione indefinita del moto di un fluido perfetto, incomprimibile, pesante
Che si muove lungo una traiettoria generica s.
b
n
s
)2(
1)(
2
g
u
sdt
du
g
pz
s
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penergia di potenziale di movimento
)(pz lenergia potenziale totale
g
V
2
2
rappresenta lenergia cinetica
Allora le equazioni di Bernoulli, esprime il fatto che, in una corrente lineare di fluido perfetto,
newtoniano e incomprimibile non si dissipa il cos detto carico totale.
( il fluido perfetto se ha viscosit nulla e quindi non si esplicano sforzi tangenziali )
MOTO LAMINARE E MOTO TURBOLENTO
Si suppone di immettere una goccia di colorante in un fluido in moto
Definiamo moto laminare se la goccia definisce una traiettoria lineare
che non perde la propria individualit.
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Definiamo invece, moto turbolento, il moto nel quale la goccia perde
la propria individualit colorando pi o meno uniformemente tutto il fluido.
Possiamo conoscere la caratteristica del moto mediante il valore di Raynolds :
definito il numero di Raynolds Re come :
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uDRe
dove
u la velocit media
D il diametro della condotta
la viscosit cinematica
Se: Re < 2000 il moto sar laminare
Re > 3000 il moto sar turbolento.
Fluidi reali ( a viscosit non nulla )
Abbiamo visto che lequazione di Navier-Stokes per i fluidi perfetti si riduce allequazione diBernoulli
Che esprime il fatto che il carico totale di una corrente in moto, se il fluido perfetto, non subisce
dissipazioni di alcun genere ovvero, la linea dei carichi totali una retta orizzontale.
Adesso osserviamo cosa avviene nel caso pi semplice di moto di un fluido reale e vedremo che
a causa del fatto che la viscosit adesso non pi nulla, si hanno dissipazioni di carico.
MOTO LAMINARE LINEARE DI FLUIDO REALE
In moto uniforme in una condotta a sezione circolare
Per un fluido reale lequazione di Navier-Stokes assume una forma differente:
)3
1
2
1
1
1()(
1
222
x
u
x
u
x
u
g
pz
x
Ma pi conveniente esprimerla in coordinate polari ( r, ), poich si ha simmetria rispetto allarotazione ovvero, lequazione vale per tutti i punti di una circonferenza di raggio ri .
Essa diventa:
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)1()(
1 dr
dur
dr
d
rg
pz
xi
x3
x1
x2
ri
Nel caso di fluido reale la viscosit non nulla e continua a comparire nellequazione di Navier-
Stokes
0)3
1
2
1
1
1()(
1
222
x
u
x
u
x
u
g
pz
x
ed inoltre, la linea dei carichi totali non pi orizzontale cos come la piezometrica,
e quindi subisce un abbassamento:
Il rapporto fra labbassamento del p.c.i. ed il percorso dx si chiama cadente piezometrica
e si indica con J ( iota )
1
)(
dx
pzd
J
Questo fenomeno causato dalla non idealit del fluido e quindi la cadente sarproporzionale alla viscosit dello stesso, infatti:
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)3
1
2
1
1
1(
222
x
u
x
u
x
u
gJ
Se facciamo riferimento alla terna intrinseca e consideriamo che il moto uniforme della corrente
avviene nella sola direzione x1 come si nota dalla figura,
possiamo dire che:
01
10
1
12
x
u
x
u
e quindi avremo che:
)
3
1
2
1(
22
x
u
x
u
g
J
E questo si traduce in coordinate polari con la:
dr
dur
dr
d
rgJ
11
poich:
Jg
J ed inoltre : xdr
rdu
Avremo che:
X
X
X
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dxrdrJ
Per tutta la sezione bisogna integrare questultima fra 0 ed r e fra 0 e x :
xr
dxrdrJ
00
otteniamo quindi una equazione differenziale:
drdurrJ
2
2
separando le variabili:
dudrr
rJ
2
2
la quale va integrata:
ur
D
durdrJ0
2
2
e questa ci da la relazione definitiva:
)4
(4
22rDJ
u
nota come equazione della distribuzione delle velocit per un fluido reale
in moto in condotta circolare di diametro D.
( lequazione da luogo ad un paraboloide )
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Sostituendo i valori di r si nota che a causa della viscosit, il fluido che lambisce le pareti della
condotta ha velocit nulla; di contro la velocit massima si raggiunge al centro .
Infatti per r = 0 otteniamo :
16
2
max
JDV
La velocit media sar pari a :
322
1
4
22
max2
2
0 JDVD
dr
A
udA
A
QVm
D
A
Vm
Vmax
dallespressione della Vm si ricava che:
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2
32
D
VmJ
effettuando opportune sostituzioni si ottiene che:
gD
Vm
gD
Vm
gJ
2Re
64
2
3222
per comodit si usa indicare con il rapporto :
Re64
Si ottiene che la cadente sar pari a :
g
Vm
DJ
2
2
nota come relazione di Darcy-Weisbach.
Sforzo in condotta a sezione circolare
Per un fluido reale pesante in moto in una condotta a sezione circolare, sussiste simmetria a parit
di raggio ed inoltre gli sforzi tangenziali sono uguali fra loro, ovvero:
2112 )2
1(
x
u
quindi ha senso parlare di un unico sforzo :
dr
du
in funzione del raggio avremo che:
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Jr
2
detto questo avremo che, lo sforzo alle pareti massimo mentre al centro del flusso, esso nulloed per questo che si realizza la massima velocit al centro e velocit nulla alla parete.
Vmax
Vm
max
=0
RICAPITOLANDO
Da notare che:
JD4
max
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Per una corrente in pressione di fluido reale che scorre in una condotta a sezione
circolare di moto uniforme si ha che :
lequazione della distribuzione delle velocit :
La linea dei carichi totali e la piezometrica non sono orizzontali
si ha infatti una cadente data dalla:
Ricordando che Re il numero di Raynolds dato dalla:
VmD
Re
posto
Re
64
si ottiene lespressione di Darcy-Weisbach
Si dimostrato che la relazione di Darcy-Weisbach, pu essere applicata
a moti laminari uniformi differenti da quelli in condotta a sezione circolare, quali:
)4
(4
22rDJ
u
g
Vm
DJ
2
1
Re
64 2
g
Vm
DJ
2
2
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b) moto laminare fra due lastre parallele ed infinite
c) moto laminare che avviene a superficie liberaapportando la modifica del numeratore dellindice
infatti parleremo di :
ReRe
64 n
nel caso di condotta a sezione circolare avevamo che:
D il diametro ed n = 64
nel caso b)
D =
diametro
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D la distanza fra le lastre ed n = 24
Nel caso c)
D laltezza della corrente ed n = 3
MOTO TURBOLENTO UNIFORME DI FLUIDO REALE
D ladistanza
fra le
lastre
D
laltezza
della
corrente
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Nel caso in cui il moto sia turbolento, se supponiamo di fare delle fotografie
del sistema in istanti generici t, si nota che in ogni istante, sia la velocit che la pressione
hanno delle disposizioni sempre differenti ed impossibile fornire una espressione
matematica che lega le variazioni di velocit e pressione per i vari istanti;
questo vuol dire che, sia la velocit che la pressione, sono delle variabili casuali.
Allora si deve adottare un procedimento di tipo statistico.
Si ipotizza che il vettore velocit sia dato dalla somma di due vettori:
'uuu ovvero come somma di un vettore velocit medio e del vettore u che lo scostamento
istantaneo dal valore medio.
In vari istanti, per un punto p, il vettore velocit assume differenti valori in modulo verso e
direzione,ed per questo che possiamo esprimere il vettore u come somma vettoriale di un
vettore che rappresenta la media di tutti i vettori velocit e del vettore che rappresenta appunto lo
scostamento di u dal valore medio.
Il vettore medio delle velocit, sar dato da:
2
2
1
t
t
udtT
u
Il discorso della media e dello scostamento pu essere meglio compreso se facciamo riferimento
alla pressione anzich al vettore velocit: Sperimentalmente si osserva che il vettore velocit, da
luogo a variazioni, istante per istante, del tutto casuali, per questo motivo, un grafico sul piano (
tempo, pressione ) risulta discontinuo e casuale.
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Dt1
dt1 dt2
Dt2
Pressione
tempo
Se prendiamo due intervallini temporali, piccoli ( dt1 e dt2 ) i due valori medi della pressione sono
molto differenti;
se invece, consideriamo due intervalli pi grandi ( Dt1 e Dt2 ) i due valori medi saranno
sensibilmente pi simili.
Tornando al discorso del vettore velocit possiamo capire che la risoluzione del problema consistenel fare una media appropriata; il problema fu risolto da Raynolds che sostitu nellequazione di
Navier-Stokes, i valori di velocit e pressione come somma dei valori medi e degli scostamenti e
successivamente effettuando una media generale.
Le equazioni che vennero tratte da Raynolds sono conosciute come: RANS (Raynolds Avarage
Navier-Stokes )
ovvero equazioni di Navier-Stokes mediate alla Raynolds.
Si considerano infatti i valori: )'( ii uu ed )'( ii pp
Successivamente si considerano le medie temporali ovvero: t
uu ii
)'(( media generale )
Avremo che:t
u
t
u
t
uuiiii
')'(dove il secondo termine nullo.
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Si ottiene allora che 11 uu
Sostituendo nellequazione otteniamo:
0)3
1
2
1
1
1(
1
1)3
3
12
2
11
1
1(
12
2
2
2
2
2
f
x
u
x
u
x
u
x
p
gu
x
uu
x
uu
x
u
t
u
ricordando che la media della somma di due valori medi pari alla somma dei valori medi stessi
e che la media di un termine fluttuante ( scostamento ) nulla si ricava una nuova espressione
dellequazione di Navier-Stokes:
Ovvero dallequazione generale dellequilibrio dinamico di Navier-Stokes che scritta in formacontratta era:
013
1
3
12
2
i
j j j
i
i
j
j
ii fx
u
x
pu
x
u
t
u
con i che va da 1 a 3
Si passa alla stessa equazione mediata alla Raynolds:
01''3
1
3
12
2
i
j j j
i
ij
ji
j
jii fx
u
x
p
x
uu
x
uu
t
u
dove il termine
j
ji
j
ji
x
uu
x
uu ''
un termine convettivo.
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Per il moto turbolento di un fluido reale allora bisogna risolvere un sistema di 4 equazioni scalari
dato dalle tre proiezioni scalari dellequazione di Navier-Stokes mediata alla Raynolds e da quella
di continuit.
01''3
1
3
12
2
i
j j j
i
ij
ji
j
jii fx
uxp
xuu
xuu
tu
tre equazioni in x1, x2 e x3
0
i
j
x
u
equazione di continuit.
PARTE II
Nell equazione mediata alla Raynolds compare il termine: '' ji uu Questo termine rappresenta la correlazione fra le componenti fluttuanti della velocit.
Esso assume significato fisico se moltiplicato per la densit del fluido:
'' ji uu infatti rappresenta linsieme degli sforzi turbolenti o sforzi di Raynolds.
Ci vuol dire che in tutto si avranno degli sforzi viscosi ma anche degli sforzi aggiuntivi che danno
luogo alle turbolenze del moto; possiamo considerare questi nuovi sforzi nel tensore:
Ttot = T - Tr
333231
232221
131211
T
2
2
2
3'2'3'1'3'
3'2'2'1'2'
3'1'2'1'1'
uuuuu
uuuuu
uuuuu
Tr
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Quindi lequazione di Navier-Stokes diventa:
)()( rTTdivugradut
uf
poich in forma estesa lequazione assume una forma troppo complicata e quindi il sistema delle
sue tre proiezioni insieme allequazione di continuit diventa molto complesso da risolvere, si
procede utilizzando dei modelli di turbolenza che legano gli sforzi di Raynolds con i valori medi
della velocit e della pressione.
MODELLI DI TURBOLENZA
Bisogna precisare che in presenza di regime turbolento:
non si pu parlare fisicamente di moto uniforme; esso una pura astrazione, ovvero si intende permoto turbolento uniforme, il moto calcolato mediante i valori medi ma fisicamente esso non pu
esistere.
Il concetto di traiettorie rettilinee si riferisce soltanto alla traiettoria media delle velocit
Poich il moto uniforme turbolento appena descritto, un moto di media la curva delle
distribuzioni delle velocit sar sensibilmente piatto come si pu notare dalla figura:
Vmax
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CONSIDERIAMO IL MOTO TURBOLENTO IN CONDOTTA CIRCOLARE
Se facciamo riferimento alla condotta cilindrica, si nota che:
032
032
2
2
2
2
ii
implica
ii x
u
x
u
x
u
x
u
Con i che va da 1 a 2
Lequazione di Raynolds allora si riduce ad una sola equazione scalare in X1 ( direzione del moto ):
3
31
2
21
2
2
2
2
2
22
''
3
1
2
1
1
111)
2
1(
1 x
uu
x
uu
x
u
x
u
x
u
gt
u
gg
upz
x
nella quale :
Jpp
zx
)(
1 ovvero la cadente piezometrica
Jtg
upzx
)21(
1
2
ovvero la cadente della linea dei carichi totali
Questa espressione va integrata allarea A contenente un volume W, applicando il lemma di
Green considerando il perimetro bagnato p, considerando inoltre nellintegrazione della u
media di un coefficiente di ragguaglio per utilizzare la velocit media Vm; facendo opportunipassaggi si ottiene unespressione definitiva:
dpuunu
AtVm
ggVmpz
xp
'2'1111)2(1
2
dove:
n
u
1
lo sforzo viscoso
2'1' uu lo sforzo turbolento.
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Indichiamo con il valore mediato dello sforzo tangenziale in un punto della superficiedel cilindretto di raggio r esso sar pari a:
2'1'10 uunu
Come gi detto, in una condotta cilindrica, sussiste simmetria assiale e quindi lo sforzo tangenziale
risulta essere distribuito uniformemente allinterno della condotta ed in particolare avremo che :
p
mdp
p0,0
1
mediante questo passaggio, possiamo scrivere lequazione di Raynolds come:
A
p
g
Vmpz
x
0
2
)2
(1
Allora nel caso in cui il moto sia uniforme avremo che:
A
pJJtJp
0
e quindi la cadente piezometrica coincide con quella della linea dei carichi totali.
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CASI PRATICI
Supponiamo di avere due recipienti, e di conoscere il dislivello fra loro e le caratteristiche della
condotta che supponiamo fatta da un unico tubo; a questo punto si presentano due casi differenti:
- il moto che si sviluppa, laminare- il moto che si sviluppa, turbolento.
L
MOTO LAMINARE
Poich il rapporto fra il dislivello e la lunghezza della condotta ci da la cadente J e quindi dalla
relazione di Darcy-Weisbach possibile ricavare la velocit media :
g
Vm
DJ
L 2
2
nella quale lunica incognita la velocit media.
Dalla velocit Vm possibile ricavare la portata Q poich:
Q = Vm A;
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MOTO TURBOLENTO
Se il moto turbolento, dobbiamo conoscere : , D e Vm ed inoltre la scabrezza della condotta.
Infatti in una condotta la determinazione degli sforzi dipende dalla scabrezza della condotta, poich
si possono sviluppare sforzi viscosi e turbolenti e la loro distribuzione varia; bisogna tenere semprein considerazione il fatto che in ogni caso si ha la presenza di un substrato limite viscoso pi o
meno esteso.
Possiamo suddividere il fluido in moto in vari filetti, da quello pi vicino alla parete, a quello pi
interno che quello pi veloce come si nota dalla figura:
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La turbolenza, come si nota dalla figura successiva, si esplica ad una certa distanza dal bordo
poich sussiste il substrato limite viscoso:
possiamo notare che avremo delle componenti del moto parallele al moto stesso ( in nero ) e delle
componenti di turbolenza ( in giallo ) ma sempre presenta il substrato limite viscoso ( in blu ) cheviene disturbato dalle turbolenze in modo praticamente nullo.
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Dalla figura successiva si nota come vengano distribuiti i due sforzi in base al tipo di moto:
Moto turbolento
Moto laminare
Moto puramente turbolento
sforzo viscoso
sforzo turbolento
Lo sforzo allora sar per il moto turbolento pari a :
2'1'1
0 uun
u
Per il moto laminare invece:
n
u
10
Lo sforzo in ogni caso si pu esprimere indipendentemente dal tipo di regime mediante la:
Jr
2
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IN DEFINITIVA:
Per moto laminare abbiamo utilizzato la relazione di Darcy-Weisbach per risolvere il problema, per
il moto turbolento, possiamo fare riferimento alla stessa equazione ma con qualche modifica:
Infatti in questo caso lindice non dipende dal solo numero di Raynolds:
)(Re,D
dove il rapporto /D la scabrezza relativa.Allora adesso bisogna trovare una relazione che lega le tre grandezze : , /D e ReSostituendo lespressione generale dello sforzo nella relazione di Darcy si ottiene unequazioneimportante:
2
08
1Vm
dalla quale si ricava la seguente:Vm
8
0
se indichiamo con: *0 u
Otteniamo la relazione di partenza per trovare il legame fra le tre grandezze:
A
dAu
u
A *
1
8
11
Da questa si ricavano le cos dette leggi di resistenza
LEGGI DI RESISTENZA
Per trovare la legge di resistenza bisogna fare una distinzione fondamentale, infatti le varierelazioni vennero ricavate differentemente per:
- tubi lisci- tubi artificialmente scabri- tubi commerciali
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Che integrata da luogo alla distribuzione della velocit media per tubo liscio:
tyk
uyu cosln
*)(
Ma in realt da studi successivi, si capito che bisogna tenere conto del substrato limiteviscoso; la relazione esatta della distribuzione della velocit media venne ricavata da Prandtl e
Nikuradse valida per la regione di liquido sufficientemente lontana dal substrato limiteviscoso tale da esserne vicina per mantenere valida lipotesi della costanza dello sforzo
turbolento :
5,5*ln5,2)(* yy
yu
u
nella quale y* detta lunghezza caratteristica data dalla:
**
uy
Per il substrato limite viscoso vale invece lespressione:
)(4
)( yDyyJ
yu
ma poich y
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Lo spessore del substrato limite viscoso pari a :
Re
6,11
0
D
questa espressione ci fa capire come lo spessore del substrato limite viscoso diminuisce al crescere
di Re
D/2
Linea
re
Log
a
ritmico
Facendo le opportune sostituzioni nella:
A
dAu
u
A *
1
8
11
si ottiene la legge di resistenza per i tubi lisci:
Re
51,2log2
1
si trascura il substrato limite viscoso poich le turbolenze possono essere attribuite al solo nocciolo
di turbolenza
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TUBI ARTIFICIALMENTE SCABRI
Per tubo artificialmente scabro, si intende un tubo liscio al quale si fa aderire uniformemente della
sabbia monogranulare alla parete, questo esperimento venne fatto da Nikuradse per ricavare lindice
di scabrezza d legato al diametro d dei granuli. Poich ogni granulo interferisce con la solamet del proprio diametro si considera d/2.
Nikuradse fece vari esperimenti con tubi diversi e sabbie a granulometria diverse ed ottenne i vari
valori della scabrezza relativa d/D.
Egli not che se :
Re < Rec il regime laminare e si ottiene una legge di resistenza data dalla:
Relog64loglog
Re Rec ma per valori di Re < Re i tubi si comportano come se fossero lisci e quindi:
Re
51,2log2
1
Re > Re la curva si stacca da quella dei tubi lisci raggiungendo un minimo e tendendo infine
ad Re asintoticamente.
Re > Re lindice di scabrezza perde ogni dipendenza dal numero di Raynolds e si parla diun
Allora per:
Rec< Re < Re la corrente in regime di tubo liscio
Re < Re < Re la corrente in regime di transizione
Re > Re la corrente in regime puramente turbolento
Tutto ci venne tradotto da formule:
per5
*
duil tubo si comporta come tubo liscio
per70
*
dula corrente in regime di transizione
per70
*
dusi ha il moto puramente turbolento
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Nikuradse ricav che la legge di resistenza per il moto puramente turbolento la seguente:
75,42
*
ln
18
d
Du
k
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TUBI COMMERCIALI
Nel tubo commerciale, ovvero i normali tubi che si trovano in vendita nei quali le asperit non sono
uniformi nella parete ma esse variano per forma, granulometria e direzione; Nikuradse not che a
causa di queste differenze sostanziali, era impossibile applicare le formule ricavate per i tubi
artificialmente scabri; tuttavia egli not che se il moto puramente turbolento anche in questo caso
lindice anche stavolta indipendente dal numero di Raynolds.
Per questo volta la scabrezza relativa una scabrezza di media ovvero: quella uniforme ed
omogenea che influenza il moto della corrente allo stesso modo della scabrezza reale del tubo.
Per i tubi commerciali, otteniamo che:
D
71,3
1log2
1
In queste espressioni abbiamo che per Altschoul
D
23
Re' D
560
'Re'
per Moody invece :
D
14Re'
D
200'Re'
Furono Colebrook e White ha dare una formula generale valida per i tubi commerciali
valida se Re > ReC :
D
71,3
1
Re
51,2log2
1
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RICAPITOLANDO
DISTRUBUZIONI DI VELOCITA E LEGGI DI RESISTENZA
TUBI LISCI ( velocit )
Fuori dal substrato limite viscoso:5,5
*ln5,2
*
(
y
y
u
u
Nel substrato limite: )(4)( yDyJ
yu
TUBI LISCI ( legge di resistenza )
Si trascura il substrato limite: Re
51,2log2
1
TUBI ARTIFICIALMENTE SCABRI ( legge di resistenza )
REGIME DI TUBO LISCIO
Per velocit basse >> scabrezze Re
51,2log2
1
REGIME DI TUBO SCABRO
Per velocit alte scabrezze
D71,3Re
51,2log2
1
nota come Colebrook-White
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REGIME PURAMENTE TURBOLENTO
Per velocit molto alte < scabrezze D71,3log2
1
Per il regime puramente turbolento sussistono delle formule empiriche del tipo:
Darcy:
5
2
D
QJ
D000042.000164.0
Chezy : ( Ro = raggio idraulico )
Ro
VmJ
2
2
per BAZIN :
21
87
opp:
g8
opp:
6
1
4
Dc
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TUBI COMMERCIALI ( legge di resistenza )
NOTA COME COLEBROOK-WHITE
D71,3Re
51,2log21
Essa pu essere scritta come:
Dk
JD
kJDkQ
'''
''log'
3
5
con : k=-0.575; k = 0.4; k=0.269;
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