Fisika Komputasi
DR. ENG. I MADE JONI, M.SC.
D E PA RT MEN F I S I KA
U N I V E R S I TA S PA D J A D JA R A N
F E B R UA R I 2 0 1 5
Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad
PDE
Outline
Review Perkuliahan Sebelumnya
Error dan Stabilitas dalam Fisika Komputasi
Runge-Kutta dan Metode Integrasi adaptifuntuk Persamaan Diferensial
Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad
Substitusikan persamaan beda hingga ke PDB-orde 1
Metode Numerik Untuk Persamaan Diferensial
Solusi ini hanya pendekatan semata
Deret Taylortruncation error
Error akibat pemotongan suku-suku derajatyang lebih tinggi
Sehingga errornya adalah
Oleh karena itu, Error setiap langkahnya samadengan (x)2
. Dalam satu satuan interval akan dilakukan jumlah langkah N= 1/x langkah. Jadierrorsitematiknya berbanding lurus dengan
Review Perkuliahan Sebelumnya
Contoh I: Peluruhan 235U rata-rata lifetime-nya 105 tahun
=
adalah konstanta peluruhan
Solusi analitiknya: = (0)
Per. Diferensial
Per. Diferensial dipecahkan secara numerik
= 0 +
+
1
2
2
2 + .
Jika t sangat kecil tetapi () Sehingga solusinya:
0 +
t
= 0 +
+
+ = +
+ =
Jika perubahan t=t maka t1= t, t2= 2 t, t3=3 t dstAtau t= n t dengan n adalah integer
Metode Euler
Pertemuan #2 Fisika Komputasi/ Prodi Fisika Unpad
Pembuktian dengan deret Taylor
Dengan menggunakan limit t0, kita dapatkan
Kita mengambil t sangat kecil, tetapi tidak nol. Sehingga kita mendapatkanpenedkatan solusi :
Yang sama dengan menyatakan
=
Substistusikan
Metode Euler
Contoh II: Hambatan UdaraPerhatian seorang pembalap sepeda yang sedang bergerak, tujuannya adalah menentukankecepatan . HK. Newton II memberikan rumusan
Gaya yang diberikan oleh pembalap adalah F, dengan mengalikan pers di atasdengan v, maka dipeoleh dayanya adalah
E adl. Energi kinetic dan P adl. Daya
Daya yang dikeluarkan atlit yang diperoleh secara ekperimen adalah 400 watt dalamwaktu satu jam.
Bentuk lain dr Pers. Di atas
Untuk P konstan solusinya adal.:
CTT PENTING: pers ini keliru dari arti fisisnya bahwa v jika t . Hal ini disebabkan ketidak hadiran efek gesekan udara pada pers tsb.
Gaya akibat gesekan udara adalah (disebut drag force)
Arti fisis: Pada kecepatan renda suku pertama dominan, sedangkan pada kec. Tinggi suku kedua dominan
= 1
HK Stokes
Menghitung koeffisien B2 ketika kec tinggi
dt: waktu: Kerapatan udaraA :Cross section
Energi kinetiknya menjadi
Kerja oleh gaya gesek:
Jadi
Koefisiesn drag C=1/2, sehingga gaya gesek udara menjadi
Dengan mepertimbangkan gaya akibat gesekan udara, hukum newton menjadi
Dapat ditulsikan dengan makna yang sama
Pers. Dipecahkandg Euler
Diskritisasi secara lengkap dapat dituliskan
Jika program tidak dapat memulia dari nol, maka dimanipulasi menjadi:
Dengan
Nilai awal kecepatan v(1) pada waktu t(1) = 0 diketahui.
Langkah selanjutnya: CODING Plot Grafik analisis hasil dan error
Contoh III: Gerak ayunan pendulum Pers. Gerak Glb
Pers. Beda Hingga
Pendekatan t sangat kecil mendekati nol, tetapi tidak nol
Diskritisasi waktu
Makna kontunu dan diskrit
Jika N adalah jumlahlangkah dalam komputasi, makan total waktunya adl T=Nt. Sehingga solusi numeric dpt dituliskan :
Dengan menggeser i, dengan rentang [1,N+ 1],kita juga dapat menuliskan
Kita mengenalkan dan
Akhirnya diperoleh Dengan i = 1,...,N + 1
Dengan menggunakan nilai-nilai dan pada waktu ke I, kita dapat menhitung nilai-nilai yang pada yang bersesuaian pada i+ 1. Nilai awal sudut angulernya dan kec. Angguler adl. (1) = (0) dan (1) = (0) diketahui.
Proses ini diulang hinggi keseluruhan fungsi dan ditentukan pada seluruh waktu
Tugas
1. Latihan membuat coding program dari contoh I-III dan analisa dari hasil
plot yang diperoleh dan bandingkan dengan solusi analitis
2. apa perbedaanya dengan metode/algoritma Euler dengan algoritma
Euler-Cromer dan Verlet ?
3. Buat program contoh I-III dengan menggunakan algoritma dari sola no 2
dan bandingkan hasilnya
Waktu: Satu Minggu
Error dan Stabilitas dalam Fisika Komputasi
Error NumerikTerdapat dua sumber error Numerik untuk kasus persmaan diferesial biasa:1. Kesahalan pemotongan suku (truncation error) *sudah dijelaskan
seblumnya Et2. Keslahan pembualatan Er (round-off error)
Komputer tidak bekerja dengan akurasi yang tak berhingga, hanya mampumenyimpan bilangan floating-point dengan jumlah tempat decimal terbatasdan tidak berubah (fixed) yang disebut bilangan karakteristik .Setiap operasi pembulatan mengadung kesalahan yang disebut Er
Sebagai contoh untuk kasus metode Euler error Numeriknya adalah :
Dengan h adalah selisih langkah
Pada panjang langkah yang besar error ddidominasi oleh truncation error , danjikalangkahnya kecil, round-off error mendominasi
Error dan Stabilitas dalam Fisika KomputasiStabilitas Numerik
Condtoh PDB
Dengan > 0, dan syarat batasnya adalah
Solusi analitiknya adalah
Solusi Numerik dengan grid:
Metode Euler
Jika h > 2/ maka |yn+1| >|yn|
Pembahasan: Jika langkahnya (h) sangat besar maka solusi numeriknya menjadi tidakstabil karena akan terus menaik nilainya yang menyimpang dari nilai sebenarnya. Inidisebut kegagalamn integrasi atau kegagalan stabilitas numeric. Hal in bias diatasidengan memperkecil langkah dengan resiko waktu komputis lebih lama dankemungkinan terjadi kesalahan pembulatan
Teknik numeric lain dalam menyelesaikan PDEs
Finite difference method (FDM) this module Advantages:
Simple and easy to design the scheme
Flexible to deal with the nonlinear problem
Widely used for elliptic, parabolic and hyperbolic equations
Most popular method for simple geometry, .
Disadvantages: Not easy to deal with complex geometry
Not easy for complicated boundary conditions
..
Finite element method (FEM) MA5240 Advantages:
Flexible to deal with problems with complex geometry and complicated boundary conditions
Keep physical laws in the discretized level
Rigorous mathematical theory for error analysis
Widely used in mechanical structure analysis, computational fluid dynamics (CFD), heat transfer, electromagnetics,
Disadvantages: Need more mathematical knowledge to formulate a good and
equivalent variational form
Teknik numeric lain dalam menyelesaikan PDEs
Spectral method High (spectral) order of accuracy
Usually restricted for problems with regular geometry
Widely used for linear elliptic and parabolic equations on regular geometry
Widely used in quantum physics, quantum chemistry, material sciences,
Not easy to deal with nonlinear problem
Not easy to deal with hyperbolic problem
..
Teknik numerik lain dalam menyelesaikan PDEs
Finite volume method (FVM) MA5250 Flexible to deal with problems with complex geometry and
complicated boundary conditions
Keep physical laws in the discretized level
Widely used in CFD
Boundary element method (BEM) Reduce a problem in one less dimension
Restricted to linear elliptic and parabolic equations
Need more mathematical knowledge to find a good and equivalent integral form
Very efficient fast Poisson solver when combined with the fast multipole method (FMM), ..
Teknik numeric lain dalam menyelesaikan PDEs
Metode Runge Kutta dan Integrasi Adaptif
Alasan kenapa Metode euler tidak digunakan dalam Fisika Komputasi1. truncation error setiap langkah sangat besar2. Sangat mudah mengalami ganguna stabilitas
Metode RK sangat tidak simetrik terhadap awal dan akhir interval. Menggunakan teknik sperti euler tetapi hanya digunakan sepagai langkah uji cobadengan nilai tengah, dengan menggunakan nilai ini keduanyan baik x dan y pada nilaitengah untuk mendapatkan langkah real pada seluruh interval:
Solusi ini disebut RK orde 2 atau dengan kata lain Euler dapat disebut sebagai ordesau dari RK. Dengin meningkatkan ordenya RK yanglainnya adalah RK orde 3 dan RK orde 4
N adalah orde dari RKError metode RK
Metode Runge Kutta dan Integrasi Adaptif
RK orde 4
Contoh Analisis Perbandingan Metode Numerik
Persamaan diff. Kondisi awal x(0) = 0 dan v(0) = k pada t =0
Solusi Analitiknya
Perbandingan KualitasNumerikEuler dan RK orde 4 padabilangan karakteristik berbeda
Perbandingan Kualitas Numerik Euler dan RK orde 4 pada bilangan karakteristik berbeda
Metode Integrasi adaptif
Perhatikan PDB berikut
BC: x=k 2 dan dv=2k padax=, dengan 0 < 1.
Solusi Analitik:
Perhatikan akumulasi error berkaitan dengan RK orde 4 dengan k=10, dari t =103 sd t =t,
Pembahasan:Walapun error pada awalperhitungan kecil, namun dg berjalalnya waktu t error naiksangat cepat, sehingga dengancepat mencapai error yang tidak dapat diterima Integrasi Adaptif
Konversi langkah yang mulanya tetap h pada RK 4disebut metode adaptive method.
Estimasi truncation error pada setiap langkah, misalnya langkah saat ini adalah h, estimasi truncation error, , pada langkah saat ini dengan menghitung perbedaansolusi yang diperoleh dengan langkah h/2 dua kali dan dengan langkah h sekaliMisla o adalah truncation error setiap langkah
Metode Integrasi adaptif
Langkah-langkah Integrasi Adaptif
adalah absolute error ataurelative error
Perbandingan RK Orde 4 dan Metode adaptif(o=10
8)
Metode adaptif lebih bagus dari pada RK4
Metode adaptif dapat lebih unggul dari pada RK4
Dapat dilihat bahwa Metode adaptif dapat menjaga truncation error relative konstan karena pada setiap langkahnya atau bejalannya t, h dikecilkan/diturunkan
Tugas Baca: tidak dibahas ulang
Numerical Integration:
Rectangular, Trapezoidal,Parabolic Approximation or Simpsons Rule
Newton-Raphson Algorithms and Interpolation
Bisection Algorithm
Newton-Raphson Algorithm
Hybrid Method
Lagrange Interpolation
Cubic Spline Interpolation
LIHAT KEMBALI CATATAN MATA KULIAH METODE NUMERIK
Kuliah Berikutnya
Metode IntegralAplikasi Metode RK untuk
SistemTata SuryaPendahuluan Chaos Pendulum
Top Related