Esercizio 1
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Corso di Fisica Tecnica Ambientale
ESERCIZI SVOLTI
CONDUZIONE
Esercizio 1
Esercizio 1
Determinare il flusso termico per unità di superficie che attraversa in regime permanente una
lastra piana omogenea dello spessore di 38 mm con le due facce mantenute alle temperature di
311 K e 294 K (k = 0.19 W/mK).
1T
x
T2
k
2
21 85038.0
)294311(19.0
m
W
m
KmK
W
x
TTk
A
q
Esercizio 2
Esercizio 2
Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione forzata per un fluido caldo che scorre
alla temperatura di 394 K su una superficie fredda vale 227 W/m2K. Sapendo che la temperatura
della superficie è 283 K, determinare il flusso termico unitario trasmesso dal fluido alla
superficie.
fT
Tp h
222
2,2525197)283394(227m
kW
m
WK
Km
WTTh
A
qpf
Esercizio 3
Esercizio 3
Determinare il raggio critico per un tubo ricoperto di isolante (k = 0.208 W/mK) esposto ad aria
sapendo che il coefficiente di scambio termico convettivo dell’aria è 8.51 W/m2K.
h
k
cmm
Km
WmK
W
h
kr 44.20244.0
51.8
208.0
2
Esercizio 4
Esercizio 4
Un forno industriale è costruito con una muratura di mattoni spessa 0.22 m, avente coefficiente
di conducibilità termica k1 = 0.95 W/mK, ed è ricoperto all’esterno da uno strato di 0.03 m di
materiale isolante, avente conducibilità termica k2 = 0.06 W/mK. La superficie interna del muro
si trova alla temperatura di 1000°C, mentre quella esterna dell’isolante a 40°C. Calcolare la
quantità di calore trasmessa per unità di superficie e la temperatura interfacciale fra il muro e
l’isolante.
1TT2 T3
1x x2
k1 k2
mK
W
m
mK
W
m
K
k
x
k
x
TT
A
q
06.0
03.0
95.0
22.0
)401000(
2
2
1
1
31
Km
W2
1312
A
q
C
mK
W
m
m
WT
k
x
A
qT
k
x
TT40
06.0
03.01312
23
2
2
2
2
2
32 C696
Esercizio 5
Esercizio 5
Un cilindro di rame ha raggio interno di 1 cm ed esterno di 1.8 cm, la superficie interna e quella
esterna sono mantenute rispettivamente a 305 K e 295 K e la conducibilità termica k varia
linearmente con la temperatura secondo la legge k = k0 (1+ b Tm) dove k0 = 371.9 W/mK e b = -
9.25 x10-5 K-1. Valutare le perdite di calore per unità di lunghezza.
2r1r
k
mk
rr
TT
L
q
2
)/ln( 12
21
con:
)1( mom bTkk
essendo 2
21 TTTm
K
KK300
2
295305
. Pertanto:
)1( mom bTkk 371.9 KKmK
W300)1025.91( 15 361.58
mK
W
m
W
mK
W
mm
K
L
q65.38
58.3612
001.0018.0ln
295305
Esercizio 6
Esercizio 6
Un tubo di acciaio con diametro esterno di 7.5 cm è ricoperto con uno strato di 1.25 cm di
materiale plastico, avente conducibilità termica pari a 0.207 W/mK, il quale è a sua volta
ricoperto da uno strato di 5 cm di lana di vetro, la cui conducibilità termica vale 0.055 W/mK.
Sapendo che le temperature esterne del tubo di acciaio e della lana di vetro valgono
rispettivamente 200°C e 35°C, determinare il flusso termico per metro lineare e la temperatura
interfacciale fra il materiale plastico e la lana di vetro.
1T
T2
T3
1rr 2 r 3
Lkam
klv
Il flusso lineare può essere valutato attraverso i due strati di materiale plastico e lana di vetro, ai cui
estremi sono note le temperature:
m
W
mK
W
mm
mK
W
mm
K
k
rr
k
rr
TT
L
q85.73
0548.02
05.01.0ln
207.02
0375.050.0ln
)35200(
2
ln
2
ln
2
23
1
12
31
Per valutare la temperatura interfacciale tra materiale plastico e lana di vetro si sfrutta la conduzione
attraverso uno dei due strati, ad esempio il primo:
kL
rr
TTq
2
)/ln( 23
32
T2 = T3 +kL
rrq
2
)/ln( 23 =
)5/10ln(
055.02
85.73
35 cmcm
mK
Wm
W
C
183.66°C
Esercizio 7
Esercizio 7
Un muro di calcestruzzo spesso 15 cm, con conduttività termica k = 0.87 W/mK, è esposto dal lato
interno ad aria a 25°C e dall’altro ad aria a 0°C. Il coefficiente di scambio termico convettivo per
l’aria interna vale 10.46 W/m2K mentre per quella esterna vale 52.3 W/m2K. Determinare il
flusso termico e la temperatura sulle due facce del muro.
Ti Te
hi he
1x
T2T1 k
2
22
1.87
46.10
1
87.0
15.0
3.52
1
)025(
11 m
W
Km
W
mK
W
m
Km
W
K
hk
x
h
TT
A
q
ei
ei
C
Km
W
m
W
CAh
qTT
h
TT
A
q
i
i
i
i
7.16
46.10
1.87
251
2
2
1
1
C
Km
W
m
W
CAh
qTT
h
TT
A
q
e
e
e
e
7.1
3.52
1.87
01
2
2
2
2
Esercizio 8
Esercizio 8
Del vapore scorre in un tubo di acciaio avente raggio interno pari a 5 cm ed esterno pari a 5.7
cm, rivestito da uno strato di isolante di 2.5 cm. I coefficienti di scambio termico convettivo
interno ed esterno valgono rispettivamente 87.1 W/m2K e 12.43 W/m2K, mentre i coefficienti di
conducibilità per l’acciaio e per l’isolante valgono rispettivamente 45 W/mK e 0.071 W/mK.
Determinare il coefficiente globale di scambio termico.
1T
T2
T3
iT
eT
1rr2 r3
L1k
k2
ih
eh
Km
W
Km
W
mK
W
mmm
mK
W
mmm
Km
Wm
m
hk
rrr
k
rrr
hr
rU
ei
2
22
2
233
1
123
1
3
5.0
43.12
1
071.0
)57.0/082.0ln(082.0
45
)05.0/057.0ln(082.0
1.8705.0
082.0
1
1lnln
1
Esercizio 9
Esercizio 9
Sia dato un muro piano costituito da uno strato di pietra ed uno di calcestruzzo, di spessore
uguale e pari a 10 cm, separati da un’intercapedine d’aria di 30 cm. Il muro separa due ambienti
a temperatura rispettiva di 40°C e 20°C, aventi coefficiente di scambio convettivo pari
rispettivamente a 30 e 5 W/m2K. Sapendo che i coefficienti di conducibilità della pietra, del
calcestruzzo e dell’aria valgono rispettivamente 1.5 W/mK, 1.2 W/mK e 0.022 W/mK, determinare
il flusso scambiato e l’andamento della temperatura nei casi in cui:
a) l’aria non dia luogo a moti convettivi
b) l’aria dia luogo ad uno scambio per convezione con coefficiente h pari a 2.5W/m2K.
a)
TiTe
hihe
1x x2 x3
k1 k2 k3
T1 T2 T3 T4
)( ie TTUA
q
dove
Km
W
Km
W
mK
W
m
mK
W
m
mK
W
m
Km
Whk
x
k
x
k
x
h
U
ei
2
223
3
2
2
1
1
07.0
5
1
2.1
1.0
022.0
3.0
5.1
1.0
30
1
1
11
1
avendo supposto l’aria in quiete e quindi lo scambio attraverso di essa per conduzione. Pertanto:
)( ie TTUA
q
224.1)2040(07.0
m
WK
Km
W
Per determinare T1 e T4 si sfrutta la convezione, rispettivamente per l’aria esterna ed interna.
Esercizio 9
C
Km
W
Km
W
CAh
qTTTTAhq
e
eee 95.39
30
4.1
40)(
2
2
11
CC
Km
W
Km
W
TAh
qTTTAhq i
i
ii 28.2020
5
4.1
)(
2
2
44
Per determinare T2 e T3 si sfrutta invece la conduzione, rispettivamente attraverso gli strati 1 e 3:
C
mK
W
m
Km
WC
k
x
A
qTT
k
x
TT
A
q
C
mK
W
m
Km
WC
k
x
A
qTT
k
x
TT
A
q
4.20
2.1
1.04.128.20
86.39
5.1
1.04.195.39
23
3
43
3
3
43
21
1
12
1
1
21
b)
TiTe
hihe
1x x2 x3
k1 k3
T1 T2 T3 T4
haria
Procedendo come nel caso precedente:
Km
W
Km
W
mK
W
Km
W
mK
W
Km
Whk
x
hk
x
h
U
iariae
2
2223
3
1
1
26.1
5
1
2.1
1.0
5.2
1
5.1
1.0
30
1
1
111
1
222.25)2040(26.1)(
m
WK
Km
WTTU
A
qie
Esercizio 9
Come per il caso a) per determinare T1 e T4 si sfrutta la convezione rispettivamente per l’aria
esterna ed interna:
C
Km
W
Km
W
CAh
qTTTTAhq
e
eee 16.39
30
2.25
40)(
2
2
11
CC
Km
W
Km
W
TAh
qTTTAhq i
i
ii 04.2520
5
2.25
)(
2
2
44
e per determinare T2 e T3 si sfrutta la conduzione rispettivamente attraverso gli strati 1 e 3:
C
mK
W
m
Km
WC
k
x
A
qTT
k
x
TT
A
q
C
mK
W
m
Km
WC
k
x
A
qTT
k
x
TT
A
q
6.27
2.1
1.02.2504.25
48.37
5.1
1.02.2516.39
23
3
43
3
3
43
21
1
12
1
1
21
Esercizio 10
Esercizio 10
Sia dato un muro di 50 cm che separa due ambienti rispettivamente a temperatura di 18°C e
40°C, aventi coefficienti di convezione pari rispettivamente a 3.5 e 29 W/m2K.
Calcolare il flusso termico che attraversa il muro e l’andamento della temperatura nei tre casi:
a) muro di pietra arenaria con coefficiente di conducibilità pari a 1.5 W/mK;
b) muro composto da tre strati (arenaria, mattoni forati, polistirolo) di spessore rispettivo pari a
30, 15 e 5 cm con coefficienti di conducibilità rispettivamente pari a 1.5 W/mK, 0.35W/mk,
0.0035 W/mK.
c) muro di arenaria con conducibilità termica variabile con la temperatura con la legge k =
1.5W/mK(1+10-3K-1T).
a)
TiTe
hihe
1x
T2T1 k
)( ie TTUAq
22
2
22
66.33)1840(53.1
53.1
29
1
5.1
5.0
5.3
1
1
11
1
m
WK
Km
W
A
q
Km
W
Km
W
mK
W
m
Km
Whk
x
h
U
ei
Pertanto:
C
Km
W
Km
W
CAh
qTTTTAhq
e
eee 84.38
29
66.33
40)(
2
2
11
CC
Km
W
Km
W
TAh
qTTTAhq i
i
ii 62.2718
5.3
66.33
)(
2
2
44
Esercizio 10
b)
k1
x1 x2 x3
k2 k3
Ti
T1
hihe
Te
T2 T3 T4
)( ie TTUAq
con
22
2
223
3
2
2
1
1
44.1)1840(065.0)(
065.0
29
1
0035.0
05.0
35.0
15.0
5.1
3.0
5.3
1
1
11
1
m
WK
Km
WTTU
A
q
Km
W
Km
W
mK
W
m
mK
W
m
mK
W
m
Km
Whk
x
k
x
k
x
h
U
ie
ei
Pertanto:
C
Km
W
Km
W
CAh
qTTTTAhq
e
eee 95.39
29
44.1
40)(
2
2
11
CC
Km
W
Km
W
TAh
qTTTAhq i
i
ii 41.1818
5.3
44.1
)(
2
2
44
C
mK
W
m
Km
WC
k
x
A
qTT
k
x
TT
A
q
C
mK
W
m
Km
WC
k
x
A
qTT
k
x
TT
A
q
39
0035.0
05.044.141.18
66.39
5.1
3.044.195.39
23
3
43
3
3
43
21
1
12
1
1
21
Esercizio 10
c)
TiTe
hihe
1x
T2T1 k
mK
WKK
mK
WTTbk
kkk
con
hk
x
h
U
m
ime
53.1)2
84.3862.27(1015.1
21
2
11
1
13210
21
Essendo T1 e T2 quelle determinate per il caso a). Pertanto:
22
2
22
1.34)1840(55.1)(
55.1
5.3
1
53.1
5.0
29
1
1
m
WK
Km
WTTU
A
q
Km
W
Km
W
mK
W
m
Km
W
U
ie
Esercizio 11
Esercizio 11
Con riferimento alla parete composta schematizzata in figura si determini la potenza termica
trasmessa per unità di superficie, sapendo che i coefficienti di conducibilità termica dei vari
elementi valgono rispettivamente k1 = 175 W/mK, k2’ = 35 W/mK, k2’’ = 60 W/mK, k3 = 80 W/mK e
che le temperature sulle facce esterne valgono rispettivamente 370°C e 66°C.
k1
x1 x2 x3
k"2
k3k'2
T1 T2 T3T4
)( 41 TTUATUAq
dove
iR
UA1
Le resistenze sono rappresentabili per mezzo dell’analogia elettrica
1T T4R 1
R'2
R 3
R"2 con
W
K
mmK
W
m
Ak
xR 0014.0
1.075.1
105.2
2
2
1
11
W
K
mmK
W
m
Ak
xR
W
K
mmK
W
m
Ak
xR
025.0
)2/1.0(60
105.7
2/""
043.0
)2/1.0(35
105.7
2/''
2
2
2
22
2
2
2
22
Esercizio 11
W
K
mmK
W
m
Ak
xR 00625.0
1.080
105
2
2
3
33
ed
W
K
W
K
W
KRR
R 0158.0
025.0
1
043.0
1
1
''
1
'
1
1
22
2
Pertanto:
W
K
W
KRRRRTOT 0234.)00625.00158.00014.0(321
44
107.22
11
3
W
KRUA
i K
W
kWKK
WTTUAq 4.13)66370(44)( 41
Esercizio 12
Esercizio 12
Determinare le temperature nodali dei punti a, b, c, sapendo che il materiale è omogeneo ed
isotropo e che le temperature delle superfici interna ed esterna valgono rispettivamente 150°C e
50 °C.
a
b
c
c' b'
Ti Te
nodo a: 04' aeibb TTTTT
nodo b: 04 beaci TTTTT
nodo c: 04 cbeib TTTTT
sostituendo:
nodo a: 045050' abb TTT
nodo b: 0450150 bac TTT
nodo c: 0450150 cbb TTT
ed essendo il corpo omogeneo ed isotropo
'
bb TT e '
cc TT . Pertanto :
041002 ab TT 502 ba TT
04100 ac TT 2004 cba TTT
042002 cb TT 1002 cb TT
Risolvendo si ottiene:
.6.95;6.91;8.70 CTCTCT cba
Esercizio 13
Esercizio 13
Derivare l’equazione della temperatura nodale per il caso di un nodo in un angolo esterno con:
a) uno dei lati contigui isolato e l’altro soggetto ad un trasporto termico convettivo;
b) con ambedue i lati contigui isolati.
a)
1
2
e
x
n
h
k
x
b)
1
2
x
x
n
k
a)
x
TTxk n)(
2
1
2
x
TTxk n)(
2
2
2
02
)(2
ne TTxh
nTTxk
12
nTTxk
22
0
2
2
ne TTxh
021
nenn TTk
xhTTTT
0221
ne T
k
xhT
k
xhTT
b)
x
TTxk n )(
2
12
0)(
2
22
x
TTxk n
021 nn TTTT
0221 nTTT
Esercizio 14
Esercizio 14
Stimare per il caso a) dell’esercizio 13 lo scambio convettivo nel punto n sapendo che le
temperature dei punti 1 e 2 e quella esterna valgono rispettivamente 80°C, 100°C e 40°C, che il
coefficiente di scambio termico convettivo è pari a 12 W/m2K è che il numero di Nusselt è pari a
6.
1
2
e
x
n
h
k
x
Utilizzando il risultato trovato nell’esercizio 13, si ha:
0221
ne T
K
xhT
K
xhTT 0221 ne TNuTNuTT
e sostituendo:
06240610080 nT
CTn 5.52
Pertanto:
en TThx
q
A
q
2
22150405.5212
m
WCC
Km
W
Esercizio 15
Esercizio 15
Stimare il flusso termico che attraversa le superfici a e b in corrispondenza dei punti 5, 6, 7 ed 8
relativamente alla configurazione di figura, la cui conducibilità termica è pari a 2W/mK, sapendo
che la temperatura del punto 4 è 150°C e che quella delle superfici esterne è pari rispettivamente
a: Ta = 200°C, Tb = 200°C Tc = 200°C Td = 200°C.
b
a
d
c
21
43
65
7
8
Tb
T4
Tc
Td
Ta
k LL
L’equazione del flusso termico che attraversa le superfici a e b in corrispondenza dei punti 5, 6, 7
ed 8 può scriversi:
5115
51
2
15 TTkL
qTT
L
kLq e analogamente:
7117 TTkL
q ; 62
26 TTkL
q ; 83
38 TTkL
q
Occorre preliminarmente scrivere le equazioni dei punti nodali per determinare le temperature dei
punti 1, 2 e 3.
:
:
:
3
2
1
T
T
T
04
04
04
3841
2146
17325
TTTTT
TTTTT
TTTTT
c
d
:
:
:
3
2
1
T
T
T
04150100100
04150200200
04100200
31
21
132
TT
TT
TTT
4
350
4
550
03004
13
12
321
TT
TT
TTT
e risolvendo la prima equazione:
Esercizio 15
03004
350
4
5504 11
1
TT
T
CT 7.1101
CT 2.1652
CT 2.1153
Pertanto:
51
15 TTkL
q
m
WCC
mK
W6.1782007.1102
62
26 TTkL
q
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