Exerccios do item 1.5: 1) Calcule a fora de trao nas duas barras da estrutura abaixo.
0111 87,36)75,0(tanarc4
3tan ===
0222 13,53)333,1(tanarc3
4tan ===
0)13,53(cosF)87,36(cosF:0F o2o1x =+=
212
121 F75,0F8,0F6,0F06,0F8,0F ===+
0000.12)13,53(senF)87,36(senF:0F o2o1y =++= 000.128,0F6,0F 21 =+
Colocando-se a fora F1 na expresso acima, tem-se:
N600.925,1000.12F000.128,0F6,0F75,0 222 ===+
N200.7F9600x75,0F 11 ==
2) Calcule a fora de trao nos dois cabos da figura.
000.6FF0F000.5000.1F:0F 2121y =+=+=
N8,730.3F06,2xF8,1x000.57,0x000.1:0M 221 ==+=
N2,269.2F08,0x000.59,1x000.16,2xF:0M 112 ===
Exerccios do item 1.6: 1) Calcule as reaes nos apoios da viga abaixo.
0H:0F Ax ==
000.14VV0V000.14V:0F BABAy =+=+=
N000.8V05,3xV0,2x000.14:0M BBA ===
N000.6V05,1x000.145,3xV:0M AAB ===
2) Calcule as reaes no apoio da viga em balano (ou viga cantilever).
0H:0F bx ==
000.1V0000.1V:0F bby ===
m.N000.3M0M0,3x000.1:0M bbO ===
Exerccios do item 1.9: 1) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo. Dado: s = 77 kN/m3
A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo transversal:
2mm000.3300x62x100x6A =+=
Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A ==
m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===
0H0F Ax ==
L.qVV0F BAy =+=
Ento: N20790,9x231VV BA ==+
02L
.L.qL.V0M AB ==
2LqV
2LqV BA ==
N5,10392
0,9x231VV BA ===
2) Calcule as reaes de apoio da viga de ao abaixo. Dado: s = 77 kN/m3
0H0F Bx ==
N20790,9x231L.qV0F By ====
m.N5,93552
qLM0M2L
.L.q0M2
BBo ===+=
Observao muito importante: A substituio de uma carga distribuda pela fora resultante somente pode usada para calcularem-se as reaes de apoio. No deve ser usada para mais nada.
Exerccios do item 2.1: 1) Calcule a tenso normal nos dois cabos da figura. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm
rea dos cabos 1 e 2:
221
221 mm7,506AA)7,12(AA ==pi==
Tenso normal nos cabos 1 e 2:
22
1
11 mm/N48,4)mm(7,506
)N(2,269.2AF
===
22
2
22 mm/N36,7)mm(7,506
)N(8,730.3AF
===
2) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20,0 mm
21o
2o
1x FF0)45cos(F)45(cosF:0F ==+= 0000.5)45(senF)45(senF:0F o2o1y =+=
N1,3536FF000.5707,0F2 211 === Tenso normal nas barras 1 e 2:
22
1
11 mm/N8,28)25,6(
1,3536AF
=
pi==
22
2
22 mm/N3,11)10(
1,3536AF
=
pi==
3) Calcule a tenso normal nas duas barras da trelia abaixo. As duas barras tm seo transversal circular. Dados: Barra tracionada = 15 mm ; Barra comprimida = 20 mm
866,0FF0)30cos(FF:0F 21o21x ==+= N000.50F0000.52)30(senF:0F 2o2y ==+=
N300.43F866,0.)000.50(F 11 == Tenso normal nas barras 1 e 2:
22
1
11 mm/N0,245)5,7(
300.43AF
=
pi==
22
2
22 mm/N2,159)10(
000.50AF
=
pi
==
4) Uma barra, de seo transversal retangular, tem altura varivel (como indicado) e largura b constante igual a 12 mm. Calcule a tenso normal no ponto de aplicao da fora F e no engaste. Dado: F = 8.000 N
2mm/N44,4415x12
000.8AF
===
2Engaste mm/N67,2625x12
000.8AF
===
5) Uma barra prismtica est pendurada por uma de suas extremidades. Construa os diagramas de fora normal e de tenso normal. Dados: : peso especfico; A: rea da seo transversal
Fazendo-se um corte imaginrio distncia x os esforos que eram internos passam a ser externos. A parte recortada tambm tem que estar em equilbrio, pois qualquer parte (ou ponto) de uma estrutura em equilbrio tambm est em equilbrio. N(x): representa a ao da parte de cima sobre a parte de baixo.
xA)x(N0xA)x(N:0Fy ===
xAAx
A)x(N ===
Exerccios do item 2.2: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular ( = 25 mm) e de comprimento L = 800 mm fica solicitada por uma fora axial de trao F = 30.000 N. Calcule a tenso normal e a deformao linear especfica sabendo que o alongamento da barra de 2,0 mm.
22 mm/N1,61)5,12(
000.30AF
=
pi==
310x5,2)mm(800)mm(0,2
LL
==
=
2) Um elstico tem comprimento no esticado igual a 30,0 cm. Calcule a deformao linear especfica do elstico quando for esticado ao redor de um poste com dimetro externo igual a 16 cm.
P: Permetro externo do poste: cm27,508.2R2P =pi=pi=
68,030
3027,50L
LLLL
i
if
i=
=
=
=
Exerccios do item 2.3: 1) Uma barra prismtica de seo transversal circular (d = 20 mm) fica solicitada por uma fora axial de trao F = 6.000 N. Experimentalmente, determinou-se a deformao linear especfica longitudinal oo
oL /3= . Calcule a
tenso normal, a variao do comprimento e do dimetro da barra. Dado: = 0,25.
22x mm/N1,19)10(
000.6AF
=
pi==
003,01000
3/3 ooo
xL ====
mm5,4L1500.10x0,3LLLL
x3
xxxx
xx ===
=
yyyy
yy LLL
L=
=
ddL yy ==
43xy
x
y 10x5,710x0,3x25,0 ===
=
mm015,020x10x5,7d 4 ==
2) Calcule o volume final da barra do problema anterior. Vi : volume inicial da barra; Vf: volume final da barra
32iii mm9,238.471500.1x)10(LAV =pi==
32
fff mm9,943.471)5,41500(x4)015,020(LAV =+pi==
3if mm7059,238.4719,943.471VVV ===
Exerccio do item 2.4: A figura abaixo mostra um diagrama Fora-Alongamento de um ensaio de trao simples. A barra tem seo transversal circular (d = 30 mm) e comprimento inicial (referncia) igual a 800 mm. Calcule:
a) a tenso (ou limite) de proporcionalidade (P); b) a tenso (ou limite) de escoamento (Y); c) a tenso ltima (U);
430.
4DR.A
222 pi
=
pi=pi= = 2mm86,706
a) MPa15,14mm/N15,1486,706
000.10P
2P ===
b) MPa98,16mm/N98,1686,706
000.12Y
2Y ===
c) MPa29,28mm/N29,2886,706
000.20U
2U ===
Exerccios do item 2.5: 1) Calcule o mdulo de Young () da barra do problema anterior.
= .
310x75,3mm800
mm3LL
==
=
3
2
10x75,3mm/N15,14
=
= 2mm/N3,773.3=
MPa3,773.3:Ou = Ou: GPa77,3=
2) Uma circunferncia de raio R = 300 mm desenhada em uma placa. Calcule ao aplicar-se a tenso normal x = 81,0 MPa os valores dos dimetros ab e cd. Dados da placa: = 120 GPa; = 0,36
Lei de Hooke: = xx =
9
6x
x 10x12010x81
=
= 4x 10x75,6 =
mm405,0600x10x75,6LLL 4
xx
xx ==
=
mm405,600405,0600LFab =+=
Coeficiente de Poisson ():
x
y
= xy = =
410x75,6x36,0 = 410x43,2
mm1458,0600x10x43,2LLL 4
yy
yy ==
=
mm8542,5991458,0600LFcd ==
3) Um bloco de massa m = 1.500 kg sustentado por dois cabos de seo transversal circular. Sendo dados d1 = 8,0 mm; d2 = 12,0 mm; 1 = 70 GPa e 2 = 120 GPa, calcule: a) o valor do ngulo sabendo que 1 = 2 ; b) valor da tenso normal nas duas barras; c) a deformao linear especfica das duas barras.
===
sen
PF0PsenF0F 22y
=== cossen
PF0cosFF0F 121x
a) 2
2
1
121 A
FAF
==
361
16cos
)6(sen
P
)4(sen
cosP
22 =
pi
=
pi
o61,633616
cosarc =
=
b) 2o
o
1
11 )4(
)61,63(sen)61,63(cosP
AF
pi== = 2mm/N2,145
16896,0
4444,0x81,9x1500
=
pi
=
pi
=
pi==
368958,0
81,91500
)6()61,63(sen
P
AF
2
o
2
22
2mm/N2,145
c) Lei de Hooke: =
3123
2
1111 10x074,2)mm/N(10x70)mm/N(2,145
===
3223
2
2222 10x21,1)mm/N(10x120)mm/N(2,145
===
Exerccios do item 3.1: 1) Uma barra prismtica de ao, com seo transversal circular, tem 6,0 metros de comprimento e est solicitada por uma fora axial de trao F = 104 N. Sabendo-se que o alongamento da barra de 2,5 mm e que = 205 GPa, calcule:
a) o dimetro da barra; b) a tenso normal.
a) mm1,6RR10x205
6000x105,2AELFL 23
4=
pi==
Ento: d = 12,2 mm
b) 224
mm/N5,85)1,6(
10AF
=
pi==
2) Calcule o alongamento dos dois cabos da estrutura abaixo. Dados: 1 = 2 = 25,4 mm; L1 = L2 = 3,5 m; 1 = 2 = 70 GPa
mm22,07,50610x70
3500x2,2269LAELFL 31
11
111 =
==
mm37,07,50610x70
3500x8,3730LAELFL 31
22
222 =
==
3) Calcule o alongamento das duas barras da trelia abaixo. Dados: 1 = 12,5 mm ; 2 = 20 mm; L1 = 1,0 m; L2 = 2,0 m; 1 = 205 GPa; 2 = 120 GPa
mm14,07,12210x205
1000x1,3536LAELFL 31
11
111 =
==
mm19,02,31410x120
2000x1,3536LAELFL 31
22
222 =
==
Exerccios do item 3.2: 1) Calcule o deslocamento horizontal do ponto de aplicao da fora de 200 kN. Dados: A = 800 mm2; = 70 GPa
mm18,2280010x701800x000.250
80010x703600x000.80
80010x705400x000.200
AELFH 333
n
1i ii
ii=
+
== =
2) Duas barras de seo transversal circular so soldadas como mostra a figura. Sendo dados: 1= 14 mm; 2 = 8 mm; 1= 2 = 70 GPa, calcule: a) a tenso normal nas duas barras; b) o alongamento da barra.
a) 221 mm9,153)7(A =pi= ; 222 mm3,50)4(A =pi= 2
1 mm/N98,519,1538000
== ; 22 mm/N64,593,503000
==
b) mm91,19,15310x70
2000x000.59,15310x70
2000x000.33,5010x70
500x000.3L 333 =
+
+
=
3) Calcule a tenso normal mxima e o alongamento da barra prismtica abaixo. Dados: A = 7,1 x 10 4 m2; = 120 GPa; = 44.300 N/m3
A tenso normal mxima ocorre no apoio:
2664mx m/N10x22,010x63,55x300.4410x1,7
000.4LAF
+=+=+=
MPa85,5m/N10x85,5 26mx ==
Clculo do alongamento:
E2L
AELFL
2+=
O alongamento mximo ocorre na extremidade livre:
m10x61,410x41,110x120x2544300
10x1,710x1200,3x000.4L 649
2
49mx
+=
+
=
mm146,0m10x46,1L 4mx ==
Exerccios do item 3.3: 1): Calcule a tenso normal nas trs barras da trelia abaixo e o deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P. Dados: P = 15.000 N; 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 2 x 10 4 m2
Diagrama de corpo livre:
055cosF55cosF0F o1o1x =+=
0PF55senF.20F 2o1y =+=
De onde: 1,64 F1 + F2 = P (1)
Temos uma equao e duas incgnitas, o problema uma vez hiperesttico. A outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.
11o
2211
11o
22
22 LF35cosLFAELF
35cosAELF
==
Clculo do comprimento da barra 1: L1 cos35o = L2
m44,2L35cos0,2L 1o1 ==
Da equao de compatibilidade:
121o
2 F49,1F44,2F35cos0,2xF == (2) Colocando-se a equao (2) na equao (1), tem-se: 1,64 F1 + 1,49 F1 = P
N4792F000.15F13,3 11 ==
F2 = 7.140 N Clculo da tenso normal nas barras 1 e 2::
MPa96,2310x2
4792AF
141
11 ===
MPa70,3510x2
7140AF
242
22 ===
Clculo do deslocamento vertical do ponto de aplicao da fora P:
mm35,0V10x2x10x205
000.2x7140AELF
LV4922
222 ====
Exerccio 2): A barra rgida (indeformvel) AB, de peso desprezvel, rotulada em A, suspensa por dois cabos e suporta uma fora P = 58.000 N. Calcule a tenso normal nos cabos 1 e 2 e a reao vertical no apoio A. Dados: L1 = L2; 1 = 70 GPa; 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 5 x 10 4 m2
0PFFV0F 21Ay =++= (1)
0d4xFd3xPd2xF0M 21A =+=
De onde: Px3Fx4Fx2 21 =+ (2) Temos duas equaes independentes da esttica e trs incgnitas. O Problema uma vez hiperesttico e a outra equao vir da compatibilidade dos deslocamentos.
2121 LL2
d4L
d2L
=
=
92
91
22
22
11
11
10x205F
10x70F
2AELF
AELF
2 ==
De onde: F2 = 5,86 F1 (3)
Colocando-se a equao (3) na equao (2), tem-se:
Px3F86,5x4Fx2 11 =+
25,44 F1 = 3 x 58.000 F1 = 6.839,6 N
F2 = 40.080,1 N
Clculo da tenso normal nos cabos:
MPa68,1310x5
6,6839AF
141
11 ===
MPa16,8010x5
6,080.40AF
242
22 ===
Clculo da reao vertical no apoio A (equao (1):
N3,080.11000.581,080.406,839.6PFFV 21A =+=+=
Exerccio 3): A barra prismtica abaixo est presa em dois apoios indeformveis e solicitada por uma fora axial F. Determine as reaes nos apoios A e B.
0HFH0F BAx =+= (1)
O problema uma vez hiperesttico. Vamos retirar um dos apoios e determinar o deslocamento que o apoio retirado est impedindo.
Colocando-se o apoio retirado, tem-se:
Compatibilidade dos deslocamentos:
La.F
HEA
L.HEA
a.FLL B
B21 ===
Lb.F
H)aL(LF
La.F
LLF
La.F
FHHFH AABA =====
Exerccio 4): A barra prismtica abaixo est carregada axialmente por duas foras F1 e F2. Calcule:
a) as reaes nos apoios indeformveis A e B; b) a tenso normal no meio da barra.
Dados: F1 = 2.000 N; F2 = 3.500; Aseo transversal = 200 mm2
Superposio dos efeitos:
N6,384.16,2
8,1x000.2L
b.FH 11A === N4,6156,2
8,0x000.2L
a.FH 11B ===
N7,8076,2
6,0x500.3L
b.FH 22A === N3,692.26,2
0,2x500.3L
a.FH 22B ===
N9,5767,8076,384.1HHH 2A1AA ==+=
N9,076.23,692.24,615HHH 2B1BB =+=+=
Clculo da tenso normal no meio da barra:
F = fora normal axial no meio da barra
F = H + F1 = 576,9 + 2.000 = 1.423,1 N
Ou: F = HB + F2 = 2.076,9 + 3.500 = 1.423,1 N
Ento:
MPa1,7:oumm/N1,7200
1,423.1AF 2
====
Exerccio 5): A barra prismtica est na posio indicada quando a fora F = 0. Calcule as reaes nos apoios rgidos A e B quando for aplicada a fora F = 18.000 N. Dados: = 1,5 GPa; = 5 x 10 3 m2
OBS.: Se a barra no encostar no apoio B as reaes so dadas por: HA = 18.000 N e HB = 0.0 Vamos retirar o apoio B:
mm8,410x5x10x5,1000.2x000.18
EA000.2xF
L 391 ===
Colocando-se o apoio B, a reao HB dever diminuir (encurtar) a barra de L1 2 mm.
N5,562.6H0,28,410x5x10x5,1
200.3xHB39
B==
N5,437.115,562.6000.18HFHH ABA ===+
Exerccio 6): Um pilar de concreto armado tem 3,0 metros de comprimento longitudinal e possui quatro barras de ao de dimetro igual a 16 mm. A seo transversal do pilar quadrada (300 mm x 300 mm) e est solicitado por uma fora axial de compresso F = 300.000 N aplicada atravs de uma placa rgida. Sendo dados c = 26 GPa e s = 205 GPa calcule a tenso normal no concreto e nas barras de ao.
Chamando de Fc a fora absorvida pelo concreto e Fs a fora absorvida pelas barras de ao, tem-se:
N000.300FF sc =+
O problema uma vez hiperesttico. Sabendo-se que a fora F aplicada atravs de uma placa rgida, os dois materiais (ao e concreto) tem o mesmo encurtamento:
sc LL =
2s
2c
ss
ss
cc
cc
84x205F
)84000.90(x26F
AELF
AELF
pi=
pi=
De onde: Fc = 14,07 Fs Ento: 14,07 Fs + Fs = 300.000 N Fs = 19.907,1 N Fc = 300.000 19.907,1 = 280.092,9 N
Clculo da tenso normal:
22c mm/N14,384000.90
9,092.280=
pi=
22s mm/N75,24841,907.19
=
pi=
Exerccios do item 3.4: 1) A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual a 20C. Sabendo que os engastes so indeformveis calcule a tenso normal na barra quando a temperatura subir para 50C. Dados: = 205 GPa; = 11,7 x 10 6 /oC
Retirando-se o apoio B, tem-se:
Compatibilidade dos deslocamentos
TF LL =
TLEAFL =
TE =
30x10x7,11x10x205 69 = 26 m/N10x95,71=
Ou: compresso = 71,95 MPa
Exerccio 2): A barra prismtica abaixo est livre de tenso quando a temperatura igual a 25 C. Sabendo que os engastes A e B so indeformveis calcule a tenso normal na barra quando a temperatura descer para 60C. Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m
Compatibilidade dos deslocamentos: TF LL =
TLEAFL =
TE =
85x10x6,21x10x70 69 = 26 m/N10x52,128=
Ou: trao = 128,52 MPa
Exerccio 3): Resolva o problema anterior considerando que temperatura t = 60 C o apoio B se desloca de 3 mm e o apoio A continua indeformvel. Dados: = 70 GPa; = 21,6 x 10 6 /oC; L = 4,0 m
T3
F L10x3L =+
TL10x3EAFL 3 =+
TL10x3EL 3 =+
85x4x10x6,2110x310x704x 63
9
=+
339 10x310x344,710x70
4x
=
26 m/N10x02,76=
Ou: trao = 76,02 MPa
4) A estrutura abaixo perfeitamente ajustada aos engastes rgidos A e B quando a temperatura igual a 18 C. Calcule a tenso normal nas barras 1 e 2 quando a temperatura subir para 100 C. Dados: 1 = 2 = 205 GPa; 1 = 2 = 12 x 10 6 /oC; 1 = 600 mm2 ; 2 = 300 mm2
TLTLL 2211T +=
82x400x10x1282x500x10x12L 66T += = 0,8856 mm
22
2
11
1F AE
FLAE
FLL +=
300x10x205400xF
600x10x205500xF
L 33F += = 1,0569 x 10 5
. F
LF = LT
ento: 1,0569 x 10 5 . F = 0,8856
F = 83.791,4 N
Clculo da tenso normal:
2
11 mm/N7,139600
4,791.83AF
===
Ou: 1 = 139,7 MPa
2
22 mm/N3,279300
4,791.83AF
===
Ou: 2 = 279,3 MPa
5) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a 25 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule a tenso normal na barra quando a temperatura for igual a: a) 10 C; b) 70 C; c) 105 C; Dados: = 70 GPa; que = 20 x 10 6 /oC
a) = 0,0 b) mm5,2mm25,245x500.2x10x20L 6T
Portanto, a barra no vai encostar no apoio B, ento: = 0,0
c) mm5,2mm0,480x500.2x10x20L 6T >==
2compresso33F mm/N4210x70
500.2x5,1A10x70
500.2xFL =
==
6) A barra prismtica est na posio indicada na figura abaixo quando a fora F = 0 e a temperatura igual a 15 C. Sabendo que apoios A e B so indeformveis calcule as reaes HA e HB quando for aplicada a fora F = 27.000 N e a temperatura subir para 40 C. Dados: = 120 GPa; que = 9,4 x 10 6 /oC; A = 125 mm2
mm17,325x000.2x10x4,9125x10x120500.1x000.27
TLEAFLLLL 63TF1 =+=+=+=
mm17,1LHB =
N775.8H17,1125x10x120
000.2xHmm17,1
EALH
B3BB
===
N225.18HN000.27HH ABA ==+
7) As barras esto na posio indicada na figura abaixo quando a temperatura igual a 5 C. Determine a distncia d que o ponto a se desloca quando a temperatura subir para 40 C. Considere que a barra ab tenha coeficiente de dilatao trmica insignificante. Dados: 1 = 23 x 10 6 /oC; 2 = 12 x 10 6 /oC
mm93,045x900x10x23TLLT 6111 ===
mm49,045x900x10x12TLLT 6222 ===
290x
3049,093,0
290x
30LTLT 21
=
=
mm25,4290.3044,0
x3044,0
290x
===
mm74,425,449,0d =+=
8) Um tubo de alumnio mede 35 m temperatura de 22 C. Um tubo de ao, mesma temperatura, 5 mm mais longo. Calcule em qual temperatura estes tubos tero o mesmo comprimento. Dados: Alumnio = 21,6 x 10 6 /oC; S = 11,7 x 10 6 /oC
SAL LT005.35LT000.35 +=+
TL005.35TL000.35 SSALAL +=+
Tx005.35x10x7,11005.35T000.35x10x6,21000.35 66 +=+
T410,0005.35T756,0000.35 +=+
000.35005.35T410,0T756,0 =
C45,14T5T346,0 o==
C45,36T45,1422T o=+=
Observao: temperatura t = 36,45C tm-se os seguintes comprimentos:
mm92,010.3545,14x000.35x10x6,21000.35L 6AL =+=
mm92,010.3545,14x005.35x10x7,11005.35L 6S =+=
Exerccios do item 4.2: 1) Calcule a tenso de cisalhamento mdia que ocorre na cola.
MPa5,2m/N10x5,210,0x04,0x2
000.20AF 26
mm ====
Ou:
MPa5,2mm/N5,2100x40x2
000.20AF 2
mm ====
2) Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino e a tenso normal de trao mdia no cabo da luminria abaixo.
2m2m
mm/N7,7110x500.22
AF
=pi
==
2m2m
mm/N5,2927x
000.45AF
=pi
==
3) Um suporte para televiso sustentado por um pino de 8 mm de dimetro. Calcule a tenso de cisalhamento mdia no pino sabendo que a massa da televiso igual a 25 kg.
Observao: a fora cisalhante no pino provocada pelo binrio exigido para o equilbrio de momentos fletores.
050xF800xP0M A ==
N924.3F50xF800x81,9x25 ==
Clculo da tenso cisalhante mdia no pino:
2m2m mm/N1,784x14,3
924.3AF
===
Exerccio do item 4.4: Um bloco est solicitado por uma fora F = 112 kN. Calcule: a) a tenso cisalhante mdia; b) o deslocamento do ponto d considerando-se que a face inferior no se desloca.
Dados: = 87,5 GPa; = 0,25
a) ==50x160
000.112AF
m 2
m mm/N14=
b)
== 8080
tg
Lei de Hooke no cisalhamento: = G
GPa35G)25,01(25,87
)1(2EG =
+=
+=
.rad10x4)mm/N(10x35
)mm/N(14G
423
2
===
mm032,010x4x80 4 ==
Exerccios do item 4.5: 1) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo. Dados: F = 35.000 N; d = 19,05 mm
Neste caso n = 4 e nA = 1 (corte simples)
2md2md mm/N7,30)525,9(x14,3x1x4
000.35AF
===
2) Calcule o dimetro dos parafusos da ligao abaixo.
Dados: F = 200.000 N; 2__
mm/N95=
Para este problema: n = 8 e nA = 1 (corte simples)
mm15,9R)R(x14,3x1x8
000.20095AF
2md ===
Portanto: d = 18,3 mm
3) Calcule a tenso de cisalhamento nos parafusos da ligao abaixo e a tenso normal nas chapas. Dado: d = 12 mm
1 opo: F = 15.000 N; n = 6; An = 1
2md2md mm/N1,22)6(x14,3x1x6
000.15AF
===
2mm/N50100x3000.15
AF
===
2 opo: F = 30.000 N; n = 6; An = 2
2md2md mm/N1,22)6(x14,3x2x6
000.30AF
===
2mm/N50100x6000.30
AF
===
Exerccios do item 5.4: 1) Para o eixo abaixo calcule: a) a tenso de cisalhamento mxima; b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A; c) o deslocamento horizontal do ponto c.
Dados: =T 4.600 N.mm; G = 60 GPa.
a) J
r.T=
( ) ( ) 4444i4e mm2,270.8J121832DD32J =pi=pi= MPa01,5:oumm/N01,5
2,270.89x600.4
mx2
mx ===
b) .rad10x42,72,270.8x10x60
800x600.4GJTL 3
3
===
c)
mm067,010x42,7x9x99
tg 3 ====
Exerccio 2: Um eixo de seo transversal circular fica solicitado pelos momentos de toro indicados na figura abaixo. Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: G = 25 GPa.
Jr.T
= onde: 444 mm3,592.613J5032
D32
J =pi=pi=
MPa67,1:oumm/N67,13,592.61325x000.41
mx2
mx ===
GJTL
=
.rad10x194,33,592.613x10x25
000.2x000.633,592.613x10x25
500.3x000.22 333B
==
Resposta: .rad10x194,3 3B = (no sentido de 63.000 N.mm)
Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima e o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A. Dado: d1 = 100 mm; d2 = 60 mm; G 1 = G 2 = 30 GPa.
461
441 mm10x82,9J10032
D32
J =pi=pi=
462
442 mm10x27,1J6032
D32
J =pi=pi=
Clculo de mx : Jr.T
=
21mx61mx mm/N43,010x82,9
50x84230==
22mx62mx mm/N73,010x27,1
30x15730==
Resposta: mx = 0,43 MPa
Clculo de B:
GJTL
=
636363B 10x82,9x10x30000.5x730.15
10x27,1x10x30000.1x730.15
10x82,9x10x30000.2x500.68
++=
.rad10x14,1 3B
=
Obs.: converso de radianos para graus:
pi==pi
o3
Bo 180x10x14,1:ento180.rad1 = 0,065
Exerccio 4) Sendo =G 30 GPa calcule para o eixo de seo circular: a) a tenso de cisalhamento mxima; b) o giro relativo da seo transversal B em relao ao engaste indeformvel A; c) o deslocamento horizontal do ponto c.
a) J
r.T= , onde: 444 m10x57,1J20,0
32J =pi=
MPa66,63:oum/N10x66,6310x57,1
10,0x000.100mx
264mx ===
b) 4949 10x57,1x10x305,1x000.100
10x57,1x10x3000,1x000.100
GJTL
+==
.rad10x06,1 3B
= (ou: 0,61)
m10x06,110x06,1x10,0x10,010,0
tg 43 ====
Exerccio 5) A tenso de cisalhamento mxima que solicita o eixo abaixo igual a 32,5 MPa. Sabendo que o eixo tem seo transversal circular ( = 12 mm) e L = 500 mm calcule o valor da fora F. Para este valor de F calcule o giro relativo da seo transversal onde est aplicado o binrio em relao ao engaste rgido. Dado: G = 42 GPa.
F12T =
44 mm75,2035J1232
J =pi=
N9,918F75,2035
6F125,32Jr.T
mx =
===
Clculo do ngulo de toro: 75,2035x10x42
5009,91812GJTL
3
==
.rad064,0= (ou: 3,7)
Exerccios do item 5.5: 1) Determine as reaes nos engastes indeformveis. O eixo prismtico e tem seo transversal circular.
TTT0M BA =+=
O Problema uma vez hiperesttico. Precisamos de mais uma equao que vir da compatibilidade dos deslocamentos. Retirando-se o apoio B tem-se o giro relativo B:
JGa.T
GJTL
B ==
Colocando-se o engaste B, tem-se o giro relativo :|B
JGL.TB|
B =
Compatibilidade dos deslocamentos:
JGL.TB
B|B = JG
a.T=
La.T
TB =
Da equao de equilbrio:
===
La.T
TTTT BA T LL
La.T
Lb.T
T)aL(LTT AA ==
Exerccio 2) Calcule as reaes nos engastes indeformveis do eixo abaixo.
Superposio dos efeitos:
m.N9,1428,2
4,0x000.1Tm.N1,8578,2
4,2x000.1T 1B1A ====
m.N3,7148,2
0,1x000.2Tm.N7,285.18,2
8,1x000.2T 2B2A ====
m.N6,928.18,2
8,1x000.3Tm.N4,071.18,2
0,1x000.3T 3B3A ====
m.N8,6424,071.17,12851,857TA =+=
m.N2.357.16,19283,7149,142TB =+=
Exerccio 3) Calcule a tenso de cisalhamento mxima que ocorre no eixo abaixo. Os engastes A e B so indeformveis. Dados: G1 = G2; D = 100 mm; d = 50 mm; = 4,0 x 107 N.mm
TTT0M BA =+= Retirando-se o apoio B, tem-se:
DB JG
2000.TGJTL
==
Colocando-se o apoio B:
d
B
D
BB|B JG
3000.TJG2000.T
JGL.T
+==
Compatibilidade dos deslocamentos:
= |BB d
B
D
B
D JG3000.T
JG2000.T
JG2000.T
+=
Clculo de :JeJ dD
464
D mm10x82,932)100(J =pi=
( ) 4644d mm10x20,95010032J =pi= =610x82,9
2000.T6
B6
B
10x20,93000.T
10x9,822000.T
+
=T67,203 mm.N10x38,15TT75,529 6BB =
mm.N10x62,24TTTT 6ABA ==
Clculo de mx: Jr.T
=
6
6
1mx10x82,9
50x10x62,24= = 125,36 N/mm2
6
6
2mx10x20,9
50x10x38,15= = 83,59 N/mm2
Resposta: mx = 125,36 MPa
Exerccio do item 5.6: Calcule a tenso de cisalhamento mdia da barra com seo vazada de parede fina com espessura t constante.
tA2T
md = Onde: A a rea limitada pela linha do esqueleto
2mdmd mm/N21,103x204.2x2
000.135==
Exerccio do item 5.10: Calcule a tenso de cisalhamento mxima da barra abaixo. Dado: = 45.000 N.mm
( )= 3iimx
mxta333,0
t.T
43333ii mm260.103x306x403x30ta =++=
2mx mm/N03,79260.10x333,0
6x000.45==
Diagramas de esforos internos (Momento fletor e fora cortante)
2qx
2x
.qx)x(M2
==
(se o sistema de referncia for colocado na extremidade livre) qx)x(V =
2qx
2qL
x.qL2
qxMx.V)x(M222
BB ==
(Se o sistema de referncia colocado no engaste) qxqLqxV)x(V B +=+=
Lb.PVA = L
a.PVB =
LbaP
a.VM Amx == Ou: LbaPb.VM Bmx ==
LMVA = L
MVB =
aLM
a.VM A1 == bLMb.VM B2 ==
M)ba(LMb
LM
aLMMM 21 =+=+=+
LMVA = L
MVB =
2L.qVV BA == 8
L.qM2
mx =
21Amx L.PL.VM ==
2xqx.V)x(M
2
A = )Lx0( 1
2
21
1A1 L.P2LqL.V)L(M ==
6qLVA = 3
qLVB = 2mx qL064,0M =
L6qx
xV)x(M3
A = = L6qx
x6
qL 3 )Lx0( (se o eixo x tiver
origem no apoio A)
L6qx
2qx
xV)x(M32
B += = L6qx
2qx
x3
qL 32+ )Lx0( (se o
eixo x tiver origem no apoio B)
Exerccios do item 6.3: 1) Calcule a tenso normal e a tenso cisalhante nos pontos KeJ,I .
Esforos internos na seo transversal que contm os trs pontos:
M = 15.000 N.m e V = 5.000 N
443
Z m10x8,11230,0x08,0I ==
Clculo da tenso normal ():
ZIy.M
=
MPa5,12m/N10x5,1210x8,1
)15,0(x000.15 26I4I ==
=
010x8,1
)0(x000.15J4J =
=
MPa5,12m/N10x5,1210x8,1
)15,0(x000.15 26K4K ==
=
Clculo da tenso cisalhante ():
ZI.bQ.V
=
010x8,1x08,00x000.5
4I ==
MPa3125,0m/N10x125,310x8,1x08,0
075,0x15,0x08,0x000.5 254J ===
010x8,1x08,00x000.5
4K ==
2) Uma viga em balano tem largura b constante em todo o comprimento igual a 10 cm e altura varivel, como mostra a figura abaixo. Calcule mxcmxtmx e, no
meio da viga e no engaste. Dado: P = 30.000 N
No meio da viga tem-se os seguintes esforos internos (ou esforos solicitantes): M = 30.000 (N) x 2,5 (m) = 75.000 N.m V = 30.000 N
453
Z m10x8125,21215,0x10,0I ==
MPa200m/N10x20010x8125,2
)075,0(x000.75 265tmx ==
=
MPa200m/N10x20010x8125,2
)075,0(x000.75 265cmx ==
=
MPa3m/N10x310x8125,2x10,0
)0375,0x075,0x10,0(x000.30 265mx ===
No engaste da viga tem-se os esforos internos: M = 30.000 (N) x 5,0 (m) = 150.000 N.m V = 30.000 N
443
Z m10x3021,11225,0x10,0I ==
MPa144m/N10x14410x3021,1
)125,0(x000.150 264tmx ==
=
MPa144m/N10x14410x3021,1
)125,0(x000.150 264tmx ==
=
MPa8,1m/N10x8,110x3021,1x10,0
)0625,0x125,0x10,0(x000.30 264mx ===
3) Para a viga abaixo calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.
N000.27VV0F BAY =+=
09,3xV7,2x000.152,1x000.120M BA =+= N9,076.14VB =
02,1x000.157,2x000.129,3xV0M AB == N1,923.12VA =
443
Z m10x998,61236,0x18,0I ==
MPa34,4m/N10x34,410x998,6
18,0x3,892.16 264tmx ===
MPa34,4m/N10x34,410x998,6
)18,0(x3,892.16 264cmx ==
=
MPa326,0m/N2,854.32510x998,6x18,0
09,0x18,0x18,0x9,076.14 24mx ===
4) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.
N500.12VV0F BAY =+=
09x000.20,6xV0,4x500.40,2x000.60M BA =++= N000.8VB =
00,3x000.20,2x500.40,4x000.6Vx60M AB =+= N500.4VA =
Clculo do momento de inrcia IZ:
4433
Z m10x25,21230,0x10,0
12h.bI ===
Clculo das tenses normais extremas:
264
Zm/N10x0,6
10x25,215,0x000.9
Iy.M
===
MPa0,6Tmx = MPa0,6Cmx =
Clculo de mx:
ZIbQ.V
=
254mx m/N10x0,31025,2x10,0
)075,0x15,0x10,0(x000.6==
5) A viga abaixo est solicitada por trs foras atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.
Clculo das coordenas do centride:
0z_
=
m26,010,0x55,030,0x15,0
35,0x10,0x55,015,0x30,0x15,0AA
yAyAy
21
2
_
2
_
11_
=
+
+=
+
+=
Clculo de IZ:
++= 23
Z )05,014,0(x10,0x55,01210,0x55,0I
4323
m10x373,1)15,026,0(x30,0x15,012
30,0x15,0
=+
23e m/N5,698.91710x373,1
)14,0(.x000.9=
=
23f m/N2,297.704.110x373,1)26,0(.x000.9
==
23g m/N0,799.61110x373,1
)14,0(.x000.6=
=
23h m/N1,198.136.110x373,1
)26,0(.x000.6=
=
MPa70,1Tmx = MPa14,1Cmx =
Clculo de mx:
23mx m/N8,705.14710x373,1x15,0
13,0x26,0x15,0x000.6==
6) A viga abaixo est solicitada pela fora P atuando no plano de simetria vertical. Calcule as tenses normais extremas (mx T e mx C ) e a maior tenso cisalhante.
Clculo das coordenadas do centride:
0z_
=
mm73,82800.8
000.72820x2402x100x20
110x20x2402x50x100x20y_
==
+
+=
+
+= 2x)5073,82(x100x20
12100x20I 2
3
Z
4623
mm10x348,11)1027,37(x20x24012
20x240=+
Clculo das tenses normais extremas:
26tmx mm/N39,27310x348,11
73,82x000.500.37==
26cmx mm/N16,12310x348,11
)27,37(x000.500.37=
=
Clculo de mx:
26mx mm/N54,710x348,11x40
)2x365,41x20x73,82(x000.25==
Conveno de sinais para os momentos fletores yz MeM :
Exerccios item 6.7: 1) Uma viga em balano com 4,0 m de comprimento est solicitada por duas foras: F1 (vertical) e F2 (horizontal). Calcule na seo transversal do engaste as tenses normais extremas e o ngulo () que a L. N. forma com o eixo z. Dados: F1 = 15.000 N; F2 = 27.000 N
Momentos fletores na seo transversal do engaste My e Mz: m.N000.108000.27x4Fx4M 2y ===
m.N000.60000.15x4Fx4M 1z ===
My negativo porque comprime o sentido positivo do eixo z. Mz negativo porque comprime o sentido positivo do eixo y (comprime em baixo).
A linha neutra do momento fletor My coincide com o vetor momento porque o eixo y um eixo principal de inrcia (ZY =0). A linha neutra do momento fletor Mz coincide com o vetor momento porque o eixo z um eixo principal de inrcia (ZY =0).
1230,0x20,0I
3z =
44z m10x5,4I =
1220,0x30,0I
3y =
44y m10x0,2I
=
Clculo da tenso normal na seo transversal do engaste:
= z
z
Iy.M
y
yI
z.M+
= 410x5,4y000.60
410x0,2z000.108
=a 410x5,4)15,0(000.60
410x0,2)10,0(000.108
= 26 m/N10x74
= b 410x5,4)15,0(000.60
410x0,2)10,0(000.108
= 26 m/N10x74
Na linha neutra = 0.
=0 410x5,4y000.60
410x0,2z000.108
Para z = 0 y = 0, portanto, a linha neutra passa pelo centride.
Para z = 0,10 m y = 0,405 m
o13,76)05,4(arctg10,0405,0
tg ===
2) Sendo dados P = 9.800 N e = 72 calcule na seo transversal do engaste: a) as tenses normais extremas; b) o ngulo () que a linha neutra forma com o eixo z.
Decompondo-se o vetor momento nas direes principais de inrcia:
m.N281.37M18cosMM zo
z ==
m.N113.12M18MsenM yo
y ==
Outra forma de calcularem-se os momentos fletores yz MeM : decompondo-se a fora P
No engaste tm-se os seguintes momentos fletores:
m.N281.37M0,472sen800.90,4PM zoyz ===
m.N113.12M0,472cos98000,4PM yozy ===
= x z
z
Iy.M
y
yI
z.M+
= x
125,02,0y281.373
122,05,0
z113.123
+
z10x34,36y10x89,17 66x +=
a) 2666ax m/N10x11,8)10,0(10x34,36)25,0(10x89,17 =+=
2666bx m/N10x11,8)10,0(10x34,36)25,0(10x89,17 =+=
b) Na linha neutra = 0 z10x34,36y10x89,170 66 +=
0y0zPara ==
m203,0ym1,0zPara ==
o8,63)03,2(tgarc1,0
203,0tg ===
Na flexo oblqua a linha neutra no coincide com o vetor momento, portanto, a L.N.
obliqua ao plano que contm o carregamento e o centride.
Exerccio sobre flexo de viga constituda de dois materiais (item 6.8): A viga abaixo composta por madeira (150 mm x 250 mm) e por uma lmina de ao (150 mm x 10 mm). Calcule as tenses normais mximas no ao e na madeira. Dados: s = 205 GPa; M = 10,25 GPa
2025,10
205EE
nm
s===
Clculo das coordenadas do centride colocando-se o sistema de referncia na face superior:
mm78,182103000150250
255103000125.150250y_
=
+
+=
Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z do centride:
23
z )12578,182(25015012250150I += 2
3)522,77(103000
12103000
+
+
46z mm10x23,477I =
Clculo do momento fletor mximo:
mm.N10x254
000.5x000.204LPM 6mx ==
=
Clculo das tenses normais mximas: = zI
y.M
26
6
M mm/N58,91023,477)78,182(1025
=
=
26
6
S mm/N90,80201023,477)22,77(1025
=
=
Exerccio sobre flexo de viga de concreto armado (item 6.9): Calcule a tenso normal mxima no concreto e nas barras de ao da viga abaixo. A armadura constituda de duas barras de ao com dimetro = 30 mm. Dados: s = 205 GPa; C = 13,667 GPa
15667,13
205EE
nc
s===
mN000.708
8x750.88LqM
22
mx ==
=
23232S m10x4137,1)1015(2R2A =pi=pi=
Seo equivalente (seo homogeneizada):
Clculo da coordenada _
y do centride:
+= 1
nAbd21
bnAy
s
s_
+
=
110x4137,1155,025,021
25,010x4137,115y 3
3_
de onde: m219,0y_
=
Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo z:
2__
s
3__
)yd(nA12
yb4I +=
43233
m10x55,2)219,050,0(10x4137,11512
)219,0(25,04I =+=
Clculo da tenso normal no concreto e nas barras de ao:
= zI
y.M
MPa01,61055,2
)219,0(000.703C =
=
MPa71,115151055,2
)281,0(000.703S =
=
Exerccios sobre flexo composta (item 7.1): 1) Para a estrutura abaixo calcule as tenses normais extremas e a posio da linha neutra. Dado: F = 100.000 N
Reduzindo a fora F ao centride tem-se:
MZ = 100.000 (N) x 100 (mm) = 1,0 x 107 N.mm
y
y
z
z
IzM
IyM
AF
+
+=
12400x200
y10x0,1400x200
100.000 3
7
=
y10x375,91,25 3 =
Clculo das tenses normais extremas: 23
Tmx mm/N625,0)200(10x375,91,25 == 23
Cmx mm/N125,3)200(10x375,91,25 ==
Equao da linha neutra: = 0
y10x375,91,25 0 3 =
mm133,3310x375,9
1,25 y 3 =
=
Exerccio 2) Calcule a tenso normal nos pontos f e g e a posio da linha neutra no engaste. Calcule tambm a tenso de cisalhamento mxima.
Seo transversal do engaste: Mz = 3000 x 3,7 5.000 x 2,5 = 23.600 N.m
z
z
IyM
AF
+=
125,0x25,0y23600
5,0x0,25150.000
3
=
y10x06,910x1,2 66 =
Clculo das tenses normais:
MPa06,1)25,0(10x06,910x1,2 66f == MPa46,3)25,0(10x06,910x1,2 66g ==
Equao da linha neutra: = 0
y10x06,910x1,2 0 66 =
m13,010x06,9
10x1,2 y 6
6=
=
Clculo de mx: ZIbQV
=
23mx m/N000.9610x604,2x25,0
0,125x0,25x0,25x8.000 ==
Exerccio 3) Um pilar est solicitado por uma fora de compresso F = 25.000 N. Calcule: a) as tenses normais extremas; b) o ngulo () que a linha neutra forma com o eixo z.
Dados: a = 40 mm; b = 30 mm
Reduzindo a fora F ao centride, tem-se:
o13,53)33,1(tanarc3040
ba
tan ====
mm.N10x25,1 )mm(50x)N(000.25M 6== O vetor momento M deve ser decomposto nas direes principais de inrcia (direes z e y).
mm.N10x0,1 )87,36(cosMM 6oz == mm.N000.750 )87,36(senMM oy ==
Outra forma de calcularem-se :MeM yz
mm.N10x0,1)mm(40x)N(000.25 a.PM 6z === mm.N000.750 )mm(30x)N(000.25b.PM y ===
O momento fletor Mz positivo (traciona o sentido positivo do eixo y) O momento fletor My positivo (traciona o sentido positivo do eixo z)
y
y
z
z
IzM
IyM
AF
+
+=
12120x200
z750000
12200x120
y10x1200x120
25000 33
6
+
+=
z10x6,2y10x25,11,04 22 ++=
a) )60(10x6,2)100(10x25,11,04 22f ++=
MPa85,3N/mm3,85 2f ==
)60(10x6,2)100(10x25,11,04 22g ++=
MPa77,1N/mm1,77 2g ==
b) Linha neutra: = 0
z10x6,2y10x25,11,04 0 22 ++= Para y = 0:
mm40zz10x6,204,1 2 ==
Para z = 0:
mm2,83yy10x25,104,1 2 ==
o3,6408,2)mm(40)mm(2,83
tan ===
Exerccio 4) Um pilar, de seo transversal circular, est solicitado por uma fora de compresso F = 200.000 N. Calcule:
a) as tenses normais extremas; b) a posio da linha neutra.
Dados: a = 80 mm; b = 60 mm
M = 200.000 (N) x 100 (mm) = 2,0x 107 N.mm
Existem infinitos eixos de simetria passando pelo centride de uma rea circular. Todos estes eixos so eixos principais de inrcia. Desta forma o eixo z pode ser girado at encontrar a direo do vetor momento M.
'z
'z
I'yM
AF
+=
A fora F negativa (compresso) e o momento fletor Mz negativo (porque comprime o sentido positivo do eixo 'y ).
64)300(
'y10x0,2150
200.000 4
7
2 pi
pi=
'y10x03,52,83 2=
a)
22f mm/N71,4)150(10x03,52,83 ==
22g mm/N4,10)150(10x03,52,83 ==
b) 'y10x03,52,83 0 2=
mm3,56'y =
Exerccios sobre ncleo central (item 7.2): 1) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal circular, na qual uma fora de compresso (trao) pode atuar e no ocorre tenso normal de trao (compresso).
nA = rea do ncleo central: 222n mm5,196325RA =pi=pi=
tA = rea total do pilar: 222t mm9,415.31100RA =pi=pi=
totalreada%25,6A0625,09,415.31
5,1963AA
nt
n===
2) Calcule a rea de um pilar, com seo transversal retangular, na qual uma fora de compresso (trao) pode atuar e no ocorre tenso normal de trao (compresso).
nA = rea do ncleo central: 2n mm000.52x2100x50A ==
tA = rea total do pilar: 2t mm000.90600x150A ==
totalreada%56,5A0556,0000.90000.5
AA
nt
n===
Exerccios do item 8.4: 1) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo do ponto A; d) a deflexo do ponto d.
1 soluo: Colocando-se o sistema de referncia no ponto A:
)x(M )x(vIE || = )Lx0(x.P )x(M = x.P )x(vIE || +=
1
2| C2xP
)x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =
2PLC0C
2LP
)L(vIE2
11
2|==+=
a) 2
PL2xP
)x(vIE22|
=
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
2
23C
2xPL
6xP
)x(vIE += Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =
3PL
2PL
6PLC0C
2LPL
6LP)L(vIE
333
22
23=+==+=
b) 3
PL2
xPL6xP
)x(vIE323
+=
c) 3
PL2
0PL60P
)0(vIE323
+=
IE3PL
v)0(v3
A ==
d) ( )3
PL2
)2L(PL6
2LP )2L(vIE
323+=
3333
PL48
)16121(3
PL4
PL48
PL)2/L(EIv +=+=
EI48PL5
v)2/L(v3
d ==
2 soluo: Colocando-se o sistema de referncia no engaste:
PVe PLM:apoiodeaesRe BB ==
)Lx0(x.P PLxVM)x(M BB +=+=
)x(M )x(vIE || =
x.PPL )x(vIE || =
1
2| C2xP
xPL)x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)0(v | =
0C0C20P
0PL)0(vIE 112|
==+=
a) 2xP
xPL)x(vIE2|
=
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
2
32C
6Px
2xLP
)x(vIE +=
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)0(v = 0C0C00)0(vIE 22 ==+=
b) 6
Px2xLP
)x(vIE32
=
c) 332
PL)6
13(6
PL2LPL
)L(vIE ==
IE3PL
v)L(v3
A ==
d) ( ) 33332 PL)48
16(48
PL8
PL6
)2/L(P2
2LLP )2L(vIE ===
EI48PL5
v)2/L(v3
d ==
2) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo do ponto A; d) a deflexo do ponto d.
)Lx0(2
qx )x(M
2=
2qx
)x(vIE2|| +=
1
3| C6
qx )x(vIE +=
Os engastes impedem rotaes, ento: 0)L(v | =
6qLC0C
6Lq
)L(vIE3
11
3|==+=
a) 6
qL6xq
)x(vIE33|
=
Integrando a equao acima tem-se a expresso de v(x):
2
34C
6xqL
24xq
)x(vIE +=
Os engastes impedem deslocamentos, ento: 0)L(v =
8qL
6qL
24qLC0C
6LqL
24Lq)L(vIE
444
22
34=+==+=
b) 8
qL6
xqL24xq
)x(vIE434
+=
c) 8
qL6
0qL240q
)0(vIE434
+=
IE8qL
v)0(v4
A ==
d) 8
qL6
)3/L(qL24
)3/L(q )3/L(vIE
434+=
4444
qL1944
)2431081(8
qL18qL
1944qL)3/L(EIv +=+=
EI243qL17
EI1944qL136
v)3/L(v44
d ===
3) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo mxima; d) a rotao nos apoios.
)Lx0(2
qxx
2qL
2qx
x V)x(M22
A ==
2qx
x2
qL )x(vIE
2|| +=
1
32| C
6qx
x4
qL )x(vIE ++=
21
43 CxC
24qx
x12qL
)x(vIE +++=
Condies de contorno (ou condies de extremidades):
0)0(v = e 0)L(v =
0C0C0C240q0
12qL
)0(vIE 2214
3==+++=
0LC24
qLL12qL
)L(vIE 14
3=++=
24qLC
24qL
12qL
LC3
1
44
1 ==
a) 24qL
6qx
x4
qL )x(vIE
332| ++=
b) x24qL
24qx
x12qL
)x(vIE34
3 ++=
c) A deflexo mxima ocorre no meio da viga:
)2/L(24qL
24)2/L(q)2/L(
12qL
)2/L(vIE34
3 ++=
4444
qL384
)814(48
qL384qL
96qL
)2/L(vIE ++=++=
IE384qL5
)2/L(vv4
mx ==
Observao: Para vigas bi-apoiadas a deflexo mxima ocorre onde
0)x(v| =
024qL
6qx
x4
qL )x(vIE
332|
=++=
De onde:
0LxL6x4024L
x4L
6x 323
32
3=+=+
A equao do terceiro grau acima fornece trs razes reais que so: X1 = 1,366L X2 = 0,5L X3 = 0,366L
d) Rotao nos apoios: )x()x(v|
IE24qL)0(v
24qL
60q0
4qL
)0(vIE3
A|332|
=++=
IE24qL)L(v
24qL
6qLL
4qL
)L(vIE3
B|332|
=++=
4) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo no meio do vo; d) a deflexo mxima;
6qLV0
3L
2qLLV0M AAB ===
3qLV0
3L2
2qLLV0M BBA ===
)Lx0(L6
qxx
6qL
L6qx
x V)x(M33
A ==
L6qx
x6
qL )x(vIE
3|| +=
1
42| C
L24qx
x12qL
)x(vIE ++=
21
53 CxC
L120qx
x36qL
)x(vIE +++=
Condies de contorno (ou condies de extremidades):
0)0(v = e 0)L(v =
0CC0CL120
0q036qL
)0(vIE 2215
3=+++=
0LCL120
qLL36qL
)L(vIE 15
3=++=
360qL7C
120qL
36qL
LC3
1
44
1 ==
a) 360qL7
L24qx
x12qL
)x(vIE34
2| ++=
b) x360qL7
L120qx
x36qL
)x(vIE35
3 ++=
c) )2/L(360qL7
L120)2/L(q)2/L(
36qL
)2/L(vIE35
3 ++=
IE768qL5
)2/L(v4
=
d) A deflexo mxima ocorre onde v| (x) = 0 0
360qL7
L24qx
x12qL
)x(vIE34
2|=++=
Multiplicando a expresso acima por 360L, tem-se:
0L7 x15xL30 4422 =++
Chamando de : 2xa = 0L7 a15aL30 422 =++ As razes da equao do segundo grau acima so:
22
21
L27,0a
L73,1a
=
=
ax =
L32,1L73,1x 221 ==
L52,0L27,0x 243 ==
Portanto, a deflexo mxima vai ocorrer na coordenada x = 0,52L:
)L52,0(360qL7
L120)L52,0(q)L52,0(
36qL
)L52,0(vIE35
3 ++=
EIqL00652,0
v)L52,0(v4
mx ==
5) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo. IE = constante. Dados: = 120 GPa; q = 80.000 N/m
4333
m10x083,2I12
)5,0(20,012hbI ===
EIqL00652,0
v4
mx =
m10x3,110x083,2x10x120
)5(x000.80x00652,0v 339
4
mx
==
6) Sendo = constante, determine: a) a equao da tangente linha elstica; b) a equao da linha elstica; c) a deflexo mxima; d) a deflexo do ponto de aplicao da fora P.
Trecho 1: )2/Lx0(0)x(M = 0 )x(vIE || = 1
| C )x(vIE = 21 CxC )x(vIE += Trecho 2: )2/Lx0(Px)x(M = xP )x(vIE || =
3
2| C2
Px )x(vIE +=
43
3CxC
6Px
)x(vIE ++= Condies de contorno:
Para x = L/2 do trecho 2: v| (L/2) = 0 e v(L/2) = 0
8PLC0C
2)2/L(P
)2/L(vIE2
33
2|==+=
0C)2/L(8
PL6
)2/L(P )2/L(vIE 4
23=+=
24PLC
16PL
48PL
C3
4
33
4 =+=
3 condio de contorno: Em funo da continuidade da linha elstica:
2Trecho|
1Trecho| )0(vIE)2/L(vIE =
8PLCC
20PC
2
13
2
1 =+=
4 condio de contorno: 2Trecho1Trecho )0(vIE)2/L(vIE =
43
3
21 C)0(C6)0(P
C)2/L(C ++=+
24PL
C)2/L(8
PL 32
2=+
48PL5
16PL
24PL
C333
2 =+=
a) Trecho 1: 8
PL )x(vIE
2|=
Trecho 2: 8
PL2
Px )x(vIE
22|=
b) Trecho 1: 48PL5
x8
PL )x(vIE
32+=
Trecho 2: 24
PLx
8PL
6Px
)x(vIE323
+=
c) 48PL50
8PL
)0(vIE32
+=
IE48PL5
v3
mx =
d) Para calcular a deflexo do ponto de aplicao da fora P pode-se usar a equao de v(x) para x = L/2 do trecho 1 ou a equao de v(x) do trecho 2 para x = 0:
24PL0
8PL
60P
)0(vIE323
+=
IE24PL
)0(v3
=
7) Determine a deflexo do ponto A. IE = constante.
)Lx0(2
qxPx)x(M2
=
3PL
2xPL
6xP
)x(vIE323
+=8
qL6
xqL24xq
434++
3PL
20PL
60P
)0(vIE323
+=8
qL6
0qL240q
434++
IE8qL
IE3PL
v)0(v43
A +==
vlido o princpio da superposio dos efeitos para o clculo de flechas.
8) Determine a deflexo no meio da viga. IE = constante.
Trecho 1: )2/Lx0(x2P)x(M =
x2P)x(vIE || =
12| Cx
4P
)x(vIE +=
213 CxCx
12P
)x(vIE ++=
Condies de contorno: Para x = L/2: v| (L/2) = 0
16PLC0C)2/L(
4P
)2/L(vIE2
112|
==+=
Para x = 0: v(0) = 0 0C0C0
16PL0
12P
)0(vIE 222
3==++=
Ento: )2/Lx0(x16PL
x12P
)x(vIE2
3 +=
Clculo da deflexo no meio do vo: 3
3323 PL
96)31(
32PL
96PL)2/L(
16PL)2/L(
12P
)2/L(vIE +=+=+=
IE48PL)2/L(v
3=
9) Sabendo que a deflexo mxima da viga abaixo igual a 0,6 cm calcule o valor do mdulo de elasticidade da viga abaixo. IE = constante.
IE48PL
v3
mx =
443
z m10x375,31230,015,0I ==
4
3
10x375,3E48)4,6(26000006,0
=
29 m/N10x12,70E =
ou: GPa12,70E =
10) Calcule a deflexo (flecha) mxima da viga abaixo devida ao peso prprio. A viga de ao e tem seo transversal em forma I .
Dados: s = 77 kN/m3; z = 4,16x10 5 m4; s = 205 GPa; IE = constante.
A carga q (N/m) obtida multiplicando-se o peso especfico pela rea da seo transversal:
2mm000.3300x62x100x6A =+=
Ou: 2326 m10x0,3m)10(000.3A == m/N231)m(10x0,3x)m/N(77000A.q 233 ===
m10x31,210x16,4x10x205x384
9x231x5IE384
qL5v 359
44
mx
===
11) Sendo IE = constante determine a deflexo mxima e a rotao nos apoios.
xLM
xV)x(M A ==
xLM
)x(vIE || =
1
2| CL2xM
)x(vIE +=
21
3CxC
L6Mx)x(vIE ++=
Condies de contorno: v(0) = 0 e v(L) = 0: 0C0C0C
L60M)0(vIE 221
3==++=
6MLC0LC
L6ML)L(vIE 11
3==+=
Ento: 6
MLL2xM
)x(vIE2| +=
x6
MLL6
Mx)x(vIE3
+=
A deflexo mxima ocorre onde v|(x) = 0 0
6ML
L2xM
)x(vIE2|
=+=
L58,03
Lx
6L2
x6L
L2x
222
2====
23
ML064,0)L58,0(6
MLL6
)L58,0(M)L58,0(vIE =+=
EIML064,0
v)L58,0(v2
mx ==
Rotao nos apoios:
EI6ML)0(v
6ML
L20M
)0(vIE |2|
=+=
EI3ML)L(v
6ML
L2LM
)L(vIE |2|
=+=
12) Sabendo que a deflexo do ponto d igual a 11 mm calcule o mdulo de elasticidade da viga. IE = constante.
)2/Lx0(x16PL
x12P
)x(vIE2
3 +=
Para x = 2,0 m, tem-se:
P833,3)0,2(16
)0,6(P)0,2(12P
)0,2(vIE2
3=+=
433
m10x0667,112
40,0x20,0 I ==
17000833,3011,010x0667,1E 3 =
GPa55,5m/N10x55,5E 29 ==
Exerccios do item 8.6: 1) Construa os diagramas de esforos internos (momento fletor e fora cortante) da viga abaixo. = constante.
0LqVV0F BAY =+=
0MLV2LLq0M BBA =+=
Vamos retirar o apoio A (a viga fica isosttica) e determinar o deslocamento que este apoio est impedindo:
Colocando-se o apoio A
Compatibilidade dos deslocamentos:
8Lq3V
EI8qL
EI3LV
A
43A
==
As outras duas reaes so obtidas com as equaes de equilbrio:
8Lq5V
8qL3LqVLqV BAB ===
8qLML
8qL5
2qLM
2
B
2
B =+=
Com o sistema de referncia com origem no apoio A, tem-se:
)Lx0(xqV)x(Ve2
qxxV)x(M A
2
A ==
O momento fletor mximo positivo ocorre onde V(x) = 0:
q8qL3
qV
x0xqV AA === 8L3
x =
128qL9
2)8L3(q)8L3(
8qL3)8L3(MM
22
mx ===
2) Determine a fora (F) de trao na mola. = constante.
Retirando-se a mola da viga:
A mola aplica uma fora F na viga em sentido contrrio da fora P:
Compatibilidade dos deslocamentos: EI3
PLEI3
FL 3M
3=+
Lei de Hooke para molas: MkF =
EI3PL
kF
EI3FL 33
=+
Multiplicando a expresso acima por IE3 :
33 PLk
FIE3FL =+ 33 PLkEI3LF =
+
De onde:
kEI3L
PLF3
3
+=
Anlise de casos extremos:
Se: == FIE 0 Se: == F0IE P Se: == Fk P Se: == F0k 0
Exerccios sobre flambagem: 1) Investigue se vai ocorrer flambagem do pilar BC. Dados: BC = 120 GPa; LBC = 4,0 m.
Clculo da carga crtica do pilar BC:
( )2flmin
2
CRL
IEP pi=
43
min mm500.1121230x50I ==
mm40004000x0,1LKLfl ===
( ) N5,327.84000112500x10x120P 2
32
CR =pi
=
A fora de compresso que atua no pilar BC maior do que a carga crtica ( CRP ) do pilar. Portanto, vai ocorre flambagem do pilar BC.
2) Resolva o problema anterior considerando que o pilar BC est engastado no ponto C.
Clculo da carga crtica do pilar BC:
( )2flmin
2
CRL
IEP pi=
mm28004000x7,0LKLfl ===
( ) N9,994.162800112500x10x120P 2
32
CR =pi
=
CRBC PF < , neste caso no vai ocorrer flambagem do pilar.
3) Calcule o valor crtico da fora P. As duas barras tm seo transversal circular com dimetro = 15mm e mdulo de elasticidade = 205 GPa.
o60)5,0(cosarc69,0345,0
cos ===
P155,160sen
PF0senFP0Fo22Y
===+=
==+= cosFF0cosFF0F 2121X
P5775,060cos)P155,1(F o1 == Clculo da carga crtica da barra 2:
( )2flmin
2
CRL
IEP pi=
4944
min m10x485,264)015,0(
64DI =pi=pi=
m69,069,0x0,1LKLfl ===
( ) N560.1069,010x485,2x10x205P 2
992
CR =pi
=
Para que ocorra flambagem da barra 2: F2 = Pcr, ento:
N9,142.9P560.10P155,1 ==
4) A trelia abaixo formada por quatro barras de ao com seo transversal circular. Todas as barras tm o mesmo dimetro = 30 mm e mdulo de elasticidade =205 GPa. Calcule:
a) a tenso normal na barra CD; b) o alongamento da barra AC; c) investigue se a barra AB ir flambar.
N4800H06,5x12004,1xH0M DDB ===
N4800H0HH0F BDBX ===
Diagrama de corpo livre do n A:
o57,26)5,0(tanarc8,24,1
tan ===
N8,2682F01200senF0F ACACY ===
==+= cosFF0FcosF0F ACABABACX
N2400)57,26(cos8,2682F oAB ==
Diagrama de corpo livre do n B:
BABBCBBCABXHFcosF0HcosFF0F ==++=
N4,683.2)57,26(cos400.2800.4)2400(cosFBC =
==
0senFV0F BCBY =+=
N1200)57,26(sen)4,2683(V oB ==
Portanto, VD = 0.
a) 2CD2CD
CDCD mm/N79,615
4800AF
=pi
==
b) m10x79,5)015,0(10x205
13,3x8,2682AELFL 529
ACAC
ACACAC
=
pi==
c) Clculo da fora crtica da barra AB:
444
min mm8,3976064)30(
64DI =pi=pi=
mm56005600x0,1LKLfl ===
( ) N3,565.256008,39760x10x205
LI
P 232
2fl
min2
CR =pi
=
pi=
FAB = 2.400 N < PCR = 2.565,3 N, portanto, a barra AB no ir flambar.
Exerccios resolvidos do Anexo Exerccio 1) Determine as coordenadas do centride de uma rea retangular.
h.b
dzdy.y
A
dA.yy
h
0
b
0A_
== [ ] b.2
h.
h.b1
z.2
yh.b
1 2b0
h
0
2=
=
de onde: 2hy
_
=
h.b
dz.zdy
A
dA.zz
h
0
b
0A_
== [ ]2
bhh.b
12
z.y
h.b1 2
b
0
2h0 =
=
de onde: 2b
z_
=
O Sistema de referncia pode ter origem em qualquer ponto do plano da rea.
Para o sistema de referncia acima:
mmxxz_
=
= 0y_
0A
dA.yy A_
==
0dA.y:entoA A =
0dA.yQAZ
==
O eixo z passa pelo centride da rea A, portanto, o momento esttico de uma rea finita em relao a qualquer eixo que passa pelo centride nulo. 2) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do centride.
6060
160
200
2160
200
60
60AZz
2ydz.dy.ydA.yQ
===
[ ] [ ] [ ] 120000.40600.2521)60(60)200()160(
21Q 22Z ==
3Z mm000.864Q =
Outra forma de calcular-se o momento esttico:
AyQA
Qy
A
dA.yy
_
ZZ
_
A_
===
3Z mm000.86412040)180(Q ==
Outra forma de calcular-se o momento esttico: atravs da rea abaixo
3_
Z mm000.86436012020AyQ === 3) Calcule o momento esttico da rea hachurada em relao ao eixo horizontal do centride.
3_
Z mm000.400.2120200100AyQ ===
Demonstrao do teorema dos eixos paralelos
2|ZZ a.AII +=
2|YY b.AII +=
= A2|
|Z dA)y(I
[ ] ++=+= A 2|2|A 2|Z dAaay2)y(dA)ay(I ++= A A A
2|2|Z dAadAya2dA)y(I
O momento esttico de uma rea em relao a um eixo que passa pelo seu centride
nulo, ento: =A| 0dAy
2|ZZ a.AII +=
4) Para a rea abaixo, determine: a) o momento de inrcia IZ b) o momento de inrcia IY
a)
==
2b
2b
2h
2h2
A2
Z dzdyydAyI
=
2h
2h
3
Z 3yI 2b 2bz
=
2b
2b
8h
8h
31 33
12hbIb
8h
8h
31I
3
Z
33
Z =
+=
b)
==
2b
2b22h
2hA2
Y dzzdydAzI
=
2h2hY yI
2b
2b
3
3z
12bh 3
=
5) Determine o momento de inrcia de uma rea circular vazada em relao ao eixo Z.
= A2
Z dAyI onde: drrddA =
== senryr
ysen
= drrd)rsen(I2
Z pi
= er
ir
2
023 dsendrr
( )pi
=2
0
er
ir
4
Z cossen21
4rI
( ) ( )[ ])0cos0sen0(2cos2sen221
4rr
I4i
4e
Z pipipi
=
( ) ( )4
rrI2
21
4rr
I4i
4e
Z
4i
4e
Zpi
=pi
=
Ou colocando em funo dos dimetros externo e interno:
pi=
4i
4e
Z 2D
2D
4I
pi=
16D
16D
4
4i
4e
[ ]4i4eZ DD64I pi= Particularizando para seo cheia (Di = 0):
64D
I4e
Zpi
=
Observaes: 1) Existem infinitos eixos de simetria que passam pelo centride de uma rea circular. Portanto, todos os momentos de inrcia em relao aos eixos que passam pelo centride so iguais.
2 ) No confundir momento de inrcia ( I ) com momento de inrcia toro (J ) I usado na flexo J usado na toro
64D
II4
YZpi
== (para seo circular cheia)
222 yzr +=
+=+== A A A2222
A2 dAydAzdA)yz(dArJ
ZY IIJ += 32D
64D
64D 444 pi
=
pi+
pi=
6) Calcule o momento de inrcia de uma rea em forma de T em relao ao eixo horizontal (Z) do centride.
Clculo das coordenadas do centride:
0z_
=
21
_
22_
11A_
AAyAyA
A
ydAy
+
+==
10,0x80,020,0x50,0
55,0x10,0x80,025,0x50,0x20,0+
+=
m383,018,0069,0y
_
==
Se o sistema de referncia auxiliar for colocado na face superior, tem-se:
=
_
y m217,018,0039,0
10,0x80,020,0x50,035,0x50,0x20,005,0x10,0x80,0
==
+
+
Transladando-se o sistema de referncia para o centride da figura, tem-se:
Clculo de IZ usando-se o teorema dos eixos paralelos:
2|ZZ a.AII +=
23
23
Z )133,0(x5,0x2,0125,0x2,0)167,0(x1,0x8,0
121,0x8,0I +++=
43Z m10x15,6I =
7) Para a rea do exerccio anterior calcule o momento de inrcia em relao ao eixo y ( YI ).
4333
Y m10x6,41220,0x50,0
1280,0x10,0I =+=
Exerccios sobre eixos principais de inrcia: 1) Calcule os momentos de inrcia centrais principais e as direes dos eixos principais de inrcia.
Clculo das coordenadas do centride:
=
=
=n
1ii
n
1ii
_
i_
A
yA
y
2,767,122,767,122,767,12)4,25(2,767,1235,62,767,121,382,767,12
y_
++
++= = 6,35 mm
=
=
=n
1ii
n
1ii
_
i_
A
zA
z
2,767,122,767,122,767,12)25,95(2,767,128,502,767,1235,62,767,12
z_
++
++= = 50,8 mm
+
=
122,767,12I
3
Z 2)75,31(2,767,12 ++
127,122,76 3
4Z
23
mm7,612.900.2I)75,31(2,767,1212
2,767,12=+
+
=
127,122,76I
3
Y 2)45,44(2,767,12 ++
122,767,12 3
4Y
23
mm0,401.318.4I)45,44(2,767,1212
7,122,76=+
+= 0I YZ )45,44()75,31(2,767,12 45,4475,312,767,120 ++
4YZ mm7,518.731.2I =
Clculo de 1, 2, 1 e 2
2ZY
2ZYYZ
1 I2II
2III +
+
+= = 6.431.514 mm4
2ZY
2ZYYZ
2 I2II
2II
I +
+= = 787.499,5 mm4
Y1
ZY1 II
Itg
= = 52,27
=2Y
ZY2 II
Itg = 37,73
2) Calcule os momentos de inrcia centrais principais e as direes dos eixos principais de inrcia.
Clculo das coordenadas do centride:
2,767,122,767,122,767,121,382,767,1285,692,767,121,382,767,12y
_
++
++= = 48,68 mm
2,767,122,767,122,767,1225,952,767,128,502,767,1235,62,767,12
z_
++
++= = 50,8 mm
+
+
= 2)1,3868,48(2,767,1212
2,767,12I 23
Z
4Z
23
mm6,889.599.1I)35,652,27(2,767,1212
7,122,76=+
+
+
= 2)35,61,38(2,767,1212
7,122,76I 23
y
4y
3mm6,359.445.2I
122,767,12
=
O produto de inrcia zy igual a zero (a rea possui um eixo de simetria), ento os eixos Z e Y so os eixos principais de inrcia. y o maior momento de inrcia = 1 z o menor momento de inrcia = 2
3) Para a rea abaixo calcule os momentos de inrcia principais.
41033
Z mm10x97,112400x300
12800x500I ==
4933
Y mm10x43,712300x400
12500x800I ==
YZYZ IeI0I = so os eixos principais de inrcia.
410Z1 mm10x97,1II ==
49Y2 mm10x43,7II ==