5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
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Lista de Exerccios: solues - Unidade 2
2.1 Uma lmina de ao de espessura (ou altura) t= 3 mm, comprimento L= 300 mm, largura b= 20 mm, mdulode elasticidade E= 210 x 109Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e usada como uma molasimplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento.(a)Determinar a constante de mola para a fora e deslocamento na direo vertical, na posio da massa.(b)Quais as modificaes que se fariam nas dimenses da viga para duplicar a sua constante de mola?(c)Determinar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra com lubrificante entre
elas (no h atrito).(d)Encontrar a constante de mola se duas lminas so usadas uma em cima da outra e soldadas juntas.Dados: t= 3 mm,L= 300 mm, b= 20 mm,E= 210 x 109Pa
(a) Viga bi-apoiada sob flexo3
48
L
EIk
com 41233
m104512
003,002,0
12
bt
I
N/m108,163,0
1045102104848 33
129
3
L
EIk
(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes solues:1. Diminuir o comprimento para
m238,0108,162
10451021048
2
483
3
129
3
k
EIL
2. Aumento do momento de inrcia (dimenses da seo transversal)
411
9
333
m1091021048
3,0108,162
48
2
E
klI
(c) A configurao proposta consitui-se em uma associao em paralelo, implicando na duplicao da rigidez,de forma que N/m106,33108,162 33 k
(d) Desta forma a espessura da viga duplicada t= 6 mm412
33
m1036012
006,002,0
12
bt
I
N/m101343,0
10360102104848 33
129
3
L
EI
k
2.2 Uma mquina de massa m= 500 kg montada em uma viga de ao bi-apoiada, de comprimento L= 2 m, quepossui uma seo transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Parareduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar ovalor de knecessrio para reduzir a flecha da viga para um tero do seu valor original (sem a mola). Assumirque a massa da viga desprezvel.
m
k
Figura 2.1
Dados: m= 500 kg,L= 2 m, t= 0,1 m, b= 1,2 m eE= 206 x 109N/m2.
Como o momento de inrcia (em relao linha elstica) de uma viga
4433
m1000,112
1,02,1
12
tb
I
A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro
N/m101262
1000,1102104848 63
49
3
L
EIkv
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A mola de rigidez kse associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flechaseja reduzida para um tero de seu valor inicial tem-se
33
v
eq
viga
fina l
kP
k
P
De onde
N/m10252106,123223 66 vvveq kkkkkk
2.3 O eixo de um elevador em uma mina est suspenso por dois cabos de comprimento L= 150 m e dimetro d =20 mm cada. Os cabos so feitos de ao com mdulo de elasticidadeE= 210 x 109Pa.(a)Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do
eixo para deslocamento na direo vertical.(b)Determinar como a constante de mola ir variar se o nmero de cabos for aumentado para quatro.(c)Determinar como a constante de mola ir variar se o dimetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos).Dados:L= 150 m, d = 20 mm,E= 210 x 109Pa.
(a) N/m104401504
02,010210
4
3292
L
Ed
L
EAk
Com dois cabos em paralelo
N/m108802 3 kkeq
(b) N/m1076,14 6 kkeq
(c) N/m109901504
03,010210
4
3292
L
Ed
L
EAk
N/m1098,12 6 kkeq
Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variao de 2,25 vezes na rigidez para umaampliao de 50% no dimetro do cabo.
2.4 Um sistema de barra de toro de uma suspenso automotiva possui comprimentoL= 1,5 m e dimetro d= 18mm. O mdulo de elasticidade transversal G= 85 GPa.(a)Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades.(b)Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G= 41 GPa.Dados: l= 1,5 m, d= 18 mm, G= 85 GPa(a)
4944
m103,1032
018,0
32
d
J
N.m/rad5845,1
103,101085 99
L
GJkt
(b) Com G= 41 GPa
N.m/rad2825,1
103,101041 99
L
GJkt
2.5 Uma mola de lminas mltiplas consiste de trs lminas de ao de comprimentoL= 0,3 m, largura b= 0,10 me espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexo vertical se o mdulo deelasticidade E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexo rgido. Notar que as extremidades das lminas
permanecem sempre horizontais.
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Figura 2.2
Dados:L= 0,3 m, b= 0,10 m, t= 0,005 m eE= 210 GPaUma viga bi-engastada, com carregamentoPconcentrado no seu centro, possui uma deformao igual a
EI
PLviga
192
3
Cada uma das 3 lminas uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformaovertical, sem girar. Desta forma ela pode, em funo da simetria, ser considerada como a metade de uma
viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que ser necessrioo dobro da carga para produzir uma igual deformao em uma viga bi-engastada com o dobro docomprimento de cada lmina.
EI
LF
k
F
192
23
23
3
de onde
N/m102,973,0
12
005,01,01021012
123 33
39
3
L
EI
F
k
Como so trs lminas que sofrem a mesma deformao, esto associadas em paralelo de forma que arigidez equivalente
N/m102923 3 kkeq
2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d= 8 mm, conectadas como mostrado,em um crculo de um raio R= 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento l = 250 mm e o mdulo deelasticidade do material na mola E= 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barraest carregada em flexo com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos.
Figura3Dados: d= 8 mm,R= 100 mm, l= 250 mmE= 210 GPa,Cada barra se comporta como as lminas do exerccio anterior, submetidas a flexo, de forma que sua rigidez
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3
12
l
EIPk
barra
A rigidez torsional proporcionada por cada barra determinada por
N.m/rad32425,0
1,064
008,01021012
123
24
9
3
2
2
l
REIRk
R
RPMk barra
t
t
Como so 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associao em paralelo(mesma deformao), a rigidez torsional equivalente
N.m/rad1059,232488 3 teqt kk
2.7 Uma barra de toro consiste de trs segmentos com dimetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400,600, e 500 mm, respectivamente, conectados em srie de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa,determinar a constante de mola torsional.
Dados: d1= 30 mm, d2= 40 mm, d3= 50 mm, l1= 400 mm, l2= 600 mm, l3= 500 mm, G= 105 GPa.
N.m/rad109,204,032
03,010105
32
3
49
1
4
1
1
1
1
l
dG
l
GIk P
t
N.m/rad100,44
6,032
04,010105
32
3
49
2
4
2
2
2
2
l
dG
l
GIk P
t
N.m/rad101295,032
05,010105
32
3
49
3
4
3
3
3
3
l
dG
l
GIk P
t
N.m/rad108,12
10129
1
100,44
1
109,20
1
1
111
1 3
333
321
ttt
eq
kkk
k
2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmisso de caminho tem dimetro do arame d= 10 mm, dimetro D= 100 mm e tem 15 espiras, mdulo de elasticidade transversal G= 81 GPa.(a)Encontrar a constante de mola axial.(b)Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o nmero de espiras.(c)Encontrar a constante de mola se duas molas esto conectadas em paralelo.(d)Encontrar a constante de mola se duas molas so conectadas em srie.Dados: d= 10 mm,D= 100 mm, n= 15 espiras e G= 81 GPa.
(a) N/m1075,61,0158
01,01081
8
3
3
49
3
4
nD
Gdk
(b) N/m1038,31,0308
01,01081
8
3
3
49
3
4
nD
Gdk
(c) N/m105,132 3 kkeq
(d) N/m1038,32
4k
keq
2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e feita de ao comE= 2,1 x 1011
Pa, d=3 mm e deDi= 30 mm. Determinar a constante torsional da mola.
Dados:E= 210 GPa, d= 3 mm,Di= 30 mm e n= 6.
D=Di+ d= 3 + 30 = 33 mm
N.m/rad895033,0632
003,010210
32
393
nD
Edk
t
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Figura 2.4
2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direo de
Figura 2.5
2
2
1
eqkU
2323
2
12121
2
23
2
121
2
2
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1 lklkkkklklkkkkU
tttt
223
2
12121 lklkkkkk
tteq
2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6Os trs segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, esto submetidos toro esto associados em srie,
possuindo rigidez equivalente:
313221
321
321
1 111
1
kkkkkk
kkk
kkk
keq
Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4,ocorre uma associao em paralelo:
412 kkkeqeq
As duas molas de rigidezes k5e k6esto associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente
653 kkk
eq
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6/51
Figura 2.6
As duas molas de rigidezes k7e k8esto associadas em srie, possuindo rigidez equivalente
87
87
87
4 11
1
kk
kk
kk
keq
Os segmentos de eixo esto submetidos toro , enquanto que as molas esto submetas a uma deformaolinear igual a
Rx A energia potencial total igual soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementosdeformados (segmentos de eixos e molas)
224
2
32
2
4
2
3
2
22
1
2
1
2
1
2
1 RkRkkxkxkkU
eqeqeqeqeqeq
Substituindo os termos das rigidezes
22
87
87
65
313221
321
42
1
R
kk
kkkk
kkkkkk
kkkkU
De forma que a rigidez torcional equivalente 2
87
87
65
313221
321
4 R
kk
kkkk
kkkkkk
kkkkk
eq
2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de dimetro interno de espessura tque possui a mesmaconstante de mola axial que o eixo slido cnico mostrado na Fig. 2.7.
D d
l Figura 2.7
1
2
1
22
1
22
1 4
44
4
24
4 l
tdtE
l
dtdE
l
ddE
l
EA
l
EDdk
ie
Dd
tdltl
41
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2.13 Determinar a massa equivalente referente coordenadaxpara o balancim mostrado na Fig. 2.8.
Figura 2.8
A massa m2se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angularb
x e a massa m1
com velocidade linear xb
aa .
A energia cintica total igual soma das energias cinticas de cada uma das inrcias (massas emtranslao e balancim em rotao), dada por
2
2
2
2
2
2
1
2
2
22
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1xmx
bJx
b
amxmJx
b
amT
OO
2
2
22
1
1
2
1xm
bJ
b
amT
O
De forma que a massa equivalente
22
2
1 mb
Jamm O
eq
2.14 Duas massas, com momentos de inrcia de massa J1 e J2, so colocadas em eixos rgidos rotativos que soligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o nmero de dentes nas engrenagens 1 e 2 so n1e n2,respectivamente, determinar o momento de inrcia de massa equivalente correspondente a 1.
Figura 2.9
Energia cintica
2
22
2
112
1
2
1 JJEC
Relao de transmisso
2211 nn
Ento
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8/51
2
12
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
112
1
2
1
2
1
J
n
nJ
n
nJJEC
Momento de inrcia equivalente
2
2
2
1
1 Jn
nJJ
eq
2.15 Determinar o momento de inrcia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, comreferncia ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Jie niso os momentos de inrcia de massa e os nmeros dedentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N.
Figura 2.10
Energia cintica
N
i
iiJEC
2
1
2
2
1
Relaes de transmisso
11 iiii nn
N
i
iii
i
n
n
n
n
nJJEC
0
2
1
2
12
4
3
2
1122
22
1
Ento
21
0
2
12
4
3
2
1122
22
1
N
i
iii
i
n
n
n
n
nJJEC
Momento de inrcia equivalente
N
i
iiieq
i
n
n
n
n
nJJJ
0
2
12
4
3
2
1122
2
2.16 Um oscilador harmnico possui massa m= 1,2 kg e constante de rigidez k= 8,5 kN/m. Determinar a freqncianatural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto).Dados: m= 1,2 kg, k= 8,5 kN/m
rad/s2,842,1
8500
m
kn
cpm804cpm60)(13,4Hz4,132
2,84
2
f
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9/51
2.17 Um oscilador harmnico possui massa m= 10 kg e perodo de vibrao natural, medido em um osciloscpio,igual a 35 ms. Determinar a constante de mola.
Dados: m= 10 kg, Tn= 35 ms.
N/m10322035,0
10442 3
2
2
2
222
n
nnT
mfmmk
2.18 Um automvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspenso 0,02 m sob condies estticas.Determinar a freqncia natural do automvel na direo vertical assumindo que o amortecimento sejadesprezvel.
Dados: m= 2000 kg, st= 0,02 m
rad/s1,2202,0
81,9
st
n
g
m
k
2.19 Uma prensa industrial est montada sobre uma camada de borracha para isol-la de sua base. Se a borracha estcomprimida 5 mm pelo peso prprio da prensa, determinar a freqncia natural do sistema.
st
st
g
m
kkmg
rad/s3,44005,0
81,9
st
n
g
m
k
Hz05,72
3,44
2
n
nf
2.20 Um sistema massa-mola possui um perodo natural de 0,21 seg. Qual ser o perodo se a constante de mola (a)aumentada em 50 % ?(b)reduzida em 50 % ?Dados: Tn= 0,21 seg
s21,022
k
mT
n
n
(a)Rigidez aumentada em 50 % ?s171,021,0
5,1
1
5,12
k
mT
n
(b)Rigidez reduzida em 50 % ?s297,021,0
5,0
1
5,02
k
mT
n
2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqncia natural de 10 Hz. Quando a constante de mola reduzida em 800N/m, a freqncia natural alterada em 45 % (a diferena). Determinar a massa e a constante de mola dosistema original.
Dados:fn= 10 Hz, k= 800 N/m.
rad/s201022 nn f
m
k
22 20 mmkn
2055,0
8002080055,0
2
m
m
m
kn
Resolvendo
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10/51
kg291,0
2055,01
80022
m
N/m1015,1202905,020 322 mk
2.22 Um oscilador harmnico de massa m= 1 kg e rigidez k= 40 kN/m possui uma freqncia natural prxima freqncia excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqncia naturalem 30% (a diferena). Determinar as possveis mudanas requeridas.
Dados: m= 1 kg e k= 40 kN/m
rad/s2001
40000
m
kn
rad/s1402007,07,01
nn
Mantendo a massa
kN/m6,191401 2211
n
mk
Mantendo a rigidez
kg04,2140
4000022
1
1
n
km
ou uma infinita combinao de parmetros garantido que
rad/s1401n
2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma fora de 100 N paraproduzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola esto agora rigidamente fixadas e uma massa de10 kg colocada no ponto mdio de seu comprimento. Determinar o tempo necessrio para completar um ciclode vibrao quando a massa vibra.
Dados:F= 100 N, = 10 mm e m = 10 kg.
kN/m0,10010,0
100
Fk
Quando dividida em duas a constante de mola se torna
10000
1111
11
kkk
kN/m0,2010000
121
1
kk
Na nova configurao, as duas metades esto associadas em paralelokN/m0,402000022
1 kk
eq
O tempo para cumprir um ciclo
ms3,9940000
1022
k
mT
n
2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pisto com m= 0,3 kg e est suportadopor uma mola helicoidal de d= 1 mm, D= 10 mm, 10 espiras eG= 105 GN/m2. Determinar a freqncianatural da vibrao do pisto se no h leo no cilindro.
Figura 2.11
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11/51
Dados: m= 0,3 kg, d= 1 mm,D= 10 mm, n= 10 espiras eG= 105 GN/m2.
kN/m31,101,0108
001,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
rad/s1,663,0
1031,1 3
m
kn
Hz5,10
2
1,66
2
n
nf
2.25 O cilindro de uma vlvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pisto com m= 0,2 kg e suportado por uma molahelicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqncia natural devibrao do pisto se no h fluido na vlvula.
Figura 2.12
Dados: m= 0,2 kg, n= 6 espiras, d= 2 mm,D= 30 mm e G= 105 GN/m2.
kN/m30,103,068
002,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
rad/s5,802,0
1030,1 3
m
kn
Hz8,122
5,80
2
n
nf
2.26 Uma unidade de ar-condicionado est ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade 300kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixapermissvel da constante de cada mola.
Dados: m= 300 kg,fn= entre 32 e 40 Hz.rad/s80a642
nn f
Rigidez24n
mk
MN/m03,3
4
64300 2
min
k
MN/m74,4
4
80300 2
max
k
2.27 Um desumidificador de ar est suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadasfixamente. A massa da unidade de 200 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao vertical sejamaior do que 30 Hz e para vibrao horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissvel para osdimetros das barras.E= 210 GN/m2.
Dados: 4 barras, l= 0,5 m, m= 200 kg,fn> 30 Hz (vertical), 10 Hz fn 15 Hz (horizontal) eE= 210 GN/m2.
rad/s302
rad/s202
maxmax
minmin
nn
nn
f
f
Limites para a rigidez horizontal (flexo)
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
12/51
MN/m78,130200
kN/m7902020022
maxmax
22
minmin
n
n
mk
mk
Rigidez horizontalflexo (assumindo viga em balano)
49
3
4
9
3 10990
5,0
641021034
34 d
d
l
EIk
mm6,3610990
1078,1
10990
mm9,2910990
10790
10990
49
6
49
max
max
49
3
49
min
min
kd
kd
Rigidez horizontalflexo (assumindo duplo engaste)
412
3
4
9
3 1096,3
5,0
6410210124
124 d
d
l
EIk
mm9,251096,3
1078,1
1096,3
mm1,211096,3
10790
1096,3
412
6
412
max
max
412
3
412
min
min
kd
kd
Rigidez verticaltrao-compressorad/s602
minmin
nn f
MN/m11,760200 22minmin
n
mk
212
2
9
1032,15,0
4102104
4 d
d
l
EAk
mm32,21032,1
1011,7
1032,1 12
6
12
min
min
kd
2.28 Um coletor de lixo limpo est fixado no solo por 4 colunas de seo tubular retangular de espessura 5 cm ecomprimento 0,5 m. A massa da unidade 500 kg e se deseja que a freqncia natural para vibrao horizontalesteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissvel para a largura da sesso tubular.E= 210 GN/m2.
Dados: 4 colunas de seo retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz fn 40 Hz (horizontal) e E =210 GN/m2.
rad/s802
rad/s642
maxmax
minmin
nn
nn
f
f
Limites para a rigidez horizontal (flexo)
MN/m6,3180500
MN/m2,206450022
maxmax
22
minmin
n
n
mk
mk
Rigidez horizontalflexo (assumindo viga em balano)
bb
l
btE
k 63
39
3
3
102105,0
05,010210123
4
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
13/51
mm15010210
104,31
10210
mm3,9610210
102,20
10210
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min
kb
kb
Rigidez horizontalflexo (assumindo duplo engaste)
b
b
l
btE
k 6
3
39
3
3
108405,0
05,01021041212
4
mm6,3710840
104,31
10840
mm1,2410840
102,20
10840
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min
kb
kb
2.29 Um purificador de ar est fixado no solo por 6 pilares slidos de ferro de forma retangular, com 100 mm delargura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa daunidade 800 kg. Determinar as freqncias naturais horizontais nas duas direes.E= 210 GN/m2.
Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2.
Rigidez horizontalprimeira direoflexo (assumindo viga em balano)
kN/m492212
05,01,01021036123
63
39
3
3
l
btE
k
rad/s8,24800
10492 3
m
kn
Rigidez horizontalsegunda direoflexo (assumindo viga em balano)
MN/m97,1212
1,005,01021036123
63
39
3
3
l
tbE
k
rad/s
6,49800
1097,1 6
m
kn
Rigidez horizontalprimeira direoflexo (assumindo duplo engaste)
MN/m97,12
05,01,01021061212
63
39
3
3
l
btE
k
rad/s6,49800
1097,1 6
m
kn
Rigidez horizontalsegunda direoflexo (assumindo duplo engaste)
MN/m88,72
1,005,01021061212
63
39
3
3
l
tbE
k
rad/s2,99800
1088,7 6
m
kn
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
14/51
2.30 Um pequeno compressor est apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0kN/m cada uma, na direo vertical, e 4,0 kN/m na direo horizontal. A massa da unidade 30 kg.Determinar as freqncias naturais para vibraes horizontal e vertical.
Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg.Direo horizontal
rad/s1,23
30
400044
m
kh
nh
Hz68,3
2
09,23
2
nh
nhf
Direo vertical
rad/s0,2030
300044
m
khv
nv
Hz18,32
0,20
2
nh
nhf
2.31 O ncleo mvel de um rel eletromagntico mostrado na Fig. 2.13 possui massa m= 12 gr, e est suportado poruma mola com k= 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que esto montados em lminasflexveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lmina mvel possui comprimento de 20 mm e as
estacionrias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqncia natural com o rel aberto efechado.E= 210 GN/m2.
Figura 2.13
Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mm e E = 210 GN/m2.Com o rel aberto:
rad/s500012,0
3000
m
kn
ou
Hz6,792
500
2
n
nf Com o rel fechado
a) lmina mveldupla viga engastadakN/m161
202,0
12
0008,0006,0102103
2
33
3
9
3
1
1
l
EIk
b) lmina fixaviga engastada
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
15/51
kN/m8,47015,0
12
0008,0006,0102103
33
3
9
3
2
2
l
EIk
De cada lado ocorre associao em srie de k1e k2
kN/m9,36108,4710161
108,471016133
33
21
21
1
kk
kkk
eq
Estes dois conjuntos esto associados em paralelo
kN/m7,73109,3622 31
eqeq
kk
A freqncia natural com rel fechado ser
rad/s1053,2012,0
300073728 3
m
keq
n ou
Hz4022
1053,2
2
3
n
nf
2.32 Achar a freqncia natural de vibrao do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, comomostrado na Fig. 2.14.
Figura 2.14
xmmgxkxk sin21
sendox1medido a partir da posio de equilbrio esttico 11211
sin xmmgxkxkstst
0sin121121
xkkxmmgkkst
pela condio de equilbrio esttico.A freqncia natural
m
kkn
21
2.33 Determinar a expresso para a freqncia natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezveisas massas das plataformas.
Figura 2.15
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
16/51
Viga engastada
3
1
11
1
3
l
IEk
Viga bi-apoiada
3
2
22
2
48
l
IEk
Constante de mola equivalente, associao em paralelo
21 kkkeq
Freqncia natural
3
2
22
3
1
1121 483
l
IE
l
IE
W
g
W
kkg
m
keq
n
2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k cortada em duas metades e uma massa m conectada s duas metades comomostra a Fig. 2.16(a). O perodo natural deste sistema 0,5 seg. Se uma mola idntica cortada de forma queuma das partes tenha de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha , com a massa sendo conectadas duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual ser o perodo natural do sistema?
Figura 2.16
Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em srie, de forma quekk 2
1 cada metade
As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidezkkk
eq 42
1
Freqncia natural
5,02224
n
nTm
km
k
2m
k
Para a diviso mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4kk 4
2
Associando 3 em srie
3
4
111
1
222
3
k
kkk
k
Associando k2e k3
316
344
32kkkkkk
eq
Freqncia natural
rad/s5,1423
4
3
4
3
161
m
k
m
kn
Perodo
s433,05,14
221
n
nT
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
17/51
2.35 Trs molas e uma massa esto presas a uma barra rgida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar afreqncia natural de vibrao do sistema.
Figura 2.17
Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezvel, a 2 Lei de Newton paramovimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relao ao pontoPcomo
03332
22
2
11 xllklklk
De onde se tem que
xlklklk
lk
2
33
2
22
2
11
33
Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2 Lei de Newton pode ser escrita para as foras atuantes namassa
xmxlk 33
Substituindo a segunda expresso na terceira chega-se equao do movimento em x
0
2
33
2
22
2
11
2
22
2
113
x
lklklkm
lklkkx
De onde se extrai a freqncia natural como sendo
2
33
2
22
2
11
2
22
2
113
lklklkm
lklkkn
2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um rel eletro-mecnico.(a)Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv.(b)De determinar o valor da rigidez kque resultar em duas vezes a sua freqncia natural.
Figura 2.18
Equao do movimento
2
22
22a
l
g
WI
lk
O
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
18/51
022
2
2
2
lka
l
g
W
a) Freqncia natural
222
22
2
4
4
4
4
alW
gkl
al
g
W
lk
n
b) Como a rigidez proporcional ao quadrado da freqncia natural, necessrio quadruplic-la para dobrara freqncia natural.
2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o brao de um mecanismo de elevao de peso. Determinar suafreqncia natural de oscilao em torno do ponto A.
Figura 2.19
Equaes do movimento
xmLxkxLLklk
2
2
2
1 0
Da primeira
Lk
Lklkx
2
2
2
2
1
e
Lk
Lklkx
2
2
2
2
1
substituindo na segunda
02
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
L
Lk
Lklkk
Lk
Lklkm
resultando em
0212
2
2
2
1 lkkLklkm
ou ento
0
2
2
2
1
2
21
Lklkm
lkk
Freqncia natural
22
2
1
2
21
Lklkmlkk
n
2.38 Para o pndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismgrafo:(a)Determinar a freqncia natural.(b)Se a mola k1 removida para que o valor da constante de mola k2a freqncia natural ser zero?
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
19/51
Figura 2.20
a) Freqncia natural
2211
2
22 mLhkhkmgL
0222
2
11
2 mgLhkhkmL
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhkn
b) Com k1= 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que
2
2
2
2
22h
mgLkmgLhk
2.39 Para o pndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relgio:(a)Determinar a freqncia natural.(b)Para que valor da massa m2a freqncia natural ser zero?
Figura 2.21
(a) Equao do movimento
222
2
111122 LmLmgLmgLm
02211
2
22
2
11 gLmgLmLmLm
Freqncia natural
2
22
2
11
2211
LmLm
gLmLmn
(b)
0022112
22
2
11
2211
LmLm
LmLm
gLmLmn
2
1
12L
Lmm
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
20/51
2.40 Uma barra uniforme rgida de massa me comprimento lest articulada no pontoAe ligada a cinco molas comomostra a Fig. 2.22. Achar a freqncia natural do sistema se k= 2 kN/m, kt= 1 kN.m/rad, m= 10 kg e l= 5 m.
Figura 2.22
Dados: k= 2,0 kN/m, kt= 1,0 kN.m/rad, m= 10 kg e l= 5 m.Momento de inrcia da barra
12
2ml
IG
em relao a A
mllml
mdIIGA
22
2
23
2
12
936
3
612
22222 mlmlmlm
lmlI
A
Equao do movimento
At
Ikl
kl
k
22
3
22
32
09
10
9
22
klk
mlt
Freqncia natural
rad/s1,45510
5200010100091092
2
2
2
ml
klkt
n
2.41 Um cilindro de massa me momento de inrciaJ0rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restritopor duas molas de rigidez k1e k2como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqncia natural de vibrao e o valor de aque maximiza a freqncia natural.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
21/51
Figura 2.23
Rotao pura em torno do ponto de contato
222
2
1 mRJaRkaRk
O
0221
2 aRkkmRJO
Freqncia natural
2
21
2
2
21
mRJ
kkaR
mRJ
aRkk
OO
n
Para maximizara=R
2.42 Achar a equao do movimento da barra rgida uniforme AO, de comprimento le massa mmostrada na Fig.2.24. Achar tambm sua freqncia natural.
Figura 2.24
3212
222 mllm
mlJ
O
3
2
2
2
2
1
mlklkak
t
03
2
2
2
1
2
t
klkakml
2
2
2
2
13
ml
klkakt
n
2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, pivotado no ponto Ocomo mostra a Fig. 2.25. Achar a freqncia
natural do sistema.Momento de inrcia em relao ao centro do disco
2
2maJ
C
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
22/51
Figura 2.25
Equao do movimento
2
2
2mb
mamgb
02
2
2
gbb
a
Freqncia natural
22
2
2
ba
gbn
2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o brao de um sismgrafo vertical.(a)Determinar sua freqncia natural de oscilao em torno do piv.(b)Determinar o valor da rigidez kque resultar no dobro da sua freqncia natural
Figura 2.26
Equao do movimento
022
22
kamL
mLka
a) Freqncia natural
2
2
mL
kan
b) Rigidez para dobrar a freqncia naturalkk 4
1
2.45 Uma massa m montada na extremidade de uma barra de massa desprezvel e pode assumir trs diferentesconfiguraes como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configurao que proporciona a maior freqncia natural.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
23/51
Figura 2.27
a)l
gn
b) 22 mlakmgl
022 akmglml
2
2
2
2
ml
ka
l
g
ml
mglkan
c) 22 mlakmgl
022 mglakml
l
g
ml
ka
ml
mglkan
2
2
2
2
A configurao que proporciona a maior freqncia natural a b).
2.46 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.28
Momento de inrcia do retngulo em relao ao seu centro
2212
bam
J
Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro
6
2
1
1
amJ
Massa do quadrado sem o furoespessura unitria2
1 am
Momento de inrcia do crculo em relao ao centro
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
24/51
822
1 22
2
22
DmDmJ
Massa do crculo (a ser retirada)
4
2
2
Dm
Massa total
4
2
2
21
Dammm
Momento de inrcia total em relao ao centro
442
1
6
1 222221
DDaaJJJ
O
326
44 DaJ
O
Momento de inrcia em relao ao pivTeorema dos eixos paralelos (Steiner)
443262
22
2
442 DDa
DaDmJJ
OP
32
3
46
4224 DDaa
JP
Equao do movimento
P
JD
mg 2
02432
3
46
2
2
4224
DDag
DDaa
Freqncia natural
4224
22
92416
412
DDaa
DagDn
2.47 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.29
Momento de inrcia do crculo externo em relao ao seu centro
8
2
11
DmJ
Momento de inrcia do crculo interno em relao ao seu centro
8
2
22
dmJ
Massa do crculo externoespessura unitria
4
2
1
Dm
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
25/51
Massa do crculo interno (a ser retirada)
4
2
2
dm
Massa do crculo (a ser retirada)
4
2
2
Dm
Massa total
22214
dDmmm
Momento de inrcia total em relao ao centro
4421
32
1dDJJJ
O
Momento de inrcia em relao ao pivTeorema dos eixos paralelos (Steiner)
4432
1
2
222
44
2
ddDdD
dmJJ
OP
2
3
216
4
22
4 ddD
DJ
P
Equao do movimento
P
Jdmg 2
02
3
22
1 224
22
4
dDgd
ddD
D
Freqncia natural
4224
22
32
4
ddDD
dDgdn
2.48 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.30
Momento de inrcia do crculo externo em relao ao piv
2
2
11
RmJ
Momento de inrcia do crculo interno em relao ao piv
2
2
2
2
2
228
3
48Rm
Rm
RmJ
Massa do crculo externoespessura unitria2
1 Rm
Massa do crculo interno (a ser retirada)
4
2
2
Rm
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
26/51
Massa total
4
3 2
21
Rmmm
Novo centride
2
0
2
1
2211 Rr
r
mrrmrmc
6
4
3
24
22
Rr
rRRR
c
c
Momento de inrcia total em relao ao piv
32
13
48
3
2
4
2
22
2
21
RR
RRRJJJ
P
Equao do movimento
Pc
Jmgr
064
3
32
13 24
Rg
RR
04
13 gR
Freqncia natural
R
gn
13
4
2.49 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.31
Momento de inrcia do disco superior em relao ao seu centro2
1
11 22
1
d
mJ com massa
4
2
1
1
dm
Momento de inrcia da barra em relao ao piv
2
1
2
222
22212
dlmbl
mJ
com massablm
2
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
27/51
Momento de inrcia do disco inferior em relao ao piv2
12
3
2
2
33
2222
1
dl
dm
dmJ
com massa
4
2
2
3
dm
Massa total
bldd
dbl
dmmmm 2
2
2
1
2
2
2
1
321444
Novo centride
22
22
0
21
3
1
2
1
332211
dl
dr
ldr
r
mrrmrmrmc
cr
dbl
ddl
ddldbl
4422422
2
2
2
121
2
21
2
2
2
1
21
2
21
42
24
dbld
dlddldblr
c
Momento de inrcia total em relao ao piv
2
12
2
2
2
1224
2
4
1321 2
16221232dld
ddlblbl
blddJJJJ
P
Equao do movimento
0442
24
216221232
0
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
12
2
2
2
1224
2
4
1
bldddbld
dlddldbl
dldddl
blblbl
dd
mgrJcP
Freqncia natural
2
12
2
2
2
1224
2
4
1
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
216221232
442
24
dldddl
blblbl
dd
bldddbld
dlddldbl
n
2.50 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e a massa especfica do material de que constitudo .
Figura 2.32
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
28/51
Momento de inrcia do quadrado em relao ao seu centro
6
2
1am
JG
Massa do quadradoespessura unitria2
1 am
Momento de inrcia em relao ao piv
3
2
262
4442
1
aaaamJJ
GP
Equao do movimento
0223
2
2
2
2
22
4
2
1
kaa
gaa
Ja
ka
gmP
Freqncia natural
222
)22(3
a
kagn
2.51 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.33, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e as massas das barras vertical e horizontal so iguais a m.
Figura 2.33
Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao
2
22
1212
LmbL
mJ
Momento de inrcia da barra vertical em relao articulao
2222
12mLbL
mJ
Momento de inrcia da total em relao articulao
22221
4
5
6mLbL
mJJJ
P
Novo centride
Lr
Lrmrrmrm
c
2
1
2211 2
Lr
mrmLL
m
c
c
4
3
22
Equao do movimento
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
29/51
04
32
4
5
6
02
222
LmgmLbLm
mgrJcP
Freqncia natural
22 172
18
Lb
gLn
2.52 Para o pndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqncia natural de vibrao em torno do piv.O elemento possui espessura unitria e largura desprezvel.
Figura 2.34
Momento de inrcia da barra em relao articulao
2
22
6
5
2
3
12mLLm
mLJ
Equao do movimento
02
3
6
5
02
3
2
LmgmL
LmgrJ
Freqncia natural
L
gn
5
33
2.53 A velocidade mxima atingida pela massa de um oscilador harmnico simples 10 cm/s, e o perodo deoscilao 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar:(a)a velocidade inicial;(b)a amplitude do deslocamento;(c)a acelerao mxima e(d)o ngulo de fase.Dados: vmax= 10 cm/s, Tn= 2 s,x0= 2 cm.
(a) rad/s2
22 n
nT
tv
txxn
n
n
sincos 0
0
tvtxxnnn
cossin00
20
2
max0
2
0
2
0max xvvvxv
nn
mm/s8,7702,01,0 220 v
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
30/51
(b) rad/s2
22
n
nT
mm8,310778,0
02,0
2
2
2
02
0
n
vxA
(c) 22
222
max mm/s314
0778,002,08,31
Aan
(d) rad891,002,0
0778,0tantan
1
0
01
nx
v
2.54 Uma mquina possui massa m= 250 kg e seu suporte tem rigidez k= 130 kN/m. Se a mquina em sua base modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical, determinar:(a)a freqncia natural e(b)a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.Dados: m= 250 kg, k= 130 kN/m ex0= 1 mm.(a) Freqncia natural
rad/s8,22250
130000
m
kn
(b) Equao do movimentomm1
0xA
m8,22cos001,0 tx
2.55 Uma mquina possui massa m= 250 kg e possui freqncia natural para vibrao vertical n= 5140 rad/s. Sea mquina em sua fundao modelada como sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,determinar:(a)a rigidez kdo suporte elstico e(b)a equao do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical provocada por
um impacto.
Dados: m= 250 kg, n= 5140 rad/s e v0= 1 mm/s.(a) Rigidez
GN/m60,65140250 22
nmk
(b) mm1095,15140
001,0 40 n
vA
mm5140sin1095,1 4 tx
2.56 Uma mquina possui uma rigidez dos suportes k= 5,5 x 104N/m e tem freqncia natural de vibrao vertical
n= 550 rad/s. Se a mquina em sua fundao modelada como um sistema de um grau de liberdade emvibrao vertical, determinar:(a)a massa da mquina e(b)a equao do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130
mm/s na direo vertical.
Dados: k= 5,5 x 104N/m, n= 550 rad/s,x0= 1 mm e v0= 130 mm/s.(a) Massa da mquina
kg182,0550
5500022
n
km
(b) Equao do movimento
mm03,1550
1301
2
2
2
02
00
n
vxX
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
31/51
rad232,01550
130tantan
1
0
01
x
v
n
tXxn
cos0
mm232,0550cos03,1 tx
2.57 Um instrumento eletrnico tem massa m= 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com uma rigidez k= 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade paravibrao vertical, determinar:(a)a freqncia natural e(b)se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se mxima amplitude de vibrao do
movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente aps o impactoda ferramenta.
Dados: 4 coxins, k= 5400 N/m cada,m= 3,4 kg, w1= 0,5 kgf,X0= 1,7 mm.(a) Freqncia natural
rad/s7,794,3
540044
m
kn
(b) Velocidade
m0017,0
2
1
02
00
n
vxX
m10227,054004
81,95,0 310
k
gmx
rad/s4,745,04,3
540044
1
1
mm
kn
mm/s1254,74227,070,1 221
2
0
2
00
nxXv
2.58 Um instrumento eletrnico tem massa m = 3,4 kg e suportado por 4 coxins de elastmero com rigidezdesconhecida. O instrumento no seu suporte modelado como um sistema de um grau de liberdade paravibrao vertical. Durante um teste, uma massa m1= 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O
impacto foi plstico e a amplitude de vibrao medida foi 2,2 mm com freqncia do movimento verticalresultante igual a 325 rad/s. Determinar:(a)a rigidez de cada um dos quatro coxins elsticos e(b)a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto.Dados: 4 coxins,m= 3,4 kg, m1= 0,5 kg,X0= 2,2 mm e n1= 325 rad/s.(a) Rigidez
kN/m103
4
3255,04,3
4
22
11
nmm
k
(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto
mm0119,0411900
81,95,01
0
k
gmx
mm/s715325100119,00022,0 2322
0200 nxXv
mm/s55777155,0
5,04,30
1
1
0
v
m
mmv
2.59 A massa mcai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezvel, como mostra a Fig. 2.35, e a coliso plstica. Determinar a resposta do sistema.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
32/51
Figura 2.35
k
mgx
0
ghv 20
m
kn
k
mgh
k
mg
m
k
gh
k
m gvxX
n
22 2
2
22
02
00
mg
hk
m
k
k
mg
gh 2tan
2tan 11
Resposta do sistema
mg
hkt
m
k
k
mgh
k
mgx
2tancos
2 12
2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a coliso plstica.Determinar a resposta do sistema.
Figura 2.36
Conservao da quantidade de movimento
010 vmmvm
ghv 20
ghmm
mv 2
1
0
Condies iniciais
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
33/51
1
0
0
2mm
mghv
k
mgx
Freqncia natural
1mm
k
n
Amplitude do movimento
1
222
1
1
22
02
00
22
mmk
ghm
k
mg
k
mm
mm
ghm
k
mgvxX
n
ngulo de fase
1
1
1
11
0
01 2
tan
2
tantanmmg
hk
k
mg
mm
k
mm
mgh
x
v
n
A resposta do sistema ser tXtx
ncos
0
1
1
11
22 2tancos
2
mmg
hkt
mm
k
mmk
ghm
k
mgx
2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Mtodo de Rayleigh.Dados: m= 0,3 kg, d= 1 mm,D= 10 mm, n= 10 espiras eG= 105 GN/m2.
kN/m31,1
01,0108
001,010105
8
3
49
3
4
nD
Gdk
tXx
tXx
nn
n
sin
cos
0
0
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1kxxm
UT
2
0
2
0
2
2
1
2
1kXXm
n
rad/s1,663,0
1031,1 3
m
kn
Hz5,102
1,66
2
n
nf
2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Mtodo de Rayleigh.Dados: m= 0,2 kg, n= 6 espiras, d= 2 mm,D= 30 mm e G= 105 GN/m2.
kN/m30,103,068
002,010105
8 3
49
3
4
nD
Gdk
tXx
tXx
nn
n
sin
cos
0
0
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
34/51
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1kxxm
UT
2
0
2
0
2
2
1
2
1kXXm
n
rad/s5,80
2,0
1030,1 3
m
kn
Hz8,122
5,80
2
n
nf
2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Mtodo da Energia.a) Freqncia natural utilizando o Princpio da Conservao da Energia
2
2
22
2
11
2
1
cos2
1
2
1
LmT
LLmghkhkU
0sin 22222
11 mLmglhkhkUTdtd
sin 02
22
2
11
2 mgLhkhkmL
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhkn
b) Com k1= 0 para fazer com que a freqncia natural se anule necessrio que
2
2
2
2
22h
mgLkmgLhk
2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Mtodo da Energia.(a) Freqncia natural
222
2
11
2211
2
1
2
1
cos1cos1
LmLmT
gLmgLmU
0sinsin2211
2
22
2
11 gLmgLmLmLmUT
dt
d
sin 0
2211
2
22
2
11 LmLmLmLm
2
22
2
11
2211
lmlm
glmlmn
(b) 00
22112
22
2
11
2211
lmlm
lmlm
glmlmn
2
1
12l
lmm
2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Mtodo da Energia.Dados: k= 2,0 kN/m, kt= 1,0 kN.m/rad, m= 10 kg e l= 5 m.Momento de inrcia da barra
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
35/51
12
2mlI
G
em relao a A
mllml
mdIIGA
22
2
23
2
12
936
3
612
22222 mlmlmlm
lmlI
A
Equao do movimento
09
10
9
22
tk
klmlUT
dt
d
0910 22 tkklml Freqncia natural
rad/s1,45510
5200010100091092
2
2
2
ml
klkt
n
2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Mtodo da Energia.Energia cintica
222
1mRJT
O
Energia potencial
2
112
1aRkkU
0211
2 aRkkmRJUTdt
dO
0221
2 aRkkmRJO
Freqncia natural
2
21
2
2
21
mRJ
kkaR
mRJ
aRkk
OO
n
Para maximizara=R
2.67 Um cilindro circular de massa me raio r ligado a uma mola de mdulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizandoo Mtodo da Energia, achar a freqncia do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfciespera.
Energia cintica
222
2
1
2
1
mrmrT
2
22
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
1
32
12
A
t
IT
kl
kl
kU
02
12
9
1022
2
tA k
lk
lk
lIUT
dt
d
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
36/51
Figura 2.37
Energia cintica
222
2
1
2
1
mrmrT
Energia potencial
22
1rkU
02
3 22 krmrUTdt
d
02
3
km
Freqncia natural
m
kn
3
2
2.68No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensvel. Achar afreqncia natural de vibrao, utilizando o Mtodo da Energia.
Figura 2.38
Energia cintica
22
2
2
1 2
1
2
1
2
1
JxMxmT
com2
,,22121
rxrxxx e 2
2
1MrJ
222
2
22
22
22
2
4
34
2
1
242
1
22
1
22
1
2
1
MrmrMrMrmr
MrrMrmT
Energia potencial
2
22
2
242
1
22
1
2
1
krrkkxU
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
37/51
Conservao da energia
044
34 222
krMrmrUT
dt
d
Equao do movimento
034 kMm Freqncia natural
Mmkn
34
2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfcie de raio R, como mostra a Fig. 2.39.Determinar a freqncia de oscilao quando o cilindro ligeiramente deslocado da sua posio de equilbrio.Use o Mtodo da Energia.
Figura 2.39
Energia cinticarotao pura em relao ao ponto de contato
22
2
22
1
mr
mrT
Energia potencial cos1 rRmgmghU
condio de rolamento puro
rrRrrRrrR Conservao da energia
0sin2
3 2 rRmg
mrUT
dt
d
Linearizando e substituindo os ngulos
02
3 2
rR
r
rR
rrRmg
mr
02
3
rR
g
Freqncia natural
rRg
n
3
2
2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s parada no final dos trilhos poruma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola 40 kN/mm e a constante de amortecimento 20kN.s/m determinar:(a)o deslocamento mximo da locomotiva aps atingir o sistema e(b)o tempo gasto para atingir o seu deslocamento mximo.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
38/51
Dados: m= 60 103kg, v= 20 m/s, k= 40 kN/mm e c= 20 kN.s/m.
(a) deslocamento mximo
rad/s8,251060
10403
6
m
kn
00645,08,2510602
1020
2 3
3
nm
c
rad/s8,258,2500645,011 22 nd
Comx0= 0 e v0= 20 m/s
m775,08,25
2002
0
2
00
dd
n vx
xvX
rad2
tantan 1
0
001
d
n
x
xv
m2
8,25cos775,0cos 16 7,0
tetXetx t
d
tn
teteXtxd
t
dd
t
n
nn sincos
00 txxmx 0sincos
00 tt
dddn
22
0
0
0
11tan
cos
sin
n
n
d
n
d
d
d tt
t
s0606,0200645,01
00645,0tan
8,25
1
1tan
1
2
1
2
1
0
d
t
m767,02
0606,08,25cos775,0 0606,016 7,00
etx
(b) tempos0606,0
0t
2.71 Um oscilador harmnico possui massa m= 1,2 kg, constante de amortecimento c= 12 N.s/m e constante demola k= 0,5 kN/m. Determinar:(a)A freqncia natural amortecida.(b)O fator de amortecimento e o decremento logartmico.
Dados: m= 1,2 kg, c= 12 N.s/m e k= 0,5 kN/m..(a) Freqncia natural amortecida
rad/s4,202,1
500
m
kn
245,04,202,12
12
2
nm
c
rad/s8,194,20245,011 22 nd
(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico245,0
59,1245,01
245,02
1
222
2.72 A razo entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido 18:1.Determinar a mesma relao de amplitudes se a quantidade de amortecimento (a)dobrada, ou
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
39/51
(b)reduzida para a metade.Dados: razo entre amplitudes sucessivas = 18:1.
89,218lnln2
1 x
x
Fator de amortecimento
418,0
89,22
89,2
2 2222
Constante de amortecimento
nmc 2
(a) Dobrando cdobra
57,9
418,021
418,022
1
2
22
357,9
2
1 103,14 eex
x
(b) Reduzindo pela metade
34,1
2
418,01
2
418,02
1
2
22
83,334,1
2
1 eex
x
2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilaes por segundo e em 50 ciclos suaamplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logartmico e o fator deamortecimento. Qual ser o percentual de diminuio do perodo de oscilao se o amortecimento forremovido?
Dados:f= 5 Hz, 50 ciclosamplitude cai para 10% da inicial.
0461,01,0
ln501ln1
1
1
1
1
xx
xx
mm
00733,0
0461,02
0461,0
2 2222
s2,05
1
dT
Sem amortecimento
s199995,05
00733,0111 22
dn
nff
T
O percentual de reduo de 0,00269 %.
2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crtico de 20N.s/m, e um decremento logartmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar odeslocamento mximo do mesmo.
Dados: k= 5000 N/m, cc= 20 N.s/m, = 2,0 e v0= 1 m/s.Fator de amortecimento
303,0
0,22
0,2
2 2222
A constante de amortecimento crtico permite determinar a massa do sistema
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
40/51
kg02,050004
20
422
22
k
cm
m
c
m
kmc cc
nc
Ento
rad/s50002,02
20
n e rad/s476500303,011 22
nd
A expresso para o movimento
tXetx dtn
cos
com m00210,04,476
10 d
vX
e rad
20
1tantan 1
0
01
nx
v
O deslocamento mximo ocorre quando a velocidade se anula
0sincos111
11 tXetXetxd
t
cd
t
n
nn
s00265,01
tan2
1sincos0
2
1
111
d
dcdn ttt
O deslocamento mximo ser o deslocamento no tempo t1
m00134,02
00265,0476cos00210,0 00265,050 030 3,0
ex
mx
2.75 Um oscilador harmnico possui massa m= 30 kg e constante de rigidez k= 100 kN/m. Determinar:(a)A constante de amortecimento para um fator de amortecimento = 0,1.(b)O decremento logartmico e a freqncia natural amortecida.Dados: m= 30 kg, k= 100 kN/m e = 0,1.(a) Constante de amortecimento
N.s/m346100000301,02222 mkm
kmmc
n
(b) Decremento logartmico e freqncia natural amortecida631,0
1,01
1,02
1
2
22
rad/s4,575001,011
rad/s7,5730
100000
22
nd
nm
k
2.76 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c= 3,8 N.s/m, econstante de rigidez k= 1500 N/m. Determinar:(a)O fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida.(b)A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.Dados: m = 45 gr, c= 3,8 N.s/m, k= 1500 N/m ex0= 1 mm.(a) fator de amortecimento, o decremento logartmico, e a freqncia natural amortecida:
rad/s183
045,0
1500
m
kn
231,0183045,02
8,3
2
nm
c
49,1231,01
231,02
1
2
22
rad/s178183231,011 22 nd
(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm.
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41/51
2
0
2
00 xxv
Xd
n
com v0= 0 ex0= 1 mm.
m1003,1001,0178
001,0183231,0 322
X
rad233,0231,01
231,0tan1
tan2
1
2
1
mm233,0178cos03,1 2,42 tex t
2.77 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m= 3 kg e constante de rigidez k= 500 N/m. O decrementologartmico medido foi 2,5. Determinar:(a)O fator de amortecimento.(b)A freqncia natural amortecida.Dados: m= 3 kg, k= 500 N/m e = 2,5.(a)O fator de amortecimento.
370,05,22
5,2
2 2222
(b)A freqncia natural amortecida.rad/s9,12
3
500
m
kn
rad/s0,129,12370,011 22 nd
2.78 Um oscilador harmnico amortecido possui massa m= 8 kg e constante de rigidez k= 1,2 MN/m. Determinar:(a)O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida para um decremento logartmico 0,05.(b)A constante de amortecimento.Dados: m= 8 kg, k= 1,2 MN/m e = 0,05.
(a)O fator de amortecimento e a freqncia natural amortecida
3
22221096,7
05,02
05,0
2
rad/s3878
102,1 6
m
kn
rad/s38738700796,011 22 nd
(b)A constante de amortecimentoN.s/m3,49387800796,022
nmc
2.79 Uma mquina possui massa m= 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m erigidez k= 130 kN/m. Se a mquina e sua base modelada para vibrao vertical como um sistema de um graude liberdade, determinar:(a)A freqncia natural amortecida.(b)A expresso para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direo vertical.Dados: m= 250 kg, c= 1,45 kN.s/m, k= 130 kN/m ex0= 1mm.(a)A freqncia natural amortecida.
rad/s8,22250
130000
m
kn
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
42/51
127,08,222502
1450
2
nm
c
rad/s6,228,22127,011 22 nd
(b) A expresso para o movimento resultante2
0
2
00 xxv
Xd
n
com v0= 0 ex0= 1 mm.
m1001,1001,06,22
001,08,22127,0 322
X
rad128,0127,01
127,0tan
1tan
2
1
2
1
mm128,06,22cos01,1 90,2 tex t
2.80 Uma mquina possui massa m= 250 kg e freqncia natural amortecida para vibrao vertical d= 5140 rad/s.Atravs da medio do decremento logartmico achou-se um fator de amortecimento = 0,12. Se a mquina esua base modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibrao vertical, determinar:(a)A rigidez kdo suporte elstico.(b)O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.Dados: m= 250 kg, d= 5140 rad/s, = 0,12 e v0= 1mm/s.(a)A rigidez kdo suporte elstico.
GN/m70,612,01
5140250
1 2
2
2
2
d
mk
(b)O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direo vertical, imposta por um impacto.rad/s5177
250
10701,6 9
m
kn
v0= 1mm/s
m101955140
001,0 9020
2
00
dd
n vxxvX
2
m2
5140cos10195 62 19
tex t
2.81 Uma mquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqncia natural de vibrao verticalamortecida d= 255 rad/s. Medindo-se o decremento logartmico, determinou-se um fator de amortecimento = 0,18. Se a mquina e sua base so modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,determinar:(a)A massa da mquina.(b)O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na
direo vertical.
Dados: k= 55 kN/m, d= 255 rad/s, = 0,18,x0= 1mm e v0= 130mm/s.(a)A massa da mquina.
kg818,0
255
18,015500012
2
2
2
d
km
(b)O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s nadireo vertical.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
43/51
rad/s2,2598184,0
55000
m
kn
mm22,1001,0255
001,025918,013,0 2
2
0
2
00
x
xvX
d
n
rad606,0
255001,0
001,025918,013,0tantan 1
0
001
d
n
x
xv
mm606,0255cos22,1 7,46 tex t
2.82 Um instrumento eletrnico possui massa m= 3,4 kg e est apoiada em quatro coxins de elastmero com rigidezk= 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logartmico, = 0,20. Se oinstrumento e seus apoios modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibrao vertical,determinar:(a)A freqncia natural.(b)Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibrao de 1,7
mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta.
Dados: m= 3,4 kg, k= 5400 N/m cada um dos 4 coxins, = 0,20, m1= 0,5 kg eX= 1,7 mm.(a) Freqncia natural
rad/s7,794,3
54004
m
kn
(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramentaX
v xx
n
n
0 0
2
2
0
2
1
Explicitando para v0
0
2
0
2
0 xxXv
nd
Com mm227,054004
81,95,010
k
gmx e a nova freqncia natural igual a
rad/s4,745,04,3
54004
n
e
rad/s9,724,742,01 2 d
a velocidade inicial resulta
mm/s126000227,04,742,0000227,00017,09,72 220 v
2.83 Um voltmetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumnio (= 2700 kg/m3) de comprimento l= 50mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100
N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crtico posicionado a um raio r = 8 mm. Durante umamedida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem desligada, determinar o tempo requerido para o
ponteiro retornar indicao de 1 volt.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
44/51
Figura 2.40
Dados: = 2700 kg/m3, l= 50 mm, b= 3 mm, t= 1 mm, k= 100 N.mm/rad, r= 8 mm,X1= 80 volts eX2= 1volt.Massa
kg10405,005,0001,0003,02700 3 btLm
Equao do movimento
033
03
22
2
2
2
mL
k
Lm
rc
kcrmL
Jrcrk
t
t
t
Freqncia natural
rad/s3,54405,01005,4
1,033242
mL
kt
n
Equao do movimento com amortecimento crtico
tn
nett
000
Com rad80
0
K e 00
tn
netKt
180
Para rad11
Kt
111
1801 t
n
netKKt
De ondes01172,0
1t
2.84 Um medidor de nvel de gua mostrado na Fig. 2.41 possui uma bia cilndrica de 100 mm de dimetro (massadesprezvel), uma barra com massa 0,5 kg, l= 70 mm eL= 420 mm. Determinar a constante de amortecimentorequerida para produzir amortecimento crtico.
Figura 2.41
Dados: d= 100 mm, m= 0,5 kg, l= 70 mm eL= 420 mm.Equao do movimento
04
33
342
2
2
22
m
dg
Lm
lc
LmLgdLllc
Freqncia natural
rad/s5,215,04
1,081,910003
4
3 22
m
dgn
Amortecimento crtico
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
45/51
2
2
2
2
3
22
3
l
Lmc
Lm
lc n
cn
N.s/m25807,03
5,2142,05,022
2
cc
2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfcie seca sob a ao de uma mola de rigidez 10 N/mm.Aps quatro ciclos completos a amplitude 100 mm. Qual o coeficiente de atrito mdio entre as duas
superfcies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos?
Dados: m= 10 kg, k= 10 N/mm, 4 ciclos completos,X4= 100 mm,X0= 150 mm.
Queda de amplitude:k
N2a cada meio ciclo
4 ciclos
k
N22410100150 3
Como kg1,9881,910 mgN
Ento 0,31998,116
100001050 3
O movimento cessar aps rmeio ciclos
ciclosmeio245,23
10000
1,983186,0210000
1,983186,015,0
2
0
k
Nk
Nx
r
O tempo para que se execute 4 ciclos
s795,010000
102424
24
4
k
mt
n
ciclos
Tempo de parada
s38,22
199,024
2
Trt
f
2.86 Uma massa de 20 kg est suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa estsujeito a uma fora de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola inicialmente deslocada de 5,5 cm
para baixo de sua posio de equilbrio esttico determinar:(a)o nmero de meio ciclos transcorridos at que atinja o repouso;(b)o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e(c)o alongamento final da mola.Dados: m= 20 kg, k= 10000 N/m,Fa= 50 N ex0= 5 cm.(a) Nmero de meio-ciclos at o repouso
ciclosmeio5
10000
50210000
50055,0
2
0
k
Nk
Nx
r
(b) Tempo transcorrido at atingir o repousos281,0
10000
2022
2
k
mT
n
s702,02
281,05
2
Trt
f
(c) Posio em que ocorrer a parada m005,0
10000
5025055,0
20
k
Nrxtx
f
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
46/51
2.87 A massa m= 2 kg de um oscilador harmnico linear com k= 500 N/m desliza em uma superfcie horizontal
com coeficiente de atrito esttico s= 0,2 e cintico = 0,08.(a)Determinar o mximo valor do deslocamento inicial que no resultar em qualquer movimento devido
fora de atrito.(b)Determinar o nmero de ciclos para a vibrao iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm at parar
completamente.
Dados: m= 2 kg, k= 500 N/m, s= 0,2 e c= 0,08.(a) Deslocamento inicial mximo mm85,7
500
81,922,0max0
k
Nx s
(b) Nmero de ciclos at a parada
ciclos2ciclosmeio448,3
500
81,9208,02500
81,9208,0025,0
2
0
k
Nk
Nx
r
2.88 Um painel construdo por uma fibra composta especial reforada se comporta como um sistema de um grau deliberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relao entre amplitudes sucessivas 1,1. Determinar o
valor da constante de amortecimento histertico , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceqe aenergia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm.
Dados: m= 1 kg, k= 2 N/m, relao entre amplitudes sucessivas = 1,1 eX= 10 mm.Decremento logartmico
0953,01,1ln Fator de amortecimento viscoso equivalente
0152,0
0953,02
0953,0
2 2222
Freqncia natural
rad/s41,1
1
2
m
kn
Freqncia do movimento amortecido
rad/s41,141,10152,011 22 nd
Constante de amortecimento viscoso equivalentes/mN0429,041,110152,022
neq mc
Coeficiente de amortecimento histertico
03033,02
414,104290,0
k
cdeq
Energia dissipada por ciclo
)(N.mJ101,1901,041,10429,0 622 XcWdeq
2.89
Uma viga engastada com rigidez flexo de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. Amassa deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude aps 100 ciclosdo movimento 20 mm estimar a constante de amortecimento histertico da viga.
Dados: k= 200 N/m, m= 2 kg,x0= 30 mm ex100= 20 mm.Decremento logartmico
00405,002,0
03,0ln
100
1ln
1
1
1
mx
x
m
Fator de amortecimento viscoso equivalente
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
47/51
000645,0
00405,02
00405,0
2 2222
Freqncia natural
rad/s0,102
200
m
kn
Freqncia do movimento amortecido
rad/s0,1010000645,011 22
nd Constante de amortecimento viscoso equivalente
s/mN0258,0102000645,022 neq
mc
Coeficiente de amortecimento histertico
00129,0200
100258,0
k
cdeq
2.90 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotaoJ= 1,2 kg.m2 e rigidez torsional kt= 8500 N.m/rad. Determinar a freqncia natural torsional em rad/seg, Hz, eCPM (ciclos por minuto).
Dados:J= 1,2 kg.m2 e kt= 8500 N.m/rad.
rad/s2,842,1
8500 Jkt
n
cpm804Hz4,132
2,84
2
n
nf
2.91 Um oscilador harmnico torsional possui momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J= 10 kg.m2e seu perodo natural de vibrao foi medido em um osciloscpio, sendo igual a 35 ms. Determinara sua rigidez torsional.
Dados:J= 10 kg.m2e Tn= 35 ms.
rad/s180035,0
22
n
nT
kN/m32218010 22 nt Jk
2.92 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotao J= 1 kg.m2e rigidez torsional kt= 40000 N.m/rad possui uma freqncia natural muito prxima freqnciaexcitadora. Decidiu-se que o momento de inrcia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqncianatural em 30%. Determinar a mudana requerida em cada opo.
Dados:J= 1 kg.m2, kt= 40000 N.m/rad.Freqncia natural
rad/s2000,1
40000
J
kt
n
Reduo de 30%
rad/s1401n Alterao no momento de inrcia
2
2
1
1 kg.m04,2
n
tk
J
Alterao na rigidez
rad
mN196002
11
nt Jk
2.93 O rotor P de uma bomba centrfuga (Fig. 2.42) est conectada a um motor que gira com velocidade angularconstante , atravs de um acoplamento flexvel com constante de rigidez torsional KT e um par de
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
48/51
engrenagens com raios r1 e r2e momentos de inrcia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor dabomba possui momento de inrcia de massa polar JP. Determinar a freqncia natural da oscilao torsional,assumindo que os eixos de conexo so rgidos.
Figura 2.42
Energia cintica
2
2
2
22
2
112
1
2
1
2
1
PJJJT
Relao de transmisso
1
2
1
22211
r
rrr
Resultando em uma energia cintica
2122
2
2
1
12
1
PJJ
r
rJT
Momento de inrcia equivalente
2
2
2
12
2
21
r
rJJrJJ P
eq
Freqncia natural
212
2
21
2
2
rJJrJ
rk
J
k
P
T
eq
Tn
2.94 Determinar a freqncia natural de oscilao do pndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenasoscilaes em torno da posio de equilbrio.
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
49/51
Figura 2.43
Equaes do movimento
22
2
222222
11
2
111111
sin
sin
JLmFrgLm
JLmFrgLm
Relao de transmisso
221122112211 rrrrrr
Da segunda das equaes do movimento, linearizando
2
2222
2
222
r
gLmLmJF
SubstituindoFe as relaes da transmisso na primeira das equaes do movimento chega-se a
0122
2
2
1
111
2
222
2
2
12
111
gLm
r
rgLmLmJ
r
rLmJ
Cuja freqncia natural
2222
2
2
12
111
22
2
2
1
11
LmJr
rLmJ
gLmr
rgLm
n
2.95 Um oscilador harmnico torsional com momento de inrcia de massa em relao ao seu centro de rotaoJ= 1 kg.m2e rigidez torsional kt= 10000 N.m/rad possui uma freqncia de oscilao torsional igual a 96rad/seg, ao invs dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzidano sistema diminuindo a freqncia de oscilao. Determinar o fator de amortecimento.
Dados:J= 1 kg.m2, kt= 10000 N.m/rad, n= 100 rad/s, d= 96 rad/s,
Freqncias natural e do movimento amortecidon
21 d
De onde o fator de amortecimento pode ser obtido
280,0100
9611
22
n
d
2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) est conectado a uma mola e a um amortecedor torcionaisformando um sistema de um grau de liberdade. A escala graduada em divises iguais e a posio de equilbriodo rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10 -3 N.m aplicado estaticamente, o
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
50/51
deslocamento angular do rotor 50ocom o ponteiro mostrando 80 divises da escala. Quando o rotor liberadode sua posio, o ponteiro balana primeiro para -20 divises em um segundo e depois para 5 divises no outrosegundo. Achar:(a)A constante de mola torsional;(b)O perodo natural no amortecido do rotor;(c)O momento de inrcia de massa do rotor,(d)A constante de amortecimento torsional.Dados:Mt= 210-3N.m, 0= 50o80 divises da escala, 0,5-20 divises e 15 divises(a) Constante de mola torsional
m/radN1029,2
18050
102 33
t
t
Mk
(b) Perodo natural no amortecidoO perodo amortecido 2 s. Para determinar o perodo no amortecido necessrio calcular o fator deamortecimento, que exige o conhecimento do decremento logartmico.
77,25
80lnln
1
0
K
K
O fator de amortecimento
404,0
2 22
A relao entre os perodos
s83,12404,011 22 dn TT
(c) Momento de inrcia do rotor necessrio conhecer a freqncia natural que
rad/s43,383,1
22
n
nT
De forma que o momento de inrcia
26
2 mkg10194
n
t
O
kJ
(d) Constante de amortecimento torsionals/radmN105392 6 nOt
Jc
2.97 Um pndulo torsional tem uma freqncia natural de 200 cpm quando vibrando no vcuo. O momento deinrcia de massa do disco 0,2 kg.m2. Quando est imerso em leo sua freqncia natural 180 cpm.Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no leo, sofre um deslocamento inicial de2o, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo.
Dados:fn= 200 com,J= 0,2 kg.m2,fd= 180 com e 0= 2
o.Fator de amortecimento
436,0200
18011
22
n
d
f
f
Constante de amortecimento torsional
s/radmN3,6560
22002,0436,022
nOt Jc
Amplitude angular
rad0388,0180
2
60
2180
1802
60
2200436,00 2
2
2
0
2
00
d
n
ngulo de fase
5/25/2018 Exerccios Resolvidos de Mola
51/51
rad451,0180
200436,0tan
60
2180
1802
1802
60
2200436,00
tantan
1
1
0
001
d
n
Perodo da oscilao amortecidas333,0
60
2180
22
d
dT
Posio angular aps o primeiro ciclo (transcorrido um perodo de oscilao)
rad1066,1cos 3 dd
T
d TeT dn