Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
1
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur Laboratoire de Technologie des Poudres
Prof H.Hofmann
Corrigés (1- 21, Chaleur) Exercice 1
2300 /q kW m=
max 50.
, ?
e cmk constk e
=
==
avec équ. 3.14 et 3.15
e
x
T 1
T 2
P r o b l è m e
T
x
T 1
T 2
e0
T = T 1 - ( T 1 - T 2 ) x / e
S o l u t i o n
5m2 k ?
T1= 700°CT2= 20°C
e
( )
[ ]
2 11 2 1
3
2
max
(T -T ) et T(x) = x + Te
q = 300 10 680
441, 2
441, 2 0, 5 220 /On cherche donc un matériau ayant une conductivitéthermique k 220 [W/mK]Cu, Al, Zn pas possible
P kq T TS e
ke
k We m Ck W m C
= = −
⋅ = ⋅
⎡ ⎤= ⎢ ⎥°⎣ ⎦= ⋅ = °
≤
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ]
350
350
350
(voir Fig 7.9)Acier doux k 33 / ; 7,5
Acier inox. k 20 / ; 4, 5
Magnésie k 3 / ; 0, 68
C
C
C
W m C e cm
W m C e cm
W m C e cm
°
°
°
= ° =
= ° =
≈ ° =
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
2
Exercice 2
( )
( )[ ][ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2 1
1 21
0 1
0 12 1
210
2 1
2 21 10 2 2 0 1 1
2 1
2 210 2 1 2 1
2 1
1 (équ.3.34)
avec k
1
12
12 2
12
x
T
moyenT
Tm T
Tm T
T
mT
T
mT
m
m
m
k k T dTT T
k T TT x T x
ek
T k k T
k k k T dTT T
kk k T TT T
k kk k T T k T TT T
kk k T T T TT T
k k
=−
−= − ⋅ ⋅
= + ⋅
= +−
⎡ ⎤= +⎢ ⎥− ⎣ ⎦
⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥− ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥− ⎣ ⎦
=
∫
∫
10 2 1( )
2k T T+ +
autre interprétation (plus « mathématique ») : de k(T) = k0 + k1T on tire le « vrai » k0 (le « b » de y = ax + b) k0 = k(T) – k1T = 0.55 – 0.025x200 = -4.45 pour se ramener à un graphique « simple » il faut ramener l’origine à zéro : on a donc : k(T) = -4.45+0.025 T et on trouve pour km= -4.45+(0.025/2)1200=10.55 (avant on avait k=k0+k1(T-200))
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2001000
( )1000
0,0250,55 1000 200 200 200 10,55 [ ]2
0,55 0,0125 1000 200 ( ) 200
10,55 (1000 200)( ) 100010,55 0,0125 1000 200 ( ) 200
10,55 80010000,55 0,0125 ( ) 200 800
m
T xm
Wkm C
k T x
T x xT x
xT x
= + − + − =°
= + − + −
−= − ⋅ =
+ − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⋅
= − ⋅+ − +⎡ ⎤⎣ ⎦
k
T200 1000
k = f(T)
T
0.55 0 -4.45
200
k(T) = k0 + k1T
1000
200
k
T
x
0
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3
0
200
400
600
800
1000
1200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Distance x (m)
Tem
pera
ture
(°C
)
k = constant
k= k0 + k1T
x (m) T (°C) 0 1000 0,48 800 0,73 600 0,92 400 1 200
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
4
Exercice 3
( )
( )
1 2
2
b)
16,912 500 300 67,6 0,1
33,8
kP S T Te
P kW
P kWqS m
= ⋅ ⋅ −
= ⋅ − =
= =
c) équ. 7.34
( ) ( )
( )
( )
0 1
1 18,8 1 0,064 17,6
17,62 200 70,40,1
eff cWk k P
m CkP q S S T Te
P kW
= − = ⋅ − =°
= ⋅ = −
= ⋅ =
Exercice 4
5,0% du poids céramique 6,4 % vol.≡
a) k composite (équation 7.33)
1 /1 2
2 / 11 /
1/ 1
0,899 16,91
c dd
c dcomp c
c dd
c d
comp acier
k kV
k kk k
k kV
k k
Wk km C
⎡ ⎤⎛ ⎞−+⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎛ ⎞−
⎢ ⎥− ⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= ⋅ =°
0 1 1 2 2 0
0 0
0 02
0 0
11
2
On calcule pour le cas régime stationnaire:
'q 1 1'
' 500 20soit: q = 13710,11 1 1 1' 20 1 5500De plus, 1371 d'où 4311
2020et 1371 d'où 1
5
T T T T T T csteeh hk
T T We mh k h
T T C
T
− − −= = = =
− −= =
+ + + +
−= = °
−= 2 294T C= °
6g =1cm3 5g = 0.833cm3
7.8g = 1cm3 95g = 12.18cm3
Avec les indices suivants : c = phase continue
d = phase dispersée Vi = volume de la phase i
Vd = 0.833 12.18+0.833 = 0.0640
e
T0
h0
T1
T2
T’0 h'0
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
5
2
1 2
1 2
Si maintenant = 20 cm:500-20' = 10660,21 1
20 1 5' 446 et ' 233
Ainsi q a diminué de 23% (et non de moitié), T a augmenté et T diminué.Ces résultats sont loin d'être intuitifs.
eWqm
T C T C
=+ +
= ° = °
Exercice 5 a)Briques réfractaires Isolant On a donc :
b) Briques réfractaire : Isolant réfractaire :
Isolant : Avec à nouveau :
Nous trouvons :
On se rend compte qu'il convient de se méfier des solutions intuitives ou "évidentes" et qu'il vaut mieux les étayer par un calcul, même approximatif.
1
1
10
1
e cmWk
m C
=
=⋅°
2
2
1 3
2
0,1.
1100 , 20
e cmWk
m CT C T C
=
=°
= ° = °
2
22
1100-20Ici, q = 36000,1 0,021 0,1
1100et donc q = 3600 d'où 7400,11
Wcstem
T T C
= =+
−= = °
2
2
3
0,5.
e cmWk
m C
=
=°3
3
2
0,1.
e cmWk
m C
=
=°
T1 = 1100°C,T4 = 20°C
2
22
1100 20' 32730,07 0,03 0,021 0,5 0,1
' 0,911100 'et 3273 d'où ' 870 ,0,07
1
Wqm
q qT T C
−= =
+ +
≈−
= = °
( )2 33 3 2
' 'de plus 3273 = , donc ' 674 ' .0,030,5
T T T C T T−= ° <
1
1
71 /
e cmk W m C
== °
a )
T 1
T 2
T 3
T 1
T ’2
T 3
T 4
e 1 e 2 e 2e 1e 3
b )
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6
Exercice 6 (mur avec production de chaleur)
Exercice 7
( )
( ) ( )
( )
22
2
ère 20 0 0
11
2 21
0
en intégrant deux fois on trouve : 2
avec la 1 C.L on a : 0 on a donc2
avec et donc
on trouve l2
:
p p
p
pp p
p p
q qT T x x Ax Bx k k
qT T B T T x x Ax T
kq e qdTq k q x Ak q q e Ak A
dx kq e q e q eT e T
k k k
−∂= − = + +
∂−
= ⇒ = = + +
−= − = − ⇒ = − =
−= + − +
( )2
10
'équation cherchée
2pq e q eT e Tk k
= − +
21
22
1
2
1 2
0,00952340 /
6100 /8232
344,5 /
1rj
k
e mh kcal hm C
h kcal hm CT CT Ck kcal hm C
T Tq ehλ
=
= °
= °= °= °
= °−
=Σ + Σ + Σ
Σ rj = 0
2
2
1 1 2 2
1 2
1 2
82 32 80793[ ]0,0095 1 1344,5 2340 6100
93922.5 [ / ] ( )' 'avec = ou 1 1
: ' 47,5 ' 45,2
kcalqhm
q W m inutile iciT T T Tq
h hon trouve alors T C et T C
−= =
+ +
=− −
= ° = °
9.5mm
T1=82°C h1
T2=32°C h2
T'1
T'2
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7
Exercice 8 a) Puissance calorifique
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 22 2
2 2
2 22 22
2 2 2
b)
= - .3.254
Condition aux limites : = si = ( )2
4 4
4 4 4
i
ext ext
i i
i i i
q rT B équk
dT T r r T T et r R
q r q rT B B Tk k
q r q r qT r T T r rk k k
+
= = =
−= + ⇒ = +
−= + + = + −
2
2
, = i
i
P U I U R I P RI et comme q est la puissance par unité de volume
RIqV
= ⋅ ⋅ ⇒ =
=
2el
2 2 2el el
el2 2 2 2 4
6 2 2 26
2 4 3 3 3
3
avec R= , 4
4 4 4 16
1,7 10 16 500 10 1
689,683[ / ]
i
Cu
Cu
l V S l d lS
l I I IqS d l d d d
cm A VA W Wqcm Acm cm m
q kW m
πρ
ρ ρ ρπ π π π
π
−
= ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ Ω ⋅= ⋅ = = ⇒⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
=
3 26 9 3
Graphite 2
1,375 10 16 500 = 10 0,547 10 [ / ]1
793!! ' (
tan (
q W m
Graphite c est pourquoi on utilise le graphite dans les fours car leCuivre
dégagement de chaleur par effet joule est très impor t mauvais
π
−⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅
⋅
=
))conducteur
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8
Exercice 9 c. L.
( )A
x=0 T=0x=L T=0y= T=0
y=0 T=T sin
, ?
xL
T x y
π∞
Cas général :
Multiplication des deux côtés par sinmπL
x et intégration entre x=0 et x=L.
Remplacer f(x) par AT sin xL
π
( ) 22 2 2 2
22
2 2 2 2 2
2 4 2 4 2 2
( 0)4
416 164 4 4
i
i
el el el
qT T r T r T r Tk
qT rk
I r I d ITk d k d k d
ρ ρ ρπ π π
∆ = = − = + −
∆ =
⋅ ⋅∆ = ⋅ = ⋅ = ⋅
22
3
689683Cuivre : 0,005 0,014 418
Wm CmT C T Cm W
⎡ ⎤°∆ = ⋅ = ° ⇒ ∆ = °⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
Graphite : ∆T =0,547109 ⋅0,0052
4 ⋅34 ⋅ 4,18= 24°C
( )
( )
( )
n0
1
0
0
= A e sin ( .4.21)
avec 0
, sin
avec c.L y=0 T=f x
sin
n yL
n
n yL
nn
nn
n x équL
T
nT x y A e xL
nf x A xL
π
π
πθ
π
π
⎛ ⎞⎜ ⎟∞ ⎝ ⎠
=
⎛ ⎞∞ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
=
∞
=
⋅ ⋅
=
= ⋅ ⋅
⇒ = ⋅
∑
∑
∑
( )00 0
=0 si
si =2
sin sin sin
n
x L L
nnx x
n mLA
n m
m m nf x xdx A x x dxL L Lπ π π= ∞
== =
≠
=
⋅ = ⋅ ⋅∑∫ ∫
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9
Z
X
Y
y=0
x=0 x=L
T= 0T= 0
T= 0, y = 8
T = T0
0.5 T0
T
0
sin sin2
2 sin sin
nA
x LA
nx
x m A LT x dxL L
T x mA x dxL L L
π π
π π=
=
⋅⋅ =
= ⋅
∫
∫
avec la relation trigonométrique :
( ) ( )
( ) ( )0
cos 1 cos 11sin sin2
1 12 cos cos2
LA
n
m x m xm x xdx dxL L L L
n nTA x x dxL L L
π ππ π
π π
− +⎛ ⎞⋅ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
− +⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
∫
Intégration :
( )( )
( )( )
0
1 1sin sin
1 1
L
An
m mT L LA x xL m L m L
π ππ π
⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )( )( )
( )
( )( )( )
1
0 0 0, 1, 2, ... 02, 3,... 0
sin 1m=1 lim
1
1
sin 1 sin 11 1
( , ) sin
m
An
m nm
mm
AA
yL
A
m mTAm m
TA T
T x y T e xL
ππ
π
π ππ
ππ
π
→
= ⇒ = ⇒= ⇒
−⇒ =
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
− +⎢ ⎥= −⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= =
= ⋅
F(x)
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10
Exercice 10
510 0,025 0,0054237
" " ( 0.1)2 0,3 ; 0,005 0,3 ( : 4
2 0,3' . 5.4 :0,0
: 4(0.005 ))
hLOn calcul en tout premier Biotk
refroidissement Newtonien car BiotA H V H note ici on néglige les bords
A Havec l équ et avec le rapportV
H
⋅= = =
⇒ ≤= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
⋅2
05 0,3 0,0051 avec ( )
2
HA e L la demi épaisseurV L
=⋅ ⋅
⇒ = =
a)
( ) 2 3
2 3
510 315 90 20,005 2702 900
dT Wm m Ckg C J C Cdt sJ sm Cm kgJ
⋅ − ⋅ ⎡ ⎤° ° ° °⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ° ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ]315 18,8 /dT C sdt
= − °
b)
( ) [ ]150
2550 150 90 225,1 /
0,005 2702 900dT C sdt
⋅ − ⋅= − = − °
⋅ ⋅
c)
- 2exp exp équ. 5.5 avec f
i f
T T hAt h t e épaisseurT T CpV Cpeρ ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ln2
f
i f
T TCp eth T T
ρ ⎛ ⎞−⋅ ⋅= − ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
1ère étape : 12702 900 0,005 260 90 ln 10,5
510 2 500 90t ⋅ ⋅ −⎛ ⎞= − ⋅ =⎜ ⎟⋅ −⎝ ⎠
s
2ème étape : t2 = −2702 ⋅ 900 ⋅ 0, 005
2550 ⋅ 2⋅ ln
120 − 90260 − 90
⎛ ⎝
⎞ ⎠ = 4,15 s
ttot = t1 + t2 ≅ 14,6 s
( )
( )
[ / ]f
f
dT dTV Cp hA T T avec taux de refroidisement C sdt dt
dT hA T Tdt V Cp
ρ
ρ
⋅ ⋅ = − = °
= − −⋅ ⋅
Al 500°C
Eau
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
11
Exercice 11
20025
35
i
f
t Ct C
T C
= °= °
= °
142 0.05 0, 4515.5
35 25 10 0,057200 25 175
i
f
i f
h rB
T TT T
λ⋅ ⋅
= = =
− −= = =
− −
Avec diagramme 5.3a
2 2
2 6
4 4 0,05 4 2222.22 s4,5 10
t rFo tr
αα −
⋅ ⋅= ≅ ⇒ = = =
⋅
Température superficielle :
0 i25 0,05 (Diagramme 5.3b) [avec F 4, B = 0,45]
200 25
T = 0,05 175 + 25 = 33,75 C
T −= =
−
⋅ °
Exercice 12
1
2 1
2 1
0,0190025
4500 /
1700 /
F
eau
huile
r mT CT C
h W m k
h W m k
−
−
== °= °
=
=
avec
( )
eau
huile
0 2
4500 0,01 2,915,5
1700 0,01 1,096 1.115,515,5 0,044
7780 444 0,01
h rBik
Bi
F t t
⋅ ⋅= = =
⋅= =
= ⋅ = ⋅⋅ ⋅
Acier inox 200°C
Air forcé 25°C
2 Fok ktCp Cp r
αρ ρ
= =⋅ ⋅
Eau 25°C
Acier inox 900°C
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
12
t (s) F0
1 0,044 2 0,088 5 0,220
Avec Diagramme 5.3 b et ( )( )
f
i f
T T
T Tθ
−=
−
1 s 2 s 5s
eauθ 0,6 0,4 0,3
T (°C) 550 375 288
huile θ 0,88 0,7 0,6
T °C) 795 638 550 On remarque bien que le refroidissement dans l’eau est bien plus rapide que celui dans l’huile (le coefficient de transfert de chaleur h est donc plus élevé pour l’eau) Exercice 13 a) équ. 5.19
22
01
0 2 2
ˆ- sin ˆ ˆ2 cos expˆ ˆ ˆsin cos
ˆpour x = 0 0 cos 1
2550 0,025 0, 268;237
237 10 1,562702 900 0,025
nf n
n nni f n n n
n
i
T TF
T T
h LBkk tFCpL
λ λ ξ λλ λ λ
ξ λ ξ
ρ
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦− +
⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅
∑
avec tableau 5.1 (il faut faire une interpolation graphique ou numérique (Excel…)) avec (pour une plaque) L = e/2 (demi épaisseur) (attention d’utiliser les valeurs du tableau en radian)
1 1 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
ˆ ˆ0,57 3, 28ˆ ˆsin sin0,56 0,04ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin cos sin cos
L Lλ λ λ λ
λ λλ λ λ λ λ λ
⋅ = = ⋅ = =
= = −+ +
Eau
Al 500°C
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
13
( ) ( )9
2 2
0,337 2,05 10
2 0,56 exp 0,57 1,56 0,04 exp 3, 28 1,56
0,674
0,674(500 90) 90 366
f
i f
f
i f
T TT T
T TT T
T C
−⋅
⎡ ⎤− ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅⎣ ⎦⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎣ ⎦−
=−
= − + = °
b) méthode graphique Avec diagramme 5.2a
( )( )
0,75
0,75 500 90 90 397.5
calculer-graphique 30
f
i f
T TT T
T C
T C
−=
−
= − + = °
∆ °
Exercice 14 Equation 6.8
2 2
0
14
l f
m p
H VtT T k c Aρπ
ρ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠
1) plaque
( )3
2 23
1.736 10
VA 2 2 2
246 10 6600 1 0,1 1475 s4 1148 20 1600 0,8 1500 2, 4
24,5min
a b lab al bl
t
t
π
−⋅
⋅ ⋅=
+ +
⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ ⋅ ⎝ ⎠⎝ ⎠
=
2) sphère Soit environs 6 fois moins que la plaque (6.25 fois exactement)
On remarque que la différence de temps de solidification pour deux pièces de même épaisseur peut être très différente. Le rapport du volume sur l’air est donc très important (de plus ce terme est au carré !). Ici la différence de volume à aussi son importance car pour un volume égal (sphère de r = ~28cm) il faut 2h 10min de solidification.
3
22
4V 0,053 1.6 10A 4 3 3
235 4 min
r rr
t s
π
π−= = = = ⋅
= ≈
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
14
r1
r3
r2
h2
h1 r1
r3
r2
h2
h0
h1Me
Iso
1. Versionh1 = coeff. de transfert de chaleur
de la surface intérieure du tube
2. Versionh1 = coeff. de transfert de chaleur du métal
Exercice 15
5
6 2 2
2 2
5 3
0,8 0,
1, 9 10 0, 24Pr 0,735 (sans dimension)6, 2 10
26,5 0,04 1, 2Re 66947 (écoulement turbulent)1,9 10
0, 023Re Pr
m
Cp kg m s kcal m s Ck m s kg kcal C
u d m m kg s ms m kg m s
Nu
µ
ρµ
−
−
−
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °= = = = −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ °⎣ ⎦
⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = −⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦= ⋅ 4
22
2
147,5
2, 286 10
95,68
h dNuk
kcalhm s C
Whm C
−
=⋅
=
⎡ ⎤⇒ = ⋅ ⎢ ⎥°⎣ ⎦⎡ ⎤= ⎢ ⎥°⎣ ⎦
Exercice 16 Cet exercice a deux solutions, parce que la définition de h1 n’est pas assez claire. Version a) :
( )
1 vapeur - métal
1 2 2
14
p2 2
3,8
h h
vapeur-solide 9760 11' 346
T solide-air (convection naturelle) = 11,3 ( 8.50)
2
0,14 0,163
139
air
iso
vapeur bar
kcal Whhm C m C
T Wh formuler m C
kcal Wkhm C m C
T C
≡
= =° °
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥°⎣ ⎦⎣ ⎦
= =° °
= °
P =Tvapeur − Tair
ΣR (pas de résistance entre les couches) )
Air 26.5m/s
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
15
Cas stationnaire (équ 3.37):
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 31
1 21 1 4
33
P= 1 1ln ln2
2 2 1,3 22
Vapeur Me V Me V Me Iso Iso Me Iso Air Iso Air Air
Iso AirMe Iso
T T T T T T T Tr r
r rh r L T Tk L k L r Lr
ππ π π
− − − −= = =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞−⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
Estimations :
1 vapeur ( )
Me Me(V) ( )
Lorsque h est très grand, la résistance entre la vapeur et le solide et très petite, donc T
Lorsque très grand T ; donc le gradient de la température dans le métal es
Me V
Me Iso
T
k est T
≈
≈
( )
t négligable
(et la résistance à l'interface métal isolant est aussi négligeable)Iso Me VapeurT T⇒ ≈
( )
( ) 2
139
21
Iso Me
Iso Air
Air
T C
T T
T C
= °
=
= °
( )
( ) ( )
( )
2 2
14
2
2 2
14
2
139 ( 21)0,035 1ln0,03 211,3 2 0,035 12 0,162 1 0,07
139 21et on trouve en tatonnant ou à l'aide d'un graphique10,1514
0,555 21
T TP
T
T TP
T
ππ
− −= =
−⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠− −
= =
−
2 114,5
161,8 /
estimations:
0,09 négligeable!!
30 0,12
Vapeur Métal
Me
T C
P W m tube
Vérification des
T C
WT k Cm C
−
= °
=
∆ < ° ⎫⎪⎬⎛ ⎞∆ ≈ ≈ °⎜ ⎟ ⎪°⎝ ⎠ ⎭
0,052Flux de vapeur : 3 3,8 0,568 0,014 /4
5,7 / Vapeurp
kg s
pT C m tubem c
π⋅ ⋅ ⋅ =
∆ = = °⋅
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
16
Version b) : Solutions pour le cas où h1 = coeff. de transfert de chaleur du tube
( )
1 2 2 2
2 2 2
9760 11370
0,14 0,162
139 412
Iso
Vapeur
kcal J Whhm C sm C m C
kcal J Wkhm C sm C m C
T C k
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟° ° °⎝ ⎠⎛ ⎞= = =⎜ ⎟° ° °⎝ ⎠
= °
14
2 2
0
1,3 équ. 8.50 (convection naturelle)2
?
p airT T Whr m C
h
−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎢ ⎥ °⎝ ⎠⎣ ⎦=
Régime turbulent ou laminaire ? donc il faut calculer Re m
m
3
6
uRe=
u 3 [m/s]0,052 [m]1,81[kg/m ] (Il faut chercher les valeurs pour vapeur saturée)
kg13,4 10 [ ]m×s
Re 21'071 donc turbulent!!
d
d
ρµ
ρ
µ −
⋅ ⋅
==
≈
≈ ⋅
⇒ =
( ) ( )
0
3 34 4
3-3
0 2
0 2
h
0,026 Re Pr = 0,026 21071 1,054 Pr pour vapeur sat. 139°C = 1,054Nu = 47,3
47,3 28,2 10h [ ] k pour vapeur sat. 139°C = 28,2 100,052
25,65 [ ]
Nu kd
Nu
Wm K
Whm k
−
⋅=
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅=
=
Pertes?
( ) 1/ 4
Problèmes car inconnu
139 210,03 0,035ln ln
0,026 0,0301 125,65 2 0,026 1 2 9760 0,004 1 2 0,162 1
1,3 2 0,035
vapeur air
iso air
T TP
R
P
T T
π π π
π
−=
Σ−
=⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
17
∆T dans le métal très petit
Me(V) ( )T 139 CMe IsoT≈ ⇒ ≅ °
Cas stationnaire : ( ) ( )
( )
( )
2 2
14
2
22
14
2
2
139-T 21P = 10,035ln
0,03 211,3 2 0,0352 0,162 0,07
2113910,1514
0,555 21114,5
W161,7 [ ]m tube
T
T
TTP
TT C
P
ππ
−=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠
−−= =
−
≈ °
=
Vérification des estimations :
139161,7 100,41
25,65 2 0,026 Parce que la différence est trop grande on fait une
nouvelle estimation:
vapeur métal
meme
me vapeur
T
TT C
T Tπ
−∆
−= = °
⋅ ⋅≠
Me(V) ( ) ( ) T Me Iso Isolant MeT T= =
⇒ ∆T dans le métal est négligeable
( )
me139-T1 0,035ln25,65 2 0,026 0,030
2 0,162139
0, 23 0,15491,5
1,66 91,5 1,66
me iso
me me iso
isoiso me me
T T
T T T
TT T T
ππ
−=
⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠
⋅− −
=
+= − =
Calcul de la température de la surface d'isolant Tiso(Air) : ( )iso
14
T 91,5211,66
0,035 1ln0,03 91,5 212 0,162 1,661,3 2 0,035
2 0,35
isoiso
iso
TT
Tπ
π
+−
−=
+⎡ ⎤−⋅ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥
⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
18
iso(Air)
14
(graphique, par interpolation) T 42
42 21 25 / 1
42 211,3 2 0,0352 0,035
C
P W m tube
π
⇒ = °
−= =
−⎡ ⎤ ⋅ ⋅⎢ ⎥⋅⎣ ⎦
Vérification si ∆T dans le tuyau est négligeable :
Exercice 17
( )1
1 22 2 2 2
3
1 12 2 2
f a, ,p, 0
N m
N s Pa s=m
) 4 (grandeur : a, , , )) 3 (Dimension : M, L, T)) il y a donc m 4 3 1 para
avec a vitesse du son
a LTkgm kgp ML Ts m s m
MLkgm s kgML Ts m s m
a n pb kc
ρ µ
ρ
µ
ρ η
−
− −
−
− −
= =
=
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
⋅ ⋅⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠==
= − =
12 3 1 1
1 1
mètre sans dimension
) 1pour M: + + =0pour L: - - -3 +1=0pour T: - -2 -1=0
1M+L -2 =-1 = 21L-T =- 2
0
p a
d M L T M L T M L LT
pa ap
α β γ
α α α β β β γ γ
π µ ρ
α β γα β γα β
γ γ
β
α
ρπ πρ
− − − − − −
=
≡
=
= ⇒ =
T25= 0,030ln0,026
2 390,014 négligableT C
π
∆
⋅⇒ ∆ = ° ⇒
Conclusion On comprend mieux après cet exercice pourquoi les isolants à l’amiante ont été interdit…
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
19
Exercice 18 La fraction de flux émise dans la direction D s'écrit:
2 cos .9.5Ded dS d équβ ϖπ
Φ = ⋅
Avec e pour un corps noir : 4Tσ ⋅ équ. 9.12, 9.14 et 9.20 4
2 cosDTd dS dσ β ϖ
π⋅
⇒ Φ = ⋅
Exercice 19
2
2
c 2
2
total
) émissivité lié au CO0,15 2 0,3
0,3 1,5 0,45 1773
Diagramme CO (Fig 9.4 a) 0,12correction : P 2 1,1 (Fig. 9.4 b)
1,1 0,12 0,13
c
c
g
CO
CO
aP atmP L m atmT K
atm C
ε
ε
ε
= ⋅ == ⋅ = ⋅
=
⇒ ⇒ == ⇒ =
= ⋅ =
( )2
26 2 4
g R c c R gTempérature de rayonnement
0,65
Absorbtion liée au CO
1,16 10 / 2127!!
parce que T < T (P L)*=P L T /T
' ( *, )
' /
R R R
R g
c R
CO g R
W m T T KT T
f P L T
T T
σ
ε
α ε
Φ = ⋅ = ⇒ =⇒ >
⇒ ⋅
=
= −
( ) ( )
( )2
2 2
2
c0,65
CO
CO CO 2
2127* 0,3 1,5 0,541773Diagramme CO ' 0,1Correction identique C 1,1 ' 0,11
2127=0,11 =0,1241773Important : !! Note : le gaz N est transparent
cP L
εε
α
α ε
= ⋅ ⋅ =
⇒ == ⇒ =
≠
eau
b) et d'eauEmission liée à la vapeur d'eauP 0,20 2 0,4
0,4 1,5 0,60 1773
eau
g
atmP L m atmT K
ε α
= ⋅ =⋅ = ⋅ = ⋅
=
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
20
2Diagramme H 0,19 (Fig. 9.5)Correction
1,2 1,4 (Fig. 9.5)2
1,4 0,19 0,266
e teau
eau
O
P PC
ε
ε
⇒ =
+= ⇒ =
= ⋅ =
( )R
Absorbtion liée à la vapeur d'eau'=f T
'21270,60
' 0,151,4 0,15 0,21
eau
eau eau
R
e
eau eau
P LC
T KP L
εα ε
εαα ε
===
⇒ == ⋅ =
≠
c)
( )
( )
2
2
2
2
2
2
, , , (Fig 9.6)
0,4 0,570,3 0,4
0,3 0,4 1,5 1,05
9400,052
0,13 0,266 0,
gas CO eauCorrection
gas CO eau
eaueau CO
CO eau
eau
CO eau
eau CO
gas
Pf P P L T
P P
PP P
P P L
T
ε ε ε ε
α α α α
α ε
ε αε
= + − ∆
= + − ∆
⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤∆ ∆ = + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎜ ⎟+⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
= =+ +
+ ⋅ = + ⋅ =
>⇒ ∆ = ∆ =
= + − 052 0,344
0,124 0,21 0,052 0,282gasα
=
= + − =
Exercice 20
( )( ) ( )
1
2
1
28 2 4
4 4 21 22 1 2
1 2
0,21 ( 2000 )0,06 ( 600 )2000600
5,6703 10 /
44,05 [ / ] . 9.481 1 1
à Kà K
T KT K
W m K
T T kW m équ
εε
σε ε
ϕ σε ε
−
====
= ⋅
= ⋅ − =− − −
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
21
Avec écran :
Cas stationnaire :
1 1 2 21 e 2q e e eq q→ → →= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 21
1 1 2
1 2
1
1
1
1
1
4 42 21 4 4
11 2
41
2
1 4 41
1
e
1 1 1 1 1 1
108 [ / ]0, 21 1,05 10 interpolation linéaire0, 06
1 1 1
avec k 108W/mK, 1
e eee e e
e e
ee
e
e
T TkT T T Te
k W mKT T cste
q T T
kq Te
ε ε σε εσ
ε ε ε ε
ε εε
ε εσ
ε ε
ε
−
− ⋅ ⋅ −− = − =
− − − − − −
≈
= = ⋅ +
=⋅
= −− − −
= −
≈ =1
4, 05 10 eT−⋅
2 1aucune influence de la conduction sur le flux de chaleur
e = 0e eT T≈ ⇒
⇒
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
1 2
1
2
4 4 4 41 21 2
1 2 2
2
1 1 1 1 1 1
1830 , k 92,7 W/mK (Littérature)
30,25 [ / ]
:30250 0,003 0,97 1
92,71830,5
1829,5
e ee e
e
e
e e
e
e
q T T T T
T C
q kW m
VérificationeT T T q C C
T
T
ε ε ε εσ σ
ε ε ε ε
λ
⋅ ⋅= − = −
− − − − − −
⇒
≈ ° ≈
=
⋅∆ = − = = = ° ≈ °
=
=
T 1
T 1 e T e 2
T 2
T
x
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
22
Exercice 21 1 Thermocouple 2 Alumine (ε à 1073 K = 0,8) 2 3 3 Graphite ( corps noir ε = 1) L’azote est transparent (donc aucune influence) Avec équation 9.63 :
( )4 4 4 42 32 2 3 3 3 2
41
2 3
21 (1 )(1 )
T T T TT
ε εε ε
ε ε
+ − +=
− − −
T1 = 1169,8 K ≅ 1170K
1
1073K 1223K
N2 1.67 bars
0.3m
0.9m
0.6m
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