Evaluación de Proyectos de Capital deRiesgo
Portafolios Eficientes y Tangentes con N activos
Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra
Departamento de Ingenierı́a FinancieraITESO
Marzo de 2013
Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
Portafolios Eficientes con Activos Riesgosos
I Problema 1: Encontrar el portafolio x que tiene el máximorendimiento esperado para un nivel de riesgo dado medido porla varianza del portafolio
I maxxA,xB ,xCµp,x = x′µ sujeto a
I σ2p,x = x ′∑
x = riesgo establecidoI x ′1 = 1I Problema 2: Encontrar el portafolio x que tenga el riesgo más
pequeño y medido por la varianza para un nivel establecido derendimiento esperado.
I minxA,xB ,xCσ2p,x = x ′
∑x sujeto a
I µp,x = x ′µ = rendimiento establecidoI x ′1 = 1I En la práctica el problema 2 usualmente se resuelve variando el
rendimiento establecido entre un rango dado.
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Solución analı́tica usando algebra matricial
I La función de Lagrange asociada al problema 2 es la siguiente:I L(x , λ1, λ2) = x ′
∑x + λ1(x ′µ− µp,0) + λ2(x ′1− 1)
I Las derivadas parciales de primer orden quedan como:I 0 = ∂L(x , λ1, λ2)/∂x = 2
∑x + λ1µ+ λ21
I 0 = ∂L(x , λ1, λ2)/∂λ1 = x ′µ− µp,0I 0 = ∂L(x , λ1, λ2)/∂λ2 = x ′1− 1I Este sistema de ecuaciones tiene 5 variables desconocidas :
xA, xB, xC , λ1, λ2
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Continuación
I
2∑ µ 1µ′ 0 01′ 0 0
xλ1λ2
= 0µp,0
1
I Esto puede ser reescrito como:I Ax ∗ zx = boI La solución para zx es entoncesI zx = A−1x ∗ b0I Los primeros 3 elementos de zx son los pesos del portafolio x
con una tasa esperada de µp,x = µp,0
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Representación GráficaI Gráficamente se tiene los siguiente:
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Ejemplo
I Encontrar el pportafolio eficiente con el mismo rendimientoesperado de Microsof y Starbucks.
I Para Microsof, debemos resolver:I minxA,xB ,xCσ
2p,x = x ′
∑x sujeto a
I µp,x = x ′µ = 0.0427I x ′1 = 1I Para Starbucks, debemos resolver:I minxA,xB ,xCσ
2p,x = x ′
∑x sujeto a
I µp,x = x ′µ = 0.0.0285I x ′1 = 1
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Solución
I Usando algebra matricial, obtenemos:
I x =
xmxnxs
= 0.8275−0.0908
0.2633
I y =
ymynys
= 0.51940.2732
0.2075
I Además:I µp,x = x ′µ = 0.0427 y µp,y = y ′µ = 0.0285I σp,x = (x ′
∑x)1/2 = 0.09166
I σp,y = (y ′∑
y)1/2 = 0.07355I σx,y = 0.005914, ρx,y = 0.8772
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Cálculo de la frontera del portafolio
I Resultado: la frontera de un portafolio puede ser representadacomo una combinación convexa de dos cualquiera protafoliosfrontera.Si x es un portafolio frontera que resuelve:
I minxσ2p,x = x ′∑
x sujeto aI µp,x = x ′µ = µp.0I x ′1 = 1I Sea y 6= x otro portafolio frontera que resuleve:I minyσ2p,x = y ′
∑y sujeto a
I µp,y = y ′µ = µp.1I y ′1 = 1
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Continuación de Cálculo de la frontera del portafolio
I Sea α cualquier constante. Entonces el portafolio:I z = α ∗ x + (1− α) ∗ yI es un portafolio frontera con las siguientes caracterı́sticas:I µp,z = z ′µ = α ∗ µp,x + (1− α) ∗ µp,yI σ2p,z = z ′
∑z = α2σ2p,x + (1− α)2σ2p,y + 2α(1− α)σx,y
I σx,y = cov(Rp,x ,Rp,y ) = x ′∑
y
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Ejemplo 1I Calcula el portafolio eficiente como una combinación convexa de
un portafolio eficiente con la misma media de Microsof y otroportafolio eficiente con la misma media de Starbucks.
I Sea x que denota el portafolio eficiente con media de Microsoft yy el portafolio eficiente con media de Starbucks. Sea α = 0.5Tenemos entonces:
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Continuación del Ejemplo 1I La media de este portafolio está dado por:
I La varianza es
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Ejemplo 2
I Encontrar el portafolio eficiente con rendimiento esperado de0.05 y que provenga de los portafolios anteriores.
I 0.05 = µp,z = α ∗ µp,x + (1− α) ∗ µp,yI α = (0.05− µp,y )/(µp,x − µp,y ) =
(0.05− 0.0285)/(0.0427− 0.0285) = 1.514
I z = 1.5114
0.8275−0.09080.2633
− 0.514 0.51940.2732
0.2075
= 0.9858−0.27780.2920
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Estrategia para delimitar la Frontera
I Define el portafolio global de minima varianza = primer portafoliofrontera
I minmσ2p,m = m′∑
m sujeto a m′1 = 1I Calcula µp,m = m′µI Encuentra el conjunto i que tiene el rendimiento esperado más
alto. Define a µp,0 = maxµ y resuelve:I minmσ2p,m = m′
∑m sujeto a:
I µp,x = x ′µ = µp,oI x ′1 = 1
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Continuación de la Estrategia
I Considera un intervalo de valores α y calculaI z = α ∗m + (1− α) ∗ xI µp,z = α ∗ µp,m + (1− α)µp,xI σ2p,z = α
2σ2p,m + (1− α)2σ2p,x + 2α(1− α)σm,xI σm,x = m′
∑x
I Grafica µp,z contra σp,z
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Encontrando el Portafolio Tangente
I El portafolio tangente t es el portafolio de activos con riesgo quemaximiza la razón Sharpe:
I maxtRazón Sharpe =µp,t−rfσp,t
I En notación matricial se tiene:I maxtRazón Sharpe = t
′µ−rf(t′Σt)1/2
I Sujeto a t ′1 = 1
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Solución Analı́tica usando algebra matricial
I La ecuación de Lagrange para este problema es:I L(t , λ) = (t ′µ− rf )(t ′
∑t)−1/2 + λ ∗ (t ′1− 1)
I Las condiciones de primer orden quedan como:I 0 = ∂L(t , λ)/∂t = µ(t ′
∑t)−1/2 − (t ′µ− rf )(t ′
∑t)−3/2
∑t + λ ∗ 1
I 0 = ∂L(t , λ)/∂λ = t ′1− 1I Llegando a la siguiente solución para t:
I t =∑−1(µ−rf∗1)
1′∑−1(µ−rf∗1)
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Resultados Importantes
I Si la tasa libre de riesgo rf es menor que la tasa de rendimientoesperada sobre el portafolio global de mı́nima varianza µminentonces el portafolio tangente tiene una razón Sharpe positiva.
I Si la tasa libre de riesgo rf es igual que la tasa de rendimientoesperada sobre el portafolio global de mı́nima varianza µminentonces el portafolio tangente no está definido.
I Si la tasa libre de riesgo rf es mayor que la tasa de rendimientoesperada sobre el portafolio global de mı́nima varianza µminentonces el portafolio tangente tiene una razón Sharpe negativa.
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Teorema de Separación de Fondos de inversión
I Portafolios eficientes de activos sin riesgo y activos con riesgoson combinaciones de dos portafolios:
I Activo sin RiesgoI El portafolio TangenteI Entonces el portafolio eficiente de esta combinación
está definido por:I xt = peso correspondiente al portafolio tangente tI xf = peso correspondiente al Activo sin riesgoI xt + xf = 1⇒ xf = 1− xtI µep = rf + xt (µp,t − rf ) ,µp,t = t ′µI σep = xt ∗ σp,t , σp,t = (t ′
∑t)1/2
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Resultados Importantes
I Los pesos xt y xf son determinados por las prefencias al riesgodel inversionista.
I Inversionistas adversos al riesgo van a mantener la mayor parteen activos sin riesgo xt ≈ 0
I Inversionistas tolerantes al riesgo mantendrán la mayor parte enel portafolio tangente xt ≈ 1
I Si la razón Sharpe para el portafolio tangente es negativaentonces el portafolio eficiente involucra posiciones cortas en elportafolio tangente.
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Ejemplo 1
I Encontrar el portafolio eficiente con riesgo determinado de 0.02y que provenga de los portafolios anteriores.
I 0.02 = σep = xt (0.1116)⇒ xt = 0.1792I xf = 1− xt = 0.8208I µep = rf + xt (µp,t − rf ) = 0.005 + (0.1116)(0.05189− 0.005) =
0.0134I σep = xtσp,t = (0.1792)(0.1116) = 0.02
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Ejemplo 2
I Encontrar el portafolio eficiente con un rendimiento esperadodeterminado de 0.07 y que provenga de los portafoliosanteriores.
I 0.07 = µep = rf +xt (µp,t−rf )⇒ xt = 0.07−rfµp,t−rf =0.07−0.005
0.05189−0.005 = 1.386
I σep = xtσp,t = (1.386)(0.1116) = 0.1547
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El VaR en Portafolios
I Sea x = (x1, x2, ..., xn) que denota un vector de pesos para unportafolio. El riesgo del Portafolio será medido por lavar(Rp,x = x ′Σx). Alternativamente el riesgo del portafoliopuede ser medido usando el Valor en Riesgo (VaR):
I VaRα = MqRαI M = inversión inicialI qRα = 100 ∗ α% cuantil de los rendimientos esperadosI α = Probabilidad de pérdidaI Si los rendimientos tienen distribución normal, entonces:I qα = µp,x + σp,xqZαI µp,x = x ′µI σp,x = (x ′Σx)1/2I qZα = 100 ∗ α% de la N(0,1)
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Ejemplo 1
I Usa el concepto de VaR para evaluar un portafolio eficiente: Seinvierte en 3 activos riesgosos (Microsoft, Starbucks yNordstrom) y un activo sin riesgo. Considera que rf = 0.005
I Determina el portafolio eficiente que tiene el mismo rendimientoesperado que Starbucks.
I Compara el Var0.05 para Starbucks y el portafolio eficiente conuna base de 100,000 de inversión.
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Solución Ejemplo pregunta 1
I µst = 0.0285I µep = rf + xt (µp,t − r − f )I rf = 0.005 µp,t = t ′µ = 0.05186 σp,t = 0.111I Resolviendo:I 0.0285 = 0.005 + xt (0.05186− 0.005)I xt = 0.501 xf = 1− 0.501 = 0.499I xf = 1− xt = 0.8208I µep = rf +xt (µp,t)−rf = 0.005+ (0.501)(0.05189−0.005) = 0.0285I σep = xtσp,t = (0.501)(0.111) = 0.057
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Solución Ejemplo parte 2
I = µSB + σSB ∗ (−1.645)I = 0.0285 + (0.141)(−1.645) = −0.203I qe.05 = q
S.05Bµ
ep + σ
ep ∗ (−1.645)
I = 0.0285 + (.057)(−1.645) = −0.063I VaRS0.05B = 100,000 ∗ qS.05B = 100,000 ∗ (−0.203) = −20,300I VaRe0.05 = 100,000 ∗ qe.05 = 100,000 ∗ (−0.063) = −6,300
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