La primera reunión a la que asis-
tí para integrarme como escritor a
la publicación Ciencia Compartida
aún la recuerdo bien.Sobre todo
porque no sabía qué responder cuando me
preguntaron sobre qué tema quería escribir,
y también por la emoción que representa
participar en una revista. Al término de la re-
unión me dispuse a regresar a mi hogar, así
que ingresé a la estación Zócalo del metro.
Llegandoa Taxqueña abordé el tren ligero y
en una estación (no recuerdo cuál) se subie-
ron dos mujeres,una de ellas era mayor de
edad, la otrauna niña. Me faltaban un par de
estaciones para llegar a mi destino cuando
comenzó una plática entre ellas. La pequeña
dijo: “no me gustan las matemáticas,odio al
que las inventó”; ante esto, en mis labios se
dibujó una pequeña sonrisa, ya que en algún
momento a mí tampoco me gustaban las ma-
temáticas. Es cierto que existen cosas muy
complicadas en esa disciplina, pero también
hay cosas muy bellas.Esta es mi motivación
para hablar sobre el número áureo.
¡Cuántos números!Muchas cosas de la vida diaria están relacio-
nadas con números, por ejemplo, el dinero
que tenemos, los años transcurridos, la dis-
tancia entre dos lugares, etcétera.Todo esto
lo calcula el ser humano desde la antigüe-
dad. Un conjunto utilizado para realizar estos
conteos es el de los números naturales, cuya
representación está dada por el símbolo .
Para algunos matemáticos, en este conjun-
to está incluido el cero y para otros no; yo
considero a los naturales de la siguiente ma-
nera ={0,1,2,3,…}. La principal razón es
que los mayas fueron la primera civilización
en utilizar el cero (lo sé, suena muy patriota,
pero estoy orgulloso de esa cultura).
En un principio todo funcionó de maravilla
con , es decir, esos números bastaban
para desarrollar las operaciones matemá-
ticas de aquel entonces. No obstante, al
paso del tiempo se requirió resolver ecua-
ciones del tipo x+1=0; con base en lo que
has visto en tus cursos de álgebra, podrás
darte cuenta que esta ecuación tiene por so-
lución x=-1. En cierta época histórica, esto
era realmente una cosa impensable:¿cómo
se podrían tener cantidad negativas, sobre
todo considerando que los griegos estable-
cían una relación sumamente estrecha entre
los números y la geometría? En otras pa-
labras, los segmentos de longitud negativa
no tenían lugar en el pensamiento huma-
no. Sin embargo, conforme la matemática
se fue desarrollando, se dio paso a los nú-
meros enteros, los cuales se representan
por y consideran los siguientes números
: ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
De manera semejante surgieron los
números racionales, por ejemplo, para re-
solver la ecuación 2x=3, cuya solución es
=2/3. La representación de estos números
es y en forma general son de la forma p/
q,p,q∈Z,q≠0. Por su parte, los números
irracionales son los que no tienen la forma
de los racionales;los ejemplos más típicos
de estos números son (3.14159265…), 2
(1.41421356), (2.71828182…), etcétera y
su representación como conjunto está dada
porI.Si tomamos a todos los conjuntos de
números que hemos mencionado hasta el
momento y los ponemos juntos tenemos
al conjunto delos números reales, cuya re-
presentación es ; finalmente, existen los
imaginarios o complejos, que se representan
por medio de .
Euclides, ese célebre griegoEl más grande compilador de las mate-
máticas en el mundo antiguo es, sin duda,
Euclides. Su obra de mayor trascendencia es
Los Elementos, que escribió en el año 300
a. C. Aunque este libro es en su mayoría de
carácter geométrico, también encontramos-
demostraciones que no utilizan la geometría
como herramienta principal; el ejemplo más
claro es la demostración de que hay una infi-
nidad de números primos.
Jarquín, A. (2011). φ (fi): un número de proporciones divinas [Versión electrónica], Ciencia Compartida, 3, 19-25. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).
En Los Elementosse encuentran algu-
nos enunciados relacionados con el tema
de las proporciones, y la proposición 30 del
libro VIplantea un problema que en términos
modernos diría algo así: determinar dos seg-
mentos de tamaño a y b (el segmento a debe
ser mayor que el b) que cumplan que el co-
ciente a/b sea exactamente igual al cociente a+b/a, es decir, que a/b=
a+b/a; los números que
cumplen esta condición dan lugar a lo que se
conoce comoproporción divina o proporción
áurea(véase Punto Extra 1). Para llegar a ese
resultado, hagamos algunos cálculos sencillos.
Supongamos que el segmento a(el más gran-
de) mide una cantidad cualquiera, digamos
x;también supongamos que el segmento b(el
más pequeño) mide exactamente 1. Ahora
bien, sabemos que se debe cumplir la siguiente
igualdad:
x=1+x 1 x
Y como cualquier número dividido entre 1
da el mismo número nos queda:
x=1+x x
Un poco de álgebra elemental nos servirá
para transformar la igualdad anterior de la
siguiente forma:
(x)(x)=1+x
x2=1
Y finalmente llegamos a lo siguiente:
x2-x-1=
Ahora bien, la igualdad que acabamos de
obtener es un caso particular de lo que se
conoce como ecuaciones de segundo grado.
Desde la secundaria, nuestros maestros de
matemáticas nos enseñaron que ese tipo de
ecuaciones se resuelven utilizando algo que
se llama fórmula general (en mis tiempos le
decían “la chicharronera”, porque hasta el se-
ñor que vendía los chicharrones se la tenía
que saber), la cual nos dice lo siguiente:
x= -b±√b2-4ac
2a
Al momento de hacer los cálculos, esta
fórmula arroja dos resultados distintos; no-
sotros sólo vamos a considerar uno de ellos.
Luego de hacer las cuentas (véase Punto
Extra2) vemos que el resultado es
x=1+ 5)=1.618033…
2
Esta cantidad, que se denota con la letra
griega φ (fi), pertenece al conjunto de los
números irracionales y se le conoce como
número áureo o número dorado.Con fre-
cuencia también se le conoce como propor-
ción áurea, pero en realidad esto es algo im-
preciso; en todo caso, el número φ -junto con
el 1-forman una proporción áurea.
Otro libro de gran importanciaen el tema
de las proporciones es el Timeo, de Platón.
En este libro, además, se realiza una dis-
cusión acerca del origen de la matemática
como ciencia y se describen los cinco sóli-
dos regulares, que posteriormente serian es-
tudiados bajo la lupa de la proporción divina
por Luca Pacioli.
Pacioli: revelando la divinidad de φLuca Paciolinació en 1445 en Borgo, San Se-
polcro que a finales del siglo XV perteneció
a la república de Florencia. Algunas de las
obras de Pacioli son: De Divina Proportione,
Suma de Arithmetica Geometria Proportio-
ni et Proportionalita y De Viribusquantitatis.
Es importante mencionar que sólo las dos
primeras obras se imprimieron cuando Luca
estaba con vida.
En 1496 Pacioliva a Milán después de recibir
una invitación de Ludovico Sforza para ense-
ñar matemáticas. Ahí conoce a Leonardo Da
Vinci, quien también se encuentra al servicio
del duque. Pronto Leonardo y Luca entablan
una gran amistad, y cuando Pacioli termina De
Divina Proportione en 1498, Da Vinci la ilustra
con sesenta dibujos de cuerpos regulares.
En esa obra Luca afirma que nadie se
había interesado tanto por las propiedades
que posee la proporción mencionada en Los
elementos de Euclides. También es Pacio-
li quien le asigna el nombre de “proporción
divina”, esto gracias a una serie de compa-
raciones que hace con respecto a Dios, las
cuales se enumeran a continuación:
1.- Es única, al igual que Dios.
2.-Así como existe Padre, hijo y espíritu
santo, la proporción tiene una trinidad, pues
siempre está entre tres términos.
3.-Dios no puede entenderse; la proporción
divina siempre esta expresada mediante una
cantidad irracional.
En matemáticas, se le llama razón
al cociente entre dos cantidades; dicho
de otra forma, si tenemos dos números
a y b, con b distinto de cero, una razón
entre ellos queda expresada por a/b.
Por otro lado, llamamos proporción a
la igualdad entre dos razones. Enton-
ces, si tenemos cuatro números a, b, c
y d, con b y d distintos de cero, una pro-
porción entre ellos se cumple si a/b=c/d.
4.-Nunca cambia y está en todas partes, al
igual que Dios.
Se dice que Leonardo Da Vinci fue quien le
otorgó el nombre de “sección aurea”, aunque
también hay quien dice que la procedencia
de este nombre es incierta y la sitúan en
Alemania en la primera mitad del siglo XIX.
A partir del capítulo siete de DeDivina
Proportione,Luca menciona una serie de
“efectos”, es decir, propiedades que tiene la
proporción divina.El número de efectos es-
tárelacionado-nuevamente- con la religión,
ya que los doce apóstoles y Dios forman
un grupo de trece entes, el mismo número
de efectos que Pacioli enuncia, aunque hay
que aclarar que éste dice que existen más
efectos, pero por lo antes señalado sobre los
apóstoles prefiere que la lista sea de trece.
Efectos importantesEl efecto con mayor belleza es,según Pacioli,
el número nueve: “si en el circulo se forma el
pentágono equilátero y en sus dos ángulos
más próximos se trazan dos líneas rectas
desde los extremos de sus lados, éstas, ne-
cesariamente, se dividirán entre sí según
nuestra proporción…”.Este efecto es impor-
tante para la construcción del cuerpo llamado
dodecaedro (un sólido regular de doce caras)
y se ilustra con claridad en la figura 1.
El undécimo efecto reza: “si se divide el
lado de un hexágono equilátero según nues-
tra divina proporción, su parte mayor será
siempre, necesariamente el lado del decá-
gono circunscrito por al mismo circulo que el
hexágono”.
El decimotercer efecto enseña a construir
un triangulo según la proporción divina, el cual
es ocupado para la creación del pentágono. A
su vez, como ya se mencionó, el pentágono
es fundamental para crear el dodecaedro.
De esta manera, se debe considerar a
Luca Pacioli el autor intelectual de la divina
proporción y del descubrimiento de sus múl-
tiples efectos, claro, sin restarles meritos a
hombres como Euclides, quienes de cierta
manera ya manejaban este número y, quizá,
algunas de sus propiedades.
FIGURA 1: Si dividimos el número mayor entre el menor el resultado es igual a 1.6190476…Esta propiedad se cumple en cualquier pentágono…¡sorprendente!
¡Qué bonitos conejos!En el año 1175 nació Leonardo de Pisa, me-
jor conocido como Fibonacci. Es considerado
el más grande matemático de la edad media
por haber introducido los números arábi-
gos a la matemática de la época. Sus obras
más destacadas son LiberAbaci, la práctica
Geometriae y el LiberQuadratorum. En el
LiberAbaci, escrito en 1202, Fibonacci plan-
tea un problema sobre la reproducción de
conejos. Se trata de calcular el número de
conejos nacidos a partir de una pareja dada
que cada mes produce una pareja nueva, y
ésta, después de un mes, se reproduce, y
así sucesivamente. Realizando los cálculos
correspondientes se tiene una secuencia de
números, a saber; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34…, dicha sucesión es conocida hoy en día
como sucesión de Fibonacci.
Aparentemente la secuencia de Fibonacci
y la proporción divina no tienennada que ver.
Pero si tomas cualquier término de la serie y lo
divides entre el término anterior verás que ¡el
resultado se parece a φ, es decir, a 1.618033!
Por ejemplo, si dividimos 34 entre 21 nos da
1.6190476, que se acerca mucho a φ.
Matemáticas, arte y arquitecturaEn párrafos anteriores ya se dijo que Da Vinci
y Luca Pacioli fueron grandes amigos, e in-
cluso que Leonardo ilustró la obra De Divina
Proportione. Lo que no se ha mencionado es
que, en la mayoría de las obras de Da Vinci,
la divina proporción jugó un rol muy impor-
tante. Algunas pinturas sobresalientes con
Para utilizar la fórmula general para las ecuacio-
nes de segundo grado, que como recordaremos
es:
x=-b±√b2-4ac
2a
tenemos que identificar cuáles son los valores
de a, b y c, los cuales dependen directamente
de la ecuación con la que estemos trabajando.
Para el caso que nos ocupa –el de la propor-
ción áurea- cuya ecuación es x2-x-1=0, tenemos
quea=1,b=-1 y c=-1 Sustituimos esos valores en
la fórmula y nos queda lo siguiente:
x= -(-1)±√(-1)2-4(1)(-1) 2(1)
=1±√1+4
2
=1±√5
2
Como se puede ver, antes de la raíz cuadrada
tenemos un signo “±”, lo cual quiere decir que
tenemos que considerar los dos casos, es decir,
hacer un cálculo con el signo “+” y otro cálculo
con el signo “-“. Dado que estamos hablando de
longitudes de segmentos, éstas solo pueden ser
positivas, así que sólo consideramos el primer
caso, lo que nos da como resultado el número
áureo φ.
respecto a la proporción divina son el hombre
de Vitrubio y la Mona Lisa. De hecho, el rostro
de la Mona Lisa está enmarcado por un rec-
tángulo áureo, el cual se construiremos más
adelante. De igual forma, artistas como Mi-
guel Ángel, Dalí y Rafael usaron la proporción
áurea en sus obras. Con respecto a la arqui-
tectura, encontramos que la proporción divina
se hace presente en el Partenón, el templo
de Ceres, la tumba rupestre de Mira, etcétera.
Cómo crear un rectángulo dorado…sin usar pinturaPara finalizar este texto sobre el número
áureoconstruiremos un rectángulo cuyos
lados satisfacen la proporción divina.Para
ello, primero dibujamos un cuadrado (A) y
marcamos el punto medio de uno de sus la-
dos. Posteriormente unimos ese punto con
uno de los vértices del lado opuesto (B) y –
usando el compás- llevamos esa distancia al
lado inicial (C); de esta manera obtenemos
el lado mayor del rectángulo (D).Así, si –por
ejemplo- el lado del cuadrado es 2, enton-
ces el lado mayor del rectángulo es 1+ 5 y la
proporción entre sus lados es 1+ 5/2,es decir,
la proporción divina.
Espero que esta sencilla construcción nos
haga coincidir en que el número dorado en
realidad es divino, no por las comparaciones
que realizo Pacioli con Dios, sino por la be-
lleza que encierra matemáticamente. Ojalá
que estas líneas les ayuden a mirar lo bonito
de las matemáticas,para que no se queden
sólo con las malas experiencias que han te-
nido con esta disciplina.
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