Etudes des principales lois de probabilité
Loi Binomiale
• probabilité d’une variable aléatoire discrète
• modèle : urne avec deux types de boules
• effectuer n tirages équiprobables avec remise.
• l’urne contient (N1+N2) boules dont N1 sont
blanches et N2 sont noires.
• probabilité de tirer une boule blanche B est p N
N N1
1 2
Etudes des principales lois de probabilité
• La probabilité de tirer une boule noire N est
• L’univers des éventualités comprend uniquement deux éventualités : = {B, N}
• on peut alors construire une V.A.
qN
N N1 p
2
1 2
Loi binomiale : tirage d’une boule
• L’univers des éventualités est = {B, N}.
On a :
• telle que X(B) = 1 avec une probabilité
Pr{X = 1} = p
• et X(N) = 0 avec une probabilité
Pr{X = 0} = q
Loi binomiale : tirage de deux boules avec remise
• L’univers des éventualités est
= {BB, BN, NB, NN}
• X(BB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = p²
• X(BN) = 1 et X(NB) = 1 avec une probabilité Pr{X = 1} = 2pq
• X(NN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q²
• Les valeurs des probabilités sont obtenues par le développement de (p + q)² = 1
Loi binomiale : tirage de trois boules avec remise
• L’univers des éventualités est
= {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB, NNN}
• X(BBB) = 3 avec une probabilité Pr{X = 3} = p3
• X(BBN) = 2, X(BNB) = 2, X(NBB) = 2 avec une probabilité Pr{X = 2} = 3p²q
• X(BNN) = 1, X(NBN) = 1, X(NNB) = 1, avec une probabilité Pr{X = 1} = 3pq²
• X(NNN) = 0 avec une probabilité Pr{X = 0} = q3
Loi binomiale : tirage de quatre boules avec remise
• Pour quatre tirages avec remise, les probabilités
s’obtiennent par le développement de :• (p+q)4 = p4 + 4p3q + 6p²q² + 4pq3 + q4 = 1
Généralisation
• on effectue n tirages avec remise (tirage non exhaustif). Les probabilités Pr(X = x), d’obtenir x boules blanches en effectuant n tirages avec remise s’obtiennent par le développement de :
• (p+q)n =
+ + ...
+ + ...
+
= 1
n
n n 0C p q
n
n-1 n-1 1C p q
n
x x n-xC p q
n
0 0 nC p qn
x
Cn!
x!(n x)!
Loi binomiale
• La probabilité Pr{X = x}, d’obtenir x boules blanches lors de n tirages
• avec remise est : Pr {X = x} = • = loi binomiale• Propriétés :
E(X) =
Var(X) =
F(X) = Pr(Xx) =
n
xxp n-xqC
np= x. (X x)Prx 0
n
npq= (x-E(X)) . (X x)2
x 0
n
Pr
Pr(X x)x 0
x-1
Histogramme et fonction de répartition de la loi binomiale n = 6, p=q=0,5
x Pr(X=x)
0 : 1(0,5)0 (0,5)6 = 1/64 = 0,016
1 : 6(0,5)1 (0,5)5 = 6/64 = 0,094
2 : 15(0,5)2 (0,5)4 = 15/64 = 0,234
3 : 20(0,5)3 (0,5)3 = 20/64 = 0,312
4 : 15(0,5)4 (0,5)2 = 15/64 = 0,234
5 : 6(0,5)5 (0,5)1 = 6/64 = 0,094
6 : 1(0,5)6 (0,5)0 = 1/64 = 0,016
Diagramme en bâton de la distribution Binomiale
N=6; p=q=0,5
00,10,20,30,4
0 1 2 3 4 5 6
x
Pr(X=x)
Fonction de répartition
x F(x) = Pr(Xx)
x = 0 : 1/64 = 0,016
x = 1 : 7/64 = 0,110
x = 2 : 22/64 = 0,344
x = 3 : 42/64 = 0,656
x = 4 : 57/64 = 0,890
x = 5 : 63/64 = 0,984
x = 6 : 64/64 = 1,000
Fonction de répartition
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6 7
x
Pr(X=x)
F(X) = Pr(X x)
0 1 2 3 4 5 6
Exemple• On considère un test constitué de QCM pour
lesquelles cinq réponses sont présentées dont une seule est correcte. Le test comprend n = 6 questions.
Quelle est : • - la probabilité d’avoir au moins 4 bonnes réponses en
répondant au hasard, soit Pr(X 4)
• - la probabilité d’avoir moins de 4 bonnes réponses en répondant au hasard, soit Pr(X < 4)
• - l’espérance mathématique E(X)
• - la variance Var(X)
Exercice
• Solution : En répondant au hasard à chaque question on a 1 chance sur 5 de répondre correctement à la question et 4 chances sur 5 de donner une réponse fausse.
• p = 0,2 d’avoir une réponse juste et une probabilité q = 0,8 d’avoir une réponse fausse.
• Le nombre de tirage est n = 6, le tirage peut être considéré avec remise puisqu’à chaque tirage les probabilités p et q ne changent pas.
Exercice
• Donc loi binomiale : avec n = 6, p = 0,2, q= 0,8.• X ; Formule de calcul ; Pr(X=x)• 0 : 1(0,2)0 (0,8)6 = 0,262• 1 : 6(0,2)1 (0,8)5 = 0,393• 2 : 15(0,2)2 (0,8)4 = 0,245• 3 : 20(0,2)3(0,8)3 = 0,082• 4 : 15(0,2)4 (0,8)2 = 0,015• 5 : 6(0,2)5 (0,8)1 = 0,001• 6 : 1(0,2)6 (0,8)0 = 0,00006
Probabilité d'avoir X réponses justes
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
1 2 3 4 5 6 7
x
Pr(X=x)
exercice
• La probabilité Pr(X 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes
• Pr(X 4) = Pr(X=4) + Pr(X=5) + Pr(X=6) = 0,015 + 0,001 + 0,000006 0,017
• La probabilité Pr(X < 4) est obtenue en faisant la somme des probabilités suivantes
• Pr(X < 4) = Pr(X=0) + Pr(X=1) + Pr(X=2) + Pr(X=3) = 1- Pr(X 4) = 0,983
exercice
• Espérance mathématique : E(X) = np = 6 * 0,2 = 1,2
• Variance : Var(X) = npq = 6 * 0,2 * 0,8 = 0,96
Exercice 2
• Epidémie de méningite à méningocoque
• 7 sujets atteints
• Purpura Fulminans dans 21% des cas en général
• Probabilité d’avoir au moins 1 cas ?
• Probabilité d’avoir plus de 3 cas ?
Exercice 2
• Soit X le nombre de PF
• Pr(X = 0) = 1 * 0,210 * 0,797 = 0,192
• Pr(X = 1) = 7 * 0,211 * 0,796 = 0,357
• Pr(X = 2) = 21 * 0,212 * 0,795 = 0,285
• Pr(X = 3) = 35 * 0,213 * 0,794 = 0,126
• Pr(X = 4) = 35 * 0,214 * 0,793 = 0,034
Exercice 2
• Pr(X = 5) = 21 * 0,215 * 0,792 = 0,005
• Pr(X = 6) = 7 * 0,216 * 0,791 = 0,0005
• Pr(X = 7) = 1 * 0,217 * 0,790 = 0,00002
• Donc Pr(X >0) = 1-0,192 = 0,808
• Pr(X>2) = 0,166
Exemple : Essai Th. phase II
• Développement médicaments : 4 phases
Phase : I / II / III / IV
• Phase II : Étudie l’efficacité thérapeutique (relation effet dose)
• Efficacité « pharmacologique » (critère de substitution) : pharmacodynamie
• médicament n ’a pas encore fait ses preuves : sécurité max et minimiser nombre de sujets
Exemple : Essai Th. phase II
• Principe :
• inclusion de n1 sujets dans la première étape,
• puis selon les résultats, ajout ou non d ’une seconde étape avec n2 sujets.
• On considère ici uniquement la première étape qui consiste à arrêter l’étude lorsque le nombre de succès du traitement est insuffisant.
• Drogue jugée inefficace si série « longue » de patients sans succès thérapeutique ou sans effet pharmacologique.
Exemple : Essai Th. phase II
• Habituellement, rejet d’une molécule si moins de 20% de succès. Donc : urne, p = 0,2
• rejet de la molècule si n sujets consécutifs sans succès : si n « grand » : indicateur d ’un taux de succès insuffisant (d ’une efficacité insuffisante)
• d ’où calcul du nombre de sujets n devant ne pas répondre au traitement justifiant l ’arrêt du développement de la molécule
• Choisir un risque de rejeter à tort la molécule : 5%.
Exemple : Essai Th. phase II
• On sait que : Pr{X = x} = Cxn pxqn-x
• Pr{X = 0} = C00p0qn = 0,8n < 0,05
• d ’où : n = ln(0,05)/ln(0,8) = 13.42
• et Pr(X=0|p=0,2) = 0,044.
• Donc, si 14 sujets sans efficacité, on rejete la molécule, considéré comme ayant un taux de succès inférieur à 0,20.
Exemple : Essai Th. phase II
• Quelques autres valeurs du risque si n<14 : – n=13, p=0,055
– n=12, p=0,069
– n=11, p=0,086
– n=10, p=0,107
• Si, parmi 14 sujets, un ou plusieurs sujets répondent, on passe à la deuxième étape de l’étude (non étudiée ici).
Loi de Poisson
• C’est la loi des événements rares (événements se produisant peu souvent).
• Ceci se traduit par une probabilité p faible (correspond à quelques boules blanches et un grand nombre de boules noires dans une urne).
• Cette loi peut se déduire de la loi binomiale. • Définition : une loi de probabilité suit une loi de
Poisson si Pr(X=x) = !
x
xe
Loi de Poisson
• x est entier, E(X) = Var(X) = np = • Exemple : X = 1 = 0,6
Pr(X=1) = = 0,33
• On peut montrer que la loi Binomiale tend vers une loi de Poisson dans certaines conditions
lorsque n et p 0
Pr{X = x} =
!1e 6,0
6,0
q x-npxxnC !
x
xe
Loi de Poisson: n=600 p=0,001
0
0,2
0,4
0,6
0 1 2 3 4 5 6
X
Pr(
X=x)
Pr(X=x)
Densité de probabilité d ’une loi de Poisson
Loi de Poisson
• Soit n = 600 p = 0,001 ( np = 0,6 et nq = 0,4 )
Poisson Binomiale
• x Pr{X = x} = Pr{X = x} =
• 0 0,5488 0,5486
• 1 0,3292 0,3295
• 2 0,0987 0,0988
• 3 0,0197 0,0197
• 4 0,00296 0,00295
Loi de Poisson
• Applications :
• calcul du nombre de patients consultant aux urgences entre 22 et 23 h.
• Soit 100 plages horaires
• Objectif de plannification
Loi de Poisson
• Si moyenne = = 3
• Pr(X = 0) = 0,0498 5% des tranches horaires
• Pr(X = 1) = 0,1494
• Pr(X = 2) = 0,2240
• Pr(X = 3) = 0,2240
• Pr(X = 4) = 0,1680
• Pr(X = 5) = 0,1008
• Pr(X = 6) = 0,0504
• Pr(X > 6) = 0,0335
Exercice 2 (J. Bouyer)
• Dpt Calvados : 600 000 h. et 15 cas par an de K thyroïde.
• Proba d’observer 10 nouveaux cas en une année : Pr(X=10) = e-15 1510/10!
• Plus long à calculer avec Binomiale
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