REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
Présenté à l’Université 20 Août 55, Skikda
Faculté des Sciences et Sciences de l’Ingéniorat
Département des Sciences Fondamentales
Spécialité : Physique
Option : Energétique
Présenté par :
BOUHEZZA Aicha
Soutenu le : 28 /06/ 2007 Devant le jury :
Président : M. M. S. AIDA Professeur Université de MENTOURI - Cne
Examinateurs : M. E. MEZAACHE Professeur Université 20 Août 55 - SKIKDA
M. A. MOKHNACHE Maître de conférences Université de MENTOURI - Cne
Rapporteur : M. N. ATTAF Maître de conférences Université de MENTOURI - Cne
ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN
CONVECTION MIXTE : EFFET DE L'INCLINAISON DE LA
PAROI
Mémoire de Magister
A mes très chers parents
Je dédie ce mémoire
REMERCIEMENTS
Je remercie Dieu pour le peu de savoir qu'il nous a permis d'acquérir.
Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Recherche de Physico-Chimie des Surfaces et
Interfaces, LRPCSI, de l'Université 20 Août55 de Skikda avec la collaboration du Laboratoire
de Couches Minces et Interfaces, LCMI, de l'Université Mentouri de Constantine.
Mes remerciements s'adressent spécialement à Monsieur N. ATTAF, Maître de
conférences au Département de Physique de l'Université Mentouri de Constantine, mon
encadreur dans ce travail qui m'a fait profiter de ses compétences scientifiques et de sa rigueur
pour le travail bien fait. Il n'a jamais ménagé sa personne ni son temps pour me prodiguer de
judicieux conseils.
Je tiens a remercier Monsieur M. S. Aida, professeur au Département de Physique de
l'Université Mentouri de Constantine, bien voulu accepter de présider le jury de ma thèse
malgré ses nombreuses occupations.
Je tiens particulièrement à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur E.
MEZAACHE, professeur au Département des Sciences Fondamentales de l'Université de 20
Août 55 de Skikda pour son aide, ses conseils et son acceptation d'examiner mon travail.
Je tiens à remercier Monsieur A. MOKHNACHE, Maître de conférences au
Département de Physique de l'Université Mentouri de Constantine, bien voulu examiner mon
travail.
Je veux aussi remercier Monsieur L. AISSANI, pour son aide, ses conseils et ses
encouragements.
Mes remerciements sincères s'adressent à F. BERRAHIL pour tout son aide et ses
conseils.
Enfin, je ne saurais oublier mes très chers parents pour le grand appui moral qu'ils ont
su m'apporter tout au long de mes études.
SOMMAIRE
SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE .......………………………………………..………. 1
NOMENCLATURE ……………………………………………………………...…..… 3
CHAPITRE I : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I.1 Introduction ………………………………………………………..……….…...….. 6
I.2 La convection mixte externe ……………………………………………………… 7
I.2.1 Définition ……………………………………………………...…………… 7
I.2.2 La plaque plane verticale en convection mixte ……………………….…… 8
I.3 Travaux bibliographiques relatifs au domaine ... …………………...……………. 10
CHAPITRE II : MODELE MATHEMATIQUE
II.1 Equations générales de conservation ……………………..……………………… 14
II.1.1 Equations de conservation pour les écoulements laminaires bidimensionnels...14
I.1.1.1 Equation de continuité ………………………………………….…….. 14
I.1.1.2 Equations de quantité de mouvement …………………………….….. 14
I.1.1.3 Equation d'énergie ……………………………...………….………… 15
II.2 Présentation du problème .……………………………………...…………………. 18
II.2.1 Hypothèses simplificatrices ………………………………………………….. 18
II.3 Formulation du problème …………………………………………………………. 19
II.3.1 Equations de conservations ……………………………………..……….... 19
II.3.2 Conditions aux limites ……………………………………………………… 21
II.4 Adimensionnalisation des équations……... ……………………………...……….. 22
II.4.1 Principales grandeurs physiques et variables adimensionnelles ……………. 22
II.4.2 Equations adimensionnelles ……………………………..………..….…….. 23
II.4.4 Conditions aux limites ………………………………………………………. 24
CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE
III.1 Introduction ..……………………………………………...……………………. 26
III.2 Méthode des volumes finis. ………………………………......…………….…… 26
III.3 Equation générale de transport ……………………………………….….……… 27
III.4 Maillage ………………………………………………...………………………. 28
Sommaire
III.5 Discrétisation des équations de conservation. ………………………………….. 31
III.5.1 Application d'un schéma numérique quelconque …………………………… 35
- Equation de quantité de mouvement …...…………………………….. 38
- Equation d'énergie ………...…………………………………………. .40
III.6 Résolution numérique …………………………………..………………………. 42
III.6.1 L'algorithme SIMPLE …………………………………………………….. 42
III.6.2 L’algorithme SIMPLER …………………………………………………... 46
III.6.3 Le critère de convergence …………………..………………………….. 49
III.6.4 Méthode itérative de résolution. .……………………...………………….. 49
III.7 Algorithme de calcul ……………………………………………….…………… 53
CHAPITRE IV : RESULTATS ET DISCUSSION
IV.1 Description des objectifs de notre étude.……………………………………..….. 55
IV.2 Validation numérique du modèle……………………………..………………….. 55
IV.3 Résultats de la convection mixte dans le cas favorable ……………...…………. 58
IV.3.1 Cas de l'air (Pr = 0.72) ……………………………………………………… 58
IV.3.1.1 Influence du nombre de Richardson sur l'écoulement (0≤Ri≤5) …........ 58 IV.3.1.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur l'écoulement ……..………... 64
IV.3.2 Cas de l'eau (Pr =7.0) …………………………………………….………… 68
IV.3.2.1 Influence du nombre de Richardson sur l'écoulement (0≤Ri≤10) …..… 68
IV.3.2.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur l'écoulement ...…………... 73
IV.3.3 Analyse comparative entre les résultats de l'air et de l'eau ……..………..... 77
IV.4 Résultats de la convection mixte dans le cas défavorable ……………………… 83
CONCLUSION GENERALE .......................................................................................94
BIBLIOGRAPHIE ..........................................................................................................96
ANNEXES
Annexe A : Compléments relatifs aux relations fondamentales .....................................100
Annexe B : Courbes de variations des champs de vitesse et de température ...................102
Sommaire
INTRODUCTION
La convection mixte est un phénomène de transfert thermique associé aux
écoulements de fluide. La présence de la convection naturelle influe simultanément sur les
champs thermique et hydrodynamique ; le problème est ainsi couplé. Dans la littérature, il est
bien connu que les mouvements secondaires résultant de la convection naturelle influencent
l'échange thermique par convection et augmente le nombre de Nusselt.
La convection mixte sur une plaque plane intervient dans plusieurs applications
pratiques telles que les collecteurs solaires, le refroidissement des composants électroniques,
les centrales industrielles, la climatisation, l'industrie agroalimentaire etc, …
Dans ce travail, nous nous proposons, par une simulation numérique, d'étudier le
comportement dynamique et thermique d'un écoulement laminaire en convection mixte le
long d'une plaque plane isotherme, inclinée par rapport à la verticale. Cette étude portera plus
précisément sur les influences du nombre de Richardson (Ri=Gr/Re2) et de l'inclinaison de la
plaque sur les champs thermique et hydrodynamique de l'écoulement.
Dans le premier chapitre, dans le but de situer notre travail, on présente le phénomène
de la convection ainsi que quelques rappels bibliographiques en rapport avec le problème
posé.
Le deuxième chapitre est consacré à la formulation du problème, aux hypothèses
simplificatrices et à l'établissement des équations et des conditions aux limites qui leurs sont
associées. Enfin, nous définissons les principales grandeurs adimensionnelles caractérisant le
modèle.
Dans le troisième chapitre, nous présentons la méthode numérique adoptée. Nous
avons opté pour la méthode des volumes finis pour discrétiser les équations aux dérivées
partielles. L'algorithme SIMPLER proposé par Patankar (1980), est bien adapté car il permet
le calcul de correction de la pression et de la vitesse. Cette discrétisation donne un système
matriciel tridiagonal. Sa résolution est obtenue par l'utilisation de l'algorithme de Thomas.
Introduction générale
1
Le quatrième chapitre est consacré à la présentation des résultats de calcul et à leur
discussion. L'étude comporte les deux cas de la convection mixte, en l'occurrence, le cas
favorable (écoulements forcé et naturel sont dans le même sens) et le cas défavorable
(écoulements sont dans le sens inverse) et ceci pour deux fluides différents : l'air
(Pr=0.72) et l'eau (Pr=7). Nous avons aussi évalué l'incidence de l'angle d'inclinaison de la
plaque sur le phénomène de la convection mixte. Enfin, nous validons les résultats obtenus
par une comparaison avec les travaux antérieurs de quelques chercheurs. Nous terminons par
une conclusion générale dans laquelle nous dégagerons les principaux résultats obtenus au
cours de cette étude et nous en signalons les extensions possibles.
Pour ne pas alourdir la présentation du texte, nous donnons en annexes quelques
compléments relatifs aux relations fondamentales ayant servies à l'étude (Annexe A) et
courbes de variations des champs de vitesse et de température (Annexe B).
2
Introduction générale
NOMENCLATURE
Diffusivité thermique m2.s-1
A Coefficients dans le système d'équations algébriques discrétisées
A|P| Fonction d'un schéma numérique en fonction du nombre de Peclet
b Terme source dans le système d'équations algébriques discrétisées
CP Capacité calorifique à pression constante J. kg -1. K-1
Cƒ Coefficient de frottement pariétal
D Terme de diffusion dans le système d'équations algébriques discrétisées
dXe, dXw , dYn, dYs sont respectivement les distances entre le nœud considéré P et
les nœuds E, W, N, S e Energie interne J
F Terme de convection dans le système d'équations algébriques discrétisées
g Accélération de la pesanteur m . s-2
Gr Nombre de Grashof
k Conductivité thermique W. m-1. K-1
L Longueur de la plaque m
Nu Nombre de Nusselt
p Pression Pa
P Pression adimensionnelle
Pe Nombre de Peclet
Pr Nombre de Prandt
Re Nombre de Reynolds
Ri Nombre de Richardson
Terme source
T Température K
u Composante de la vitesse dans la direction x m . s-1
U Composante de la vitesse adimensionnée dans la direction x
Nomenclature
a
φS
3
v Composante de la vitesse dans la direction y m . s-1
V Composante de la vitesse adimensionnée dans la direction y
x Abscisse dans le sens de l'écoulement m X Coordonnée adimensionnée dans la direction x
y Coordonnée normale à la plaque m
Y Coordonnée adimensionnée dans la direction y
Symboles grecques
α Angle rad
β Coefficient d'expansion thermique à pression constante K-1 Variable dépendante générale (représente: la pression, la température et les
composantes de la vitesse)
µ Viscosité dynamique kg . m-1. s-1
ν Viscosité cinématique m2 . s-1
ρ Masse volumique kg . m-3
τ Contrainte tangentielle du frottement N . m-2
θ Température adimensionnelle
Φ Fonction de dissipation N. m-1. s-2
σ Contrainte de cisaillement N. m-2
Г Coefficient de diffusion générale
ΔX, ΔY Dimensions du volume de contrôle considéré
Indices
E Nœud considéré du coté est du nœud P
e La face est du volume de contrôle considéré
N Nœud considéré du coté nord du nœud P
n La face nord du volume de contrôle considéré
φ
Nomenclature
4
P Nœud considéré du maillage
S Nœud considéré du coté sud du nœud P s La face sud du volume de contrôle considéré
W Nœud considéré du coté ouest du nœud P
w La face ouest du volume de contrôle considéré
Paroi x Position suivant Ox
y Position suivant Oy
∞ Position à l'infinie
Exposant ⎯ valeur moyenne
Nomenclature
5
CHAPITRE I ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
I.1 Introduction La convection est un mode de transport d'énergie par l'action combinée de la
conduction, de l'accumulation de l'énergie et du mouvement du milieu. Elle est
considérée comme le mécanisme le plus important de transport d'énergie entre une
surface solide et un liquide ou un gaz. Le transport d'énergie par convection d'une surface
dont la température est supérieure à celle du fluide qui l'entoure s'effectue en plusieurs
étapes. D'abord la chaleur s'écoule par conduction de la surface aux molécules du
fluide adjacentes. L'énergie ainsi transmise sert à augmenter la température et l'énergie
interne de ces molécules du fluide. Ensuite les molécules vont se mélanger avec d'autres
molécules situées dans une région à basse température et transférer une partie de leur énergie.
Dans ce cas l'écoulement transporte, simultanément, le fluide et l'énergie. L'énergie est, à
présent, emmagasinée dans les molécules du fluide et elle est transportée sous l'effet de leur
mouvement.
La transmission de chaleur par convection est désignée, selon le mode d'écoulement du
fluide, par convection libre, convection forcée et convection mixte [1-6]
● Convection forcée Le phénomène de convection forcée apparaît quand le mouvement du fluide est imposé
par une cause mécanique extérieure (pompe, ventilateur, …) au système [1-6]
● Convection naturelle Le phénomène de convection naturelle thermique apparaît spontanément, sous le seul
effet des différences de masse volumique résultantes des différences de températures sur les
frontières et d'un champ de forces extérieures (le champ gravitationnel, …) [1-6].
● Convection mixte La Convection mixte correspond au couplage des deux phénomènes précédents
(convection naturelle et forcée) quant les vitesses d'écoulement, fictives, dues aux deux types
de convections sont considérées séparément, du même ordre de grandeur [1-6].
Chapitre I Etude bibliographique
6
I.2 La convection mixte externe I.2.1 Définition La convection mixte externe peut être trouvée à partir de l'évaluation des différences
de pression susceptibles de générer les écoulements. Si l'on admet, en première
approximation, que ces écoulements sont simplement dus à un transfert d'énergie de pression
en énergie cinétique, pour la convection forcée et à un transfert d'énergie potentielle en
énergie cinétique, pour la convection naturelle, et si on appelle L la longueur caractéristique
de l'obstacle porté à une température Tw , différente de la température ambiante T∞, il est
possible d'écrire :
g représente l'accélération de la pesanteur et β le coefficient de dilatation.
Le critère de définition de la convection mixte revient à comparer la différence de
pression de la convection forcée ΔP∞ à la différence de pression équivalente ΔPn , qu'il
faudrait produire pour créer un écoulement de même impulsion que celui crée par les forces
de poussée d'Archimède. Soit
Ainsi, en formant le rapport de ces 2 différences de pression, on obtient : Dans ces conditions, il en résulte que si :
( ) ( )1.21
21
2
2
IULg
U
nw ρβρ
ρ
≈Τ−Τ
≈ΔΡ
∞
∞∞
( )2.21 2 IU nn ρ≈ΔΡ
( ) ( )
( )3.Re2
2
2
3
22
2
IRiGrUL
LgU
LgUU
L
Ln
wwnn
=≈ΔΡΔΡ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Τ−Τ=
Τ−Τ≈≈
ΔΡΔΡ
∞
∞
∞
∞
∞
∞∞
νν
ββ
Chapitre I Etude bibliographique
7
Ri >> 1 la convection naturelle est dominante
Ri << 1 la convection forcée est dominante
Ri ≈ 1 la convection est dite mixte.
L Tw T∞ U∞ I.2.2 La plaque plane verticale en convection mixte Considérons une paroi verticale, soumise à des conditions de température et de vitesse
telle qu'elle est le siège de phénomènes de convection mixte. Deux cas distincts sont
maintenant à considérer suivant que les forces de poussée d'Archimède sont dans le même
sens ou dans le sens opposé à l'écoulement forcé imposé à l'entrée.
Dans le cas où les deux forces sont dans le même sens : le gradient de pression motrice
dû à la convection naturelle et qui peut s'exprimer par la relation : sajoute au gradient de pression qui génère l'écoulement forcé, on se trouve alors en
convection mixte favorable. Dans le cas contraire, la poussée d'Archimède, naissant du
gradient de température, s'oppose au gradient de pression motrice de l'écoulement forcé, on
,ΔΤ=Χ∂
Ρ∂βgm
Figure I.1 : Ecoulement et transfert convectif autour d'obstacle
Chapitre I Etude bibliographique
8
est alors en convection mixte défavorable. Dans ce dernier cas, il en résulte souvent des
décollements ou des recirculations [8]. Dans ce dernier cas, le traitement du problème étudié
devient plus difficile qu'en convection mixte favorable.
Suivant que la paroi est chauffée ou refroidie, et suivant la direction de l'écoulement
forcé : vertical, ascendant ou descendant, on trouve quatre (4) situations possibles que nous
schématisons par les figures présentées ci-dessous:
U∞ T∞ U∞ T∞ Tw Tw>T∞ Tw y y Tw< T∞ x x x Tw Tw < T∞ Tw Tw> T∞ y y U∞ T∞ U∞ T∞
Les forces de poussée d'Archimède gβ(T-T∞) sont précédées d'un signe + en
convection mixte favorable et d'un signe - en convection mixte défavorable.
Figure I.2 : Convection mixte favorable Figure I.3 : Convection mixte défavorable
x
Chapitre I Etude bibliographique
9
I.3 Travaux bibliographiques relatifs au domaine La convection mixte sur une plaque a fait l'objet de plusieurs études théoriques et
expérimentales. Parmi lesquelles nous présentons quelque unes que nous avons jugé proches
de notre cas.
Wickern [11-12] a étudié la couche limite laminaire sur une plaque plane semi-infinie
arbitrairement inclinée, chauffée et refroidie, pour déterminer l'influence des forces de
flottement sur l'écoulement forcé de base. Le fluide étudié est newtonien et incompressible
avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où l'hypothèse de Boussinesq est
adoptée. Dans son travail, la dissipation visqueuse est négligeable, et en considérant un
domaine de variation de l'angle d'inclinaison de la plaque assez large en incluant les cas
particuliers de la plaque horizontale et verticale où il a pris en compte, à la fois, les
composantes du vecteur gravité, normale et parallèle à la surface. La variation systématique
des paramètres libres (inclinaison, Prandtl, etc…) est faite en étudiant différentes conditions
aux limites thermiques et différents nombres de Prandtl. Un résultat remarquable qui découle
de cette étude est que lorsque les forces de flottement sont en opposition aux forces
dynamiques il peut apparaître un comportement régulier aussi bien que singulier dans le
nombre de Nusselt et le coefficient de frottement.
Mai Ton Hoang et al. [13] ont étudié, en régime transitoire, la couche limite laminaire
sur une plaque verticale en convection mixte. Le système d'équations est résolu à l'aide de la
méthode numérique aux différences finies, avec un schéma implicite. Ils ont montré que la
nature de la plaque influe sur les épaisseurs des couches limites dynamique et thermique ainsi
que sur la vitesse de l'écoulement. Ils ont observé qu'une faible perturbation de vitesse
engendre une instabilité de l'écoulement.
L'étude entreprise par Guo T. et al. [14] a porté sur l'influence de la convection
naturelle sur la convection forcée au-dessus d'une surface plane verticale soumise à un flux de
rayonnement thermique. Ils ont considéré un plan vertical semi-infini dont une face est
soumise au rayonnement tandis que l'autre est léchée par un fluide en écoulement,
parallèlement à sa surface. L'échauffement du plan par le rayonnement, donne naissance à une
Chapitre I Etude bibliographique
10
convection naturelle dans le fluide qui perturbe l'écoulement forcé. Ces auteurs ont axé leur
dans le calcul, en régime laminaire et permanent, des distributions des vitesses et de la
température, dans la couche limite qui se développe sur le plan à partir de son bord d'attaque.
Sousa et al. [15] ont étudié le transfert de chaleur et le frottement d'un écoulement d'air
sur une surface isotherme inclinée et en mouvement. L'écoulement est laminaire en régime
permanent, la dissipation visqueuse est négligeable et l'hypothèse de Boussinesq est adoptée.
Les équations sont discrétisées et résolues à l'aide de la méthode des éléments finis.
L'exactitude des résultats numériques du nombre de Nusselt et du coefficient de frottement
moyens obtenus dans le cas d'une surface verticale est validée par leur comparaison avec ceux
obtenus par d'autres chercheurs.
Les effets de la poussée thermique et de l'angle d'inclinaison de la surface sur le
frottement et le transfert thermique sont présentés et, de plus, ils peuvent être prédites grâce à
des corrélations mathématiques.
Saeid [16] a étudié l'écoulement en convection mixte, laminaire le long d'une plaque
verticale a une température en régime d'oscillation périodique. Le fluide est newtonien et
incompressible avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où il adopte
l'hypothèse de Boussinesq et néglige la dissipation visqueuse. L'écoulement est laminaire et
en régime transitoire. Les équations du bilan dynamique et thermique sont approchées par des
couches limites bidimensionnelles. Les équations sont discrétisées et résolues à l'aide de la
méthode numérique aux différences finies. Le calcul est effectué pour l'air (Pr=0.72) et l'eau
(Pr=7.0). La comparaison du nombre de Nusselt et le coefficient de frottement, avec des
résultats antérieurs sont satisfaisants. Les variations périodiques du nombre de Nusselt et du
coefficient de frottement sont effectuées pour différentes amplitudes et fréquences de la
température de plaque.
Al-Sanea [17] a traité le cas de la convection mixte le long d'une plaque isotherme
verticale mobile avec aspiration ou injection. L'écoulement est considéré laminaire en régime
permanent avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où l'hypothèse de
Boussinesq est adoptée, la dissipation visqueuse est négligeable. Les équations sont
discrétisées et résolues à l'aide de la méthode des volumes finis. Il a étudié les effets du
Chapitre I Etude bibliographique
11
nombre de Prandtl, la force de flottabilité et l'aspiration ou l'injection sur les coefficients de
frottement et de transfert thermique.
Ali et Al-yousef [18,19] ont étudié l'écoulement d'une couche limite laminaire, en
convection mixte, sur une surface verticale présentant une perméabilité linéaire en
mouvement. L'investigation traite les cas d'une poussée thermique qui aide ou s'oppose à
l'écoulement. Les solutions locales de similitude sont obtenues par les équations de la couche
limite. Comme conditions aux limites, ces auteurs ont supposés que les variations de la
température et de la vitesse suivent une loi en puissance. L'étude a porté sur l'effet de divers
paramètres régissant l'écoulement, tels que le nombre de Prandtl Pr, le paramètre d'injection
ou aspiration d et le nombre de Richardson sur les distributions de vitesse, de température et
du coefficient de transfert thermique. Des valeurs critiques ont été trouvées et qui sont
vérifiées par la solution analytique de l'équation d'énergie.
Hsiao-Tsung et al. [20] ont étudié la convection mixte en régime permanent de
couche limite laminaire sur une plaque isotherme, horizontale et en mouvement parallèle à
l'écoulement du fluide. Le système d'équations est résolu numériquement par la méthode de
Keller's Box, avec un schéma implicite. Les solutions numériques précises et des corrélations
complètes sont présentées pour une large gamme de fluides 0.01≤ Pr ≤ 10000 et dans tout le
domaine de la convection mixte. L'étude engendre n'importe quelle vitesse relative entre la
plaque et l'écoulement potentiel. Les effets de la poussée thermique et de la vitesse relative
sur le champ d'écoulement, le frottement, le champ de température et le taux de transfert
thermique sont illustrés pour une plaque se déplaçant parallèlement en co-courant ou en
contre-courant de l'écoulement potentiel et ceci pour les cas:
(i); l'écoulement potentiel et la poussé thermique dans le même sens et (ii); l'écoulement
potentiel et la poussée thermique dans le sens inverse.
Shenoy [21] a étudié la convection mixte en régime permanent d'une couche limite sur
une plaque plane isotherme et inclinée mais dans le cas d'un fluide non-newtonien. Le travail
a été axé sur les effets, d'une part, de l'inclinaison de la surface et du nombre de Richardson
sur le nombre de Nusselt.
Chapitre I Etude bibliographique
12
Kumari et al. [22] se sont intéressé au sujet de l'écoulement d'un fluide
non-newtonien en convection mixte sur une plaque plane mobile et chauffée à une
température constante. Le système des équations partielles thermiques et dynamiques
régissant l'écoulement est résolu numériquement par la méthode des différences finies, avec
un schéma implicite. Ils ont étudié l'effet de divers paramètres entrant dans le transfert
thermique pariétale, comme le nombre de Prandtl, le nombre de Peclet et la poussé thermique.
Chapitre I Etude bibliographique
13
CHAPITRE II MODELE MATHEMATIQUE
Dans ce chapitre, nous présentons le modèle physique et les hypothèses
simplificatrices. Nous formulons le problème physique régissant le phénomène de convection
mixte le long d'une plaque plane inclinée par rapport au vertical. Nous exprimons les
équations de conservation et les conditions aux limites sous forme adimensionnelle. Nous
introduisons les principales grandeurs dynamiques et thermiques.
II.1 Equations générales de conservation II.1.1 Equations de conservation pour les écoulements laminaires bidimensionnels II.1.1.1 Equation de continuité L'équation de continuité déduite du principe de conservation de masse et s'exprime
mathématiquement comme suit [9] :
II.1.1.2 Equations de quantité de mouvement
Les équations de conservations de quantité de mouvement, connue sous le nom
d'équations de Navier-Stokes, sont obtenues par l'application de la deuxième loi de la
dynamique à une particule de fluide passant à travers un volume de contrôle infinitésimal.
Elles s'écrivent comme suit [9] :
Où le symbole général σ est utilisé pour les contraintes et ƒx, ƒy les composants des forces
volumiques par unité de masse.
Chapitre II Modèle mathématique
( )1.0 IIyv
xu
t=
∂∂
+∂
∂+
∂∂ ρρρ
( )2.2
IIfyxx
pyuv
xu
tu
xxyxx ρ
σσρρρ+
∂
∂+
∂∂
+∂∂
−=∂
∂+
∂∂
+∂
∂
( )3.2
IIfyxy
pyv
xvu
tv
yyyyx ρ
σσρρρ+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=∂
∂+
∂∂
+∂
∂
14
Pour un fluide visqueux newtonien d'une densité variable, les contraintes normales σxx,
σyy et les contraintes de cisaillement σxy, σyx sont données par les formules suivantes
Où β est le coefficient de dilatation volumique du fluide.
Pour un fluide à densité constante les contraintes normales se réduisent à
II.1.1.3 Equation d'énergie Elle peut être exprimée en fonction de l'énergie interne e ou bien de l'enthalpie h [9]. • Equation d'énergie interne L'équation de transport de l'énergie est obtenue par l'application du premier principe de
la thermodynamique.
( )5.322 II
yv
xu
yv
yy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
∂∂
= μβμσ
( )6.IIxv
yu
yxxy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
== μσσ
( )7.2 IIxu
xx ∂∂
= μσ
( )8.2 IIyv
yy ∂∂
= μσ
( )9.1 IIyv
xup
yq
xq
dtde yx
ρρρΦ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
−=&&
yv
xu
tdtd
∂∂
+∂∂
+∂∂
≡
( )4.32
2 IIyv
xu
xu
xx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
∂∂
= μβμσ
Chapitre II Modèle mathématique
15
Où Φ est la fonction de dissipation, définie par
Pour un fluide newtonien visqueux,
la densité du flux de chaleur (W/m2 ), et , sont les composantes de cette grandeur
dans les directions x et y.
et
L'équation (II.9), se transforme à
• Equation d'enthalpie L'enthalpie par unité de masse est définie par [9]
( )10.IIyv
xv
yu
xu
xu
yyyxxyxxj
iij ∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
=Φ σσσσσ
xkqx ∂
Τ∂−=&
ykqy ∂
Τ∂−=&
( )12.1 IIyv
xup
yk
yxk
xdtde
ρρρΦ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂Τ∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂Τ∂
∂∂
−=
( )13.IIpehρ
+≡
xq& yq&
( )11.32
222222
IIyv
xu
xv
yu
yv
xu
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
=Φ μβμμμ
( )14.12 II
dtdp
dtdp
dt
pd ρρρ
ρ−=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
( )15.0 IIyv
xu
dtd
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+ ρρ
q&
Chapitre II Modèle mathématique
16
La substitution de dans l'équation (II.14), l'équation (II.9) conduit à
Pour un fluide à chaleur spécifique constante, on a
En remplaçant les composantes et de la densité du flux de chaleur dans l'équation
(II.16), on trouve :
Si les différences de température ne sont pas importantes, la conductivité peut être considérée
uniforme dans un écoulement à faible vitesse. Par conséquent, l'équation (II.18) se réduit à
Où
: est la diffusivité thermique
dtdρ
( )16.11 IIyp
vxp
utp
yq
xqpe
dtd
dtdh yx
ρρρρΦ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≡
&&
( ) ( )17.IIReccech vpp Τ+=Τ−+=Τ=
xq& yq&
( )18.1 II
ypv
xpu
tp
yk
yxk
xy
vx
ut
cdtdc
dtdh
pp
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Φ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Τ∂∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Τ∂∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Τ∂+
∂Τ∂
+∂Τ∂
=Τ
≡ρ
( )19.2
2
2
2
IIyx
ay
vx
ut ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Τ∂+
∂Τ∂
=∂
Τ∂+
∂Τ∂
+∂Τ∂
pcka
ρ≡
Chapitre II Modèle mathématique
17
II.2 Présentation du problème On considère une plaque plane isotherme inclinée d'un angle (α) par rapport à la
verticale, de longueur finie. Cette dernière est léchée par un écoulement forcé parallèle à sa
surface. Les forces de volumes induites par le gradient de température entre les particules
fluide qui sont au voisinage de la paroi est celles de l'écoulement potentiel créent un
mouvement de convection naturelle qui perturbe l'écoulement forcé. Le résultat de cette
combinaison donne naissance à une convection mixte.
Le problème physique est schématisé sur la figure (II.1).L'origine du repère Oxy est
située sur la plaque et coïncide avec son bord d'attaque. L'axe Ox est orienté suivant le sens de
l'écoulement forcé. L'axe Oy est perpendiculaire à la plaque et orienté vers l'intérieur de
l'écoulement du fluide.
II.2.1 Hypothèses simplificatrices
La modélisation du système étudié est basée sur les hypothèses simplificatrices
suivantes:
1- L'écoulement du fluide et le transfert de chaleur sont permanents et le régime
laminaire.
2 - Le fluide est newtonien et incompressible. 3 - Les propriétés thermophysiques du fluide (μ , Cp , et k) sont constantes [11-19].
4 - La dissipation visqueuse est négligeable. Il n'est pas de source de chaleur.
5 - L'approximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste à considérer que les
variations de masse volumique sont négligeables au niveau de tous les termes des
équations de quantités de mouvement (ρ = ρ∞), sauf au niveau du terme de
gravité. La variation de la masse volumique ρ en fonction de la température est donnée
par [1].
( ) ( )20.II∞∞∞ Τ−Τ−=− βρρρ
Chapitre II Modèle mathématique
18
ρ∞ : la masse volumique du fluide à la température d'entrée T∞
β : le coefficient de dilatation volumique du fluide
6 - La surface de la plaque imperméable à l'écoulement.
II.3 Formulation du problème II.3.1 Equations de conservations Le système d'équations qui gouverne l'écoulement laminaire en convection mixte et le
transfert de chaleur en coordonnées cartésiennes après simplifications s'écrivent comme suit :
● Equation de continuité ● Equations de quantités de mouvement
Selon (ox)
Selon (oy)
( )21.0 IIyv
xu
=∂∂
+∂∂
( )[ ] ( )22.cos112
2
2
2
IIgyu
xu
xp
yuv
xuu αβυ
ρ ∞∞
Τ−Τ−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
( )[ ] ( )23.sin112
2
2
2
IIgyv
xv
yp
yvv
xvu αβυ
ρ ∞∞
Τ−Τ−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
Chapitre II Modèle mathématique
19
● Equation d'énergie Où :
: diffusivité thermique
k : conductivité thermique
Cp : chaleur spécifique à pression constante
Figure II.1 : Représentation schématique du modèle physique
( )24.2
2
2
2
IIyx
ay
vx
u ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
Τ∂+
∂Τ∂
=∂
Τ∂+
∂Τ∂
pCka
∞
=ρ
a
δuδT
y
u∞, T∞, p∞
g
o
α
x
L
TW
Chapitre II Modèle mathématique
20
II.3.2 Conditions aux limites - en y =0 u (x,0) = 0
v (x,0) = 0 (II.25)
T (x,0) = Tw ( température imposé )
- en y → ∞ u (x,∞) = u∞
v (x,∞) = 0
T (x, ∞) = T∞ (II.26)
p (x, ∞) = p∞
- en x = 0 u (0,y) = u∞
v (0,y) = 0
p (0, y) = p∞ (II.27)
T (0, y) = T∞
- en x = L
0=∂∂
xu
( )28.0 IIxv
=∂∂
0=∂
Τ∂x
Chapitre II Modèle mathématique
21
II.4 Formulation adimensionnelle L'emploie de la variable adimensionnelle permet d'exprimer la réalité des phénomènes
physiques indépendamment des systèmes de mesures, pour permettre d'avoir des informations
généralisées à une variété des problèmes ayant les mêmes grandeurs de cœfficient de
similitudes d'un côté, et d'un autre côté, réduire le nombre de paramètres d'un problème.
En effet, pour faire apparaître les paramètres de contrôle du problème étudié, il est nécessaire
d'introduire les grandeurs de référence.
II.4.1 Principales grandeurs physiques et variables adimensionnelles
Le nombre de Reynolds local, le nombre de Prandtl et le nombre de Grashof sont
définis par:
Le coefficient de frottement est donné par : Le nombre de Nusselt local est défini par :
( ) ( )29.PrRe 2
3
IILgGrkCLu w
Lp
L νβμ
μρ ∞∞∞ Τ−Τ
===
( )
( )30.
21
21 2
0
2, II
u
yxu
uC yw
xf
∞∞
=
∞∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂
==ρ
μ
ρ
τ
( )
( ) ( )31.0 IIkxy
xk
khxNu
w
yx ⋅
Τ−Τ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂Τ∂
−
==∞
=
( )RichardsondenombreLeGr
RiL
LL 2Re
=
Chapitre II Modèle mathématique
22
Les variables adimensionnelles choisis sont :
Où : u∞ représente la vitesse caractéristique de l'écoulement de convection forcée.
gx, gy représentent respectivement les composantes de l'accélération de la pesanteur selon
les directions (x, y).
II.4.2 Equations adimensionnelles Les équations adimensionnelles de continuité, de quantités de mouvement et d'énergie
qui gouvernent le phénomène de la convection mixte s'écrivent alors :
● Equation de continuité ● Equations de quantités de mouvement
Selon (OX)
( )( )
ααρ
ρ
θ
sincos
32.
2 ggggu
ygxgpII
uvV
uuU
Ly
Lx
yxyx
w
−=−=+−
=Ρ
==Τ−ΤΤ−Τ
==Υ=Χ
∞∞
∞
∞∞∞
∞
( )33.0 IIVU=
Υ∂∂
+Χ∂
∂
( )34.cosRe1
2
2
2
2
IIRiUUUVUU αθ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Υ∂
∂+
Χ∂∂
+Χ∂Ρ∂
−=Υ∂
∂+
Χ∂∂
Chapitre II Modèle mathématique
23
Selon (OY) ● Equation de l'énergie II.4.3 Conditions aux limites Les conditions aux limites (II.25-II.28) après adimensionnalisation s'écrivent alors : - en Y=0 U (X, 0) = 0 V (X, 0) = 0 (II.37) θ (X, 0) = 1
- en Y → ∞ U (X, ∞) = 1
V (X, ∞) =0
θ (X, ∞) = 0 (II.38)
P (X, ∞) = 0
( )35.sinRe1
2
2
2
2
IIRiVVVVVU αθ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Υ∂
∂+
Χ∂∂
+Υ∂Ρ∂
−=Υ∂
∂+
Χ∂∂
( )36.Re1
2
2
2
2
IIr
VU ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Υ∂
∂+
Χ∂∂
Ρ=
Υ∂∂
+Χ∂
∂ θθθθ
Chapitre II Modèle mathématique
24
- en X = 0 U (0, Y) = 1
V (0, Y) = 0
P (0, Y) = 0 (II.39)
θ (0, Y) = 0
- en X = 1
0=Χ∂
∂ U
0=Χ∂
∂ θ
( )40.0 IIXV
=∂∂
Chapitre II Modèle mathématique
25
CHAPITRE III MODELISATION NUMERIQUE
Dans ce chapitre nous décrivons la méthode numérique utilisée pour résoudre les équations de
base formulées dans le chapitre II.
Le système d'équations aux dérivées partielles est résolu numériquement par la
méthode des volumes finis où la correction de la pression et de la vitesse est obtenue par
l'algorithme SIMPLER [25]. Cette discrétisation donne un système matriciel tridiagonal dont
la résolution est obtenue par l'application de l'algorithme de Thomas. Le domaine de calcul
est divisé en un nombre fini de volumes de contrôle ou mailles. Le maillage est non uniforme,
les équations de base sont intégrées sur chaque volume de contrôle. Pour éviter la divergence
de la solution, le schéma en loi de puissance est utilisé pour évaluer les flux aux interfaces des
volumes de contrôle.
III .1 Introduction La discrétisation des équations présentées dans le chapitre précédent traduisant le
phénomène de convection mixte est l'opération de transformer ces équations différentielles
en un système d'équations algébriques.
Plusieurs méthodes de discrétisation des équations différentielles aux dérivées
partielles sont utilisées actuellement telles que: la méthode des volumes finis, des
différences finies et des éléments finis, etc, ... Parmi ces méthodes, nous avons choisi la
méthode des volumes finis.
III .2 Méthode des volumes finis La méthode des volumes finis est caractérisée par son avantage à satisfaire la
conservation de masse, de quantité de mouvement et d'énergie dans tous les volumes
finis ainsi dans tout le domaine de calcul. Elle facilite la linéarisation des termes non
linéaires dans les équations de conservation tel que le terme source par exemple. La méthode
consiste à partager le domaine de calcul en plusieurs volumes, où chaque volume
entoure un nœud. En utilisant différents schémas d'approximations on peut intégrer les
termes des équations différentielles modélisantes sur chaque volume de contrôle, où
les valeurs et les quantités sont stockées aux nœuds du volume de contrôle.
Chapitre III Modélisation numérique
26
Ces équations algébriques produites expriment la conservation des quantités pour le
volume de contrôle et pour tout le domaine de calcul.
III. 3 Equation générale de transport L'équation générale de transport d'une variable pour un écoulement
incompressible s'écrit dans le système cartésien comme suit:
1 2 3 1 : terme de transport par convection
2 : terme de transport par diffusion
3 : terme de source.
V vecteur vitesse
Γ cœfficient de diffusion
Opérateur laplacien définie par :
Dans le tableau suivant, nous donnons la définition de , Γ et pour les équations
qui gouvernent notre problème général.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Υ∂∂
+Χ∂∂
=∇ 2
2
2
22
φ φS
φ
( ) ( ) ( )1.2 IIISVdiv φφφ +∇Γ=
2∇
Chapitre III Modélisation numérique
27
Γ
Equation
U
Quantité de
mouvement suivant (OX)
V
Quantité de
mouvement suivant (OY)
0
θ
Energie
0
0
1
Continuité
Tableaux III.1 : variables et cœfficients des équations de transport adimensionnelles
III. 4 Maillage Le domaine de calcul est divisé en une série de sous domaines appelés volume de
contrôle. Ces volumes de contrôle enveloppent tout le domaine de calcul sans chevauchement,
de telle façon que la somme de leurs volumes soit égale exactement au volume du domaine
de calcul.
Le schéma du maillage adopté est du type décalé, proposé par Patankar [25]. Un
point est positionné au centre de chaque volume est appelé centre du volume de contrôle, il
sera noté P (figure III.1).
Les nœuds des volumes voisins seront notés suivant leur positions N, S, W et E
(North, South, West et East). Les faces d'un volume de contrôle sont localisées aux points e,
w, n et s. Les quantités scalaires (pression et température) sont stockées aux centres des
αθ cosRi+Χ∂Ρ∂
−
αθ sinRi+Υ∂Ρ∂
−
φSφ
Re1
Re1
RePr1
Chapitre III Modélisation numérique
28
volumes finis. Par contre, les composantes de la vitesse sont localisées aux faces des volumes
finis.
Ce volume de contrôle est utilisé pour l'expression des bilans des grandeurs scalaires,
appelé volume de contrôle principal (figure III.2), et pour l'expression des grandeurs
vectorielles, on utilise un volume de contrôle décalé (figure III.3) et (figure III.4).
On utilise un maillage non uniforme dans lequel les mailles sont plus larges là où les
gradients sont plus faibles.
Chapitre III Modélisation numérique
29
● i,j P
● i+1,j E
● i-1,j W
● i,j+1 N
● i,j-1 S
i-2 i-1 i i+1
w
e
n
s
● ● ●
●
●
● ●
● ● ● ●
Volume de contrôle pour θ et P
Volume de contrôle pour V
Volume de contrôle pour U
Figure III.1 : Schéma des différents volumes de contrôle
Chapitre III Modélisation numérique
30
III. 5 Discrétisation des équations de conservation Les équations de conservation (II.21-II.24), autrement dit l'équation sous la forme
générale (III.1) a été intégrée sur le volume de contrôle ∆V = 1.∆X . ∆Y (figure III.2).
L'intégration de l'équation (III.1), donne:
Le terme convectif : Le terme diffusif : Le terme source :
( ) ( ) ( )2.2 IIIddSddVdivVV
ΥΧ+∇Γ=ΥΧ ∫∫ φφφ
( ) ( )
( )3.IIIddSdddd
ddVddU
n
s
e
w
n
s
e
w
n
s
e
w
n
s
e
w
n
s
e
w
ΥΧ+ΥΧ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Υ∂∂
ΓΥ∂∂
+ΥΧ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Χ∂∂
ΓΧ∂∂
=ΥΧΥ∂∂
+ΥΧΧ∂∂
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
φφφ
φφ
( ) [ ] ( ) ( )[ ]
( )
( ) [ ] ( ) ( )[ ]ΔΧ−=Χ=ΥΧΥ∂∂
ΔΥ−=Υ=ΥΧΧ∂∂
∫∫ ∫
∫∫ ∫
sn
n
s
e
w
n
s
e
w
we
e
w
n
s
n
s
e
w
VVdVddV
III
UUdUddU
φφφφ
φφφφ
4.
( )
ΔΧ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Υ∂∂
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Υ∂∂
Γ=Χ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Υ∂∂
Γ−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Υ∂∂
Γ=ΥΧ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Υ∂∂
ΓΥ∂∂
ΔΥ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Χ∂∂
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Χ∂∂
Γ=Υ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Χ∂∂
Γ−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Χ∂∂
Γ=ΥΧ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Χ∂∂
ΓΧ∂∂
∫∫ ∫
∫∫ ∫
sn
e
w sn
n
s
e
w
we
n
s we
n
s
e
w
ddd
III
ddd
φφφφφ
φφφφφ
5.
( )6.IIISddSn
s
e
w
ΔΥΔΧ=ΥΧ∫ ∫ φφ
Chapitre III Modélisation numérique
31
L'équation (III.2), s'écrira alors:
Le terme soure dans chaque équation de conservation doit être linéarisé afin que tout le
système d'équations prenne la forme linéaire et la résolution devient ainsi simplifiée. Donc le
terme peut se mettre sous la forme suivante :
doit être négatif afin de répondre aux régles de la méthode des volumes finis
(Patankar 1980) [25], et faciliter ainsi la convergence du système (la diagonale de la matrice
du système à résoudre devient dominante).
Où:
SP : est le coefficient de
Sc : est la partie constante de qui ne dépend pas de
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )7.IIIS
VVUU
snwe
Snwe
ΔΧΔΥ
+ΔΧ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Υ∂∂
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Υ∂∂
Γ+ΔΥ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Χ∂∂
Γ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Χ∂∂
Γ
=ΔΧ−+ΔΥ−
φ
φφφφ
φφφφ
pS
pφ
φS pφ
( )8.IIISSS pc +=φ
Chapitre III Modélisation numérique
φS
φS
32
(θ, P) ●
i, j P
Ue e Uw w
Vs s
ΔX
● E i+1, j
● W i+1, j
S ●
i, j-1
N ●
i, j+1
δXe
δXw
δY
s
Vn n
ΔY
δY
n
Figure III.2 : Volume de contrôle typique
Chapitre III Modélisation numérique
33
● (i, j) P
e Ue w Uw
● W (i-1,j)
●E (i+1, j)
S● (i, j-1) δX(i)
δX(i-1)
ΔX(i)
ΔX(i+1)
ΔY
(J)
δY
(j-1
) δ
Y(j
)
Figure III.3 : Volume de contrôle décalé vers la droite
Vn n
● (i, j ) P
● (i-1, j ) W
● (i+1, j ) E
● (i, j +1) N
● (i, j-1 ) S
δX(i-1)
δX(i)
δX(i+1) ΔX(i)
ΔX(i+1)
δY
(j)
δY
(j-1
) Δ
Y(j
-1)
ΔY
(j)
Figure III.4 : Volume de contrôle décalé vers le haut
Chapitre III Modélisation numérique
N● (i, j+1)
34
Pour évaluer les aux interfaces des volumes de contrôle on utilise un des schémas
de discrétisation (upwind, exponentiel, power law, hybride, quick,…). Ces schémas différent
par la façon avec laquelle, on prend en compte les termes de convection et de diffusion. Pour
les flux aux interfaces des volumes de contrôle on choisit une interpolation entre les nœuds
voisins. Pour simplifier l'éqaution (III.7) nous appliquons un schéma centré d'ordre deux pour
remplacer les dérivés premières sur les facettes du volume de contrôle.
Dans notre étude, on utilisera le schéma numérique de la loi puissance (power law ).
L'importance d'utiliser ce schéma est d'obtenir une meilleure stabilité de la solution
numérique.
III.5.1 Application d'un schéma numérique quelconque La discrétisation des équations permet d'obtenir un système d'équations dont la forme
algébrique générale est :
Ou sous la forme équivalente : Tels que : est la variable dans l'équation concernée .
Les indices (nb) représentent les nœuds voisins du nœud principal désigné par la lettre P.
Les coefficients et sont calculés avec l'une des méthodes aux problèmes de
convection-diffusion (upwind, exponentiel, power law, hybride, quick, …).
Dans l'équation (III. 9) on a :
( )9.IIIbSSNNEEWWPP +Α+Α+Α+Α=Α φφφφφ
( ) ( )10.IIIbnbnbPP +Α=Α ∑ φφ
φ
( )11.IIIS pnbP ΔΥΔΧ−Α=Α ∑
( ) ( ) ( )12.0,max IIIFPD eeeE −+Α=Α
( ) ( ) ( )13.0,max IIIFPD wwwW +Α=Α
φ
PΑ nbΑ
Chapitre III Modélisation numérique
35
où la fonction A(|P|) décrit le schéma utilisé.
Le schéma de la loi puissance (power-law) est donné par la fonction suivante :
(i = e, w, n, s)
Les coefficients de l'équation (III.9) contiennent une combinaison du flux convectif F
et de diffusion D aux interfaces de volume de contrôle. Les valeurs de F et D pour chaque
interface w, e, s et n du volume de contrôle sont données par les relations suivantes :
et
( ) ( ) ( )14.0,max IIIFPD nnnN −+Α=Α
( ) ( ) ( )15.0,max IIIFPD sssS +Α=Α
( )16.IIISb c ΔΥΔΧ=
( ) ( )[ ] ( )17.1.0.1,.0max 5 IIIPP ii −=Α
( )ΔΧ=ΔΧ=ΔΥ=
ΔΥ=
ss
nn
ww
ee
VFIIIVF
UFUF
18.
( )
ΔΧΥΓ
=
ΔΧΥΓ
=
ΔΥΧΓ
=
ΔΥΧΓ
=
s
ss
n
nn
w
ww
e
ee
D
IIID
D
D
δ
δ
δ
δ
19.
Chapitre III Modélisation numérique
36
: coefficients correspondants, respectivement, aux nœuds est,
ouest, nord, sud et centre du volume de contrôle b : est un terme de source
et : termes convectifs correspondants, respectivement, aux faces est,
ouest, nord et sud
et : diffusifs correspondants, respectivement, aux faces est, ouest, nord et
sud
et : rapports du flux convectif au flux diffusif aux différentes faces du
volume de contrôle
Si l'on exprime l'équation (III. 9) en fonction du nouveau système de coordonnées (de
numérotation des nœuds, figure (III. 1)), l'équation générale (III. 9) s'écrit donc sous forme
indicée.
( )
s
ss
n
nn
w
ww
e
ee
DF
P
IIIDF
P
DF
P
DF
P
=
=
=
=
20.
PSNWE et ΑΑΑΑΑ ,,,
nwe FFF ,,sF
nwe DDD ,, sD
nwe PPP ,,sP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjijijijiIII
jijijijijiji
SN
WEP
,1,,1,,21.
,1,,1,,,
+−⋅Α++⋅Α+
−⋅Α++⋅Α=⋅Α
φφ
φφφ
Chapitre III Modélisation numérique
37
• Equations de quantité de mouvement
Selon (OX) Avec : Les flux convectifs :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjiUjijiUjiIII
jiUjijiUjijiUji
SN
WEP
,1,,1,,22.
,1,,1,,,
+−⋅Α++⋅Α+
−⋅Α++⋅Α=⋅Α
( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji −+Α=Α
( ) ( ) ( )( )23.
.0,max,III
FPDji wwwW +Α=Α
( ) ( ) ( ).0,max, nnnN FPDji −+Α=Α
( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +Α=Α
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )24.cos,1,5.0
,1,,IIIjiRijiji
jjiPjiPjibΔΥΧ++
+ΔΥ+−=δαθθ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP Α+Α+Α+Α=Α
( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFn Χ++= δ,,121
( ) ( )[ ] ( )
( )26.
,,121
III
jjiUjiUFw ΔΥ+−=
( ) ( )[ ] ( )jjiUjiUFe ΔΥ++= ,,121
( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFs Χ−+−+= δ1,1,121
Chapitre III Modélisation numérique
38
Les flux diffusifs :
Selon (OY) Avec :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjiVjijiVjiIII
jiVjijiVjijiVji
SN
WEP
,1,,1,,28.
,1,,1,,,
+−⋅Α++⋅Α+
−⋅Α++⋅Α=⋅Α
( )( )1Re
1+ΔΧ
ΔΥ=
ijDe
( )( )
( )27.Re1
IIIijDw ΔΧ
ΔΥ=
( )( )jiDn Υ
Χ=
δδ
Re1
( )( )1Re
1−Υ
Χ=
jjDs δ
δ
( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji −+Α=Α
( ) ( ) ( ) ( )29..0,max, IIIFPDji nnnN −+Α=Α
( ) ( ) ( ).0,max, wwwW FPDji +Α=Α
( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +Α=Α
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )30.sin1,,5.0
1,,,IIIjiRijiji
ijiPjiPjibΥΔΧ++
+ΔΧ+−=δαθθ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP Α+Α+Α+Α=Α
Chapitre III Modélisation numérique
39
Les flux convectifs : Les flux diffusifs : • Equation d'énergie
( ) ( )[ ] ( )jjiUjiUFe Υ++= δ,1,21
( ) ( )[ ] ( )
( )32.
,11,121
III
jjiUjiUFw Υ−++−= δ
( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFn ΔΧ++= ,1,21
( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFs ΔΧ+−= ,1,21
( )( )ijDe Χ
Υ=
δδ
Re1
( )( )
( )33.1Re
1
IIIi
jDw −ΧΥ
=δδ
( )( )1Re
1+ΔΥ
ΔΧ⋅=
jiDn
( )( )jiDs ΔΥ
ΔΧ⋅=
Re1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjijijijiIII
jijijijijiji
SN
WE
,1,,1,,34.
,1,,1,,,
+−⋅Α++⋅Α+
−⋅Α++⋅Α=⋅Α Ρ
θθ
θθθ
Chapitre III Modélisation numérique
40
Avec : Les flux convectifs : Les flux diffusifs :
( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji −+Α=Α
( ) ( ) ( )( )35.
.0,max,III
FPDji wwwW +Α=Α
( ) ( ) ( ).0,max, nnnN FPDji −+Α=Α
( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +Α=Α
( ) ( )36..0, IIIjib =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )37.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP Α+Α+Α+Α=Α
( ) ( )jjiUFe ΔΥ⋅= ,
( ) ( )( )38.
,1III
jjiUFw ΔΥ⋅−=
( ) ( )ijiVFn ΔΧ⋅= ,
( ) ( )ijiVFs ΔΧ⋅−= 1,
( )( )i
jDe ΧΔΥ
=δPrRe
1
( )( )
( )39.1PrRe
1
IIIi
jDw −ΧΔΥ
=δ
( )( )jiDn Υ
ΔΧ=
δPrRe1
( )( )1PrRe
1−Υ
ΔΧ=
jiDs δ
Chapitre III Modélisation numérique
41
III.6 Résolution numérique Les équations différentielles ont été intégrées et discrétisées à l'aide de la méthode des
volumes finis. La résolution de ce système présente quelques difficultés, parce que:
● Les coefficients des équations dépendent des valeurs des variables; le système n'est
donc pas linéaire.
● Les termes source des équations de quantité de mouvement font intervenir le gradient
de pression.
Cette difficulté pourra être résolue par un traitement itératif du système d'équation
(Algorithme TDMA) [25].
Les équations (III.22) et (III.28) ne pourront être résolues que si la pression P est
connue ou estimée. Si la pression correcte est connue, le champ de vitesse obtenu après la
résolution du système algébrique satisfera l'équation de continuité. Comme la pression n'est
pas connue, il est nécessaire une procédure pour calculer la pression.
III.6.1 L'algorithme SIMPLE L'algorithme SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation) a été
crée par Patankar et Spalding [25]. Il est une procédure itérative pour calculer la pression en
utilisant le maillage déplacé. La procédure itérative commence par l’estimation de la pression.
Soit P* le champ de pression estimé. Les équations (III.22) et (III.28) sont résolues pour
obtenir le champ de vitesse associé U* et V*
:
Où
bU et bV sont les termes de source ne contenant pas le terme de pression.
On définit la correction de la pression P' comme la différence entre la pression correcte
P et la pression estimée P* :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )40.,1,,,, ***
,,,
* IIIjjiPjiPjibUjiUji UnbSNWEnbnbP ΔΥ⋅+−++Α=Α ∑
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )41.1,,,,, ***
,,,
* IIIijiPjiPjibVjiVji VnbSNWEnbnbP ΔΧ⋅+−++Α=Α ∑
=
Chapitre III Modélisation numérique
42
De façon similaire on définit la correction des vitesses U ' et V ' comme la différence
entre les vitesses correctes U, V et les vitesses estimées U* et V * :
La substitution du champ de pression correct, P, dans les équations de conservation de
la quantité de mouvement donne le champ de vitesse correct (U, V). Les équations discrétisées
(III.22) et (III.28) lient le champ de vitesse correct avec le champ de pression correct.
La soustraction des équations (III.40) et (III.41) des équations (III.22) et (III.28)
respectivement, donne :
En utilisant les formules de correction (III.42-III.44) les équations (III.45) et (III.46)
peuvent être réécrites ainsi :
( )42.'* IIIPPP +=
( )43.'* IIIUUU +=
( )44.'* IIIVVV +=
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )45.,1,1,,
,,,
**
*
,,,
*
IIIjjiPjiPjiPjiP
UUjiUjiUji nbnbSNWEnbnbP
ΔΥ⋅+−+−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −Α=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅Α ∑
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )46.1,1,,,
,,,
**
*
,,,
*
IIIijiPjiPjiPjiP
VVjiVjiVji nbnbSNWEnbnbP
ΔΧ⋅+−+−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −Α=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅Α ∑
=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )47.,1,,, '''
,,,
' IIIjjiPjiPUjiUji nbSNWEnbnbP ΔΥ⋅+−+Α=Α ∑
=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )48.1,,,, '''
,,,
' IIIijiPjiPVjiVji nbSNWEnbnbP ΔΧ⋅+−+Α=Α ∑
=
Chapitre III Modélisation numérique
43
À ce moment une approximation est introduite: les termes et
sont négligés pour simplifier les équations (III.47) et (III.48). L’omission de ces termes est la
principale approximation de l’algorithme SIMPLE. On obtient :
Les équations (III.49) et (III.50) décrivent les corrections qui doivent être appliquées
aux vitesses à travers les formules (III.43) et (III.44), ce qui donne les vitesses aux niveaux
des faces du volume de contrôle :
Jusqu’à maintenant on a considéré les équations de conservation de la quantité de
mouvement, mais le champ de vitesse, en même temps doit satisfaire l’équation de continuité
(II.21).
L'équation de continuité discrétisée, obtenue par l'intégration de l'équation (II.21) sur
le volume de contrôle présenté à la (Fig III.2), est :
'
,,,nb
SNWEnbnb V∑
=
Α'
,,,nb
SNWEnbnb U∑
=
Α
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )49.,1,,, ''' IIIjjiPjiPjiUjiP ΔΥ⋅+−=Α
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )50.1,,,, ''' IIIijiPjiPjiVjiP ΔΧ⋅+−=Α
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )51.
,,,
''* III
jijPPjiUjiU E
Ρ
Ρ
ΑΔΥ⋅−
+=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )52.
,1,1,1
''* III
jijPPjiUjiU W
−ΑΔΥ⋅−
+−=−Ρ
Ρ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )53.
,,,
''* III
jiiPPjiVjiV N
Ρ
Ρ
ΑΔΧ⋅−
+=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )54.
1,1,1,
''* III
jiiPPjiVjiV S
−ΑΔΧ⋅−
+−=−Ρ
Ρ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )55.01,,,1, IIIijiVjiVjjiUjiU =ΔΧ⋅−−+ΔΥ⋅−−
Chapitre III Modélisation numérique
44
La substitution des équations corrigées (III.51–III.54) dans l’équation de continuité
discrétisée (III.55) donne :
En regroupant les termes, on obtient l'équation de la correction de pression P' sous la
forme générale suivante :
Où
L’équation (III.57) représente l’équation de continuité discrétisée comme une équation
de correction de pression P'. Le terme source apparaît à cause du fait qu’on utilise un
champ de vitesse incorrect U* et V*. Si celui-ci implique plus de correction de
pression nécessaire. Par la résolution de l’équation (III.57) on obtient la correction de pression
pour tous les points du maillage et alors la pression correcte peut être calculée à l’aide de la
formule (III.42) et les composantes de la vitesse avec les formules de correction (III.43) et
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )56.01,
1,,
,
,1,1
,,
''*
''*
''*
''*
IIIiji
iPPjiVji
iPPjiV
jji
jPPjiUji
jPPjiU
SN
WE
=ΔΧ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−ΑΔΧ⋅−
−−−Α
ΔΧ⋅−+
+ΔΥ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−ΑΔΥ⋅−
−−−Α
ΔΥ⋅−+
Ρ
Ρ
Ρ
Ρ
Ρ
Ρ
Ρ
Ρ
( )57.'''''' IIISPPPPP PSSNNWWEEPP +Α+Α+Α+Α=Α
'PS
0' =PS
( )( ) ( ) ( )58.
,IIIj
jij
PE ΔΥ⋅
ΑΔΥ
=Α
( )( ) ( ) ( )61.
1,IIIi
jii
PS ΔΧ⋅
−ΑΔΧ
=Α
( )62.IIISNWEP Α+Α+Α+Α=Α
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )63.1,,,1, ****' IIIijiVjiVjjiUjiUSP ΔΧ⋅−−+ΔΥ⋅−−=
( )( ) ( ) ( )59.
,1IIIj
jij
PW ΔΥ⋅
−ΑΔΥ
=Α
( )( ) ( ) ( )60.
,IIIi
jii
PN ΔΧ⋅
ΑΔΧ
=Α
Chapitre III Modélisation numérique
45
(III.44). L’omission du terme ne doit pas affecter la solution finale parce que
les corrections de pression et de vitesse seront nulles à la convergence.
Il est possible que le processus itératif soit divergent. Pour remédier cet inconvénient,
pendant le processus itératif on peut utiliser la sous-relaxation :
Où 0 < αP < 1 est facteur de sous-relaxation.
Les composantes de la vitesse doivent aussi être sous-relaxées en utilisant les relations :
Où : aU et aV sont les facteurs de sous-relaxation pour les composantes de la vitesse, U et V
sont les composantes corrigées sans relaxation tandis que U(n-1) et V(n-1) représentent leurs
valeurs à l’itération précédente.
III.6.2 L’algorithme SIMPLER
L’algorithme SIMPLER (SIMPLE Revised), mise au point par Patankar (1980), [25],
est une version améliorée de l’algorithme SIMPLE. Selon cet algorithme l’équation de
continuité discrétisée (III.55) est utilisée pour obtenir une équation discrétisée pour la
pression au lieu d’une équation de correction de pression comme dans l’algorithme SIMPLE.
Le champ de pression est obtenu directement, sans correction de pression, mais le champ de
vitesse est obtenu à l’aide de la correction en utilisant les équations (III.51-III.54).
Selon l'algorithme SIMPLER, on définit les pseudo-vitesses
ainsi :
( ) ( ) ( )65.1 1 IIIUUU nUU
nouv −⋅−+= αα
( ) ( ) ( )66.1 1 IIIVVV nVV
nouv −⋅−+= αα
( )64.'* IIIPPP Pnouv α+=
'
,,,nb
SNWEnbnb UA∑
=
∧∧∧∧
snwe VetVUU ,,
Chapitre III Modélisation numérique
46
bU et bV sont les termes de source ne contenant pas le terme de pression.
Les vitesses aux niveaux des faces du volume de contrôle s'écrivent
comme suit :
Avec :
En remplaçant les vitesses données par les
relations (III.71-III.74) dans l'équation de continuité discrétisée (III.55) on obtient:
( ) ( )67.,,,
IIIbUUSNWEnb e
Unbnbe ∑
=
∧
Α+Α
=
( ) ( )68.,,,
IIIbUUSNWEnb w
Unbnbw ∑
=
∧
Α+Α
=
( ) ( )69.,,,
IIIbVVSNWEnb n
Vnbnbn ∑
=
∧
Α+Α
=
( ) ( )70.,,,
IIIbVVSNWEnb s
Vnbnbs ∑
=
∧
Α+Α
=
snwe VetVUU ,,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )71.
,,, III
jijPP
jiUjiUUp
Epe Α
ΔΥ⋅−+==
∧
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )72.
,1,,1 III
jijPPjiUjiUU
p
PWw −Α
ΔΥ⋅−+=−=
∧
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )73.
,,, III
jiiPP
jiVjiVVp
Npn Α
ΔΧ⋅−+==
∧
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )74.
1,1,1, III
jiiPPjiVjiVV
p
PSs −Α
ΔΧ⋅−+−=−=
∧
( )∧∧
= eUjiU , ( )∧∧
=− wUjiU ,1 ( )∧∧
= nVjiV , ( ) .1,∧∧
=− sVjiV
( ) ( ) ( ) ( ).1,,,,1,, −Α=ΑΑ=Α−Α=ΑΑ=Α jietjijiji PsPnPwPe
( ) ( ) ( ) ( )1,,,,1,, −− jiVetjiVjiUjiU
Chapitre III Modélisation numérique
47
En regroupant les termes dans l'équation (III.75) on obtient l'équation de pression
discrétisée :
où
La solution numérique dans nos calculs est obtenue avec l'algorithme SIMPLER. Les
séquences de calcul sont les suivantes :
1. On commence par l’estimation (choix initial) du champ de vitesses, du champ de
pression et de la température.
2. Calculer les pseudo-vitesses à l’aide des relations (III.67-III.70)
3. Calculer les coefficients et résoudre l’équation de la pression (III.76) pour obtenir le champ
de pression P.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )75.01,
1,,
,
,1,1
,,
IIIijiA
iPPjiVjiA
iPPjiV
jjiA
jPPjiUjiA
jPPjiU
P
PS
P
NP
P
PW
P
EP
=ΔΧ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−ΔΧ⋅−
−−−ΔΧ⋅−
+
+ΔΥ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
ΔΥ⋅−−−−
ΔΥ⋅−+
∧∧
∧∧
( )76.IIISPAPAPAPAPA PSSNNWWEEPP ++++=
∧∧∧∧
snwe VetVUU ,,
( )( ) ( ) ( )77.
,IIIj
jiAjA
PE ΔΥ⋅
ΔΥ=
( )81.IIIAAAAA SNWEP +++=
( )( ) ( ) ( )78.
,1IIIj
jiAjA
PW ΔΥ⋅
−ΔΥ
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )82.1,,,1, IIIijiVjiVjjiUjiUSP ΔΧ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+ΔΥ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−=
∧∧∧∧
( )( ) ( ) ( )80.
1,IIIi
jiAiA
PS ΔΧ⋅
−ΔΧ
=
( )( ) ( ) ( )79.
,IIIi
jiAiA
PN ΔΧ⋅
ΔΧ=
Chapitre III Modélisation numérique
48
4. Initialiser le champ de pression initial P* avec le nouveau champ de pression obtenu à
l’étape 3 (P* = P) et résoudre les équations de conservation de la quantité de mouvement
(III.40) et (III.41) pour obtenir U*(i, j) et V*(i, j)
5. Calculer les coefficients et le terme-source et puis résoudre l’équation de correction de
pression (III.57) pour obtenir la correction de pression P' ;
6. Corriger le champ de vitesses à l’aide des relations (III.51-III.54), mais sans corriger la
pression ;
7. Calculer les coefficients et le terme-source et puis résoudre l’équation de l’énergie;
8. Réinitialiser toutes les variables calculées aux étapes 3, 6, et 7 (P* = P, U* = U, V* = V, θ∗
=θ) et puis retour à l’étape 2 ;
9. Répéter les étapes 2 à 8 jusqu’à l’obtention de la convergence.
III.6.3 Méthode itérative de résolution Il existe plusieurs méthodes de résolution des systèmes d'équations algébriques,
essentiellement les méthodes directes (par exemple Gauss-jordan) et les méthodes itératives
(par exemple Gauss-seidel).
La résolution directe du système d'équations algébriques est compliquée, pour cela, on
utilise la technique de balayage qui est une méthode de résolution semi-itérative. Elle consiste
à déterminer les valeurs de la variable sur chaque ligne du domaine d'étude
indépendamment des autres lignes, donc le système se transforme d'un système d'équations
algébriques multidimensionnelles en un système unidimensionnel, en ajoutant à la source de
la dimension choisie des termes des autres dimensions. Le système d'équations obtenu est
représenté par une matrice tridiagonale et peut être résolu par l'algorithme de Thomas [25].
φ
'ΡS
Chapitre III Modélisation numérique
49
● Développement de la méthode (TDMA)
L'équation algébrique s'écrit pour le nœud P du maillage comme suit :
Le système d'équations obtenu peut se mettre sous la forme : Où : matrice de (IL-2)× (JL-2) éléments. vecteur des inconnues i = 2, IL -1
j = 2, JL -1
Pour déterminer les valeurs de sur une colone (i) on suppose que les valeurs de
cette derniére sont connues sur les colonnes (i -1) et (i+1). L'équation algébrique (III.84)
écrire pour chaque nœud de la colonne (i) est alors réduire à une équation qui contient
seulement trois inconnues
Pour le nœud (i, j) du maillage, l'équation peut être écrite sous la forme d'une équation
unidimensionnelle :
Et en posant :
( )84.IIISSSNNWWEEPP φφφφφφ +Α+Α+Α+Α=Α
[ ] [ ] [ ] ( )85.IIISφφ =⋅Α
[ ]Α
[ ]φ ( )ji,φ
φ
( ).,, SN φφφ Ρ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )86.,,1,
,1,1,,1,,,,
IIIjiSjiji
jijijijijijijiji
WW
EENNSSPP
φφ
φφφφ
+−⋅Α+
+⋅Α=+⋅Α−−⋅Α−⋅Α
( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )jiSjijijijid
jic
jibjia
WWEEj
sj
nj
Pj
,,1,,1,
,
,;
φφφ +−⋅Α++⋅Α=
Α=
Α=
Α=
Chapitre III Modélisation numérique
50
On obtient l'équation (III.87) sous la forme suivante :
avec :
Pour tous les nœuds (j=2, JL-1) de la colonne (i), l'équation (III.87) donne un système
de la forme :
Les valeurs de et sont connues (conditions aux limites).
La matrice associée au système est tridiagonale. On utilisera l'algoritheme TDMA
(algorithme de Thomas) [25] pour la résolution en réarrangeant toutes les équations du
système (III.88) sous la forme :
On obtient ce qui suit :
( )87.11 IIIdbac jjjjjjj =−+− +− φφφ
001 == JLbetc
2322212 dbac =−+− φφφ
JLJLJLJLJLJLJL dbac =−+− +− 11 φφφ
( )88.11 IIIdbac jjjjjjj =−+− +− φφφ
1φ JLφ
( )89.11 IIIad
ab
ac
j
jj
j
jj
j
jj ++= +− φφφ
( )90.2
23
2
21
2
22 III
ad
ab
ac
++= φφφ
( )91.3
34
3
32
3
33 III
ad
ab
ac
++= φφφ
( )92.11 IIIad
ab
ac
JL
JLJL
JL
JLJL
JL
JLJL ++= +− φφφ
Chapitre III Modélisation numérique
51
Et puisque est connue, on élimine de l'équation (III.91) puis de l'équation (III.92) et
ainsi de suite, on obtient une relation de récurrence pour telle que :
Détermination de et :
Pour le nœud (i, j-1), on a :
En remplaçant (III.94) dans (III.88) on trouve :
D'où on a :
De (III.93) et (III.97) on a :
Pour j=1 on a :
Donc l'équation (III.97) pour j=1 se réduit à :
2φ 3φ1φ
( )93.1 IIIQP jjjj += +φφ
jP jQ
( )94.111 IIIQP jjjj −−− += φφ
( ) ( )95.111 IIIdbaQPc jjjjjjjjj =−++− +−− φφφ
( ) ( )96.111 IIIbcdPca jjjjjjjjj +−− ++=− φφφ
( )97.1
11
1
IIIPca
cdPca
b
jjj
jjjj
jjj
jj
−
−+
− −
−+
−=
φφφ
( )98.1
IIIPca
bP
jjj
jj
−−=
( )99.1
1 IIIPca
cdQ
jjj
jjjj
−
−
−
−=
φ
01 =c
Jφ
Chapitre III Modélisation numérique
52
Ce qui correspond à la forme de l'équation (III.89).
Donc, on a :
Aussi, pour j= JL on a : bJL=0 donc PJL =0
Et de l'équation (III.94) on a :
● Résumé de l'algorithme de Thomas
1. Calculer de l'équation (III.101).
2. Calculer à partir de la relation (III.98) et la relation (III.99) les coefficients et avec : j= 2, 3, …, JL.
3. On pose .
4. On utilise l'équation (III.93) pour j=JL-1, JL-2, …, 3, 2, 1 afin d'obtenir les valeurs
III.7 Algorithme de calcul Pour résoudre le problème de la présente étude, on suit les étapes de l'algorithme
suivant :
( )102.IIIQJLJL =φ
11 QetP
jP jQ
JLJL Q=φ
.,,...,,, 12321 φφφφφ −− JLJL
( )101.,1
11
1
11 III
adQ
abP ==
( )100.1
12
1
11 III
ad
ab
+= φφ
Chapitre III Modélisation numérique
53
Lecture des données
Maillage
Estimation initiale des champs de pression, de vitesses et de température.
DÉBUT
Calcul des pseudo-vitesses, après le calcul des coefficients des équations de quantité de mouvement.
Calcul des coefficients et résoudre l'équation de pression
Résoudre les équations de conservation de quantité de mouvement
Calcul des coefficients et puis résoudre l'équation de correction de pression
Corriger le champ de vitesses
Convergence?
Calcul des coefficients de l'équation de l'énergie et résoudre l'équation de l'énergie
FIN
Oui
Actualiser P* =P ; U* =UV* =V ; θ* =θ
Boucle d'itérations
Non
Figure III.5 : Algorithme de calcul.
Chapitre III Modélisation numérique
54
CHAPITRE IV RESULTATS ET DISCUSSION
IV.1 Description des objectifs de notre étude
Dans ce chapitre, nous présentons les résultats de l'étude numérique de la
convection mixte, stationnaire et bidimensionnelle d'un écoulement du fluide sur une plaque
plane isotherme et inclinée d'un angle α par rapport à la verticale. L'étude est axée, d'une part,
sur les influences du nombre de Richardson (Ri=GrL/ReL2) et de l'inclinaison sur l'aspect
thermique et dynamique de l'écoulement le long de plaque. Pour cette étude nous avons utilisé
les équations de Navier-Stockes et de la chaleur dans un domaine avoisinant la surface de la
plaque avec l’idée de mettre en évidence le développement d’une couche limite.
Pour avoir une idée globale du comportement des différents fluides nous avons choisi,
comme référence, l'air (Pr=0.72 premier cas) et l'eau (Pr=7.0 deuxième cas) qui traduisent
respectivement le comportement général des gaz et des liquides.
Le phénomène de la convection mixte est étudié par la variation du nombre Ri entre
les valeurs 0 à 5 pour l’air et 0 à 10 pour l’eau.
Le domaine de variation de l'angle d'inclinaison est compris entre 0° et 90°. Cette
étude engendre le cas d'une convection mixte favorable, c-à-d la convection naturelle et
forcée sont dans le même sens et la convection mixte défavorable où la convection naturelle
agit dans le sens inverse de la convection forcée.
IV.2 Validation numérique du modèle. Pour valider nos résultats numériques, nous les avons confrontés, d'une part, à ceux de
Wickern [11] et N.H.Saeid [16] qui ont travaillé sur le même sujet, en considérant une plaque
plane dont la température est constante. Notons que ces deux auteurs ont utilisés l'approche de
la couche limite. La méthode numérique de résolution suivie par Wickern est celle de Keller's
box tandis que Saeid a appliqué la méthode des différences finies. Nous avons collecté les
résultats propres à la position verticale de la plaque de ces deux études et avons adoptés des
conditions analogues à celles prises par les deux auteurs. Ces conditions se résument à la
fixation du nombre de Reynolds, de l'angle d'inclinaison à 0° (position verticale) et à la
variation du nombre de Richardson entre 0 et 1. La variation de ce dernier paramètre
Chapitre IV Résultats et discussion
55
adimensionnel s'effectue par l'intermédiaire du nombre de Grashof. Les résultats d'évolution
du nombre de Nusselt local (NuLReL-1/2), en fonction du nombre de Richardson, qui sont
illustrés sur la figure IV.1 montrent un bon accord entre nos résultats et ceux obtenus par les
deux auteurs.
Pour justifier, une fois de plus, l'exactitude de nos résultats numériques nous les avons
confrontés à ceux obtenus par J.a. Souza [15]. Ce dernier a étudié le problème de frottement
de l'air qui s'écoule sur une plaque plane, de longueur finie, en oscillation par rapport à un axe
parallèle à sa surface et qui est aussi en mouvement. On note que cette étude a été effectuée, à
partir des équations généralisées tout comme notre approche. Le glissement des résultats de
cet auteur sur les nôtres est obtenu par une simple fixation de l'angle d'inclinaison de la plaque
et du nombre de Reynolds. La figure IV.2 montre un très bon accord entre nos résultats et
ceux de Souza dans tout le domaine de variation du nombre de Richardson que nous avons
exploré (0-5). Dans ce cas, le Nusselt étudié est le Nusselt local (NuL ReL-1/2).
Chapitre IV Résultats et discussion
56
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,2
0,3
0,4
0,5
Wickern[11] ; N. H. Saeid [16] présent travail
Nu LR
e L-1/2
Ri
Pr = 0.72
Figure IV.1 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson
de l'air sur une plaque verticale
0 1 2 3 4 50,2
0,4
0,6
0,8
Pr=0.72
Nu LR
e L-1/2
Ri
J.a. Souza[15] présent travail
Figure IV.2 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson
Chapitre IV Résultats et discussion
57
IV.3 Résultats de la convection mixte dans le cas favorable
IV.3.1 Cas de l'air (Pr = 0.72)
IV.3.1.1 Influence du nombre de Richardson sur la convection
(0≤Ri≤5)
Cas d'une plaque plane verticale (α=0°)
● Champ dynamique La figure IV.3 (a) présente la variation du profil de la vitesse longitudinale
adimensionnelle en fonction du coordonnée adimensionnelle Y pour différentes valeurs du
nombre de Richardson à la position X=0.9, voisine du bord de sortie. La composante de la
vitesse locale, due à la convection naturelle, est maximale en cette abscisse. En effet, à cette
abscisse et au voisinage de la surface la température du fluide est très élevée. Ce gradient de
température amplifie le phénomène de la convection naturelle. On remarque que
l'augmentation du nombre de Richardson Ri accélère l'écoulement au voisinage de la paroi. Le
profil de vitesse présente un maximum dans le domaine de coordonnée Y 0-0.01. Ce résultat
s'explique par le fait que la convection naturelle, apparaissant dans ce cas, augmente la vitesse
des particules fluides au voisinage de la paroi. Cette accélération conduit à une diminution de
l'épaisseur de la couche limite dynamique et donc à des gradients de vitesse pariétaux
importants d'où des transferts thermiques pariétaux accrus. Sachant qu’à la valeur Ri=0
l’écoulement est due à une convection forcée pure. Pour les faibles valeurs de Ri l'écoulement
forcé reste prépondérant sur toute la plaque. Nous avons observé que la convection mixte
n’apparaît qu’à partir de Ri ≥0.5 où l'on remarque que la vitesse, dans cette abscisse, devient
plus importante que la vitesse imposée à l'entrée.
La figure IV.4 illustre, pour divers nombres de Richardson Ri, la variation de la vitesse
longitudinale adimensionnelle en fonction du coordonnée adimensionnelle Y le long de la
plaque (X=0.1-1). Nous observons que l'accroissement du nombre de Richardson favorise
l'apparition précoce de la convection mixte le long de la plaque. Ce phénomène se généralise
sur toute la plaque à partir de Ri ≥ 5. Pour cette raison, cette valeur de Ri=5 est prise comme
limite dans notre étude.
Chapitre IV Résultats et discussion
58
● Champ thermique
La figure IV.3 (b) représente l'évolution de la température adimensionnelle en fonction
de la coordonnée transversale Y pour diverses valeurs de Ri. Pour cette position verticale de la
plaque, l'augmentation du nombre de Richardson Ri, provoque une diminution de l'épaisseur
de la couche limite thermique. Ceci s'explique par des gradients thermiques pariétaux
importants. Pour Ri=0, nous obtenons une couche limite thermique dont l'épaisseur est
voisine de celle dynamique. Ce résultat numérique est en bon accord avec la relation classique
δt/δ=Pr-1/3 [3]. Ce résultat est aussi confirmé par les courbes de la figure IV.5.
La figure IV.6 représente les variations des épaisseurs, au bord de sortie X=0.9, de la
couche limite dynamique et thermique adimensionnelles en fonction de Ri. On remarque que
l'augmentation de Ri, diminue les épaisseurs de la couche limite dynamique et thermique. Ce
résultat montre que la convection naturelle contribue à accélérer l'écoulement et à augmenter
l’échange thermique avec la paroi.
Les figures IV.7-IV.8 illustrent les variations du nombre de Nusselt local et le
coefficient de frottement en fonction du nombre de Richardson. Elles montrent que
l'augmentation de Ri accroît le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement. Ceci
s'explique, sous l'effet de la contribution de la convection naturelle, par l'accroissement du
gradient de la vitesse et de la température au voisinage de la paroi. Sur cette dernière courbe
on peut lire que la valeur initiale du paramètre ((1/2) Cf, L ReL1/2) est de l’ordre de 0.5,
valeur différente de celle donnée par Blasius (0.332). Cette différence provient du faite que,
dans notre étude, nous n’avons pas adopté les mêmes approximations que ce dernier. Ce
résultat est corroboré par les travaux de Bianchi cité par Souza et al.
Chapitre IV Résultats et discussion
59
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(b)
θ
Y
α = 0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=0.1 Ri=0.5 Ri=1 Ri=2 Ri=3 Ri=4 Ri=5
Figure IV.3 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson.
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
(a)
U
Y
α = 0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=0.1 Ri=0.5 Ri=1 Ri=2 Ri=3 Ri=4 Ri=5
Chapitre IV Résultats et discussion
60
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0.1 , α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri=0.5 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
U
Y
Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
U
Y
Ri=2 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
U
Y
Ri=5 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
Figure IV.4 : Evolution de la vitesse longitudinale adimensionnelle le long de l'abscisse pour différents nombres de Richardson.
Chapitre IV Résultats et discussion
61
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=2 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=5 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=0.5 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=2 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=5 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
Figure IV.5 : Evolution de la température adimensionnelle le long de l'abscisse pour différents nombres de Richardson.
Chapitre IV Résultats et discussion
62
Figure IV.6 : Evolution des épaisseurs de la couche limite thermique (δt/L) et dynamique (δ/L) en fonction du nombre de Richardson.
0 1 2 3 4 5
0,008
0,009
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
Ep. d
e la
cou
che
limite
RiL
δ/L δt/L
Figure IV.7 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson
0 1 2 3 4 5
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Nu LR
e L-1/2
RiL
α = 0° ; Pr = 0.72
Figure IV.8 : Variation de (1/2) Cf, L Re1/2L en fonction du nombre de Richardson
0 1 2 3 4 5
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
(1/2
) Cf,L
Re L1/
2
RiL
α = 0° ; Pr = 0.72
Chapitre IV Résultats et discussion
63
IV.3.1.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur la convection Afin d'étudier l'effet de l'inclinaison de la plaque sur le phénomène de la convection
mixte, nous avons fait varier l'angle d'inclinaison α de la plaque entre deux positions limites:
α =0° et α =90°, respectivement, plaque verticale et plaque horizontale. Nous présentons les
résultats obtenus au milieu de la plaque (X=0.5). Les résultats des autres positions (X=0.1) et
(X=0.9) sont en annexe (B).
Nous constatons à partir des figures IV.9-IV.10 que, quelque soit l'inclinaison de la
plaque, l'apparition de la convection mixte commence toujours vers le bord de sortie. Sachant
que l'inclinaison de la plaque, par rapport à la verticale, fait apparaître deux composantes de la
vitesse de l'écoulement due à la convection naturelle. Une composante qui est dirigée dans le
sens de l'écoulement dépend du cos(α) et l'autre, dirigée dans le sens transversal, dépend de
sin(α). La composante parallèle est maximale pour une position verticale, ceci justifie
l'apparition précoce de la convection mixte pour les faibles valeurs de α.
L'influence de l'inclinaison sur le développement de la convection mixte au milieu de
la plaque apparaît pour des nombres de Richardson supérieurs à 0.5. L'accroissement de
l'angle d'inclinaison diminue la composante longitudinale de la vitesse. Ce résultat a pour
effet de retarder la formation de la convection mixte.
En convection forcée pure (Ri=0), on remarque que les profils de la vitesse et de la
température sont identiques quelque soit l'angle d'inclinaison. Pour un nombre de Richardson
supérieur à 0.5, l’inclinaison de la plaque influence l’apparition de la convection mixte, la
vitesse de l’écoulement et l’épaisseur de la couche limite. Ce résultat est une conséquence de
la diminution de la vitesse du fluide et de l’augmentation des épaisseurs dynamique et
thermique de la couche limite.
Les figures IV.11-IV.12 illustrent les variations du nombre de Nusselt local et le
coefficient de frottement en fonction du nombre de Richardson pour différentes valeurs de
l'angle d'inclinaison de la plaque. Ces courbes montrent que l'augmentation de α décroît le
coefficient de frottement et le nombre de Nusselt. Cette influence est faible pour
0°≤ α ≤60° et elle devient plus importante lorsque la plaque tend vers la position
horizontale 60°≤ α.≤90°. Ceci s'explique par la diminution de la contribution de la convection
naturelle sur l’écoulement.
Chapitre IV Résultats et discussion
64
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
U
Y
Ri=5 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri =0.5 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri =1 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
U
Y
Ri =2 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
U
Y
Ri =3 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
Figure IV.9 : Evolution transversale de la vitesse adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson à la position X =0.5
Chapitre IV Résultats et discussion
65
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri =2 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
Figure IV.10 : Evolution transversale de la température adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson à la position X = 0.5
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=0 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri =0.5 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri =3 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri =3 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri = 5 ; X = 0.5 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
Chapitre IV Résultats et discussion
66
Figure IV.11 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson pour
différents angles d'inclinaison de la plaque
Figure IV.12 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson pour
différents angles d'inclinaison
0 1 2 3 4 5
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°
(1/2
) Cf,L
Re L1/
2
RiL
Pr = 0.72
0 1 2 3 4 5
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°
Nu LR
e L-1/2
RiL
Pr = 0.72
Chapitre IV Résultats et discussion
67
IV.3.2 Cas de l'eau (Pr =7.0)
IV.3.2.1 Influence du nombre de Richardson sur la convection
(0≤Ri≤10)
Cas d'une plaque plane verticale (α=0°)
Les figures IV.13 – IV.15 présentent l'influence du nombre de Richardson Ri, sur les
profils de la vitesse et de la température en fonction du coordonnée adimensionnelle Y et pour
différentes positions X. Nous rappelons que la valeur Ri=0 correspond à la convection forcée
seule (l'absence totale de la convection naturelle).
La figure IV.13 : (a et b) représente, à la position X=0.9, les variations du profil de la
vitesse longitudinale adimensionnelle U et du profil de la température adimensionnelle θ
successivement. On remarque que l'augmentation du nombre de Richardson Ri, accélère
l'écoulement au voisinage de la paroi et le profil de vitesse présente un maximum puis décroît
jusqu’à la frontière de la couche limite dynamique. Ce résultat s'explique par la contribution
de la convection naturelle dans l'écoulement qui apparaît par une accélération des particules
fluides au voisinage de la paroi. Cette accélération conduit à une diminution des épaisseurs de
la couche limite mais ce rétrécissement est plus sensible dans le champ dynamique que
thermique. Ceci est du à des gradients de vitesse et de température importants. On constate
qu’au bord de sortie de la plaque, la convection mixte apparaît à partir de Ri ≥4. Ce résultat
est justifié par la figure IV.14 où l’on observe que la vitesse U dépasse l’unité. Les courbes de
la figure IV.15 représentent l’évolution de la température le long de l’abscisse pour différents
Ri.
La figure IV.16 représente les variations, en fonction de Ri, des épaisseurs
adimensionnelles de la couche limite dynamique et thermique. On remarque que
l'augmentation de Ri provoque une diminution des deux épaisseurs. Dans le domaine de Ri
exploré l'épaisseur de la couche limite thermique reste inférieure de celle dynamique. Ce
résultat numérique est en bon accord avec la relation classique donnée pour la convection
forcée δt/δ=Pr-1/3 [3].
Les figures IV.17-IV.18 illustrent les variations du nombre de Nusselt local et le
coefficient de frottement en fonction du nombre de Richardson. Elles montrent que
l'augmentation du Ri, accroît le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement. Ceci
s'explique par l'accroissement du gradient de la vitesse et de la température au voisinage de la
paroi, causé par la contribution de la convection naturelle qui augmente avec Ri.
Chapitre IV Résultats et discussion
68
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
(a)
U
Y
α =0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=1 Ri=2 Ri=4 Ri=6 Ri=8 Ri=10
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(b)
θ
Y
α =0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=1 Ri=2 Ri=4 Ri=6 Ri=8 Ri=10
Figure VI.13 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson
Chapitre IV Résultats et discussion
69
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri=4 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
U
Y
Ri=6 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
U
Y
Ri=8 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
U
Y
Ri=10 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1
Figure IV.14 : Evolution de la vitesse longitudinale adimensionnelle le long de l'abscisse pour différents nombres de Richardson
Chapitre IV Résultats et discussion
70
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=10 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=0 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=4 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=10 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=8 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1
Figure IV.15: Evolution de la température adimensionnelle le long de l'abscisse en fonction de Y pour différents nombres de Richardson
Chapitre IV Résultats et discussion
71
Figure IV.16 : Evolution des épaisseurs de la couche limite thermique (δt /L) et dynamique (δ/L) en fonction du nombre de Richardson
0 2 4 6 8 100,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
Ep. d
e la
cou
che
limite
RiL
δ/L δt/L
Figure IV.17 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson
0 2 4 6 8 100,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Nu LR
e L-1/2
R iL
α = 0° ; Pr = 7.0
Figure IV.18 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson
0 2 4 6 8 10
0,5
1,0
1,5
2,0
(1/2
) Cf,L
Re L1/
2
R iL
α = 0° ; Pr = 7.0
Chapitre IV Résultats et discussion
72
IV.3.2.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur la convection Les figures IV.19-IV.20 schématisent les variations adimensionnelles de la vitesse U
(X=0.5) et de la température θ (X=0.9) en fonction de Y. L’étude porte sur différentes valeurs
de l'angle et diverses valeurs du nombre de Richardson. Comme pour l’air, on remarque
également que l'apparition de la convection mixte commence toujours au bord de sortie de la
plaque est-ce quelque soit l'inclinaison mais l'augmentation de celui-ci par rapport à la
verticale provoque une diminution de la vitesse et retarde l'apparition de la convection mixte.
Pour un nombre de Richardson nul (Ri=0), on note que, quelque soit la valeur de (α), les
profils de vitesse sont identiques et celles de la température aussi. Les épaisseurs dynamique
et thermique de la couche limite augmentent d’avantage lorsque l'inclinaison de la plaque tend
vers la position horizontale.
Les variations, en fonction du nombre de Richardson, du nombre de Nusselt et du
coefficient de frottement sont représentées sur les figures IV.21-IV.22. L’étude prend en
considération l’influence de l'angle d'inclinaison. L’évolution des deux paramètres montre une
augmentation avec Ri et une diminution avec l'accroissement de l'angle d'inclinaison. Ce
résultat est une conséquence de l'effet de la convection naturelle dans l'écoulement au
voisinage de la paroi. On remarque que l’influence de l’inclinaison sur ces deux derniers
paramètres est faible pour des angles 0°≤α ≤60° et elle devient assez importante lorsque la
plaque tend vers la position horizontale 60°≤α≤90°.
Chapitre IV Résultats et discussion
73
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=1 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=4 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri=8 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri=8 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri=10 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°
Figure IV.19 : Evolution transversale de la vitesse adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson
Chapitre IV Résultats et discussion
74
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Pr = 7.0 ; Ri = 0 ; X = 0.9
Figure IV.20 : Evolution transversale de la température adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson.
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Pr = 7.0 ; Ri = 6 ; X = 0.9
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Pr = 7.0 ; Ri = 10 ; X = 0.9
Chapitre IV Résultats et discussion
75
Figure IV.22 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson pour
différents angles d'inclinaison
0 2 4 6 8 10
0,5
1,0
1,5
2,0
α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°
(1/2
) Cf,L
Re L1/
2
RiL
Pr = 7.0
Figure IV.21 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson pour
différents angles d'inclinaison
0 2 4 6 8 100,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°
Nu LR
e L-1/2
RiL
Pr = 7.0
Chapitre IV Résultats et discussion
76
IV.3.3 Etude comparative entre les résultats de l'air (Pr = 0.72) et de
l'eau (Pr =7.0) Dans cette étude nous avons comparer les résultats de deux fluides différents, en
l’occurrence, l’air (Pr= 0.72) et l’eau (Pr=7.0). L’étude est effectuée sur plusieurs points de
la plaque : X = 0.1 ; 0.5 et 0.9 et pour deux nombres de Richardson critiques : R i = 0
et 5.
La figure IV.23 représente les variations adimensionnelles de la vitesse et de la
température en fonction du coordonnée adimensionnelle Y. Pour la convection forcée pure
(Ri=0), on remarque que les profiles de la vitesse des deux fluides sont identiques par contre
ceux de la température sont distincts. Dans ce cas, les deux fluides donnent, la même
épaisseur dynamique mais les épaisseurs thermiques sont différentes. En effet, comme nous
sommes dans le cas d’un écoulement forcé, qui peut être expliqué par la relation de Blasius
(δ/x = 4.92 Re-1/2 ) qui montre que l’épaisseur dynamique ne dépend que du nombre de
Reynolds. A l’inverse, l’épaisseur de la couche limite thermique dépend, en plus du nombre
de Reynolds, du nombre de Prandtl selon la relation δt/δ =Pr-1/3 [3, 10], valable
dans le domaine des fluides 0.6≤Pr≤50. Comme ce dernier dépend de la nature du fluide, il
influe donc sur la valeur de δt.
La figure IV.24 représente les évolution de la vitesse et de la température
adimensionnelles en fonction de la coordonnée transversale Y, pour diverses valeurs de Ri
tandis que les autres paramètres sont fixés à α=0° et X=0.9. On note que les courbes de la
vitesse de l'air sont plus grandes que celles de l'eau.
La figure IV.25 représente les évolution de la vitesse (a,b,c) et de la température (d,e,f)
adimensionnelles en fonction de la coordonnée transversale Y, pour diverses valeurs de α et
différentes positions X. Pour une convection forcée pure (Ri=0), on observe que les profils de
vitesse sont identiques quelque soit la valeur de (α) et du nombre de Prandtl alors que ceux de
la température sont sensibles au nombre de Prandtl.
Chapitre IV Résultats et discussion
77
La figure IV.26 schématise les variations adimensionnelles de la vitesse (a, b, c) et de
la température (d, e, f) en fonction du coordonnée adimensionnelle Y, pour différentes valeurs
de l'angle et différentes positions X. Pour un nombre de Richardson différent de zéro (Ri=5),
on remarque que l'apparition de la convection mixte commence toujours vers le bord de sortie
de la plaque est-ce quelque soit l'inclinaison. L'augmentation de l'angle d'inclinaison par
rapport à la verticale provoque une diminution de la vitesse dans la couche limite et retarde la
naissance de la convection mixte. Les épaisseurs dynamique et thermique de la couche limite
augmentent avec l'angle d'inclinaison et diminuent avec le nombre de Prandtl.
Chapitre IV Résultats et discussion
78
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(a)
U
Y
X=0.9 , α =0°,Ri=0 Pr=0.72 , ...... Pr=7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(b)
θ
Y
X=0.9 , α =0°,Ri=0 Pr=0.72 , ...... Pr=7.0
Figure IV. 23: Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Prandtl et Ri=0
Chapitre IV Résultats et discussion
79
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
(a)
Ri = 1 ; 2 ; 4 ; 5
U
Y
X=0.9 , α =0° Pr=0.72 , ----- Pr=7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(b)
Ri = 1 ; 2 ; 4 ; 5
θ
Y
X=0.9 , α =0° Pr=0.72 , ----- Pr=7.0
Figure IV. 24 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson et de Prandtl
Chapitre IV Résultats et discussion
80
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(f)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Ri=0 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(a)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
U
Y
Ri=0 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(d)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Ri=0 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(b)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
U
Y
Ri=0 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(e)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Ri=0 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(c)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
U
Y
Ri=0 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
Figure IV. 25 : Variation transversale de: (a),(b), (c) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (d), (e), (f) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et nombres de Prandtl (cas de Ri=0)
Chapitre IV Résultats et discussion
81
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
(a)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
U
Y
Ri=5 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(d)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Ri=5 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
(b)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
U
Y
Ri=5 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(e)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Ri=5 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
(c)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
U
Y
Ri=5 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(f)
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
θ
Y
Ri=5 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0
Figure IV. 26 : Variation transversale de: (a),(b), (c) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (d), (e), (f) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et nombres de Prandtl, Ri=5
Chapitre IV Résultats et discussion
82
IV.4 Résultats de la convection mixte dans le cas défavorable
Nous présentons les résultats de l'étude numérique de la convection mixte dans le cas
défavorable où la convection naturelle agit dans le sens inverse de la convection forcée.
L’étude suivante est effectuée pour l'air (Pr = 0.72).
L’ensemble des figures IV.27-IV.37 représente l'influence du nombre de Richardson Ri,
sur les champs de la vitesse et de la température. Dans ce cas où la convection naturelle se
dirige contrairement à l'écoulement potentiel nous avons remarqué, de la figure IV.27 (a), que
les deux types de convection naturelle et forcée deviennent du même ordre de grandeur
lorsque Ri est compris dans le domaine : 0.2- 0.22. Au delà de cette valeur, il y’a apparition
d’un écoulement inverse prés de la paroi, provoquant ainsi le décollement de l'écoulement.
Les figures IV.32-IV.36, qui schématisent les contours de variations de la vitesse et de la
température, montrent que ce point de décollement avance vers le bord d'attaque de plus en
plus que le nombre de Richardson Ri augmente.
L'effet de l'angle d'inclinaison sur le décollement de l'écoulement, pour divers Ri est
montré sur la figure IV.29. Le phénomène de décollement est obtenu lorsque le coefficient de
frottement pariétal s'annule. Pour un nombre de Richardson constant on remarque que
l'augmentation de l'angle d'inclinaison retarde le décollement de l'écoulement parce que la
force de la poussée thermique agissant dans le sens inverse de l'écoulement potentiel est
diminuée avec l'augmentation de l'angle d'inclinaison. La figure IV.28 montre que
l'augmentation du nombre de Richardson Ri, provoque une atténuation du nombre de Nusselt.
Ce résultat est causé par les variations simultanées du gradient de vitesse et, surtout, celui de
la température avec Ri, comme la montre la figure IV.27.
Chapitre IV Résultats et discussion
83
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(a)
U
Y
α = 0° ; X = 0.9 Ri = 0 Ri = 0.10 Ri = 0.20 Ri = 0.22 Ri = 0.25
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
(b)
θ
Y
α = 0° , X = 0.9 Ri = 0 Ri = 0.10 Ri = 0.20 Ri = 0.22 Ri = 0.25
Figure IV. 27 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson
Chapitre IV Résultats et discussion
84
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
Nu LR
e L-1/2
RiL
Pr = 0.72
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°
(1/2
) Cf,L
Re L1/
2
RiL
Pr = 0.72
Figure IV.28 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson pour différents angles d'inclinaison
Figure IV.29 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson pour
différents angles d'inclinaison
Chapitre IV Résultats et discussion
85
Figure IV.30 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.10
Chapitre IV Résultats et discussion
86
Figure IV.31 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.10
Chapitre IV Résultats et discussion
87
Figure IV.32 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.22
Chapitre IV Résultats et discussion
88
Figure IV.33 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.22
Chapitre IV Résultats et discussion
89
Figure IV.34 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.25
Chapitre IV Résultats et discussion
90
Figure IV.35 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.25
Chapitre IV Résultats et discussion
91
Figure IV.36 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=1
Chapitre IV Résultats et discussion
92
Figure IV.37 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=1
Chapitre IV Résultats et discussion
93
CONCLUSION GENERALE
L’étude que nous avons effectuée a portée sur une convection mixte au dessus d’une plaque
plane isotherme et inclinée d'un angle α par rapport à la verticale. En effet, l’échauffement
(ou refroidissement) d'un plan donne, dans le fluide, naissance à une convection naturelle qui
perturbe l’écoulement forcée. L'écoulement, dans ce cas, est dit mixte. Son étude est effectuée
à l'aide du nombre de Richardson (Ri=Gr/Re2).
Le test de validation de notre programme de calcul est justifié grâce à la bonne
concordance trouvée entre nos résultats et ceux de la littérature [11, 15, 16]. Les résultats
obtenus dans le cas favorable montrent, pour toute inclinaison α de la plaque, un
développement d'une couche limite d’épaisseur finie. D'après ces résultats, l’étude peut être
simplifiée par l’approximation de Prandtl. Cependant, cette confirmation ne reste valable que
dans le domaine de Richardson exploré, à savoir : Ri=0-5 pour l’air et Ri=0-10 pour l’eau.
La synthèse des résultats nous permet de dégager les points suivants :
Pour l’air, la convection mixte apparaît sur le bord de sortie, à partir de
Ri = 0.5. Elle se développe le long de la surface, au fur et à mesure que le
nombre de Richardson augmente. Elle se généralise pour Ri = 5.
Pour l’eau, on observe un comportement identique à celui de l’air sauf que,
pour obtenir une convection mixte sur l’ensemble de la plaque, il faut
augmenter le nombre de Richardson au-delà de 10 et que la convection mixte
ne commence qu'à partir de Ri = 4.
L'augmentation du nombre de Richardson Ri accélère l'écoulement et favorise
les changes thermiques. Ceci provoque une diminution des épaisseurs de la
couche limite thermique et dynamique.
Pour la convection forcée pure (Ri = 0), les profils de la vitesse et de la
température sont indépendants de l'inclinaison de la plaque.
Pour une convection mixte (Ri ≠ 0), l’épaisseur de la couche limite augmente
légèrement avec l’inclinaison de la plaque.
Conclusion générale
94
Le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement augmentent avec
l'accroissement de Ri et diminuent avec l'augmentation de α. Pour la valeur
spécifique α = 90° (la plaque horizontale), ces grandeurs varient légèrement
avec l'augmentation de Ri.
L’accroissement du nombre de Prandtl a pour effet de diminuer l'épaisseur de
la couche limite thermique.
L’épaisseur (δt) de la couche limite thermique varie avec le nombre de Pr,
l’inclinaison de la surface et le nombre de Richardson. Par contre, la couche
limite dynamique ne dépend que des deux derniers paramètres.
Pour l'air, les résultats obtenus dans le cas défavorable se résument aux points suivants :
Lorsque la convection naturelle devient du même ordre de grandeur que la
convection forcée, il se crée un écoulement inverse prés de la paroi ce qui
provoque un décollement de la couche limite en induisant ainsi une turbulence.
Un décollement apparaît vers la fin de la plaque pour Ri = 0.22. Au-delà de
cette valeur, l’écoulement est aléatoire et on ne peut parler de couche limite.
Conclusion générale
95
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Bibliographie
99
ANNEXES
Les relations fondamentales utilisées pour valide nos résultats numériques sont exprimées par
[3], [7], [9], [10].
Cas d'une plaque plane : couche limite laminaire bidimensionnelle. ● Coefficient de frottement ● L'épaisseur de couche limite dynamique ● Les épaisseurs de couches limites dynamique δ, et thermique δt, et le nombre de Prandtl - Pour Pr=1, δ=δt
- Pour Pr >1, δ>δt
- Pour Pr <1, δ<δt
● Nombre de Nusselt La corrélation de Pohlhausen's pour un écoulement laminaire sur une surface plane,
pour différentes valeurs de Pr est :
Pour 0.6 ≤ Pr ≤ 50
Pour 0.6 ≤ Pr ≤ 50
Annexe A
( )1.Re664.0
21 2
Au
Cx
wf ==
∞ρ
τ
( )2.Re92.4 A
x x
=δ
31
Pr−
=δδ t
31
21
PrRe332.0 xxNu =
100
- Cas d'un nombre de Prandtl très inférieur à l'unité
Annexe A
21
Pr−
≈δδ t
21
21
PrRe xxNu ≈
101
Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur la convection cas de l'air (Pr=0.72)
Les résultats des évolutions de U et de θ obtenus pour les positions près du bord
d'attaque (X=0.1) et vers la fin de la plaque (X=0.9). Les figures représentent l'Influence de
l'angle d'inclinaison sur les profils de la composante longitudinale de la vitesse
adimensionnelle et de la température adimensionnelle pour différents nombres de Richardson.
Annexe B
102
Annexe B
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=0.5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=1 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=2 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri=3 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri=5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
Figure B.1 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la composante longitudinale de la vitesse adimensionnelle pour différents nombres de Richardson
103
Annexe B
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=0 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=0.5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=1 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=2 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=3 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri=5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°
Figure B.2 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la température adimensionnelle pour différents nombres de Richardson
104
Annexe B
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U
Y
Ri =0 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
U
Y
Ri =0.5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
U
Y
Ri = 1 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
U
Y
Ri = 2 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
U
Y
Ri = 3 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
U
Y
Ri = 5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
Figure B.3 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la composante longitudinale de la vitesse adimensionnelle pour différents nombres de Richardson
105
Annexe B
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri =0 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri =0.5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri = 1 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri = 2 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri = 3 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ
Y
Ri = 5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°
Figure B.4 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la température adimensionnelle pour différents nombres de Richardson
106
ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN
CONVECTION MIXTE : EFFET DE L'INCLINAISON DE LA
PAROI
Résumé
Le travail consiste en une étude numérique de la convection mixte d’un écoulement
laminaire et permanent sur une plaque plane isotherme et inclinée. Le fluide est newtonien et
incompressible avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où l'hypothèse de
Boussinesq est adoptée et une dissipation visqueuse négligeable. Le système d'équations aux
dérivées partielles est résolu numériquement par la méthode des volumes finis ou la
correction de la pression et de la vitesse est obtenue par L'algorithme SIMPLER. Cette
discrétisation donne un système matriciel tridiagonal dont la résolution est obtenue par
l'application de l'algorithme de Thomas.
L’étude est effectuée pour deux fluides: l'air (Pr = 0.72) et l'eau (Pr = 7.0), nous avons
validé les résultats numériques de notre modèle par leur comparaison avec des travaux
antérieurs. Les résultats présentés traitent : (i) cas favorable où la convection naturelle
favorise l’écoulement forcé et, (ii) cas défavorable dans lequel la convection naturelle
s’oppose à l’écoulement forcée. Dans tout les cas, l'évolution, en fonction du nombre de
Richardson et de l'angle d'inclinaison, des champs de température et de vitesse ainsi que le
nombre de Nusselt et le coefficient de frottement sont présentés. Nous avons trouvé que ces
paramètres (Ri, α), influent sur la vitesse de l'écoulement, la séparation de l'écoulement, les
épaisseurs des couches limites thermique et dynamique ainsi que sur le transfert de chaleur.
Mots-clés : convection mixte ; plaque inclinée; volumes finis; écoulement laminaire ;
transfert de chaleur
STUDY OF A LAMINAR BOUNDARY LAYER IN MIXED
CONVECTION: EFFECT OF THE INCLINATION ANGLE
Abstract This Work consists of a numerical study of the mixed convection of a laminar and
permanent flow over an isothermal inclined flat plate. The fluid is Newtonian and
incompressible with constant properties except in the term of gravity where the Boussinesq
approximation is adopted and a negligible viscous dissipation. The system of partial
derivative equations of the flow is solved numerically by the method of finite- volume. The
pressure and velocity fields are determined via the well-known SIMPLER algorithm. This
discretization gives a tridiagonal matrix system which is solved by algorithm of Thomas.
The study is carried out for two fluids: air (Pr = 0.72) and water (Pr = 7.0), we validated
the numerical results of our model by their comparison with former works. The results treat:
(i) favorable case when the natural convection supports the forced flow and, (ii) unfavorable
case in which the natural convection is opposed to the forced flow. For all cases, the evolution
of temperature and velocity fields as well as the Nusselt number and the coefficient of friction
are presented with Richardson number and inclination of the plate. We found that these
parameters (Ri, α) influences the velocity of the flow, the separation of the flow, the
thicknesses of boundary layer thermal and dynamic like on the transfer of heat.
Key words: mixed convection; inclined plate; finite-volume; laminar flow; heat transfer
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