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QUESTÕES DE CÁLCULO DA ESCOLA NAVAL DE 2006 A 2010
QUESTÃO 1 EN 2010
RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO:
3 3
1 x xf 0 x f x 0 arctg x 0 x 0 x 0 x 3
3 3
x 1 x 3
O ponto do gráfico de 1f citado no enunciado é 0, 3 .
3 3x x
y f x arctg x , x 1 tg y x e y ,3 3 2 2
Cálculo da derivada da função inversa: 3 2 2
2
2
y 3y sec xtg x y sec x y ' y ' y '
3 3 y 1
A derivada de 1f em 0, 3 é
2 2
2 2
sec x sec 0 1y '
2y 1 3 1
A equação da reta L é dada, na forma segmentária, por:
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1 x x y
y 3 x 0 y 3 12 2 2 3 3
Logo, a área do triângulo determinado por L e pelos eixos coordenados é: 2 3 3
S 3 u.a.2
Uma outra forma de obter a derivada da função inversa no ponto é derivar a expressão original em
relação a y.
3 3
22 32
2 2 23 3
x d x dxy f x arctg x 1 arctg x
3 dx 3 dy
9 x 1 x 3x 91 3x dx dx dx1 1 1
3 dy dy dy 9 x 1x x 3x 9x 1
3
23
2
3 3 3 9dx 9 1
x 3dy 18 2
9 3 1
QUESTÃO 2 EN 2010
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RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO:
I) FALSA
Contra-exemplo: f tem máximo local em 0x x se 0 0 0f ' x f '' x f ''' x 0 e 4
0f x 0
II) FALSA
Contra-exemplo: 0 0f ' x f '' x 0 e 0f ''' x 0 , então f tem ponto de inflexão em 0x x .
III) FALSA
Contra-exemplo: Seja f : 0,1 1,2 0,1 tal que
x , se x 0,1f x
x 1, se x 1,2
. f tem derivada
estritamente positiva em todo o seu domínio, mas não é crescente em todo o seu domínio.
Uma afirmativa correta seria: “Se f é contínua no intervalo I e f tem derivada estritamente positiva
em todo ponto interior a I, então f é estritamente crescente em I.”
IV) FALSA
Contra-exemplo:
1x a g xx a
x a x a
x a
f x 1 x a lim f x 1
lim f x lim 1 x a e1g x lim g x
x a
V) FALSA
s 0 2s 0
f x f x 2s f x f x 2slim lim f ' x
2s 2s
QUESTÃO 3 EN 2010
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
2x 1
2
e 1f x
ln 4 x
2x 1 2x 1 0
2f
2 2
1e 1 0 e e 2x 1 0 x
21
4 x 0 2 x 2 A D , 3 3,22
ln 4 x 0 4 x 1 x 3
1 1 1 1
x x x x2
1 1g x x e g ' x e x e e 1 0
xx
x 10 x 0 x 1 B ,0 1,
x
1
A B , 3 3,2 ,0 1, 1, 3 3,22
QUESTÃO 4 EN 2010
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
1
sen6x cos x sen7x sen5x2
1 1 1sen6x cos xdx sen7x sen5x dx sen7x d 7x sen5x d 5x
2 14 10
1 1 cos7x cos5xcos7x cos5x c c
14 10 14 10
QUESTÃO 5 EN 2010
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RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
1 2
22AIB
IM M 1 2
S ABk 2 4
S M M
3 21 dmf k f 4 4 4 2 4 11 2 29 2min2
22 2dS d da dmS 6a 6a 12a 12 5 29 2 1740 2mindt dt dt
QUESTÃO 6 EN 2009
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RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 24 2
2 22 2
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 xdx dx dx dx
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 x
1 1 1 1dx dx dx dx arccos x arctg x C
1 x 1 x1 x 1 x
QUESTÃO 7 EN 2009
RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
2
2
dy d y 1 1 1 1dx sen 5x cos3xdx sen8x sen 2x dx sen8x sen 2x dx
dx 3 3 2 6dx
1 cos8x cos 2x cos8x cos 2xC C
6 8 2 48 12
dy cos8 0 cos 2 0 43 1 1 43x 0 C C C 1
dx 48 12 48 48 12 48
dy cos8x cos 2x1
dx 48 12
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*dy cos8x cos 2x 1 sen8x 1 sen 2xy dx 1 dx x C
dx 48 12 48 8 12 2
* *1 sen8 0 1 sen 2 0x 0 y 0 C 2 C 2
48 8 12 2
1 sen8x 1 sen 2xy x 2
48 8 12 2
1 sen8 4 1 sen 2 4x 4 y 4 2 4 2
48 8 12 2
O volume do cilindro será 2
3V 2 2 4 2 16 2 1 m .
QUESTÃO 8 EN 2009
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RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO:
x
f xln x
Determinação do domínio de f:
f
x 0D 0,1 1,
ln x 0 x 1
x 0 x
f xln x
x0 x 1 ln x 0 f x
ln x
xx 1 ln x 0 f x
ln x
Determinação dos intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
2 2
11 ln x
1 ln xx0 x 1 f ' xln x ln x
0 x 1 ln x 0 f ' x 0
2 2
11 ln x x
ln x 1xx 1 f ' xln x ln x
1 x e 0 ln x 1 f ' x 0
x e ln x 1 f ' x 0
0 x 1 f é crescente
1 x e f é decrescente
x e f é crescente
Logo, x e é um ponto de mínimo local.
Determinação dos limites nas extremidades do domínio e no ponto de descontinuidade.
x 0 x 0
xlim f x lim 0
ln x
x 1 x 1
xlimf x lim
ln x
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x x x x
x 1lim f x lim lim lim x
1ln x
x
Determinação da concavidade.
2
2 4 3
1 1ln x 1 ln x 2ln x
1 ln x ln x 2x x0 x 1 f ' x f '' xln x ln x x ln x
0 x 1 ln x 0 f '' x 0 concavidade para cima
2
2 4 3
2
2
1 1ln x ln x 1 2ln x
ln x 1 2 ln xx xx 1 f ' x f '' xln x ln x x ln x
1 x e 0 ln x 2 f '' x 0 concavidade para baixo
x e ln x 2 f '' x 0 concavidade para cima
Logo, em 2x e temos uma mudança de concavidade e consequentemente um ponto de inflexão.
Analisando os resultados obtidos, conclui-se que a melhor alternativa é a letra A.
QUESTÃO 9 EN 2009
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RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO:
300
1 1S
1 2
1
2
1
3
1
300
1 300
301 301
2 2
x x 1 1 x xf x x arcsen f ' x 1 arcsen x arcsen
6 6 6 6 36 xx1
6
300
2
301 301 300 3 3 1 2 3f ' S f ' f ' 3 arcsen
100 100 301 6 6 6336 3
QUESTÃO 10 EN 2009
RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
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1
f x x ln x, x 0
g f g 1 k f k 1 k 1 g 1 1
Usando a expressão da derivada da função inversa:
1 1 g xg ' x
g x 1 g x 1f ' g x
g x
1 x 1f x x ln x f ' x 1
x x
Derivando g ' para obter g '' com auxílio da fórmula de derivada do quociente:
2
g ' x g x 1 g x g ' xg xg ' x g '' x
g x 1 g x 1
Para obtermos g '' 1 , precisamos calcular g ' 1 :
g 1 1 1g ' 1
g 1 1 1 1 2
Podemos agora calcular g '' 1 :
2 2
1 11 1 1
g ' 1 g 1 1 g 1 g ' 1 12 2g '' 1 0,12581 1g 1 1
Vamos ver outra forma de resolver essa questão:
1
f x x ln x, x 0
g f g 1 k f k 1 k 1 g 1 1
1g f f g x x
Derivando a expressão acima implicitamente: f ' g x g ' x 1
Derivando novamente com o auxílio da regra para derivada do produto:
f '' g x g ' x g ' x f ' g x g '' x 0
Vamos obter agora os valores de f ' 1 , f '' 1 e g ' 1 :
1 x 1 1 1
f x x ln x f ' x 1 f ' 1 2x x 1
2
1 1f ' x 1 f '' x f '' 1 1
x x
1 1f ' g x g ' x 1 f ' g 1 g ' 1 1 f ' 1 g ' 1 1 g ' 1
f ' 1 2
Calculando o valor de g '' 1 :
2 2
2
f '' g 1 g ' 1 f ' g 1 g '' 1 0 f '' 1 g ' 1 f ' 1 g '' 1 0
1 11 2 g '' 1 0 g '' 1 0,125
2 8
Vamos ver ainda uma terceira solução:
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2
2
y ' yy x ln x x y ln y 1 y ' y '
y y 1
y ' y 'y y y ' y ' y ' y ' y ' y y '' y '' y ''
y 1
1 1g 1 1 x 1 y 1 y '
1 1 2
1 1
12 2y '' 0,1251 1 8
QUESTÃO 11 EN 2009
RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
(V)
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2 2
2 2
y x 2 y x 2 y x 8A 5,3 B 2,0 C 8,0
y x 8 y 0 y 0
AB 3 3 3 2AB AC triângulo isósceles
AC 3 3 3 2
(F)
2 2 2 22 2 2
2 2
y x2y x 6 1 a 3 e b 6 c 3 6 9 c 3
3 6
Centro O 0,0
Focos F 0,3 e F' 0, 3
A circunferência citada deve ter centro 0,0 e raio 3, logo terá equação 2 2 2x y 3 .
(F)
A afirmação diz que os limites laterais existem e são iguais a b, isso implica que o limite no ponto
existe e é igual a b. Não significa entretanto que o valor da função no ponto seja b, o que só é
verdade no caso de funções contínuas.
Assim, uma função f é contínua em a se, e somente se, x alim f x f a
.
(F)
Para que tenhamos um ponto de inflexão, devemos ter uma mudança de concavidade no ponto. Isso
ocorre quando há mudança de sinal da segunda derivada no ponto.
O fato de termos 0f '' x 0 não implica necessariamente em uma mudança de sinal de f '' em 0x .
Citando um contra-exemplo: 4 3 2f x x f ' x 4x f '' x 12x . Nesse caso, apesar de
f '' 0 0 , f '' não muda de sinal em 0. Nesse caso, o ponto de abscissa 0 é um ponto de mínimo
local e não um ponto de inflexão.
(V)
Considerando a lei dos senos a b c
ˆ ˆ ˆsen Bsen A sen C , conclui-se que o determinante citado possui
duas linhas proporcionais, logo é nulo.
QUESTÃO 12 EN 2009
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO:
Vamos mostrar como resolver essa questão usando integrais, entretanto a solução mais simples
combina geometria analítica e geometria plana, e dispensa o uso de integração.
Vamos inicialmente identificar os limites de integração
2 2 24x x x 4x x x x 0 x 0 x 2
A área será dada por:
22
2 2 22 20 0 0
0
222 2 2 02 2
0 0 0 2
00 02
2 22
xS 4x x x dx 4x x dx xdx 2
2
2 x4x x dx 4 2 x dx 2 1 dx 2 1 sen u 2cos udu
2
sen 2cos 2u 1 sen 2u sen 2 0 24 cos udu 4 du 2 u 2 0
2 2 2 2 2
2 x 2 x dxu arcsen sen u cos udu
2 2 2
Alternativamente, podemos observar o seguinte:
22 2 2 2 2y 4x x y 4x x y 0 x 2 y 2 y 0
Logo, essa equação representa uma semicircunferência de centro 2,0 e raio 2.
A área pedida é a área de um segmento circular de 90 em um círculo de raio 2.
21 2 2S 2 2
4 2
QUESTÃO 13 EN 2008
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
2 2
2 2
2 22 3 2 3
3 3
a bf x
sen x cos x
2a cos x 2b sen xf ' x a 2sen x cos x b 2cos x sen x
sen x cos x
Identificando as raízes da primeira derivada:
2 2 2
2 4 2 4 4
3 3 2
2a cos x 2b sen x a af ' x 0 a cos x b sen x 0 tg x tg x
bsen x cos x b
Efetuando o teste da segunda derivada:
2 3 2 3
2 3 2
2 3 2
2 2 2 2 2 2
f ' x 2a cos x cossec x 2b sen x sec x
f '' x 2a sen x cossec x cos x 3cossec x cossec x cotg x
2b cos x sec x sen x 3sec x sec x tg x
f '' x 2a cossec x 1 3cotg x 2b sec x 1 3tg x 0, x
Logo, os pontos de abscissa x tais que a
tg xb
são pontos de mínimo local.
Dessa forma, o valor mínimo relativo será:
2 2 2 2a a b a btg x tg x , cotg x , sec x 1 , cossec x 1
b b a b a
2 22 2 2 2
2 2
22 2MIN
a bf x a cossec x b sec x
sen x cos x
b af x a 1 b 1 a b a b a b
a b
QUESTÃO 14 EN 2008
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RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
2 cos 2x 14sen 2x cos xdx 4sen 2x dx 2sen 2x cos 2xdx 2 sen 2xdx
2
cos 4x cos 2x cos 4xsen 4xdx 2 sen 2xdx 2 C cos 2x C
4 2 4
QUESTÃO 15 EN 2008
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RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO:
2x 3x 2 2
21 x 3x2x 3x 2 2
2
21 3 1 2
2
f x e f 1 e P 1,e
1 2x 3 ef ' x e x 3x 2x 3
2 2 x 3x
2 1 3 e 5ef ' 1
42 1 3 1
2 2 2 2
1
y e 5e 5e eL y x
x 1 4 4 4
2 25e 5e
f ' 1 Q 1,4 4
2 2x 3x x 3x
2 2
2 2
12 2
2
22
2x 3 e 2x 3 ef ' x ln f ' x ln
2 x 3x 2 x 3x
1ln f ' x ln 2x 3 x 3x ln 2 ln x 3x
2
f '' x 2 1 1 2x 3x 3x 2x 3
f ' x 2x 3 2 2 x 3x
2 2x 3 2x 3f '' x f ' x
2x 3 2 x 3x2 x 3x
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22
22
2 2 1 3 2 1 3f '' 1 f ' 1
2 1 3 2 1 3 12 1 3 1
5e 2 5 5 41f '' 1 e
4 5 4 8 32
2
2 2 2
2
5ey
41e 41e e4L y xx 1 32 32 32
2 2 2 2
1 2
5e e 41e e 41 5 1 1 1L L x x x 81x 9 x
4 4 32 32 32 4 4 32 9
QUESTÃO 16 EN 2008
RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
1 5 3f ln3 k f k ln k k k ln3 k 1
' '1 1
1 1
4 2 4 2
5 3 5 3
1 1 1 1f x f ln 3
f ' 1 3f ' f x f ' f ln 3
5x 3x x 5 1 3 1 1f ' x f ' 1 3
x x x 1 1 1
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1f no ponto ln3,1 é '
1 1f ln 3
3
.
Logo, o coeficiente angular da reta normal é 1
31 3
.
Assim, a equação da reta normal ao gráfico de 1f no ponto ln3,1 é dada por:
y 13 y 1 3x 3ln3 y 3x ln 27 1
x ln3
QUESTÃO 17 EN 2008
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RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
g ' x f '' x sen x f ' x cos x f ' x cos x
f x sen x 2cos x sen x
g ' x f '' x f x sen x sen 2x
f '' x f x 0 g ' x sen 2x
cos 2x
g x sen 2x dx C2
QUESTÃO 18 EN 2008
RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
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2 23 3 2 3 2 23
23 3 2
1 3x 2xf x x x f ' x x x 3x 2x
33 x x
A expressão de f ' indica que a função não é derivável em 0 e 1, o que é confirmado pela análise
dos limites abaixo:
3 3 2
3
x 0 x 0 x 0 x 0
f x f 0 f x x x 1lim lim lim lim 1
x 0 x x x
23 3 2 2
333x 1 x 1 x 1 x 1
f x f 1 x x x x 1 xlim lim lim lim
x 1 x 1 x 1x 1
Assim, f é derivável em * 1 .
Para verificar os intervalos em que f cresce ou decresce, vamos realizar o estudo de sinais de f ' .
2
2 2 23 33 4 33 3 2
2 23x x x
3x 2x 3 3f ' x
3 x x 1 x x 13 x x
2
f ' x 0 x 0 ou x 1ou x 1 f é crescente3
2
f ' x 0 0 x f é decrescente3
Vamos realizar o estudo de sinais de f.
f é positiva x 1
f 0 x 0 ou x 1
f é negativa x 0 ou 0 x 1
Identificação do ponto de inflexão.
123 3 2 2 3 2 23
2
2 43 33 2 3 2
2223 3 2
23 2 23 3 2
4 53 33 2 3 2
2 2 2
5 533 43 3 2
26x 2 3 x x 3x 2x 3 x x 3x 2x
3x 2x 3f ' x f '' x
3 x x 9 x x
3x 2x6 3x 1 x x 2
6 3x 1 x x 2 3x 2xx xf '' x
9 x x 9 x x
2x 9x 12x 3 9x 12x 4 2f '' x
9 9 x x 1x x
f '' é negativa x 1 concavidade para baixo
f '' é positiva x 0 ou 0 x 1 concavidade para cima
Logo, em 1,f 1 temos uma mudança de concavidade, ou seja, temos um ponto de inflexão.
Identificação das assíntotas.
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3 3 2
3
x x x
f x x x 1m lim lim lim 1 1
x x x
3
3 3 2
x x x
xn lim f x mx lim x x x lim
2 3x x
23 33 2 3 2 2
2
2x x22 33 33
2 3
x x x x x x
x 1 1lim lim
31 11 1 11 1 1x 1 1
x xx x x
Logo, a reta 1
y x 3y 3x 1 03
é assíntota ao gráfico quando x .
A) ERRADA: f é derivável em * 1 .
B) ERRADA: f é crescente quando 2
x 0 ou x 1ou x 13
C) ERRADA: f é positiva x 1 , mas o ponto 1,f 1 é ponto de inflexão
D) CORRETA
E) ERRADA: a assíntota é 3y 3x 1 0
QUESTÃO 19 EN 2007
RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
Relembrando as derivadas das exponenciais e logaritmos.
' ' 'x x x x
a
1 1e e , a a ln a, ln x , log x '
x x ln a
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Para efetuar a integral do problema vamos usar: x
x aa dx C
ln a
2 x xx x 2x x x 2x
x x x x
x x
x x
x x
a b a 2a b b a bdx dx dx 2 dx dx
b aa b a b
a b
1 a bb a2x C 2x C
a b ln a ln b b aln ln
b a
QUESTÃO 20 EN 2007
RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
y1 1 xx xy y 1 1 y x y ' y ' 0 y ' 1 1
2 x 2 y 2 y 2 x
2 y x y 2 x y 2 xyy ' y '
2 y 2 x 2 xy x
Se a reta tangente r é paralela ao eixo Ox , então y ' 0 .
y 0y 2 xy
y ' 0 y 2 xy 0 y y 2 x 0 y 2 x y 4x2 xy x
1 1 4x 0 x P ,
x xy y 1 3 3 3x x 4x 4x 1 x 2 x 4x 1
1y 4xx 0 x não convém
7
Verificando as alternativas, conclui-se que o ponto P pertence à reta y x 1 0 .
QUESTÃO 21 EN 2007 (corrigido)
Sejam r e s retas do plano tais que:
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I - r é a assíntota de coeficiente angular positivo à curva de equação 2 2(x 2) (y 1)
19 4
II - s é tangente ao gráfico da função real f definida por
2 4x 1f x e . 3x 2 ln 1 x 1 no
ponto P 1,1 .
Se I é o ponto de interseção de r e s, então a soma de suas coordenadas vale
A) 4
25
B) 11
17
C) 12
25
D) 21
25
E) 16
17
RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
A curva de equação 2 2(x 2) (y 1)
19 4
é uma hipérbole de centro 2,1 , semi-eixo real a 3 e
semi-eixo imaginário b 2 .
Assim, a assíntota de coeficiente angular positivo é y 1 2 2 1
r y xx 2 3 3 3
2 4x 1
2 2 3x 1 x 1
4
2x 1
4
21 1
4
f x e . 3x 2 ln 1 x 1
1 1f ' x e 2x 3x 2 e 3 4 x 1
2 3x 2 1 x 1
3 4 x 1f ' x e 2x 3x 2
2 3x 2 1 x 1
3 4 1 1 3 7f ' 1 e 2 1 3 1 2 2
2 22 3 1 2 1 1 1
y 1 7 7 5s y x
x 1 2 2 2
2 1 7 5 13 3 16I r s x x x e y x y
3 3 2 2 17 17 17
QUESTÃO 22 EN 2007
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
2L'Hôpital
x 1 x 1 x 1 x 12
2
2
x 1 x 1
1ln x 1 x ln xx 1lim ln x ln x 1 lim lim lim
1 1 1 1 x
ln x xln x
11 ln x x 2ln x
xlim lim ln x 2ln x 01
QUESTÃO 23 EN 2007
RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO:
A figura abaixo representa a seção meridiana do cone.
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O raio da base do cone é OB Rsec e a altura do cone é VO R cossec
O volume do cone é
3 32 2
2
3 3
32
1 R R 1V R sec R cossec sec cossec
3 3 3 sen cos
R 1 R 1
3 3 sen sensen 1 sen
3 3 22
2 23 3
R 1 R cos 3sen 1V ' cos 3sen cos 0
3 3sen sen sen sen
cos 0
3 33
MIN
3 3ou sen sen
3 3
R 1 R 9 3V R
3 3 23 3 2 3
3 9
Note que antes do ponto tal que 3
sen3
, a derivada é negativa e depois positiva, o que
caracteriza um ponto de mínimo local.
QUESTÃO 24 EN 2006
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RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO:
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2
2 2
22
f x x 2 arctg x
f 0 0 2 arctg 0 0
1 3 xf ' x 1 2 0 f écrescente, x
1 x 1 x
x 0 f '' x 0 concavidade para cima2xf '' x 2
x 0 f '' x 0 concavidade para baixo1 x
Nota-se que a alternativa (A) é a única que apresenta um gráfico que passa na origem, possui
concavidade para cima para valores de x negativos e concavidade para baixo para valores de x
positivos.
QUESTÃO 25 EN 2006
RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
2
22x 7 x 7 x 7 x 7
x 7x 7 x 7 x 15 8lim f x lim lim lim
x 7 x 15 64x 15 8
2x 15 8
x 7 x 7 x 7
4
7 7
Se f é contínua em x 7 , então x 7
4f 7 lim f x a
7 7
2
64ln 2x
6 6 1 7g x ln 2x g ' x 2ln 2x 2
6 67 72x 2x
7 7
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4 64ln 2
4 4 4ln 27 7g ' 7a g ' 7 g ' 2ln 2 ln 4
4 67 27 7 27 7
QUESTÃO 26 EN 2006
RESPOSTA: E
RESOLUÇÃO: 2x
2x
4x 2
2x 2x
e 1 du 1 1dx arccotg u C arccotg e C
2 2 21 e 1 u
u e du 2 e dx
QUESTÃO 27 EN 2006
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RESPOSTA: A
RESOLUÇÃO:
6 5 2 6* 3
2 4 3
2 2 26 6 3
6 6 3
x 2 dy 6x x x 2 2x dy 1 18y 0, x 8 x
dx dx 2x x x
dy 1 1 dy 1 1 1 1x 2 1 x 2 x
dx 4 dx 4 4x x x
2 22 2 3 2 3 5
3 3
6 6
dy 1 1 1 1 1 1x 1 dx x x dx x x dx x dx
dx 4 2 2 xx x
1 x x ln xln x C C
2 6 12 2
QUESTÃO 28 EN 2006
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RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO:
3 32
x x2 2
32
x2
32
2 2
3 3Y ' x e 3 x cos 2x e sen 2x 2
2 4 4
3 3Y ' x e 3 x cos 2x 2sen 2x
2 4 4
3Y ' e 3 cos 2
2 2 2 4
3 22sen 2 2 2
2 4 2 2
2y
2 x y2L 2 y 2x 1 112 2x 1
2 2 2
A área do triângulo é 21 1 2 1 2 1
S2 2 2 8
QUESTÃO 29 EN 2006
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RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
2 * 2 2
2 2 2
f ' x sen cos x
g x f x , x g ' x f ' x 2x sen cos x 2x 2x sen cos x
g ' x 2x sen cos x
QUESTÃO 30 EN 2006
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
Seja um cilindro com raio da base r e altura h, o volume é dado por 2
2
1V r h 1 h
r
.
O custo do recipiente será dado por:
2 2
2
2
2 2
3 32 23
3
1P 1000 2 rh 1000 r 2000 r 1000 r 2h 3r 1000 r 2 3r
r
2 1 1P r 1000 3 r P ' r 1000 2 3 2r 2000 3 r
r r r
1 1 1 1 9P ' r 2000 3 r 0 r r e h
3r 3 1
3
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