Resolução e discussão de sistemas lineares
Eliminação gaussianaEliminação de Gauss-JordanSistemas homogêneos
Equações lineares Qualquer linha reta no plano xy pode ser
representada algebricamente por uma equação:
Forma geral: defina uma a equação linear em n variáveis :
Onde e b são constantes reais. As variáveis são também chamadas
incógnitas.
byaxa 21
nxxx ,...,, 21
bxaxaxa nn ...2211
,,...,, 21 naaa
Exemplos de equações lineares As equações e são lineares. Observe que uma equação linear não envolve produtos ou
raízes de variáveis. Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logaritmicas ou exponenciais.
As equações não são lineares.
A solução de uma equação linear e uma seqüência de n números Tal que a equação é satisfeita. O conjunto de todas as
soluções da equação é chamado conjunto solução ou solução geral da equação.
132
1,73 zxyyx
732 4321 xxxx
xyxzzyxyx sin e 423 ,53
nsss ,...,, 21
Exemplo – encontrando o conjunto solução
Encontre a solução de
Solução(a) Podemos definir um valor arbitrário para x e
resolver para y, ou escolher um valor arbitrário para y e resolver para x.
Os números são chamados parâmetros. Por exemplo:
124 )a( yx
2211 ,4
1
2
1ou
2
12 , tytxtytx
2,1 tt
. 2
11,3 solução à leva 31 yxt
Exemplo – encontrando o conjunto solução Encontre a solução de
Solução(b) Podemos atribuir valores arbitrários para
quaisquer duas variáveis e resolver para a terceira: Por exemplo:
s, t são parâmetros.
.574 (b) 321 xxx
txsxtsx 321 , ,745
Sistemas lineares Um conjunto finito de equações
lineares nas variáveis
é chamado sistema de equações lineares ou sistema linear.
Uma seqüência de números satisfazendo todas as equações é uma solução do sistema.
Um sistema que não têm soluçaõ é dito inconsistente ou incompatível; havendo pelo menos uma solução o sistema é consistente ou compatível.
nxxx ,...,, 21
nsss ,...,, 21
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
Um sistema arbitrário com m equações lineares em n incógnitas
Sistemas lineares Cada sistema linear tem infinitas
soluções, ou tem uma solução ou não tem solução.
Para um sistema geral de duas equações lineares em duas incógnitas:
Duas linhas podem ser paralelas -> sem solução
Duas linhas podem interceptar-se em um ponto
-> uma solução Duas linhas podem coincidir -> infinitas soluções
0)ou 0(
0)ou 0(
22222
11111
bacybxa
bacybxa
Matrizes aumentadas
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
...
...
...
21
222221
111211
Podemos abreviar a escrita de um sistema linear escrevendo somente um arranjo retangular de números.
Este arranjo é chamado matriz aumentada para o sistema.
Note que os números devem ser escritos na mesma ordem que aparecem no sistema.
1ra coluna
1ra linha
Uso das operações elementares
O método básico para resolver um sistema de equações lineares é substitui-lo por um novo sistema que tem o mesmo conjunto solução mas que seja mais fácil de resolver.
Já que as linhas de uma matriz aumentada correspondem a equações no sistema associado, os novos sistemas são geralmente obtidos aplicando as nossas conhecidas operações elementares.
1. Permutar duas equações (E1). 2. Multipicar uma equação por uma constante não nula (E2). 3. Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação (E3).
Mais um exemplo
0 563
7 172
9 2
zyx
zy
zyx
segunda à equação primeira a
vezes2- adicione
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
0563
1342
9211
0563
17720
9211
terceiraà equação primeira a
vezes3- adicione
terceiraà linha primeira a vezes3- adicione
segunda à linha primeira a
vezes2- adicione
Sistema linear original
Mais um exemplo
0 113
9 2
217
27
zy
zy
zyx
2
1por equação
segunda a emultipliqu
27113
177 2
9 2
zy
zy
zyx
271130
17720
9211
271130
10
9211
217
27
terceiraà equação segunda a
vezes3- adicione
terceiraà linha segunda a
vezes3- adicione
2
1por linha
segunda a emultipliqu
Mais um exemplo
3
9 2
217
27
z
zy
zyx
2-por equação terceiraa eMultipliqu
23
21
217
27
9 2
z
zy
zyx
23
21
217
27
00
10
9211
3100
10
9211
217
27
primeira à equação segunda a vez1- Adicione
primeira à linha segunda
a vez1- Adicione
2-por linha terceiraa eMultipliqu
Mais um exemplo
3
2
1
z
y
x
segunda à equação terceiraa
vezes e primeira à equação terceiraa vezes- Adicione
27
211
3
217
27
235
211
z
zy
zx
3100
10
01
217
27
235
211
3100
2010
1001
segunda à
linha terceiraa vezes e primeira à linha terceiraa
vezes- Adicione
27
211
A solução x=1,y=2,z=3 agora é evidente.
Sistema linear final
Eliminação gaussiana
Formas escalonadas Uma matriz com as seguintes propriedades é dita matriz
na forma escalonada reduzida (forma escada reduzida). 1. Se uma linha não for nula, então o primeiro elemento
não-nulo vale 1. Chama-se este elemento o pivô ou líder. 2. Se há linhas nulas, estas se agrupam todas no final da
matriz. 3. Em duas linhas sucessivas não-nulas, o pivô da linha
mais baixa aparece depois do da linha mais alta. 4. Cada coluna que contém um pivô tem todos os demais
elementos nulos. Uma matriz com as três primeiras propriedades é dita
matriz escalonada (forma escada). Uma matriz escalonada reduzida é necessariamente
uma matriz escalonada, mas não o contrário.
Exemplo
Matrizes escalonadas reduzidas:
00
00,
00000
00000
31000
10210
,
100
010
001
,
1100
7010
4001
Matrizes escalonadas:
10000
01100
06210
,
000
010
011
,
5100
2610
7341
Mais exemplos Estas matrizes são escalonadas :
*100000000
*0**100000
*0**010000
*0**001000
*0**000*10
,
0000
0000
**10
**01
,
0000
*100
*010
*001
,
1000
0100
0010
0001
*100000000
****100000
*****10000
******1000
********10
,
0000
0000
**10
***1
,
0000
*100
**10
***1
,
1000
*100
**10
***1
Estas matrizes são escalonadas reduzidas:
ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares
4100
2010
5001
(a)
4
2-
5
z
y
x
Solução (a)
O sistema correspondente é:
Suponha que a matriz aumentada dos seguintes sistemas lineares tenham sido levadas à forma escalonada reduzida. Resolva os sistemas.
ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares
23100
62010
14001
(b)
Solução (b)
1. O sistema correspondente é:
2 3
6 2
1- 4
43
42
41
xx
xx
xx
Variáveis dependentes
Variável livre
ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares
43
42
41
3-2
2- 6
4 - 1-
xx
xx
xx
tx
tx
tx
tx
,32
,26
,41
4
3
2
1
2. Vemos que a variável livre pode receber um valor arbitrário, digamos t, o qual determina as variáveis dependentes.
3. Há infinitas soluções para este sistema, dadas pelas fórmulas:
ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares
000000
251000
130100
240061
(c)
2 5
1 3
2- 4 6
54
53
521
xx
xx
xxx
Solução (c)
1. A quarta linha nula conduz a uma equação que não impõe restrições sobre as soluções (porque?). Assim podemos omiti-la.
ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares
Solução (c)
2. Escrevendo as variáveis dependentes em termos das variáveis livres:
3. As variáveis livres são associadas a parâmetros e a solução geral é dada pelas fórmulas:
54
53
521
5-2
3- 1
4-6- 2-
xx
xx
xxx
tx
tx
tx
sx
tsx
4
4
3
2
1
,5-2
3- 1
, 4-6- 2-
ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares
1000
0210
0001
(d)
Solução (d):
A última equação no sistema correspondente é:
Já que esta equação não pode ser satisfeita, não há solução para este sistema.
1000 321 xxx
Métodos de eliminação Vamos descrever um método passo a
passo para levar qualquer matriz a uma forma escalonada reduzida.
156542
281261042
1270200
Métodos de eliminação Passo 1. Localize a coluna mais à esqueda que não
consiste inteiramente de zeros.
Passo 2. Troque a linha de cima com outra para ter um elemento não-nulo no início.
156542
281261042
1270200
Coluna não-nula mais à esquerda
156542
1270200
281261042A 1ra e 2da linhas foram trocadas.
Métodos de eliminação Passo 3. Se o elemento no início agora é a,
multiplique toda a linha por 1/a, fazendo aparecer um pivô.
Passo 4. Adicione múltiplos da linha de cima com as linhas de baixo para anular os elementos abaixo do pivô.
156542
1270200
1463521
A 1ra linha foi multiplicada por 1/2.
29170500
1270200
1463521-2 vezes a 1ra linha adicionada à terceira linha.
Métodos de eliminação Passo 5. Agora, deixe de lado a primeira linha e
comece de novo com a submatriz que restou. Repita até que a matriz fique em forma escalonada.
29170500
1270200
1463521
A primeira linha da submatriz foi multiplicada por -1/2.
29170500
60100
1463521
27
Coluna não-nula mais á esquerda da submatriz
Métodos de eliminação Passo 5 (cont.)
210000
60100
1463521
27
-5 vezes a 1ra linha da submatriz adicionada com a 2da linha da submatriz.
10000
60100
1463521
21
27
10000
60100
1463521
21
27
Esquecemos a primeira linha da submatriz e retornamos ao passo 1.
A primeira e única linha da submatriz foi multiplicada por 2.
Linha não-nula mais à esquerda da submatriz
A última matriz em forma escalonada.
Métodos de eliminação Passo 6. Começando com a última linha não-nula e
trabalhando regressivamente, adicione múltiplos apropriados de cada linha para anular os elementos acima dos pivôs..
210000
100100
703021
7/2 vezes the 3ra linha adicionado à 2da linha.
210000
100100
1463521
210000
100100
203521-6 vezes a 3ra linha adicionado a 1ra linha.
A última matriz está na forma escalonada reduzida.
5 vezes a 2da linha adicionado a 1ra.
Métodos de eliminação Passo 1~Passo 5: este processo para levar a
matriz até a forma escalonada constitui a eliminação gaussiana.
Passu 1~Passo 6: acrescentando o passo 6 obtemos uma matriz na forma escalonada reduzida. Este método é chamado eliminação de Gauss-Jordan.
Cada matriz corresponde a uma única forma escalonada reduzida , porém a forma escalonada (não reduzida) não é única.
ExemploEliminação de Gauss-Jordan Resolva usando eliminação de Gauss-
Jordan
Solução: A matriz aumentada correspondente:
6 18 48 62
5 15 105
13 42 562
0 x2 23
65421
643
654321
5321
xxxxx
xxx
xxxxxx
xxx
61848062
515010500
1-3-42-5-62
00202-31
ExemploEliminação de Gauss-Jordan Adicionando -2 vezes a 1ra linha à 2da e à 4ta
linhas:
Multiplicando a 2da linha por -1 e então adicionando -5 vezes a nova 2da linha à 3ra linha e -4 vezes a nova 2da linha à 4ta linha:
2600000
0000000
1302100
00202-31
61808400
515010500
1-3-02-1-00
00202-31
ExemploEliminação de Gauss-Jordan
Permutando a 3ra e 4ta linhas e então multiplicando a 3ra por 1/6 leva à forma escalonada:
Adicionando -3 vezes a 3ra linha à 2da linha e então adicionando 2 vezes a 2da linha (resultante) à 1ra linha conduz à forma escalonada reduzida:
0000000
100000
0002100
0024031
31
0000000
100000
1302100
00202-31
31
ExemploEliminação de Gauss-Jordan O sistema correspondente é:
Solução do sistema As variáveis dependentes escritas em termos das
livres:
Associamos um parâmetro a cada variável livre e a solução geral é dada pelas fórmulas:
31
6
43
5421
0 2
0 x24 3
x
xx
xxx
31
6
43
5421
2
x243
x
xx
xxx
31
654321 , , ,2 , ,243 xtxsxsxrxtsrx
Retrosubstituição Algumas vezes é preferível resolver um sistema
usando uma eliminação gaussiana, sem completar a eliminação de Gauss-Jordan.
Quando isso é feito, o sistema correspondente pode ser resolvido usando uma técnica chamada retro-substitução.
Exemplo anterior resolvido usando retro-substituição
Dos cálculos do exemplo anterior, temos a seguinte matriz escalonada:
O sistema correspondente é:
Passo 1. Escreva as variáveis dependentes em termos das livres:
0000000
100000
1302100
00202-31
31
31
6
643
5321
1 3 2
0 x2 2-3
x
xxx
xxx
31
6
643
5321
321
x223
x
xxx
xxx
Exemplo anterior resolvido usando retro-substituição
Passo 2. Começando com a equação de baixo e trabalhando regressivamente, subsititua cada equação nas anteriores:
Substituindo x6=1/3 na segunda equação:
Substituindo x3=-2 x4 na primeira equação
Passo 3. Associe parâmetros às variáveis livres. A solução geral será:
31
6
43
5421
2
x243
x
xx
xxx
31
6
43
5321
2
x223
x
xx
xxx
31
654321 , , ,2 , ,243 xtxsxsxrxtsrx
Eliminação gaussiana Resolva por eliminação gaussiana e retrosubstituição
Solução Convertemos a matriz aumentada
para a forma escalonada
O sistema correspondente torna-se:
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
0563
1342
9211
3100
10
9211
217
27
3 , ,92 217
27 zzyzyx
Eliminação gaussiana Solução
Dependentes em termos de livres:
Substituindo a equação de baixo nas de cima:
Substituindo a segunda na de cima:
3
,2
,3
z
y
yx
3
,
,29
27
217
z
zy
zyx
3 ,2 ,1 zyx
Sistemas lineares homogêneos
Um sistema linear de equações é dito homogêneo se os termos constantes são nulos.
Cada sistema linear homogêneo é consistente, já que tem necessariamente pelo menos a solução trivial; se há outras soluções, estas são chamadas soluções não-triviais.
Só há duas possibilidades: O sistema tem somente a
solução trivial. O sistema tem infinitas
soluções.
0...
0 ...
0 ...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
0,...,0,0 21 nxxx
Solução trivial
Sistemas lineares homogêneos
Um caso especial de um sistema linear homogêneo com duas equações e duas incógnitas:
0)ou 0( 0
0)ou 0( 0
2222
1111
baybxa
baybxa
Exemplo
0
0 2
0 32
0 2 2
543
5321
54321
5321
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
011100
010211
013211
010122
000000
001000
010100
010011
Resolva o seguinte sistema usando eliminação de Gauss-Jordan.
Solução A matriz aumentada
Forma escalonada reduzida
Exemplo
0
0
0
4
53
521
x
xx
xxx
0
4
53
521
x
xx
xxx
Solução (cont) Sistema correspondente:
Dependentes em termos de livres:
Solução geral:
Observe que a solução trivial corresponde a s=t=0.
txxtxsxtsx 54321 ,0 , , ,
Aspectos adicionais
(1) 0()
0()
0()
2
1
r
k
k
x
x
x
(2) ()
()
()
2
1
r
k
k
x
x
x
Dois pontos importantes: Na solução de um sistema homogêneo, nenhuma
das operações elementares afeta a coluna de zeros no final. Assim, o sistema correspondente à forma escalonada será também homogêneo.
Se o sistema homogêneo tem m equações em n incógnitas com m<n, e há r linhas não nulas na forma reduzida x, e r<n. Teremos assim a forma:
Teorema
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações tem infinitas soluções.
Solução por computador
Algoritmos baseados nas eliminações gaussiana e de Gauss-Jordan procuram aperfeiçoar três aspectos: Reduzir erros de arredondamento Minimizar o uso de memória Acelerar a solução.