Equation différentielle de 2ème ordreElaboré par M. NUTH Sothan
ED1
2
I. Notion généralDéf.:
F(x, y, y’,y ’’) = 0 (1)où x est une variable, y est une fonction de variable x ,
y’ sa dérivée 1ère et y’’ sa dérivée second.s’appelle équation différentielle de 2ème ordre.
On peut résoudre par rapport y’’ :y’’=f(x, y, y’) (1’)
ED1
3
I. Notion général…Th.de Cauchy:
Si f(x, y, y’), f ’ y(x, y, y’), f ’ y’(x, y, y’) sont définies et
continues dans G, alors il existe uniquement
la solution de l’équation y’’=f(x, y, y’) à l’intérieur
d’un point (x0 , y0 , y0’ ) G , vérifiant la CI
y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 . (2)
ED1
4
II. Solution…Déf.1: La solution générale de (1) est une fonction
y=(x, c1 , c2), xG et c1 , c2 sont des constants,qui vérifie (1) et pour toute CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 ,(x0 , y0) G, il existe uniquement c1 = c1 0, c2=c2 0 tel
que la fonction y=(x, c1 , c2) implique (x0 , c1 0, c2 0)=y0 .
ED1
5
II. Solution…Déf.2: La solution partielle de (1) est une fonction
y= (x0 , c1 0, c2 0) obtenue de y=(x, c1 , c2) de (1) pour c1 = c1 0, c2=c2 0 vérifiant la CI y=y0 , y’=y’0 pour x=x0 .
Ex.: y’’= 2 On a: y’=2x + c1
Et: y=x2 + c1 x + c2 . est une SG , où c1 et c2 sont des constants.
ED1
6
III. Cas d’abaissementConsidérons :
y’’=f (x, y, y’) On peut ramener à une ED du 1er ordre.
1. ED de la forme y’’=f(x) ou y’’=f(x,y’)En posant z(x)=y’, on obtient l’ED du 1er ordre.
Ex.1: y’’=x.
Ex.2: ''' 3 yy x
x
ED1
7
III. Cas d’abaissement…2. ED de la forme y’’=f(y, y’)
En posant z(x)=y’ et
on obtient l’ED du 1er ordre.
Ex.3:
' ''' dy dy dy dz dy dzy zdx dy dx dy dx dy
2'' 2 ' 0yy y
ED1
8
IV. EDL de 2ème ordreConsidérons :
y’’+ P(x)y’ + q(x)y = f(x) (1)Si f(x)=0, on a :
y’’+ P(x)y’ + q(x)y = 0 (2)qui s’appelle homogène,sinon s’appelle non-homogène.Th.1: Si y1(x) et y2(x) sont les solution de (2), alors
y= c1 y1(x) + c2 y2(x)est aussi la solution de (2) pour touts c1 et c2 .
ED1
9
IV. EDL de 2ème ordre…Th.2: Si y1(x) et y2(x) sont LD sur (a, b), alors :
Th.3: Si y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors W(x) 0.
Th.4: Si les solution y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors y= c1 y1(x) + c2 y2(x) est la solution générale de (2) pour touts c1 et c2 .
1 2' '1 2
( ) 0y y
W xy y
ED1
10
IV. EDL de 2ème ordre…Ex.: y’’ y =0.On a y1(x) = ex et y2(x) = e-x et
Problème: Si l’une des solutions est connue, est-ce qu’on peut trouver la SG de (2).
Soit y1(x) est une solution de (2). En posant y= y1(x)z la SG de (2). Après la résolution, on trouve:
( ) 2x x
x x
e eW x
e e
( )11 2 12
1
p x dxcy y e dx c yy
ED1
11
IV. EDL de 2ème ordre…Th.5: SG(1)=SPNH(1) + SGH(2).
Problème: Trouvons la SPNH(1) en utilisant la SGH(2).
Soit y= c1 y1(x) + c2 y2(x) la SGH(2).Posons y= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) la SPNH(1).En remplaçant dans (1), on trouve c1(x) et c2(x) de
' '1 1 2 2' ' ' '1 1 2 2
0( )
c y c yc y c y f x
ED1
12
IV. EDL de 2ème ordre…Ex.: y’’ – y = x.On a Y(x)=C1 ex + C2 e-x SGHPosons SPNHPour trouver C1(x) et C2(x) il faut résoudre le système
On obtient:
' '1 2' '1 2
( ) ( ) 0( ) ( )
x x
x x
c x e c x ec x e c x e x
1 2( ) ( ) ( )x xy x C x e C x e
1 21 1( ) ( 1) , ( ) ( 1)2 2
x xC x x e C x x e
ED1
13
IV. EDL de 2ème ordre…On trouve SPNHEt la SGNH sous forme
( )y x x
1 2( ) ( ) ( ) x xy x y x Y x x C e C e
ED1
14
V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant
Considérons: (1)où p et q sont constants réels.Considérons l’ÉC: (2)Th1.: Si k est un racine réel de l’équation (2), alors
y=ekx est une solution de (1)Th2.: Si k= i est un racine complexe de l’équation
(2), alors y1=ex cosx et y2=ex sinx sont des solutions de (1).
" ' 0y py qy
2 0k pk q
ED1
15
V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant… Th3.: Si les racines de (2) sont k1 k2 R, alors la
solution de (1) est
Th4.: Si les racines de (2) sont k1 = k2 = kR, alors la solution de (1) est
Th5.: Si les racines de (2) sont k= i , alors la solution de (1) est
1 21 2
k x k xy C e C e
1 2kx kxy C e C xe
1 2( cos sin )xy e C x C x
ED1
16
VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constantConsidérons:Trouvons la SPNH:1/ f(x)=Pn(x)Où La SPNH sous formeOù Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre
de racines de l’EC qui sont égal à 0.
Ex.:
" ' ( )y py qy f x
10 1 1( ) ...n n
n nP x a x a x a x a
( ) rny Q x x
" 2 ' 0y y y
ED1
17
VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…2/ f(x)=ex Pn(x)Où Pn(x) est le polynôme de degré n La SPNH sous formeOù Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre
de racines de l’EC qui sont égal à .
Ex.:
( ) x rny Q x e x
" 4 ' 3 xy y y xe
ED1
18
VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…3/ f(x)= a cosx +b sinx
La SPNH sous formeOù r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à
i.
Ex.:
( cos sin ) ry A x B x x
" siny y x
ED1
19
VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…En général, si Alors Où PT(x) et QT(x) sont les polynômes de degré T
=Max(m,n) et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à i.
R.: On peut trouver la SPNH par le méthode de variation de constant.
( ( ) cos ( )sin )x rT Ty e P x x Q x x x
( ) ( ( ) cos ( )sin )xm nf x e P x x Q x x
ED1
20
VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant…Th.: Si est la SPNH deet si est la SPNH deAlors est la SPNH de
Ex.1:Ex.2:Ex.3:Ex.4:
" sin 2y y x
1y 1" ' ( )y py qy f x 2y 2" ' ( )y py qy f x
1 2y y y
1 2" ' ( ) ( )y py qy f x f x
" 2 ' sin xy y y x e "' 13 " 12 ' 0y y y
2"' " 1 3 xy y x xe
ED1
21
VII. Equation d’EulerConsidérons
Où a, b, A1 , . . . , An sont des constants.Posons
( ) 1 ( 1)1
1
( ) ( ) ...( ) ( )
n n n n
n n
ax b y A ax b yA ax b y A y f x
22 2
2
3 23 3
3 2
' , "
"' 3 2 ...
t t t
t t
t
dy dyax b e adx e dt a edt dx
dy d y dyy ae y a edt dt dt
d y d y dyy a edt dt dt
ED1
22
VII. Equation d’EulerOn obtient EDL à coefficient constant.Ex.:
Posons
On obtient
2 " ' 1x y xy y 2 2
22 2
t t tdy dy d y d y dyx e e edx dt dx dt dt
2
2 1d y ydt
ED1
23
VIII. Système de l’ED ordinaireIl faut trouver les solutions qui sont vérifiées le
système de l’ED.Considérons
11 1 2
22 1 2
1 2
( , , ,..., ) ,
( , , ,..., ) , (1)
... ... ............................ ,
( , , ,..., ) ,
n
n
nn n
dy f x y y ydxdy f x y y ydx
dyf x y y y
dx
ED1
24
VIII. Système de l’ED ordinaire…Où y1 , y2 ,…, yn sont des fonction et x est une variable.Après l’intégrale (1), on définie y1 , y2 ,…, yn qui
vérifient les CI :
Faire la dérivée la 1ère équation de (1) par x , on obtient:
0 0 0 01 10 2 20 3 30 0, , ,..., (2)n nx x x x x x x x
y y y y y y y y
21 1 1 1 1
21
... n
n
dyd y f f dy fdx x y dx y dx
ED1
25
VIII. Système de l’ED ordinaire…En remplaçant , on obtient:
Faisant de même façon, on obtient:
1 2, ,..., ndydy dydx dx dx
21
2 12 ( , ,..., )nd y F x y ydx
31 1
3 1 13 ( , ,..., ),..., ( , ,..., )n
n n nn
d y d yF x y y F x y ydx dx
ED1
26
VIII. Système de l’ED ordinaire…On trouve le système:
11 1
21
2 12
11
( , ,..., ),
( , ,..., ),(3)
...................................,
( , ,..., ),
n
n
n
n nn
dy f x y ydxd y F x y ydx
d y F x y ydx
ED1
27
VIII. Système de l’ED ordinaire…
De n – 1 première on peut définir y2 , y3 ,…, yn en
fonction de x, y1 , et : ' ( 1)
2 2 1 1 1
' ( 1)3 3 1 1 1
' ( 1)1 1 1
( , , ..., ),
( , , ..., ),(4)
.......................................,
( , , ..., ),
n
n
nn n
y x y y y
y x y y y
y x y y y
2 11 1 1
2 1, ,...,n
n
dy d y d ydx dx dx
ED1
28
VIII. Système de l’ED ordinaire…
En remplaçant dans la dernière équation de (3), on
obtient une équation de nème ordre:
Après résoudre (5), on trouve:
Faisant les dérivées, on obtient:
' ( 1)11 1 1( , , ,..., ) (5)
nn
n
d y x y y ydx
1 2 1 2( , , ,..., ) (6)ny x C C C
2 11 1 1
2 1, ,...,n
n
dy d y d ydx dx dx
ED1
29
VIII. Système de l’ED ordinaire…
En remplaçant dans (4), on obtient:
2 2 1 2
3 3 1 2
1 2
( , , ..., ),( , , ..., ),
(7).......................................,
( , , ..., ),
n
n
n n n
y x C C Cy x C C C
y x C C C
ED1
30
VIII. Système de l’ED ordinaire…
Ex.:
Dériver la 1ère équation par x:
En remplaçant y’ et z’ , on obtient:
0 0
, 4 3 2
1, 0,x x
dy dzy z x y z xdx dxy z
2
2 1d y dy dzdx dx dx
2
2
2
2
( 1) ( 4 3 2 ) 1
3 2 3 1
d y y z y z xdxd y y z xdx
ED1
31
VIII. Système de l’ED ordinaire…
Or, de la 1ère équation
On obtient:
EDL de 2ème ordre à coefficient constant.
dy dyy z x z y xdx dx
2
2
2
2
3 2( ) 3 1
2 5 1
d y dyy y x xdx dxd y dy y xdx dx
ED1
32
VIII. Système de l’ED ordinaire…
Ex.:
De (a), on a
(a)
(b)
(c)
dx y zdtdy x zdtdz x ydt
2
2 ( ) ( ) 2 .d x dy dz x z x y x y zdt dt dt
2
2 2 2d x dxx y z xdt dt
ED1
33
VIII. Système de l’ED ordinaire…
Ex.1: Ex.2:
Ex.3: Ex.4:
dy zdxdz ydx
5
3
dy y zdxdz y zdx
dy y zdxdz x y zdx
2 sin
4 2 cos
dy y z xdxdz y z xdx
ED1
34
VIII. Système de l’ED ordinaire…
On peut résoudre le système de ED d’ordre supérieur.
Considérons:
Posons:
2
2
2
2
( , , , , )
( , , , , )
x
x
d x dx dym F t x ydt dt dtd y dx dym F t x ydt dt dt
2 2
2 2, ,dx dy d x du d y dvu vdt dt dt dt dt dt
ED1
35
VIII. Système de l’ED ordinaire…
Alors:
Ex.:
Dériver la 1ère deux fois par x : , or
On a: est une EDL de 4ème ordre.
2 2
2 2
, ,
, .
dx dyu vdt dtd x du d y dvdt dt dt dt
2 2
2 2, .d y d zz ydx dx
4 2
4 2
d y d zdx dx
2
2
d ydx4
4
d y ydx
ED1
36
IX. Système de l’ED à coefficient constant
Considérons:
Où aij est constant, x(t) est une fonction de variable t .
111 1 12 2 1
221 1 22 2 2
1 1 2 2
...
... (1)
...... .. .....................................
...
n n
n n
nn n nn n
dx a x a x a xdtdx a x a x a xdt
dxa x a x a x
dt
ED1
37
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
On va trouver la solution particulière sous forme:
Il faut trouver et k pour que vérifient (1).En replaçant (2) dans (1), on obtient:
1 1 2 2, ,..., . (2)kt kt ktn nx e x e x e
1 2, ,..., n
1 2, ,...,kt kt ktne e e
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ... )( ... )
...... .. .....................................( ... )
kt ktn n
kt ktn n
kt ktn n n nn n
k e a x a x a x ek e a x a x a x e
k e a x a x a x e
ED1
38
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
On obtient:
Le déterminant de (3) est:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ... 0( ) ... 0
(3)............................................... .. ..
... ( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k a aa a k a
a a a k
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ...( ) ...
( ) (4)............. ............. ... .............
... ( )
n
n
n n nn
a k a aa a k a
k
a a a k
ED1
39
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
Si 0, (3) a une solution triviale: doncAlors, il faut trouver k pour que =0.
On obtient l’équation caractéristique de (1) qui a les racines de types suivantes:
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ...( ) ...
0 (5)............. ............. ... .............
... ( )
n
n
n n nn
a k a aa a k a
a a a k
1 2 ... 0n 1 2( ) ( ) ... ( ) 0nx t x t x t
ED1
40
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
1. Racines réelles différentes: k1 , k2 ,…, kn .Pour k=ki , on trouve et
De même manière pour k=kn et on obtient:
Où c1 , c2 ,…,cn sont des constants.
( ) ( ) ( )1 2, ,..., ,i i i
n ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, ,..., .i i ik t k t k ti i i i i
n nx e x e x e
1 2
1 2
1 2
(1) (2) ( )1 1 1 2 1 1
(1) (2) ( )2 1 2 2 2 2
(1) (2) ( )1 2
...
... (6)
...... .. ........................................
n
n
n
k tk t k t nn
k tk t k t nn
k tk t k t nn n n n n
x c e c e c ex c e c e c e
x c e c e c e
ED1
41
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
Ex.:
L’équation caractéristique:Ou Et les racines réels: k1 = 1 , k2 = 4.Les solutions:
1 21 2 1 22 2 , 3 .dx dxx x x x
dt dt
2 20
1 3k
k
2 5 4 0k k
(1) (1) (1) (1)1 1 2 2
(2) (2) 4 (2) (2) 41 1 2 2
, ,, .
t t
t t
x e x ex e x e
ED1
42
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
Pour k1 = 1, on définie du système
ou
En finLa solution:
(1) (1)1 2
(1) (1)1 2
(2 1) 2 01 (3 1) 0
(1) (1)1 2 et
(1) (1)1 2(1) (1)1 2
2 02 0
(1) (1)1 2
1=1 et 2
(1) (1)1 2=e ,
2
tt ex x
ED1
43
IX. Système de l’ED à coefficient constant…
Pour k1 = 4, on définie du système
ouetEn fin
(2) (2)1 2
(2) (2)1 2
2 2 00
(2) (2)1 2 et
(1) (1)1 2=1 et 1
(2) 4 (2) 41 2=e , et tx x
41 1 2
42 1 2
12
t t
t t
x c e c e
x c e c e
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