Epidemiología Matemática: virus, bacterias y… malware
Ángel Martín del Rey Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Física Fundamental y Matemáticas Universidad de Salamanca, Salamanca, España
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2 de diciembre de 2015 Bachillerato de Investigación y Excelencia, I.E.S. “Vaguada de la Palma”, Salamanca
ÁngelMar*ndelRey,2014
• La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas de mayor uso en Medicina.
• Grosso modo, el objetivo fundamental de la Modelización Matemática es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de fenómenos de todo tipo.
Introducción
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Problema existente en el
mundo real
Modelo de Trabajo
Modelo Matemático
Modelo Computacional
Resultados y Conclusiones
Simplificación
Representación
Implementación
Simulación
Interpretación
ÁngelMar*ndelRey,2014
Introducción
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• ¿Qué buscamos con un modelo matemático?
‣Representación matemática de un determinado fenómeno de tal forma que su análisis teórico y numérico proporcione información para entender mejor los mecanismos que lo rigen.
‣ Implementación computacional para poder realizar simulaciones.
• ¿Cuál es el interés de la modelización matemática?
‣ Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del modelo y sus implicaciones.
‣ Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que permita predecir y simular comportamientos y tomar decisiones de control.
ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática
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• La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulan la propagación de agentes infecciosos (virus, bacterias,…) y código malicioso (troyanos, gusanos computacionales,…).
• La Epidemiología Matemática trata de dar respuesta a las siguientes preguntas:
‣¿Cuál será el alcance final de la epidemia?
‣¿Cuál será el efecto de las medidas de prevención y de control tomadas?
‣¿Qué medida tomada será más eficiente y eficaz?
ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática: algo de historia
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• El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en 1760 y es debido a Daniel Bernoulli.
‣Estudiaba la propagación de la viruela.
‣Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
u '(t) = − λ(t) + µ(t)( )u(t)
w '(t) = 1− c(t)( )λ(t)u(t) − µ(t)w(t)
⎧⎨⎪
⎩⎪
u(0) = 1w(0) = 0
ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática: algo de historia
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• En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para estudiar la propagación del sarampión.
‣Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la enfermedad y los individuos infectados con capacidad de transmitirla (individuos infecciosos).
‣Este principio de acción de masas establece que la incidencia (número de nuevos casos por unidad de tiempo) es proporcional al producto de la densidad de individuos susceptibles por la densidad de individuos infecciosos.
ÁngelMar*ndelRey,2014
La Epidemiología Matemática: algo de historia
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• En 1911, R. Ross desarrolla un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un brote infeccioso de malaria.
‣ En dicho modelo se explica la relación entre el número de mosquitos y la incidencia de la malaria en humanos.
ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: Historia
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• El objetivo de este taller es presentar el modelo de Kermack-McKendrick para estudiar la propagación de malware.
• El modelo de Kermack-McKendrick fue inicialmente desarrollado en 1927 para estudiar la propagación de la peste bubónica y es considerado como la piedra angular de los modelos que se propusieron posteriormente.
ÁngelMar*ndelRey,2014
El Modelo de Kermack-McKendrick
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• Su característica fundamental es que se trata del primer modelo compartimental en el que la población es dividida en tres clases diferentes:
‣ Individuos Susceptibles.
‣ Individuos Infecciosos.
‣ Individuos Recuperados
• Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es la introducción del Teorema Umbral que permite determinar cuando un brote infeccioso se convierte en epidémico.
Suscep'ble Infectado Recuperadoba
ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: el SEDO
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• La dinámica del modelo viene regida por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
S ' t( ) = −a ⋅S t( ) ⋅ I t( ) I ' t( ) = a ⋅S t( ) ⋅ I t( )− b ⋅ I t( )R ' t( ) = b ⋅ I t( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
La variación del número de susceptibles es proporcional a dicho número de susceptibles
La variación del número de recuperados es proporcional al número de infectados
La variación del número de infectados es el balance entre una proporción de susceptibles y una de infectados
Coeficiente de transmisión: a = k ⋅q, Tasa de recuperación: b = T −1,
k : contactos efectivos con infectados por unidad de tiempo,q : probabilidad de que un contacto efectivo acabe en contagio,T : duración del periodo infeccioso.
ÁngelMar*ndelRey,201511
• El número reproductivo básico asociado al modelo propuesto es:
de manera que se verifica que:
‣Si R0 < 1 no se producirá una epidemia.
‣Si R0 > 1 se producirá una epidemia.
R0 =a ⋅Nb.
El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
ÁngelMar*ndelRey,201512
Simulación I: R0 > 1
El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
a = 0.001, b = 124, S(0) = 99, I 0( ) = 1, R 0( ) = 0,
R0 ≈ 2.3760.
ÁngelMar*ndelRey,201513
El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
Simulación II: R0 < 1
a = 0.001, b = 124, S(0) = 30, I 0( ) = 1, R 0( ) = 0,
R0 = 0.96.
ÁngelMar*ndelRey,201514
• El número reproductivo básico se puede definir como el número esperado de dispositivos infectados causados por el contagio de un único dispositivo infeccioso en una población enteramente susceptible:
R0 =a ⋅Nb
= q ⋅ k ⋅N1/T
= q ⋅ k ⋅T ⋅N .
contactos efectivos de cada dispositivo con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso
contactos efectivos de cada dispositivo con el infectado durante todo su periodo infeccioso y que acaban en contagiocontactos efectivos totales con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso y que acaban en contagio
k ⋅T =
q ⋅ k ⋅T =
R0 = q ⋅ k ⋅T ⋅N =
El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
ÁngelMar*ndelRey,201515
• El objetivo en el control de cualquier epidemia es conseguir que el número reproductivo básico sea menor que 1.
• ¿Cómo se consigue ello?
R0 =a ⋅Nb
‣ Disminuyendo a haciendo disminuir el número de contactos k mediante aislamiento.
‣ Disminuyendo a haciendo disminuir la probabilidad q de que un infectado contagie a un susceptible.
‣ Disminuyendo N aplicando programas de vacunación. ‣ Aumentando b mejorando el tratamiento de los infectados.
El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0
ÁngelMar*ndelRey,201516
• Evolución del número de dispositivos susceptibles, S(t):
S t( ) = S 0( ) ⋅e−abR t( )
20 40 60 80 100horas
200
400
600
800susceptibles
0 < S ∞( ) = limt→∞
S t( ) = S 0( )e−abR ∞( ).
El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
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• Evolución del número de dispositivos infectados, I(t):
‣ I(t) satisface:
‣ Si , entonces I(t) es monótona decreciente de manera que:
‣ Si , entonces I(t) crece hasta alcanzar su valor máximo:
y posteriormente decrece de manera que:
I t( ) = N − S t( )+ balog
S t( )S 0( )
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
R0 <1
I ∞( ) = limt→∞
I t( ) = 0.
R0 >1
Imax = N − ba− balog
a ⋅S 0( )b
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,
I ∞( ) = limt→∞
I t( ) = 0.
ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
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• Evolución del número de infectados, I(t):
20 40 60 80 100horas
50
100
150
infectados
R0 >1
Imax = I (tmax )
I ∞( ) = limt→∞
I t( ) = 0
S(tmax ) = ba
tmax
ÁngelMar*ndelRey,2015
El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones
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• Evolución del número de dispositivos recuperados, R(t):
R t( ) = N − S t( )− I t( ) = − balog
S t( )S 0( )
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
20 40 60 80 100horas
100
200
300
400
500
600
700
recuperados
R ∞( ) = limt→∞
R t( ) = N − S ∞( )
ÁngelMar*ndelRey,2015
Algunas conclusiones
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• La mayor parte de los modelos se encuentran basados en SEDOs (son deterministas, globales y continuos).
• Aunque desde el punto de vista matemático se encuentra bien fundamentados y gracias a la Teoría Cualitativa de SEDOs es posible analizarlos en detalle, presentan serios inconvenientes:
‣No tienen en cuenta las características individuales de los dispositivos.
‣ La topología del sistema es homogénea.
‣No son capaces de predecir el comportamiento individual.
ÁngelMar*ndelRey,2015
Algunas conclusiones
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• Estas deficiencias se podrían subsanar si utilizáramos modelos individuales:
‣Modelos basados en autómatas celulares.
‣Modelos basados en agentes.
ÁngelMar*ndelRey,2014
Aplicaciones
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• Ejemplo: Brote de ébola
ÁngelMar*ndelRey,2014
Aplicaciones
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• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)
ÁngelMar*ndelRey,2014
Aplicaciones
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• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)
ÁngelMar*ndelRey,2014
Aplicaciones
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• Ejemplo: Brote de ébola (continuación)
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