8/17/2019 EO Laporan
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LAPORAN
“ESTIMASI SISTEM LORENZ DAN SISTEM
PREDATOR PREY MENGGUNAKAN KALMAN
FILTER DAN EXTENDED KALMAN DILTER”
Oleh:
Ahlan Hamami 1212 100 085
Muhammad Hakam 1212 100 073
Dosen:
Pro! Dr! "rna A#riliani$ M!%i
&urusan Ma'ema'ika
(akul'as Ma'ema'ika dan )lmu Pen*e'ahuan Alam
)ns'i'u' +eknolo*i %e#uluh No#em,er
%ura,a-a201.
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PEMBAHASAN
Metode Kalma F!lte"
%is'em Model:
xk +1= A xk +Buk +G wk
zk = H xk +1+vk
w k N (0, Q ) , vk N (0, R )
xk , wk , vk 'idak ,erkorelasi
/eadaan Aal:
^ x0=~ x
0 $ P
0= P x
0
+aha# Prediksi:^ xk +1= A ´ xk +Buk
Pk +1= A P k At +GQ Gt
+aha# /oreksi:
−¿ H t + R
H P k ¿
¿
¿
−¿ H t ¿
K k +1= Pk ¿
−¿ zk +1− H ^ xk +1
¿
−¿+ K ¿^ xk +1=^ xk +1
¿
Pk +1=( I − K k +1 H ) ^ Pk +1
Metode E#teded Kalma F!lte"
%is'em Model:
xk +1= f ( xk , uk )+G wk
zk =h ( xk )+vk
w k N (0, Q ) , vk N (0, R )
xk , wk , vk 'idak ,erkorelasi
/eadaan Aal:
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^ x0=~ x
0 $ P
0= P x
0
+aha# Prediksi:
−¿=f ( ^ xk , uk )^ xk +1¿
−¿= A Pk At +GQ Gt
P k +1¿
A= ∂ f
∂ x
+aha# /oreksi:
−¿ H t + R
H P k ¿
¿
¿
−¿ H t ¿
K k +1= Pk ¿
−¿ Pk +1=( I − K k +1 H ) Pk +1
¿
−¿^ xk +1¿
zk +1−h (¿ ) ^ Pk +1−¿+ K k +1¿^ xk +1=^ xk +1
¿
H =∂ h
∂ x
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%is'em Preda'or Pre-
´ x= x (1− x− 2 y1+2 x )´ y= y
( 2 x
1+2 x− μ
)linierisasi:
[ ´ x ́y]=[(1−2 x )− 2 y
(2 x+1 )22 x
2 x+1
2 y
(2 x+1 )22 x
2 x+1− μ][ x y ]
,en'uk diskri' se'elah linierisasi:
[ xk +1 yk +1]=[∆ t (( 1−2 x )−
2 y(2 x+1 )2 )+1 ∆ t (
2 x2 x+1 )
∆ t ( 2 y(2 x+1 )2 ) ∆ t ( 2 x
2 x+1− μ)+1][
xk yk ]
,en'uk diskri':
[ xk +1 yk +1]=
[
∆ t (1− x− 2 y2 x+1 )+1 00 ∆ t
( 2 x
2 x+1
− μ
)+1
][ xk yk ]
%is'em Loren´ x=−σx+σy
´ y=rx− y− xz
́z=−bz+ xy
linierisasi
[´ x
́y ́z ]=
[−σ σ 0
r− z −1 − x y x −b] [
x
y z ] ,en'uk diskri' se'elah linierisasi:
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1−∆ tσ ∆ tσ 0
¿r− z (¿¿k ) ∆ t ¿1−∆ t
−∆ t x k ¿ ∆ t yk t xk
¿
[ xk +1 yk +1 zk +1
]= [1−∆ tb¿] [ xk yk zk
] ,en'uk diskri':
[ xk +1 yk +1 zk +1
]=[1−∆ tσ ∆tσ 0
∆ tr 1−∆ t −∆ t x k ∆ t yk 0 1−∆ tb
] [ xk yk zk
]
1! Per,edaan hasil dari sis'em Preda'or Pre- den*an me'ode /alman (il'er dan "'ended/alman (il'er 'erse,u' akan di 'am#ilkan den*an *raik:
am,ar 1! Per,andin*an me'ode kalman il'er dan me'ode e'ended kalman il'er dari x
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am,ar 2! Per,andin*an me'ode kalman il'er dan me'ode e'ended kalman il'er dari y
am,ar 3! Per,andin*an nilai error dari x , y
2! Per,edaan hasil dari sis'em Loren den*an me'ode /alman (il'er dan "'ended /alman
(il'er 'erse,u' akan di 'am#ilkan den*an *raik:
am,ar 4! Per,andin*an me'ode kalman il'er dan me'ode e'ended kalman il'er dari x
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am,ar 5! Per,andin*an me'ode kalman il'er dan me'ode e'ended kalman il'er dari y
am,ar .! Per,andin*an me'ode kalman il'er dan me'ode e'ended kalman il'er dari z
am,ar 7! Per,andin*an nilai error dari x , y $
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%oure ma'la, kalman il'er %is'em Preda'or Pre-:
% filter Klamanclc;deltat=0.01;miu=0.5;x=45;y=20;x0=[x y]';x_re=x;y_re=y;x_kf=x;y_kf=y;
P0=0.5eye!2";#=50;$=1;Pcr=P0;&=[0.02 0;0 0.01];=[1 0];xcr=x0;xre0=x0;(=0.01;xr0=x0;xcr0=x0;err0=x0)xr0;fr k=1*# %+i+tem real ,_re=[!deltat!1)2x_re)!2y_re-!12x_re"/2"""1 )deltat!2x_re-!12x_re"";deltat!2y_re-!12x_re"/2" deltat!2x_re-!12x_re")miu"1]; xre=,_rexre0$+rt!&"randn!21"; =xre+rt!("randn!11"; xre0=xre; xrett=[xr0 xre]; xr0=xrett;
x_re=xre!1*"; y_re=xre!2*"; %kalman filter ,_kf=[deltat!1)2x_kf)!2y_kf-!12x_kf"/2""1 )deltat!2x_kf-!12x_kf"";deltat!2y_kf-!12x_kf"/2" deltat!2x_kf-!12x_kf")miu"1]; %ta3a redik+i xre=,_kfxcr; Pre=,_kfPcr,_kf'$&$'; %ta3a krek+i K=Pre'in!Pre'("; Pcr=!eye!2")K"Pre; xcr=xreK!)xre";
xcrtt=[xcr0 xcr]; xcr0=xcrtt; err=a6+!xre)xcr"; errtt=[err0 err]; err0=errtt; x_kf=xcr!1*"; y_kf=xcr!2*";endfi7ure!1"lt!1*#1xcrtt!1*"')'1*#1xrett!1*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar x'"le7end!'K9''(eal'"
fi7ure!2"lt!1*#1xcrtt!2*"')'1*#1xrett!2*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar y'"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!:"lt!1*#1errtt!1*"'r'1*#1errtt!2*"'6'"le7end!'errr x''errr y'"
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%oure ma'la, e'en'ed kalman il'er %is'em Preda'or Pre-:
% filter extended Kalman filterclc;deltat=0.01;miu=0.5;x=45;y=20;x0=[x y]';x_re=x;y_re=y;x_ekf=x;y_ekf=y;
P0=0.5eye!2";#=50;$=1;Pcr=P0;&=[0.02 0;0 0.01];=[1 0];xcr=x0;xre0=x0;(=0.01;xr0=x0;xcr0=x0;err0=x0)xr0;fr k=1*# %+i+tem real ,_re=[deltat!1)x_re)!2y_re-!12x_re"""1 0;0 deltat!2x_re-!12x_re")miu"1]; xre=,_rexre0$+rt!&"randn!21"; =xre+rt!("randn!11"; xre0=xre; xrett=[xr0 xre]; xr0=xrett; x_re=xre!1*";
y_re=xre!2*"; %extended kalman filter %ta3a redik+i ,=[deltat!1)x_ekf)!2y_ekf-!12x_ekf"""1 0;0 deltat!2x_ekf-!12x_ekf")miu"1]; xre=,xcr; ,_ekf=[deltat!1)2x_ekf)!2y_ekf-!12x_ekf"/2""1)deltat!2x_ekf-!12x_ekf"";deltat!2y_ekf-!12x_ekf"/2"deltat!2x_ekf-!12x_ekf")miu"1]; Pre=,_ekfPcr,_ekf'$&$'; %ta3a krek+i K=Pre'in!Pre'("; Pcr=!eye!2")K"Pre;
xcr=xreK!)xre"; xcrtt=[xcr0 xcr]; xcr0=xcrtt; err=a6+!xre)xcr"; errtt=[err0 err]; err0=errtt; x_ekf=xcr!1*"; y_ekf=xcr!2*";endfi7ure!1"lt!1*#1xcrtt!1*"')'1*#1xrett!1*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar x'"
le7end!'K9''(eal'"fi7ure!2"lt!1*#1xcrtt!2*"')'1*#1xrett!2*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar y'"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!:"lt!1*#1errtt!1*"'r'1*#1errtt!2*"'6'"le7end!'errr x''errr y'"
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%oure ma'la, kalman il'er %is'em Loren:
% filter Klamanclc;deltat=0.01;me7a=0.5;x=45;y=20;=:0;
r=12;6=15;x0=[x y ]';x_re=x;y_re=y;_re=;x_kf=x;y_kf=y;_kf=;P0=0.5eye!:";#=50;$=1;Pcr=P0;&=[0.02 0 0;0 0.01 0;0 0 0.05];=[1 0 0];xcr=x0;xre0=x0;(=0.01;xr0=x0;xcr0=x0;err0=x0)xr0;fr k=1*# %+i+tem real ,_re=[1)deltatme7a deltatme7a 0;deltat!r)_re" 1)deltat)deltat;deltaty_re deltatx_re deltat!)6"1]; xre=,_rexre0$+rt!&"randn!:1"; =xre+rt!("randn!11"; xre0=xre;
xrett=[xr0 xre]; xr0=xrett; x_re=xre!1*";y_re=xre!2*";_re=xre!:*"; %kalman filter ,_kf=[1)deltatme7a deltatme7a 0;deltat!r)_kf" 1)deltat)deltat;deltaty_kf deltatx_kf deltat!)6"1]; %ta3a redik+i xre=,_kfxcr; Pre=,_kfPcr,_kf'$&$'; %ta3a krek+i K=Pre'in!Pre'("; Pcr=!eye!:")K"Pre; xcr=xreK!)xre";
xcrtt=[xcr0 xcr]; xcr0=xcrtt; err=a6+!xre)xcr";errtt=[err0 err];err0=errtt; x_kf=xcr!1*";y_kf=xcr!2*";_kf=xcr!:*";endfi7ure!1"lt!1*#1xcrtt!1*"')'1*#1xrett!1*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar x'"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!2"lt!1*#1xcrtt!2*"')'1*#1xrett!2*"')'"xla6el!'8aktu ke'"
yla6el!'nilai ar y'"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!:"lt!1*#1xcrtt!:*"')'1*#1xrett!:*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar '"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!4"lt!1*#1errtt!1*"'r'1*#1errtt!2*"'6'1*#1errtt!:*"'7'"le7end!'errr x''errr y''errr '"
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%oure ma'la, e'en'ed kalman il'er %is'em Loren:
%extnded Kalman filterclc;
deltat=0.01;me7a=0.5;x=45;y=20;=:0;r=12;6=15;x0=[x y ]';x_re=x;y_re=y;_re=;x_ekf=x;y_ekf=y;_ekf=;P0=0.5eye!:";#=50;$=1;Pcr=P0;&=[0.02 0 0;0 0.01 0;0 0 0.05];=[1 0 0];xcr=x0;xre0=x0;(=0.01;xr0=x0;xcr0=x0;err0=x0)xr0;fr k=1*# %+i+tem real ,_re=[1)deltatme7a deltatme7a 0;deltatr 1)deltat)deltatx_re;deltaty_re 0 1)deltat6]; xre=,_rexre0$+rt!&"randn!:1"; =xre+rt!("randn!11"; xre0=xre; xrett=[xr0 xre];
xr0=xrett; x_re=xre!1*";y_re=xre!2*";_re=xre!:*"; %extended kalman filter %ta3a redik+i ,=[1)deltatme7a deltatme7a 0;deltatr 1)deltat)deltatx_ekf;deltaty_ekf 0 1)deltat6]; xre=,xcr; ,_ekf=[1)deltatme7a deltatme7a 0;deltat!r)_ekf" 1)deltat)deltat;deltaty_ekf deltatx_ekf 1)deltat6]; Pre=,_ekfPcr,_ekf'$&$'; %ta3a krek+i K=Pre'in!Pre'("; Pcr=!eye!:")K"Pre;
xcr=xreK!)xre"; xcrtt=[xcr0 xcr]; xcr0=xcrtt; err=a6+!xre)xcr";errtt=[err0 err];err0=errtt; x_ekf=xcr!1*";y_ekf=xcr!2*";_ekf=xcr!:*";endfi7ure!1"lt!1*#1xcrtt!1*"')'1*#1xrett!1*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar x'"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!2"lt!1*#1xcrtt!2*"')'1*#1xrett!2*"')'"
xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar y'"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!:"lt!1*#1xcrtt!:*"')'1*#1xrett!:*"')'"xla6el!'8aktu ke'"yla6el!'nilai ar '"le7end!'K9''(eal'"fi7ure!4"lt!1*#1errtt!1*"'r'1*#1errtt!2*"'6'1*#1errtt!:*"'7'"le7end!'errr x''errr y''errr '"