EL CASO DE FERMAT
CALCULO DIFERENCIAL
INTRODUCCION
ESTE TEMA TRATA ACERCA DE QUE PODEMOS OBTENER UNA RECTA SECANTE
MEDIANTE EL INCREMENTO Y EL PUNTO FIJO DADO POR NOSOTROS.
ADEMAS DE QUE AL OBTENER VARIAS RECTAS SECANTES ESTAMOS
OBTENIENDO UNA RECTA TANGENTE, Y PUES ESTO SE OBTIENE MEDIANTE LA
FORMULA DE FERMAT DEBIDO AL NOMBRE DE PIERRE DE FERMAT.
METODO DE FERMAT
βLA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA ES IGUAL AL LIMITE DE LAS PENDIENTES DE LAS RECTAS SECANTES CUANDO h TIENDE A CEROβ
SU FORMULA ES LA SIGUIENTE:
ππ‘π = limββ0
ππ
DONDE ππ SE OBTIENE DE:
ππ =π π₯ β π π₯0
π₯ β π₯0
YA QUE:
π₯0, π(π₯0) : SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO FIJO
π₯, π π₯ : SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO MOVIL
β = π₯ β π₯0π₯ = β + π₯0π₯0 = π₯ β β
OBTENER LA RECTA SECANTE DE LA
FUNCION π¦ = π₯2
ANTES DE OBTENER LA RECTA SECANTE DEBEMOS DE TENER LOS DATOS
SIGUIENTES:
π¦ = π₯2
X, Y COORDENADAS
0 0 (0,0)
1 1 (1,1)
2 4 (2,4)
3 9 (3,9)
-1 1 (-1,1)
-2 4 (-2,4)
-3 9 (-3,9)
LLAMAMOS PUNTO FIJO AL PUNTO QUE SE QUEDARA EN LA FUNCION
COMO EN EL EJEMPLO NO ESPECIFICA POR CUAL COORDENADA SERA PARA UTILIZAR EL PUNTO FIJO, NOSOTROS CREAREMOS UNO, Y PARA ELLO SOLO NOS BASTA CON ELEGIR UNA
COORDENADA CUALQUIERA DE LAS QUE LA GRAFICA PERTENECE; COMO ES EJEMPLO UTILIZAREMOS LA COORDENADA [3,9].
ESA COORDENADA REPRESENTARA EL PUNTO FIJO
π₯0, π(π₯0)
[3,9]
COMO VEMOS AHΓ:
π₯0 = 3π¦0 = π π₯0 = 9
h es el incremento de x (βx), por lo tanto βhβ le podemos asignar un numero cualquiera. Como ejemplo le daremos que a h=2 y realizaremos la siguiente operaciΓ³n:
β = π₯ β π₯02 = π₯ β 32 + 3 = π₯5 = π₯
Solo obtuvimos la abscisa del punto mΓ³vil, solo nos falta la ordenada y esa la obtenemos de la funciΓ³n dada en el ejemplo, es decir:
π π₯ = π¦ = π₯2
π¦ = 5 2
π¦ = 25
ASI QUE LA COORDENADA PARA EL PUNTO MOVIL ES: (5,25)
AL MARCAR EL PUNTO FIJO Y EL PUNTO MOVIL,
UNIMOS LOS PUNTOS Y OBTENEMOS LA RECTA
SECANTE:
OBTENIENDO LA FORMULA PARA TENER MAS
RECTAS TANGENTES A PARTIR DEL PUNTO FIJO,
DESCONOCIENDO EL INCREMENTO:
RECORDANDO LOS DATOS:
π₯0, π(π₯0)π₯0 = 3 π¦0 = π π₯0 = 9
π₯ = β + π₯0π₯ = β + 3
SUSTITUYENDO LOS DATOS:
ππ =π π₯ β π π₯0
π₯ β π₯0=π π₯ β π 3
π₯ β 3=π β + 3 β π 3
β + 3 β 3=π β + 3 β π 3
β
ππ =(β + 3)2 β 3 2
β
=(β + 3)2 β 9
β=β2 + 6β + 9 β 9
β=β2 + 6β
β
ππ = β + 6
ππ‘π = limββ0
ππ = limββ0
π π₯ β π π₯0π₯ β π₯0
= limββ0
π β + π₯0 β π π₯0β
= limββ0
β + π₯02 β π₯0
2
β
= limββ0
β2 + 2βπ₯0 + π₯02 β π₯0
2
β= lim
ββ0
β2 + 2βπ₯0β
= limββ0
β + 2π₯0 = 0 + 2π₯0
ππ‘π = 2π₯0
π₯ = β + π₯0
π₯ β π₯0 = β
ππ‘π = 2π₯0
ESTA ES LA FORMULA PARA CALCULAR LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
DE LA FUNCION y = π₯2 PARA USAR UN PUNTO FIJO π₯0, π(π₯0) CUALQUIERA.
RECORDANDO LA TABLA, COMO EJEMPLO, USAREMOS LAS COORDENADAS
(3,9) Y (1,1).
ππ‘π = 2π₯0 PARA (3,9), ENTONCES:
ππ‘π = 2π₯0 = 2 3 = 6
ππ‘π = 6
Y
ππ‘π = 2π₯0 PARA (1,1), ENTONCES:
ππ‘π = 2π₯0 = 2 1 = 2
ππ‘π = 2
Y SI QUIERES SABER QUE ANGULO TIENEN SE HACE LO SIGUIENTE:
ππ΄π π΄ ππ‘π = 6
ππ‘π = tanπΌ = 6
πΌ = πππ tan 6 = 80.5376Β°πΌ = 80.5376Β°
ππ΄π π΄ ππ‘π = 2
ππ‘π = tanπΌ = 2
πΌ = πππ tan 2 = 63.4349Β°πΌ = 63.4349Β°
GRAFICA DE LA FUNCION π¦ = π₯2 CON
2 RECTAS TANGENTES Y SUS 2 PUNTOS
FIJOS DADOS
πΌ = 80.5376Β°
πΌ = 63.4349Β°
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