8/8/2019 EJulio DDCosta Betao Armado
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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVILFACULDADE DE CINCIAS E TECNOLOGIAUNIVERSIDADE DE COIMBRA
BETO ARMADO I
Mdulo 1: Dimensionamento Flexo de umaViga Simplesmente Apoiada de acordo com o
Eurocdigo 2 (Abril 2004)
Eduardo N B S Jlio
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1. BREVES CONSIDERAES INICIAIS
Com a iminente entrada em vigor dos eurocdigos de estruturas, considerou-se que os
regulamentos a seguir nas aulas da disciplina de Beto Armado I do Mestrado Integrado
em Engenharia Civil da FCTUC deveriam ser os Eurocdigos 0, 1 e 2, em lugar dos
regulamentos nacionais, ainda em vigor, RSA e REBAP.
Com este documento pretende-se fornecer aos alunos da disciplina, do ano lectivo
2007/2008, os elementos relevantes a ter em conta no dimensionamento flexo
simples de vigas de beto armado, de acordo com o Eurocdigo 2 (verso Portuguesa,
Abril 2004).
O exemplo seleccionado foi adoptado dos textos de apoio disciplina de Beto Armado I
da Licenciatura em Engenharia Civil da FCTUC, do ano lectivo 1996/1997, da autoria de
Eduardo Jlio e Joo Catarino.
Os autores solicitam que lhes sejam comunicadas todas as imprecises que,eventualmente, sejam detectadas.
Eduardo Jlio e Daniel Dias da Costa
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2. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
Considere-se a viga simplesmente apoiada, representada na Fig. 1, localizada no
interior da estrutura em que se insere, sujeita a uma aco permanente de 20 kN/m e a
uma sobrecarga de utilizao de 50 kN/m.
Os materiais a considerar no dimensionamento so o beto C 20/25 e o ao S 400.
Figura 1
clculo do vo efectivo
5.3.2.2 pg. 67
1eff nl l a a= + + 2 (5.8)
de acordo com a Figura 5.4 (a):0,40 0,50
9,70 10,152 2
effl m= + + =
aps o dimensionamento da altura da viga necessria a verificao do pressuposto de
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1,5
Q =
no caso em anlise, tem-se:
1, 35 20 1, 5 50 102 / p k= + = N m
clculo de esforos
2 2
,max
102 10,151313,5
8 8Sd
pl M kNm
= = =
pr-dimensionamento
considerando, na expresso do momento reduzido,2
RdRd
cd
M
bd f = ,
2b d= , Rd Sd
M M= e 0,25econ
= = , tem-se: 3
0,125
Sd
cd
Md
f
=
(nota: o valor de econ deve ser determinado com dados actualizados do custo do beto,
do ao, das cofragens e da mo-de-obra)
Quadro 3.1 pg. 34
C 20/25 fck = 20 N/mm2
Quadro 2.1N pg. 28
1,5c
=
3.1.620
13,31,5
cd f MPa= =
ento, ( )1/3
1313,5 0,125 13300 0,92d m= =
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2
,max
1,35 12,5 10,15217,3
8Sd M kNm
= =
sendo, ento, o momento total:
MSd,max = 1313,5 + 217,3 =1530,8 kNm
estimativa da altura til
se se admitir que vai ser necessrio agrupar vares e que o dimetro escolhido ser o
25, o dimetro equivalente do agrupamento ser:
8.9.1 (2) pg. 162
55n b
n m = m (8.14)
2,5 2 3,54n cm = =
admitindo, ainda, que o dimetro dos estribos ser o 8, ento, o recobrimento (aoestribo), c, atendendo a que a viga interior, logo da classe de exposio XC1 (ver
Quadro 4.1 pg. 54), ser:
4.4.1 pg. 55
minnom devc c c= + (4.1)
min min, min, , , ,max( ; ;10 )b dur dur dur st dur add c c c c c c= + mm
mm
m
m
m
(4.2)
min max(35,4;15;10) 35,4c mm= =
4.4.1.3 (1) pg. 58
10devc m =
8 35, 4 10nomc m+ +
37,4nomc m
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213,3
0, 321 0, 50 0, 927 56, 9348
s A cm= =
adopta-se 12 25 (As = 58,9 cm2)
dispensa da verificao da segurana ao estado limite de deformao
7.4.2 pg. 144
de acordo com (2), tem-se:
3
0 10 0, 45%ckf= =
4
0
58,9 101,27% 0,45%
0,5 0,927
sA
bd
= = = > =
1K = (Quadro 7.4N pg. 146)
0
0
111 1,5
12ck ck
lK f f
d
= + +
(7.16b)
0,45 1 01,0 11 1,5 20 20 13,4
1,27 0 12 0, 45
l
d
= + + =
este valor deve ser multiplicado por:
( ), ,310 500s yk s req s prov f A A = (7.17)tem-se ento:
( )310 500 400 56, 9 58, 9 1, 29s = =
como o vo superior a 7m , deve ainda multiplicar-se por 7/leff:
7 7 10,15 0,eff
l = = 69
tem-se ento uma relao limite de:
13,4 1,29 0,69 11,9l
d= =
sendo:
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ctA a rea de beto traccionado imediatamente antes da formao da primeira fenda.
A presena das armaduras desloca o eixo neutro na sua direco, pelo que ser
conservativo considera-lo a meia altura.Act = 0,50 0,50 = 0,25 m2
,2,2
ct eff ctm f f M = = Pa (quadro 3.1 pp. 34)
O dimetro deve ser corrigido em funo das hipteses de clculo
( )( )
*
, 2,9
2
c crs s ct eff
k hf
h d
=
(7.6N)
( )( )0,4 0,5
25 2,2 2,9 26,02 1 0,927
s mm
= =
interpolando a tenso no quadro 7.2N, para 0,4kw mm= (quadro 7.1N), obtm-se
s = 220 MPa
0,4ck =
0,65k =
4 2
,min 0, 4 0, 65 2, 2 0, 25 220 6, 5 10 6, 5s2
A m c= = = m
adicionalmente,
de 9.2.1.1 (1) pg. 171 tem-se:
,min0, 26 0,0013ctm
s t
yk
f A b d
f=
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8.9.1 (3) pg. 164
a distncia entre agrupamentos deve ser superior ou igual ao dimetro equivalente. No
sendo, por isso, possvel colocar os 12 25 numa s camada sem efectuar
agrupamentos. Analise-se, ento, a seguinte distribuio:
2 4,8 7 2,5 6 50,0 x cm + + =
3,82 3,54 x cm cm = >
logo esta uma distribuio possvel
verificao da altura til
2,5 2,57 4,8 5 4,8 2,5
2 2
12h d
+ + + + =
100 - d = 7,09 cmd = 92,9 cm
como o valor estimado ligeiramente inferior ao valor exacto, est-se do lado da
segurana, pelo que o clculo est correcto (se o valor de d desse inferior ao arbitrado,
seria necessrio verificar se a armadura adoptada era suficiente e, caso no fosse, os
clculos teriam de ser repetidos)
verificao da segurana ao estado limite de fendilhao
7.3.3 pg. 140 (quadro 7.3N)
no caso em estudo no se coloca esta questo; a dificuldade respeitar o espaamento
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d = 1,0 - 0,048 - 0,020/2 = 0,942 m
como se pode concluir a armadura respeita os mnimos e mximos impostos pela
regulamentao
interrupo da armadura longitudinal
9.2.1.4 (1) pg. 173
deve ser mantido at aos apoios das vigas pelo menos 25% da armadura de traco no
vo
9.2.1.3 (2) pg. 172
para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 pg.
96),
( )cot cot 2 0la z = (9.2)
o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) pg. 100); ento tem-se:
( )0, 9 0, 929 1 0 2 0, 42la m= =
os vares devem ser amarrados (a partir do ponto em que deixam de ser necessrios)
com um comprimento de amarrao, lbd;
8.4.3 pg. 152
,4
sdb rqd
bd
lf
= (8.3)
8.4.2 (2) pg. 151
1 22,25bd ctd f f = (8.2)
3.1.6 (2) pg. 39
1 5f
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MRd = b d2 fcd = 1125 kNm
a equao de momentos :
2
603,29 118,88 2Sd
xM x=
ento (apenas sero indicados os valores esquerda do eixo de simetria), tem-se:
MSd = MRd = 1125 kNmx =2,46 m
tem-se:
As,prov = As(12 25) = 58,9 cm2
tem-se, ento, que sd poder ser aproximadamente obtido pela seguinte relao
(admitindo variao linear da fora 9.2.1.3 (3) pg. 173):
,
,
39,3348 232,2
58,9
s req
sd yd
s pro
A f MPa
A = =
,
0,025 232,2
0,654 2, 25b rqdl m= =
o comprimento de amarrao de clculo pode ento ser determinado
8.4.4 (1) pg. 153
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l l = (8.4)
1 1,0 = - vares rectos
( 1min / 2, ,dc a c= )c
m cm
(figura 8.3 pg. 153)
( )min 3,82 / 2;4,8;4,8 1,91dc c= =
como ainda no se dimensionaram as cintas transversais pode assumir-se, pelo lado da
segurana, que sero as mnimas. Assim
31,0 =
1 0 = - no existem vares transversais soldados
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logo:
0,42 0,65 1,39x m =
armadura nos apoios
9.2.1.4 (2) pg. 173
lE E
aF V
z= (9.3)
o esforo pode habitualmente ser tomado na face do apoio e a altura til tambm
deveria ser corrigida. No entanto, por simplicidade e pelo lado da segurana
EV
0,42603,29 303,05
0,929 0,9E
F k= =
N
4 2303,05
8,71 10 8,71348000s2
A m
= = = cm a rea necessria para amarrar a armadura nos
apoios
8.4.3 pg. 152
,
4
sdb rqd
bd
l
f
= (8.3)
As,req = 8,71 cm2
As,prov = As(8 25) = 39,3 cm2
tem-se, ento quesd
poder ser aproximadamente obtido pela seguinte relao
(admitindo variao linear da fora 9.2.1.3 (3) pg. 173):
,
,
8,71348 77,1
39,3
s req
sd yd
s pro
A f MPa
A = =
uma vez que se pretende amarrar no apoio vares agrupados (neste caso o central)
deve-se considerar o dimetro equivalente
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603, 29
2,410,5 0,5
p MPa= =
51,0 0,04p = (Quadro 8.2 pg. 154)
51, 0 0, 04 0, 9p = =
e assim
,min0,9 0,30 0,27 0,25 0,27bd b bd l m l m= = < = =/ l
8.9.2 (2) pg. 163os vares dos agrupamentos devem ser amarrados individualmente e desfasados de
uma distncia igual a 1,3 vezes (no caso de agrupamentos de dois vares) o
comprimento de amarrao dos vares isolados; tem-se ento:
14,1+1,214,1 = 31,7 cm
como este comprimento contado desde a face interior do elemento de apoio, o espaodisponvel superior ao necessrio:
40 cm (largura do apoio) menos 3,8 cm (recobrimento mais estribo) = 36 cm;
armadura de alma
9.2.4 (1) pg. 177
a armadura de pele necessria para agrupamentos 32n
mm > . Tambm pode ser
recomendvel em vigas com uma altura total de 1,0 m ou mais, em que a armadura
esteja concentrada apenas numa pequena poro da altura para controlar a fendilhao
nas faces laterais. As disposies construtivas a respeitar encontram-se no Anexo J.
J.1(2) pg. 255
, , min 0,01 ,s surf s surf ct ext A A A< =/
na seco de momento mximo a posio do eixo neutro dada por
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da Figura J.1 tira-se que o valor do afastamento mximo entre os vares da armadura
de alma 150 mm
o permetro da seco transversal onde a armadura dever ser distribuda o seguinte
(considerando 10):
( ) ( )2 1 0, 369 0, 04 0, 5 0, 04 2 1, 602 m = + =
no total devero ser (1,602 / 0,15) 1 11+ = vares longitudinais, pelo que a armadura
poder ser materializada por 10 af.0,150, distribuda at uma altura mxima de
.( )1 0.369 0,65 m
J.1(4) pg. 255
necessrio verificar o recobrimento para as armaduras de pele.
4.4.1 pg. 55minnom dev
c c c= + (4.1)
min min, min, , , ,max( ; ;10 )b dur dur dur st dur add c c c c c c= + mm
mm
m
mm
mm c
(4.2)
minmax(10;15;10) 15,0c mm= =
4.4.1.3 (1) pg. 58
10devc m =
15 10 25nomc mm + = se as armaduras de pele encostarem nos estribos, o
recobrimento real nominal verificado ser 40 10 10 20 25 nomc mm= = < = , pelo
que pode justificar-se um ajuste da seco ou alterao da posio das armaduras.
armadura transversal
6.2.3 (3) pg. 101
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calcule-se, em primeiro lugar, a zona da viga onde suficiente colocar a armadura
mnima (avaliao da capacidade resistente sem armadura de transverso)
6.2.2 (1) pg. 98
( )1/3
, , 100 Rd c Rd c l ck wV C k f b= d
(6.2.a)
, 0,18 0,18 1,5 0,12 Rd c cC = = =
200 200
1 1 1,46929k d= + = + = 2,0 458,9 10
0,013 0,020,5 0,929
sll
w
A
b d
= = =
( )1/3 3
, 0,12 1,46 100 0,013 20 500 929 10 241,1 Rd cV k = = N
b d
sujeito a um mnimo de, min Rd c wV = (6.2.b)
3/ 2 1/ 2
min 0,035 ckk f = (6.3N)
3/2 1/2
min 0,035 1,46 20 0,276 = =
pelo que3
, 0,276 500 929 128,2 10 128,2 Rd cV N= = = kN
N
m
pelo que
, max(241,1;128,2) 241,1 Rd cV k= =
a localizao do ponto no diagrama de esforos transversos
603, 29 118,88 241,1 3,05SdV x kN x= = = para uniformizar as distncias medidas face do apoio, o comprimento ser assumido
de 3,30 m das extremidades dos apoios.3,303,30 4,00
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calcule-se agora o valor da armadura mnima nessa seco
9.2.2 (5) pg. 175
Armaduras transversais mnimas
paraS 400 e C 20/25 tem-se:
( ),min 0,08w ck yk f f = (9.5N)
( ),min 0,08 20 400 0,00089443w = =
( )sin 0,00089443w sw w A sb = =
4 2
min
0,00089443 0,5 1 4,47 10 /swA
m ms
= =
determine-se agora qual o espaamento longitudinal mximo regulamentar na zona em
anlise
9.2.2 (6) pg. 176
( ),max 0,75 1 cotls d = +
,max 0,75 0,929 1 0,70ls m= =
logo:ento: ,max 0,70ls m=
determinao do espaamento transversal mximo regulamentar na zona em anlise
9.2.2 (8) pg. 176
,max ,max0,75 0,75 0,929 0,70 0,6 0,60t ts d m m s= = = = m
o espaamento transversal mximo implica que dois ramos sero suficientes.
para estribos 8 de 2 ramos:
E2r8 As = 1,01 cm2
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6.2.3 (3) pg. 101
, cotsw
Rd s ywd
A
V zfs
= (6.8)
( ) 3, 0, 9 0, 929 348 10 1 469sw
Rd s
AV k
s
=
N
4 216,1 10 / swA
m ms
para estribos 8 de 3 ramos:
s = 1,51/16,1 =0,094 m
adopta-se E3r8af 0,075 m
analise-se a possibilidade de aplicar uma transio de afastamento entre estribos de
0,10 m
4 215,1 10 / swA
m ms
=
,cotsw
Rd s ywd
AV zf
s
=
(6.8)
( )4 3
, 15,10 10 0,9 0,929 348 10 1 439,35 Rd sV k
= N
m
a posio deste esforo pode ser encontrado a
603, 29 118,88 439,35 1,38SdV x kN x= = =
adopta-se ento o seguinte escalonamento de armaduras:
3,60
1,
00 3r8//0,075 3r8//0,10 2r8//0,20
1225825
1,75 1,75 1,75 1,75
3r8//0,10 3r8//0,075
825
320 312A' 320
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8//0,075
320
Corta A-A'
1225
0,50
1,
00
8.7.4.1 (3) pg. 159
nas zonas de amarrao de vares, no caso de mais de 50% das armaduras estaremsobrepostas, dever respeitar-se 8.7.4.1 (4) pg. 159.
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EXERCCIO 2
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTNUA SUJEITA A TORO
Considere-se a viga contnua, representada na Fig. 2, localizada no interior de
determinada estrutura e sujeita a uma sobrecarga de utilizao de 13,33 kN/m. A
sobrecarga referida apresenta uma excentricidade, relativamente ao centro de corte da
seco transversal da viga, de 0,96 m. Alm disso, deve ser considerada como actuandosempre simultaneamente nos dois troos da viga.
Os apoios A e C no oferecem qualquer resistncia toro, enquanto o apoio B pode
ser considerado como encastrado toro.
Os materiais a considerar no dimensionamento so o beto C 20/25 e o ao S 400.
Figura 2
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Resoluo
quantificao do peso prprio
pp = 0,750,8025 = 15 kN/m
combinao de aces
actuando a sobrecarga sempre simultaneamente nos dois troos da viga, no se tem de
efectuar variaes de sobrecarga e s h, consequentemente, uma combinao de
aces a considerar; os esforos devem ento ser calculados para a carga:
p = 1,3515+1,513,33 = 40,25 kN/m
determinao de esforos
momentos na estrutura base isosttica
aplicando o teorema dos 3 momentos, tem-se:
( )
2 2181,125 6 3 181,125 6 3
3 32 6 6 6 181,1256 6
B B M M k
+ = + =
Nm
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6.3 - Toro
arbitra-se a posio do centro de gravidade dos vares da armadura longitudinal a 5 cm
das faces:
espessura da seco oca equivalente, t
6.3.2 (1) pg. 108
At
u= espessura real
t 2c
em que A a rea da seco, u o permetro da seco e c a distncia entre a face
exterior da seco e o centro de gravidade das armaduras
A = 0,750,80 = 0,6 m2
u = = 3,1 m( )2 0,75 0,80+
,ef i
At
u= = 0,19 m
,2 0,05 0,10 0,19
ef it m =
adoptada uma espessura de 0, 10 m
seco crtica B
181 125M kN
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para um beto C20/25 vem
200,6 1 0,552
250
= =
considerando t = 0,10 m vem
( ) ( ) 20,75 0,10 0,80 0,10 0,455kA m= =
ento3
,max2 0,552 13,3 10 0,455 0,10 sin 45 cos 45RdT =
,max 334,04RdT k= NmNm
TSd = 115,2 kNm < , verifica,max 334,04RdT k=
6.2.3 (3) pg. 101
( ),max 1 cot tan Rd w cd V b z f = + (6.9)
10,6 1
250
ckf =
(6.6N)
tem-se, para estribos verticais,
1
200,6 1 0,552
250
= =
( ),max 0,75 0,9 0,75 0,552 13300 2RdV =
,max1858,34RdV = kN > 150,94 kN = VSd, verifica
necessrio ainda efectuar a verificao
6.3.2 (4)
,max ,max
1Sd Sd
Rd Rd
T V
T V
+
(6.29)
tem-se
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32 0, 455 348 10 1 115, 2sw
Rd
AT k
s
=
Nm
4 2
3,64 10 /
swA
m ms
=
9.2.3 (3) pg. 177
Afastamento longitudinal das armaduras transversais
( )2 0,75 0,80,3875
8 8
us m
+ = =
0,75ws b m =
9.2.2 (6) pg. 176
(,max 0,75 1 cotls d )= + (9.6N)
,max0,75 0,75 1 0,5625
ls m= =
logo:
ento:,max
min(0,3875;0,5625) 0,3875l
s m= = m
d
Determinao da armadura transversal
6.2.2 (1) pg. 98
Avaliao da capacidade resistente sem armadura de transverso
( )1/3
, ,100 Rd c Rd c l ck wV C k f b= (6.2.a)
,0,18 0,18 1,5 0,12 Rd c cC = = =
200 2001 1 1,52
750k
d= + = + = 2,0
0,02sll
A
b d =
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cot2
sl yd Sd
k k
A f T
u A= (6.28)
3
115,2 112 0, 455 348 10
sl
k
A
u =
4 23,64 10
sl
k
Am m
u
=
pelo que a armadura longitudinal total na face inferior:2
7,09 3,64 0,65 9,46sl A cm
= + =
agora possvel a avaliao a armadura que suporta o esforo transverso
1 =4
9,46 100,17%
0,75 0,75
=
( )1/3 3
,0,12 1,52 100 0,0017 20 750 750 10 154,3 Rd cV k
= = N
b d
sujeito a um mnimo de
, min Rd c wV = (6.2.b)
3/ 2 1/ 2
min0,035
ckk f = (6.3N)
3/2 1/2
min0,035 1,52 20 0,293 = =
pelo que3
,0,293 750 750 10 164,8 k Rd cV N
= =
pelo que
,max(154,3;164,8) 164,8
Rd cV k= = N
como VSd = 150,94 kN < 164,8 kN = VRd,c
s necessria armadura mnima
Armaduras mnimas
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25/59
9.2.2 (8) pg. 176
,max0, 75 0, 6
ts d= m
m
(9.8N)
,max0,75 0,75 0,5625 0,6
ts m= =
o espaamento transversal mximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos.
ramos laterais
226, 7 2 3, 64 11, 75 /
3
sA cm ms
+ =
E2r8 As = 1,01 cm2
s 0,086 m
adopta-se s = 7,5 cm
ramo central
216,7 2, 23 /
3
sA cm ms
=
s = 7,5 cmAs 0,17 cm26
embora 6 fosse suficiente para o ramo central, adopta-se igualmente 8
emendas da armadura de toro8.7 pg. 156
8.7.3 pg. 157
o comprimento de sobreposio pode ser avaliado pela expresso seguinte
1 2 3 4 5 6 , 0,minbd b rqd l l l = (8.10)
,4
sdb rqd
bd
lf= (8.3)
8.4.2 (2) pg. 151
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220,13 / s
prov
Acm m
s
=
tem-se, ento, que sd poder ser aproximadamente obtido pela seguinte relao:
,
,
13,98348 242
20,13
s req
sd yd
s pro
A f MPa
A = =
,
0,008 2420,22
4 2, 25b rqd
l m= =
por simplicidade assume-se que os vrios coeficientes1 2 3 4 5
1,0 = = = = = . Verifica-
se se o comprimento disponvel de sobreposio suficiente. Caso o no seja, os
coeficientes devero ser avaliados. De acordo com o quadro 8.3, para percentagem de
vares sobrepostos superior a 50%,6
1,5 =
1 1,5 0,22 0,33bdl m= =
( )0,min 6 ,max 0, 3 ;15 ; 200b rqdl l > mm
m mm
(8.11)
( )0,min max 0,3 1,5 220;15 8;200 200l m= =
soluo adoptada
8 af.0,075
dimensionamento da armadura
longitudinal
de acordo com o clculo j efectuado atrs
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de acordo com os clculos atrs realizados,
slA = 7,0910-4m2
(armadura superior mxima devido a momento flector)
MSd,max = 101,88 kNm
(momento flector nas seces a 2,25 m das seces dos apoios laterais)
2 2
101,880,018
0,75 0,75 13300
SdSd
cd
M
bd f = = =
= 0,018
As = 0,0180,750,7513,3/348
As = 3,8710-4m2
(armadura inferior mxima devido a momento flector)
a percentagem de armadura inferior em apoios intermdios a indicada em
9.2.1.4 (1), isto , deve-se manter no apoio pelo menos um quarto da armaduraexistente no vo. Ento, na seco B, a armadura necessria em cada uma das quatro
faces :3,64x0,65+7,09=9,46cm 2
3,64x0,70=2,55 cm 2
3,64x0,65+3,87/4=3,33cm2
3,64x0,70=2,55 cm 2
seco a 4,0 m do apoio A
=
=
kNT
kN,V
kNm,M
Sd
Sd
876
4470
2440
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sendo
,max0,3875
ls = m
kN
(j determinado para a seco B)
4.3.2.3(1)
,max(154,3;164,8) 164,8
Rd cV = = (j determinado para a seco B)
como VSd = 70.44 kN < 164,8 kN = ,, Rd cV
s necessria armadura mnima
Armaduras transversais mnimas
9.2.2 (8) pg. 176
,max0,5625
ts m=
o espaamento transversal mximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos.
ramos laterais
226,7 2 2, 43 9,33 /
3
sA cm ms
+ =
E2r8 Asw = 1,01 cm2
s 0,11 m
adopta-se s = 10 cm
ramo central
216,7 2, 23 /
3
sA cm ms
=
s = 10 cmAs 0,22 cm28 (pela razo anteriormente referida de uniformizao)
s = 10,0 cm e E3r8, uma vez que respeita indicados para a seco B
8 af.0,10
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dimensionamento da armadura longitudinal
2
90,56 40,25
2
sd
xM x=
9.2.1.3 (2) pg. 172
para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1 pg.
96),
( )cot cot 2 0la z = (9.2)
o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) pg. 100); ento tem-se:
( )0, 9 0, 75 1 0 2 0, 34la m= =
4,0 0,34 4,34x m= + = 13,96sd M kNm=
nesta seco torna-se desnecessria armadura superior de flexo.
4,0 0,34 3,66x m= =
61,86sd M kNm= das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se:
2
61,860,011
0,75 0,75 13300 = =
213,30,011 0,011 0,75 0,75 2,36
348s A cm= = =
6.3.2 (3) pg. 109
115 2
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a armadura necessria em cada uma das faces :
2,43x0,65=1,58 cm2
2,43x0,70=1,70 cm2
2,43x0,65+2,36=3,94 cm2
2,43x0,70=1,70 cm2
seco a 2,0 m do apoio A
100,62
10,06
38,40
Sd
Sd
Sd
M kNm
V kN
T kNm
= =
=
dimensionamento da armadura transversal
6.3.2 (1) pg. 108
a armadura transversal de toro pode ser obtida a partir da expresso 6.26 pg. 108,obtendo-se
( )2 c Rd k ywd swT A f A s ot=
32 0,455 348 10 1 38,4sw
Rd
AT k
s
=
Nm
4 21,21 10 / swA m m
s
=
9.2.3 (3) pg. 177 e 9.2.2 (6) pg. 176
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Armaduras mnimas
9.2.2 (5) pg. 175
4 2
min
6,7 10 / swA
m ms
=
9.2.2 (8) pg. 176
,max 0,5625ts m=
o espaamento transversal mximo implica a necessidade de ter mais de dois ramos.
adoptando estribos de 8
ramos laterais
226, 7 2 1, 21 6,89 /
3
sA cm m
s
+ =
E2r8 As = 1,01 cm2
s 0,147 m
adopta-se s = 12,5 cm
ramo central21
6,7 2, 23 / 3
sA cm ms
=
s = 12,5 cmAs 0,28 cm26
dimensionamento da armadura longitudinal2
90,56 40,252
sd
xM x=
a armadura longitudinal de flexo j foi dispensada na seco a 4 0m do apoio A a
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4 238,40 11,21 10 /
348000 2 0,455
sl
k
Am m
u
= =
a armadura necessria em cada uma das faces :
1,21x0,65=0,79 cm2
1,21x0,70=0,85 cm2
1,21x0,65+3,87=4,65 cm2
1,21x0,70=0,85 cm2
seco do apoio A 0
90,56
0
Sd
Sd
Sd
M kNm
V kN
T kNm
=
= =
dimensionamento da armadura transversal6.2.2 (1) pg. 98
Avaliao da capacidade resistente sem armadura de transverso
,164,8 Rd cV k= N
como VSd = 90,56 kN < 164,8 kN = VRd,c,s necessria armadura mnima
Armaduras mnimas
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ramos laterais
26,7 / s
Acm m
s
E2r8 As = 1,01 cm2
s 0,151 m
adopta-se s = 15,0 cm
dimensionamento da armadura longitudinal
considerou-se a armadura da seco a 2,0m de A:
1,21x0,65=0,79 cm2
1,21x0,70=0,85 cm2
1,21x0,65+3,87=4,65 cm2
1,21x0,70=0,85 cm2
Tem-se ento:
Seco A e seco a 2,0m de A:
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Seco B:
amarraes
9.2.1.3 pg. 172
os vares dimensionados devem ser amarrados com um comprimento de bdl
8.4.4 (1) pg. 153
1 2 3 4 5 , ,minbd b rqd bl l l = (8.4)
11,0 = - vares rectos
31,0 =
41,0 = - no existem vares transversais soldados
5 1,0 = - ausncia de compresso transversal no estado limite ltimo ao longo de bdl
2 3 51,0 0,7 = (8.5)
8.4.3 pg. 152
,
4
sd
b rqdbd
lf
= (8.3)
8.4.2 (2) pg. 151
1 22,25bd ctd f f = (8.2)
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1 34837,8
4 4 2.3
yd
b
bd
fl c
f
= = = m
considerando ms condies de aderncia e armaduras de 12
para condies de m aderncia1
0,7 =
1,2 34864,8
4 4 0,7 2.3
yd
b
bd
fl c
f
= = =
m
para armaduras de 10
1 34854
4 4 0,7 2.3
yd
b
bd
fl c
f
= = =
m
temos ento para as diversas seces:
seco a 4,0m do apoio A
amarrao dos 2 10
das faces laterais
As,req = 1,70 cm2
As,prov = 3,14 cm2
1,701 37,8 20,5
3,14bdl c= = m
m
com um mnimo de,0,3 11,34
10 10
10
b rqdl ccm
cm
==
amarrao dos 6 12 da face superior
As,req = 1,58 cm2
As,prov = 9,93 cm2
1,581 64,8 10,3
9,93bdl c= = m
0 3 19 4l
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4,50 0,34 4,16l x a m = =
4,16 0,75 3,41l bd x a l m = =
adopta-se 60 cm para comprimento de amarrao dos vares desta seco.
seco a 2,0m do apoio A
amarrao dos 2 10 das faces laterais
As,req = 0,85 cm2
As,prov = 2,36 cm2
0,851 54,0 19,45
2,36bdl c= = m
m
com um mnimo de,
0,3 16,2
10 10
10
b rqdl c
cm
cm
= =
amarrao dos 2 10 da face superior
As,req = 0,79 cm2
As,prov = 3,14 cm2
0,791 54,0 13,6
3,14bdl c= = m
m
com um mnimo de,
0,3 16,2
10 10
10
b rqdl c
cm
cm
=
=
adopta-se 20 cm para do varo desta seco.bdl
seco A
9.2.1.4 (2) pg. 173
lE E
aF V= (9.3)
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0,3 0,3 54,0 16,2
10 12
10
bl c
cm
cm
= =
=
m
m
e na face inferior, de
0,3 0,3 45,4 13,6
10 12
10
bl c
cm
cm
= =
=
todos os vares, desta seco, sero levados at face da viga
Esquema de armaduras da resoluo pelo EC2
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EXERCCIO 3
DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA CONTNUA
Objectivos do estudo e conceitos apresentados:
- Redistribuio de esforos
- Estado limite ltimo de flexo e esforo transverso
- Foras de desvio
- Armadura de suspenso
- Apoios indirectos
- Viga de seco varivel
Dados
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Resoluo
Combinao de acesConsidera-se que a nica combinao de aces a considerar a seguinte:
( )1,35 1,5Qsd AP Sob Em toda a Estrutura= +
Caso se permitisse a variao da sobrecarga nos diversos tramos, ao longo do
vo, obtinham-se outras combinaes que apenas alteravam os esforos em
termos de envolvente mas que no acrescentava nada em termos dos objectivosdo problema.
Diagramas de esforos
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Pretende-se efectuar uma redistribuio de esforos que baixe o momento
negativo sobre o apoio intermdio e o torne da ordem de grandeza do valorpositivo.
5.5 pag. 69
A redistribuio pode ser efectuada no caso de lajes e vigas contnuas solicitadas
predominantemente flexo em que a relao entre vos adjacentes esteja entre
0,5 e 2.
Admitindo que os pilares dispensam a verificao da segurana em relao
encurvadura, vai-se proceder a uma redistribuio do momento negativo
sobre o apoio intermdio para um valor que iguale o valor do
momento positivo mximo no tramo direito.
( 305,72 )
Adicionalmente, a capacidade de rotao no precisa de ser verificada se:5.5 (4) pag. 69
1 2
ux
k kd
+ (5.10a)
10,44k =
2
2
0,00141,25 0,6cu
k
= +
a extenso ltima 2cu obtida do quadro 3.1 pg. 34
3
23,5 10cu
=
2
0,00141,25 0,6 1,25
0,0035k
= + =
a posio do eixo neutro, no estado limite ltimo, aps a redistribuio
determinada seguidamente
5
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2850,93 0,73
305,72
= = (no necessrio verificar a capacidade de rotao)
Obtm-se os seguintes diagramas de esforos aps a redistribuio:
Armadura longitudinal
2
sdsd
cd
Mem flexo simples
bd f =
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SdM [kNm] 225 43 69,69 23 285 284,06
SdN [kN] 0 27,71 0 36,65 0 0
SdsM [kNm] - 51,6 - 11,6 - -
0,129 0,030 0,040 0,007 0,164 0,164
x
d
0,172 0,055 0,066 0,0258 0,226 0,226
0,139 0,0305 0,041 0,007 0,183 0,183
sA [cm2
] 10,52 ,minsA< 3,10 ,minsA< 13,85 13,85
2 12 3 20 +
3 12 3 12 3 12 2 12 4 20 +
2 12 4 20 +
armaduras mnima e mxima7.3.2 pg. 137
,min ,s s c ct eff ct A k kf A = (7.1)
ctA a rea de beto traccionado imediatamente antes da formao da primeira
fenda. A presena das armaduras desloca o eixo neutro na sua direco, pelo que
ser conservativo considera-lo a meia altura.
Act = 0,30 0,35 = 0,105 cm2
,2,2
ct eff ctm f f M = = Pa (quadro 3.1 pp. 34)
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0,4c
k =
1,0k = 4 2
,min0, 4 1, 0 2, 2 0,105 236 3, 9 10 3, 9
s
2 A m c= = = m
adicionalmente,
de 9.2.1.1 (1) pg. 171 tem-se:
,min 0,26 0,0013
ctm
s tyk
f
t A b d b d f=
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Verificao da compresso mxima na biela de beto
6.2.3 (3) pg. 101( ),max 1 cot tan Rd w cd V b z f = + (6.9)
10,6 1
250
ckf =
(6.6N pg. 100)
1
200,6 1 0,552
250
= =
( ),max 0,3 0,9 0,46 0,552 13300 2 455,9RdV k= = N
=,max
112,5Sd
kN
como > V,max
455,9Rd
V kN = , no necessrio alterar as dimenses
da seco transversal
9.2.1.3 (2) pg. 172
para a armadura transversal calculada pelo procedimento preconizado em (6.2.1
pg. 96),
( )cot cot 2 0la z = (9.2)
o valor de z pode ser considerado igual a 0,9d (6.2.3 (1) pg. 100); ento tem-
se:
( )0, 9 0, 46 1 0 2 0, 21la m= =
os vares devem ser amarrados (a partir do ponto em que deixam de ser
necessrios) com um comprimento de amarrao, lbd;
8.4.3 pg. 152
,4
sdb rqd
bd
lf
= (8.3)
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para avaliar a tenso nos vares a partir da zona onde medido o comprimento
da amarrao, preciso analisar o diagrama de momentosAs,req = 5,06 cm2
As,prov = 14,83 cm2
tem-se, ento, que sd poder ser obtido pela seguinte relao:
,
,
5,06348 118,7
14,83
s req
sd yd
s pro
A f MPa
A
= =
,
0,020 118,70,38
4 1, 58b rqd
l m= =
o comprimento de amarrao de clculo pode ento ser determinado
8.4.4 (1) pg. 1531 2 3 4 5 , ,minbd b rqd b
l l l = (8.4)
11,0 = - vares rectos
21,0 = - por simplicidade, enquanto no se verifica a constituio da seco
transversal
uma vez que as cintas transversais ainda no foram dimensionadas, pode
assumir-se, pelo lado da segurana, que sero as mnimas. Assim:
31,0 =
4 1,0 = - no existem vares transversais soldados
5
1,0 = - ausncia de compresso transversal no estado limite ltimo ao longo de
2 3 51,0 0,7 = (8.5)
logo
1 0 0 38l l
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Vo Quebrado
0,7 0,66h m d= m
2
'
2 12 2,26s
A cm = e assume-se que'
1,0A
A=
42,26 10 348000
0,0300,3 0,66 13300
= =
e
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se:0,030 52,1 1,02 4,70
Rd M kNm x m x m= = = =
( ) ( )1,02 132,56 e 4,70 132, 40sd sd V x m kN V x m kN = = = =
Verificao da compresso mxima na biela de beto
6.2.3 (3) pg. 101
( ),max 1 cot tan Rd w cd V b z f = + (6.9)
10,6 1
250
ckf =
(6.6N pg. 100)
1
20
0,6 1 0,552250
= =
( ),max 0,3 0,9 0,66 0,552 13300 2 654,1RdV k= = N
=,max
297,25Sd
kN
como > V,max
654,1Rd
V kN = , no necessrio alterar as dimenses
da seco transversal, que se encontra verificada para o vo quebrado e extremo
direito.
seguindo passos idnticos aos j efectuados para a consola
( )cot cot 2 0la z = (9.2)
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,
0,020 53,00,17
4 1,58b rqd
l m= =
,min1,0 0,17
bd bl l=
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqd l l = mm
m mm
(8.6)
( ),min max 0,3 170;10 20;100 200bl m= =
pelo que 0,20bd
l m=
1,02 0,30 0,20 1,52 1,55x m= + + =
4.70 0,30 0,20 4,20x m= =
Tramo externo direitoArmadura negativa
0,7 0,66h m d= m
' 22 12 2,26
s A cm =
0,030=
das tabelas Barros e Figueiras (2007) tem-se:
0,029 50,4 0,88Rd
M kNm x m= = =
233,89sd
V k= N
seguindo os passos j efectuados para o vo quebrado0,30
la m=
0,20bd
l m=
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0,107 186,0 2,14Rd
M kNm x m= = =
seguindo os passos j efectuados para o vo quebrado
0,30l
a m=
as condies de aderncia so consideradas boas pelo que preciso corrigir o
comprimento de amarrao lbd
2,25 1,0 1,0 1,0 2,25bd f MPa= =
para avaliar a tenso nos vares a partir da zona onde medido o comprimento
da amarrao, preciso analisar o diagrama de momentos
As,req = 8,54 cm2
As,prov = 14,83 cm2
tem-se, ento, que sd poder ser obtido pela seguinte relao:
,
,
8,54348 200,4
14,83
s req
sd yd
s pro
A f MPa
A = =
,
0,020 200,40,45
4 2, 25b rqd
l m= =
,min1,0 0,45
bd bl l=
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqd l l = mm
m mm
(8.6)
( ),min max 0,3 450;10 20;100 200bl m= =
ento
0,45bdl m=
2,14 0,30 0,45 1,39 1,35x m= =
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armadura nos apoios
9.2.1.4 (2) pg. 173 l
E E
aF V
z= (9.3)
0,30202, 25 102,15
0,9 0,66E
F k= =
N
4 2102,15
2,9 10 2,9348000s2
A m c
= = = m a rea necessria para amarrar a armadura
nos apoios
As,req = 2,9 cm2
As,prov = 14,83 cm2
tem-se, ento que sd poder ser obtido pela seguinte relao:
,
,
2,9348 68,1
14,83
s req
sd yd
s pro
A f MPa
A = =
,
0,020 68,10,15
4 2, 25b rqd
l m= =
( ),min ,max 0,3 ;10 ;100b b rqd l l = mm
m mm
(8.6)
( ),min max 0,3 150;10 20;100 200bl m= =
ento
,0,20
b rqdl m=
Planta
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Dimensionamento ao Esforo Transverso
Avaliao da capacidade resistente ao esforo transverso sem armaduratransversal
6.2.2 (1) pg. 98
( )1/3
, ,100 Rd c Rd c l ck wV C k f b= d
(6.2.a)
,0,18 0,18 1,5 0,12
Rd c cC = = =
200 2001 1 1,55
660k
d= + = + = 2,0
43,39 10
0,0017 0,020,3 0,66
sl
l
w
A
b d
= = =
( )
1/3 3
,0,12 1,55 100 0,0017 20 300 660 10 55,4
Rd cV k
= = N
b d
sujeito a um mnimo de
, min Rd c wV = (6.2.b)
3/ 2 1/ 2
min 0,035 ckk f = (6.3N)
3/2 1/2
min0,035 1,55 20 0,302 = =
pelo que3
,0,302 300 660 59,8 10 59,8 Rd cV N= = = kN
N
pelo que
,max(55,4;59,8) 59,8
Rd cV k= =
9.2.2 (5) pg. 175
Armaduras transversais mnimas
para S 400 e C 20/25 tem se:
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determine-se agora qual o espaamento longitudinal mximo regulamentar na
zona em anlise9.2.2 (6) pg. 176
( ),max 0,75 1 cotls d = +
,max0,75 0,66 1 0,50ls m= =
logo:
ento: ,max 0,50ls m=
determinao do espaamento transversal mximo regulamentar na zona em
anlise
9.2.2 (8) pg. 176
,max ,max0,75 0,75 0,66 0,50 0,6 0,50t ts d m m s= = = = m
o espaamento transversal mximo implica que dois ramos sero suficientes.
para estribos 8 de 2 ramos:
E2r8 As = 1,01 cm2
s 0,377 m
adopta-se s = 35,0 cm
6.2.3 (3) pg. 101
,cotsw Rd s ywd
AV zf
s
=
(6.8)
Para uniformizar a colocao de estribos ao longo dos tramos da viga definem-seseguidamente tipos de armadura transversal escolhidos de forma a uniformizar a
variao da armadura transversal ao longo da viga.
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( )4 3, 6,73 10 0,9 0,66 348 10 1 139,12 Rd sV k= = N
N
N
N
E2 r8af 0.125 mA s = 8,08 c m2/ m( )4 3, 8,08 10 0,9 0,66 348 10 1 167,02 Rd sV k
= =
E2 r8af 0.10 mA s = 10,1 c m2/ m( )4 3, 10,1 10 0,9 0,66 348 10 1 208,78 Rd sV k= =
E3 r8af 0.125 mA s = 12,08 c m2/ m( )4 3, 12,08 10 0,9 0 ,66 348 10 1 249,71 Rd sV k
= =
a representao da localizao da zona dos estribos pode ser encontrada na figura
seguinte:
116,32 kN
40,50 kN
208,78 kN
104,39 kN
104,39 kN
104,39 kN
249,71 kN
167,02 kN
69,66 kN
69,66 kN
139,12 kN
139,12 kN
2r8//0,15 2r8//0,20 2r8//0,30 2r8//0,10 2r8//0,125 2r8//0,20 2r8//0,10
167,02 kN
3r8//0,125 2r8//0,125
na figura anterior as zonas assinaladas com espessura maior correspondem a
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6.2.1 (1) pg. 96
Para elementos com altura varivel, deve ser tida em conta as componentes deesforo transverso da fora de compresso, no caso de um banzo comprimido
inclinado, e de traco na armadura de traco.
6.2.1 (2) pg. 96
( )' 72 40,5 [sdV x x kN = + ]
a contribuio das escoras comprimidas para a resistncia ao esforo transverso
pode ser avaliada por:
( )ccdM
V tgd
=
( ) 0,2tg = 0,26 0,2d x +
( )
2 236 40,5 7, 2 8,10,2 [kN]
0,26 0,2 0,26 0,2ccd
x x x xV
x x
+ += =
+ +
pelo que o esforo transverso actuante de clculo pode ser corrigido, isto ,
decrescido de . Fica assim determinada a parcelaccdV 'sdV que dever ser
suportada pelas armaduras transversais.
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9.2.2 (5) pg. 175
Armaduras transversais mnimas
4 2
min
2,68 10 / swA
m ms
=
determine-se agora qual o espaamento longitudinal mximo regulamentar na
zona em anlise
9.2.2 (6) pg. 176
( ),max 0,75 1 cotls d = +
,max0,75 0,26 1 0,20ls m= =
determinao do espaamento transversal mximo regulamentar na zona em
anlise
9.2.2 (8) pg. 176
,max ,max0,75 0,75 0,26 0,20 0,6 0,20t ts d m m s= = = = m
o espaamento transversal mximo implica que sero necessrios 3 ramos.
armadura transversal
,cotsw Rd s ywd
AV zf
s
=
(6.8)
( )2
3
,
7, 2 8,10,9 0, 26 0, 2 348 10 1 72 40,5
0,26 0,2
sw Rd s
A x xV x x
s x
+ = + + + kN
pelo que a armadura transversal ao longo da consola ter de ser
( )
( )( )
2
2
4 2
23
7, 2 8,172 40, 5
2,6 1,46250,26 0,25,747 10 /
0, 9 0, 26 0, 2 348 10 1,3
sw
x xx
x xA xm m
s x x
++ + + + + +
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se x=0,0 m
4 24,97 10 / swA m ms
=
verifica-se que no haver necessidade de proceder variao do espaamento
dos estribos ao longo da consola uma vez que a variao da rea necessria
reduzida. No entanto, na extremidade livre preciso ter em ateno a necessidade
de armadura de suspenso:
9.2.5 pg. 177
Armadura de suspenso para fazer face ao apoio indirecto
- Na extremidade da consola
1,35 30 40,5sd
F k= = N
240,51,16
348000s A cm= =
a armadura dever ser distribuda numa faixa que poder ser exterior ao volume
de beto comum s duas vigas de acordo com 9.2.5 (2). Assim sendo, na viga
principal esta distncia dever
Planta
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0,15 0,10 0,25s m= + =
21,16 4,64 / 0,25
sA cm ms
= =
Armadura transversal total
24,97 4, 64 9, 61 / sw
total
Acm m
s
= + =
E3r8 As = 1,508 cm2
s 0,157 m
adopta-se s = 15,0 cm para respeitar o espaamento transversal
No tramo direito
1,35 50 67,5sd
F k= = N
267,51,94
348000s A cm= =
Planta
a armadura pode assim ser distribuda numa largura s
0,35 2 0,70s m= =
1 94A
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Foras de desvio Art 99 (REBAP)
( )1
43 4372,39
0, 9 0, 9 0, 66
sdM
F kz d
= = = =
N
N
ou
( )4
2348000 3,39 10 117,97
syd sF f A k = = =
( )1F - fora de traco (igual compresso)
( )2F - fora mxima de traco instalvel
Fora de desvio na zona comprimida:
233,272 sin 33,27 0,95
2 348000
sd sd
syd
FF F A cm
f
= = = = =
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Como a rea desta armadura pequena vai-se acrescentar , um de cada
lado do que quebra. Normalmente devia-se somar localmente as reas.
2Est6
total
sw sw sd A A A
s s
= + s
De notar que se uma seco estiver sujeita a esforo transverso, toro, foras de
desvio e de suspenso nessa zona da viga temos quatro contribuies para a
armadura transversal.
Esquema das armaduras de flexo e transversais
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420+212 420+212
420+212420+212420+212
420+212420+212
420+212
420+212420+212
2r8//0,15 2r8//0,20 2r8//0,30 2r8//0,10 2r8//0,125 2r8//0,20 2r8//0,103r8//0,125 2r8//0,1252r8//0,153r8//0,15
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