EJERCICIOS DE APLICACIN DE DERIVADAS
PARTE I
EJERCICIO 6.10
ex=2-x
f(x)= ex-2+x , x0=0.51) Escriba la ecuacin de la recta normal a la curva en un punto P. Qu relacin tiene su pendiente con la pendiente de la recta tangente en P?
fXo=ex0-2+x0
f(0,5)= e0,5-2+0,5f(0,5)=0,15
f'(x)= ex+1
f'(0,5)= e0,5+1f'(0,5)=2,65
Y- f(x0)= f'(x0)(x-x0)Y-0,15=2,65(X-0,5)
Y=2, 65X-1, 44+0, 15
Y=2, 65X-1, 29
2) Qu relacin existe entre el crecimiento de una funcin y el signo de su derivada? Ejemplifique.
Relacin entre la derivada y el crecimiento o decrecimiento de una funcin
Sea f una funcin derivable,
Diremos que una funcin y=f(x) es CRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que:
Si xxo entonces f(x) f (xo)y si xox entonces f(xo)f(x)
Si f es derivable ser:
Diremos que una funcin y=f(x) es DECRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que:
si xxo entonces f(x)f(xo)y si xox entonces f(x)f(xo)
En este caso:
Si f'(xo) 0, entonces f es creciente en xo Si f'(xo)0, entonces f es decreciente en xo
Ejemplo:Clculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento En la escena estn representadas la funcinf(x)=x3-3x+1 y su derivada f'(x)=3x2-3 Comprueba, a la vista del signo de la derivada si la funcin es creciente o decreciente en x=-1,5 x=0 x=2
Para calcular en qu intervalos la funcin es creciente o decreciente procederemos: Resolvemos la ecuacin: f'(x)=0 Soluciones: x=1, x=-1 Calculamos el signo de la derivada antes y despus de estos valores
x1, f'(x) 0, f creciente en (1,+)
3) Establezca las condiciones de monotona de una funcin f: R R derivable en todo su dominio
4. Defina
Mnimo relativo
Valor de una funcin, que es menor que los valores de la funcin en puntos cercanos, pero que no es el menor de todos los valores.
Si F y f son derivables en a, a es un mnimo relativo si se cumple:
1. f(a)=0
2. f(a)>03. Mximo Global
4. Un punto X0 se dice que es un mximo global
5. de una funcin f si no existe ningn otro punto donde la funcin tome un valor mayor al que
6. toma en X0.
7. 5. A qu se llama punto crtico?
8. Un punto crtico de una funcin de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la funcin no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la funcin en el punto crtico es un valor crtico de la funcin. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.
9. 6. Cul es la condicin necesaria para la existencia de extremos? De ejemplos que demuestren que la condicin no es suficiente.
10. Teorema (de los extremos absolutos de Weierstrass)
11. Sea F(x) una funcin continua en [a,b]. entonces f(x) alcanza un mximo y un mnimo absolutos sobre [a,b]
12. El teorema garantiza la existencia de mximo y mnimo de la funcin bajo condiciones de continuidad. Si la funcin es discontinua en un cerrado [a,b], puede no tener ni mximo, ni mnimo ni ambos. Pero puede suceder que una funcin sea discontinua en algunos puntos del intervalo [a,b] y sin embargo presentar a la vez mximo y mnimo.
13. El teorema es una condicin suficiente para encontrar extremos absolutos en el intervalo cerrado, pero no es necesaria. Si la funcin no fuera continua o si el intervalo no fuera cerrado, es posible que presente extremos absolutos.
14. La funcin presenta una discontinuidad en el punto c, siendo a < c < b. El menor valor de la funcin corresponde a x=a, pero notiene valor mximo
15.
16. La funcin definida en el cerrado [-1,1] de forma que f(x)=x3 si x0 y f(0)=1/2, presenta una discontinuidad en x=0 y sin embargo alcanza el mnimo en x=-1 y el mximo en x=1
17.
18.19. 7. Cul es la condicin suficiente para la existencia de extremos relacionados
con la primera derivada de la funcin? 20.21. La condicin necesaria es que Sea (f, D) derivable en a c R. Si f posee un mximo o
un mnimo en a, entonces f(a) = 0, ese es un punto de tangente horizontal22.23. 8. Escriba el criterio para determinar los mximos y mnimos de tangencia
vertical 24.25. Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y slo
si f(a) >0 (f(a)
28.3. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la funcin ha de ser dos veces
derivable).a. Si f(a) = 0 y f(x) > 0, f posee en a un mnimo local.b. Si f(a) = 0 y f(x) < 0, f posee en a un mximo local.
29.30.31. 9. Defina:32. a) Concavidad hacia arriba 33.
34. Sea una funcin cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto .
Si , la grfica de es cncava hacia arriba en .
35.
36.37. b) Punto de Inflexin 38.39. El punto que, en una funcin continua, separa la parte convexa de la cncava, se
llama punto de inflexin de la funcin. En ellos la funcin no es cncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revs.
Los puntos de inflexin estn caracterizados por:
TEOREMA
40. Sea la ecuacin de una funcin.
41. Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la funcin de abscisa x=a es un punto de inflexin.
42.
43. 10. Cuntos tipos de puntos de inflexin se presentan? Por qu?. Enuncie el criterio para determinarlos en cada caso e ilustre cada uno con un grfico.
44. Otra de las aplicaciones fundamentales de las derivadas es su utilizacin para estudiar el tipo de concavidad y los puntos de inexion de una funcin. Para este estudio necesitaremos la segunda derivada. Las funciones presentan concavidades hacia arriba o concavidades hacia abajo en un intervalo cuando son de la forma indicada en la Figura 3.Observemos, en primer lugar, el caso de la concavidad hacia arriba. Si nos fijamos en la Figura 3, observaremos que Y crece cada vez ms deprisa, es decir su velocidad de variacin es cada vez mayor, lo cual significa que y' = F' (x) es creciente. Esto se traduce en que y'' = f''(x) > 0. En resumen:
45. Regla
46. Cuando y'' = f''(x) > 0 en un intervalo, la funcin presenta una concavidad hacia arriba en ese intervalo.
47. Observemos, ahora, el caso de la concavidad hacia abajo. Si nos jamos en la Figura 3, observaremos que Y crece cada vez ms despacio, es decir su velocidad de variacin es cada vez menor, lo cual signica que y' = f '(x) decreciente. Esto se traduce en que y'' = f''(x) < 0. En resumen:
48. Regla
49. Cuando y'' = f''(x) < 0 en un intervalo, la funcin presenta una concavidad hacia abajo en ese intervalo.
50. Un punto de inexion es un punto x0 en el que se produce un cambio en el tipo de concavidad. Ver Figura 4. Al haber un cambio en el tipo de concavidad, la derivada segunda pasa de ser positiva a ser negativa, o al revs. En resumen, tenemos:
51. Regla
52. La funcin presenta un punto de inexion en x0 cuando ocurren
53. las siguientes cosas:
54. 1. f''(x0) = 0
55. 2. La derivada segunda cambia de signo.
56. Es muy frecuente evaluar la derivada tercera, f(3(x0), para determinar si nos encontramos ante un punto de inexion. Pero, como se acaba de indicar, eso es innecesario. Es suciente con analizar la derivada segunda.
57. Una propiedad interesante de los puntos de inexion es la siguiente:
58. En un punto de inexion, la derivada primera pasa de ser creciente a ser decreciente (o al revs). Es decir, en un punto de inexion, la derivada primera alcanza un mximo (o un mnimo). Pero la derivada primera es la velocidad de variacin de Y as que, por tanto:
59. Signicado de un punto de inexion
60. En un punto de inexion, la velocidad de variacin alcanza un mximo (o un mnimo).
61. El programa de trabajo para determinar los distintos tipos de concavidad
62. de una funcin y sus puntos de inexion es el siguiente:
63. 1. Calculamos la funcin derivada segunda: y'' = f''(x).
64. 2. Planteamos y resolvemos la ecuacin f''(x) = 0. Las soluciones de esta ecuacin sern los potenciales puntos de inexion.
65. 3. Determinamos cmo es la derivada segunda (positiva o negativa) entre los potenciales puntos de inexion. Para esto, bastar con evaluar esta derivada segunda en un punto de cada uno de los intervalos obtenidos.
66. 4. Aplicamos las reglas descritas anteriormente.
67. FIGURA 3.
68.
69. FIGURA 4.
70.
71. Ejemplo Consideramos la funcin y =X33 2X2 +3x + 5.72. Aplicamos los pasos anteriores:
73. 1. Calculamos la derivada segunda:
74. y' = f'(x) = X2 4x + 3 y'' = f''(x) = 2x 4.
75. 2. Planteamos la ecuacin f''(x) = 0 2x 4 = 0 Obtenemos la solucin x = 2.76. 3. Por ejemplo, para x = 0: f''(0) = 4 < 0. Tenemos que f''(x) < 0,
77. para x < 2.
78. Por ejemplo, para x = 4: f''(4) = 4 > 0. Tenemos que f''(x) > 0, para x > 2..
79. En resumen:
80. Para x < 2, la funcin es cncava hacia abajo.
81. Para x = 2, la funcin presenta un punto de inexion.
82. Para x > 2, la funcin es cncava hacia arriba.
83.
84. 11. Enuncie la condicin suficiente para los extremos por el criterio de la segunda derivada. Ejemplifique.
85. Variacin de la segunda derivada
86. Sea una funcin derivable ms de una vez.
Teorema (condicin suficiente para la existencia de extremos)
Pueden ocurrir los siguientes casos:
87. La funcin f tiene en el punto xo un mnimo relativo.
88. La funcin f tiene en el punto xo un mximo relativo.
89. No se puede afirmar nada.
90.Demostracin
a. Si es creciente en
91. La derivada es negativa a la izquierda de xo y es positiva a la derecha de xo, luego la funcin f es decreciente a la izquierda de xo y es creciente a la derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mnimo relativo.92.
b. Si es decreciente en
93. La derivada es positiva a la izquierda de xo y es negativa a la derecha de xo, luego la funcin f es creciente a la izquierda de xo y es decreciente a la derecha de xo. Se puede afirmar que en xo hay un mximo relativo.
94. Ejemplo:
Los puntos crticos son:
95.96.
En el punto xo=0, no se puede afirmar NADA. En el punto x1=3/2 hay un MNIMO RELATIVO.
97. TABLA DE VALORES
98.X
99.Y
100.
101.0
102.3
103.NA
DA
104.3/
105.2
106.MN
IMO
107.
108. 12. Formule las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos de una funcin.
109. Definicin. Una funcin tiene un mximo (mnimo) en un
punto si el valor de la funcin en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algn entono de P.
110. Condiciones necesarias de extremo. Si una funcin diferenciable
alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:
111. ;
112. Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos crticos o estacionarios. No todo punto crtico es un punto extremo.
113. Condiciones suficientes para la existencia de extremos.
114. (a) Caso de dos variables. Sea un punto crtico de una
funcin con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea
el determinante de su matriz hessiana, entonces:
115.
116. Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa mximo y si es positiva mnimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habr que resolver por otro mtodo)
117. (b) Caso de tres o ms variables. Calculamos los siguientes determinantes:
118. ; ; ;...;
i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la funcin tiene un mnimo
en
ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor
negativo ), entonces la funcin tiene un mximo en
iii. En cualquier otro caso hay duda
119.
120. 13. Qu es un punto cuspidal?
121. Si ests en Estadstica valor cuspadla significa el valor del modo o moda que es el valor de la variable que ms se repite y por eso le corresponde el punto ms alto en el grfico de los datos.Si ests en anlisis matemtico general un punto cuspadla pareciera ser un punto de la grfica donde hay un mximo.
122. 14. Cmo se procede a hallar la ecuacin para una asntota oblicua?
123. 1 PARTE: Clculo de la pendiente "m"
124. ECUACIN DE LA ASNTOTA: ---- y = mx + n
125. ECUACIN DE LA FUNCIN: -----y = f(x)
126.
127. Esto quiere decir que "m" es un valor muy prximo al cociente entre f(x) y x, cuando x toma valores grandes (en valor absoluto). Por tanto, para calcular "m" hallaremos el siguiente lmite
128.
129. 2 PARTE: Clculo de la ordenada en el origen "n"
130. ECUACIN DE LA ASNTOTA: ---- y = mx + n
131. ECUACIN DE LA FUNCIN: -----y = f(x)
132. Despus de calcular "m" es fcil hallar el valor de "n". Fijndote en la definicin
inicial, se cumple que .
133.
134. Operando se obtiene que "n" tomar el valor
135. 15. Describa el procedimiento general a seguir para trazar una curva si se conoce su ecuacin
136. En matemtica y computacin, el mtodo de Euler, llamado as en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integracin numrica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.
137. El mtodo de Euler es el ms simple de los mtodos numricos resolver un problema del siguiente tipo:
138.
139. consiste en dividir los intervalos que va de a en subintervalos de
ancho ; o sea:
140.
141. de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos:
del intervalo de inters . Para cualquiera de estos puntos se cumple que:
142.
.143.
La condicin inicial , representa el punto por donde pasa la curva solucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cual se denotar
como .
144. Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto:
145.
146.
147.
148.149. Grafica A.
150. Con esta informacin se traza una recta, aquella que pasa por y de
pendiente . Esta recta aproxima en una vecindad de . Tmese la
recta como reemplazo de y localcese en ella (la recta) el valor de
correspondiente a . Entonces, podemos deducir segn la Grfica A:151.
152.
Se resuelve para :
153.154.
Es evidente que la ordenada calculada de esta manera no es igual a , pues
existe un pequeo error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime
en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesin de aproximaciones siguiente:
155.156.
157. 16. Describa las tcnicas generales que permiten resolver un problema de optimizacin.
Asignar smbolos a todas las magnitudes a determinar.
Escribir una ecuacin primaria para la magnitud que debe ser optimizada.
Reducir la ecuacin primaria a una ecuacin con solo una variable independiente. Eso puede exigir el uso de las ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuacin primaria (sistema de ecuaciones).
Determinar el dominio de la ecuacin primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido.
Determinar puntos crticos de la funcin por medio de la primera derivada de la funcin.
Realizar la segunda derivada para determinar la concavidad de la funcin y as saber los cuales puntos crticos son valores mximos o mnimos.
158.
159. 17. Escriba la frmula para el desarrollo del polinomio de Tylor de una funcin
160. Q(x) =
161. 18. Como se aplica la frmula de Tylor en la resolucin de mximos y mnimos
162. Sea con n derivadas continuas en un intervalo (a,b) que contiene a xo y supngase que f ' (xo) = 0, f '' (xo) =0, f (3) (xo) = 0, ... , f (n-1) (xo) = 0 y f (n) (xo) 0; entonces si n es par:
163. 1. Si n es par:
164. a) f (n) (xo) < 0 f toma un mximo relativo en xo.
165. b) f (n) (xo) > 0 f toma un mnimo relativo en xo.
166. 2. Si n es impar, la funcin no alcanza un valor extremo en xo.
167. Demostracin: Supongamos primero que n es par.
168. Como f (n) (x) es continua en un intervalo (a, b) que contiene a xo y f (n) (xo) < 0, podemos encontrar un subintervalo(xo - d , xo + d ) (a, b) de tal manera f (n) (x) sea negativa en este subintervalo. Grficamente lo vemos en la siguiente ilustracin para la funcin f (n):
169.
170.
171. Consideremos x en el intervalo (xo - d , xo + d ), por el Teorema de Taylor:
172.
173. con En = y c entre x y xo
174. como las primeras (n-1) derivadas se anulan en xo, se tiene:
175.
176. f (n) (c) < 0 por estar c entre x y xo y a su vez estos puntos en el intervalo (xo - d , xo + d ) donde la n-sima derivada es negativa.
177. Al ser f (n) (c) < 0 y n par, la expresin (x - xo)n < 0 y por lo tanto
y en consecuencia f(x) < f(xo) para toda x en el intervalo (xo - d , xo + d ), lo cual significa que f(xo) es el mayor de los valores de f en dicho intervalo, es decir f alcanza un mximo relativo en xo.
178. 19. Describa en que consiste el mtodo de Newton-Raphson?
179. El mtodo de Newton-Raphson es un mtodo iterativo que nos permite aproximar la solucin de una ecuacin del tipo f(x)=0.
180. Partimos de una estimacin inicial de la solucin x0 y construimos una sucesin de aproximaciones de forma recurrente mediante la frmula
181.
182. Por ejemplo, consideremos la ecuacin
183. ex=1x
184. En este caso es imposible despejar la incgnita, no obstante, si
representamos las curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x [0,4], es evidente que la ecuacin tiene una solucin en este intervalo
185.
186. Para aplicar el mtodo de Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos:
187. 1. Expresamos la ecuacin en la forma f(x)=0, e identicamos la funcin f. En el ejemplo es
188. fx=ex-1x189. 2. Calculamos la derivada
190. f'x=ex+1x2191. 3. Construimos la frmula de recurrencia
192. xi+1=xi-eix-1xieix-1xi
193. 4. Tomamos una estimacin inicial de la solucin. En este caso podemos tomar por ejemplo x0= 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista prctico, si deseamos aproximar la solucin con 6 decimales, podemos detener los clculos cuando dos aproximaciones consecutivas coincidan hasta el decimal 8. En nuestro caso, obtendramos
194.
195. 5. Podemos, entonces, tomar como solucin x = 0.567143
196. 20. Cundo no se puede aplicar el mtodo de Newton-Raphson para encontrar las races de una ecuacin?
197.
198. No se aplica el mtodo de Newton- Raphson cuando no es necesario encontrar races, cuando es funcin lineal
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214. EJERCICIO 6.11
215. 1. Halle la ecuacin de la tangente a la curva y=x3+3x2-5 , que es perpendicular a la recta 2x-6y+1=0
216. y=x3+3x2-5 2x-6y+1=0
217. y'=3x2+6x -6y=-2x-1
218. y=2x+16
219. y'=26-(2x+1)(0)36
220. y'=1236
221. y'=13
222. 3x2+6x= 13
223. 3x(x+2)= 1
224. (x+2)= 13x
225. x2= -53
226. x= -53227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235. 2. Encuentre la ecuacin de la recta normal a la curva y= x ln(x) que es paralela a la recta 2x-2y+3=0.
236. Funcin 1:237. f (x)= x ln(x).238. Funcin 2:239. g(x)=2x-2y+3240.241. Desarrollo:
242. f (x)= x ln(x) g(x) = 2x-2y+3 = 0
y=2(2)-(2x+3)(0)4
243. f (x)= ln(x)+x ( 1x ) -2y = -2x-3y=2(2))4
244. = ln(x)+1. 2y = 2x+3 y=1
245. y = 2x+32246.
247. Igualamos derivadas: Sustitucin:
248. f(x) = - 1g'(x) f(x0) = x0 ln(x0) f(x0) = ln(x0) +1
249. ln(x)+1= - 1 f(e-2) = (e-2)ln(e-2) = ln(e-2)+1250. ln(x) = - 1 1 = (0.14)(-2) = -2+1251. ln(x) = 2 = - 0.28 = -
1252. X0 = e-2
253.
254. Recta normal: Grfica:
255. y f(x0) = -1f'x0(x-xo)
256. y (- 0.28) = -1-1(x-e-2) 257. y + 0.28 = 1(x-0.14) 258. y = x-0.14-0.28 259. y = x 0.42260.
261.
262.
263.
264.
265. 3. Halle la ecuacin de la recta tangente a la hiprbola y = x+9x+5 que pasa por el origen de coordenadas.
266. Origen de Coordenadas = (0,0) entonces: xo= 0.
267. Desarrollo:
268. f(x) = x+9x+5 Sustitucin:
269. f(x) = 1x+5-(x+9)(1)(x+5)2 f(x0) = -402+10(0)+25270. = x+5-x-9x2+10x+25 = -425271. = -4x2+10x+25272.
273. Recta Tangente: Grfica:
274. y f(x0)= f(x0) (x- x0)
275. y = -425 x276. y = -425 x 277.
278.
279.
280.
281. 4. Dada la curva x2+3y2+3x-4y-3=0, halle el valor de k de manera que la recta 5x+2y+k=0 sea tangente a la curva indicada.
282. Desarrollo:
283. x2+3y2+3x-4y-3=0 5x+2y+k=0
284. y1 =-3x2-9x+133+2 y= -5x-k2
285. y 2=- -3x2-9x+133+2286. Entonces para que la recta 5x+2y+k=0 sea tangente a la curva k= - 7.
287.
288.
289. Grfica:
290.
291.
292.
293. 5. Determine la ecuacion de la rectas normales ala curva y=x3-4x que son paralelas a las rectas que pasan por el punto (4,13) y que son tangentes a
y=2x-1 .294. Ec de la recta Normal
295. fx=x3-4x
296. f4=(4)3-4(4)
297. f4=48
298. MN=-1MT
299. MN=-18
300. MN=f'x
301. MN=f'4=34-4=8
302. y-yo=mx-xo
303. y-13=-18x-4
304. y-13=-18+12
305. y=-18x+272306.
307. 6. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en los puntos indicados.
a) y=6-2x-x3 en x=-1b)
c) y=3
d) y'=-2-3x226-2x-x312 e)
f) f'(x)=-2-3(-1)226-2x-(-1)312
g) f'(x)=-56
h) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1
i) y-3=-56x+1 y-3=65x+1 j) 6y-24=-5x-6 5y-15=6x+6=0
5x+6y-18=0 6x-5y+21=0 k)
l) y=4
m) y'=12(2x+4x32x4+2012
n) f'(x)=12(2(2)+423224+2012 )
o) f'x=103
p) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1
q) y-4=103x-2 y-4=-310x-2
r) 3y-12=10x-20 10y-40=-3x+6
s) 10x-3y-8=0 3x+10y-46=0t)
u)
v)
w)
x) y=e+1
y) y'=ex
z) f'-1=1e
aa) y-e-1=1ex+1 y-e-1=-ex+1
ab) ey-e2-1=x+1 y-e-1=-ex+e
ac) x-ey+e2+1=0 ex-y+2e+1=0ad)
ae)
af)
ag) 3x2-3y2-6xydxdy=0
ah) dxdy=(x2-y2)2xyai)
aj) y-1=(x2-y2)2xyx+0 y-1=-2xy(x2-y2)x+0 ak)
al) y-1=(x2-y2)2xyx+0 y-1=2xy(x2-y2)x+0
am)2xy2-2xy=x2-y2 x2y-x2-t2=2x2y+y2an)
ao) y=(x3)^(1/2)
ap) y=8
aq) f'x=12x3 2x
ar) f'x=12x2
as) f'x=132
at) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1
au) y-8=132x-4 y-8=-32x-4 av)
aw)
ax)
ay) y2+2xy+2ydxdy=1x+dxdy
az) dxdy=y2+2xy+2y x2y
ba) dxdy=02+2x*0+2*0 12y
bb) dxdy=12bc)
bd) y-y1=mx-x1 y-y1=-1mx-x1
be) y-0=12x-1 y-0=-2x-1 bf) X-y-1=0 2x+y-2=0
bg) 7. En que punto de la tangente a la curva y=lnx,esta inclinada con respecto al
ejex,bajo un angulo de magnitud 4?
bh)
bi) 11. Calcule los extremos de las funciones siguientes
bj)
1. x2(x-11)2
2. y=x4-22x3+21x2y=4x3-66x2+42xx4x2-66x+42=0
3. x1=0 , x2=1433-921, x3=1433+921 4.
5. y=12x2-132x entonces y0=0 , y0,66= -81,84 , y15,84=5101.746.
7. y(0)=0 , y(0.66)=3.01 , y(15,84)=-19212.9
8.
9. Mximo en (0,66;3,01) Mnimo en (15,84;-19212.9)
10.
11. x4-8x3+22x2-24x+1212.
13. y=4x3-24x2+44x-24 entonces solo existe una raiz x1=12 14.
15. y=12x2-48x+44y0,5=2316.
17. Mnimo en (0,5;23)
18.
19. 3x-x20.
21. y=x13-x12y=13x-23-12x-122-36x63x2 enotnces x1=64729 22.
23. y=96x-8363x5 entonces y64729=-3.2024.
25. Mximo en 64729;-3,2026.
27. 2x3x2-428.
29. y=2x4-24x2(x2-4)2 entonces x1=0 , x2=23 , -2330.
31. y=16xx2+12x2-43 entonces y0=0 , y23=2,6 , y-23=-2.632.
33. mnimo en 23;2,6) Maximo en (-23;-2,6)34.
35.
36. -x-337.
38. y=-x-312-x-32x-6 entonces por la grfica es una asntota oblicua, y no tiene races.39.
40. 3x2-x41.
42. x23-xy=233x-1 entonces por la grafica no hay raices, por lo tanto es una asintota
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50. 12. determine el sentido de la concavidad de los grficos de las funciones siguientes y localice los puntos de inflexin
51.
52.
53.
54.
55.
56. i) y=ln2xx,x>0;
57. y'=-logx-2logx))x2
58. max
59. (log2(x))/x=0 = 4e2
60. en x=e2
61. min
62. =(log2(x))/x=0 en
63. x=164.
65. Puntos de inflexin y concavidad
66.
67. y''=+2log2x-3logx+1x3
68. 2log2x-3logx+1x3=0
69. x1=32
70. x2=071.
72.
73. j)y=1-3x-22
74. y'=0-2xx-23(3x-22
75. -2xx-233x-22=0
76. x1=1
77. x2=078.
79.
80.
81. k) y=x2-53125
82. y'=3x2-52x125
83. 3x2-52x125=0
84. 3x2-152x=0
85. x1=0
86. x2=2.23
87. x3=-2.2388.
89. Puntos de inflexin y concavidad
90. y''=61253x2-5
91. 61253x2-5=092.
93. x1=1.29
94. x2=-1.29
95. f''0= -625 Concava hacia abajo
96. f''2=+42125 Concava hacia arriba97.
98. l)y=x+1ln2x+1
99. y'=lnx+1lnx+1+2
100. max=4e2 en x=-1+1e2
101. min=0 en x=0102.
103. Punto de inflexin y concavidad
104. y''=2lnx+1+1x+1
105. 2lnx+1+1=0106. Resolviendo la ecuacin mediante factorizacin
107. -1;-1+1e 108.
109. m)y=x2x2+7110.
111. y'=2x2+7 1-x2x2*2x2+7x2+7
112. 2x2+7 1-x2x2*2x2+7x2+7=0
113. x2+712-2x22*2x2+7 =0
114. 7 x2+732 =0115.
116. Raz x=0 117.
118. Punto de inflexin y concavidad
119. y''=-21xx2+752
120. -21xx2+752=0
121. x=0122.
123. para f''1= -0.11 Concava hacia abajo
124. para f''-1=0.11 Concava hacia arriba
125.
126. n)y=x3x2+7
127. y'=3x2+7 1-x2x33x2+723x2+72
128. y'=3x2+7-2x233x2+723x2+72129.
130. y'=x2+213x2+743131.
132. x2+213x2+743=0133.
134. x1=4.58135.
136. x2=-4.58
137. En x1 y x2 la funcin es paralela al eje de las x, es decir que tenemos un minimo y un mximo
138.
139. Concavidad y punto de inflexin
140. y''=-2xx2+639x2+773
141. -2xx2+639x2+773=0142.
143. x1=7.93i
144. x2=-7.93i
145. x3=0146.
147. f''1=-19 Concava hacia abajo
148. f''-1=19 Concava hacia arriba149.
150.
151. o)y=x2-4xx2+8x+16
152. y'=x2+8x+162x-4-x2-4x(2x+8)x2+8x+162
153. y'=x+4x+42x-4-xx-42(x+4)x+4x+42
154. y'=x+4x+42x-4-2xx-
4(x+4)x+4x+42
155. y'=4(3x-4)x+43 156.
157. 43x-4x+43=0158.
159. x1=0
160. x2=4
161. min=-18 en x=43162.
163. Concavidad y punto de inflexin
164.
165. y''=-24x-4x+44166.
167.
168. -24x-4x+44=0
169. 24x-96=0
170. x=9624
171. x=4172.
173. f''5=-82187 Concava hacia abajo174.
175. f''3=242401 Concava hacia arriba
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183.
184. 13. Halle las asntotas de las curvas siguientes
185.
186.
187.
188.
189. 14. Investigue y trace el grafico de las funciones siguientes
190. y=x3-3x2-x+3
191. y=x6-3x4-3x2-7
192.
193.
194.
195.
196. y=3x-x197.
198.
199.
200. y=2x3x2-4
201.
202.
203. y=-xx2+1
204.
205.
206. y=x2+2x
207.
208.
209. y=(x-1)2x+1
210.
211.
212. y=8x2-9
213.
214.
215. y=(x-1)2x+1(2-x)
216.
217.
218. y=1x+1(x-2)
219.
220.
221. y=(x+1)(2-x)(2x+3)
222.
223. y=(x-1)(x-2)x
224.
225.
226. y=1x2-5x+6
227.
228.
229. y=(x2-9)(x2-4)
230.
231.
232. y=12sen2x+cos(x)
233.
234. y=senx+2sen2
235.
236.
237. y=xln(x)
238.
239.
240.
241. y=x+ln(x2-1)
242.
243.
244.
245. y=x2e-x
246.
247.
248.
249. y=ln(x2)e-x^2
250.
251.
252. y=2x-tan(x)
253.
254.
255.
256. y=arcsen1-x21+x2
257.
258. y=ln(senx)
259.
260.
261.
262. y=ln(1-e-x)263.
264.
265.
266. y=ln(e+1x)
267.
268.
269. y=cosx-ln(cosx)
270.
271.
272. 15. Descomponga el nmero 8 en dos sumandos de manera tal que la suma de sus cubos sea mnima?
Sean x e y dichos nmeros, se cumple que x+y=8 . Supondremos ; x0, y0 x3+y3=S (2) x=8-y
Reemplazando 1 en 2
Sy=(8-y)3+ y3 =24 y2-192y+512 =3 y2-24y+64 S'y=0; S'y=6y-24 y=4
y S(y)
0 64 4 16
Por lo tanto si y=4
x=8-4
x=4 Los nmeros son x=4 ; y =4
16. Cul es el nmero que al restarle su cuadrado se obtiene la diferencia mxima
Sea x dicho numero
Sea f(x)=x-x2, por la descripcin de la grafica sabemos qu es una prabola en la que el valor mximo se alcanza en su vrtice ya que es convexa
El mximo de la funcin es
R'x=0 R'x=1-2x 1-2x=0
x=12 (Punto crtico )
Rx tiene un mximo relativo en x=12 FUNCION DE LA PARABOLA :
Xv=-b2a= - -12(-1)= - -1-2= 12
EL nmero es x=12
20. En el espacio recorrido por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba a
la velocidad inicial vo , se determina por la ecuacin S=vot-12gt2 . Determine la altura mxima de elevacin del cuerpo.
Resolucin:
Si S=vot-12gt2 la primera deriva de esta ecuacin seria la velocidad final del cuerpo
Por la regla de la cadena tenemos que: S'=dvodt*dtdg Resolviendo por la notacin anterior
S'=vo*-gt
S'=vf
vf=-vogt
Adems despejando la velocidad inicial de la ecuacin
S=vot-12gt2
vo=-12gt Ya que no se conoce el tiempo se trata de un problema implcito se realiza con la
ecuacin
vf2=vo2+2gh Despejamos de la ecuacin la altura mxima
hmax=vf2-vo22g Reemplazamos en la ecuacin la velocidad final y tenemos
hmax=vogt-12gt2g Por la propiedad asociativa y RTS tenemos
hmax=vot-12gtg
21. Demuestre que todos los rectngulos que pueden inscribirse en un circulo de radio r, el cuadrado tiene el rea y el permetro mximo.
Si dibujamos un circulo de radio r, con centro de coordenadas y un punto cualquiera en la circunferencia tal que unido al circulo O determina un segmento igual al radio. Trazado desde ese punto a lo largo de la circunferencia se formara el haz de todos los rectngulos inscriptos, cuya base llamaremos b, y la altura h.
Si dibujamos crculo vemos que en el punto mencionado tiene coordenadas sobre el eje X, igual a b/2 y sobre el eje Y, h/2 y como dicho punto pertenece a la circunferencia, se cumple que:
r2=x2+y2 Y remplazando X por b/2 y Y por h/2
r2=(b2) 2+(h2)2
h24= r2-b24 h = 4 r - b
h=r2-b2 (1)Por otra parte, en el rectngulo de base b y altura h, se tiene que el permetro P, esP = 2 b + 2 hReemplazando h por su valor en [2], nos da
P = 2 b + 2 r2-b2 Derivando para buscar el punto crtico
P=2 + 2 (- 2 b) 2 4 r - b
P=2 (4 r - b) - 2 b] (4 r - b)Igualando a cero para buscar un mximo
0 = 2 (4 r - b) - 2 b (4 r - b)Multiplicando por (4 r - b)0 = 2 (4 r - b) - 2 b (4 r - b) = b (4 r - b) = bElevando al cuadrado4 r - b = b4 r = 2 br = b/2Reemplazando este valor de r en la ecuacin [1], nos quedah = (4 b/2 - b).h = (2 b - b).h = bh = bLo que indica que el permetro mximo se logra cuando la altura es igual a la base, o sea cuando el rectngulo es un cuadrado
22. un banco quiere recortar sus costos laborales reduciendo el nmero de sus cajeros pero espera una prdida de negocios debido al descontento de los clientes por el tiempo de espera. Si el salario de cada uno de los cajeros es de 20 dlares diarios y la prdida en utilidades por tener nicamente x cajeros es igual a
400x+1 Dlares diarios. Encuentre el nmero de cajeros x que minimiza la prdida.
y=20x-400x+1
y=-380x+12
-380x+12=0
380=0
380=19 Kf(0)=reemplazo en la derivada y ser el nmero de x = 19
29. Hay que cercar una superficie rectangular por tres de sus lados con tela metlica de modo que linde por el cuarto lado con una pared de piedra. Qu dimensiones ser ms conveniente dar la superficie para que su rea sea mxima, si se dispone un total de 100 m lineales de tela metlica?
2h+b=100
b=80-h
A=b*h
A=80-hh
A=80-h2
A(h)=80-h2
A(h)=80-2h
Ah=0
80-2h=0
h=-78
Ah=-2
b=80-h
b=80--78
b=158 30.-De un pedazo de cartn de 32 cm por 20 cm se necesita fabricar una caja
abierta por arriba, cortando en los ngulos los cuadrados y luego doblando las salientes para formar los lados laterales de la caja. Halle el volumen de la caja.
V=l*a*h
V=32-2x20-2xx
V=640-64x-40+4x2x
V=640-64x-40x+4x3
V(x)=-25000x+2560x3+2560x2+256x4
V(x)=-25000+7680x2+5120x+1024x3
25000=7680x2+5120x+1024x3
25000=x(7680x+5120+1024x2)
19880=7680x+1024x2)
Vx=0
19880-7680x-1024x2=0
-768058982400-(-81428480)39760
x1=3531.26
x2=564.34
V(x)=-25000x+2560x3+2560x2+256x4
Vx=3,99 x 1016
31.- Halle la distancia mnima del punto (0,0) al grfico y =x
32. Encuentre un nmero que al sumarle con su cuadrado, esta suma tenga el valor mnimo.
Numero: x
Cuadrado del nmero: x2
suma=x+x2
suma=1+2x Hallamos el valor de x igualando a cero la derivada
1+2x=0
2x=-1
x=-12 33. Qu medidas tiene el tringulo rectngulo de mxima rea entre todos los
que tienen 10 cm de hipotenusa?
rea= x100+x22
rea=12 100x2-x4
Sacamos la derivada del rea
A= 12*200x-4x32100x2-x4 = 50x-x3150x2-x4 = x(50-x2)x150-x2 = 50-x2100-x2
Igualamos a cero para buscar x
A=0 x= 50
Por lo tanto la mxima rea para x= 50
=100+x2
=50
34. Una ventana tiene forma de rectngulo y su parte superior termina en un tringulo equiltero. El permetro de la ventana es de 3 m Cul debe ser la base del rectngulo para que la ventana tenga el rea mxima?
rea del triangulo rectngulo:x2 *34 rea del rectngulo: x*a
Permetro = 3m
El rea de la figura es:
A= x2 *34+ x*a Sacamos la derivada
A= 3x24+xa
A= 8x316
A= 3x2 Igualamos a cero para obtener x
3x2=0
3x=2
X=23 Por lo tanto la base debe ser igual a 1.155
35. Se requiere fabricar un cajn con tapa cuyo volumen sea de 72 dm3 y la relacin entre los lados de la base 1; 2 Qu superficies debern tener las aristas para que la superficie total del cajn sea la mnima?
V=72 dm3 B=1:2
V=L*2a
V=L*a*h
V=2a*a*h
72h=L*a
72h=A
Pero 2a2=A
Para el area minima derivamos
72h= 2a2
72h=4a
a=18h
L=2a
L=218h
L=36h LARGO
A=18h ANCHO
36. En un instante determinado, un barco B se encuentra situado a 65 millas al Este de otro barco A. El barco B empieza a navegar hacia el Oeste con una velocidad de 10 millas por hora, mientras que el A lo hace hacia el sur con una velocidad de 15 millas por hora. Si se sabe que las rutas iniciales no se modifican, calcule el tiempo que transcurrir hasta que la distancia que los separa sea la mnima. Halle su distancia.
Tenemos 2 vectores x e y:
x para el barco 1y para el barco 2
x = 10t+65y = 15t
de el teorema de Pitgoras podemos encontrar la longitud de la hipotenusa del triangulo que se forma en el plano del movimiento de estos dos barcos
R = (x2+y2) R = 10t+652+15t2 R = (100t2+1315t+4225) los mnimos encontramos derivando una funcin que depende de un determinado factor en este tiempo, entonces buscamos el tiempo para el cual R es mnima y luego reemplazaremos t obtenido en la ecuacin R.
d100t2+1315t+4225dt=0200t = 1315
t = 6.6 horas
reemplazando este tiempo en la ecuacin de Robtenemos que R mnima es: 131.4 millas
37. Una compaa advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a un precio de 2 dlares por unidad. Se estima que la
funcin de costo del producto es ((100+12(x50)2) dlares por x unidades producidas:
a) Determine el nmero de unidades producidas que maximizan la utilidad
b) Cul es la cantidad de utilidad mxima?
a) fx=((100+12(x50)2)
b) fx=100+x25000
c) fx=100+x2*5000-1d)
e) f2=100+4*5000-1
f) f2=100 unidadesg)
h) f'x=2x*5000-1
i) f'x=2x5000j)
k) f'1=2x*5000-1
l) f'1=2(1)5000=4*10-4 $m)
n) 4*10-4 $ * 1000 = 0.4o)
p) 38. Halle el tringulo rectngulo de rea mxima cuya hipotenusa es mxima
q)
r) rea:
A=b.a2s) Hipotenusa:
t) h2=a2+b2u) Despejamos a:
v) h2=a2+b2a=h2-b2Reemplazo en Area:
A=b.a2A=b.h2-b22 Al=12h2-b2+b.12h2-b2-2b0=12h2-b2+b.12h2-b2-2b
h2-b22=b2h2-b2b=12Area:
w) A=b.a2A=12.a2
x) 39. Se desea inscribir un rectngulo en la elipse cuya ecuacin es
x2a2+y2b2=1 . Cules sern sus dimensiones para que su rea sea mxima
y) x2a2+y2b2=1z) rea:
aa) A:a.b
ab) x2a2+y2b2=1
x=a1-y2b2a=x1-y2b2A=x1-y2b2.b
ac)
ad)
ae) 40. Halle la altura de un cilindro recto de volumen mximo inscrito en una esfera de radio R.
af) Area:
A=2rh+r
ag) Volumen:
V= r2hah) Despejamos r:
ai) V= r2hr=VhReemplazamos en Area:
A=2rh+rA=2Vhh+Vh A=2hVh+2VhAl=2Vh+2h12Vh-Vh2+-2Vh2
0=2Vh+2h12Vh-Vh2+-2Vh22Vh2=2Vh-VhVh
aj)
ak)
al)
am)
an) 41. Cul de los cilindros de volumen dado tiene menor rea total?
ao)
ap) r= radio
aq) h= altura
ar)
as)
at)
au) Superficie del cilindro
av) S=2rh+2r2aw)Volumen del cilindro, despejamos altura:
ax) V=r2hh=Vr2ay) Reemplazamos h:
az) S=2rVr2+2r2S(r)=2Vr+2r22r2+Vrba) Derivamos:
bb) S'=22r-Vr2bc) Obtenemos puntos crticos:
bd) 22 r-Vr2=0MSD2 r-Vr2=0P.Modulativa (R,*)2 r3-V=0LCIP.Modulativa(R,*)r=3V2
be) Obtenemos la 2da. Derivada
bf) S''=22+2Vr3
bg) S''=22+2V3V23=22+2VV2=22+4=12
bh) S''=12>0la superficie sera minima.bi) Reemplazamos:
bj) h=V3V22
bk) S=23V2 h+3V2bl) 42. Hallar las dimensiones del rectngulo de rea mxima que se puede
inscribir en la porcin de parbola y^2= 4px, limitada por la recta x=a.
bm) El vrtice de la parbola es (0,0)bn)bo)bp)bq)br)bs)bt)bu) La base del rectngulo es x-a. la altura es 2y, debido a k su valor se duplica al ir en
sentido opuesto.
bv) rea: A=base * altura
bw)A=a-x*2ybx)by) Expresamos el rea en funcin de una sola variable:
bz) y2=4pxP.Modulativa R,*P.Inverso(R,*)x=y24pca)cb) Reemplazamos en la frmula del rea:cc)
A=a-y24p*2yP.Distributiva (R,*)A=2ay-y32pcd)ce) Derivamos A:
cf) A'=2a-3y22pcg) Buscamos puntos crticos:
ch) 2a-3y22p=0P.Modulativa R,+P.Neutro Aditivo (R,+)2a=3y22pP.Modulativa R,*P.Inversiva (R,*)4ap=3y2P.Modulativa R,*P.Inversiva (R,*)43ap=y
ci) Segunda Derivada (analizar punto crtico):
cj) A''=-6y2p=-3yp
ck) A''=-343app
cw) 43. Determinar la altura del cilindro de volumen mximo que se puede inscribir en un cono circular recto dado.
cx)
cy) Consideramos que el cilindro tiene radio r y altura h.
cz)
da)
db)
dc)
dd)
de)
df)
dg)
dh)
di)
dj)
dk)
dl)
dm)
dn)
do) V=r2hdp)
dq)
dr)
ds) Obtenemos ecuacin con variables iguales a partir del grafico
dt)
du)
dv)
dw)
dx)
dy)
dz)
ea)
eb)
ec)
ed)
ee)
ef) Por semejanza se cumple:
eg) RH=rH-h
eh) De donde se obtiene la ecuacin: R(H - h) = rH de la cual despejaremos a una de las variables para despus sustituirla en la funcin volumen.
ei) Despejamos r:
ej) r=RHH-h
ek) Sustituimos:
el) V=r2h=RHH-h2h=R2H2H2-2Hh+h2hem)As, tenemos:
en) V(h)=R2H2H2h-2Hh2+h3eo) Obtenemos puntos crticos:
ep) V'(h)=R2H2H2-4Hh+3h2
eq) V'0MSDR2H2H2-4Hh+3h2=0P.Modulativa R,*P.Inversiva (R,*)3h-4Hh+H2=0er)
es) Tenemos que:
et) h=4H-4H2-43H223=4H16H2-12H26=4H2H6eu)
ev) Entonces:
ew)h1=4H+2H6=6H6=H
ex) h2=4H-2H6=2H6=13Hey) Segunda Derivada:
ez) V''(h)=R2H26h-4Hfa) Asi:
fb) V''h1=R2H26h1-4H=R2H22H>0
fc) V''h1>0h1 es un minimo localfd) Ademas:
fe) V''h2=R2H26h2-4H=R2H2613H-4H=R2H22H-4H=R2H2-2H>0
fi) Al=2*H*r-2*H*r2RDerivando en funcin de r resulta
Al'r=2*H-4*H*rRfj) Igualando a 0 da
0=2*H-4*h*rRDividiendo por 2H
0=1-2rR
fk) 2r=R
fl) r=R2fm) Volviendo a derivar nos da
Al'rt=-4*HR
Que siendo negativa confirma que el punto crtico es un mximoReemplazando en (1) nos da
h=H-H*rRh=H-H*RR2h=H-H2h=H2El cilindro debe tener un rea lateral de radio r=R2 y una altura h=H2
fn)
45. Cul de los conos circunscritos en torno a una esfera tiene el menor volumen?Tenemos que:
sen=RrLuego
tan=hr y as r*tan=Rsen*tan=Rcos=R*secDe este modo en trminos de , se tiene que
V=R*cosec2*R*sec3=*R33*cosec2*secDerivando
V'=R33*-2*cosec2*cot*sec+cosec2*sec*tanIgualando la derivada a 0
R33csc2sec-2cot+tan= 0Implicando
-2cot+tan= 0tan= 2tanY multiplicamos por la tangente
tan2 = 2De este modo, hemos llegado a que el cono con volumen mnimo cumple que la razn entre la altura y el radio es 2, y as, h = 2r. Pero entonces la longitud de la
generatriz, digamos g, de acuerdo al teorema de Pitgoras, cumplir.r + (2r) = g
3r = g,Xlo tanto implicando
csc = 6/4 = 3/2El volumen mnimo es
R(3/2)(3)/3 = R(3)/2.fo)
fp)
fq) 46.: Una ventana normanda consiste en un rectngulo coronado con un semicrculo. Halla las dimensiones para que ingrese un mximo de luz. Para un permetro P.El rea del rectngulo es base por altura. Como hemos llamado a la base "x" y a la altura "y" entonces:
fr) rea del rectngulo = x y
fs) El rea del semicrculo es siendo . Por tanto:
ft) rea del semicrculo =
fu) En consecuencia, el rea de la ventana ser:
fv) rea ventana =
fw) Dado que el permetro de la ventana es:
fx) Permetro ventana =
fy) Sabiendo que el permetro ha de ser igual a 10 m, obtenemos:
fz)
ga) Despejando:
gb)
gc) Queremos buscar la ventana de rea mxima y permetro P y, para ello, tendremos que maximizar la funcin rea de la ventana (Av). Como sta estaba en funcin de las variables x e y, sustituiremos el valor de y tendremos la funcin Av dependiente slo de la variable x.
gd)
ge)
gf) Derivando respecto de x e igualando a cero:
gh) Obtenemos ahora la segunda derivada y comprobamos el signo:
gi)
gj) La segunda derivada, independientemente del valor de x, ser siempre negativa. En consecuencia, podemos decir que obtenemos la ventana de mxima rea para .
gk) Las dimensiones del marco sern por tanto:
gl)
gm)Calculemos ahora el radio y el permetro de la semicircunferencia:
gn)
go)
gp) 47.- Dos carreteras se cruzan en Angulo recto. El automvil A esta situado en P a 5 kilmetros de la interseccin sobre una de las carreteras; el automvil B esta unido sobre la otra carretera en Q a 10 kilmetros de la interseccin. Los dos puntos parten simultneamente y se dirigen a la interseccin a una velocidad de 50km/h y 60km/h . Despus de haber partido cual es la distancia mnima que los separa
gq) MOVIL A
gr) V=xt
gs) MOVIL B
gt) V=15-xtgu) SISTEMAS DE ECUACIONES
gv) VAt=15-VBt
gw)t=1550+60
gx) t=322
gy) x=7511Kmgz) 48.-la solides de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho
por el cuadrado de su altura halle las dimensiones de la viga ms slida que puede obtenerse de un tronco cilndrico de a cm de dimetro
ha) r2=x22+y22
hb) y2=a2-x2
hc) R=Kah2
hd) R=Kx(a2-x2)
he) R'=Kx(2a-2x)
hf) 0=Kx(2a-2x)
hg) x=a
hh) y2=a2-x2
hi) y2=x2-x2
hj) y2=2x2
hk) y=2xhl)