7/29/2019 Ejercicios de Vectores Resueltos
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1
Vectores
.vuyvu,vuvu
++2
12dibujavectores,siguienteslossonySia)
Ejercicio n 1.-
( ) :descoordenadalasObtn2,21y32,sonvectoresdosdescoordenadaLasb) .
ba
++
bababa3
1;
2
1;23
:figuralamuestraquelosysiendo,32y2
1vectoreslosDibujaa)
++ vuvuvu,vu
Ejercicio n 2.-
( ) :descoordenadalasobtn,23,y1,3
2vectoreslosDadosb)
ba
+ ba;ba;ba3
1223
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2
:
++ vuvu,vuvu3
1y
3
22dibujafigura,lamuestraquevectoreslossonySia)
Ejercicio n 3.-
( )
++
ba;ba;ba
ba
2
12
5
15
:vectoreslosdescoordenadalasobtn,31,y3,5
2
sonydescoordenadalasSib)
:3
2y2,
dibujaellos,departirAfigura.lamuestraquelossonyvectoresLosa)
++ vuvuvu
vu
Ejercicio n 4.-
( )
+++
ba;ba;ba
ba
22
143
:descoordenada
lasobtn,
4
11,y12,sonyvectoreslosdescoordenadalasSib)
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3
++ vu;vu;vu 22
12
Ejercicio n 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
( ) :descoordenadalasobtn,22,y2,4
3vectoreslosDadosb)
ba
++ ba;ba;ba 422
1
:vuz,y,x
ydelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)
Ejercicio n 6.-
( ) ( ). 21,y3,5
1delinealncombinacicom170,vectorelEscribeb)
cba
:
vucb,a yvectoreslosdelinealncombinacicomoyvectoreslosExpresaa)
Ejercicio n 7.-
( ) ( ) .
2,21y21,delinealncombinacicomo25,vectorelExpresab) zyx
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4
:
yxcyb,a edelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)
Ejercicio n 8.-
( )
( )23,y1,2
1
porformadabaselaarespectocon01,vectordelscoordenadalasHallab)
vu
w
( ) vectoreslosporformadabaselaarespectocon32,vectordelscoordenadalasHallaa) u
Ejercicio n 9.-
( )11,y3
12,
wv
:yvectoreslosdelinealncombinacicomo,,vectoreslosExpresab) bazyx
( ) ( ) .1,2
1y32,vectoreslosdelinealncombinacicomo14,vectorelExpresaa)
zyx
Ejercicio n 10.-
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5
( ) ( ) ( ) :1,y23,,45,Dados kzyx
Ejercicio n 11.-
.x
zxk
quesentidomismoelydireccinmismalaconunitariovectorunHallab)
.90ngulounformenyqueparadevalorelHallaa)
( ) ( ) :2,y31,Si mba
Ejercicio n 12.-
( ). 24,siendoyporformadonguloelCalculab)
lares.perpendicuseanyqueparadevalorelHallaa)
cca
bam
( ) ( ) ( ):32,y3,,41,vectoreslosDados
wmvu
Ejercicio n 13.-
.
wu
um
yformanquenguloelHallab)
lares.perpendicuseanvyqueparaCalculaa)
( ) ( ) equeparaydevaloreslosHalla.1,e3,vectoreslosConsidera
yxbabyax
Ejercicio n 14.-
5.xqueylaresperpendicusean =
( )11,y5
4,5
3
ba
Ejercicio n 15.-
a) Halla el ngulo que forman los vectores
( ) ?5
4,5
3alarperpendicufuera1vectorelqueparadevalorelseraCulb)
ax,ux
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6
Soluciones ejercicios de Vectores
.vuyvu,vuvu
++2
12dibujavectores,siguienteslossonySia)
Ejercicio n 1.-
( ) :descoordenadalasObtn2,21y32,sonvectoresdosdescoordenadaLasb) .
ba
++
bababa3
1;
2
1;23
Solucin:
a)
( ) ( ) ( ) ( )13,74,19,62,21
23,2323b)=+=
+=+
ba
( ) ( )
=
+=
+=+
4,4
91,
4
13,22,
2
1
2
13,2
2
1ba
( )
=
=
=
3
5,
6
55,
2
5
3
12,
2
13,2
3
1
3
1ba
:figuralamuestraquelosysiendo,32y2
1vectoreslosDibujaa)
++ vuvuvu,vu
Ejercicio n 2.-
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7
( ) :descoordenadalasobtn,23,y1,3
2vectoreslosDadosb)
ba
+ ba;ba;ba3
1223
Solucin:
a)
( ) ( ) ( ) ( )1,44,63,22,321,3
2323b) =+=+
=+
ba
( ) ( )
=
=
=
0,3
52,32,
3
42,31,
3
222 ba
( )
=
=
=
3
1,
3
1
3
2,11,
3
22,3
3
11,
3
2
3
1ba
:
++ vuvu,vuvu3
1y
3
22dibujafigura,lamuestraquevectoreslossonySia)
Ejercicio n 3.-
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8
( )
++
ba;ba;ba
ba
2
12
5
15
:vectoreslosdescoordenadalasobtn,31,y3,5
2sonydescoordenadalasSib)
Solucin:
a)
( ) ( )
=
+=+
=+
572,
59
53,
5115,23,1
513,
525
515b) ba
( ) ( )
=+
=+
=+
9,5
126,23,
5
23,123,
5
22ba
( ) ( )
=
=
=
2
9,5
63,1
2
3,5
13,13,
5
2
2
1
2
1ba
:3
2
y2,
dibujaellos,departirAfigura.lamuestraquelossonyvectoresLosa)
++ vuvuvu
vu
Ejercicio n 4.-
( )
+++
ba;ba;ba
ba
22
143
:descoordenada
lasobtn,4
11,y12,sonyvectoreslosdescoordenadalasSib)
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9
Solucin:
a)
( ) ( ) ( ) ( )4,101,43,64
1,141,2343b) =+=
+=+
ba
( ) ( )
=
+=
+=+
4
5,3
4
1,11,2
4
1,11,2ba
( ) ( )0,121
,22
1,14
1,121,22
122
1
=
+
=
+=+
ba
++ vu;vu;vu 22
12
Ejercicio n 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
( ) :descoordenadalasobtn,22,y2,4
3vectoreslosDadosb)
ba
++ ba;ba;ba 4221
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10
Solucin:
a)
( ) ( )
=
=
=
3,4
71,12,
4
32,2
2
12,
4
3
2
1b) ba
( ) ( )
=+
=+
=+
6,2
72,24,
2
32,22,
4
322 ba
( ) ( ) ( ) ( )10,52,28,32,22,
4
344 =+=+
=+
ba
:vuz,y,x
ydelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)
Ejercicio n 6.-
( ) ( ). 21,y3,5
1delinealncombinacicom170,vectorelEscribeb)
cba
Solucin:
a)
b) Tenemos que encontrar dos nmeros, m y n, tales que:
:decires,
+= cnbma
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11
( ) ( )
( ) ( )
( )
+=
+
=
+
=
nmnm
nnmm
nm
23,5
17,0
2,3,5
17,0
2,13,5
117,0
1171721517
5
231750
2317
50
==+=
=
+==
+=
=
nnnn
mn
nm
nm
nm
nm
55 == nm
Por tanto:
:decires,15
+= cba
( ) ( )2,13,5
1517,0 +
=
:
vucb,a yvectoreslosdelinealncombinacicomoyvectoreslosExpresaa)
Ejercicio n 7.-
( ) ( ) .
2,2
1y21,delinealncombinacicomo25,vectorelExpresab) zyx
Solucin:
a)
b) Hemos de encontrar dos nmeros, m y n, tales que:
:decires,
+= znymx
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12
( ) ( )
( ) ( )
( )
++=
+=
+=
nmn
m
nn
mm
nm
22,2
2,5
2,2
2,2,5
2,2
12,12,5
+==
+==
+=+=
+=
+=mn
mn
nm
mn
nm
nm
nm
nm
1210
1210
222210
222
25
3
8
3
1111;
3
1111310121210 =+=+====+= mnmmmmmm
Por tanto:
:decires,3
8
3
11 += zyx
( ) ( )
+= 2,
2
1
3
82,1
3
112,5
:
yxcyb,a edelinealncombinacicomovectoreslosEscribea)
Ejercicio n 8.-
( )
( )23,y1,2
1
porformadabaselaarespectocon01,vectordelscoordenadalasHallab)
vu
w
Solucin:
a)
b) Tenemos que hallar dos nmeros, m y n, tales que::decires, += vnumw
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13
( ) ( )
( ) ( )
( )
+=
+
=
+
=
nm,nm
,
n,nm,m
,
,n,m,
232
01
232
01
2312
101
214242
622
2
62
20
3
2
1
===
=
=
=
+=
=
nn
nn
mn
nm
nm
nm
m = -2n = 1
Por tanto:
:decires,2
11
+= vuw
( ) ( )232
11
2
101 ,,,
=
2
1,1:sonyporformadabaselaarespectodescoordenadaLas vuw
( ) vectoreslosporformadabaselaarespectocon32,vectordelscoordenadalasHallaa) u
Ejercicio n 9.-
( )11,y3
12,
wv
:yvectoreslosdelinealncombinacicomo,,vectoreslosExpresab) bazyx
Solucin:
a) Hemos de hallar dos nmeros, m y n, tales que:
:decires,
+= wnvmu
( ) ( )
( ) ( )
( )
+=
+
=
+
=
nm
nm
nnm
m
nm
3,23,2
,3
,23,2
1,13
1,23,2
( )
==
=+=
=
+=
mm
nm
nm
nm
nm
nm
223922
3922
3
3
22
46222
3515669669
=+==
==+=++=
mn
mmmmmm
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14/17
14
Por tanto:
:decires,43
+= wvu
( ) ( )1,143
1,233,2 +
=
( )43sonyporformadabaselaarespectocondescoordenadaLas ,wvu
.
b)
( ) ( ) .1,2
1y32,vectoreslosdelinealncombinacicomo14,vectorelExpresaa)
zyx
Ejercicio n 10.-
Solucin:
a) Tenemos que hallar dos nmeros, m y n, tales que:
:decires,
+= znymx
( ) ( )
( ) ( )
( )
++=
+=
+=
nmn
m
nn
mm
nm
3,2
21,4
,2
3,21,4
1,2
13,21,4
+=+=
=+=
+=+=
+=
+=
mm
mm
nm
nm
nm
nm
nm
nm
43183148
3148
3148
31
224
7/29/2019 Ejercicios de Vectores Resueltos
15/17
15
43131
177
=+=+=
==
mn
mm
Por tanto:
:decires;41
+= zyx
( ) ( )
+= 1
2
143214 ,,,
b)
( ) ( ) ( ) :1,y23,,45,Dados kzyx
Ejercicio n 11.-
.x
zxk
quesentidomismoelydireccinmismalaconunitariovectorunHallab)
.90ngulounformenyqueparadevalorelHallaa)
Solucin:
dehaescalarproductosulares),perpendicu(sean90dengulounformenyqueParaa)
zx
:ceroaigualser
( ) ( )4
5045,14,5 ====
kkkzx
xdemduloelHallamosb)
( ) 41162545 22 =+=+=
x
:serquesentidoydireccinmismalaconunitariovectorEl
x
41
4,
41
5
( ) ( ) :2,y31,Si mba
Ejercicio n 12.-
( ). 24,siendoyporformadonguloelCalculab)
lares.perpendicuseanyqueparadevalorelHallaa)
cca
bam
7/29/2019 Ejercicios de Vectores Resueltos
16/17
16
Solucin:
:ceroserdebeescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParaa) ba
( ) ( ) 6062,3,1 ====
mmmba
( ) ( )
( )=
=
=
++
=
=
200
2
2010
64
2431
2,43,1
,b) 2222ca
ca
cacos
''48'798,14,0 =
=
ca
( ) ( ) ( ):32,y3,,41,vectoreslosDados
wmvu
Ejercicio n 13.-
.
wuum
yformanquenguloelHallab)lares.perpendicuseanvyqueparaCalculaa)
Solucin:
:decirescero,serdehaescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParaa)
vu
( ) ( )4
3043341 ==+==
mmm,,vu
( ) ( )94,0221
14
1317
14
3241
122,b) 2222 =
=
=
++
=
=
wu
wuwucos
'.'46'20160,As, =
wu
( ) ( ) equeparaydevaloreslosHalla.1,e3,vectoreslosConsidera
yxbabyax
Ejercicio n 14.-
5.xqueylaresperpendicusean =
Solucin:
:decirescero,serdehaescalarproductosulares,perpendicuseanequePara)1.
yx
( ) ( )3
0313a
bbab,,ayx ==+==
:5aigualamosedemduloelHallamos)2.
x
259593
2222
=+=+=+= aaax
7/29/2019 Ejercicios de Vectores Resueltos
17/17
17
==
=====
3
44
3
44
16169252
ba
baaa
Por tanto, hay dos posibilidades:
3
4,4;
3
4,4 2211 ==== baba
( )11,y5
4,5
3
ba
Ejercicio n 15.-
a) Halla el ngulo que forman los vectores
( ) ?5
4,5
3alarperpendicufuera1vectorelqueparadevalorelseraCulb)
ax,ux
Solucin:
=
=
=
++
=
=
14,025
1
2
51
1125
16
25
9
54
53
,a)
ba
bacacos
''48'798, =
ca
:ceroserdebeescalarproductosulares,perpendicuseanyqueParab)
au
( )4
30430
5
4
5
3
5
4,5
3,1 ====
=
xxx
xau
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