Ejercicio 7
∫ 1x2√4+x2
dx
Para √b2+a se sustituye por √a√btag (u)
Aplicamos la regla por sustitución: ∫ f (g (x ) )∗g ´ (x )dx= ∫ f (u )du ,u=g(x )
x=2 tang (u):dx=2 sec2 (u )du
¿∫ 1(2 tan (u))2√4+(2 tan (u )) ²
sec ²(u)du
¿∫ csc ²(u)2√4 tan ² (u )+4
du
Sacamos la constante: ∫ a∗f ( x )dx=a∗ ∫ f ( x )dx
¿ 12∫
csc ²(u)2√4 tan ² (u )+4
du
Aplicamos la siguiente propiedad algebraica. (a+b )=a(1+ ba) = 4 tan ² (u )+4=4 ( 4 tan ² (u )
4+1)
¿ 12∫
csc ²(u)
√2√ tan ² (u )+1¿du¿
Simplificamos
¿ 12∫
csc ²(u)
2√4 ( 4 tan ² (u )4
+1)du
Aplicamos la siguiente identidad: 1+ tan2(x)=sec2(x)
¿ 12∫
csc ² (u)2√sec2(u)
Sacamos la constante: ∫ a∗f ( x )dx=a∗ ∫ f ( x )dx
¿ 1212∫
csc ²(u)
√sec 2(u)Para √sec2(u)= (sec (u ) ) , asumiendoque sec (u )≥0
¿ 1212∫
csc ² (u)sec(u)
du
¿ 1212∫
1sin (u)
cot (u )du
Ahora utilizamos la siguienteidentidad 1
sin (x )=csc (x )
¿ 1212∫ cot (u ) csc(u)du
Expresamos con seno, coseno
¿ 1212∫
cos (u)sin ² (u)
du
Aplicamos la regla por sustitución: ∫ f (g (x ) )∗g ´ (x )dx= ∫ f (u )du ,u=g(x )
v=sin (u ) :dv=cos (u )du ,du= 1cos (u)
dv
¿ 1212∫
cos (u)v ²
1cos (u)
dv
¿ 1212∫
1v ² dv
Utilizamos la propiedad de los exponentes 1v ²
=v−² dv
¿ 1212v−2+1
−2+1
Sustituimos la ecuación v=sin (u ) :u=artan( 12x )
¿ 1212
sin−2+1(artan( 12 x ))−2+1
Simplificamos
¿−√ x ²4 +1
2 x
Agregamos la constante. si dF (x)dx
=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+c
¿−√ x24 +1
2x+C