ECONOMETRIA 1
Regressão Múltipla
ECONOMETRIA
• Regressão Múltipla Modelo com mais de uma variável independente. O modelo geral teria a seguinte configuração:
• Estimaremos por O.L.S, no entanto, reordenando a forma acima deixando-a similar à da regressão simples.
ikikiii XXXY ....33221
nnkknnn
kk
kk
XXXY
XXXY
XXXY
,33221
22,32322212
11,31321211
....
....
....
Econometria
• Essas n equações podem ser dispostas na forma matricial:
• Reduzimos essas matrizes a:
• Y Vetor (matriz Linha) que contem as observações de Y.
• X Matriz das variáveis independentes, onde 1= intercepto.
• β Vetor dos coeficientes a serem estimados.
• ε Vetor de erro.
1
2
1
1
2
1
32
23222
13121
1
2
1
1
1
1
nnkkknknnn
k
k
nn u
u
u
XXX
XXX
XXX
Y
Y
Y
XY
Econometria
• O estimador de OLS para β será parecido com o da regressão
simples:
• Com isso, notemos a analogia:
• da regressão simples.
•
• Como não existe divisão de matrizes, a multiplicação pela matriz
inversa faz o papel da divisão.
)()(ˆ 1 YXXX TT
)( YX T
XX T
xy
²x
Econometria
• Uma condição p/existência de , é que a matriz , seja inversível. Para
que isso ocorra, é necessário que nenhuma coluna da matriz X seja uma
combinação linear de outras, ou seja, X2 seja exatamente o dobro de X3.
• Além das hipóteses 1, 2, 3, 4 e 5, adicionamos 6, especificamente para a
regressão múltipla.
XX´
isr das demaação lineaser combin não pode pendente Xiável inde. Cada var i6
ECONOMETRIA
• Ex 1: Vamos estimar a regressão da variável Y em função de X1 e X2.
• Dados:
Y X1 X2
12 2 1
15 3 3
18 5 4
22 7 5
25 10 6
ECONOMETRIA
• Podemos dispor estas variáveis na seguinte forma matricial:
25
22
18
15
12
Y
6101
571
451
331
121
X
65431
107532
11111TX
ECONOMETRIA
• Sabemos que , assim podemos fazer:
• Começaremos fazendo :
• Portanto, temos:
)()(ˆ 1 YXXX TT
)( YX T
256225184153121
2510227185153122
251221181151121
25
22
18
15
12
65431
107532
11111
)(
15
53
YX T
389
563
92
)( YX T
ECONOMETRIA
• Da regra de Álgebra Matricial conhecemos:
• Isto é:
A de cofatores dos Transposta
11
ADJ
ADJDetA
A
332313
322212
312111
CCC
CCC
CCC
ADJ
ECONOMETRIA
• Para faremos:
35
53
6101
571
451
331
121
65431
107532
11111
XX T
1)( XX T
8712619
12618727
19275
A
362516916035209265431
60352092100492594107532
6543110753211111
ECONOMETRIA
• Devemos, então, a partir de A, acharmos seu determinante e sua adjunta para
encontrarmos a sua inversa:
• 67507 79380 63423 = (- 210.310)
• 81345 64638 64638 = 210.621
12619
18727
275
8712619
12618727
19275
A
311 ADET
ECONOMETRIA
• Para A :
• E a ADJ = (Cof A)T:
332313
322212
312111
CCC
CCC
CCC
AADJ
333231
232221
131211
8712619
12618727
19275
CCC
CCC
CCC
A
ECONOMETRIA
• Portanto,utilizando a teoria dos cofatores fazemos:
, ,
, ,
, ,
39387126
1261871 211
11
C
45187126
19271 312
21
C
151126187
187271 413
31
C
458719
126271 321
12
C
748719
1951
422
22
C
11712627
1951 523
32
C
15112619
187271
431
13
C
11712619
2751
532
23
C
20618727
2751
633
33
C
ECONOMETRIA
• Logo a Matriz dos cofatores de A:
• Sabemos o valor do Det A, sendo assim:
206117151
1177445
15145393
OF AC
311206
311117
311151
311117
31174
31145
311151
31145
311393
11
ADET
AADJXXA T
ECONOMETRIA
• Assim, a inversa , assume os seguintes valores:
•
1)( XX T
662.0376.0485.0
376.0237.0144.0
485.0144.0263.1
)( 11 XXA T
ECONOMETRIA
• E o estimador será dado, por:
389662.0563376.092485.0
389376.0563237.092144.0
389485.0563144.092263.1
389
563
92
662.0376.0485.0
376.0237.0144.0
485.0144.0263.1
218.1
41.0
6.8 Intercepto0
11 X de eCoeficient22 X de eCoeficient
ECONOMETRIA
• Ex 2: Estimemos a regressão de Y em função de X2 e X3 e façamos os testes
da regressão e de cada um dos parâmetros:
Y X2 X3
800 2 0.8
1160 4 0.7
1580 6 0.5
2010 8 0.4
1890 7 0.2
2600 12 0.2
2070 11 0.8
1890 10 0.7
1830 9 0.6
1740 8 0.1
1380 6 0.5
1060 4 0.4
ECONOMETRIA
• O modelo a ser estimado é:
• A matriz X é dada por:
• Onde a coluna preenchida pelo número 1, como
vimos,
se refere ao intercepto.
33221 XXY
4.041
5.061
1.081
6.091
7.0101
8.0111
2.0121
2.071
4.081
5.061
7.041
8.021
X
ECONOMETRIA
• A matriz X TX será dada por:
• E sua inversa:
53.3419.5
4173187
9.58712
XX T
67.103.004.1
03.001.009.0
04.109.025.11
XX T
ECONOMETRIA
• A matriz XTY será:
• O estimador será dado, por:
• E, o modelo estimado enfim:
9303
160810
20010
YX T
26,419
56,149
33,7891
YXXX TT
Intercepto1
22 X de eCoeficient
33 X de eCoeficient
32 26,41956,14933,789 XXY
ECONOMETRIA
• Substituindo os valores de X2 e X3 em
podemos encontrar os valores de Y explicados pela regressão ( ) , daí os
resíduos que são mostrados na tabela a seguir:
•
32 26,41956,14933,789 XXY
Y
46.95
65.91
102.94
191.89
137.60
99.81
-29.07
-101.44
-53.80
-203.87
-97.05
-159.86
ECONOMETRIA
• Considerando a forma matricial, os valores da tabela acima são os
componentes do vetor de resíduos .A soma dos quadrados dos resíduos
será dada por:
• Considerando y o vetor das variáveis Y centradas,a soma dos quadrados totais
será dada por yTy:
• E a parte explicada é calculada:
• Isto posto, podemos construir uma tabela ANOVA para essa regressão, da
mesma forma que fazíamos para a regressão simples.
e
98,580.575.2 SQRSQTSQE
02,444.173 eeSQR T
025.749.2 yySQT T
ECONOMETRIA
• Tabela ANOVA p/o Ex 2:
• Agora G.L dos quadrados explicados são 2 , pois há 2 regressores.
• O G.L dos quadrados dos resíduos são, então, nove (n – 3).
• O valor de F é calculado p/ 2 graus de liberdade no numerador e nove no
denominador. Para 5% de significância, esse valor é 4,26.
• Logo: Fcal = 66.82 > Ftab = 4.26, rejeitando a hipótese nula de que as variâncias
são iguais.
• O R² é calculado da seguinte forma:
Soma de quadrados G.L Quadrados Médios Teste F
SQE = 2.575.580,98 2 1.287.790,49 66.82
SQR =173.444,02 9 19.271,56
SQT = 2.749.025 11 249.911,36
9369.0025.749.2
8,580.575.22 R
Econometria
• Hipóteses sobre a Regressão
) acionadosautocorrel não são erros (os ,0)( .5
) (constante )( .4
) osestocástic (não fixos são .3
osdistribuíd enormalment são .2
0)( .1
2
ji
Var
x
ji
i
i
i
i
aisar das demnação line ser combi
não podependente Xiável inde. Cada var i6
Microsoft Equation 3.0
Econometria
• Em notação Matricial, as hipóteses 4 e 5 podem ser sintetizadas em:
• A matriz , é também chamada de matriz variância e covariância dos
erros. Nela a diagonal principal contém as variâncias dos erros, e os demais
elementos da matriz são as covariâncias entre os erros.
• Assim, o termo cobre as duas hipóteses, já que é o mesmo que
multiplica os uns da matriz identidade, e as covariâncias entre os erros
(autocovariâncias) valem zero, pois na matriz identidade os elementos fora
da diagonal principal são zero.
I²)var(
)var(
)ˆvar()ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(
)ˆ,ˆcov()ˆvar()ˆ,ˆcov(
)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov()ˆvar(
)ˆcov(var
21
2212
1211
kkk
k
k
I² ²
ECONOMETRIA
• Para testar a validade de cada um dos parâmetros, temos que encontrar a variância de
cada um deles. A variância do vetor de parâmetros será dada por:
• O raciocínio é o mesmo p/a variância de um escalar. O termo é uma
constante considerando que X é uma constante. Se fosse um escalar, extrairíamos da
variância elevando ao quadrado. Como é uma matriz, usamos a forma quadrática. Além
disso, sabemos que a variância de Y é :
• Nota:Para o conceito de Matriz inversa, é possível resolver a equação matricial: AX = Y. Basta, pré-multiplicar os dois
lados da equação pela inversa de A:
• A-1AX = A-1Y X = A-1Y.
• Vale a seguinte propriedade: A transposta da inversa = inversa da transposta.
• (MT)-1 = (M-1)T
YXXX TT 1
varvar
TT XXX 1
I²
112var
XXXXXX TTT
ECONOMETRIA
• Como é igual à identidade (matriz multiplicada por sua inversa),
temos:
•
• Cujo estimador será dado por:
• Em nosso exemplo:
• Os valores da diagonal principal são as variâncias dos parâmetros, enquanto os
demais valores representam as covariâncias:
XXXX TT 1
12var
XX T
122 XXSS T
12 56,271.19
XXS T
76,240.3285,57034,990.19
85,57034,20265,747.1
34,990.1965,747.199,104.242S
ECONOMETRIA
• Desse modo, as variâncias ( e os desvios-padrão) de cada parâmetro são:
• Podemos,então calcular as estatísticas t para cada parâmetro:
56,179 76,240.32
22,14 34,202
26,155 99,104.24
3
2
3
2
2
2
1
2
1
SS
SS
SS
33,2 56,17956,419
51,10 22,1456,149
08,5 26,155789,33
3
3
2
2
1
1
S
S
S
ECONOMETRIA
• Os valores tabelados p/distribuição t com 9 G.L:
• Como os valores calculados para o intercepto e para são superiores a
todos os valores, aqueles são significantes a 1%. O valor p/ é inferior ao
valor tabelado para 1% mas superior ao valor de 5%, dizemos, portanto, que
ele é significante a 5%
25,3
26,2
83,1
%1,9
%5,9
%10,9
t
t
t
1
2
3
ECONOMETRIA
• Ex 3. Finanças – Análise de Risco e Retorno
• Investidores normalmente não mantém ativos isolados; em vez disso, formam
carteiras por meio do agrupamento de ativos. O que ocorreria se
combinássemos dois ativos A e B com objetivo de diversificação?
• Para responder a essa pergunta, é necessário considerar que o risco de uma
carteira não é simplesmente a soma dos riscos (dp) individuais dos ativos; ele
depende também da proporção em que cada ativo participa da carteira e da
correlação entre os retornos desses ativos.
• Em outras palavras, para responder a essa pergunta é necessário levar em
conta a relação de dependência entre os ativos.
ECONOMETRIA
• 3.1- Retorno observado e retorno esperado de uma carteira de ativos
• O retorno observado de uma carteira de N ativos é uma média ponderada dos
retornos observados dos ativos individuais. O peso aplicado a cada
retorno corresponde à fração do valor da carteira aplicada naquele ativo:
• O retorno esperado da carteira é o valor esperado (expectância) da equação
anterior:
• Para 2 ativos(N = 2):
2211
2
1
RXRXRXRN
iiic
iR iX
N
iiic RXR
1
N
iii
N
iii
N
iiicc RXRXRXRR
111
ECONOMETRIA
• 3.2 Variância (risco) da carteira
• A variância de uma carteira de ativos é simplesmente a expectância dos
quadrados dos desvios dos retornos observados em torno do retorno esperado:
2
1
2
11
22
N
iiii
N
iii
N
iiiccc RRXRXRXRR
ECONOMETRIA
• Para o caso particular de 2 ativos:
• Onde:
• X1 = Fração investida no ativo 1
• X2 = Fração investida no ativo 2
• = variância do ativo 1
• = variância do ativo 2
• = covariância entre os ativos 1 e2
2,121
22
22
21
21
221121
2
2222
2
112
1
2
2
XXXX
RRRRXXRRXRRX
221121
2
2222
2
112
1
22
1
2
2 RRRRXXRRXRRX
RRXN
iiiic
2122
2,1
ECONOMETRIA
• Generalizando para o caso de N ativos, temos:
• Tomando o caso de 3 ativos:
• O símbolo indica que i deve ser diferente de j. Tem-se também que:
N
i
N
i
N
ijj
jijiiic XXX1 1 1
,222
3
1
3
1
3
1,
222 N
i
N
i
N
ijj
jijiiic XXX
23
23
22
22
21
21 XXX 3,2323,1312,121 222 XXXXXX
2,33,21,33,11,22,1 ; ;
ECONOMETRIA
• 3.3 Covariância e coeficiente de correlação entre ativos
• Na expressão da variância da carteira integrada por dois ativos, apareceu o
termo que se refere à covariância entre os retornos do ativo 1 e 2. Essa
covariância é o valor esperado do produto de dois desvios:
• Os desvios dos retornos dos ativos 1 e 2 em relação a seus retornos esperados
(em relação a média).
• Enfim, a covariância mede como os retornos dos ativos variam em conjunto.
• Se eles apresentarem desvios positivos e negativos nos mesmos momentos, a
covariância será um número positivo.
• Se os desvios positivos e negativos ocorrerem em momentos diferentes, a
covariância será negativa.
• Se os desvios positivos e negativos não estiverem relacionados, a cov. 0.
ECONOMETRIA
• A ordem não é importante no cálculo da covariância, portanto:
• Dividindo a covariância pelo produto dos dp por dois ativos, obtém-se uma
medida estatística c/as mesmas propriedades da covariância, mas situada num
intervalo -1 a + 1, que é o coeficiente de correlação, que é definido por:
• O coeficiente de correlação é representado pela letra grega , e apenas
normaliza as relações entre covariância e os desvios padrão.
ijji ,,
ji
jiji
,
,
ECONOMETRIA
• Correlação de retornos e ganhos por diversificação
• O risco (dp) de uma carteira não é uma médias dos riscos(dp) dos títulos que a
integram, pois a diversificação o reduz. Ela não é capaz, contudo, de eliminar
totalmente o risco, como veremos nesta seção. A seguir analisaremos como a
diversificação contribui para a diminuição do risco da carteira.
• Vimos que, para o caso de N ativos, a variância da carteira é dada por:
jijiji
N
i
N
i
N
ijj
jijijiiic XXX
,,
1 1 1,
222
:Onde
ECONOMETRIA
• A fim de entender como devem ser escolhidos os ativos e como essa escolha
influência o risco da carteira, analisemos o caso particular de 2 ativos (N=2).
Nesse caso, a variância da carteira é:
• Observe que a variância da carteira é função da correlação entre os retornos
dos ativos integrantes, medida pelo coeficiente de correlação , que varia entre
-1 e +1. No caso de os ativos sobem ou descem juntos e, quando
, um ativo cai quando o outro sobe. O caso de significa
independência entre os ativos.
212,12122
22
21
21
2 2 XXXXc
12,1
12,1 02,1
ECONOMETRIA
• Pode-se diminuir essa variância combinando os ativos de modo correto.
Dependerá basicamente da correlação entre os ativos que compões a carteira.
Por exemplo, uma correlação negativa perfeita ( ) implicará a maior
diminuição de variância possível, já que o último termo na expressão da carteira
será um valor negativo ( ).
• Para o termo é nulo e, para o termo é positivo. Logo a maior
diminuição de risco será conseguida quando a correlação entre os ativos for
igual a -1.
• No mercado de ações é muito difícil encontrar correlações perfeitamente
positivas, negativas ou nulas. Quase sempre elas são positivas ou ligeiramente
negativas. Assim, podemos concluir desta análise que o grau em que o risco de
uma carteira formada por dois ativos pode ser reduzido depende da correlação
entre os retornos dos ativos. Quanto mais negativa for essa correlação, maior
será a diminuição da variância da carteira.
12,1
02 212,121 XX
02,1 12,1
ECONOMETRIA
• 3.4 Diversificação de carteiras: risco diversificável e risco de mercado.
• Tal como visto, a variância de uma carteira c/2 ativos é:
• Podemos expressar matricialmente essa variância da seguinte maneira:
2,12122
22
21
21
2 2 XXXXc
2
22,2211,1
2
12
21,2
2,121
21
2
1
2,21,2
2,11,1212,121
22
22
21
21
2
; :Onde
2
X
XXX
X
XXXXXXXc
ECONOMETRIA
• Para o caso geral de N ativos:
• Matricialmente:
N
i
N
i
N
ijj
jijiiic XXX1 1 1
,222
NNNNN
N
N
N
Nc
X
X
X
XXX
2
1
23,2,1,
,3232,31,3
,23,2221,2
,13,12,121
212 ,...,,
j e i entre acovariânci
i ativo do variância
,
2
ji
i
ascovariânci-s variânciade Matriz
ECONOMETRIA
• A matriz de variâncias – covariâncias é uma matriz quadrada composta ao todo
por N² elementos. Como sua diagonal está formada pelas variâncias dos ativos
(N variâncias), o n° de covariâncias será igual ao n° total de elementos menos
de variâncias, isto é, N² - N elementos.
• Caso montantes iguais sejam aplicados em cada ativo, em uma carteira de N
ativos a proporção aplicada em cada um deles será igual a 1/N. Aplicando
essas proporções à equação da variância da carteira, obtemos:
N
i
N
i
N
ijj
jijiiic XXX1 1 1
,222
N
i
N
i
N
ijj
jii NNNN1 1 1,
2 1111
ECONOMETRIA
• Podemos remanejá-la da seguinte forma:
• Colocando essa expressão em um formato mais apropriado, temos:
N
i
N
ijj
ji
N
i
ic
ji
N
i
N
ji
N
i
NNN
N
NN
NNN
NNN
1 1,
1
22
,1 1
2
1
1
11
1
1
1
111
1
11
N
i
N
ijj
jiN
i
ic NNN
N
NN 1 1
,
1
22
1
1
1
ECONOMETRIA
• A soma de todas as variâncias da matriz (soma dos elementos da diagonal da
matriz) dividida pelo n° de variâncias (dividida por N) é igual à variância média
da carteira:
• Igualmente, a soma de todas as covariâncias da matriz dividida pelo número de
covariâncias – dividida por N(N -1) – é igual à covariância média da carteira:
• Logo, temos que a variância da carteira pode ser expressa da seguinte
maneira:
N
i
N
j
jii NN1 1
,2
1
N
i
ii N1
22
cov.média1
var.média1
1
1,
22
N
N
N
N
N
N jiic
ECONOMETRIA
• Onde e são, respectivamente, a variância e a covariância média da
carteira.
• O primeiro termo dessa expressão refere-se ao risco diversificável, que pode
ser eliminado no processo de diversificação, enquanto o segundo se refere ao
risco de mercado, que não pode ser diminuído pelo aumento progressivo do n°
de títulos na carteira.
• Se a quantidade de ativos da carteira é alta , a variância dela aproxima-
se (assintóticamente) da covariância, pois no limite e :
•
2i ji ,
N
01 N 1/1 NN
média acovariânci11
,22
jiiNc N
N
NLim
ECONOMETRIA
• A contribuição da variância dos ativos individuais à variância da carteira tende a
zero quando N é bastante elevado (ou seja, quando N tende ao infinito).
• Entretanto, quando N é elevado, a contribuição das covariâncias converge
p/covariância média. Isso mostra que o risco individual dos títulos pode ser
eliminado por meio da diversificação, mas a contribuição ao risco total causada
pelas covariâncias não pode ser eliminada da mesma maneira.
• Se mantivermos um n° grande o suficiente de ativos com retornos
independentes, a variância da carteira tenderá a zero.
• Na prática, ocorre que os preços das ações movem-se juntos, e não de forma
independente, isto é, têm covariâncias positivas que limitam os benefícios da
diversificação e impossibilitam a eliminação total do risco da carteira.
ECONOMETRIA
• A figura a seguir ilustra o princípio da diversificação:
carteira da ativos de n
2i
áveldiversific Risco
Risco
mercado de Riscoji ,
20 15 10 5 1
ECONOMETRIA
• Observa-se na figura que a redução do risco por meio da diversificação é
significativa para as primeiras adições de ativos, reduzindo-se em seguida até
que a adição de novos ativos praticamente não consegue mais reduzir o risco.
• Esse risco residual é chamado de risco de mercado. Podemos reduzir algum
risco no processo – o chamado risco diversificável ou risco único – porque os
riscos operacionais de uma empresa são específicos dela ou do setor em que
atua.
• O risco de uma carteira de mercado bem diversificada depende apenas do risco
de mercado dos ativos nela incluídos. Esse é um dos princípios fundamentais
de finanças, o princípio de diversificação, que mostra como eliminar o risco não
correlacionado aos movimentos gerais do mercado.
• Esse risco diversificável ou único é um risco específico aos ativos e tem
correlação zero com os movimentos do mercado.