ESTRUTURAS DE BETÃO I
FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS
MÓDULO 5
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS DE ELEMENTOS COM ESFORÇO AXIAL NÃO
DESPREZÁVEL
Coordenação: Júlio Appleton
Ano Lectivo 2010/2011
ÍNDICE
1. FLEXÃO COMPOSTA ................................ .......................................................................... 150
1.1. ROTURA CONVENCIONAL ................................................................................................... 150
1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA ........................................................................ 150
1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES ................................................................... 151
1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES .......................................................................... 152
1.4.1. Armadura longitudinal ............................................................................................. 152
1.4.2. Armadura transversal .............................................................................................. 153
1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA RESISTÊNCIA À
FLEXÃO ................................................................................................................................... 156
2. VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES ISOLADOS AOS ESTADOS LIMITE
ÚLTIMOS .................................................................................................................................. 157
2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS .................................................................... 157
2.2. TIPOS DE ROTURA ............................................................................................................. 158
2.3. ESBELTEZA ....................................................................................................................... 158
2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ELEMENTOS ISOLADOS ............................................ 159
2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................... 159
2.5.1. Excentricidade inicial ............................................................................................... 160
2.5.2. Força horizontal equivalente ................................................................................... 161
2.6. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM ....................................................................... 162
2.6.1. Métodos de análise simplificados............................................................................ 162
2.6.1.1 Método da curvatura nominal .......................................................................... 164
2.6.1.2 Método da rigidez nominal .............................................................................. 167
2.7 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO .............................................. 169
3 ESTRUTURAS EM PÓRTICO .......................................................................................... 178
3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS .............................................................................. 178
3.2 COMPRIMENTO DE ENCURVADURA ............................................................................... 179
3.3 EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM PÓRTICOS ............................................ 181
3.4 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS ................................................................ 182
3.4.1 Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de
segunda ordem possam ser desprezados ........................................................................ 182
3.4.2 Verificação da segurança de pórticos contraventados cujos efeitos globais de
segunda ordem não possam ser desprezados ................................................................. 183
3.4.3 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórticos não contraventados ........... 184
4 FLEXÃO DESVIADA ................................... ..................................................................... 192
4.1 ROTURA CONVENCIONAL............................................................................................. 192
4.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES ............................................................ 192
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
150
1. Flexão Composta
(Flexão com esforço normal de tracção ou compressão)
1.1. ROTURA CONVENCIONAL
� εs ≤ 10‰
� εc(-) ≤ 3.5‰
� Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰
Tensões uniformes
σc εc
(-)
2‰
Tensões não uniformes
(-)
2‰ ≤ εc ≤ 3.5‰σc
ou
εc = 3.5‰
(-)
σc
00
1.2. DIAGRAMAS DE DEFORMAÇÕES NA ROTURA
Com base nas extensões máximas para o betão e armaduras, podem ser definidas 5
zonas com diagramas associados à rotura:
As2
As1
MN 1
10‰
10‰
02‰3.5‰
2‰ εyd
2
3
45
Compressão Tracção
Zona 1 - Tracção com pequena excentricidade (εs1 = 10‰, εs2 ≤ 10‰)
Zona 2 - Tracção e compressão com grande ou média excentricidade (εs1 = 10‰, εc(-) ≤ 3.5‰)
Zona 3 - Tracção e comp. com grande ou média excentricidade (εyd ≤ εs1 ≤ 10‰, εc(-) = 3.5‰)
Zona 4 - Compressão com média ou pequena excentricidade (εs1 ≤ εyd, εc(-) = 3.5‰)
Zona 5 - Compressão com pequena excentricidade (2‰ ≤ εcmáx ≤ 3.5‰)
Conclusão:
� Zonas 1, 2 e 3: εs > εyd ⇒ rotura dúctil
� Zonas 4 e 5: εs < εyd ⇒ rotura frágil
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151
1.3. DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES
(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão
armado com dois níveis de armadura (As1 e As2)
As1
As2 MRd
NRd
(-)
(+)
εc
εs2
εs1
Fc
Fs1
Fs2
yc ys2
Nota: A coordenada y pode ser medida em relação ao centro geométrico da secção ou
em relação ao nível da armadura inferior.
Equações de Equilíbrio
• Equilíbrio axial: Fc + Fs2 − Fs1 = NRd
• Equilíbrio de momentos: Fc × yc + Fs2 × ys2 – N (d-h/2) = MRd
⇒ Para um dado diagrama de rotura obtém-se um par de esforço NRd – MRd
(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama
de interacção NRd – MRd
(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
dimensionamento
NRd
MRd
(-)
a) Diagrama de interacção NRd - MRd
M Rd
(-)NRd
a) Diagrama de dimensionamento
Estruturas de Betão I
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152
Grandezas adimensionais:
− Esforço normal reduzido: ν = NRd
b h fcd
− Momento flector reduzido: µ = MRd
b h2 fcd
− Percentagem mecânica de armadura: ωTOT = AsTOT b h
fyd fcd
1.4. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES
1.4.1. Armadura longitudinal
(i) Quantidades mínimas e máximas de armadura
As quantidades mínimas de armadura em pilares, variam consoante o tipo de aço
utilizado e o valor do esforço axial de dimensionamento, de acordo com a seguinte
expressão:
As, min = 0.10 Nsd
fyd ≥ 0.002 Ac
A quantidade máxima de armadura é dada por:
As, máx = 0.04 Ac (fora das secções de emenda)
Nota: Nas secções de emenda, poderá adoptar-se uma armadura até 0.08 Ac.
(ii) Disposição da armadura, diâmetros e espaçamento
1. Mínimo número de varões na secção transversal
� 1 varão em cada ângulo da secção (saliente ou reentrante) ou
� 4 varões em secções circulares ou a tal assimiláveis (É recomendável
adoptar pelo menos 6 varões)
2. Diâmetro mínimo dos varões: 8 mm (Recomendável: 10 mm)
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1.4.2. Armadura transversal
(i) Espaçamento das cintas
smáx = min (20 × φL,menor; bmin; 40 cm)
O espaçamento indicado deve ser reduzido a 0.6 smáx nos seguintes casos:
- nas secções adjacentes a vigas ou lajes, numa altura igual à maior dimensão do pilar;
- nas secções de emenda de varões longitudinais, caso o diâmetro destes varões
seja superior a 14 mm. Deverão existir pelo menos três cintas ao longo do
comprimento de emenda.
(ii) Diâmetro
φcinta = max (6 mm; 0.25 φL,maior)
(iii) Forma da armadura / cintagem mínima
� Os varões longitudinais situados nos cantos da secção devem ser abraçados por
armadura transversal.
� Em zonas comprimidas, não é necessário cintar varões longitudinais que se
encontrem a menos de 15 cm de varões cintados.
Função da armadura transversal
� Cintar o betão;
� Impedir a encurvadura dos varões longitudinais;
� Manter as armaduras longitudinais na sua posição durante a montagem e
betonagem;
� Resistir ao esforço transverso.
Nota: As cintas devem ser mantidas na zona dos nós de ligação com as vigas.
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154
EXERCÍCIO 5.1
Considere a secção rectangular representada, sujeita a flexão composta conforme
indicado. Dimensione e pormenorize a secção.
As/2
As/2
0.30
0.50
M sd
Nsd
Nsd = -1200 kN
Msd = 150 kNm
Materiais: A400NR
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.1
Flexão composta de secções rectangulares (Tabelas)
d1 ≅ 0.05m
h = 0.50m ⇒
d1 h = 0.10 ; A400
Esforço normal reduzido: ν = Nsd
b h fcd =
-1200 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60
Momento flector reduzido: µ = Msd
b h2 fcd =
150 0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15
ωTOT = 0.20 ⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fyd
= 0.20 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 11.47cm2
Na rotura εc2 εs1
= -3.5 0 a 1 ⇒
rotura pelo betão
armaduras traccionadas não atingem a cedência
Zona �
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155
EXERCÍCIO 5.2
Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msd =250 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.2
d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10
ν = Nsd
π r2 fcd =
-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = -0.427
µ = MSd
2π r3 fcd =
250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152
⇒ ωTOT = 0.30
AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd
fyd = 0.30 × π × 0.252 ×
16.7 348 × 104 = 28.3cm2
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1.5. EFEITO FAVORÁVEL DE UM ESFORÇO AXIAL MODERADO DE COMPRESSÃO NA
RESISTÊNCIA À FLEXÃO
Considere-se o seguinte diagrama de interacção ν - µ, bem como os diagramas de
tensão na rotura para as situações A e B ilustradas.
µ
ν
0.4 B
A
As2
As1
b
h
A Fs2,A
As1 fyd
Fc,A
MRd,A
NRd
MRd,B
B
As1 fyd
Fs2,B
Fc,B
MRd,A < MRd,B
∴ A existência de um esforço axial aumenta as resultantes de compressão (Fc e Fs2) e,
consequentemente, o MRd apesar da diminuição do braço de Fc.
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2. Verificação da segurança de pilares isolados aos es tados limite últimos
2.1. COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS ESBELTOS
Nos elementos de betão armado não solicitados por cargas axiais, os esforços são,
em geral, determinados na estrutura não deformada (Teoria de 1ª ordem). Nestes
casos a influência da deformação da estrutura nos esforços actuantes é desprezável.
Sempre que as deformações tenham um efeito importante nos esforços solicitantes (p.
ex. no caso de pilares esbeltos), as hipóteses lineares da teoria de 1ª ordem não
devem ser aplicadas. Nestes casos as condições de equilíbrio devem ser
estabelecidas na estrutura deformada (Teoria de 2ª ordem).
Exemplos:
Teoria de 1ª ordem:
M = N × e
Teoria de 2ª ordem:
M = N (e + v) ⇔ M = N × e + N × v
N × e – momento de 1ª ordem
N × v – momento de 2ª ordem
Nota: na teoria de 2ª ordem as condições de equilíbrio devem ser satisfeitas na
estrutura deformada.
Os efeitos de 2ª ordem dependem da esbelteza dos pilares: λ = l0 i
� - λ pequeno ⇒ efeitos de 2ª ordem desprezáveis
(Teoria de 1ª ordem)
� - λ médio/elevado ⇒ efeitos de 2ª ordem relevantes
(Teoria de 2ª ordem)
Consideram-se os efeitos de 2ª ordem desprezáveis
se: M2ªordem ≤ 0.10 M1ªordem (⇔ N × v ≤ 0.1 N × e) M
N
Ne
Ne N v
1
2
N
vL
N
L
v
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2.2. TIPOS DE ROTURA
� Relação N - M para e2=0
Elemento pouco esbelto: análise de 1ª ordem - Mu = Nu e1 ⇒ rotura da secção
� Relação N - M para e2 ≠ 0
Elemento com esbelteza moderada: análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1+ e2)⇒ rotura da secção
� Relação N - M para e2 ≠ 0
Elemento com esbelteza elevada análise de 2ª ordem Mu = Nu (e1+ e2) ⇒ rotura por instabilidade
2.3. ESBELTEZA
A esbelteza de um pilar é dada por: λλλλ = l0 i
onde:
l0 representa o comprimento efectivo da encurvadura (distância entre pontos de
momento nulo ou pontos de inflexão da configuração deformada)
i representa o raio de giração da secção
i = I A
Nota: Deve ser considerado o momento de inércia da secção segundo o eixo
perpendicular ao plano de encurvadura.
Maior λ ⇒ maior sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem.
21
Ne1
N
M
Ne 1
N
Ne1 Ne 2
Ne 2
Nu , M u 1 1
22N u , M u
2 2N CR, M CR
N u , M u 33
N CR , M CR33
N
e 1 e1
N
N
e 2e 2
3N
N
e1
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2.4. COMPRIMENTOS DE ENCURVADURA DE ELEMENTOS ISOLADOS
� Elementos contraventados
� Elementos não contraventados
2.5. IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS
O efeito desfavorável de possíveis desvios na geometria da estrutura ou posição do
carregamento deverá ser tido em consideração no dimensionamento.
Os efeitos das imperfeições geométricas poderão ser avaliados de forma geral
considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi.
= L/2 = L l0
l0
l0
= 0.7L
= 2L = L = 2Ll0 l0 l0
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160
Hi
NNei
L
Para elementos isolados, estes efeitos poderão ser considerados de forma
simplificada através de uma excentricidade inicial ei ou através de uma força horizontal
equivalente Hi.
a) Elementos não contraventados
b) Elementos contraventados
2.5.1. Excentricidade inicial
Com base na estrutura inclinada de θi a excentricidade inicial poderá ser calculada
através da seguinte expressão
ei = θi l0 / 2
onde l0 representa o comprimento efectivo de encurvadura.
A inclinação θ i pode ser calculada através da seguinte expressão:
θ i = θ0 ⋅ αh ⋅ αm onde,
θ0 representa o valor de inclinação base que pode ser tomado igual a 1/200;
αh representa um coeficiente de redução relacionado com o comprimento do
elemento (αh = 2 / l e 2/3 ≤ αh ≤ 1);
αm representa um coeficiente de redução relacionado com o número de elementos
verticais existente na estrutura (αm = 0.5 (1 + 1/m), onde m representa o número
de elementos verticais).
Caso se tratem de colunas isoladas em estruturas contraventadas, poderá considerar-
se simplificadamente que ei = l0 / 400.
= l0/2
θ i θ i
≅
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2.5.2. Força horizontal equivalente
A força horizontal deverá actuar na posição em que provoque o máximo momento
flector e pode ser obtida através das seguintes expressões:
(i) Elementos não contraventados: Hi = N θ i
(ii) Elementos contraventados: Hi = 2 N θ i
Mi = N ei Mi = Hi L
Mi = N ei Mi = Hi L/4
θ i
Hi L = N ei ⇒ Hi = N ei /L ⇒ Hi = N θ i
θ i
Hi L/4 = N ei ⇒ Hi = N (4ei /L) ⇒ Hi = 2 N θ i ≅
Hi
NN e i
L =
=
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162
2.6. CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE 2ª ORDEM
O cálculo rigoroso dos efeitos de 2ª ordem obriga a estabelecer as condições de
equilíbrio na estrutura deformada considerando o comportamento não linear do betão
armado. Isto significa a realização de análises não lineares da estrutura tendo em
conta as não linearidades geométricas e as não linearidades físicas dos materiais.
Este método é designado por Método Geral sendo válido para qualquer tipo de
elemento estrutural ou estrutura submetida a qualquer tipo de carregamento.
Trata-se de uma metodologia que envolve um esforço de cálculo significativo e a sua
utilização no projecto de estruturas apenas se justifica em algumas situações
particulares.
Tendo em conta a complexidade deste tipo de análises a regulamentação permite a
utilização de métodos simplificados para quantificar os efeitos de 2ª ordem.
2.6.1. Métodos de análise simplificados
O EC2 contempla a utilização de dois métodos simplificados para calcular os efeitos
de 2ª ordem:
- Método da curvatura nominal
Este método consiste em estimar a curvatura (1/r) na secção mais esforçada para
efeitos do cálculo da deformada de 2ª ordem da estrutura a partir da qual é calculado o
momento de 2ª ordem.
- Método da rigidez nominal
O método consiste em estimar a rigidez de flexão EI do elemento estrutural a qual é
utilizada na análise linear de 2ª ordem.
Os dois métodos apresentam a mesma fundamentação conforme se demonstra a
seguir.
Considerando uma coluna bi-articulada sujeita a um esforço axial N e a uma carga
transversal (ou a uma imperfeição geométrica) o momento total actuante incluindo os
efeitos de 2ª ordem é obtido de acordo com a seguinte expressão:
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163
0
rv
M0 M 1/r
M = M + M
2
0 2
M = M0 + M2 = M0 + N v = M0 + N 1 r
l02
c
em que:
M – momento total
M0 – momento de 1ª ordem
M2 – momento de 2ª ordem
v – deslocamento associado à curvatura 1/r
l0 – comprimento do elemento (comprimento de encurvadura)
c – factor que depende da distribuição da curvatura
O deslocamento v pode ser obtido pela integração das curvaturas ao longo da coluna:
v = ⌡⌠
l0 1r
–M dx =
⌡⌠
l0 M
–M
EI dx = 1 EI ⌡
⌠l0 M
–M dx =
M EI
l02
c = 1 r
l02
c
Em que c tem os seguintes valores função da distribuição do momento flector ao longo
da coluna:
distribuição parabólica: c=9.6
distribuição uniforme (constante): c= 8
distribuição triangular simétrica: c=12
M e 1/r são o momento e a curvatura na secção mais esforçada do pilar.
A diferença entre os dois métodos reside na formulação da curvatura:
- No método da rigidez nominal a curvatura 1/r é expressa em termos de rigidez
nominal à flexão:
1 r =
M EI
A rigidez EI deve ter em conta a influência da fendilhação e da fluência.
N
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164
- No método da curvatura nominal a curvatura 1/r associada à deformada final do
elemento é calculada admitindo que as armaduras de tracção e compressão
apresentam uma extensão igual à extensão de cedência.
syd
(-)
(+)
0.9d
εsyd
1 r =
εsyd + εsyd 0.9d =
εsyd 0.45d
Importa referir que neste tipo de análises o comprimento l0 deve ser considerado de
um modo mais genérico que o definido na estabilidade elástica de colunas, como um
comprimento que traduz a forma da deformada final do elemento estrutural.
Dado que os métodos simplificados se baseiam na análise de uma coluna bi-
articulada, o comprimento l0 pode ser considerado como o comprimento de um pilar
simplesmente apoiado cujo comportamento traduz o do pilar em causa e cujas
extremidades coincidem com as secções de momento nulo deste pilar.
2.6.1.1 Método da curvatura nominal
Método de dimensionamento a partir dos resultados de uma análise linear de 1ª
ordem, corrigindo a excentricidade para ter em conta os efeitos de 2ª ordem.
Msd = Nsd (e + e2)
eN
e
N
v
N
e+e2
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- Excentricidade de 2ª ordem
De acordo com o EC2, a excentricidade 2ª ordem pode ser calculada com base na
curvatura nominal através da seguinte expressão:
e2 = 1 r
l02
c
onde c representa um factor que depende da distribuição da curvatura ao longo do
elemento. Normalmente adopta-se c = 10, excepto se o momento de primeira ordem
for constante, situação em que se poderá adoptar c = 8.
A curvatura (1/r) pode ser determinada a partir da expressão:
1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅
1 r0
onde,
Kr representa um factor correctivo que tem em consideração o nível de esforço axial;
Kϕ representa um coeficiente destinado a ter em conta o efeito da fluência;
1 / r0 representa a curvatura base
1
r0 ≅
εyd 0.45d .
O coeficiente Kr destina-se a ter em conta o facto de, em determinados casos, a
armadura não atingir a extensão de cedência, o que conduz a uma curvatura inferior à
curvatura base. Este factor de redução pode ser determinado através de:
Kr = nu - n
nu - nbal ≤ 1.0
onde,
n representa o valor do esforço normal reduzido;
nbal representa o valor do esforço normal reduzido na zona do máximo
momento resistente (em geral, nbal ≈ 0.4);
nu = 1 + ω, com ω = As fyd / (Ac fcd).
O efeito da fluência é considerado através da introdução do coeficiente Kϕ, que
pretende corrigir os casos em que a curvatura base seria inferior à curvatura real
devido ao facto de não se considerar o efeito da fluência.
Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1
onde,
ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo
ϕef = ϕ(t∞, t0)
M0cqp M0sd
;
β = 0.35 + fck / 200 - λ / 150;
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M0cqp representa o momento de primeira ordem para a combinação
quase-permanente de acções;
M0sd representa o momento de primeira ordem para a combinação fundamental.
O efeito da fluência poderá ser desprezado, o que equivale a assumir que ϕef = 0, caso
sejam verificadas as três condições seguintes: ϕ(∞, t0) ≤ 2; λ ≤ 75; M0sd / Nsd ≥ h
- Força horizontal equivalente
Os efeitos de 2ª ordem poderão ser considerados, tal como no caso das imperfeições
geométricas, através de uma força horizontal equivalente.
Esta força poderá ser uma força concentrada ou outra força equivalente que produza
os mesmos efeitos. Por exemplo, no caso dos elementos contraventados a
consideração de uma força uniformemente distribuída ao longo do elemento conduz a
uma distribuição de momentos próxima da introduzida por uma deformada de 2ª
ordem parabólica.
- Elementos não contraventados
M2 = N e2 M = ∆H l02
∆H l02 = N e2 ⇒ ∆H = 2N
e2
l0 ⇒ ∆H = N θ2
N
L
θ
e 0 2
2
≡
0 2
∆ H
N
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- Elementos contraventados
0
θ 2
e 2 ≡ ∆H
M2 = N e2 M = ∆H l04
∆H l04 = N e2 ⇒ ∆H = 4N
e2
l0 ⇒ ∆H = 2N θ2
2.6.1.2 Método da rigidez nominal
Considerando a coluna bi-articulada definida em 2.6.1 com comprimento l=l0, o
momento de 2ª ordem pode ser calculado da seguinte forma:
M2 = N v = N 1 r
l02
c = N M EI
l02
c = N l0
2 c EI (M0 + M2)
onde M0 é o momento de 1ª ordem e c é um parâmetro que depende da distribuição
da curvatura (assume-se que a distribuição das curvaturas de 1ª e 2ª ordem são
idênticas).
Desenvolvendo a expressão anterior em ordem a M2, tem-se:
M2 = M0
N l02
c EI
1 - N l0
2 c EI
= M0 1
c EI l0
2 / N - 1 = M0
1
NB
N - 1
em que: NB = c EI l0
2 ≈ π2 EI
l02 (carga crítica do pilar)
O momento total do pilar pode ser calculado da seguinte forma:
M = M0 + M2 = M0 1 + 1
NB
N - 1 ⇒ M =
M0
1 - N
NB
N
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168
O parâmetro 1
1 - N
NB é o factor de amplificação do momento de 1ª ordem.
- Rigidez nominal
A rigidez de flexão EI a usar no cálculo de NB deve ter consideração o efeito da
fendilhação e da fluência. O EC2 considera a seguinte expressão para cálculo da
rigidez nominal:
EI = KcEcdIc + KsEsIs
em que:
Ecd valor de cálculo do módulo de elasticidade do betão, Ecd = Ecm /γcE, com γcE= 1.2
Ic momento de inércia da secção transversal de betão
Es valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço das armaduras,
Is momento de inércia das armaduras, em relação ao centro da área do betão
Kc é um coeficiente que toma em conta os efeitos da fendilhação e da fluência,
Ks é um coeficiente que toma em conta a contribuição das armaduras.
- Nos casos em que ρ ≥ 0,002
Ks = 1
Kc = k1k2 / (1 + ϕef)
em que:
ρ = As/Ac
ϕef coeficiente de fluência efectivo;
k1 é um coeficiente que depende da classe de resistência do betão;
k2 é um coeficiente que depende do esforço normal e da esbelteza, expressão
k1 = 20ck /f (MPa)
k2 = 170
λ⋅n ≤ 0,20
- Nos casos em que ρ ≥ 0,01
Ks = 0
Kc = 0,3 / (1 + 0,5ϕef)
A maior dificuldade na aplicação deste método reside no cálculo da rigidez nominal o
qual obriga a um processo iterativo.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
169
2.7 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
1. Verificação do estado limite último de flexão composta na secção crítica (secção
mais esforçada), para os esforços
Nsd e Msd = M0sd + Nsd e2
em que: M0sd = M0e + Nsd ei
2. Secção crítica
(i) Elementos contraventados
A localização da secção crítica depende do diagrama de Msd conforme se pode
observar na figura seguinte. Nesta figura considera-se uma coluna genérica e
representam-se os esforços relativos às cargas atuantes e ao efeito de 2ª ordem.
M1M2
M2M1
NM02
M01N
M = M + M1TOT 2
≡ + =
Verifica-se, em geral, que a secção crítica se localiza numa zona intermédia, e não
junto das extremidades, pelo que a sua determinação requer um certo esforço de
cálculo.
O EC2 ultrapassa esta dificuldade indicando uma metodologia simplificada para
estimar o momento máximo. Essa metodologia consiste em tomar para o momento
associado às cargas actuantes um valor constante, o qual é somado directamente aos
momentos relativos às imperfeições geométricas e aos efeitos de 2ª ordem.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
170
M0e = máx 0.6 M02 + 0.4 M01
0.4 M02
com |M02| ≥ |M01|
Todavia, como é possível verificar na primeira figura, os efeitos da imperfeição
geométrica e de 2ª ordem também se fazem sentir nos nós pelo que o momento
máximo pode, eventualmente, ocorrer numa das extremidades do elemento.
As dificuldades atrás referidas podem ser ultrapassadas se os efeitos das imperfeições
geométricas e de 2ª ordem forem considerados através da força horizontal equivalente
de acordo com exposto anteriormente.
(ii) Elementos não contraventados
Nos elementos não contraventados os esforços máximos ocorrem nos nós como se
pode observar na figura seguinte pelo que não se coloca o problema atrás referido.
M2M1
NM02
M01N
M = M + M1TOT 2
+ =
N
θ2
N
ei
θ i
e2 MSd 0
M0e N ei
=++
N e2 Sd 0eM = M +Nei + N e2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
171
3. Dispensa da verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura
Para o caso de elementos isolados, os efeitos de segunda ordem poderão ser
desprezados se for satisfeita a condição
λ ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C
n
onde,
λ = l0 / i e representa o coeficiente de esbelteza (i representa o raio de giração
da secção transversal não fendilhada);
A = 1 / (1 + 0.2 ϕef ) (se ϕef for desconhecido pode adoptar-se A = 0.7);
B = 1 + 2 ω (se ω for desconhecido pode adoptar-se B = 1.1);
C = 1.7 – rm (se rm for desconhecido pode adoptar-se C = 0.7);
ϕef representa o coeficiente de fluência efectivo;
ω = Asfyd / Acfcd e representa a percentagem mecânica de armadura;
rm = M01 / M02 onde M01 e M02 representam os momentos de primeira ordem nas
extremidades de um elemento, sendo |M02| ≥ |M01|;
n = Nsd / (Ac fcd) e representa o esforço normal reduzido
O parâmetro C é o que apresenta, nos casos correntes, uma maior variação (entre 0.7
e 2.7) pelo que é conveniente o seu cálculo dado ter uma influência significativa no
valor de λlim.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
172
EXERCÍCIO 5.3
Dimensione o pilar indicado sujeito aos seguintes esforços:
N
H
3.00
Secção transversal
0.30
0.40
Esforços característicos: Ng = 550 kN; Nq = 250 kN
Hq = 20kN
(ψ1 = 0.6; ψ2 = 0.4)
Materiais: C25/30; A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.3
1. Cálculo da esbelteza
λ = L0 i =
2 × 3.0 0.0866 = 69.3
i = I A =
9 × 10-4 0.30 × 0.40 = 0.0866 m; I =
bh3 12 =
0.4 × 0.33 12 = 9 × 10-4 m4
2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas ei = θi l0 / 2
θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm
αh = 2 / l = 2 / 3.0 = 1.15 < 1.0 ⇒ αh = 1.0
αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0
θi = 1
200
ei = l0
400 = 6.0 400 = 0.015 m
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
173
3. Determinação dos esforços de dimensionamento
Nsd = 1.5 × (550 + 250) = 1200 kN; M0sd = 20 × 3 × 1.5 + 0.015 × 1200 = 108.0 kN
3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar a
condição seguinte:
λ = 69.3 ≤ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C
n
C = 1.7 – rm = 1.7
rm = M01 / M02 = 0
n = Nsd
Ac fcd =
1200 0.30 × 0.40 × 16.7×103 = 0.599
λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7
0.599 = 33.8
⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
3.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd = 1200 kN
Msd = M0sd + Nsd e2
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
c
1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅
1 r0
1 r0
= εyd
0.45d = 1.74×10-3
0.45 × 0.25 = 1.55×10-2 m-1
Kr = nu - n
nu - nbal =
1.5 - 0.6 1.5 - 0.4 = 0.82 ≤ 1.0
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
174
n = Nsd
Ac fcd =
1200 0.30 × 0.40 × 16.7×103 = 0.60
nu = 1 + ω ≈ 1 + 0.5 = 1.5
Estima-se em 0.5 a percentagem mecânica de armadura. Refira-se que este
parâmetro tem influência reduzida no valor de nu.
Kϕ = 1 + β ϕef ≥ 1
ϕef = ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd
= 2.5 × 33.8 108 = 0.78
M0cqp = 20 × 3 × 0.4 + 0.015 × (550 + 0.4 × 250) = 33.8 kNm
β = 0.35 + fck
200 - λ
150 = 0.35 + 25
200 - 69.3 150 = 0.013
Kϕ = 1 + 0.013 × 0.78 = 1.01 ≥ 1
1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅
1 r0
= 0.82 × 1.01 × 1.55×10-2 = 0.013 m-1
e2 = 1 r
L02
c = 0.013 × 62
10 = 0.047 m
Msd = M0sd + Nsd e2 = 108 + 1200 × 0.047 = 164.4 kNm
4. Cálculo da armadura (flexão composta)
ν = Nsd
b h fcd =
-1200 0.3 × 0.4 × 16.7×103 = -0.60
µ = Msd
b h2 fcd =
164.4 0.4 × 0.32 × 16.7×103 = 0.273
⇒ ωTOT = 0.62
d1 h =
0.05 0.3 = 0.167≅ 0.15 ; A400
ASTOT = ωTOT × bh × fcd fsyd
= 0.62 × 0.30 × 0.40 × 16.7 348 × 104 = 35.7cm2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
175
EXERCÍCIO 5.4
Dimensione o pilar sujeito aos seguintes esforços:
5.00
N
Secção transversal
0.25
0.25
Esforços característicos: Ng = 380 kN; Nq = 220 kN
(ψ1 = 0.4; ψ2 = 0.2)
Materiais: C20/25; A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.4
1. Cálculo da esbelteza
λ = L0 i =
5 0.0722 = 69.3
i = I A =
3.255 × 10-4 0.252 = 0.0722 m ; I =
b h3 12 =
0.254 12 = 3.255×10-4 m4
2. Cálculo da excentricidade devida às imperfeições geométricas ei = θi l0 / 2
θi = θ0 ⋅ αh ⋅ αm = 1
200 × 0.89 = 0.0045
αh = 2 / l = 2 / 5.0 = 0.89 ; αm = 0.5 (1 + 1/m) = 1.0
ei = θi l0 / 2 = 0.0045 × 5.0 2 = 0.011 m
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
176
3. Esforços de dimensionamento
Nsd = (380 + 220) × 1.5 = 900 kN; M0sd = 0.011 × 900 = 9.9 kNm
3.1.Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem Para dispensar a verificação da segurança à encurvadura, é necessário verificar
condição seguinte:
λ = 69.3 ≤/ λlim = 20 ⋅ A ⋅ B ⋅ C
n =
20 × 0.7 × 1.1 × 1.7 1.083
= 25.2
C = 1.7 – rm = 1.7
rm = M01 / M02 = 0
n = Nsd
Ac fcd =
900 0.25 × 0.25 × 13.3×103 = 1.083
λlim = 20 × 0.7 × 1.1 × 1.7
1.083 = 25.2
⇒ os efeitos de 2ª ordem não são desprezáveis
3.2. Quantificação dos esforços de cálculo
Nsd = 900 kN; Msd = M0sd + Nsd e2
(ii) Cálculo da excentricidade de 2ª ordem
e2 = 1 r
L02
c
1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅
1 r0
1 r0
= εyd
0.45d = 1.74×10-3
0.45 × 0.20 = 1.93×10-2 m-1
Kr = nu - n
nu - nbal =
1.5 - 1.083 1.5 - 0.4 = 0.38 ≤ 1.0
n = Nsd
Ac fcd =
900 0.252 × 13.3×103 = 1.083
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
177
nu = 1 + ω ≈ 1 + 0.5 = 1.5
Kϕ = 1 + β ϕef
ϕef = ϕ(t∞, t0) M0cqp M0sd
= 2.5 × 4.7 9.9 = 1.2
M0cqp = 0.011 × (380 + 0.2 × 220) = 4.7 kNm
β = 0.35 + fck
200 - λ
150 = 0.35 + 20
200 - 69.3 150 = -0.012
Kϕ = 1 - 0.012 × 1.2 = 0.99 ⇒ Kϕ = 1
1 r = Kr ⋅ Kϕ ⋅
1 r0
= 0.38 × 1.0 × 1.93×10-2 = 0.0073 m-1
e2 = 1 r
L02
c = 0.0073 × 52
10 = 0.0183 m
Msd = M0sd + Nsd e2 = 9.9 + 900 × 0.0183 = 26.4 kNm
3. Cálculo da armadura (flexão composta)
d1 h =
0.05 0.25 = 0.20 ; A400 → Tabelas pág. 45
ν = Nsd
b h fcd =
-900 0.252 × 13.3×103 = -1.083
µ = Msd
b h2 fcd =
27.9 0.253 × 13.3×103 = 0.127
⇒ ωTOT = 0.65
AsTOT = ωTOT × b h × fcd fsyd
= 0.65 × 0.252 × 13.3 348 × 104 = 15.5cm2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
178
3 Estruturas em Pórtico
3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Uma vez que os esforços de 2ª ordem dependem da deformabilidade lateral dos
pórticos convém classificar as estruturas relativamente a esta característica.
� Estruturas contraventadas: estruturas com elementos verticais de grande rigidez
com capacidade resistente para absorver a maior parte das acções horizontais.
paredesou
núcleos
Neste tipo de estruturas a deformação lateral é condicionada pelos elementos de
contraventamento.
A deformação lateral global da estrutura pode ou não ser desprezável consoante a
rigidez dos elementos de contraventamento e as cargas actuantes.
Embora a deformação global da estrutura possa ter significado, a deformação lateral
relativa entre pisos consecutivos é desprezável.
Deste modo há apenas que considerar os efeitos locais de 2ª ordem para
dimensionamento dos pilares. No dimensionamento dos elementos de
contraventamento devem ou não ser considerados os efeitos globais de 2ª ordem
consoante os deslocamentos laterais são significativos ou desprezáveis,
respectivamente.
� Estruturas não contraventadas: estruturas sem elementos de contraventamento
Nestas estruturas a deformação lateral é, em geral, significativa. Os pilares e paredes
devem ser dimensionados para os efeitos globais de 2ª ordem sendo ainda necessário
verificar se os efeitos locais são condicionantes.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
179
3.2 COMPRIMENTO DE ENCURVADURA
O comprimento de encurvadura é definido pela distância entre os pontos de momento
nulo, da distribuição final de momentos ao longo do pilar, podendo ser determinado
pela expressão:
l0 = ηl
onde l representa o comprimento livre do elemento e η é um factor que depende das
condições de ligação das extremidades do elemento
Estruturas contraventadas
l0 ≤ l (η ≤ 1)
Estruturas não contraventadas
l0 ≥ l (η ≥ 1)
O comprimento de encurvadura de acordo com o EC2 é obtido pelas seguintes
expressões (calibradas com recurso a análises não lineares):
- Elementos contraventados
l0 = 0,5l⋅
++⋅
++
2
2
1
1
45,01
45,01
kk
kk
- Elementos não contraventados
l0 = l⋅
++⋅
++
+⋅
⋅+ k
kk
k
kkkk
2
21
1
21
21
11
11;101max
k1, k2 são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez
relativa à rotação dos nós:
k = (θ / M)⋅ (EΙ / l)
θ / Μ rigidez à rotação dos elementos que concorrem no nó que restringem a rotação
desse nó;
EΙ rigidez de flexão do pilar;
l altura livre do pilar entre ligações de extremidade
l l
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
180
A rigidez θ/Μ pode ser definida aproximadamente por:
θ/Μ = 4 EI/L para elementos com ligações de continuidade nas extremidades
θ/Μ =3 EI/L para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em análise
Nos casos gerais em que apenas as vigas contribuem para a restrição à rotação dos
nós tem-se:
ki = ∑
( )EI / L pilares
∑
( )αEI / L vigas
nó i:
viga
pilar
Em que α toma o valor de 3 ou 4 consoante os casos atrás referidos.
O parâmetro k pretende traduzir a maior ou menor dificuldade de rotação do nó:
Maior rotação ⇒ maior deformação ⇒ maior l0 ⇒ maiores efeitos de 2ª ordem.
Exemplo de cálculo de l 0:
Determinar o comprimento de encurvadura do pilar indicado na figura.
3.00
3.00
4.00
6.00 5.00
0.3
0.6 0.5
0.3
0.5
0.3 0.3
0.4
0.30.3
1
2
Classificação da estrutura: Estrutura não contraventada
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
181
k1 = ∑
( )EI / L pilares
∑
( )4EI / L vigas
= ∑
( )I / L pilares
∑
( )4I / L vigas
=
0.34 12 ×
1 4 +
0.34 12 ×
1 3
0.3 × 0.53 12 ×
4 6 +
0.3 × 0.43 12 ×
4 5
= 0.117
k2 =
0.34 12 ×
1 3 × 2
0.3 × 0.63 12 ×
4 6 +
0.3 × 0.53 12 ×
4 5
= 0.074
l0 = l⋅
++⋅
++
+⋅
⋅+ k
kk
k
kkkk
2
21
1
21
21
11
11;101max
l0 = l . max (1.20; 1.18)
l0 = 3 x 1.2 = 3.60 m
3.3 EFEITOS DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS EM PÓRTICOS
Em pórticos os efeitos das imperfeições geométricas podem ser avaliados
considerando a estrutura inclinada de um ângulo θi. Uma metodologia alternativa
consiste na aplicação de forças horizontais ao nível dos vários pisos do pórtico que
conduzam ao mesmo efeito da inclinação θi.
H i
Nθ i
≡
H = Ni θ i
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
182
3.4 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM PÓRTICOS
Para o caso de estruturas em pórtico, os efeitos globais de segunda ordem poderão
ser desprezados se for satisfeita a condição
Fv,sd ≤ k1 ns
ns + 1.6 ∑Ecd Ic
L2
onde,
Fv,sd representa a carga vertical total;
ns representa o número de pisos;
L representa a altura total do edifício acima do nível a partir do qual os
deslocamentos horizontais estão restringidos;
Ecd representa o valor de dimensionamento do módulo de elasticidade do
betão (Ecd = Ecm / γcE = Ecm / 1.2);
Ic representa o momento de inércia da secção transversal dos elementos de
contraventamento (em estado não fendilhado);
k1 é um coeficiente que em geral toma o valor 0.31, ou o valor 0.62 caso se
verifique que os elementos de contraventamento não estão fendilhados em
estado limite último.
Esta expressão é válida caso se verifiquem as condições seguintes:
- Estrutura aproximadamente simétrica;
- Deformações globais por corte desprezáveis;
- Rotação da base dos elementos de contraventamento desprezável;
- Elementos de contraventamento com rigidez aproximadamente constante em altura;
- Cargas verticais semelhantes nos vários pisos.
3.4.1 Verificação da segurança de pórticos contrave ntados cujos efeitos globais
de segunda ordem possam ser desprezados
Caso os efeitos globais de segunda ordem possam ser desprezados apenas há que
verificar os efeitos locais de 2ª ordem.
Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª ordem.
Os pilares podem ser analisados como elementos isolados de acordo com o definido
em 2.7.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
183
3.4.2 Verificação da segurança de pórticos contrave ntados cujos efeitos globais
de segunda ordem não possam ser desprezados
Nestes casos, embora os deslocamentos globais da estrutura sejam significativos
(deslocamentos entre o topo e a base do edifício), os deslocamentos entre pisos são
desprezáveis dada a elevada rigidez dos elementos de contraventamento, desde que
estes apresentem em planta uma disposição aproximadamente simétrica.
É razoável admitir que os elementos contraventados não sofrem deslocamento
horizontal, pelo que há apenas que verificar os efeitos locais de 2ª ordem.
Os elementos de contraventamento são dimensionados para os esforços de 1ª e 2ª
ordem.
Os pilares podem ser analisados como elementos isolados conforme definido em 2.7.
Elementos de contraventamento (paredes)
Os efeitos de 2ª ordem podem ser avaliados por uma metodologia idêntica à referida
para as imperfeições geométricas.
∆H
Nθ 2
≡
∆H = N θ2
A inclinação θ2 é calculada com base no comprimento de encurvadura e
excentricidade de 2ª ordem do elemento de contraventamento.
comprimento de encurvadura doelemento de contraventamento
0
2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
184
3.4.3 Consideração dos efeitos de 2ª ordem em pórti cos não contraventados
No caso de estruturas em que os efeitos globais de segunda ordem tenham que ser
considerados, a análise de pilares isolados em estruturas introduz alguns problemas:
− A análise de pilares isolados conduz a excentricidades diferentes, o que não é
realista dado que as vigas e lajes do piso impõem igualdade de deslocamentos
horizontais para os pilares. Assim, deverá considerar-se a mesma excentricidade
de 2ª ordem em todos os pilares.
− Os efeitos de 2ª ordem provocam um aumento de esforços nos pilares que, por
equilíbrio, conduzem a um aumento de esforços nas vigas adjacentes. A análise
de pilares isolados não tem em conta este efeito.
Desde modo, verifica-se que a análise dos pilares isolados não é adequada pelo que a
metodologia a adoptar deve contemplar o comportamento global da estrutura.
Formas mais correctas de ter em conta os efeitos de 2ª ordem
1. Análise da estrutura inclinada (deformada)
θ
2. Aplicação de forças horizontais fictícias que conduzam aos valores dos esforços
provocados pelos efeitos de 2ª ordem.
θ
∆H2
∆H1
Esta metodologia pode ser ilustrada através da análise de um pórtico simples a seguir
indicada.
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
185
Considere-se o pórtico na posição deformada:
O ângulo θ e o deslocamento δ podem ser determinados com base no comprimento de
encurvadura l0 e na excentricidade e2 da seguinte forma:
θ = e2
l 1 02
= 2 e2
l 1 0 ; δ = Lθ = 2L
e2
l 1 0
O momento global de 2ª ordem é:
MTOTAL2 = (N1 + N2) δ → MTOTAL
2 = (N1 + N2) 2L e2
l 1 0
e2; l0 → parâmetros relativos ao pilar que atinge primeiro a curvatura de cedência (pilar condicionante)
A força horizontal equivalente que conduz ao mesmo momento global nos pilares pode
ser calculada da seguinte forma:
MTOTAL∆H = ∆H L → ∆H L = (N1 + N2) 2L
e2
l0
→ ∆H = 2 (N1 + N2) e2
l0
l0; e2 → parâmetros relativos ao pilar condicionante
P
N N
2 e
θ θ
1
1
P2
2
e
L
10 2
0
δ δ
L
∆H
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
186
Definição do Pilar Condicionante
Considerando que o deslocamento horizontal no topo dos pilares é idêntico, as
características que determinam qual o primeiro pilar a atingir a curvatura de cedência
são a altura da secção, as condições de fronteira e o nível de esforço axial actuante.
As duas primeiras características caracterizam a rigidez do pilar, a terceira determina a
extensão máxima na armadura.
Considere-se a seguinte metodologia para definir um único parâmetro que tenha em
consideração as características atrás referidas:
- a excentricidade de 2ª ordem e2 é função da curvatura de cedência do pilar: e2 = 1r
l 2 010
A curvatura base é definida pela seguinte expressão: 1r0
= εyd
0.45d ≅ εyd
0.4h
A curvatura de cedência pode ser estimada de forma aproximada, a partir da curvatura
base, pela seguinte expressão:
1r =
εyd
0.4h 0.4n =
εyd
n h → e2 = εyd
n h l 2 010 com n ≥ 0.4
sendo: e2 = θ l02 ⇒
θ l02 =
εyd
n h l 2 010 ⇒ θ =
15 εyd
l0n h
θ é a inclinação do pórtico associada ao pilar que atinge primeiro a curvatura de
cedência: ⇒ θ = θi,mínimo
Donde se conclui que o pilar condicionante é o pilar com menor relação l0
n h (n ≥0.4)
No caso de pórticos com pilares com alturas diferentes deduz-se a seguinte relação,
que substitui a anterior, L l0n h em que L é a altura do pilar em análise.
N
2
N
e 0 0.4
h
n
m
n
+ -
1/r
1r0
1r0
0.4n≅1
r
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
187
EXERCÍCIO 5.5
C25/30 g = 17kN/m ψ0 = 0.4
A500 NR q = 13.5kN/m γG = 1.35
Rec: 3cm G1 = 600kN γQ = 1.5
G2 = 400kN
W = ± 100kN
Dimensionamento dos pilares
— Estrutura não contraventada
Esbeltezas λ = l0i
l0 = 2l = 2 x 5 = 10m
P1: i = 0.612
= 0.115m → λ = 10
0.115 = 87
P2: i = 0.612
= 0.173m → λ = 10
0.173 = 58
5,0
10,0
0.6
0.3 0.3
0.4
W
g, qG2 G1
P 1 P 2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
188
— Efeito das imperfeições geométricas
θi = θ0 αh αm ; θ0 = 1
200
αh = 2l =
25 = 0.894 ; αm = 0.5
1 +
1m = 0.5
1 +
12 = 0.87
θi = 1
200 x 0.894 x 0.87 = 0.0039 ; ei = 0.0039 x 5 = 0.0194m
Força horizontal equivalente:
Hi = N θi
Combinação que envolve a acção do vento
Sd = 1.35 Sg + 1.5 ψ2 Sq ± 1.5 SW
N = N1 + N2 =1.35 (600 + 400) + 10 (1.35x17 + 1.5x0.4 x 13.5) = 1660kN
Hi = 1660 x 0.0039 = 6.47kN
R1 =
EI1L3
1
EI1L3
1
+ EI2L3
2
H1 = 0.43
0.43 + 0.63 14243
0.23
6.47 = 1.49kN
R2 = Hi – R1 = 4.98kN
Esforços de 1ª ordem
P1 → W1 = 0.23 x 100 = 23kN
Nsd = 1.35x400 + 102 (1.35x17 + 1.5x0.4 x 13.5) = 695kN
0.0039
0.0194
0.0039
R1
H i = 6.47
R 2
Estruturas de Betão I
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com esforço axial não desprezável
189
M0sd = 1.5 x 23 x 5 + 1.49 x 5 = 180kNm
P2 → W2 = 100 – 23 = 77kN
Nsd = 1.35x600 + 102 (1.35x17 + 1.5x0.4 x 15) = 965kN
M0sd = 1.5 x 77 x 5 + 4.98 x 5 = 602,4kNm
- Efeitos de 2ª ordem
Pórtico não contraventado ⇒ necessidade de considerar os efeitos de 2ª ordem
Excentricidade de 2ª ordem
A excentricidade de 2ª ordem é calculada para o pilar que atinge primeiro a curvatura
de cedência (pilar condicionante)
- pilar condicionante: pilar com menor relação l0
n h (n ≥0.4)
Pilar P1: l0
n h = 10 /(0.4x0.4) = 62.5 (n=0.35)
Pilar P2: l0
n h = 10 /(0.4x0.6) = 41.7 (n= 0.32) (condicionante)
O pilar condicionante coincide, em geral, com o pilar mais rígido como é possível
observar na figura seguinte.
δ1 = δ2 = ⌡⌠
1r M
− ⇒
1r1
= 1r2
e2 → 1r =
1r0
⇓
k1 k2
εyd
0.45d
Para um determinado deslocamento horizontal δ o pilar mais rígido (P2) atinge primeiro
a cedência donde se conclui que e2 é condicionada pelo pilar mais rígido.
P2 → e2 = 1r
l 2 010 ;
1r = kr kφ
1r0
; 1r0
= εyd
0.45d
δ1 δ2
oo o o
1/r0
P1
P2
ε
o
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190
1r0
= 2.175 x 10-3
0.45 x 0.55 = 8.79 x 10-3/m
kφ = 1 + βφef ≥ 1.0
β = 0.35 + fck
200 - λ
150 = 0.35 + 25200 -
58150 = 0.088
φef = φ M0cqp
M0sd
M0cqp = 4.98 x 5 = 24.9kNmM0sd = 602.4kNm
→ φef = 2.5 24.9602.4 = 0.1
kφ = 1 + 0.088 x 0.1 ≅ 1.0
kr = nn - n
nn - nbal ≤ 1.0 ; n =
Nsd
Ac fcd ; nn = 1 + w
n = 0.32 ; nbal = 0.4 ; w ≈ 0.5 (estimativa)
kr = 1.5 - 0.3431.5 - 0.4 = 1.05 ⇒ kr = 1.0 (n ≤ 0.4 ⇒ kr = 1.0)
e2 = 8.79 x 10-3 102
10 = 0.0879m
Força horizontal equivalente: ∆H = 2N e2
l0 ; l0 = 2l ⇒ ∆H = N e2/l = (N1 + N2)
e2
l
∆H = 1660 x 0.0879
5 = 29.18kN
Momento de 2ª ordem
P1 → M2 = 0.23 x 29.18 x 5 = 33.56kNm
P2 → M2 = 0.77 x 29.18 x 5 = 112.34kNm
Esforços de dimensionamento
P1 → Nsd = 695kN
Msd = M0sd + M2 = 180 + 33.56 = 213.56kNm
n = 0.35 ; µ = 213.56
0.3 x 0.42 x 16700 = 0.266 → w = 0.44
AsTOT = 20.3cm2
Vsd = Msd
l = 213.56
5 = 42.7kN
Asw
s = Vsd
z cotg θ fyd =
42.70.9 x 0.35 x 2 x 43.5 = 1.56 cm2/m →
Asw
s min
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191
0,3
0,4
4φ20 + 4φ16
Cintas φ6//0.15
(ρ = 1.7%)
P2 → Nsd = 965kN
Msd = 602.4 + 112.34 = 714.74kNm→ n = 0.32
µ = 0.396 → w = 0.76
AsTOT = 52.5cm2
Vsd = 714.74
5 = 142.9kN Asw
s = 3.32cm2/m
0,6
0,3
4φ25
2φ20
2φ16
4φ25
2φ20
8φ25 + 4φ20
Cintas φ8//0.15
(ρ = 3.1%)
Estruturas de Betão I
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192
4 Flexão Desviada
4.1 ROTURA CONVENCIONAL
� εs ≤ 10‰
� εc(-) ≤ 3.5‰
� Quando toda a secção estiver sujeita a tensões de compressão: 2‰ ≤ εc(-) ≤ 3.5‰
Problema: o momento não está a actuar segundo as direcções principais de inércia.
4.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS RESISTENTES
(i) Consideração de um determinado diagrama de rotura, para uma secção de betão
armado
σc
Fs1Fs2
Fc
My
Mz
(-)
ε
(+)
Através das equações de equilíbrio, para um dado diagrama de rotura obtém-se um
par de esforço MRd,y – MRd,z
(ii) Varrendo a secção com os possíveis diagramas de rotura obtém-se um diagrama
de interacção MRd,y – MRd,z
(iii) Repetindo o processo para vários níveis de armadura obtêm-se os diagramas de
dimensionamento
Flexão composta desviada: os processos anteriores são repetidos para vários níveis
de esforço axial.
Grandezas adimensionais:
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
193
− Esforço normal reduzido: ν = NRd
b h fcd
− Momentos flectores reduzidos: µy = MRd,y
b h2 fcd ; µz =
MRd,z
b2 h fcd
− Percentagem mecânica de armadura ωTOT = AsTOT b h
fsyd fcd
Nota:
Simplificadamente, é possível dividir o problema nas duas direcções e resolver como
se se tratasse de um problema de flexão composta em cada direcção. Neste caso, é
necessário verificar no final a seguinte condição:
Msd,y
MRd,y
α
+
Msd,z
MRd,z
α
≤ 1.0
onde α é um coeficiente que depende da forma da secção transversal e que toma os
seguintes valores:
• Secções transversais circulares ou elípticas: α = 2
• Secções transversais rectangulares
Nsd / NRd ≤ 0.1 0.7 1.0
α 1.0 1.5 2.0
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com esforço axial não desprezável
194
EXERCÍCIO 5.6
Dimensione e pormenorize a seguinte secção de um pilar para os esforços de cálculo
indicados.
z
0.50
0.30
y
Nsd = -1200 kN
Msd,y = 150 kNm
Msd,z = 100 kNm
Materiais: A400
C20/25
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.6
Flexão desviada com esforço axial (Tabelas)
Msdz
Msdy
Astot/4
ν = Nsd
b h fcd =
-1200 0.30 × 0.50 × 13.3×103 = -0.60
µy = Msdy
b h2 fcd =
150 0.30 × 0.502 × 13.3×103 = 0.15
µz = Msdz
b2 h fcd =
150 0.302 × 0.50 × 13.3×103 = 0.167
Como µz > µy ⇒ µ1 = µz = 0.167 e µ2 = µy = 0.15
ν = -0.6
µ1 = 0.167
µ2 = 0.15
⇒ ωTOT = 0.60
⇒ AsTOT = ωTOT b h fcd fsyd
= 0.60 × 0.30 × 0.50 × 13.3 348 × 104 = 34.4cm2
Estruturas de Betão I
MÓDULO 5 – Verificação da segurança aos estados limite últimos de elementos
com esforço axial não desprezável
195
EXERCÍCIO 5.7
Considere um pilar com secção transversal circular com ∅ = 0.50 m. Dimensione as
armaduras do pilar para os seguintes esforços: Nsd = -1400kN; Msdz = 150 kNm;
Msdy = 200 kNm
Considere os seguintes materiais: C25/30, A400NR
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5.7
Msd =
1502 + 2002 = 250 kNm ⇒ Flexão composta
d1 = 0.05 ⇒ d1 h = 0.10
ν = Nsd
π r2 fcd =
-1400 π × 0.252 × 16.7×103 = 0.427
µ = MSd
2π r3 fcd =
250 2 × π × 0.253 × 16.7×103 = 0.152
⇒ ωTOT = 0.30
AsTOT = ωTOT × πr2 × fcd
fsyd = 0.30 × π × 0.252 ×
16.7 348 × 104 = 28.3cm2
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